6.3 反比例函数
反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成 或 的形式.自变量x的取值范围是 ，函数的取值范围也是一切 实数.www-2-1-cnjy-com
反比例函数的图像与性质
绘制方法： 法.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为 ，且x应 （关于原点对称）．
图象形状：反比例函数的图像是双曲线，它有两个 .|k|越大，图象的弯曲度 ，曲线越 ．|k|越小，图象的弯曲度 ．
对称性：①图象关于 对称．②图象关于直线y= 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的 ．
图象的位置与性质：图象与坐标轴没有 ，称两条坐标轴是双曲线的 ．
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
性质
①x的取值范围是 ，
y的取值范围是 ；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第 象限.在每个象限内，y
随x 的增大而 .
①x的取值范围是 ，
y的取值范围是 ；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第 象限.在每个象限内，y随x 的增大而 .
k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是 ，三角形PAO和三角形PBO的面积都是 ．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ．
图1 图2
反比例函数与一次函数的联系
直线与双曲线与的关系：当k1·k2<0时，两图象 交点；当k1·k>0时，两图象必有 交点，且这两个交点关于原点成 对称．
求函数解析式的方法：
待定系数法；
① ：设所求的反比例函数的关系式为（k≠0）；
② ：将已知条件中对应的x、y值代入中，从而得到关于 的方程；
③ ：解关于 的方程，求出k的值；
④ ：将k的值代入 中，得到函数解析式.
其他几种常见方法：
①利用反比例函数图象上的 来确定；
②利用反比例函数的 确定；
③根据图形的 确定；
④根据反比例函数和一次函数图象的 确定.
反比例函数的应用：
反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用：
①已知一次函数和反比例函数的解析式，求它们图象的 ，通过列方程组来求解；
②判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置情况：先由两者中的某一图象确定出字母系数的 ，再与另一图象相对照解决；
②已知含有一次函数或反比例函数的信息，求一次函数或反比例函数的关系式；
③利用反比例函数的几何意义求与面积有关的问题.
反比例函数与物理问题的综合应用
①当电路中电压一定时，电流与电阻成 关系；
②当做的功一定时，作用力与在力的方向上通过的距离成 关系；
③气体质量一定时，密度与体积成 关系；
④当压力一定时，压强与受力面积成 关系.
考点一：反比例函数的定义
（2016?梅州校级模拟）下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数定义，形如y=（k≠0），直接选取答案．
【解答】解：根据反比例函数的定义，是反比例函数．
故选D．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义是解本题的关键．
变式跟进1（2016?富顺县校级一模）若函数为反比例函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．1 C． D．﹣1
考点二：反比例函数的图象与一次函数的图象
（2017?深圳模拟）若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B．
C． D．
【分析】由于ab＞0，那么a、b同号，当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、二象限，当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，利用这些结论即可求解．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵ab＞0，
∴a、b同号，
当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过直线经过第一、四、三象限，双曲线经过第一、三象限，故A选项错误；
B、图中直线经过原点，故B选项错误；
C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故C选项正确；
D、图中直线经过第二、一、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．
变式跟进2（2017?潮阳区模拟）函数y=（k≠0）与y=kx+k在同一坐标系中的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
考点三：反比例函数图象的对称性
（2016春?南充校级期末）如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积，据此即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积是4×2=8．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象的对称性，理解阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积是关键．
变式跟进3（2016秋?新泰市期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为（ ）
A．16 B．1 C．4 D．﹣16
考点四：反比例函数的性质
（2017?深圳一模）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1﹣m＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
变式跟进4（2017?荔湾区校级一模）甲、乙、丙三位同学分别正确指出了某一个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：每第一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，这个函数表达式可能是（ ）
A．y=2x B．y= C．y=﹣ D．y=2x2
考点五：反比例函数k的意义
（2016?深圳二模）如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（ ）
A．﹕1 B．2﹕ C．2﹕1 D．29﹕14
【分析】首先根据反比例函数y2=的解析式可得到S△ODB=S△OAC=×3=，再由阴影部分面积为6可得到S矩形PDOC=9，从而得到图象C1的函数关系式为y=，再算出△EOF的面积，可以得到△AOC与△EOF的面积比，然后证明△EOF∽△AOC，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF﹕AC的值．
【解答】解：∵B、C反比例函数y2=的图象上，
∴S△ODB=S△OAC=×3=，
∵P在反比例函数y1=的图象上，∴S矩形PDOC=k1=6++=9，
∴图象C1的函数关系式为y=，
∵E点在图象C1上，∴S△EOF=×9=，∴==3，
∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，
∴=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．2·1·c·n·j·y
变式跟进5（2016秋?龙岗区校级期中）如图，A为反比例函数y=的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB=2，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．1
考点六：反比例函数图象上点的坐标特征
（2017?深圳模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=﹣kx+k的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先根据x1＜x2＜0时，y1＞y2，确定反比例函数y=（k≠0）中k的符号，然后再确定一次函数y=﹣kx+k的图象所在象限．21教育网
【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y=﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号．【出处：21教育名师】
变式跟进6（2017?揭阳一模）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣） D．（，3）
考点七：反比例函数与一次函数的关系
（2017?荔湾区校级二模）一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象如图，则使y1＞y2的x范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
【分析】根据图象和A、B的横坐标，即可得出答案．
【解答】解：根据图象可得：当﹣2＜x＜0或x＞3时，y1＞y2．
故选B．
【点评】本题考查了一次和与反比例函数的交点问题的应用，数形结合思想是本题的关键．
变式跟进7（2017?宝安区二模）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．
考点八：待定系数求反比例函数的解析式
（2017?濠江区模拟）已知点A与点B关于原点对称，A的坐标是（2，﹣3），那么经过点B的反比例函数的解析式是（ ）21cnjy.com
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣
【分析】先根据中心对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求得B为（﹣2，3），然后把（﹣2，3）代入函数y=中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．
【解答】解：点A（2，﹣3），
∴点A关于原点对称的点B的坐标（﹣2，3），
∵反比例函数y=经过B点，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式是y=﹣．
故选C．
【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21*cnjy*com
变式跟进8（2016?梅州校级模拟）已知点A（﹣1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=5x
（2016?梅州校级模拟）已知y=y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y=﹣1；求y与x之间的函数关系式．
【分析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y=y1﹣y2，再把当x=3时，y=5，当x=1时，y=﹣1代入关于y的关系式，求出未知数的值，即可求出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：因为y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，故可设y1=，y2=k2（x﹣2），
因为y=y1﹣y2，所以y=﹣k2（x﹣2），
把当x=3时，y=5；x=1时，y=﹣1，代入得，
解得，
再代入y=﹣k2（x﹣2）得，y=+4x﹣8．
【点评】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，只要根据题意设出函数的关系式，把已知数据代入即可．
变式跟进9（2016秋?磴口县校级期中）已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣1成反比例，当x=﹣1时，y=3；当x=2时，y=﹣3．www.21-cn-jy.com
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当x=时，求y的值．
考点九：反比例函数的应用
（2016秋?宝安区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【分析】利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy=10是解题关键．
变式跟进10（2016秋?龙湖区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的关系用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2016?广州模拟）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD=4．
（1）求直线AO的解析式；
（2）求反比例函数解析式；
（3）求点C的坐标．
【分析】（1）首先根据题意确定A点坐标，然后设直线AO的解析式为y=kx，再把A点坐标代入可得k的值，进而可得函数解析式；21·世纪*教育网
（2）根据△BOD的面积S△BOD=4可得D点坐标，再把D点坐标代入y=可得k的值，进而可得函数解析式；2-1-c-n-j-y
（3）点C是正比例函数和反比例函数的交点，联立两个函数解析式，然后再解可得C点坐标．
【解答】解：（1）∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y=kx，
则4k=8，解得k=2，
即直线AO的解析式为y=2x；
（2）∵OB=4，S△BOD=4，∠ABO=90°，
∴D点坐标为（4，2），
点D（4，2）代入y=，
则2=，解得k=8，
∴反比例函数解析式为y=；
（3）直线y=2x与反比例函数y=构成方程组为，
解得，（舍去），
∴C点坐标为（2，4）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例和反比例函数解析式，以及两函数图象交点问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
变式跟进11（2016?广东模拟）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
一．选择题
1．（2016?兰州）反比例函数是y=的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．（2016?安顺）若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数
3．（2016?天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
4．（2017?广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016?广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
6．（2017?临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
7．（2017?威海）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
二．填空题
8．（2017?无锡）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为 ．
9．（2012?滨州）下列函数：①y=2x﹣1；②y=﹣；③y=x2+8x﹣2；④y=；⑤y=；⑥y=中，y是x的反比例函数的有 （填序号）【来源：21·世纪·教育·网】
10．（2015?深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k= ．
11．（2016?宁波）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
12．（2016?深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将?ABCO绕点A逆时针旋转得到?ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值为 ．
三．综合题
13．（2016?广州）已知A=（ab≠0且a≠b）
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上，求A的值．
14．（2015?广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
15．（2017?深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．
16．（2017?广州）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
17．（2015?资阳）如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．21·cn·jy·com
一．选择题
1．（2016?端州区一模）函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1
2．（2016秋?深圳期末）已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2017?龙岗区一模）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
4．（2017春?湛江校级月考）已知k1＜0＜k2，则函数y=﹣k2x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2017?海丰县校级二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
6．（2016?萝岗区一模）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017?深圳一模）如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P是线段OB上的动点，连接CP，设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．S＞1 B．S＞2 C．1＜S＜2 D．1≤S≤2
8．（2016春?唐河县期末）如图，A、B是双曲线y=上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
9．（2016秋?宝安区期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=10，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016?福州校级二模）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
11．（2017?东莞市校级模拟）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）
二.填空题
12．（2016秋?河北区校级月考）已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式是 ．
13．（2016秋?金平区校级期末）已知函数y=（k+1）x|k|﹣3是反比例函数，且正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k的值为 ．
14．（2017?增城区一模）反比例函数y=，若x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（2017?广东模拟）如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S四边形ABDC=9，则k= ．
16．（2016?深圳二模）已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
17．（2017?曲江区模拟）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，点B在x轴的负半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第二象限内的图象经过点A，与BC交于点F，若△AOF的面积为20，则该反比例函数的表达式为 ．
18．（2017?夏津县一模）函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
②当x＞2时，y2＞y1；
③当x=1时，BC=3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是 ．
三．解答题
19．（2016?罗定市一模）如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式．
20．（2017?广东模拟） 如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值．
21．（2016?盐田区二模）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：21*cnjy*com
（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？
（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？
22．（2017秋?惠城区期末）已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围（直接写出结果）
23．（2017?福田区三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k= ；
（2）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2017?广东模拟）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
（1）求一次函数，反比例函数的解析式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
25．（2017?广东模拟）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3），过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC=．品
（1）求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA于点M，求∠BMC的度数．
6.3 反比例函数
反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式.自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.
反比例函数的图像与性质
绘制方法：描点法.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
图象形状：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支.|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．
对称性：①图象关于原点对称．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上．
图象的位置与性质：图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
O x
y
O x
性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限.在每个象限内，y
随x 的增大而减小.
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限.在每个象限内，y
随x 的增大而增大.
k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|，三角形PAO和三角形PBO的面积都是|k|．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．【出处：21教育名师】
图1 图2
反比例函数与一次函数的联系
直线与双曲线系：当k1·k2<0时，两图象没有交点；当k1·k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
求函数解析式的方法：
待定系数法；
①设：设所求的反比例函数的关系式为（k≠0）；
②代：将已知条件中对应的x、y值代入中，从而得到关于k的方程；
③解：解关于k的方程，求出k的值；
④定：将k的值代入中，得到函数解析式.
其他几种常见方法：
①利用反比例函数图象上的点的坐标来确定；
②利用反比例函数的性质确定；
③根据图形的面积确定；
④根据反比例函数和一次函数图象的交点坐标确定.
反比例函数的应用：
反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用：
①已知一次函数和反比例函数的解析式，求它们图象的交点坐标，通过列方程组来求解；
②判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置情况：先由两者中的某一图象确定出字母系数的取值情况，再与另一图象相对照解决；
②已知含有一次函数或反比例函数的信息，求一次函数或反比例函数的关系式；
③利用反比例函数的几何意义求与面积有关的问题.
反比例函数与物理问题的综合应用
①当电路中电压一定时，电流与电阻成反比例关系；
②当做的功一定时，作用力与在力的方向上通过的距离成反比例关系；
③气体质量一定时，密度与体积成反比例关系；
④当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系.
考点一：反比例函数的定义
（2016?梅州校级模拟）下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数定义，形如y=（k≠0），直接选取答案．
【解答】解：根据反比例函数的定义，是反比例函数．
故选D．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义是解本题的关键．
变式跟进1（2016?富顺县校级一模）若函数为反比例函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．1 C． D．﹣1
【分析】根据反比例函数的定义即可求出m的值．
【解答】解：根据题意得：m2﹣2=﹣1，且m﹣1≠0解得：m=﹣1．故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．【来源：21cnj*y.co*m】
考点二：反比例函数的图象与一次函数的图象
（2017?深圳模拟）若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【分析】由于ab＞0，那么a、b同号，当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、二象限，当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，利用这些结论即可求解．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a、b同号，
当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过直线经过第一、四、三象限，双曲线经过第一、三象限，故A选项错误；
B、图中直线经过原点，故B选项错误；
C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故C选项正确；
D、图中直线经过第二、一、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．
变式跟进2（2017?潮阳区模拟）函数y=（k≠0）与y=kx+k在同一坐标系中的大致图象（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
【解答】解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，A答案符合；
若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，所给各选项没有此种图形；
故选A．
【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．
考点三：反比例函数图象的对称性
（2016春?南充校级期末）如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积，据此即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积是4×2=8．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象的对称性，理解阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积是关键．
变式跟进3（2016秋?新泰市期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为（ ）
A．16 B．1 C．4 D．﹣16
【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积=16，则4a×4a=16，解得a=1（a=﹣1舍去），所以P点坐标为（4，1），然后把P点坐标代入y=即可求出k．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积等于16，
∴正方形OABC的面积=16，
∵P点坐标为（4a，a），
∴4a×4a=16，
∴a=1（a=﹣1舍去），
∴P点坐标为（4，1），
把P（4，1）代入y=，得
k=4×1=4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的对称性和反比例函数比例系数k的几何意义．k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象的对称性与正方形的性质．
考点四：反比例函数的性质
（2017?深圳一模）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1﹣m＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
变式跟进4（2017?荔湾区校级一模）甲、乙、丙三位同学分别正确指出了某一个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：每第一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，这个函数表达式可能是（ ）
A．y=2x B．y= C．y=﹣ D．y=2x2
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：y=函数图象经过第一象限；函数图象经过第三象限；每第一个象限内，y值随x值的增大而减小，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质是解题关键．
考点五：反比例函数k的意义
（2016?深圳二模）如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（ ）
A．﹕1 B．2﹕ C．2﹕1 D．29﹕14
【分析】首先根据反比例函数y2=的解析式可得到S△ODB=S△OAC=×3=，再由阴影部分面积为6可得到S矩形PDOC=9，从而得到图象C1的函数关系式为y=，再算出△EOF的面积，可以得到△AOC与△EOF的面积比，然后证明△EOF∽△AOC，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF﹕AC的值．
【解答】解：∵B、C反比例函数y2=的图象上，
∴S△ODB=S△OAC=×3=，
∵P在反比例函数y1=的图象上，
∴S矩形PDOC=k1=6++=9，
∴图象C1的函数关系式为y=，
∵E点在图象C1上，
∴S△EOF=×9=，
∴==3，
∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，
∴AC∥EF，
∴△EOF∽△AOC，
∴=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
变式跟进5（2016秋?龙岗区校级期中）如图，A为反比例函数y=的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB=2，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．1
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB=|k|=2；
又由于函数图象位于一、三象限，则k=4．故选A．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为0.5|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
考点六：反比例函数图象上点的坐标特征
（2017?深圳模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=﹣kx+k的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先根据x1＜x2＜0时，y1＞y2，确定反比例函数y=（k≠0）中k的符号，然后再确定一次函数y=﹣kx+k的图象所在象限．
【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y=﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号．21cnjy.com
变式跟进6（2017?揭阳一模）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣） D．（，3）
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【解答】解：A、k=5×1=5；
B、k=﹣1×5=﹣5；
C、k=﹣3×（﹣）=5；
D、k=×3=5，
故A、C、D在同一函数图象上．
故选B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
考点七：反比例函数与一次函数的关系
（2017?荔湾区校级二模）一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象如图，则使y1＞y2的x范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
【分析】根据图象和A、B的横坐标，即可得出答案．
【解答】解：根据图象可得：当﹣2＜x＜0或x＞3时，y1＞y2．
故选B．
【点评】本题考查了一次和与反比例函数的交点问题的应用，数形结合思想是本题的关键．
变式跟进7（2017?宝安区二模）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，由三角形的相似知识可以求得△ADC的面积，进而求得△ODC的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，
则△AOB∽△ADC，
∴，
∵AB：AC=1：3，且S△AOB=，
∴，
解得，，
连接OC，
∵S△AOC+S△COD=S△ADC，AO：OD=AB：BC=1：2，
∴S△OCD=，
∴k=2×=，
故选A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似的知识解答．
考点八：待定系数求反比例函数的解析式
（2017?濠江区模拟）已知点A与点B关于原点对称，A的坐标是（2，﹣3），那么经过点B的反比例函数的解析式是（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣
【分析】先根据中心对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求得B为（﹣2，3），然后把（﹣2，3）代入函数y=中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．
【解答】解：点A（2，﹣3），
∴点A关于原点对称的点B的坐标（﹣2，3），
∵反比例函数y=经过B点，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式是y=﹣．
故选C．
【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21世纪教育网版权所有
变式跟进8（2016?梅州校级模拟）已知点A（﹣1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=5x
【分析】设出反比例函数解析式，将P（﹣1，5）代入解析式求出k的值即可．
【解答】解：将P（﹣1，5）代入解析式y=得，
k=（﹣1）×5=﹣5，
解析式为：y=﹣．
故选C．
【点评】解答此题要明确待定系数法：现设某些未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．
（2016?梅州校级模拟）已知y=y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y=﹣1；求y与x之间的函数关系式．
【分析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y=y1﹣y2，再把当x=3时，y=5，当x=1时，y=﹣1代入关于y的关系式，求出未知数的值，即可求出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：因为y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，
故可设y1=，y2=k2（x﹣2），
因为y=y1﹣y2，
所以y=﹣k2（x﹣2），
把当x=3时，y=5；x=1时，y=﹣1，代入得，
解得，
再代入y=﹣k2（x﹣2）得，y=+4x﹣8．
【点评】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，只要根据题意设出函数的关系式，把已知数据代入即可．
变式跟进9（2016秋?磴口县校级期中）已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣1成反比例，当x=﹣1时，y=3；当x=2时，y=﹣3．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当x=时，求y的值．
【分析】（1）根据正比例和反比例的定义，设y1=ax2，y2=，则y=ax2﹣，再把两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可得到y与x之间的函数关系；
（2）计算自变量为的函数值即可．
【解答】解：（1）设y1=ax2，y2=，则y=ax2﹣，
把x=﹣1，y=3；x=2，y=﹣3分别代入得，解得，
所以y与x之间的函数关系为y=x2﹣；
（2）当x=时，y=x2﹣=×（）2﹣=1﹣5（+1）=﹣5﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
考点九：反比例函数的应用
（2016秋?宝安区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【分析】利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy=10是解题关键．
变式跟进10（2016秋?龙湖区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的关系用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的面积公式可以得到y与x的函数关系式，注意x＞0，从而可以选出符合要求的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
y==，（x＞0），
故选C．
【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
（2016?广州模拟）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD=4．
（1）求直线AO的解析式；
（2）求反比例函数解析式；
（3）求点C的坐标．
【分析】（1）首先根据题意确定A点坐标，然后设直线AO的解析式为y=kx，再把A点坐标代入可得k的值，进而可得函数解析式；
（2）根据△BOD的面积S△BOD=4可得D点坐标，再把D点坐标代入y=可得k的值，进而可得函数解析式；www.21-cn-jy.com
（3）点C是正比例函数和反比例函数的交点，联立两个函数解析式，然后再解可得C点坐标．
【解答】解：（1）∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y=kx，
则4k=8，解得k=2，
即直线AO的解析式为y=2x；
（2）∵OB=4，S△BOD=4，∠ABO=90°，
∴D点坐标为（4，2），
点D（4，2）代入y=，
则2=，解得k=8，
∴反比例函数解析式为y=；
（3）直线y=2x与反比例函数y=构成方程组为，
解得，（舍去），
∴C点坐标为（2，4）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例和反比例函数解析式，以及两函数图象交点问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
变式跟进11（2016?广东模拟）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）先由点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3）得到AB=5，则点C的坐标为（5，﹣3），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=﹣15，则反比例函数的解析式为；21*cnjy*com
（2）设点P到AD的距离为h，利用△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积得到h=10，再分类讨论：当点P在第二象限时，则P点的纵坐标yP=h+2=12，可求的P点的横坐标，得到点P的坐标为（，12）；②当点P在第四象限时，P点的纵坐标为yP=﹣（h﹣2）=﹣8，再计算出P点的横坐标．于是得到点P的坐标为（，﹣8）．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），
∴AB=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，﹣3），
∴k=5×（﹣3）=﹣15，
∴反比例函数的解析式为；
（2）设点P到AD的距离为h．
∵△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴，
解得h=10，
①当点P在第二象限时，yP=h+2=12，
此时，，
∴点P的坐标为（，12），
②当点P在第四象限时，yP=﹣（h﹣2）=﹣8，
此时，，
∴点P的坐标为（，﹣8）．
综上所述，点P的坐标为（，12）或（，﹣8）．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．
一．选择题
1．（2016?兰州）反比例函数是y=的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数是y=中，k=2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
2．（2016?安顺）若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数
【分析】先根据反比例函数的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．
【解答】解：∵此函数是反比例函数，
∴，解得a=1．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
3．（2016?天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．
4．（2017?广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
5．（2016?广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【解答】解：由题意vt=80×4，
则v=．
故选B．
【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．（2017?临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6，），N（，6），
∴BN=6﹣，BM=6﹣，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′===2，
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2-1-c-n-j-y
7．（2017?威海）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB==3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，
∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=．
故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
二．填空题
8．（2017?无锡）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为 2 ．
【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式就可求出比例系数．
【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
9．（2012?滨州）下列函数：①y=2x﹣1；②y=﹣；③y=x2+8x﹣2；④y=；⑤y=；⑥y=中，y是x的反比例函数的有 ②⑤ （填序号）
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．21·cn·jy·com
【解答】解：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；
②y=﹣是反比例函数；
③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；
④y=不是反比例函数；
⑤y=是反比例函数；
⑥y=中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数；
故答案为：②⑤．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的定义：形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
10．（2015?深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k= 16 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA?BO的值，从而求出△AOB的面积．
【解答】解：∵△BCE的面积为8，
∴，
∴BC?OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴，
∴AB?OB?=BC?OE
∴k=AB?BO=BC?OE=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB?OB?=BC?OE．
11．（2016?宁波）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 6 ．
【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．
【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．（2016?深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将?ABCO绕点A逆时针旋转得到?ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值为 4 ．
【分析】根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，进而求出D点坐标，进而得出k的值．
【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，
则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，
故∠AOF=60°=∠DOM，
∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4，
∴MO=2，MD=2，
∴D（﹣2，﹣2），
∴k=﹣2×（﹣2）=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．
三．综合题
13．（2016?广州）已知A=（ab≠0且a≠b）
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上，求A的值．
【分析】（1）利用完全平方公式的展开式将（a+b）2展开，合并同类型、消元即可将A进行化解；
（2）由点P在反比例函数图象上，即可得出ab的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．
【解答】解：（1）A=，
=，
=，
=．
（2）∵点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴ab=﹣5，
∴A==﹣．
【点评】本题考查了分式的化解求值以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）将原分式进行化解；（2）找出ab值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式进行化解，再代入ab求值即可．
14．（2015?广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．
【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；
（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3．
设A（x，），则
x?=3，
解得m=13．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．
15．（2017?深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．
【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，
∴，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD==，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC==，
∴AD=BC．
【点评】此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．
16．（2017?广州）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
【分析】（1）根据平移的原则得出m的值，并计算点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入可以求k的值；
（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．
【解答】解：（1）由平移得：y=3x+1﹣1=3x，
∴m=0，
当y=3时，3x=3，
x=1，
∴A（1，3），
∴k=1×3=3；
（2）画出直线y=3x和反比例函数y=的图象：如图所示，
由图象得：不等式3x+m＞的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则．
17．（2015?资阳）如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y=2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）设Q（a，b），代入反比例解析式得到b=，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出a的值，进而确定出b的值，即可得出Q坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，
∴y=x+1，
由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），
把P代入y=得：k=4，
则双曲线解析式为y=；
（2）设Q（a，b），
∵Q（a，b）在y=上，
∴b=，
当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，
∴a﹣2=2b，即a﹣2=，
解得：a=4或a=﹣2（舍去），
∴Q（4，1）；
当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，
整理得：2a﹣4=，
解得：a=1+或a=1﹣（舍），
∴Q（1+，2﹣2）．
综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
一．选择题
1．（2016?端州区一模）函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A．m=±1 B．m=1 C．m=± D．m=﹣1
【分析】由反比例函数的定义可知：m﹣1≠0，m2﹣2=﹣1，从而可求得m的值．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴m﹣1≠0，m2﹣2=﹣1．
解得m=﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（2016秋?深圳期末）已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
解得k＞1．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而增大．
3．（2017?龙岗区一模）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵﹣=﹣3，∴点（1，﹣3）在它的图象上，故本选项正确；
B、k=﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
C、k=﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4．（2017春?湛江校级月考）已知k1＜0＜k2，则函数y=﹣k2x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质判别即可得．
【解答】解：∵k2＞0，
∴﹣k2＜0，
则直线y=﹣k2x﹣1过第二、三、四象限，
∵k1＜0，
∴双曲线y=过第二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2017?海丰县校级二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
【分析】根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中哪个是一定成立的，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y=，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，x1＞0＞x2，
∴y1＞0＞y2，
故选B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（2016?萝岗区一模）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（3，1）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，
∵过（3，1），
∴k=3×1=3，
∴I=，
故选：B．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
7．（2017?深圳一模）如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P是线段OB上的动点，连接CP，设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．S＞1 B．S＞2 C．1＜S＜2 D．1≤S≤2
【分析】根据反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
【解答】解：根据题意可得：k=2，
故可知S△ACO=1，
∵S△OPC＜S△ACO=1，
故△ACP的面积1≤S≤2．
故选D．
【点评】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
8．（2016春?唐河县期末）如图，A、B是双曲线y=上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|可知，S△AOC=S△BOD=|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD=S△AOC=|k|，S△BOC=S△BOD=|k|，进而求出四边形ADBC的面积．
【解答】解：∵A，B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC=S△BOD=，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC=OD=x，
∴S△AOD=S△AOC=，S△BOC=S△BOD=，
∴四边形ABCD面积=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=×4=2．
故选C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|．
9．（2016秋?宝安区期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=10，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=10，求出k，即可得出y与x的函数图象．
【解答】解：设y=（k≠0），
∵当x=2时，y=10，
∴k=20，
∴y=，
则y与x的函数图象大致是D，
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象．
10．（2016?福州校级二模）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
【分析】由于点A在y=上，可知S△AOC=k，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞k，而点B在y=上，可知S△BOD=k，进而可比较三个三角形面积的大小
【解答】解：如右图，
∵点A在y=上，
∴S△AOC=k，
∵点P在双曲线的上方，
∴S△POE＞k，
∵点B在y=上，
∴S△BOD=k，
∴S1=S2＜S3．
故选；D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．2·1·c·n·j·y
11．（2017?东莞市校级模拟）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）
【分析】首先利用待定系数法即可解决．过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE=6，列出方程即可解决．
【解答】解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=上，
∴=﹣2，
∴k=8，
∴双曲线的函数解析式为y=．
过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF=，
当a＜4时，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，
=×a×+（2+）（4﹣a）﹣×4×2
=，
∵△AOC的面积为6，
∴=6，
整理得a2+6a﹣16=0，
解得a=2或﹣8（舍弃），
∴点C的坐标为（2，4）．
故选：D
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
二.填空题
12．（2016秋?河北区校级月考）已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式是 h=?(r＞0) ．
【分析】圆柱的侧面积是一个长方形，根据面积=底面周长×高=2πrh可列出关系式．
【解答】解：由题意得：h与r的函数关系式是：h==，半径应大于0．
故本题答案为：h=（r＞0）．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
13．（2016秋?金平区校级期末）已知函数y=（k+1）x|k|﹣3是反比例函数，且正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k的值为 2 ．
【分析】此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值．
【解答】解：∵y=（k+1）x|k|﹣3是反比例函数，且正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，
∴
解之得k=2．
【点评】本题考查了反比例函数的定义及正比例函数的性质，涉及的知识面较广，需重点掌握．
14．（2017?增城区一模）反比例函数y=，若x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m＜﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大可得m+2＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得：m＜﹣2，
故答案为：m＜﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
15．（2017?广东模拟）如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S四边形ABDC=9，则k= 10 ．21·世纪*教育网
【分析】如图，分别延长CA、DB交于点E，由于AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，设AC=t，则BD=t，OC=5t，即点A的坐标为（t，5t），而A、B是反比例函数y=上两点，
则OD?t=t?5t，所以点B的坐标为（5t，t），根据S四边形ABDC=S△ECD﹣S△EAB，即5t?5t﹣4t?4t=9，解得t2=2，所以k=t?5t=10．
【解答】解：如图，分别延长CA、DB交于点E，
∵AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，
∴点A的横坐标与点B的纵坐标相等，
设AC=t，则BD=t，OC=5t，即点A的坐标为（t，5t），
∴A、B是反比例函数y=上两点，
∴OD?t=t?5t，
∴点B的坐标为（5t，t），
∴AE=5t﹣t=4t，BE=5t﹣t=4t，
∴S四边形ABDC=S△ECD﹣S△EAB，
∴5t?5t﹣4t?4t=9，
∴t2=2，
∴k=t?5t=10．
故答案为10．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
16．（2016?深圳二模）已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．
【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．
故答案为：
【点评】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．（2017?曲江区模拟）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，点B在x轴的负半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第二象限内的图象经过点A，与BC交于点F，若△AOF的面积为20，则该反比例函数的表达式为 y= ．21教育网
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．21*cnjy*com
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，连接OF，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA?sin∠AOB=a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF=S菱形OBCA=OB?AM=?a?a=20，
解得a2=50，
∴k=a×a=×50=24，
则该反比例函数的表达式为y=．
故答案是：y=．
【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA．
18．（2017?夏津县一模）函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
②当x＞2时，y2＞y1；
③当x=1时，BC=3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】①将两函数解析式组成方程组，即可求出A点坐标；
②根据函数图象及A点坐标，即可判断x＞2时，y2与y1的大小；
③将x=1代入两函数解析式，求出y的值，y2﹣y1即为BC的长；
④根据一次函数与反比例函数的图象和性质即可判断出函数的增减性．
【解答】解：①将组成方程组得，
，
由于x＞0，解得，故A点坐标为（2，2）．
②由图可知，x＞2时，y1＞y2；
③当x=1时，y1=1；y2=4，则BC=4﹣1=3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
可见，正确的结论为①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道函数图象交点坐标与函数解析式组成的方程组的解之间的关系是解题的关键．
三．解答题
19．（2016?罗定市一模）如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式．
【分析】根据反比例函数的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数为负数，据此即可写出函数解析式．
【解答】解：∵反比例函数y=m是图象经过二、四象限，
∴m2﹣5=﹣1，m＜0，解得m=﹣2，
∴解析式为y=．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用定义列出方程．
20．（2017?广东模拟） 如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；
（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式y=；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
∵cot∠ACB==，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）当y=1时，由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（1，8），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB==3，
∴sin∠ABC==．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21．（2016?盐田区二模）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？
（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？
【分析】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴y2=当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2==，
∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
（2）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8﹣8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
22．（2017秋?惠城区期末）已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围（直接写出结果）
【分析】（1）根据反比例函数的性质可得：双曲线的两支分别位于第一、第三象限时，m﹣5＜0，再解即可；
（2）设M，根据点N与点M关于x轴对称，可得N．然后表示出MN的长，再根据三角形的面积公式可得，再解即可；
（3）首先计算出当MN=2时AO的值，再计算出当MN=4时AO的值，然后可得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴该函数图象的另一支位于第四象限．
∴m﹣5＜0，解得m＜5．
∴m的取值范围为m＜5．
（2）设M，
∵点N与点M关于x轴对称，
∴N．
∴MN=﹣（﹣）=，
OA=|a|=﹣a，
∴×（﹣a）×=6，
解得：m=﹣1；
（3）当MN=2时，×MN×AO=6，则AO=6，
当MN=4时，×MN×AO=6，则AO=3，
∴当2＜MN＜4时，则3＜OA＜6．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．正确表示出M、N的坐标，MN的长．
23．（2017?福田区三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k= 6 ；
（2）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值．
（2）根据矩形的长和宽及反比例函数y=（k＞0）表示D和E的坐标，计算tan∠BDE=tan∠CB′B的值相等，所以计算B′C的长，得出D的坐标．
【解答】解：（1）连接OE，如图1，
∵Rt△AOE的面积为3，
∴k=2×3=6．
故答案为：6；
（2）连接DB′，
设D（，5），E（3，），
∴BD=3﹣，BE=5﹣，
∴tan∠BDE===，
∵B与B′关于DE对称，
∴DE是BB′的中垂线，
∴BB′⊥DE，BG=B′G，DB′=BD，
∴∠DGB=90°，
∴∠BDE+∠DBB′=90°，
∠CB′B+∠DBB′=90°，
∴∠BDE=∠CB′B，
∴tan∠BDE=tan∠CB′B===，
∴CB′=，
设CD=x，则BD=B′D=3﹣x，
则，
∴x=，
∴D（，5）．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、图象上点的特征、矩形的性质、特殊的三角函数、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，第三问中熟练掌握轴对称的性质和反比例函数点的坐标特征是关键．
24．（2017?广东模拟）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
（1）求一次函数，反比例函数的解析式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）由条件可求得P点坐标，利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）由平行线分线段成比例可求得AC=PC，可证得结论；
（3）可先求得C点坐标，过C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，可求得此时D点坐标，可证得四边形BCPD为菱形．
【解答】解：
（1）∵点A与点B关于y轴对称，
∴AO=BO，
∵A（﹣4，0），
∴B（4，0），
∵PB⊥x轴于点B，
∴P（4，2），
把P（4，2）代入反比例函数解析式可得m=8，
∴反比例函数解析式为y=，
把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得，解得，
∴一次函数解析式为y=x+1；
（2）证：∵点A与点B关于y轴对称，
∴OA=OB，
∵PB⊥x轴于点B，
∴∠PBA=∠COA=90°，
∴PB∥CO，
∴==1，即AC=PC，
∴点C为线段AP的中点；
（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形．
理由如下：
∵点C为线段AP的中点，
∴BC=AP=PC，
∴BC和PC是菱形的两条边，
由y=x+1可得C（0，1），
如图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD、BD，
∴D（8，1），且PB⊥CD，
∴PE=BE=1，CE=DE=4，
∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，
∴存在满足条件的点D，其坐标为（8，1）．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、菱形的判定和性质等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，在（2）中注意利用平行线分线段成比例是解题的关键，在（3）中确定出D点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．21教育名师原创作品
25．（2017?广东模拟）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3），过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC=．
（1）求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA于点M，求∠BMC的度数．
【分析】（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD；
（3）连接AD，可证得四边形AEBD为平行四边形，可得出△ACD为等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】解：
（1）∵A（5，0），
∴OA=5．
∵tan∠OAC=，
∴=，解得OC=2，
∴C（0，﹣2），
∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x轴，
∴D（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴y=﹣，
设直线AC关系式为y=kx+b，
∵过A（5，0），C（0，﹣2），
∴，解得，
∴y=x﹣2；
（2）∵B（0，3），C（0，﹣2），
∴BC=5=OA，
在△OAC和△BCD中
∴△OAC≌△BCD（SAS），
∴AC=CD，
∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，
∴AC⊥CD；
（3）∠BMC=45°．
如图，连接AD，
∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，
∴BD∥x轴，
∴四边形AEBD为平行四边形，
∴AD∥BM，
∴∠BMC=∠DAC，
∵△OAC≌△BCD，
∴AC=CD，
∵AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BMC=∠DAC=45°．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得C、D的坐标是解题的关键，在（2）中证得△OAC≌△BCD是解题的关键，在（3）中证明四边形AEBD为平行四边形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
