6.4 二次函数
二次函数的概念
一般地，如果y= （a，b，c是常数，a≠0），那么叫做的二次函数.
y= （a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.a叫做 ，b叫 ，c叫做 .【出处：21教育名师】
二次函数的解析式
1.一般式：y= （a，b，c是常数，a≠0）
2.顶点式：y= （a，h，k是常数，a≠0）
3.交点式： 当抛物线y=ax2+bx+c）与轴有交点时，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y= .如果没有交点，则不能这样表示.
二次函数的图像
1.二次函数的图像：是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线.
2..抛物线的三要素： 、对称轴、 .
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向 ；当时，开口向 ； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线 .
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：y=ax2+bx+c=a，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为： .
4.二次函数图象与系数的关系：
中，的含义：
表示开口方向：时，抛物线开口向 ；时，抛物线开口向 .
与对称轴有关：对称轴为
表示抛物线与y轴的交点坐标：
5.二次函数的对称点和顶点坐标：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向
当时
开口向
（ 轴）
（ ）
（ 轴）
( )
( )
( )
( )
6.二次函数图像的画法：五点法：
①根据函数解析式求出 ，在平面直角坐标系中描出 ，并用虚线画出对称轴；
②求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与 轴的交点，再找到交点的对称点.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像.
③当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的 及对称点.由三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像.
二次函数的性质
二次函数的图像与性质：
二次函数
a>0
a<0
图象
开口
抛物线开口向 ，并向上无限延伸；
抛物线开口向 ，并向下无限延伸；
对称轴
顶点坐标
（ ， ）
（ ， ）
增减性
在对称轴的左侧，即当 时，随的增大而 ；
在对称轴的右侧，即当 时，随的增大而 ；
在对称轴的左侧，即当x 时，随的增大而 ；
在对称轴的右侧，即当 时，随的增大而 ；
最值
当x= 时，y=
当x= 时，y=
用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式： .已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
②顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： .
直线与抛物线的交点
1.轴与抛物线的得交点为( , )
2.抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21·cn·jy·com
①有两个交点 抛物线与轴 ；
②有一个交点(顶点在轴上) 抛物线与轴 ；
③没有交点 抛物线与轴 .
3.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故x1+x2= ;x1x2= ; AB= .
4.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则AB= .【来源：21·世纪·教育·网】
二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与轴的交点坐标.因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与轴是否有交点.
①当时，图像与轴有 交点；
②当时，图像与轴有 交点；
③当时，图像与轴 交点.
二次函数的实际应用
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型；生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值.
那么解决这类问题的一般步骤是：
第一步：设 ；
第二步：建立函数 ；
第三步：确定 取值范围；
第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出 （在自变量的取值范围内）.
考点一：二次函数的概念
（2016秋?蓬江区校级月考）函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线，则（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D． a≥0
【分析】由函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线可以确定二次项系数不等于0，从而确定a的取值范围．
【解答】解：∵若函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线，∴a≠0．故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
变式跟进1（2016秋?夏津县校级期中）若函数y是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）2·1·c·n·j·y
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
考点二：二次函数的三种表示形式
（2016秋?白云区期中）将二次函数y=3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
A．y=3（x﹣3）2﹣26 B．y=3（x﹣3）2﹣8
C．y=3（x﹣1）2﹣2 D．y=3（x﹣1）2
【分析】直接利用配方法将一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=3x2﹣6x+1
=3（x2﹣2x）+1
=3（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键．
变式跟进2（2016?虹口区一模）把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
考点三：二次函数的图象
（2017?越秀区校级一模）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
变式跟进3（2017?东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：二次函数的图象与系数的关系
（2017?深圳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴为直线x=1，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③abc＞0；④3a+c＞0，则正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
②根据对称轴的x=1来判断对错；
③根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；
④由于x=3时对应的函数图象在x轴上方，得到9a+3b+c＞0，然后把b=﹣2a代入即可得到3a+c＞0．
【解答】解：①如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
②如图所示，对称轴x=﹣=1，则b=﹣2a，则2a+b=0，故②正确；
③抛物线开口方向向下，则a＜0，b=﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故③错误；
④当x=3时对应的函数图象在x轴下方，即y＜0，
∴9a+3b+c＜0，而b=﹣2a，∴3a+c＜0，故④错误；
综上所述，正确的结论个数为2个．故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
变式跟进4（2016?深圳校级二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为x=，且经过（2，0）这个点，有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①③④ D．①②
考点五：二次函数图象与x轴的交点
（2017?济宁模拟）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴无交点，当图象在x轴上方时，，当图象在x轴下方时，，由此能够求出k的取值范围．
【解答】解：∵y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴无交点，
∴当图象在x轴上方时，，
∴，解为空集．
当图象在x轴下方时，，
∴，
∴k＜﹣．
∴k的取值范围是k＜﹣，
故选C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．www.21-cn-jy.com
变式跟进5（2017?坪山区二模）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（ ）21*cnjy*com
A．5 B．4 C．3 D．2
考点六：二次函数的性质
（2016?深圳模拟）关于二次函数y=﹣（x﹣3）2﹣2的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向下
B．当x=3时，函数有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．抛物线可由y=x2经过平移得到
【分析】分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．
【解答】解：A、∵a=﹣＜0，∴抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意；
B、∵y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为：（3，﹣2），故当x=3时，函数有最大值﹣2，故此选项正确，不合题意；21教育网
C、当x＞3时，y随x的增大而减小，此选项正确，不合题意；
D、抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2可由y=﹣x2经过平移得到，不是由y=x2经过平移得到，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
变式跟进6（2016秋?上城区期中）已知二次函数y=﹣x2﹣3x﹣，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
变式跟进7（2016秋?宝安区期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
考点七：二次函数的最值
（2017春?湛江校级月考）二次函数y=2（x+2）2﹣4的最小值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：二次函数y=2（x+2）2﹣4中当x=﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
变式跟进8（2016?曹县校级模拟）如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（ ）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
考点八：待定系数法求二次函数解析式
（2017?龙岗区三模）已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出它的图象；
（3）写出它的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据二次函数图象的画法，列表、描点、连线，画出图象即可；
（3）把二次函数解析式化为顶点式解析式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：，
所以，二次函数的解析式为：y=2x2﹣4x；
（2）y=2x2﹣4x=2（x2﹣2x+1﹣1）=2（x﹣1）2﹣2，
由对称性列表如下：
x
…
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
…
y
…
2.5
0
﹣1.5
﹣2
﹣1.5
0
2.5
…
；
（3）由y=2（x﹣1）2﹣2可知对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的画法，二次函数的对称性，是二次函数部分的基础知识，需要熟练掌握．
变式跟进9（2016秋?广东校级期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
考点九：二次函数与不等式
（2016秋?江门期末）如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．
变式跟进10（2016?深圳二模）如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
考点十：二次函数的应用
（2016秋?宝安区校级期末）如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为（ ）平方米．
A．800 B．750 C．600 D．2400
【分析】设矩形的面积为S，由矩形的面积公式可以得出S与x的关系，由关系式的性质就可以得出结论．
【解答】解：设矩形的面积为S，所围矩形ABCD的长BC为x（0＜x≤30）米，由题意，得
S=x?（80﹣x），
S=﹣（x﹣40）2+800，易知在x＜40的区间内，S单调递增；
∴当x=30时，S最大=750，且符合题意．
∴当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积最大，最大面积为750 m2．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键，特别要注意定义域的取值范围．21教育名师原创作品
变式跟进11（2016?石家庄模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
（2017?深圳模拟）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．
【分析】（1）把经过的点的坐标代入抛物线表达式，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；
（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x；
（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、BC，
∵OC=BC，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；
（3）∵tan∠AOB=，
∴sin∠AOB=，
∴AE=OA?sin∠AOB=4×=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA?tan∠OAD=OA?tan∠AOB=4×=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，
由勾股定理得：DF===1.8，
∴t=1.8秒．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，圆的切线的定义，解直角三角形，勾股定理的应用，平行线间的距离相等的性质，难度较大，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
变式跟进12（2017?罗湖区二模）如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求D的坐标及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
一．选择题
1．（2016?衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
2．（2016?广州）对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点
3.（2015?乐山）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2015?深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2017?辽阳）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1+ B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣或1+
6．（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
7．（2016?台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（ ）【版权所有：21教育】
A．1 B． C． D．
二．填空题
8．（2017?广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
9．（2017?青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
10．（2017?衡阳）已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＜”、“＞”或“=”）
11．（2017?仙桃）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
12．（2016?梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
∴P点纵坐标为2，
13．（2017?阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．
14．（2015?衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．
三．解答题
15．（2015?珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
16．（2017?广州）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．21cnjy.com
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
17．（2016?广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
18．（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
19．（2017?济宁）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．2-1-c-n-j-y
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
20．（2017?深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
21．（2016?梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b= ，c= ，点B的坐标为 ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
22．（2016?深圳）如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
一．选择题
1．（2016秋?乐昌市期末）已知y=xm﹣5是y关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
2．（2017秋?汶上县期末）对于一般的二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=（x﹣1）2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，﹣1 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣3
3．（2017春?龙岗区校级月考）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．（4） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4）
4．（2017秋?宝安区月考）把二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣5 B．y=（x﹣2）2+5
C．y=（x+2）2﹣5 D．y=（x+2）2﹣5
5．（2016?大庆模拟）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．（2016秋?耒阳市校级期末）关于二次函数y=x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，函数有最大值 B．x=2时，函数有最小值
C．当x=﹣1时，函数有最大值 D．当x=﹣2时，函数有最小值
7．（2016秋?潮南区期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
8．（2017秋?揭东县校级月考）用长6m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（ ）
A．m2 B．1m2 C．m2 D．3m2
9．（2016秋?龙湖区期末）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．（2016?深圳二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①③④ D．①②
二．填空题
11．（2016?宝山区一模）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
12．（2016秋?金平区期末）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为 ．
13．（2016秋?宝安区期末）将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线，则这条新的抛物线的解析式为 ．
14．（2016?盐田区二模）当x=a或x=b（a≠b）时，整式x2+x的值相等，那么当x=a+b时，分式的值是 ．
15．（2015?深圳一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限．
三．解答题
16．（2017?广东模拟）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．
17．（2017?南雄市模拟）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
（3）该函数的图象经过怎样的平移得到y=x2的图象？
18．（2017?龙岗区一模）大梅沙国际风筝节于2016年10月29﹣30日在大梅沙海滨公园举行，老李决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，但每天需支付各种费用共200元，请回答以下问题：21世纪教育网版权所有
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）当售价定为多少时，老李每天获得利润最大，每天的最大利润是多少？
19．（2017?深圳模拟）如图，抛物线经过点A（﹣1，0）和B（0，2），对称轴为x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴交于另一个交点为C，点D在线段AC上，已知AD=AB，若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线BD垂直平分？若存在，求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）在（2）的前提下，过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形与△PBC相似？如果存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
20．（2017?南山区二模）如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．
21．（2017?福田区一模）已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．
（3）如图②，直线y=x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
6.4 二次函数
二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么叫做的二次函数.
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.a叫做二次系数，b叫一次系数，c叫做常数项.
二次函数的解析式
1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
2.顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
3.交点式： 当抛物线y=ax2+bx+c）与轴有交点时，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y= a(x-x1)（x-x2）.如果没有交点，则不能这样表示.
二次函数的图像
1.二次函数的图像：是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线.
2..抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：y=ax2+bx+c=a，∴顶点是），对称轴是直线.
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为：
4.二次函数图象与系数的关系：
中，的含义：
表示开口方向：时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为
表示抛物线与y轴的交点坐标：
5.二次函数的对称点和顶点坐标：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
（y轴）
（0,0）
（y轴）
(0, k)
(h,0)
(h,k)
()
6.二次函数图像的画法：五点法：
①根据函数解析式求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴；
②求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到交点的对称点.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像.
③当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点.由三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像.
二次函数的性质
二次函数的图像与性质：
二次函数
a>0
a<0
图象
y
0 x
y
0 x
开口
抛物线开口向上，并向上无限延伸；
抛物线开口向下，并向下无限延伸；
对称轴
顶点坐标
（，）
（，）
增减性
在对称轴的左侧，即当时，随的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当时，随的增大而增大；
在对称轴的左侧，即当x<时，随的增大而增大；
在对称轴的右侧，即当时，随的增大而减小；
最值
当时，
当时，
用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
②顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
直线与抛物线的交点
1.轴与抛物线的得交点为()
2.抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
3.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
4.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则
二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与轴的交点坐标.因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与轴是否有交点.
①当时，图像与轴有两个交点；
②当时，图像与轴有一个交点；
③当时，图像与轴没有交点.
二次函数的实际应用
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型；生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值.
那么解决这类问题的一般步骤是：
第一步：设自变量；
第二步：建立函数解析式；
第三步：确定自变量取值范围；
第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）.
考点一：二次函数的概念
（2016秋?蓬江区校级月考）函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线，则（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D． a≥0
【分析】由函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线可以确定二次项系数不等于0，从而确定a的取值范围．
【解答】解：∵若函数y=ax2﹣3x+2的图象是抛物线，∴a≠0．故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
变式跟进1（2016秋?夏津县校级期中）若函数y是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
【分析】根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．
【解答】解：∵函数y是二次函数且图象开口向上，
∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，
解得 a=4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
考点二：二次函数的三种表示形式
（2016秋?白云区期中）将二次函数y=3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
A．y=3（x﹣3）2﹣26 B．y=3（x﹣3）2﹣8
C．y=3（x﹣1）2﹣2 D．y=3（x﹣1）2
【分析】直接利用配方法将一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=3x2﹣6x+1
=3（x2﹣2x）+1
=3（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键．
变式跟进2（2016?虹口区一模）把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（ ）21教育名师原创作品
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣4x+1
=x2﹣4x+4﹣3
=（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
考点三：二次函数的图象
（2017?越秀区校级一模）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
变式跟进3（2017?东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；
D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
考点四：二次函数的图象与系数的关系
（2017?深圳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴为直线x=1，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③abc＞0；④3a+c＞0，则正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
②根据对称轴的x=1来判断对错；
③根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；
④由于x=3时对应的函数图象在x轴上方，得到9a+3b+c＞0，然后把b=﹣2a代入即可得到3a+c＞0．
【解答】解：①如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
②如图所示，对称轴x=﹣=1，则b=﹣2a，则2a+b=0，故②正确；
③抛物线开口方向向下，则a＜0，b=﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故③错误；
④当x=3时对应的函数图象在x轴下方，即y＜0，
∴9a+3b+c＜0，而b=﹣2a，∴3a+c＜0，故④错误；
综上所述，正确的结论个数为2个．故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
变式跟进4（2016?深圳校级二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为x=，且经过（2，0）这个点，有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向以及与y轴的交点判断①；根据对称轴判断②；根据x=﹣1时，y=0判断③；根据抛物线的对称性判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣=，a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，正确；
②∵﹣=，
∴﹣b=a，即a+b=0，正确；
③当x=﹣1时，y=0，
∴a﹣b+c＞0，正确；
④根据抛物线的对称轴是x=可知，点（0，y1）和点（1，y2）关于x=对称，
∴y1=y2，正确，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；b2﹣4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数．
考点五：二次函数图象与x轴的交点
（2017?济宁模拟）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴无交点，当图象在x轴上方时，，当图象在x轴下方时，，由此能够求出k的取值范围．
【解答】解：∵y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴无交点，
∴当图象在x轴上方时，，
∴，解为空集．
当图象在x轴下方时，，
∴，
∴k＜﹣．
∴k的取值范围是k＜﹣，
故选C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．
变式跟进5（2017?坪山区二模）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
【解答】解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC===，
点B坐标为（，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则=，解得k=3，
若AC=AB，则+1=，解得k==，
若AB=BC，则+1=，解得k=；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k=﹣=﹣，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．
考点六：二次函数的性质
（2016?深圳模拟）关于二次函数y=﹣（x﹣3）2﹣2的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向下
B．当x=3时，函数有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．抛物线可由y=x2经过平移得到
【分析】分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．
【解答】解：A、∵a=﹣＜0，∴抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意；
B、∵y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为：（3，﹣2），故当x=3时，函数有最大值﹣2，故此选项正确，不合题意；
C、当x＞3时，y随x的增大而减小，此选项正确，不合题意；
D、抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2可由y=﹣x2经过平移得到，不是由y=x2经过平移得到，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
变式跟进6（2016秋?上城区期中）已知二次函数y=﹣x2﹣3x﹣，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
【分析】首先一个求出二次函数y=﹣x2﹣3x﹣的对称轴是x==﹣3，函数开口向下，然后根据在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小即可判定y1，y2，y3的大小．
【解答】解：∵二次函数y=﹣x2﹣3x﹣，
∴对称轴是x==﹣3，函数开口向下，
而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵﹣3＜x1＜x2＜x3，
∴y1，y2，y3的大小关系是y1＞y2＞y3．
故选A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．
变式跟进7（2016秋?宝安区期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
【分析】由抛物线开口向上得函数有最小值；
观察函数图象得到当﹣1＜x＜3时，图象在x轴下方，则y＜0；
根据二次函数的性质可得当x＜1时，y随x的增大而减小；
根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=1．
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，故本选项正确；
B、当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，故本选项正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的图象：y=ax2+bx+c的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．
考点七：二次函数的最值
（2017春?湛江校级月考）二次函数y=2（x+2）2﹣4的最小值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：二次函数y=2（x+2）2﹣4中当x=﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
变式跟进8（2016?曹县校级模拟）如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（ ）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【分析】把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．
【解答】解：p=a2+4a+2014=a2+4a+4+2010=（a+2）2+2010，
当（a+2）2=0，p有最小值，
最小值最小为2010．
故选A．
【点评】此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．
考点八：待定系数法求二次函数解析式
（2017?龙岗区三模）已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出它的图象；
（3）写出它的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据二次函数图象的画法，列表、描点、连线，画出图象即可；
（3）把二次函数解析式化为顶点式解析式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：，
所以，二次函数的解析式为：y=2x2﹣4x；
（2）y=2x2﹣4x=2（x2﹣2x+1﹣1）=2（x﹣1）2﹣2，
由对称性列表如下：
x
…
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
…
y
…
2.5
0
﹣1.5
﹣2
﹣1.5
0
2.5
…
；
（3）由y=2（x﹣1）2﹣2可知对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的画法，二次函数的对称性，是二次函数部分的基础知识，需要熟练掌握．21世纪教育网版权所有
变式跟进9（2016秋?广东校级期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
【分析】（1）把原点坐标和A点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，然后解方程即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特征可设B点坐标为（x，x2﹣2x），根据三角形面积公式得到?2?|x2﹣2x|=3，去绝对值得x2﹣2x=3或x2﹣2x=﹣3，然后分别解一元二次方程求出x的值，再出出B点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x；
（2）设B点坐标为（x，x2﹣2x），
根据题意得?2?|x2﹣2x|=3，
当x2﹣2x=3时，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，此时B点坐标为（3，3）或（﹣1，3）
当x2﹣2x=﹣3时，即x2﹣2x+3=0，此方程没有实数解，
综上所述，B点坐标为（3，3）或（﹣1，3）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
考点九：二次函数与不等式
（2016秋?江门期末）如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．
变式跟进10（2016?深圳二模）如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．
考点十：二次函数的应用
（2016秋?宝安区校级期末）如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为（ ）平方米．
A．800 B．750 C．600 D．2400
【分析】设矩形的面积为S，由矩形的面积公式可以得出S与x的关系，由关系式的性质就可以得出结论．
【解答】解：设矩形的面积为S，所围矩形ABCD的长BC为x（0＜x≤30）米，由题意，得
S=x?（80﹣x），
S=﹣（x﹣40）2+800，易知在x＜40的区间内，S单调递增；
∴当x=30时，S最大=750，且符合题意．
∴当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积最大，最大面积为750 m2．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键，特别要注意定义域的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
变式跟进11（2016?石家庄模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
【分析】此题实际上是求二次函数y=﹣2（x﹣20）2+1558在定义域x∈【15，2】内的最大值的问题，因为该二次函数的开口方向向下，所以当x﹣20=0时，y取最大值．
【解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题要注意x的取值范围，在15≤x≤22范围内求解．
（2017?深圳模拟）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．
【分析】（1）把经过的点的坐标代入抛物线表达式，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；
（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x；
（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、BC，
∵OC=BC，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；
（3）∵tan∠AOB=，
∴sin∠AOB=，
∴AE=OA?sin∠AOB=4×=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA?tan∠OAD=OA?tan∠AOB=4×=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，
由勾股定理得：DF===1.8，
∴t=1.8秒．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，圆的切线的定义，解直角三角形，勾股定理的应用，平行线间的距离相等的性质，难度较大，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
变式跟进12（2017?罗湖区二模）如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求D的坐标及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．
（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：
①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；
②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，
由勾股定理易得EO=6，
∴AE=10﹣6=4，
设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，
解得，x=3，
∴AD=3，
∴D（3，10），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x；
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，
而CQ=t，EP=2t，
∴PC=10﹣2t，
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴=，即=，
解得：t=，
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴=，即=，
解得：t=，
∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点，21*cnjy*com
则：M（4，），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，
则N（4，﹣）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥MN，EC=MN，
设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；
将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=﹣38，
此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=﹣26，
此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）
②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）
③M3（4，），N3（4，﹣）．
【点评】考查了二次函数综合题，题目涉及了待定系数法求函数解析式、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识，涉及考点众多，综合性较强，特别是后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【来源：21·世纪·教育·网】
一．选择题
1．（2016?衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
2.（2016?广州）对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点
【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=﹣+x﹣4可化为y=﹣（x﹣2）2﹣3，
又∵a=﹣＜0
∴当x=2时，二次函数y=﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
3．（2015?乐山）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
4．（2015?深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（2017?辽阳）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1+ B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣或1+
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
【解答】解：令x=0，则y=﹣3，
所以，点C的坐标为（0，﹣3），
∵点D的坐标为（0，﹣1），
∴线段CD中点的纵坐标为×（﹣1﹣3）=﹣2，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得x1=1﹣，x2=1+，
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为1+．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键．
6．（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC==6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC?BC﹣PC?CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24是解题的关键．
7．（2016?台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，
∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），
∴OC=k，
∵△ABC的面积=AB?OC=AB?k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k=（4﹣k），
解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
二．填空题
8．（2017?广州）当x= 1 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 5 ．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．（2017?青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 m＞9 ．
【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1?m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
10．（2017?衡阳）已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1 ＞ y2（填“＜”、“＞”或“=”）
【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线x=1，开口向下，再进行比较即可．
【解答】解：∵函数y=﹣（x﹣1）2，
∴函数的对称轴是直线x=1，开口向下，
∵函数图象上两点A（2，y1），B（a，y2），a＞2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的图象和性质内容是解此题的关键．
11．（2017?仙桃）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒．
【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．
【解答】解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值．
12．（2016?梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 （1+，2）或（1﹣，2） ．
【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．
13．（2017?阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 12 ．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO==2，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2×2=4，
∴AD=DO=sin45°?OA=×3=，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．
14．（2015?衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ﹣1，4，4+2，4﹣2 ．
【分析】设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），分别表示出B、Q的坐标，然后根据PQ=BQ，列方程求出a的值．
【解答】解：设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），
则点Q为（a，﹣a+3），点B为（0，3），
①当点P在点Q上方时，BQ==|a|，
PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，
∵PQ=BQ，
当a＞0时，
∴a=﹣a2+a+2，
整理得：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a=﹣1（舍去）或a=4，
当a＜0时，则﹣a=﹣a2+a+2，
解得：a=4+2（舍去）或a=4﹣2；
②当点P在点Q下方时，BQ==|a|，
PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，
由题意得，PQ=BQ，
当a＞0时，
则a=a2﹣a﹣2，
整理得：a2﹣8a﹣4=0，
解得：a=4+2或a=4﹣2（舍去）．
当a＜0时，则﹣a=a2﹣a﹣2，
解得：a=﹣1或a=4（舍去），
综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2．
故答案为：﹣1，4，4+2，4﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间的距离，解答本题的关键是设出点P的坐标，表示出PQ、BQ的长度，然后根据PQ=BQ，分情况讨论并求解，难度一般．
三．解答题
15．（2015?珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；
（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．
【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，
∴2a+b=0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．
16．（2017?广州）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；
（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；
当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣=﹣1，=1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2=5x+10．
②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2=x+．
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．21·世纪*教育网
17．（2016?广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．www-2-1-cnjy-com
【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；
（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；
（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤，因此|AB|最大时，||=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出结果．
【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m≠，
∴m的取值范围为m≠0且m≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|xA-xB|=====||=|﹣4|，
∵＜m≤8，
∴≤＜4，
∴﹣≤﹣4＜0，
∴0＜|﹣4|≤，
∴|AB|最大时，||=，
解得：m=8，或m=（舍去），
∴当m=8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|yP=××4=．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键．
18．（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．2·1·c·n·j·y
【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标xP==，
∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，
∴yP=﹣3=，
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×﹣0=，
∴点C的坐标为（0，），
∴BC==，
∴sin∠OCB===．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．【版权所有：21教育】
19．（2017?济宁）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）每天的销售利润W=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）w=（x﹣30）?y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225．
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
20．（2017?深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
21．（2016?梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b= ﹣2 ，c= ﹣3 ，点B的坐标为 （﹣1，0） ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；
（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（2）存在．
理由：如图所示：
①当∠ACP1=90°．
由（1）可知点A的坐标为（3，0）．
设AC的解析式为y=kx﹣3．
∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x﹣3．
∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．
∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1，x2=0（舍去），
∴点P1的坐标为（1，﹣4）．
②当∠P2AC=90°时．
设AP2的解析式为y=﹣x+b．
∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．
∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．
∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2，x2=3（舍去），
∴点P2的坐标为（﹣2，5）．
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．
（3）如图2所示：连接OD．
由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴．
∴点P的纵坐标是．
∴，解得：．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P1C和P2A的解析式是解答问题（2）的关键，求得点P的纵坐标是解答问题（3）的关键．
22．（2016?深圳）如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；
（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；
（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值．
【解答】解：
（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）；
（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，
如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，
由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
，
∴△BPO≌△B′PO（ASA），
∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得
，解得，
∴直线AP解析式为y=x+1，
联立，解得，
∴P点坐标为（，）；
若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，
∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（，）；
（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y=x﹣，
∴可求得C（，0），F（0，﹣），
∴tan∠OFC==，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ=，
不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE?HQ=×t×t=t2，
若DQ=QE，则S△DEQ=DE?HQ=×2DH?HQ=×t×t=t2，
∵t2＜t2，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x，x﹣），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，
当x=﹣时，tmax=3，
∴（S△DEQ）max=t2=，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
一．选择题
1．（2016秋?乐昌市期末）已知y=xm﹣5是y关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵y=xm﹣5是y关于x的二次函数，
∴m=2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2017秋?汶上县期末）对于一般的二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=（x﹣1）2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，﹣1 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣3
【分析】首先把y=（x﹣1）2+2展成一般形式，根据两个函数是同一个，则对应项的系数相同，即可求得b，c的值．
【解答】解：y=（x﹣1）2+2=x2﹣2x+3，∴b=﹣2，c=3，故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的不同形式，正确把顶点式形式化成一般式是解题的关键．
3．（2017春?龙岗区校级月考）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．（4） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4）
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a的符号，然后确定出一次函数图象经过的象限，从而得解．
【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故（4）错误；
由（1）、（3）可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，（1）错误，（3）正确；
由（2）可知，抛物线开口方向向下，
所以，a＜0，
所以，一次函数y=ax+b经过第二四象限，
所以，（2）正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
4．（2017秋?宝安区月考）把二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣5 B．y=（x﹣2）2+5
C．y=（x+2）2﹣5 D．y=（x+2）2﹣5
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
【解答】解；将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣2）2﹣5，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
5．（2016?大庆模拟）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】先求出二次函数y=x2﹣4x﹣m的图象的对称轴，然后判断出A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x﹣m中a=1＞0，
∴开口向上，对称轴为x=﹣=2，
∵A（2，y1）中x=2，∴y1最小，
又∵B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．
∴y2＞y3＞y1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
6．（2016秋?耒阳市校级期末）关于二次函数y=x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，函数有最大值 B．x=2时，函数有最小值
C．当x=﹣1时，函数有最大值 D．当x=﹣2时，函数有最小值
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．
【解答】解：原式可化为y=x2+4x+4﹣11=（x+2）2﹣11，
由于二次项系数1＞0，
故当x=﹣2时，
函数有最小值﹣11．
故选D．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
7．（2016秋?潮南区期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
【分析】先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），
所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，准确识图并求出抛物线与x轴的另一交点的坐标是解题的关键．
8．（2017秋?揭东县校级月考）用长6m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（ ）
A．m2 B．1m2 C．m2 D．3m2
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【解答】解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S=，
∴=x（，
即S=﹣x2+2x
=﹣（x﹣）2+，
∴当x=m时，S最大值为 m2．
故选C．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解决问题的关键．
9．（2016秋?龙湖区期末）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】先通过解方程x2﹣4x=0得到A（4，0），再把解析式配成顶点式得到B（2，﹣4），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x﹣8，则可得到C（0，﹣8），然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分的面积和=S△OBC，最后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：当y=0时，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），
∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴B（2，﹣4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（2，﹣4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣8；
当x=0时，y=2x﹣8=﹣8，则C（0，﹣8），
∴图中阴影部分的面积和=S△OBC=×8×2=8．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．21教育网
10．（2016?深圳二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．①②③④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断①；根据对称轴求出b=﹣a，即可判断②；求得点（2，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），把x=﹣1代入函数关系式，即可判断③；求出点（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x=，
∴﹣=，
∴b=﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
∵由①中知b=﹣a，
∴a+b=0，
故②正确；
由对称轴为x=，点（2，0）的对称点是（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．
故③正确；
∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1），
∴y1=y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
二．填空题
11．（2016?宝山区一模）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （3，4） ．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
12．（2016秋?金平区期末）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣4x﹣9 ．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式y=a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入求a，再化为一般式即可．
【解答】解：设顶点式y=a（x+2）2﹣5，
将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5=﹣14，
解得a=﹣1，
∴y=﹣（x+2）2﹣5，即y=﹣x2﹣4x﹣9．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式．
13．（2016秋?宝安区期末）将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线，则这条新的抛物线的解析式为 y=x2﹣6x+13 ．
【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式，求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点，然后写出解析式并整理即可．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+2，
=x2﹣2x+1﹣1+2，
=（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∵向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后新抛物线顶点坐标为（3，4），
∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2+4，
即y=x2﹣6x+13．
故答案为：y=x2﹣6x+13．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．www.21-cn-jy.com
14．（2016?盐田区二模）当x=a或x=b（a≠b）时，整式x2+x的值相等，那么当x=a+b时，分式的值是 ﹣1 ．
【分析】根据题意得a2+a=b2+b，整理得出a+b=1，再代入即可．
【解答】解：∵当x=a或x=b（a≠b）时，整式x2+x的值相等，
∴a2+a=b2+b，
∴（a﹣b）（a+b+1）=0，
∵a﹣b≠0，
∴a+b+1=0，
∴a+b=﹣1，
∴x=a+b时，==﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得a+b+1=0是解题的关键．
15．（2015?深圳一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 一 象限．
【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a及bc的符号，从而得出点P（a，bc）所在象限．
【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，
∴a＞0，＞0，因此b＜0，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴a＞0，bc＞0，则点P（a，bc）在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y轴的交点与系数的关系．
三．解答题
16．（2017?广东模拟）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值．
（3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可．
【解答】解：（1）将A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3，
∴﹣2=a﹣3
∴a=1
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3
∴顶点B（1，﹣3）
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将点A（0，﹣2）和B（1，﹣3）代入y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为：y=﹣x﹣2
（3）设点A关于x轴对称的点为C，
∴C（0，2）
设直线CB的解析式为：y=mx+n，
直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值，
把C（0，2）和B（1，﹣3）代入y=mx+n，
∴
解得：
∴直线CB的解析式为：y=﹣5x+2
令y=0代入y=﹣5x+2，
∴x=
∴点P的坐标为（，0）
【点评】本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是利用待定系数法求出解析式，本题属于中等题型．
17．（2017?南雄市模拟）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
（3）该函数的图象经过怎样的平移得到y=x2的图象？
【分析】（1）把（4，3），（3，0）代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；21cnjy.com
（2）把而次函数的解析式配成顶点式y=（x﹣2）2﹣1，然后确定顶点坐标和对称轴，再画出函数图象；
（3）把顶点（2，﹣1）移到原点即可．
【解答】解：（1）将（4，3），（3，0）代入y=x2+bx+c，得，解得：，
（2）二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
则顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x=2，
如图，
（3）将该函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=x2的图象．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【出处：21教育名师】
18．（2017?龙岗区一模）大梅沙国际风筝节于2016年10月29﹣30日在大梅沙海滨公园举行，老李决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，但每天需支付各种费用共200元，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）当售价定为多少时，老李每天获得利润最大，每天的最大利润是多少？
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
∵每天需支付各种费用共200元，
∴每天的最大利润是800元，
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．
19．（2017?深圳模拟）如图，抛物线经过点A（﹣1，0）和B（0，2），对称轴为x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴交于另一个交点为C，点D在线段AC上，已知AD=AB，若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线BD垂直平分？若存在，求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的前提下，过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形与△PBC相似？如果存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，（a≠），把点A（﹣1，0）和B（0，2）代入，解方程组即可解决问题．
（2）首先求出A、C坐标，由∠DBP=∠DBQ，可得=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），即=，解方程即可解决问题．
（3）存在．理由如下：首先证明∠BPC=∠BAM，分两种情形讨论①当=，△MAB∽△BPC，列出方程解方程即可．②当=时，△MAB∽CPB，列出方程解方程即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，（a≠），
把点A（﹣1，0）和B（0，2）代入得到，
解得，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴y=﹣x2+x+2．
（2）令y=0得到﹣x2+x+2=0，解得x=或﹣1，
∴C（，0），A（﹣1，0），AB==3，
∵AD=AB，
∴AD=3，
∴D（2，0），
∵PQ被直线BD垂直平分，
∴BP=BQ，
∴∠DBP=∠DBQ，
∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），
∴=，
∴t=2或，
∵t＜3，
∴t=2，
∴BP=3，BQ=3，
∴VQ=．
（3）存在．理由如下：
由题意P（1，0），PB=3，PC=，
∵BA=BP=3，
∴∠BAP=∠BPA，
∴∠BPC=∠BAM，
①当=，△MAB∽△BPC，
∴=，
∴AM=，OM=OA+AM=
∴M（﹣，0）．
②当=时，△MAB∽CPB，
∴=，
∴AM=，OM=AM+OA=，
∴M（﹣，0）．
【点评】本题考查二次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
20．（2017?南山区二模）如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．
【分析】（1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可；
（3）求得直线AM的解析式为y=2x+2，根据直线l垂直于直线AM，设直线l的解析式为y=﹣x+b，得到直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，
∴OA=OE=1，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHA=∠EAO=45°，
∵FG⊥AH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），
∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），
∴FH=﹣m2+m+2，
∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+
∴△FGH的周长最大值为；
（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∵直线l垂直于直线AM，
∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，
∵与坐标轴交于P、Q两点，
∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），
设R（1，a），
∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，
∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，
∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，
∴﹣2a=3b﹣4，①
∴PR2+QR2=PQ2，
即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，
∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②
联立①②解得：，，
∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．
【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数，矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21*cnjy*com
21．（2017?福田区一模）已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．
（3）如图②，直线y=x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=1．过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．然后证明△BNP≌△PMB，依据全等三角形的性质可知BN=PM=3，PN=MB′．设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2），最后将点B′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．先求得点G的坐标，则可得到OG=，在Rt△AGO中，利用特殊锐角三角函数值可求得∠A的度数，则∠FED=30°，依据函数30°直角三角形的性质可得到DF=DE．则动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．故此当BD+DF最短时，所用时间最短，依据两点之间线段最短可知当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短，此时BE⊥BF，则点D的横坐标为3，然后由函数解析式再求得点D的纵坐标即可．
【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入得：，
解得：a=1，b=﹣2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1．
如图所示：过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．
∵∠BPB′=90°，
∴∠BPN+∠B′PM=90°．
∵∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠PNB=∠B′PM．
在△BPN和△PB′M中．
∴△BNP≌△PMB．
∴BN=PM=3，PN=MB′．
设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2）．
将点B′的坐标代入抛物线的解析式得：
（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3=m﹣2，解得：m1=﹣1，m2=2．
∵点P在x轴的下方，
∴m=﹣1．
∴P（1，﹣1）．
（3）存在．
如图所示：过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．
将x=0代入直线AE的解析式得y=，
∴OG=．
∴tan∠GAO=．
∴∠FEA=∠GAO=30°．
∴DF=DE．
∴动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．
∴当BD+DF最短时，所用时间最短．
∴当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短．
∴点D的横坐标为3．
将x=3代入直线AE的解析式得：y=．
∴D（3，）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，用含点m的式子表示点B′的坐标是解答问题（2）的关键，得到当点B、D、F在一条直线上时，所用时间最短是解答问题（3）的关键．2-1-c-n-j-y
