八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：用十字相乘法分解因式(含答案)

用十字相乘法
分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1.
在方程、不等式中的应用
例1.
已知：，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：
例2.
如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得：
此时，原式
（2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得：
此时，原式
2.
在几何学中的应用
例.
已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足
，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解：
或
又
解得：或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例.
证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一：
∵是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）
∴是7的倍数
而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。
证明二：∵是7的倍数，设（m是整数）
则
又∵
∵x，m是整数，∴也是整数
所以，是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把分解因式的结果是________________。
解：
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
因式分解：_______________
解：
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1.
若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（
）
A.
1
B.
-1
C.
D.
2
解：
-6可分解成或，因此，存在两种情况：
（1）x+y
-2
（2）x+y
-3
x-y
3
x-y
2

由（1）可得：，由（1）可得：
故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2.
已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。
求证：
证明：
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3.
若有一因式。求a，并将原式因式分解。
解：有一因式
∴当，即时，
说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。
【实战模拟】
1.
分解因式：
（1）
（2）
（3）
2.
在多项式，哪些是多项式的因式？
3.
已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4.
分解因式：
5.
已知：，求的值。
【试题答案】
1.
（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
2.
解：
∴其中是多项式
的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.
解：设
则
解得：
且
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设
比较同类项系数，得：
解得：
5.
解：
说明：用因式分解可简化计算。