课件20张PPT。1.1 二次函数第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二
次函数；(重点)
2.能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.函 数一次函数反比例函数y=kx+b (k≠0)(正比例函数) y=kx (k≠0)问题2 我们学过哪些函数？思考 一个边长为x的正方体的表面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？y=6x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧. 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物园的面积S（m2）与x之间函数关系式.即讲授新课 问题2：某型号的电脑两年前的销售为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价y（元）与平均降价率x之间的函数关系.即观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.归纳总结 例1
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知解得（2）由题可知解得m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.典例精析1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断是不是是不是2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.例2 如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式.分析：本问题中的数量关系是：
木板余下面积=矩形面积-截去面积.解：木板余下面积S与截去正方形边长x有如下函数关系：
S=120×80-4×x2=-4x2+9600,0＜x≤40.x归纳总结 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.列二次函数关系式三例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是
x的什么函数？解：由题意得y＝122－2x(x+1)，
又∵x+1<2x≤12，∴1 即y＝－2x2－2x＋144(1 ∴y是x的二次函数.分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积.当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项
系数为______，常数项为 .-3x2-1612C4.矩形的周长为16cm,它的一边长为xcm,面积为
ycm2.求:
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时,矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.特殊形式y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。1.2 二次函数的图象和性质第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象；(重点)
2.掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)1、一次函数y=kx+b(k≠0)
导入新课复习引入你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？2、反比例函数
y=ax2？讲授新课画出y=x2的图象.合作探究94101941. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数.让x取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）y = x2 的图象关于y轴对
称,y轴就是它的对称轴. -33o369xy图象在y轴右边的
部分，函数值随自
变量取值的增大而
增大，简称为
“右升”.AA'BB'问题1：观察图象，点A和点A' ，点B和点B' ，……，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？问题2：从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象. 函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？议一议xoy=x2y1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．例1 已知点(-1,y1)，(-3,y2)都在函数y=x2的图象上，则____________.典例精析y1＜y2例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数y＝x2的图象上，试写出y1、y2、y3的大小关系．解：方法一：把x＝－3， ，1，分别代入y＝x2中，
得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0，
∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)．
又∵3> >1，∴y1>y3>y2.方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，
把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，解得 k=22针对训练解：分别列表084.520.5084.520.5例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 描点，连线问题二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.当堂练习 1.二次函数y=2x2的图象一定经过 （ ）
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限 2.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .Ok>1A 3.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）与对称轴的交点是 ，该点是图象
上的最 值 .
（4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 则y1 y2.
2y轴向上（0,0）小>4.已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数．
(1)求k的值；
(2)画出函数的图象．解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，
∴k＋2≠0，k2＋k＝2，解得k＝1；
(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画出函数的图象．
列表：5.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点，已知A点的横坐标是3，求A、B两点的坐标及抛物线的解析式．解：∵直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点且A点的横坐标是3，
∴点A的纵坐标y=2×3+3=9，
∴点A的坐标为（3，9），
将点A的坐标代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2，
解得： 或
∴点B的坐标为（-1，1）．课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边图象轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴与对称轴的交点增减性见《学练优》本课时练习课后作业课件22张PPT。1.2 二次函数的图象与性质第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y＝ax2(a<0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)
2.掌握形如y＝ax2(a<0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)导入新课复习引入首先列表;
然后描点；
最后连线.084.520.5我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？合作探究在 是关于x轴对称. yxOPQ例1 函数y=﹣a（x+a）与y=﹣ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（ ）典例精析A． B． C． D． 解析：函数y=﹣a（x+a）=﹣ax﹣a2的常数项﹣a2一定小于零，函数y=﹣a（x+a）与y轴一定相交于负半轴．故选D．
B、由一次函数的图象可知a＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；A． B． C． D． 说说二次函数 的图象有哪些性质,与同伴交流.oxy1.是一条曲线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.与对称轴的交点为（ 0 ，0 ）;
5.“左升”，“右降”；
6.x=0时，函数值最大，为0.议一议解：（1）根据题意得m-3≠0且m2-2m-6=2，
解得m1=-2，m2=4．
所以满足条件的m的值为-2或4；（2）∵当m-3＞0时，图象有最低点，
∴m=4，此时二次函数的解析式为y=x2，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）∵当m-3＜0时，图象有最高点，
∴m=-2，此时二次函数的解析式为y=-5x2，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．（3）当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？问题1画二次函数 的图象.列表合作探究描点和连线：画出图像在y轴右边的部分，再利用对称性画出y轴左边的部分.y－2－424－2－4xo问题2 观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上， 则可以看出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段.这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.受此启发，把
二次函数y= ax2的
图象这样的曲线
叫做抛物线.归纳总结相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴，增减性相同.不同点：a越小，即|a|越大，抛物线的开口越小．问题3在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．归纳总结对于二次函数y=ax2,|a|越大，抛物线的开口越小1.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2 当堂练习D2.抛物线y＝－4x2不具有的性质是( )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点A 3.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .向下y轴(0,0)减小增大yOx4.当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a、b的符号来确定．
当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．
∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．
∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．
故选D.D5.如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为( )A．a>b>c>d
B．a>b>d>c
C．b>a>c>d
D．b>a>d>c解析：∵抛物线y＝ax2中，|a|越大，抛物线的开口越小，
∴a>b>0, |d|>|c|>0，
∴db>0>c>d．A位置开
口方向对称性顶点最值增减性开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。1.2 二次函数的图象与性质第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象；
2.掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3.理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)导入新课情境引入门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出这个二次函数的性质吗？如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！讲授新课探究O' EFl'l由于平移不改变图形的形状和大小，所以它仍是一条开口向上的抛物线顶点为O’(1,0)对称轴为直线l'把点P的横坐标a加上1，纵坐标 不变，即点Q的坐标为
.问题2抛物线F是哪个函数的图象呢？ 在抛物线 上任取一点 ，它在向右移1个单位后，P的像点Q的坐标是什么？ 记b=a+1，则a=b-1. 由此得出，抛物线F是函数 的图象.4.对称轴是过点O'(1,0)且与y轴平行的直线l`.
(直线l'是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l'记作直线x=1)1.函数图象是一条开口向上的抛物线；2.顶点是O'（1，0）问题3函数 有哪些性质呢？ 5.在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大.3.在x=1处，y有最小值，为0.类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质知识要点 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.向上直线x=3( 3, 0 )直线x=2直线x=-1向下向上(2, 0 )( -1, 0)练一练问题4如何画出 y=a(x-h)2的图象呢？ 根据“列表、描点、连线”画出对称轴及图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分；典例精析例1 画函数 的图象.解：抛物线的对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,0).
列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.描点和连线：
画出图象在对称轴右边的部分；
画出左边的部分；
即得图象例2 已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2).
(1)求a，h的值;
(2)当x为何值时，函数值y随x增大而增大？解：(1)∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2,0)，∴h＝－2.
又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，
∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝ .
(2)当x>-2时，函数值y随x的增大而增大.向右平移
1个单位想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移
1个单位二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系可以看作互相平移得到(h>0).左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.y=a(x-h)2当向左平移 ︱h︱ 时y=a(x+h)2当向右平移 ︱h︱ 时y=ax2典例精析例3 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式.解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝ ，∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.方法归纳：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．当堂练习1. 填空：（1） 的对称轴是_____，顶点坐标是______;x = 5(5，0)（2）y=-3(x+2)2的对称轴是 ，顶点坐标是______.x=-2(-2，0)（3）抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线 沿x轴向＿＿
平移 个单位得到的．
它的开口向 ，对称轴是 ，
顶点坐标是 ，
当x= 时，y有最 值，值是 .y=-2x2左3下（-3,0）x=-3-3大02.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 ３.对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，
顶点坐标为(1，0)，
所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选Ｄ.D3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.y1 ＞y2 ＞ y3４.向左或向右平移函数y＝－ x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：
设平移后的函数为y＝－ (x－h)2，
将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－ (－9－h)2，
所以h＝－5或h＝－13，
所以平移后的函数为y＝－ (x＋5)2或y＝－ (x＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，
所以应向左平移5或13个单位．课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图象及性质图象性质对称轴是x=h;
顶点坐标是（h,0)；
a的符号决定开口及增减性.左右平移平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.见《学练优》本课时练习课后作业课件26张PPT。1.2 二次函数的图象与性质第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质 1.会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象；
2.掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)
3.理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．(难点)导入新课复习引入确定其对称轴x=1，顶点坐标为(1,0).
列表：x从顶点横坐标1开始取值.
描点并连线：先画出对称轴右边的部分.
再根据对称性另一部分即得图象.1.如何画二次函数y= (x-1)2的图象. 2.那么如何画二次函数y= (x-1)2+3的图象呢？要解决这个问题，我们首先探究一下两个二次函数的关系. 的图象可由 的图象向上平移3个单位得到.二次函数 与 的关系.讲授新课探究横坐标aa图象上的点纵坐标对于每一个给定的x值，下面的函数值都比上面的大3.观察 的图象，说说它有哪些特征.顶点为(1,3)对称轴为直线x=1开口向上的抛物线二次函数 y=a(x-h)2+k的性质知识要点向上向下直线x=h直线x=h（h,k）（h,k）当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.向上( 1, －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－6完成下列表格:练一练问题1我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2+k的图象的性质，那么你猜想一下如何画出它的图象？ 第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步 列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接他们和顶点）.典例精析解:对称轴是直线 x =－1，顶点坐标为(－1，－3).
列表：自变量x从顶点的横坐标－1开始取值.xOy24－2－424－2－4描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数
的图象，如右图例2 已知抛物线y=a（x-3）2+2经过点（1，-2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（ ，y1）、B（4，y2）、C（0，y3）都在该抛物线上，试比较y1、y2、y3的大小．解：（1）∵抛物线过点（1，-2），
∴-2=a（1-3）2+2，解得a=-1；
（2）由抛物线y=a（x-3）2+2可知对称轴x=3，
∵抛物线开口向下，而点B（4，y2）到对称轴的距离最近，C（0，y3）到对称轴的距离最远，
∴y3＜y1＜y2．探究归纳怎样移动抛物线 才能得到抛物线 ？平移方法1向右平移
1个单位向上平移
3个单位xyO －222464－48向右平移
1个单位平移方法2向上平移
3个单位xyO －222464－48二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下
平移左右
平移上下
平移左右
平移平移规律简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位
再向右平移3个单位得到的.练一练当堂练习1.将抛物线y＝ x2向右平移2个单位，再向下平移1
个单位，所得的抛物线是( )
A．y＝ (x－2)2－1
B．y＝ (x－2)2＋1
C．y＝ (x＋2)2＋1
D．y＝ (x＋2)2－1A2.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为__________________．y=2（x-3）2-33.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，
则另一个交点坐标是(5，0)．
(5，0)4.对于抛物线y=- (x?2）2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D5.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数
y=-（x-1）2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“=”）．＞解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1，
∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4，
∴y1＞y2．6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；
(2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当x>1时都是右升；
(3)它们都有最小值．
不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；
(2)y＝2(x－1)2的最小值是0，
y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.7.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（ ）
A. B. C.12 D.
B8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求h，k的值；解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，
∴h＝－1，k＝－4；(2)判断△ACD的形状，并说明理由．(2)△ACD为直角三角形．
理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.
当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)．
当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，
∴C点坐标为(0，－3)．
顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．
在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；
在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；
在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.
∵AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．课堂小结一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是(h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.见《学练优》本课时练习课后作业课件30张PPT。1.2 二次函数的图象与性质第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第5课时 二次函数y=ax2+bx+c
的图象与性质1.会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
2.会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴与最值，并掌握其性质；(重点)
3.二次函数性质的综合应用．(难点)我们已经知道形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象的画法，可在生活和学习中，很多二次函数是用一般形式y=ax2+bx+c表示的,如图.导入新课情境引入y=ax2+bx+c用一般式表示？根据一般式画图象讲授新课探究问题1：如何画出 的图象呢?我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象，因此，只需要把 配方成 的形式就可以了.配方法提取二次项系数配方整理化简:去掉中括号配方你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.温馨提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax2+bx+c 归纳总结一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 将函数 化为y=a(x-h)2+k的形式.解 配方：练一练根据顶点式 确定对称轴,顶点坐标.列表:自变量x从顶点的横坐标6开始取值.对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).33.557.5描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，即得.●●●●●（6,3）●●（6,3）Ox5510当x等于顶点的横坐标6时，函数值最小，这个最小值等于顶点的纵坐标3.问题4：这个函数的增减性是怎样的？当x<6时，函数值随x的增大而
减小；当x>6时，函数值随x的
增大而增大.归纳总结抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质练一练
填表：(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6例1 若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，
∴开口向上，对称轴为x＝2.
∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．
又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.典例精析C例2 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，
即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，
对称轴为 ，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为 ＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；
D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为 ＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故选D．例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④xyO2x=-1B1.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.5当堂练习2.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ )2＋ .将y＝(x－ )2＋ 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.A3.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，
整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4.故选C. C4.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧，而抛物线y=
－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D5. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞
0；③ ＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．①②③6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）D解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－ x2＋bx＋c 得
∴这个二次函数的解析式为y＝－ x2＋4x－6；解得(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝ ＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6.课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)配方法公式法最值：见《学练优》本课时练习课后作业课件27张PPT。1.3 不共线三点确定二次函数
的表达式第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；(重点)
2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的表达式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2个2个2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）讲授新课探究归纳问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法典例精析例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是例2已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；
（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.解得 a=2，b=-4，c=-3.因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.(2)设有二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5，
a-b+c=3，
4a+2b+c =-9， 解得 a=0，b=-4，c=-1.因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M 三点.
这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点.问题：例2说明了什么？?若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.
?二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,
把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.典例精析例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.∴所求的二次函数的表达式是归纳总结顶点法求二次函数表达式的方法这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式. 解： 因为（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标)
因此得
y=a(x+3)(x+1).选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 解得a=-1，再把点（0，-3）代入上式得所以a(0+3)(0+1)=-3，所以所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程；
③将另一坐标的点代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
. 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达
式是 .y=-2(x-1)2+63.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.5.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）A．E，FB．E，GC．E，HD．F，GC6.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）A．8B．14C．8或14D．-8或-14C7.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标)待定系数法
求二次函数表达式见《学练优》本课时练习课后作业课件29张PPT。1.4 二次函数与一元二次方程
的联系第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为( ， ),
一元一次方程x＋2＝0的根为________.
（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( ， ),
一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______.
问题一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次
方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一
元一次方程kx＋b＝0的根. 导入新课复习引入－2 0－22 02那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨.讲授新课探究问题1画出二次函数 的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？(-1,0)与(3,0)(-1,0)(3,0)二次函数与x轴的交点与一元二次方程的
根的关系一问题2二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又有怎样的关系？ 当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；知识要点 一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.问题3观察图象，完成下表0个2个重合的点x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3知识要点有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系典例精析例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0D1.若二次函数y=ax2+b的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+b=0的实数根为（ ）A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6
C．x1= ，x2= D．x1=-4，x2=0针对训练A例2 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x2-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x2-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.典例精析利用二次函数确定一元二次方程的近似根二解：画出函数 y=x2-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题三典例精析解 （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.（3）由抛物线的表达式得
即
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限A5.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ (7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.二次函数与一元二次方程根的情况二次函数与x轴的交点个数判别式 的符号一元二次方程根的情况Δ二次函数图象由图象与x轴的交点位置，
判断方程根的近似值一元二次方程的根见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。1.5 二次函数的应用第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 抛物线形二次函数 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．导入新课问题引入白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是4.9m，当水面宽是4m时，拱顶离水面2m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？讲授新课这是什么样的函数呢？你能想出办法来吗？探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？如何确定a是多少？已知水面宽4m时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出解得由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而
因此拱顶离水面高1.125m现在你能求出水面宽3m时，拱顶离水面高多少吗？知识要点建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).●
C●
D 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？典例精析解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.解得 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2当堂练习3.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-10m B. m C. m D. mD4.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？???????（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴ ???????????????????????，解得k= ???????????，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.5悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a?4502+0.5.
解得
故所求表达式为(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.解：当x=450－100=350（m）时，得当x=450－50=400（m）时，得课堂小结实际问题数学模型 （二次函数的图像和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.见《学练优》本课时练习课后作业课件29张PPT。1.5 二次函数的应用第1章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 1.掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点)
2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题.(重点、难点）导入新课情境引入 短片中，卖家使出浑身解数来赚钱.
商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？讲授新课例1 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 典例精析①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是
x ≤18.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润
×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数图象的简图，利用简图和性质求解. 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
则因为x≤9，故当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，
最大利润为1352元.例3 用长为8m的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积S(m2)最大？最大透光面积是多少？（铝材宽度不计）解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.
这里应有x＞0，
故0＜x＜ .矩形窗框的透光面积S与x之间的函数关系式是：所以，当x= 时，函数取得最大值，最大值S= .因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为2 m时，它的透光面积最大，最大面积是 m2.x= 满足0＜x＜ ，这时知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 例4 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0此时， 也就是说，当l=15m时，场地的面积S最大.变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S与x的函数关系式是什么？问题1 变式1与例题有什么不同？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.设垂直于墙的边长为xm问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？设矩形面积为S,与墙平行的一边为xm，则
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378m2. 不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围而定.通过变式1与变式2的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法归纳1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.当堂练习2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.253.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)4.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小.35. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，
为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出.几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定见《学练优》本课时练习课后作业课件30张PPT。2.1 圆的对称性第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解圆的有关概念及圆的对称性；(重点)
2.掌握点与圆的位置关系的性质与判定．(重点) 如图所示，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开. 问题这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当怎样站队？情境引入不公平；四个人应该站在离玩偶距离相等的位置上.讲授新课概念学习圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.·定长叫作半径.这个定点叫作圆心.O圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心.以点O为圆心的圆叫作圆O，记作⊙O定点与动点的连线段叫作半径.如图,点O是圆心.·rOA概念学习例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上..问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.C.... B..A点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.问题2 ：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d drPdd Prd＜r r =＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系？
点和圆的位置关系数形结合：位置关系数量关系1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 圆内圆上圆外典例精析2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外D
弦: 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC，AB）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．弧: ·COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧 ·COAB半圆如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径. 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.劣弧：优弧：1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.直径是圆中最长的弦.附图解释：连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.这两个圆问题3用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？重合探究能够重合的两个圆叫作等圆，
把能够互相重合的弧叫作等弧.概念学习问题4现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？·仍然重合问题5这体现圆具有什么样的性质？圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合.特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自身重合.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.知识要点问题6在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？·OABCDE能够重合你能讲出圆具有这种对称性的道理吗？圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
知识要点为什么车轮要做成圆形的？中心与路面距离相等
中心与边缘距离相等中心与边缘距离不相等
中心与路面距离不相等观察与思考 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径半径一二四四当堂练习2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)圆既是中心对称图形又是轴对称图形. 3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .上外上4.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上
C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 B5.观察下列图形：
请问以上三个图形中是轴对称图形的有______，是中心对称图形的有______(分别用以上三个图形的代号填空)．①③①②③ 6.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .7cm或3cm定义平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形平面内一动点绕一定点旋转一周所形成的图形有关
概念弦(直径)直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧等圆、等弧课堂小结课堂小结位置关系数量化点与圆的位置关系圆 的
对 称 性圆是中心对称图形，
圆心是它的对称中心圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。2.2 圆心角、圆周角第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.2.1 圆心角1.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角；
2.能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．(重点)导入新课情境引入飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？讲授新课概念学习ABM1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB .3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆内角圆外角圆周角（后面会学到）
圆心角练一练C⌒在同圆中探究O ·AB问题2如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ ·O ′CD在等圆中探究 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．①∠AOB=∠COD③AB=CD弧、弦与圆心角的关系问题3在结论“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
①∠AOB=∠COD③AB=CD弧、弦与圆心角关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.典例精析例1 如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，求圆心角∠AOB的度数 .∴ AB=BC=CA.∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.解：∵△ABC是等边三角形 ,又∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.针对训练1.如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )当堂练习A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCBBD60 °4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， .
求证:AB＝CD.
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 的中点E,连接OE，CE，DE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,
所以 = = ，所以 =2 ，
所以弦AB=CE=DE,
在△CDE中CE+DE>CD,即CD<2AB.
⌒ ⌒ABCDO圆心角弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或等圆中概念：顶点在圆心的角应用提醒①要注意前提条件；
②要灵活转化.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件34张PPT。2.2 圆心角、圆周角第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 圆周角定理与推论1 2.2.2 圆周角 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.问题图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？情境引入导入新课顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
(如∠BAC)我们把∠BAC叫作BC所对圆周角，BC叫作圆周角∠BAC所对的弧.讲授新课概念学习⌒⌒·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA练一练下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC都是AC所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？⌒为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系.我们猜测也相等问题1 如图，点A、B、C是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角?合作探究圆心角：∠BOC圆周角：∠BAC问题2 分别量出这些角的度数，你有什么发现？∠BOC=2∠BAC问题3 变动点A的位置，看看上述结论是否依然成立？变动点A的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.推导与验证圆心O在∠BAC的内部圆心O在
∠BAC的一边上圆心O在
∠BAC的外部圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A= ∠C∠BOC= ∠ A+ ∠C圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的外部圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理知识要点···100°AO20°O90°ABABBCC(1)(2)(3)求∠AOB求∠AOB求∠A练一练1.解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 , 例1 如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.AB⌒∴∠ACB= ∠AOB=25°.同理∠BAC= ∠BOC=35°. 典例精析例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．45° C．180° D．60°A例3 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°解析：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．讲授新课问题4 回归到课堂初始探讨的问题中，∠A、∠A1、∠A2和∠A3都是弧BC所对的圆周角，那么他们相等吗？因为∠A、∠A1、∠A2和∠A3所对弧上的圆心角均为∠BOC，由圆周角定理可知∠A=∠A1=∠A2=∠A3.圆周角定理的推论1在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.完成下列填空
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠7例4 如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）A．15° B．25° C．30° D．75°典例精析C当堂练习1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.图１图２图３图４图５2.指出图中的圆周角.∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABC××√××3.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ）D A.60°B.50°C.40°D.30°4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°A5.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是( )
A．50° B．40°
C．30° D．25°D6.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角， ∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD= .130°7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB= ，∠ADB= .130°50°8.如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠DCB=28°，则∠ABC=_______°．289.如图，分别求出图中∠x的大小.解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.(2)连接BF，F∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°x30°20°xADBEC圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理课堂小结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角见《学练优》本课时练习课后作业课件24张PPT。2.2 圆心角、圆周角第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 圆周角定理的推论2
与圆内接四边形 2.2.2 圆周角 1.探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质；(重点)导入新课情境引入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？讲授新课问题1 如图，AC是圆O的直径，那么∠D，∠D1，∠D2的度数分别是多少呢？ 这三个角所对弧上的圆心角是∠AOC，而∠AOC=180°，
利用圆周角定理，∠D=∠D1=∠D2=90°.问题2 如图，若已知∠D=90°，它所对的弦AC是直径吗？是的.直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.问题3 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.典例精析例1 如图，AC是圆O的直径，∠CAD=60°，点B在
圆O上，求∠ABD的度数.解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°.
又∠DAC=60°，
∴∠C=30°.
又∵∠ABD和∠C都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ABD=∠C=30°. 例2 如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交☉O于B, 求AB、BC的长．解：(1)∵AC是直径，∴ ∠ADC=90°.在Rt△ADC中，在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.概念学习如图，A，B，C，D是圆O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. (2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 . ∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o性质探究(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 . ∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o试一试证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°圆内接四边形的对角互补.要点归纳典例精析例3 如图，ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，求∠BAD及∠BCD的度数.解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为弧BD，∠BOD＝100°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=180°-∠BAD=
180°-50°=130°.例3 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；解：连接AE，
∵AB为直径，∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= ，
∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，∴ ，
∴CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，
∴ =4CD，
∴CD= ．
1．四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．☉O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 70o100o90o当堂练习3.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110° C.90° D.120°B4.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°B5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）A．3 B． C． D．2A6.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数. ABCOD∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，解:BD=CD.理由是:连接AD,课堂小结2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的
对角互补.1. 圆周角定理的推论2：直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.见《学练优》本课时练习课后作业课件30张PPT。2.3 垂径定理第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.进一步认识圆，了解圆的对称性.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）导入新课问题引入问题1圆是轴对称图形吗？问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形其对称轴是直径所在的直线 无数条问题3你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课讲授新课做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒⌒·互动探究C线段: AP=BP·OABDPC想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴ AP=BP,推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心议一议垂径定理的几个基本图形：例1 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
已知：如图，⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD.证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒典例精析例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2， 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索：试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵ CD是直径，CD⊥AB，思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径．典例精析解：连接AO，
∵点C是AB的中点，
半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，∵CD=2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2，
即：R2=（R-2）2+62，∴R=10
即，⊙O的半径为10． 你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴ AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系 d+h=r 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 2cm或12cm 练一练例4 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．典例精析解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m，
∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，
∴AO=r，OF=r-2，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，
即r2=32+（r-2）2，解得r= m．
即，AB所在圆O的半径为 m．当堂练习1.如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.16OABE·2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形. 3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.5.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm4. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分这条弦所对的两条弧.两条辅助线：
连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件28张PPT。2.4 过不共线三点作圆第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.掌握过不共线的三点作圆的方法；
2.认识三角形的外接圆和外心的概念，并会进行运用．(重点)导入新课情境引入假如旋转木马真如短片所说，是中国发明的，你能将旋转木马破碎的圆形底座还原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?讲授新课问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 合作探究·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.A问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少
个圆？ ····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.问题3经过不在同一直线上的三个已知点A，B，C能作圆吗？假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或”不相等”）.（2）如果O点到A、B的距离相等，
则点O应在 线段AB的_____________上,同理点O也应在线段AC的______________上.（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆.NMFE相等垂直平分线垂直平分线垂直平分线能 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC练一练ABC问题4过同一直线上三点能不能做圆? 不能.知识要点经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆.问题5现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C;
2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.ABCO 1.某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等. 请问同学们, 这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？●●●BAC针对训练2.已知AB=4cm，作半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2cm呢？解：（1）这样的圆能画2个．如图1：
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，
3cm为半径作圆交l于O1和O2，
然后分别以O1和O2为圆心，
以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求；（2）这样的圆能画1个．如图2：
作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆，则⊙O为所求；问题6经过三角形的三个顶点能作一个圆吗？为什么？由于△ABC的顶点不在同一直线上，因此过这三个
顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆.1. 外接圆
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆.☉O叫做△ABC的________， 这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：
定义：●O外接圆 内接三角形 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：概念学习分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. ●O●O●O画一画锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )√××√练一练例1 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）典例精析A. cm B. cm
C. cm D. cm解析：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R．
∴BD=cos∠OBC×OB= ，BC=2BD= ．
∵BC=12，∴R= ．
故选B．1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO当堂练习 2.判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）√×××3.三角形的外心具有的性质是（ ）
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.B4. 正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定______个不同的圆．55. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为__________.（2，0）6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°7.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= . 57题变式题 若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是（ ）
A．8 B．10 C．5或4 D．10或8D3.锐角三角形
直角三角形 --外心的位置--
钝角三角形课堂小结1.作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆过不在同一直线上的三个点确定一个圆一个三角形的外接圆是唯一的.2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心叫三角形的外心；
这个三角形叫做圆的内接三角形.在斜边的中点在三角形的内部在三角形的外部见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。2.5 直线和圆的位置关系第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5.1 直线和圆的位置关系 1.了解直线和圆的不同位置关系及相关概念；(重点)
2.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．(难点)点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来
判断呢？(令OP=d )导入新课复习引入讲授新课问题1如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？●●●l02问题3 根据上面观察的发现结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来.
?
2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填直线与圆最多有两个公共点.
若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切.
④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离.
⑤直线a 和☉O有公共点，则直线a与☉O相交.√××××判一判问题1 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？圆心到直线的距离
在发生变化；
首先距离大于半径，
而后距离等于半径，
最后距离小于半径.问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
Od直线和圆相交d< r直线和圆相切d= r直线和圆相离d> r数形结合：位置关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo公共点个数相交相切相离210练一练d > 5cmd = 5cm0cm≤d < 5cm例1 如图，∠C=30°，O为BC上一点，且CO=6cm，以O为圆心，r为半径的圆与直线CA有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2.5cm；（2）r=3cm；（3）r=5cm.解：过O点作OD⊥CA交CA于D.ABCDO在Rt△CDO中， ∠C=30°，典例精析即圆心O到直线CA的距离d=3cm.（1）r=2.5cm时，有d＞r，因此⊙O与直线CA相离；（2）r=3cm时，有d=r，因此⊙O与直线CA相切；（3）r=5cm时，有d＜r，因此⊙O与直线CA相交..O.O.O.O .O1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？(1)(2)(3)(4)(5) 相离 相交 相切 相交?当堂练习 相交2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O .
4. ⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能B相离A5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，(1)当r满足________________时，
⊙C与直线AB相离.(2)当r满足____________ 时，
⊙C与直线AB相切.(3)当r满足____________时，
⊙C与直线AB相交.BCA4530 r用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分:直线与圆没有公共点直线与圆有唯一公共点直线与圆有两个公共点见《学练优》本课时练习课后作业课件29张PPT。2.5 直线和圆的位置关系第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 切线的判定 2.5.2 圆的切线 1.理解和掌握圆的切线的判定定理；(重点)
2.能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明．(难点)导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.讲授新课问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？合作探究ll经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC ⊥ OA于ABC为⊙O的切线BC知识要点下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.判一判判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点归纳用三角尺过圆上一点画圆的切线.做一做（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；例1 已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD.
求证：直线BC是圆O的切线.证明 因为 AB=AC，∠BAD=∠CAD，所以 AD⊥BC.又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，所以直线BC是圆O的切线.例1变式 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线. 1.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，E为⊙O 上一点，且OE ⊥ AB.求证：AC 是⊙O 的切线．BOCEA针对训练证明：连接OA, 过O 作OF ⊥AC.∵△ABC 中，AB ＝AC ，
O 是BC 中点．∴AO 平分∠BAC，FBOCEA∴OE ＝OF.∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.∴AC 是⊙O 的切线．又OE ⊥AB ，OF⊥AC.(1)证明：连接OC，BC.
∵FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC.
∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACD＝∠B.︵︵∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，
∠ACD＝∠ABC，
∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；(2)若CD＝ ，求⊙O的半径．(2)解：∵AF＝FC＝CB，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°.
∵CD⊥AF，CD＝ ，∴AC＝ .
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝ ，
∴BC＝4，AB＝8，
∴⊙O的半径为4.︵︵︵(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法 1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（ ） 当堂练习××√√√2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .相切3.如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.
求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.OABCEP5.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF∠CAE=∠B证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.D6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．
（1）求证：CP为⊙O的切线；（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠POC=2∠BAC.
∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，
∴∠POC=∠PCD，
∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．
∴∠POC+∠OCD=90°．
∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．
∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．（2）解：①设⊙O的半径为r．
在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，
∵BP=1，CP= ．
∴r2+（ ）2=（r+1）2，
解得r=2．
∴⊙O的半径为2． ②若M为AC上一动点，求OM+DM的最小值．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，
∴△COP∽△DOC，
∴ ，即 ，∴CD= ，
如图，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，ED，ED交AC于点M，此时OM+DM的值最小，为ED，
∵AC垂直平分OE，
∴AE=AO，
∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵OA=AE=OC=2，
∴四边形AOCE是菱形，
∴EC=2，∠ECD=90°，
在Rt△ECD中，EC=2，CD= ，
∴ED2=CE2+CD2= ．
∵OM+DM的最小值为 ．课堂小结切线的
判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。2.5 直线和圆的位置关系第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 切线的性质 2.5.2 圆的切线 1.理解和掌握圆的切线的性质；(重点)
2.能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．(难点)导入新课复习引入1.什么是圆的切线?2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?直线与圆只有一个公共点，那么这条直线叫作圆的切线. ①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．
即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
讲授新课问题1如果直线l是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么切线l和半径OA垂直吗？ 合作探究大家可以先用量角器量量看.两者成90°角，也就是说切线l与半径OA垂直.推导与验证反证法证明这个结论 假设l与OA不垂直
则过点O作OM⊥l,垂足为M
根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线l的距离小于半径，
∴直线l与⊙O 相交
这与已知“l是⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即l⊥OA.OMO∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，∴直线l ⊥OA.要点归纳例1 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD,∴∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线, 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行.已知：如图，AB是圆O的直径，l1,l2分别是经过点A，B的切线.
求证：l1//l2.证明：∵AB是圆O的直径，l1是过点A的切线，
∴ l1⊥OA.
同理 l2⊥OB.
∴ l1⊥AB，且l2⊥AB.
∴ l1//l2.例3 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（1）解：连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∵AD=DB，OC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10；（2）求证：ED是⊙O的切线．（2）证明：连接OD，如图所示，
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=EC= AC，∴∠1=∠2，
∵OD=OC，∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．1.已知如图,在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，（BC过圆心），∠BAC=63°，则∠ABC的度数为_________.当堂练习27°2.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .
3.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD= cm.60°4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；(1)求证：△ACB≌△APO；(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．5.如图，已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与圆O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP、AC、CP的长.
解：（1）如图1，连接AC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．
∴∠BAC=∠P=30°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．BC= AB=1，
由勾股定理，得AC= ，
AP= ．
则CP=BP-BC=4-1=3；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴CD= AP．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，
OA＝OC，∠3＝∠2，OF＝OF，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积= AF?OA= OF?AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE= ，
∴AC=2AE= ．课堂小结切线的
性质有1个公共点d=r圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.性质定理见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。2.5 直线与圆的位置关系第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5.3 切线长定理 1.理解和掌握切线长定理；(重点)
2.初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！直径所对的圆周角是直角.导入新课1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？讲授新课合作探究在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系？PA=PB，∠APO=∠BPO我们猜测过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.接下来我们验证这个猜测.推导与验证如图，连接OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPBBPOA切线长定理:
过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA = PB∠OPA=∠OPB几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.要点归纳BPOA典例精析例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA
和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.
求证：CO∥BD.分析：连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD＝90°即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可.证明：连接AB.
∵CA、CB是⊙O的切线，点A、B是切点,
∴CA＝CB，∠ACO＝∠BCO.
∴CO⊥AB.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD＝90°,
即BD⊥AB.
∴CO∥BD. 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.可以得到结论：OP垂直平分AB.拓展结论（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；例2 如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）A．4 B．5 C．6 D．7解析：连接OE，
∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°，
∵AO=5，OE=3，
∵AB=10，∴BE=6，
∵BG与⊙O相切于G，
∴BG=BE=6，
故选C．1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.（2）写出图中与∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.当堂练习△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB（3）写出图中所有的全等三角形；20 ° 4 3.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若∠BPA=60 °,则OP= .564.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．205.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,
∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 ° 6.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是________cm.解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. ⑵ ∠DOE= ____ .又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
同理可得∠COE= ∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+
∠COB）=70°.课堂小结切线长切线长定理作用过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.内容提供了证线段和
角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点
之间的线段的长.见《学练优》本课时练习课后作业课件28张PPT。2.5 直线与圆的位置关系第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5.4 三角形的内切圆 1.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)
2.能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)导入新课情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.方案一方案二方案三方案四√讲授新课合作探究猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.方案二切∟∟∟O画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.Ｅ∟∟∟OＤＦ半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.Ｅ∟∟∟OＤＦ平分线平分线交已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.做一做观察与思考与△ABC的三条边都相切的圆有几个？因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.知识要点ABCＯ外切三角形内切圆内心1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．填一填例1 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。解：∵∠ A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线典例精析∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB)
=180°- ( ∠ABC +∠ACB)
=180° - ×110°
= 125°.例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACB由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACB例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切
于D、E、F，连接OD、OE、OF，则
OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO设AD= x , BE= y ,CE＝ r B·ACEDFO 设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或r＝ (后面习题中证明).当堂练习(1)三角形的内心是三角形三边中垂线的交点（ ）
(2)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点（ ）
(3)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
(4) 三角形的内心到三角形各边的距离相等 （ ）
(5)三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
(6)三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角
（ ）错对对对错对1、判断对错110 ° A第2题3.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .30·BDEFOCA4.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC5.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
即∠DBE＝∠DEB，
故BD＝ED；(1)求证：BD＝ED；(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝ AD＝ ×8＝2(cm)．
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ,
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
∴DE＝4cm.拓展提升：
6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
(1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？
(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.51解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.∴OB＝BC＝3cm，∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.课堂小结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内切圆应用重要结论内心(三角形三条角平分线的交点)外切三角形见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.6 弧长与扇形面积第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 弧 长 1.经历弧长公式的探求过程，理解和掌握弧长的计算公式；(重点)
2.会利用弧长的计算公式进行相关的计算．(难点)问题1 你注意到了吗，在运动会的4×100米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新课讲授新课合作探究问题1 半径为r的圆,周长是多少？问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? (1)用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
(2)区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．要点归纳半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为典例精析例1 已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角所对的弧长(精确到0.1cm).解 例2 如图，一个边长为10cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.解 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA' 答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则弧AC的长为_________.2π2.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 当堂练习1.在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.260°B4.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则弧BC的长为__________(结果保留π)．解析：连接OB、OC，
∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.
在等腰△OBC中，
∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.
∴BC的长为 ＝2π(cm)．
故答案为2π.︵2π解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90°的扇形弧长之和，
即 课堂小结弧长见《学练优》本课时练习课后作业课件27张PPT。2.6 弧长与扇形面积第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 扇形面积 1.经历扇形的面积公式的探求过程，理解和掌握扇形面积的计算公式；(重点)
2.会利用扇形面积的计算公式进行相关的计算．(难点)猜一猜:有风不动无风动，
不动无风动有风.（打一夏季常用生活用品）导入新课情境引入看看扇子的轮廓，你能说出它是什么形状的图形吗？圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.OBA圆心角概念学习下列图形是扇形吗？判一判合作探究问题1 半径为r的圆,面积是多少？问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?=半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.要点归纳 ___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关，
___ 越长，面积越大.圆心角半径半径圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.圆心角半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.问题 扇形的面积与哪些因素有关？例1 如图，已知圆O的半径1.5cm,圆心角∠AOB=58o,求扇形OAB的面积(结果精确到0.1cm2)解 ∵r=1.5cm, n=58,
典例精析问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ 例2 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为_______．25解：由题意，弧DB=CD+BC=10，
故答案为25．例3 如图是一条圆弧形弯道,已知OA=20m,OC=12m, 弧CD的长度为9πm,求圆弧形弯道的面积．解：设∠AOB=n°,
∵OC=12m,弧CD的长度为9πm,
解得n=135,即圆心∠COD=135°,答：圆弧形弯道的面积为 .例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.D(2)(3)(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3，∴ OD＝DC.又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC. 从而 ∠AOD＝60?, ∠AOB=120?. 有水部分的面积： S＝S扇形OAB - S ΔOAB左图： S弓形=S扇形-S三角形
右图：S弓形=S扇形+S三角形弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积当堂练习1.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．3π2.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )CC4．一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为多少度? 解：设扇形半径为R，圆心角为n0,由扇形
公式答：该扇形的圆心角为150度． （cm）可得:5.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .6.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.ABDCE扇形定义公式阴影部分面积
求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形割补法课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件28张PPT。2.7 正多边形与圆第2章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解正多边形与圆的有关概念；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．(重点)导入新课情境引入问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？它们的各边都相等，各内角也相等.讲授新课各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形.概念学习1.如图① ，矩形ABCD是正四边形吗？
（ ）2.如图② ，菱形ABCD是正四边形吗？
（ ）图① 图② （理由：AB BC, CD DA.)(理由：∠ A ∠ B， ∠ C ∠ D.)××≠≠≠≠判一判正多边形各边相等各角相等缺一不可探究归纳∴同理∴解： AB=BC=CD=DE=EA.∠B=∠C=∠D=∠E.∠A=∠B. ∴ 五边形ABCDE是正五边形. 弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形问题3 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？弧相等— 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
OCDAOABCDEFGHRr正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角.60 °120 °120 °90 °90 °90 °120 °60 °60 °正多边形的外角=中心角完成下面的表格：想一想问题4 正n边形的中心角怎么计算？问题5 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？aRr问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？ 例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成典例精析B亭子地基的面积4mOABCDEF解：过点O作OM⊥BC于M.亭子地基的周长l=6×4=24(m)2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；·圆内接正多边形的辅助线1.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是________度．练一练452.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为______．解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= ，
∴∠AOC=90°，
∴AC= ，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCB=
，
∴正八边形面积为： ．问题7 如何做一个正多边形呢？(提示：圆与多边形的关系)只要将一个圆n等分，就可以得到正n边形.问题8 如何将圆n等分呢？用量角器将圆心角n等分，就可以将圆n等分.例2 用量角器画⊙O的内接正六边形. 方法归纳
用量角器画正n边形的一般方法：
（1）作圆；
（2）用量角器作 的中心角，得圆的n等分点；
（3）依次连接各等分点，得圆的内接正n边形.分析：关键是用量角器画60°的中心角.60o典例精析思考 还有其它的方法可以作出⊙O的内接正六边形吗？例3 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 __ ，
所以正六边形的边长与圆的半径 _ .
因此，在半径为r的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.60o相等rABCDEF作法：（1）在⊙O上以任意一点A为圆心、以r为半径画弧，连续截取点B、C、D、E、F；
（2）依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形ABCDEF即为所求.作法：（1）作直径AC与BD，使AC⊥BD.（2）依次连接AB、BC、CD、DA.则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.ABCD方法归纳 圆的内接正多边形有两种作法：1.用量角器作图；2.尺规作图.分析：因为正方形的中心角为 ，所以只要作
两条互相 的直径，就可将⊙O四等分.例4 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.90o垂直问题9 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴.正三角形
（奇数边）正方形
（偶数边）正五边形
（奇数边）正六边形
（奇数边）讨论与归纳1.正n边形 __ 轴对称图形，共有 __ 条对称轴；
2.n为奇数时，n条对称轴过中心与 ___；
(如上图中蓝色直线)
3.n为为偶数时，n条对称轴中：
n/2条过中心与 __ ； (如上图中蓝色直线)
n/2条过中心与边的 ___ 点. (如上图中红色直线) 是n顶点顶点中问题10 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？
问题11 如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？OOOO归纳总结 正n边形(n为偶数)是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.×√×√√√√√120°90°72°60°1. 填表2128422122. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .3当堂练习3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．72D6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）正多边形和圆正多边形和圆的关系正多边形的
有关概念正多边形的
有关计算添加辅助线的方法：
连半径，作边心距课堂小结中心半径边心距中心角正n边形各顶点等分其外接圆.正多边形的
画法1.用量角器作图
2.尺规作图见《学练优》本课时练习课后作业课件35张PPT。3.1 投影第3章 投影与视图导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解平行投影、正投影和中心投影的含义，弄清平行投影、正投影和中心投影的区别；(重点)
2.掌握平行投影、正投影和中心投影的性质．(重点)导入新课情境引入 物体在太阳光或灯光等光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，可见影子与物体有密切的关系.讲授新课观察与思考物体和它的影子如此密切，在数学中影子是物体的什么呢？投影所在的平面叫做投影面．照射光线叫做投影线.投影面投影投影线光线照射物体，会在平面（地面、墙壁等）上留下它的影子，把物体映成它的影子叫作投影.概念学习物体在投影下的像简称物体的投影．把下列物体与它们的投影用线连接起来：练一练 由于太阳距离地球很远，从太阳射到地面的光线可以看成平行光线，因此这种投影被称为平行投影 .概念学习应用于生活：人们还利用平行光线不易散发，照射得更远的特性制造探照灯;
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的． 日晷（guǐ）是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻． 课外知识1.每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的（ ）
A．东面 B．西面 C．南面 D．北面针对训练解析：因为小亮在早晨上学和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，
所以，他早晨是面向东，下午是面向西，
故小亮的家在学校的西面．B2.某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（甲）（乙）ADD'BEE'(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？（甲）（乙）ADD'BEE'(3) 在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和1m,那么你能求出甲木杆的高度吗?（甲）（乙）ADD'BEE'解：因为△ADD'∽△BEE',所以，
所以，甲木杆的高度为1.86m.问题 前面讲到了平行投影，还有其它的光线投影吗？物体影子灯光照射投影面灯光与太阳光线有什么不同？ 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的.例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影．
如果光线从一点发出(如灯泡、电影放映机、幻灯机的光线)，这样的投影为中心投影．概念学习 皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．应用于生活：平行投影和中心投影小组讨论：如图，平行投影和中心投影有什么区别和联系呢? 两幅图表示两根长度相同的标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线，并说出它们是平行投影还是中心投影.中心投影平行投影针对训练图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？中心投影平行投影平行投影观察与思考图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．图（2）中，投影线斜着照射投影面；在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，就称为正投影，如图（3）.概念学习如图是一根直的细铁丝（记为线段AB）在三个不同位置上的正投影； pABABABA3(B3)试比较三种情形下铁丝与其正投影的长度.(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点)．合作探究（1）AB平行于投影面: AB_____A1B1；
（2）AB倾斜于投影面: AB_____A2B2;
（3）AB垂直于投影面: ________．通过观察，我们可以发现：=>点A3(B3)结论如图是一块正方形硬纸板ABCD在三个不同位置上的正投影：
（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板正投影的形状和大小是否改变？观察与思考（3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为_______________．通过观察、测量可知：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的
_________________；（2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的
___________________；形状、大小一样形状、大小发生变化一条线段结论当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．归纳总结（2）（1）例1按照箭头所指的投影方向画出长方形的正投影
并标明尺寸:（1）（2）解(1)正投影是一个矩形（2）正投影是一个矩形 ABCDB当堂练习 1.下列物体的影子中，不正确的是( )
2．木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A.大于1.2m B.小于1.2m
C.等于1.2m D.小于或等于1.2mD3.如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（ ）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱B5.小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较______.（填“远”或“近”） .6.将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是_______________． 近三角形或线段7.确定图中路灯灯泡所在的位置.解：过一根木杆的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端作一条直线，两直线交于一点O.点O就是路灯灯泡所在的位置.O8.同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子. ABCDEFMHNO
9．下面右图是光线由上到下照射一个正五棱柱时的正投影，你能指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么吗？答：正五棱柱的各个侧面的正
投影分别是正五边形的各条边.
上下底面的正投影是正五边形.投影投影的概念中心投影物体在光线的照射下，会在地面或其
他平面上留下它的影子，这就是投影.概念：点光源的光线形成的投影.变化规律：垂直于地面的物体离点光源
距离近时，影子短，离光源远时影子长.作图寻找光源.已知光源出作投影.课堂小结平行投影
与正投影概念：平行光线所形成的投影平行光线与投影面垂直时形成的投影平行投影正投影画法计算见《学练优》本课时练习课后作业课件28张PPT。3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图第3章 投影与视图导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.认识直棱柱、圆锥的侧面展开图，并会进行相关的计算；(重点)
2.进一步培养空间观念和综合运用知识的能力．短片中的蒙古包很华美吧！如果要把图片中的破旧蒙古包装修得也很华丽，需要多少布料呢？导入新课情景引入 几何体的展开图在生产实践中有着广泛的应用.通
过几何体的展开图可以确定和制作立体模型，也可以计
算相关几何体的侧面积和表面积. 本节课我们就一起来
探究一下直棱柱、圆锥的侧面展开图.讲授新课问题1观察下列立方体，上下面有什么位置关系，侧面都分别是什么形状，侧棱与上下面有什么关系？观察与思考上下面相互平行，侧面均为矩形，侧棱垂直于上下面.概念学习在几何中，我们把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱”是指两个面的公共边，
它具有以下特征：
(1) 有两个面互相平行，称它们为底面；
(2)其余各个面均为矩形，称它们为侧面；
(3)侧棱（指两个侧面的公共边）垂直于底面.底面图形边数3456相应的,立
方体名称直三
棱柱直四
棱柱直五
棱柱直六
棱柱底面是正多边形的棱柱是正棱柱. 将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，这样形成的平面图形.如右图所示. 它是一个矩形，这个矩形的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧棱长（高）.直棱柱的侧面展开图一个食品包装盒的侧面展开图如图所示，它的
底面是边长为2的正六边形，这个包装盒是什么
形状的几何体？试根据已知数据求出它的侧面积.例1 典例精析解：根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已知上、下底面是正六边形，因此这个几何体是正六棱柱（如图所示）.由已知数据可知它的底面周长为2×6=12，
因此它的侧面积为12×6=72. 下图是雕塑与斗笠的形象，它们的形状有什么特点？观察与思考
1.在几何中，我们把上述这样的立体图形称为圆锥；2.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高；3.圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.概念学习如图，PO是圆锥的高.PA是母线.lor问题 圆锥的侧面展开图是什么图形？扇形圆锥的侧面展开图是扇形问题：
1.这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2.这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
3.圆锥的高、母线以及底面半径之间有什么关系？相等母线母线2=高2+半径2rlr扇形其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
母线、高及底面半径间的关系 l2=h2+r2h圆锥的侧面积计算公式圆锥的全面积计算公式
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为 ，全面积为 .
练一练例2 如图，小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积S是多少？分析 圆锥形帽子的底面周长就是扇形的弧长.解 扇形的弧长（即底面圆周长）为
所以扇形纸板的面积
典例精析Or41.下面几何图形中，是直棱柱的是（ ）DADCB当堂练习2.下列各图中，（ ）是四棱柱的侧面展开图．A． B． C． D．A3.三棱柱的底面边长都是3cm，侧棱长为5cm，则它的侧面展开图的面积为_______cm2．45
3.一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中和“值”字相对的字是（ ）
A．记 B．观 C．心 D．间A4.已知一个棱长为1cm的正方体，把这个正方体的侧面沿一条棱剪开展平，得到的图形是一个边长为 .1和4的矩形5 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．
6 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ．
180o10cm7.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积.解: ∵ l 2 =32＋ 42 = 52∴l =5cmS侧S全=S侧+S底
8.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?61B’解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°∴ 弧 BB’= 2π× l∴ △ABB’是等边三角形答:蚂蚁爬行的最短路线为6.解得 n=60∵ 圆锥底面半径为1,连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 又∵ 弧 BB’= ∴ 2π=∴BB’=AB=6 1.直棱柱的侧面展开图是矩形，
其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高.
2.圆锥侧面积公式：S侧=πrl
（r为底面圆半径，l为母线长）
3.圆锥全面积公式：S全=
（r为底面圆半径，l为母线长）课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件24张PPT。3.3 三视图第3章 投影与视图导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 画几何体的三视图 1.理解并掌握视图的概念，会判断简单几何体的三视图；
2.会画圆柱、圆锥、球、棱柱的三视图．(重点)导入新课情境引入 中国的辽宁舰是不是让你很自豪呢!如果你是设计制造辽宁舰的一位工程师，现要求你用三个平面图形展示辽宁舰的外观，你会怎么做呢？别慌，学完这节课，你就会明白了.讲授新课问题 怎样才能比较全面地了解物体的大小和形状，并把这些信息准确无误用图形表示出来呢？从前面、左面、上面三个方向观察物体，并分别画出这三个方向上的正投影.知识要点1.当我们从某一角度观察物体在这种正投影下的像就称为该物体的视图.
2.画物体视图的方法(以图示几何体进行说明)：第一步：从前往后看，画出立于它后面的竖直平面上的正投影，如下右图，这称为“主视图”.主视图第二步：从左往右看，画出立于它右边的竖直平面上的正投影，如下右图，这称为“左视图”.左视图第二步：从上往下看，画出立于它下方的水平面上的正投影，如下右图，这称为“俯视图”.俯视图我们把主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”.问题：观察主视图,左视图,俯视图你发现了什么规律？高长宽规律：长对正,高平齐,宽相等.在画三视图时，俯视图在主视图下边，左视图在主视图右边.典例精析例1 画球的三视图.分析 一个球无论在哪个平面上的正投影
都是圆，并且圆的半径与球的半径相等，
所以球的主视图、左视图、俯视图都是
半径与球的半径相等的圆及其内部.解 这个球的三视图如图所示.为表示球等几何体的对称轴，可在视图中加画点划线.例2 画圆锥的三视图.分析 从正面看这个圆锥，它的投影是一个等腰三角形及其内部；
从左面看这个圆锥，它的投影是和主视图一样的等腰三角形及其内部；
从上面看这个圆锥，它的投影是一个圆
及其内部，其中圆锥顶点的投影是这个
圆的圆心.解 这个圆锥的三视图如图所示.分析 从正面看,这个三棱柱的投影是一个矩形及其内部，其中侧棱C1C的投影是这个矩形的上、下两边中点的连线，由于看不见，因此用虚线表示；
从左面看，这个三棱柱的投影是一个矩形及其内部；
从上面看，这个正三棱柱的投影是正
三角形及其内部.例3 这是一个底面为等边三角形的正三棱柱，画出它的三视图.解 这个正三棱柱的三视图如图所示.请画出下面几何图形对应的三视图.(1)(2)针对训练1.找出图中每一物品所对应的主视图.当堂练习2.关于下面几何体有几种说法，其中说法正确的是（ ）
A.它的俯视图是圆
B.它的主视图与左视图相同
C.它的三种视图都相同
D.它的主视图与俯视图都是圆B 3.下图是一根钢管的直观图，画出它的三视图．解：下图是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁．4.如下图几何体，请画出这个物体的三视图.(1)(2) 5.下图是一个蒙古包的照片.小明认为这个蒙古包可以看成如图所示的几何体,请画出这个几何体的三种视图.你与小明的做法相同吗?左视图主视图俯视图6.如图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图： 视图从某一角度观察物体在正投影下
的像称为该物体的一个视图主视图：从正面得到的视图概念三视图的组成左视图：从左面得到的视图俯视图：从上面得到的视图三视图的画法长对正,高平齐,宽相等课堂小结看得见的轮廓线画成实线，看
不见的轮廓线画虚线为表示球等几何体的对称轴，
可在视图中加画点划线见《学练优》本课时练习课后作业课件26张PPT。3.3 三视图第3章 投影与视图导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 由三视图还原几何体 1.进一步明确三视图的意义，由三视图想象出原型；(重点)
2.由三视图得出实物原型并进行简单计算．(重点)你认识它吗？导入新课情景引入问题 如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1，而是图2，你能替这位工人师傅根据图2制造出水管接头吗？图1讲授新课问题1 如图所示的三视图表示什么立体图形？ 从三个方向看立体图形，图像都是矩形，因此这个物体是长方体.合作探究问题2 如图所示的三视图表示什么立体图形？ 从正面，左面看立体图形，图像都是矩形，从上面看是圆形，因此这个物体是圆柱.方法总结由三视图想象立体图形，要先根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.典例精析例1 根据图示三视图描述物体的形状？ 分析 从主视图可知，物体的正面是矩形的样子，且中间有一条棱(实线)可见到；
由俯视图可知，物体是矩形的样子，且中间有两条
棱可见到；
由左视图可知，物体的
侧面是正六边形的样子.
综合各视图可知，该物
体是正六棱柱.解 物体是正六棱柱，如图所示.解 这个零件由两部分构成：上面一个是圆柱、下面一个是长方体，圆柱立于长方体的中央.例2 如图是一个零件的三视图，试描述出这个零件的形状. 方法点拨：在根据三视图猜想几何体的形状时，要分步进行，先根据比较简单的某一视图猜想可能是哪些几何体；再根据另外两个视图分别猜想可能是哪些几何体，它们的公共部分即为问题的答案.否则，急于求成，眉毛胡子一把抓，则容易出现顾此失彼的错误.1.请根据下面提供的三视图，画出几何图形.针对训练(1) (2) 2.请根据下面提供的三视图，画出几何图形.(1) (2) 例3 一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请指出该几何体的形状，并根据图中的数据求出它的体积．解：该几何体的形状是四棱柱．
根据三视图可知，棱柱底面是菱形，
且菱形的两条对角线长分别为4cm,3cm．
∴棱柱的体积= ×3×4×8=48(cm3)．3.如图是某几何体的三视图，请根据图中尺寸计算该几何体的表面积．（结果保留3个有效数字）解：由三视图知：圆锥的高为 cm，底面半径为2cm，
∴圆锥的母线长为4，
∴圆锥表面积=π×22+π×2×4=12π≈37.7(cm2).针对训练4.某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3π B．2π C．π D．12A1.一空间几何体的三视图如图所示,画出该几何体.2 2当堂练习2.说出下面的三视图表示的几何体的结构特征，并画出其示意图.将一个长方体挖去两个
小长方体后剩余的部分3.一个零件的主视图和俯视图如图,请描述这个零件的形状,并补画出它的左视图.主视图俯视图球的一部分与圆柱的组合体,左视图同主视图.4..由几个相同的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示.方格中的数字表示该位置的小方块的个数.请画出这个几何体的主视图和左视图.主视图左视图5.如图是某工件的三视图，其中圆的半径是10cm，等腰三角形的高是30cm，则此工件的体积是( )A．1500πcm3 B．500πcm3
C．1000πcm3 D．2000πcm3C6.一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示，要摆成这样的图形，最少需用________个小正方体．6课堂小结 如何把组合体的三视图还原成几何体的实形：
1.把每个视图分解为基本图形（三角形，圆等）,
2.结合对应部分的三视图想象对应的基本几何体,
3.结合虚实线概括组合体.见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。4.1 随机事件与可能性第4章 概率导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解必然事件，不可能事件和随机事件的概念，并会识别；(重点)
2.理解随机事件发生的可能性是有大小的． 相传古代有个王国，国王非常阴险多疑，一位正直的大臣得罪了国王，被叛死刑，这个国家世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签，则立即处死，若抽到“生”签，则当众赦免.国王一心想处死大臣，与几个心腹密谋，想出一条毒计：生死签导入新课嘿嘿,这次让
你非死不可! 暗中让执行官把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，必死无疑.然而，在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下
的签是什么字就清楚了.”剩下的当然写
着“死”字，国王怕犯众怒，只好当众
释放了大臣. 老臣自有妙计！（1）在原定的法规中，大臣一定会被处死吗？（2）在国王的阴谋中，大臣一定会被处死吗？（3）在大臣的计策中，大臣一定会被处死吗？ 可能会，可能不会一定会不会嘿嘿,这次让
你非死不可!讲授新课问题1 晴天的早晨，太阳一定从东边升起来吗？合作探究问题2 通常，在1个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾吗？一定一定像这样，在一定条件下，必然发生的事件称为必然
事件.问题3 a是实数，a2＜0 不可能问题4 “种瓜”能“收豆”吗？一定不像这样，一定不发生的事件称为不可能事件.问题5 买1张福利彩票，开奖后一定能中奖吗？问题6 掷一枚均匀硬币，落下时，一定是正面朝上吗？不一定不一定 像这样的一类现象，在基本条件相同的情况下，
可能出现不同的结果，随“机遇”而定，带有偶然性，
这类现象称为随机现象. 随机现象中，如果一件事情可能发生，也可能不
发生，那么称这件事情为随机事件.确定性事件必然事件：不可能事件：在一定条件下，必然会发生的事件.必然不会发生的事件.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.事件确定性事件和随机事件统称为事件.
一般用大写英文字母A，B…表示.1.小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，试问：下列哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？练一练(1)出现的点数大于0.
(2)出现的点数会是7.
(3)出现的点数会是4.必然事件不可能事件随机事件2.下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
(1)掷一枚6个面上分别刻有1到6点的均匀骰子，朝上的一面的点数是偶数;
(2)在全是红色球的袋中任意摸出一球，结果是白球;
(3)地球绕着太阳转.必然事件不可能事件随机事件 袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球. 摸球试验（1）这个球是白球还是黑球？（2）如果两种球都有可能被摸出，那么是摸出黑球的可能性大，还是摸出白球的可能性大？答：可能是白球也可能是黑球.答：摸出黑球的可能性大. 结论：由于两种球的数量不等，且黑球多于白球，所以“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性.想一想：
能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？答：可以.例如：白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不变，加入2个白球.通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？一般地，
1.随机事件发生的可能性是有大小的；
2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.例 如图，一个质地均匀的小立方体有6个面，其中1个面涂成大红色，2个面涂成绿色，3个面涂成桃红色.在桌面上掷这个小立方体，正面朝上的颜色可能出现哪些结果？这些结果发生的可能性一样大吗？典例精析123解 小立方体落在桌面后，可能出现：“大红色朝上”“绿色朝上”“桃红色朝上”这3种情况.
由于小立方体涂成桃红色的面最多，绿色次之，大红色最少，因此，发生“桃红色朝上”的可能性最大，发生“绿色朝上”的可能性次之，发生“大红色朝上”的可能性最小.将涂成桃红色的一面改涂成大红色.问题 若请你来设计这个小立方体的颜色，你有什么办法可使得“大红色朝上”“绿色朝上”“桃红色朝上”的可能性一样大？1.下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件?（1）太阳从东边升起.（必然事件）（2）篮球明星林书豪投10次篮，次次命中.（随机事件）（3）打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片.（随机事件）（4）一个三角形的内角和为181度.（不可能事件）当堂练习2.如果袋子中有4个黑球和x个白球，从袋子中随机摸出一个，“摸出白球”与“摸出黑球”的可能性相同，则x= .3.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”发生的可能性（ ）“落在陆地上”的可能性.
A.大于 B.等于 C.小于 D.三种情况都有可能4A4. 桌上扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃.从中随机抽取1张扑克牌.
（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？
（2）你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？
（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？解：（1）不能确定；
（2）黑桃；
（3）可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃.5.袋中装有许多大小、质地都相同的球，搅匀后，从中取出10个球，发现有7个红球、3个白球；将取出的球放回后搅乱，又取出10个球，发现有8个红球、2个白球.问：
(1)是否可以认为袋中的红球有可能比白球多？
(2)能否肯定袋中的红球一定比白球多？
(3)袋中还可能有其他颜色的球吗？可以不能还可能有6.你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？数量不限，尽力． 如：必然事件：
随机事件：
不可能事件：
种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明.海市蜃楼，守株待兔.海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长.随机事件事件确定事件特点：
事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性.
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 不可能事件必然事件定义特点课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。4.2 概率及其计算第4章 概率导入新课讲授新课当堂练习课堂小结4.2.1 概率的概念 1.了解概率的定义，理解概率的意义；(重点)
2.理解P(A)＝ (在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义．(重点)必然事件:在一定条件下必然发生的事件.
不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.
随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.导入新课问题 回顾一下上节课学到的“必然事件”“不可能事件”“随机事件”的定义？复习引入随机事件随机事件守株待兔随机事件发生的可能性究竟有多大？能否用数值来刻画呢？随机事件我可没我朋友那么笨呢！撞到树上去让你吃掉，你好好等着吧，哈哈!讲授新课在一个箱子中放有1个白球和1个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同.现从箱子中随机取出1个球，每个球被取到的可能性一样大吗？__________.合作探究摸球试验那么我们可以用哪个数来表示取到红球的可能性？__________.取到白球的可能性是多大呢？__________.一样大现有一个能自由转动的游戏转盘，红、黄、绿3个扇形的圆心角度数均为120°，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向的区域可能是红色、黄色、绿色这3种情况中的1种.试问这3种情况出现的可能性大小一样吗？
___________.转盘试验一样指针指向这三个区域的可能性
大小是多少呢？__________.要点归纳 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）.例如，P（摸到红球）= .把分别写有数字1，2，3，4，5，五张一样的小纸片.捻成小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取一个小纸团,试问:（1）取出的序号可能出现几种结果，每一个小纸团出现
的可能性一样吗？合作探究可能取出序号为1，2，3，4，5中的任意一个小纸团；
可能性相同.（2）下表中的事件分别是什么事件？它们的概率是多少？55551350随机事件随机事件必然事件不可能事件 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是 .
如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率
事件A包括的可能结果数一次试验所有可能出现的结果数要点归纳 ∴
特别的事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越小不可能事件必然事件概率的值事件发生的概率越大，该事件就越有可能发生.例 假定按同一种方式掷两枚均匀硬币,如果第一枚出现正面（即正面朝上），第二枚出现反面，记为（正，反），如此类推.（1）写出掷两枚硬币的所有可能结果.（正，反）（正，正）（反，反）（反，正）典例精析（3）求事件A、B、C的概率（2）写出下列随机事件发生的所有可能结果.A：“两枚都出现反面”B：“一枚出现正面，一枚现反面”C：“至少有一枚现反面”（反，反）（正，反）（反，正）（正，反）（反，反）（反，正）例2有10张正面分别写有1,2,…,10的卡片，背面图案相同.将卡片背面朝上充分混匀后，从中随机抽取1张卡片，得到一个数.设A=“得到的数是5”，B=“得到的数是偶数”，C=“得到的数能被3整除”，求时间A，B，C发生的概率.
解：试验共有10种可能结果，每个数被抽到的可能性相等，则A包含1种可能结果，B包含5种可能结果，C包含3种可能结果.
所以 P(A)= , P(B)= , P(C)= .
1.袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则P(摸到红球)= ;P(摸到白球)= ;P(摸到黄球)= .当堂练习BC4.掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数大于6；
(2)点数为奇数；
(3)点数大于0.解：（1）此事件为不可能事件，P（点数大于6）=0；
（3）此事件为必然事件，因此 P（点数大于0）=1.
A6.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块别写有“20”，“16”和“里约”的字块，如果婴儿能够排成“2016里约”或“里约2016”．则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是_____．
2.必然事件A，则P(A)＝１；
不可能事件B，则P(B)=0；
随机事件C，则0＜P(C)＜1.
事件发生的概率越大，则该事件就越有可能发生.1.概率的定义及基本性质如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，
那么事件A发生的概率P(A)= .0≤m≤n，有0≤ ≤1课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。4.2 概率及其计算第4章 概率导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 用列表法求概率 4.2.2 用列举法求概率 1.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.(难点)
2.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.（重点）导入新课 我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.导入新课 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？我们一起来做游戏讲授新课 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；探索交流“掷两枚硬币”所有结果如下：正正正反反正反反解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是∵P(学生赢）=P(老师赢）.∴这个游戏是公平的.上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
合作探究 李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和为奇数，则李明赢；如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢.这个游戏对双方公平吗？问题1 利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生的概率，那么对于这个问题，用直接列举法方便吗？如果不方便，你能想到什么办法呢？各掷一枚骰子，可能出现的结果数目较多，为了不重
不漏地列举所有可能的结果，可以采用列表法.问题2 怎样列表格？ 一个因素所包含的可能情况另一个因素所包含的可能情况两个因素所组合的所有可能情况,即n列表法中表格构造特点:第二枚第一枚和把掷两枚骰子的全部可能结果列表如下：(1)所有可能出现的结果共有_______个.问题3 回答下列问题. 36(2)由于骰子是均匀的，这些结果出现的可能性_______.相等(3)由上表可知，点数之和为偶数的可能结果有_____个，
点数为奇数的可能结果有_____个.18(4)P(点数之和为偶数)=_______;
P(点数之和为奇数)=_______;18(5)这个游戏对双方_______.公平列表法求概率应注意的问题 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.列表法求概率的基本步骤例 一个袋子中装有大小和质地都相同的4个球：2个红球和2个白球.从中依次任意摸出两个球(第1次取出的球不放回袋中)，求下列事件的概率:A： 取出的2个球同色；B： 取出2个白球；用R1，R2表示两个红球；用W1，W2表示两个白球；用（R1，W2）表示第一次取出红球R1；不放回即取第
二个，取得白球W2，如此类推.典例精析（1）列表列举.第2次第1次将所有可能出现的情况列表如下：共有___________种可能结果.12(R2，R1)(R2，W1)(R2，W2)(W1，R1)(W1，R2)(W1，W2)(W2，R1)(W2，R2)(W2，W1)（2）写出各指定事件发生的可能结果：A：取出的两个球同色B：取出两个白球（3）指出事件的概率为：P(A)= ________________ P(B)=_____________________________________________________(共_____种)_____________________(共______种)(R2，R1)(R1，R2)(W1，W2)(W2，W1)(W1，W2)(W2，W1)421．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法有（ ）种．
A．4 B．7 C．12 D．81C当堂练习2.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（ ）
3.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ）
BDA. B. C. D. A. B. C. D. 5.从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的橫坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为________．D6.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.（1）摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？（2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？321321 解：（1）P（数字之和为4）= . 课堂小结列举法关键常用
方法直接列举法列表法画树状图法（下节课学习）适用对象两个试验因素或分两步进行的试验.基本步骤列表；
确定m、n值
代入概率公式计算.正确列举出试验结果的各种可能性.确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.前提条件见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。4.2 概率及其计算第4章 概率导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 用画树状图法求概率 4.2.2 用列举法求概率1.会用画树状图法列举试验的所有结果；(重点)
2.掌握用画树状图的方法求较复杂事件的概率．(重点)导入新课问题引入 小明和小华做 “石头、剪刀、布”游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀, 剪刀胜布, 布胜石头;若两人出的相同，则为平局.（1）怎样表示和列举一次游戏的所有可能出现的结果？列
表
法布锤剪布锤剪（2）除了列表法，你还可以想到其它的方法吗？为了不重不漏地列出所有可能的结果，除了列表法，我们还可以借助树状图法.树状图的画法一个试验第一个因素第二个因素如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.AB123123则其树状图如图.n=2×3=6树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.讲授新课问题 尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏中所有可能出现的结果，并求出事件A，B，C的概率.A：“小明胜” B：“小华胜” C “平局”合作探究解:小明小华结果开始一次游戏共有9个可能结果，而且它们出现的可能性相等.因此P(A)=事件C发生的所有可能结果：
（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）.事件A发生的所有可能结果：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；事件B发生的所有可能结果：
（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布）； P (B)= P (C)=画树状图求概率的基本步骤（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
例 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次.(1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式);(2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中”，
写出A发生的所有可能结果;(3)求P(A).典例精析解:(1)第二次第三次结果开始：甲共有八种可能的结果，每种结果出现的可能性相同;（2）传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生有两种可能出现结果（乙，丙，甲）（丙，乙，甲）
(3) P (A)=乙丙第一次甲甲丙乙甲甲丙丙乙乙乙丙（丙，乙，丙）（乙，甲，丙）（乙，丙，甲）（乙，丙，乙）（丙，甲，乙）（丙，甲，丙）（丙，乙，甲）（乙，甲，乙）方法归纳 当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树状图法；
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.思考 你能够用列表法写出3次传球的所有可能结果吗？若再用列表法表示所有结果已经不方便！经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.第一辆左右左右左直右第二辆第三辆直直左右直左右直左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右共有27种行驶方向（2）P（两车向右，一车向左）= ；
（3） P（至少两车向左）= 当堂练习1.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有 种不同的放法.2.三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（ ）3.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则n= .
10C8A. B. C. D. 4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于10)=解：根据题意，画出树状图如下 5.现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？解：根据题意，画出树状图如下由树状图得，所有可能出现的结果有18种，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包有2种，所以选的包子全部是酸菜包的概率是：6.甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出1个小球．IHAB（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？甲乙丙ACDEHIHIHIBCDEHIHIHI解：由树状图得，所有可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等.（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？甲乙丙ACDEHIHIHIBCDEHIHIHI课堂小结树状图步骤用法是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.注意弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；
在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.关键要弄清楚每一步有几种结果；
在树状图下面对应写着所有可能的结果，并找出事件所包含的结果数；
利用概率公式进行计算.见《学练优》本课时练习课后作业课件30张PPT。4.3 用频率估计概率第4章 概率导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律；(重点)
2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率；(重点)
3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．导入新课情境引入问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？问题2 它们的概率是多少呢？出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况都是问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？讲授新课 掷硬币试验试验探究(1)抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”
的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：2346781021231501752000.460.460.520.510.490.500.500.50(2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.频率试验次数试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.频率试验次数(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，
这些数据支持你发现的规律吗？支持归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率
来估计该事件发生的概率.数学史实人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．思考 抛掷硬币试验的特点：
1.可能出现的结果数__________;
2.每种可能结果的可能性__________.相等有限问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或
每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列
举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？其中顶帽着地的可能性大吗？ 做做试验来解决这个问题. 图钉落地的试验试验探究(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结果填写下表.56.5(%)(2)根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.(3)这个试验说明了什么问题.在图钉落地试验中，“顶帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数56.5%附近. 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.归纳总结 频率与概率都是随机事件可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数有关，因此频率具有随机性；
而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性.例 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”.
由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计. 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：(1)计算上表中合格品率的各频率(精确到0.001);
(2)估计这种瓷砖的合格品率(精确到0.01);
(3)若该厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数.(1)逐项计算，填表如下：(2)观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥400时，合格品率 稳定在0.962的附近，
所以我们可取p=0.96作为该型号瓷砖的合格品率的估计.
(3)500000×96%=480000(块)，可以估计该型号合格品数为480000块.当堂练习1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率；
B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近；
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近；
D．试验得到的频率与概率不可能相等B2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼 尾,鲢鱼 尾.3102703某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下
（1）填表（精确到0.001）；
（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？0.9000.7500.8670.7870.8050.7970.8050.802解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.4.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近
（精确到0.1）；
(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率
P（白球）= .0.60.60.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.1035.填表：由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 .0.100.90某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有
（x-2.22）×9000=5000，
解得 x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.6.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重 2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.解：先计算每条鱼的平均重量是：
（2.5×40+2.2×25+2.8×35）÷（40+25+35）
=2.53（千克）；
所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000× 95%
=240350（千克）.课堂小结频率估计概率大量重复试验求非等可能性事件概率列举法
不能适应频率稳定
常数附近统计思想用样本(频率)估计总体(概率)一种关系频率与概率的关系频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关见《学练优》本课时练习课后作业课件30张PPT。第1章 二次函数小结与复习 要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业要点梳理 一般地，形如 (a，b，c是常数， __)的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca ≠０[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．1.二次函数的概念2.二次函数的图象与性质：a＞0 开口向上a ＜ 0 开口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘3.二次函数图象的平移y＝ax2左、右平移 左加右减上、下平移 上加下减y＝-ax2写成一般形式沿x轴翻折4.二次函数表达式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 06.二次函数的应用1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1 A. y1≤y2 B．y1 C．y1≥y2 D．y1>y2B考点讲练例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．(1,2)例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上x＝－1的点判断a－b＋c的符号.例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3B例5 若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1A1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小C2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2 D3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（ ）
A．x＞4或x＜-2 B．-2＜x＜4
C．-2＜x＜3 D．0＜x＜3B5.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能（ ）
A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B例6 已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.待定系数法解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：解得, a=2,b=－3,c=5.∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.6.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
相同? a=1或－1
又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
? 顶点为(1,5)或(1,－5)
所以其表达式为:
(1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5
(3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？考点三 二次函数的应用解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891. 7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.
∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2=
x2+60x-450.
8.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0＜x＜20).
因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.
故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.例9 如图，O为坐标原点，边长为 的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（ ）A． B．
C． D．考点四 二次函数与特殊四边形的综合B 二次函数二次函数的概念二次函数与一元二次方程的联系二次函数的图象与性质课堂小结不共线三点确定二次函数的表达式二次函数的应用见《学练优》本课时练习课后作业课件48张PPT。第2章 圆小结与复习要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业·一.与圆有关的概念1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦:连接圆上任意两点的线段.3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.4.劣弧:小于半圆周的圆弧.5.优弧:大于半圆周的圆弧.要点梳理6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.[注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.·9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.[注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.11.三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.[注意] (1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.12.正多边形的相关概念(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.二、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内；d＜r 点P在圆上；d=r 点P在圆外.d＞r [注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交d＞r d=r d＜r 三、 圆的基本性质1. 圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.直径2. 有关圆心角、弧、弦的性质.(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.三、 有关定理及其推论1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 .[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．两条弧2.圆周角定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.四、 圆中的计算问题1.弧长公式半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.2.扇形面积公式半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________.或3.弓形面积公式弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积4.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为例1 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO
等于（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°B例2 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °B例3 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系.D1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°，则∠BOD等于（ ）
A．50° B．40° C．100° D．80°C针对训练135°2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是 .
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8CDO解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.针对训练D’P例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°.∵AD=3，BD=4，∴AB=5.∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，
即∠BDE+∠CDE=90°.∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.
∴ED与☉O相切.（2）证明：连接OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切. 例6 （多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.4或8解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.ABDCPP2P1E[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.
（1）求证：BC=2DE.解：（1）证明：连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切☉O于点B.又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB.∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠C=∠CDE，DE=CE.
∴BC=BE+CE=2DE.（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.在Rt△ABC中，又∵△ABD∽△ACB，解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.D解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.
∵∠ABC=30°，∴AB=2x.
BD= x.
∵∠ACD=90°-30°=60°，
∴ AD=CD×tan60°，CD= .
BC=BD-CD= =8.
解得 x=即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于 .50°针对训练6. 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.
∴AC是∠BCD的角平分线，
∴ON=OM，
∴ CD与☉O相切.N(2)解: ∵正方形ABCD的边长为1,AC= .
设☉O的半径为r,则OC= .
又易知△OMC是等腰直角三角形， ∴OC=
因此有 ，解得 .（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.7. 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC，
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°. (2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积？解：∵四边形OABC为菱形
∴OC=OA=1
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2
∴ ∠FOE=120°
又∵点C在以点O为圆心的圆上
8. 一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
40cm针对训练9. 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得∴正方形ABCD外接圆的半径为∴正方形ABCD的边长为例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.10. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
⑴求正方形EFGH的面积；解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
针对训练⑵∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= （1800-∠OFG）
= （1800-1500）=150.⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．例8 如何解决“破镜重圆”的问题：·例9 如何作圆内接正五边形怎么作？（1）用量角器作72°的中心角，得圆的五等分点；
（2）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.圆圆的性质与圆有关的位置关系弧长与扇形面积的计算圆的对称性圆是中心对称图形垂径定理点与圆的位置关系直线与圆的位置的关系切线长定理课堂小结圆的概念圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴切线三角形的内切圆正多边形与圆作图见《学练优》本课时练习课后作业课件32张PPT。小结与复习第3章 投影与视图要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点归纳1.投影：
物体在光线的照射下，会在某个平面（地面或墙壁）上留下它的影子，把物体映成它的影子叫作投影.2.平行投影：
太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.3.中心投影：
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.4.平行投影与中心投影的区别与联系：1.概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．2.性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．ABCDA'B'C'D'ABCDA'B'C'D'EFGF'G'H1.直棱柱的侧面展开图是矩形，
其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高.
2.圆锥侧面积公式：S侧=πrl
（r为底面圆半径，l为母线长）
3.圆锥全面积公式：S全=
（r为底面圆半径，l为母线长）主视图从上面看从正面看从左面看1.三视图的概念俯视图左视图主视图：从正面看，长方体在立于它后面的竖直平面上的正投影;
左视图：从左面看，长方体在立于它右边的竖直平面上的正投影；
俯视图：从上面看，物体在置于它下方水平面上的正投影.（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．（1）确定主视图的位置，画出主视图；（2） 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；2.三视图的画法：主视图俯视图左视图3.常见几何体的三视图：4.由三视图确定几何体：由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．5.由三视图确定几何体的面积和体积：（1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
（2）根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）. 例1 某校墙边有两根木杆．
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子)
(2)在图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在你所画的图中有相似三角形吗？为什么？
考点讲练【解析】所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时，在同一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端的影长恰好抵达墙角．解：(1)如图①，过E点作直线DD′的平行线，交AD′所在直线于E′，则BE′为乙木杆的影子．
(2)平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形(即△BEE′)，直到其影子的顶端E′抵达墙角(如图②)．
(3)△ADD′与△BEE′相似．理由略．1. 如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度.针对训练【解析】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DGE，然后利用相似比计算DE的长.解：（1）影子EG如图所示；
（2）∵DG∥AC，
∴∠G=∠C，
∴Rt△ABC∽△RtDEG，
∴ ，即 ，解得 ，
∴旗杆的高度为 m．
例2 如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为________m．解析：根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得△ECD∽△EBA，
∴CD：AB=CE：BE，
∴1.8：AB=2：5，
∴AB=4.5m．
故路灯灯泡距地面的高度为4.5m．2.如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？针对训练所以小明的身影变短了5－1.5=3.5（米）.解：小明的身影变短了.∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP即解得MA=5.同理，由△NBD∽△NOP可得NB=1.5.例4 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°C例3 圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为_______cm．3 例5 如下方左图，是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是( ).B例6 下列几何体中，各自的三视图只有两种视图相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．C例7 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）A． B． C． D．【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．B例8 由一些大小相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．7 B．6 C．5 D．4【解析】C 由主视图和俯视图可知，俯视图右边两个方格的位置上各放置了一个正方体，所以在这两个方格里分别填入数字1(如图)；由主视图和俯视图又知，俯视图左边一列上两个方格每格上最多有2个正方体；又由左视图和俯视图知，俯视图中左边一列下边一个方格中应该只有一个正方体，故应填入数字1，上边应有2个正方体，故填入数字2.所以组成这个几何体的小正方体的个数有2＋1＋1＋1＝5(个)． 3. 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．(单位：mm)主视图左视图俯视图针对训练解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱．密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm，边长为50mm，右图是它的展开图．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为（mm2）4.如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；解：（1）该几何体是圆锥；
（2）表面积S=S扇形+S圆
=12π+4π=16π（平方厘米），
即该几何体全面积为16π平方厘米；（3）如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，
则线段BD为所求的最短路程．
设∠BAB′=n°．
∴n=120即∠BAB′=120°．
∵C为弧BB′中点，
∴∠ADB=90°，∠BAD=60°，
∴BD=AB?sin∠BAD=6× cm，
∴线路的最短路程为 cm．（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．课堂小结物体
（立体图形）投影中心投影平行投影正投影
（视图）主视图俯视图左视图三视图想象光照点光源平行光线光线垂直于投影面由前向后看由上向下看由左向右看直棱柱、圆锥的侧面展开图见《学练优》本课时练习课后作业课件27张PPT。小结与复习第4章 概率要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、事件的分类及其概念要点梳理事件确定事件随机事件必然事件不可能事件 1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；
2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；
3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随
机事件. 1.概率： 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）.
二、概率的概念事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越小不可能事件必然事件概率的值2.三、随机事件的概率的求法1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率.②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件
可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有
的性质，不具有随机性.2.概率的计算公式：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是 .
如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法.一个因素所包含的可能情况另一个因素所包含的可能情况两个因素所组合的所有可能情况,即n 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算.列表法中表格构造特点: 当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,怎么办?四、列表法 当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.树形图的画法:一个试验第一个因数第二个第三个 如一个试验中涉及2个或3个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况;第三个因数中有2种可能的情况.AB123123ababababababn=2×3×2=12五、树状图法考点讲练例1 下列事件是随机事件的是（ ）
A.明天太阳从东方升起
B.任意画一个三角形，其内角和是360°
C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D.射击运动员射击一次，命中靶心 D1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的概率是 ”的意思是（ ）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球B针对训练 2.下列事件中是必然事件的是（ ）
A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏
C．小红期末考试数学成绩一定得满分
D．将油滴入水中，油会浮在水面上
D例2 如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）A． B． C． D． B 例3 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．
（1）写出k为负数的概率；
（2）求一次函数y=kx+b的图象经过
二、三、四象限的概率.解：（1）P（k为负数）= . 【解析】（1）因为－1，－2，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ；
（2）由于一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限时, k，b均为负数，
所以在画树状图列举出k、b取值的所有情况后，从中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案．．（2）画树状图如右：
由树状图可知，k、b的取值共有6种情况，
其中k＜0且b＜0的情况有2种，
∴P（一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限）= .
3. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( )
A. B. C. D. A针对训练4.如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为________．例4 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数最有可能是（ ）
A.24个 B.18个 C.16个 D.6个C5.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球，且通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 左右，那么口袋中球的总个数为_____．解析：设口袋中球的总个数为x，
由题意可知 ，
所以x=15．针对训练15例5 在一个不透明的口袋里装有分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；解：（1）列表如下卡片小球共有9种等可能结果；（2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：
规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢；
规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.规则1：P(小红赢）= ；
规则2：P(小红赢）=
∵ ， ∴小红选择规则1.6.A、B两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满20元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同.规则是： ①A超市把转盘甲等分成4个扇形区域、B超市把转盘乙等分成3个扇形区域，并标上了数字（如图所示）； ②顾客第一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止
后指针所指数字之和为奇数时
就获奖（若指针停在等分线上，
那么重转一次，直到指针指向
某一份为止）.针对训练解：（1）列表格如下：第一回第二回甲转盘共有16种等可能结果，其中中奖的有8种；∴P(甲）=（1）利用树状图或列表法分别求出A、B两超市顾客一回转盘获奖的概率；第一回第二回乙转盘共有9种等可能结果，其中中奖的有4种；（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说明理由.（2）选甲超市.理由如下：
∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.事件随机事件确定性事件用列举法求概率用频率估计概率树状图法列表法课堂小结不可能事件必然事件概率的概念见《学练优》本课时练习课后作业
