八年级数学全等三角形综合培优竞赛讲义(38页)

全等三角形培优竞赛讲义(一)
知识点
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1)
边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)
角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3)
边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4)
角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5)
斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
例题精讲
板块一、截长补短
已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
　　
，
理由是：在上截取，连结，
利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
利用证得≌，∴，∴．
如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系
猜测.过点作交于点，，∴
又∵，
∴，而，
∴，∴．
【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？
猜测.在上截取，
∴，∴
∴，∴，
∴，∴．
已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.
求证：BE+DF=AE.
延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.
∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF
∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．
因为、是等边三角形，所以，，，
则，所以，
则有，，．
在上截取，连结，容易证得，．
进而由．得；
由可得，即平分．
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
如图所示，延长到使.
在与中，因为，，，
所以，故.
因为，，所以.
又因为，所以.
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为.
五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，
求证：AD平分∠CDE
延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°
∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE，BC=EF
∴△ABC≌△AEF
∴EF=BC，AC=AF
∵BC+DE=CD
∴CD=DE+EF=DF
∴△ADC≌△ADF
∴∠ADC=∠ADF
即AD平分∠CDE.
板块二、全等与角度
【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.
如图所示，延长至使，连接、.
由知，
而，则为等边三角形.
注意到，，，
故.
从而有，，
故.
所以，.
【另解】在上取点，使得，则由题意可知.
在和中，，，，
则，从而，
进而有，，
.
注意到，则：
，
故.
【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.
需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考
虑的方法.
【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.
以为边向外作正，连接.
在和中，，，
，
则.
由此可得，所以是等腰三角形.
由于，
则，
从而，，
则.
【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.
在和中，，，，
因此，
从而，.
在和中，，，，
故，
从而，，
故，因此.
【另解2】如图所示，以为边向内部作等边，连接、.
在和中，，，
，
故，
而，进而有.
则，
故.
【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.
【例9】如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.
过作的平行线交于，连接交于.
连接，易知、均为正三角形.
因为，，，
所以，，，
则，，
故.
从而.
进而有，.
【另解】如图所示，在上取点，使得，
由、可知.
而，故，.
在中，，，
故，从而，进而可得.
而，
所以为等边三角形.
在中，，
，
故，从而.
我们已经得到，故是的外心，
从而.
【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross
Honsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.
【例10】在四边形中，已知，，，，求的度数.
如图所示，延长至，使，由已知可得：
，
，
故.
又因为，，
故，
因此，，.
又因为，
故，.
而已知，
所以为等边三角形.
于是，
故，
则，
从而，
所以.
如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.
仔细观察，发现已知角的度数都是的倍数，这使我们想到构造角，从而利用正三角形.
在四边形外取一点，使且，连接、.
在和中，，，，
故.
从而.
在中，，，
故，，
从而.
而，
故是正三角形，，.
在中，，
故.
在和中，，，，
故，
从而，
则.
在正内取一点，使，
在外取一点，使，且，求.
如图所示，连接.因为，，，
则，
故.
而，，，
因此，故.
如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.
在中，由可得，.
如图所示，作于点，延长交于点，连接，
则有，
，
，
所以.
又因为，
所以.
而，因此，
故.
由于，
则，
故.
全等三角形培优竞赛讲义（二）
【知识点精读】
1.
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2.
全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作
“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.
全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4.
寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1）BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
旋转
如图（2）COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3）DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5.
判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2）
推论：角角边定理
6.
注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a:
三个角对应相等，即AAA；b
:有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.
证明：在ΔACD和ΔABE中，
∴
ΔACD≌ΔABE
(SAS)
∴
∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又
∵
AD=AE,AB=AC.
∴
AB－AD=AC－AE
即
BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴
ΔDBF≌ΔECF
（AAS）
∴
BF=FC
（全等三角形对应边相等）
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD
分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：∵
DE⊥AC，BF⊥AC
（已知）
∴
∠DEC＝∠BFA=90°
（垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，
∴
ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴
∠C＝∠A
(全等三角形对应角相等)
∴
AB∥CD
（内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△
ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.
求证：CD=2CE
分析：
(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF
∴
BF=AC,且BF∥AC
（三角形中位线定理）
∴
∠ACB＝∠2
(两直线平行内错角相等)
又∵
AB=AC
∴
∠ACB＝∠3
（等边对等角）
∴
∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，
∴
ΔCEB≌ΔCFB
(SAS)
∴
CE=CF=CD
（全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中，
∴ΔAEC≌ΔBEF
(SAS)
∴
AC=BF,
∠4＝∠3
(全等三角形对应边、对应角相等)
∴
BF∥AC
(内错角相等两直线平行)
∵
∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD
（等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，
∴
ΔCFB≌ΔCDB
(SAS)
∴
CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
∴
ΔADO≌ΔCDB
(SAS)
∴
AO=BC,
∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵
∠AOD＝∠COE
（对顶角相等）
∴
∠COE+∠OCE=90o
∴
AO⊥BC
5、中考点拨：
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．
分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵EB＝ED，
∴∠ACB＝∠EDB．
∴ED∥AC．
∴∠BED＝∠A．
∵BE＝EA．
∴BD＝CD．
又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F．
∴∠F＝∠A．
说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2
如图，已知△
ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED
分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点
∵
△
ABC为等边三角形
∴
△BFD为等边三角形
∴
BF=BD=FD
∵
AE=BD
∴
AE=BF=FD
∴
AE－AF=BF－AF
即
EF=AB
∴
EF=AC
在△
ACE和△DFE中，
∴
△AEC≌△FED（SAS）
∴
EC=ED（全等三角形对应边相等）
题型展示：
例1
如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．
∵
AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴
△AED≌△ACD，
∴
DE＝DC，∠AED＝∠C．
∵
∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，
∴
2∠B＝∠B＋∠EDB．
即
∠B＝∠EDB．
∴
EB＝ED，即ED＝DC，
∴
AB＝AC＋DC．
剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．
【实战模拟】
1.
下列判断正确的是（
）
（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2.
已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
3.
如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。
4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)
5.
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．
【试题答案】
1.
D
2.证明：
∵
AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，
∴
OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°,
∠BOD＝∠COE。
∴
△BOD≌△COE（ASA）．
∴ OB＝OC
3.
分析
由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。
证明：在CAN和MCB，
∵AC=MC，CN=CB，
CAN=MCB=120，
∴ACN≌MCB中，
∴
FCB和CEB中，
∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，
∴CFN≌CEB，∴CF=CE，
又∵ECF=60，
∴CEF是等边三角形.
4.
分析：
关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
在ACD与EBD中
∴
ACD≌EBD（SAS）
∴
AC＝EB（全等三角形对应边相等）
在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴
AB＋AC＞2AD（等量代换）
说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。
5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB
证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，
∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F
∴∠AEC＝∠CFB＝90°
又∠ACB＝90°
∴
∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF
∴
Rt△AEC≌Rt△CFB
∴CE＝BF
在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，
由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，
∴
Rt△BFD≌Rt△CEG
∴
BD＝CG
全等三角形培优竞赛讲义（三）
全等三角形的证明方法
【知识点精读】
1.
几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.
掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.
掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1.
已知：如图1所示，中，。
求证：DE＝DF
分析：由是等腰直角三角形可知，，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现
证明：连结CD
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例2.
已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。
求证：∠E＝∠F
证明：连结AC
在和中，
在和中，
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例3.
如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证：KH∥BC
分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。
证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
BH＝BH
同理，CA＝CM，AK＝KM
是的中位线
即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
例4.
已知：如图4所示，AB＝AC，。
求证：FD⊥ED
证明一：连结AD
在和中，
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
例5.
已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
分析：在AC上截取AF＝AE。易知，。由，知。，得：
证明：在AC上截取AF＝AE
又
即
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
例6.
已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。
求证：EF＝BE＋DF
分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
在正方形ABCD中，
又
即∠GAE＝∠FAE
4、中考题：
如图8所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。
求证：EC＝ED
证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE＝BD
即EF＝AC
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示，。
求证：
证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE
在和中，
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF
则易证
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
【实战模拟】
1.
已知：如图11所示，中，，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有。求证：
2.
已知：如图12所示，在中，，CD是∠C的平分线。
求证：BC＝AC＋AD
3.
已知：如图13所示，过的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ
4.
中，于D，求证：
【试题答案】
1.
证明：取CD的中点F，连结AF
又
2.
分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED
在和中，
又
3.
证明：延长PM交CQ于R
又
是斜边上的中线
4.
取BC中点E，连结AE
全等三角形培优竞赛讲义（四）
等腰三角形
【知识点精读】－、等腰三角形的性质
1.
有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2.
定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
二、等腰三角形的判定
1.
有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.
定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3.
等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
例1.
如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

A
D
1
B
M
C
E

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点
（等腰三角形三线合一定理）
例2.
如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。

A
B
C
D

分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：因为，所以
因为，所以；
因为，所以（等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即
所以
即求得
说明：1.
等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.
注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.
此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3.
已知：如图，中，于D。求证：。

A
1
2
D
B
C

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。
证明：过点A作于E，
所以（等腰三角形的三线合一性质）
因为
又，所以
所以（直角三角形两锐角互余）
所以（同角的余角相等）
即
说明：
1.
作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2.
对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。
4、中考题型：
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（
）
A.
6个
B.
7个
C.
8个
D.
9个

A
36°
E
D
F
B
C

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。
2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。

A
E
F
B
D
C

证明：因为，所以
又因为
所以
又D是BC的中点，所以
所以
所以，所以
说明：证法二：连结AD，通过
证明即可
5、题形展示：
例1.
如图，中，，BD平分。
求证：。

A
D
1
B
2
E
F
C

分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。
证明一：在BC上截取，连结DE、DF
在和中，
又
而
即
分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于，只需证明

A
D
E
1
B
2
F
C

易证，，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。
证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分交BC于F。
由证明一知：
则有
DF平分
，在和中
，而
在和中，
在中，
说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。
【实战模拟】
1.
选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（
）
A.
2cm
B.
8cm
C.
2cm或8cm
D.
以上都不对
2.
如图，是等边三角形，，则的度数是________。

C
A
1
D
B

3.
求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
4.
中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。

A
E
D
O
B
C

【试题答案】
1.
B
2.
分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：因为是等边三角形
所以
因为，所以
所以
在中，因为
所以，所以
所以
3.
分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
已知：如图，在中，，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。
分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。
证明：因为在中，
所以（等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以（中线定义）
在和
中，
所以
所以（全等三角形对应角相等）。
所以（等角对等边）。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明：
（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。
（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。
4.
分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。
证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。

E
A
3
1
2
D
B
F
C

在中，
所以
所以（等腰三角形三线合一性质）。
所以（邻补角定义）。
所以
又因为ED垂直平分AB，所以（直角三角形两锐角互余）。
（线段垂直平分线定义）。
又因为（直角三角形中
角所对的边等于斜边的一半）。
所以
在和中，
所以
所以
即。
说明：
（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；
（2）直角三角形中角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。