24.5 三角形的内切圆
1．了解并掌握有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念；
2．学会解决与三角形的内切圆和三角形内心有关的计算，进一步体会数形结合思想(重点，难点)．
一、情境导入
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？
探索：(1)当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
(2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
(3)如何确定这个圆的圆心？
二、合作探究
探究点一：与三角形内切圆有关的计算
【类型一】 求三角形的内切圆的半径
如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.
方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 求三角形的周长
如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为( )
A．r B.r C．2r D.r
解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.
方法总结：本题没有明确告诉数据，因此要从转化入手，连接切点与圆心，运用三角形内切圆的相关性质，得到等量关系，从而求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
探究点二：三角形的内心及相关计算
【类型一】 根据三角形的内心求角度
已知O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC等于( )
A．100° B．115° C．130° D．125°
解析：∵O是△ABC的内心，∠A＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°，∴∠BOC＝180°－65°＝115°.故选B.
方法总结：在三角形中三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 三角形内心的有关判定
如图，⊙O与△ABC的三条边相交所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )
A．点O是△ABC的内心
B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形
D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得OM＝ON＝OQ，即O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心，故选A.
方法总结：本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形内心的综合应用，解题时要注意三角形的内心到三角形三边的距离相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
2．三角形的内心
内切圆的圆心叫做三角形的内心，是这个三角形三个内角的角平分线交点．三角形的内心到三角形的三边距离相等．
教学过程中，需要向学生强调三角形的内切圆圆心的性质与特点，针对难以理解的概念性问题，可以在练习中让学生自己探索解题方法，引导学生发现规律，使学生成为课堂真正的主人.
26.1 随机事件
1．通过对生活中各种事件的概率的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确的判断(重点)；
2．知道事件发生的可能性是有大小的(难点)．
一、情境导入
在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔和水中捞月所描述的事件分别属于什么类型的事件呢？
二、合作探究
探究点一：必然事件、不可能事件和随机事件
【类型一】 必然事件
一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是( )
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
解析：∵袋子中只有3个白球，而有5个黑球，∴摸出的4个球可能都是黑球，因此选项A是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球，也可以3黑1白、2黑2白、1黑3白，不管哪种情况，至少有一个球是黑球，∴选项B是必然事件；摸出的4个球可能为1黑3白，∴选项C是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球或1白3黑，∴选项D是不确定事件，故选B.
方法总结：事件类型的判断首先要判断该事件发生与否是不是确定的．若是确定的，再判断其是必然发生的(必然事件)，还是必然不发生的(不可能事件)；若是不确定的，则该事件是不确定事件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 随机事件
下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④测量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________(填序号)．
解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°，所以事件④是必然事件，属于确定事件．故答案是①③.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】 不可能事件
下列事件中不可能发生的是( )
A．打开电视机，中央一台正在播放新闻
B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范
C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快
D．太阳从西边升起
解析：“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：随机事件的可能性
在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形这五个图形，画面朝下随意放在桌面上，小芳随机抽取一张卡片．用P1、P2、P3分别表示事件(1)“抽得图形是中心对称图形”；(2)“抽得图形是轴对称图形”；(3)“抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形”发生的可能性大小，按可能性从小到大的顺序排列是( )
A．P3＜P2＜P1
B．P1＜P2＜P3
C．P2＜P3＜P1
D．P3＜P1＜P2
解析：∵等边三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，菱形是轴对称图形又是中心对称图形，矩形是轴对称图形又是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，∴中心对称图形是平行四边形、菱形和矩形，P1＝；轴对称图形是等边三角形、菱形、矩形和等腰梯形，P2＝；既是中心对称图形，又是轴对称图形的是菱形和矩形，P3＝，∵＜＜，∴P3＜P1＜P2.故选D.
方法总结：本题考查的是可能性的大小，熟知轴对称图形和中心对称图形的性质是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．必然事件、不可能事件和随机事件
必然事件：一定会发生的事件．
不可能事件：一定不会发生的事件．
必然事件和不可能事件统称为确定性事件．
随机事件：无法事先确定一次试验中会不会发生的事件．
2．随机事件的可能性
一般地，表示一个随机事件A发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概率，记作P(A)．
教学过程中，结合生活实际，对身边事件发生的情况作出判断，通过实测理解掌握定义，鼓励学生展开想象，积极参与到课堂学习中去.
26．3 用频率估计概率
1．理解并掌握用随机事件的频率估计概率的原理；
2．理解频率与概率的关系，并能运用其进行简单计算(重点、难点)．
一、情境导入
养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？
二、合作探究
探究点：用频率估计概率
【类型一】 用频率估计概率
掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( )
A．可能有5次正面朝上
B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上
D．不可能有10次正面朝上
解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B、C、D不一定正确，选项A正确，故选A.
方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，且偏离它的可能性很小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 用模拟试验估计概率
“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．
解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以红球的总数为1000×0.2＝200，故答案为200.
方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 频率估计概率的实际应用
为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．
解析：设鱼塘中估计有x条鱼，则5∶200＝30∶x，解得x＝1200，故答案为1200.
方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型四】 通过多次试验的频率估计概率
研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
统计结果如表：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到有记号
球的次数m
25
44
57
105
160
199
摸到有记号
球的频率
0.25
0.22
0.19
0.21
0.20
0.20
(1)请你根据表中数据估计摸到有记号球的概率是多少？
(2)估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？
解析：(1)根据图表数据分析得出摸到有记号球的概率；(2)根据(1)中所求概率，即可得出盒中共有球的个数以及没有带记号的个数．
解：(1)摸到有记号球的概率是0.2；
(2)根据图表可以得出摸到有记号球的概率是0.2，盒中有球x个，则有＝0.2，解得x＝40，知盒中有球40个，故没有记号球有40－8＝32(个)．
方法总结：此题主要考查了模拟实验，根据实验估计得出摸到有记号球的概率是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．用频率估计概率
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率会稳定到某一个常数p，于是，我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率，即P(A)＝p.
教学过程中，学生通过对比频率与概率的区别，体会到两者间的联系，从而运用其解决实际生活中遇到的问题，使学生感受到数学与生活的紧密联系.
24.1 旋转
第1课时 旋转的概念和性质
1．了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质(重点)；
2．了解旋转对称图形的有关概念及特点(难点)．
一、情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？
二、合作探究
探究点一：旋转的概念和性质
【类型一】 旋转的概念
下列事件中，属于旋转运动的是( )
A．小明向北走了4米
B．小朋友们在荡秋千时做的运动
C．电梯从1楼上升到12楼
D．一物体从高空坠下
解析：A.是平移运动；B.是旋转运动；C.是平移运动；D.是平移运动．故选B.
方法总结：本题考查了旋转的概念，图形的旋转即是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 旋转的性质
如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
解析：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°.又∵∠B＝100°，∴∠BAC＝30°，∴∠α＝∠BAE－∠BAC＝50°.故选B.
方法总结：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】 与旋转有关的作图
在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案．
解：
方法总结：此题主要考查了旋转变换以及平移变换，得出对应点的位置是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点二：旋转对称图形
【类型一】 认识旋转对称图形
下图中不是旋转对称图形的是( )
解析：A.360°÷5＝72°，图形旋转72°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误；B.不是旋转对称图形，故本选项正确；C.360°÷8＝45°，图形旋转45°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误；D.360°÷4＝90°，图形旋转90°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误．故选B.
方法总结：本题考查了旋转对称图形的概念及性质，把一个旋转对称图形绕着一个定点旋转一个角度后与初始图形重合，可据此判定一个图形是否为旋转对称图形．
【类型二】 旋转对称图形的特点
如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转的度数为( )
A．30° B．60° C．120° D．180°
解析：图形可看作是正六边形被平分成六部分，故每部分被分成的角是60°，故旋转60°的整数倍就可以与自身重合．故选B.
方法总结：解题关键在于对旋转对称图形的旋转角的概念的理解，通过计算旋转角可得出答案．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．旋转的概念
(1)旋转中心；(2)旋转角；(3)对应点．
2．旋转的性质
在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中线的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点．
3．旋转对称图形
本课时所学习的内容概念性较强，在教学时可借助多媒体软件，形象生动的展示旋转的性质，使学生能够深刻理解，为接下来的学习打下基础．在教学设计中，应突出学生在课堂学习中的主体地位，强调学生自主探索和合作交流，增强动手能力，培养探究精神.
24.1 旋转
第2课时 中心对称和中心对称图形
1．理解中心对称和中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的性质(重点)；
2．能够依据中心对称图形的定义判断某图形是否为中心对称图形(难点)．
一、情境导入
剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：中心对称的性质
如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是( )
A．3
B．6
C．8
D．12
解析：设AB边上的高为h，因为△AOB的面积是12，AB＝3，所以×3×h＝12，所以h＝8.又因为△AOB与△DOC成中心对称，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD边上的高是8.故选C.
方法总结：成中心对称的两个图形全等，全等三角形的对应高相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：中心对称图形的性质与识别
【类型一】 中心对称图形的识别
下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
解析：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B.
方法总结：识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 与中心对称图形有关的作图
如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
(1)请你分别画出三个图形关于点O的中心对称图形；
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度能与自身重合？
解：(1)如图所示；
(2)这个整体图形的对称轴有4条；此图形最少旋转90°能与自身重合．
方法总结：作中心对称图形的一般步骤：(1)确定具有代表性的点(如线段的端点)；(2)作出每个代表性点的对称点；(3)按照原图形的形状顺次连接各个对称点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型三】 中心对称图形的性质及应用
如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
解析：观察图中阴影部分，可以利用中心对称图形的性质进行转化，将复杂问题简单化．
解：因为矩形ABCD是中心对称图形，所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面积为×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3.
方法总结：利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型四】 平面直角坐标系中的中心对称
已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为中心，作△EFO的中心对称图形，则点E的对应点E′的坐标为________．
解析：由中心对称可得到新的点与原来的点关于原点对称．∵E(－4，2)，∴点E的对应点E′的坐标为 (4，－2)，故答案为(4，－2)．
方法总结：两点关于原点中心对称，横纵坐标均互为相反数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．中心对称的定义与性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
2．中心对称图形
把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心．
在教学过程中，应该鼓励学生进行自主探究，自己动手去探索中心对称和中心对称图形的特点，加深对新知识的认识和理解．教师在课堂上起辅助作用，引导学生自己解决问题，注重培养学生的独立意识.
24.1 旋转
第3课时 旋转的应用
1．理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题(重点，难点)；
2．能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计(难点)．
一、情境导入
2016年里约热内卢奥运会会徽是由三人牵手相连的标志，以代表巴西的著名景点“面包山”作为图形的基础，融合充满激情的卡里奥克舞，并且呼应了巴西国旗的绿黄蓝三色．标志象征着团结、转变、激情及活力，在和谐动感中共同协力，同时也体现了里约的特色和这座城市多样的文化，展示了热情友好的里约人和这座美丽的上帝之城．
二、合作探究
探究点一：坐标平面内的旋转变换
【类型一】 坐标平面内图形的旋转变换
如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为( )
A．(3，1) B．(3，2)
C．(2，3) D．(1，3)
解析：根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．如图，点A′的坐标为(1，3)，故选D.
方法总结：本题考查了坐标与图形旋转，根据网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 坐标平面内线段的旋转变换
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(1，0)，若点A的坐标为(a，b)，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是__________．
解析：过点A作AC⊥x轴，过点A′作A′D⊥x轴，垂足分别为C、D，显然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵点A的坐标为(a，b)，点B的坐标是(1，0)，∴OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.∵点A′在第四象限，∴点A′的坐标是(b＋1，－a＋1)．故答案为(b＋1，－a＋1)．
方法总结：本题考查了坐标与线段的变化，作出全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A′到坐标轴的距离是解题的关键，书写坐标时要注意点所在的象限．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：动态图形的操作与图案设计
【类型一】 图形的变换
用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：解法不唯一．例如：
方法总结：求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就．
【类型二】 图案设计
如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.
解析：所给左上角的三角形的面积为×1×1＝，故设计图案总共需要三角形4÷＝8(个)，以O为对称中心的中心对称图形，同时又是轴对称图形的设计方案有很多．
答案：答案不唯一，以下各图供参考：
方法总结：在读清要求后，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
三、板书设计
1．坐标平面内的旋转变换
2．动态图形的操作与图案设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，鼓励学生自己动手操作，经历运用平移、旋转、轴对称的组合进行简单的图案设计过程，体会图形的欣赏与设计的奇妙.
24.2 圆的基本性质
第1课时 与圆有关的概念及点与圆的位置关系
1．认识圆及圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系(重点)；
2．理解并掌握点与圆的位置关系，并能够进行简单的证明和计算(重点，难点)．
一、情境导入
在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？
二、合作探究
探究点一：与圆相关的概念
【类型一】 圆的有关概念的理解
有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.
方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 利用圆的相关概念进行线段的证明
如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.
解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论．
证明：∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝OA，OD＝OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD.
方法总结：“同圆的半径相等”“公共角”“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，将复杂问题简单化，使问题迎刃而解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型三】 利用圆的相关概念进行角的计算
如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
解析：要求∠AOC的度数，由图可知∠AOC＝∠C＋∠E，故只需求出∠C的度数，而由AB＝2DE知DE与⊙O的半径相等，从而想到连接OD构造等腰△ODE和等腰△OCD.
解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，OC，OD是⊙O的半径，AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°，∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.
方法总结：本题考查了圆的相关概念与等腰三角形的综合，解题时结合题设条件，运用半径构造出等腰三角形，根据等腰三角形的性质求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二：点与圆的位置关系
【类型一】 判断点和圆的位置关系
如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内．∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上．∵AC＝＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外；
(2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，∴3cm＜r＜5cm.
方法总结：平面上一点P与⊙O(半径为r)的关系有以下三种情况：(1)点P在⊙O上，OP＝r；(2)点P在⊙O内，OPr.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 点和圆的位置关系的应用
如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．
解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O与点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区．
方法总结：解决实际问题时，应选取合适的数学模型，结合所学知识求解．本题应用到的是点和圆及三角形三边关系的相关知识．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
三、板书设计
1．与圆有关的概念
圆心、半径、弦、直径、圆弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧．
2．点和圆的位置
(1)点P在⊙O上，OP＝r；
(2)点P在⊙O内，OP(3)点P在⊙O外，OP>r.
教学过程中，应鼓励学生自己动手画圆，探究圆形成的过程，同时小组讨论、交流各自发现的圆的有关性质，使学生成为课堂的主人，进一步提升学生独立思考问题的能力及探究能力.
24.2 圆的基本性质
第2课时 垂径分弦
1．理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点)；
2．认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)．
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？
二、合作探究
探究点一：垂径定理及应用
【类型一】 利用垂径定理求线段长
如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )
A．2cm B．3cm
C．4cm D．4cm
解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2cm，∴AB＝4cm.故选D.
方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
解析：本题考查垂径定理的应用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，在Rt△ADO中，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 动点问题
如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．
解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm．
方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二：垂径定理的推论的应用
【类型一】 利用垂径定理的推论求角
如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型二】 利用垂径定理的推论求边
如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A．9 B．8 C．6 D．4
解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直径CD过弦AB的中点E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8.故选B.
方法总结：垂径定理的推论虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
2．垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
教学过程中，引导学生探究垂径定理及其推论时，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在练习过程中，引导学生结合实际运用垂径定理，使学生养成良好的思维习惯.
24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
1．结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质；
2．能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题(重点，难点)．
一、情境导入
人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
二、合作探究
探究点：圆心角定理及其推论
【类型一】 圆心角与弧的关系
如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
解析：∵C、D是的三等分点，∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 圆心角与弦、弦心距间的关系
如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________．
解析：由＝，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型三】 圆心角定理及其推论的应用
如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴＝.
证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OA＝OB，OM＝OA，ON＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴＝.又∵＝，＝，∴＝.
图①
图②
证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴＝.
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
2．圆心角定理推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
教学过程中，向学生强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，引导学生探究时，要鼓励学生大胆猜想，使其体会数学中转化思想的魅力之处，进而培养学生的逻辑思维能力.
24.2 圆的基本性质
第4课时 圆的确定
1．理解并掌握确定圆的条件；
2．理解三角形的外接圆，三角形外心的概念，能够运用其性质进行计算(重点，难点)；
3．理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题(难点).
一、情境导入
小明不慎把家中的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是哪一块？
二、合作探究
探究点一：确定圆的条件
已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C.
解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．
解：(1)连接AB、BC；
(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心；
(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．
方法总结：作经过三点的圆，即作这三点构成的三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的性质可知，其圆心为三边垂直平分线的交点，依据此作图即可求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二：三角形的外接圆
【类型一】 与圆的内接三角形有关的坐标的计算
如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是________．
解析：由图可知△ABC外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝－1上，也在线段AB的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝x＋1上，则有解得则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)．
方法总结：解题时可根据外接圆的圆心的性质：三角形外接圆圆心为三角形三边的垂直平分线的交点，列出相应的等式关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算
如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.
方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
探究点三：反证法
用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．
证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心．
方法总结：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．反证法证明的一般步骤
(1)反设；(2)推理；(3)结论．
教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；
2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．
比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角定理
【类型一】 利用圆周角定理求角
如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.
方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想
已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．
解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．
解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°.
如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝∠BOD，∠ABD＝∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝(∠BOD＋∠AOD)＝∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.
综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.
方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：圆周角定理的推论
【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题
如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于( )
A. B. C．2 D.
解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝ ＝.故选D.
方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题
如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
解析：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角．
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵＝，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.
方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
三、板书设计
1．圆周角的概念
2．圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．圆周角定理的推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.
24.3 圆周角
第2课时 圆内接四边形
1．理解圆内接多边形的概念；
2．掌握圆内接四边形的性质，并能够运用其进行简单的计算与证明(重点、难点)．
一、情境导入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
二、合作探究
探究点：与圆内接四边形有关的计算
【类型一】 利用圆内接四边形的性质进行计算
如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
方法总结：解决圆中角度计算问题关键是掌握弧的角度、弧所对圆心角的度数和弧所对圆周角度数之间的关系，巧妙地利用弧的度数作桥梁进行转化，找出相应的等量关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用圆内接四边形的性质进行证明
如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.
证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．
方法总结：在运用圆的内接四边形进行解题时，要牢记圆内接四边形的对角互补．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
三、板书设计
1．圆的内接多边形
2．圆的内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角．
教学过程中，以学生为主体，让学生自己探究圆内接四边形的性质，在探究的过程中体会转化思想．在解决问题时能通过联想进行转化，提升学生的逻辑思维能力.
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
1．了解并掌握直线与圆的不同位置关系时的有关概念；
2．能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题(重点、难点)．
一、情境导入
你看过日出吗，如图是海上日出的一组图片，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？
二、合作探究
探究点：直线与圆的位关系
【类型一】 根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
解析：分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.
方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离
已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________．
解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即d＞5.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 直线与圆的位置关系与一元二次方程的综合
已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2－2x＋a＝0的两根，当直线m与⊙O相切时，求a的值．
解析：由直线m与⊙O相切可得出d＝R，即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，由Δ＝0即可求出a的值．
解：∵直线m与⊙O相切，∴d＝R.即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
方法总结：由直线与圆的位置关系可知：当直线与圆相切时，d＝R.再结合一元二次方程根的判别式的知识，列出关于未知数的方程，即可得解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型四】 坐标系内直线与圆的位置关系的应用
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于点Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理得r2＝4＋(4－r)2，解得r＝2.5，可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.
方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型五】 直线与圆的位置关系中的移动问题
如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
A．40°或80° B．50°或100°
C．50°或110° D．60°或120°
解析：如图，①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°；Rt△OPB中，OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∴∠ABA′＝50°；②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时同①，可求得∠A′BO＝30°，此时∠ABA′＝80°＋30°＝110°.故旋转角α的度数为50°或110°，故选C.
方法总结：此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
直线与圆的位置关系
(1)相交：直线与圆有两个交点，直线l与⊙O相交d(2)相切：直线与圆只有一个交点，直线l与⊙O相切d＝r；
(3)相离：直线与圆没有公共点，直线l与⊙O相离d>r.
教学过程中，强调学生从实际生活中感受、体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提升学生独立思考问题的能力.
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质和判定
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的性质
【类型一】 切线的性质的运用
如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝，求⊙O的半径．
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.
方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型三】 探究圆的切线的条件
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．
解析：(1)当点P是的中点时，得＝，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长．
解：(1)当点P是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴PA是⊙O的直径．∵＝，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．
(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE＝BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝.在Rt△ABP中，AP＝2r＝，AB＝10，∴BP＝＝.
方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点二：切线的判定
【类型一】 判定圆的切线
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 切线的性质与判定的综合应用
如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝2，求⊙O的半径．
分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由＝＝推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．
(1)证明：连接OC，BC.∵＝，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵＝＝，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2，∴AC＝4.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.
方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．切线的判定
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)；
2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
一、情境导入
新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．
二、合作探究
探究点：切线长定理及应用
【类型一】 利用切线长定理求线段的长
如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．
解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.
方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 利用切线长定理求角的大小
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】 切线长定理的实际应用
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝8(cm)，即铁环的半径为8cm.
方法总结：运用切线长定理解决实际问题，要选择合适的数学模型，解题时要结合切线长的性质等求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
三、板书设计
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．
教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力.
24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
1．理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算(重点，难点)；
2．学会通过等分圆周的方法作正多边形．
一、情境导入
生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？
二、合作探究
探究点：正多边形与圆
【类型一】 圆的内接多边形与外切多边形的有关计算
如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．
解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝∶2；
(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是∶2，所以S1∶S2＝3∶4.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
解：(1)取B与M重合，N与C重合，利用O是正三角形的中心，可知∠MON的度数是120°；
(2)取B与M重合，N与C重合，此时三角形MON是直角三角形，∠MON＝ ＝90°；取B与M重合，N与C重合，此时∠MON的对应角度是整个圆周的，∠MON＝＝72°；
(3).
方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B与M重合，N与C重合，可得出∠MON为定值且与正多边形边数相关．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 作正多边形
如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；
(2)在⊙O上用圆规截取＝；
(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．
方法三：(1)作直径AD；
(2)以D为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；
(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法四：(1)作直径AE；
(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；
(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．
方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型四】 与正多边形相关的证明
如图，直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上，且AB＝AC＝AO，OC、BC分别交⊙O于点E、F.求证：EF是圆内接正二十四边形的一边．
证明：∵AC切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵AC＝OA，∴∠AOC＝45°.∵AB＝OA，OB＝OA，∴∠BAO＝60°，∠BAC＝60°＋90°＝150°.∵AC＝AB，∴∠ABC＝(180°－150°)＝15°.∵∠AOF是弧AF所对圆心角，∠ABF是弧AF所对圆周角，∴∠AOF＝30°，∴∠EOF＝15°，∵＝24，∴EF是圆内接正二十四边形的一边．
方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF的度数是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．
2．利用等分圆周作正多边形．
教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.
24.6 正多边形与圆
第2课时 正多边形的性质
1．进一步了解正多边形的有关概念；
2．理解并掌握正多边形与圆之间的关系，并能运用其进行相关的计算(重点，难点)．
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
二、合作探究
探究点：正多边形的性质
【类型一】 求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，可知正多边形的边数为5，则其中心角为360°÷5＝72°.故填72.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.．设OH=r，由勾股定理可得r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2.
方法总结：熟练掌握多边形的相关概念以及等边三角形与圆的有关计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型三】 与正多边形有关的探究题
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过(2014，)的正六边形的顶点是( )
A．C或E B．B或D
C．A或E D．B或F
解析：∵点A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六边形的边长AB＝1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，∴此时点D的坐标为(4，0)．如图①所示，当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A′F′G＝30°，∴A′G＝A′F′＝，同理可得HD＝ ，∴A′D＝2，∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2.如图①，∵D(2，0)，∴A′(2，2)，OD＝2.
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2，2)开始到点(2014，)正好滚动2012个单位长度．∵＝335…2，∴恰好滚动335周多2个，如图②所示，点F′的纵坐标为，∴会过点(2014，)的是点F，当点D在(2014，0)位置时，则E点在(2015，0)位置，此时B点在D点的正上方，DB＝，所以B点符合题意．综上所示，经过(2014，)的正六边形的顶点是B或F.故选D.
方法总结：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．正多边形的有关概念
中心、半径、边心距、中心角
2．正多边形的性质
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
24.7 弧长与扇形面积
第1课时 弧长与扇形面积
1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程；
2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算(难点)．
一、情境导入
在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度应该怎么计算呢？
二、合作探究
探究点一：与弧长有关的计算
【类型一】 求弧长
如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm.
解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴的长为＝2π.
方法总结：根据弧长公式l＝，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用弧长求半径或圆心角
(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．
解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得＝，解得R＝2.
(2)根据弧长公式得＝，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 求动点运行的弧形轨迹
如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
解析：点A第1次落在直线l上所经历的路线的长为一个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长，此后每落在直线l上一次，都会经历一个半径长为2，圆心角为120°的扇形弧长和一个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，故点A第3次落在直线l上所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l＝3×＋2×＝4π＋π.故填(4＋)π.
方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况的规律，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：与扇形面积相关的计算
【类型一】 求扇形面积
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝＝＝3π.
方法总结：扇形面积公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 求运动形成的扇形面积
如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )
A．π B.
C.＋ D.＋
解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝1.由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝＝，S扇形ACA1＝＝，∴S总＝＋＝π.故选A.
方法总结：此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 求阴影部分的面积
如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．πcm2 B.πcm2
C.cm2 D.cm2
解析：设两个半圆的交点为C，连接OC，AB，根据题意可知点C是半圆，的中点，所以＝＝，所以BC＝OC＝AC，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积，又OA＝OB＝1cm，即图中阴影部分的面积为cm2，故选C.
方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．弧长的计算
2．扇形面积的计算
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法和转换法等.
24.7 弧长与扇形面积
第2课时 圆锥的侧面展开图
1．经历圆锥侧面积的探究过程；
2．学会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题(重点，难点)．
一、情境导入
观察下面一组图片，图中物体有什么共同特点？你知道它们的侧面展开图是什么图形吗？
二、合作探究
探究点：与圆锥侧面展开图相关的计算
【类型一】 求圆锥的侧面积
小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2
C．135πcm2 D．216πcm2
解析：圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．圆锥形礼帽的侧面积＝π×9×30＝270π(cm2)，故选A.
方法总结：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 求圆锥底面的半径
用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A．2πcm B．1.5cm
C．πcm D．1cm
解析：设底面半径为r，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr＝，∴r＝1，故选D.
方法总结：用扇形围成圆锥时，扇形的弧长是底面圆的周长．扇形的弧长公式为l＝.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 求圆锥的高
小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm B．6cm
C．8cm D．2cm
解析：如图，∵圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长＝6πcm，圆锥的底面圆周长＝2π·OB，∴2π·OB＝6π，解得OB＝3.又∵圆锥的母线长AB＝扇形的半径＝5cm，∴圆锥的高OA＝＝4cm.故答案选A.
方法总结：这类题要抓住两个要点：(1)圆锥的母线长为扇形的半径；(2)圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型四】 求圆锥的侧面展开图的圆心角
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
解析：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则由侧面积是底面积的2倍可知侧面积为2πr2，则2πr2＝πRr，解得R＝2r，利用弧长公式可列等式2πr＝，解方程得n＝180°.故选B.
方法总结：解关于圆柱和圆锥的侧面展开图的计算问题时，将立体图形和展开后的平面图形的各个量的对应关系联系起来至关重要．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型五】 运用圆锥的侧面积解决实际问题
某工厂生产一批漏斗，工人师傅要把一块矩形铁皮加工成底面半径为20cm，高为40cm的圆锥形漏斗，并且要求只有一条接缝(接缝忽略不计)．请问选长、宽分别为多少的矩形铁皮(如图所示)，才能最节约成本(即用料最少)?
解析：由于底面半径，高线，母线正好组成直角三角形，可由勾股定理求得母线长，则扇形的圆心角＝底面周长×180÷(母线长×π)，可在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形，由矩形和直角三角形的性质求得矩形的长和宽．
解：∵底面半径为20cm，高为40cm，∴由勾股定理可知R＝＝60cm.∵l＝40π＝ ，∴扇形的圆心角＝40π×180÷60π＝120°，在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形．如图，在矩形ABCD中，EF⊥AB，∠AFG＝120°，AD＝EF＝AF＝FG＝60cm，∵∠FGB＝∠EFG＝∠AFG－∠AFE＝120°－90°＝30°，∴FB＝FG·sin30°＝30cm，AB＝AF＋FB＝60＋30＝90cm.∴长为90cm，宽为60cm的矩形铁皮才能最节约成本．
方法总结：解决本题需将侧面展开，化曲面为平面，利用所给数值得到扇形的半径及圆心角，进而利用构造的直角三角形求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．圆锥的侧面展开图
(1)求圆锥的侧面积；
(2)求圆锥底面的半径；
(3)求圆锥的高；
(4)求圆锥的侧面展开图的圆心角；
(5)运用圆锥的侧面积解决实际问题．
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形中的各个量准确对应起来.
25.1 投 影
第1课时 平行投影与中心投影
1．了解平行投影与中心投影的含义，体会其在生活中的应用；
2．根据平行投影和中心投影的特点，能够进行相关的作图和计算(重点，难点)．
一、情境导入
太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光照射下形成的影子与在灯光照射下形成的影子有什么不同呢？
二、合作探究
探究点一：平行投影与中心投影
【类型一】 平行投影的作图
如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB在阳光下的投影是BC，请你画出此时同样垂直于地面的物体DE在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？
解：如图，连接AC，过点D作DF∥AC，过点E作EF∥BC交DF于点F，则EF就是DE的投影．由BC是北偏西方向，判断这一时刻是上午．
方法总结：(1)画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影子．(2)物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短，下午的影子方向由北向东变化，影子越来越长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 中心投影的作图
如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置．
解：如图所示，两条光线的交点O即为灯泡所在的位置．
方法总结：相交光线的交点即为点光源所在的位置．点光源下两个物体的影子可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 中心投影的变化规律
如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影．人的影子可以通过路灯和人的头顶作直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度．因此人离路灯越远，他的影子就越长．由A到B这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又逐渐变长．故选B.
方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：投影与计算
【类型一】 平行投影的有关计算
一位同学想利用树影测树高AB，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上(如图①)．经测量，留在墙上的影高CD＝1.2m，地面部分影长BD＝5.4m，求树高AB.
解：方法一：过点D作DE∥AC交AB于点E，如图①.∵四边形AEDC为平行四边形，∴AE＝CD＝1.2m.∵＝，∴EB＝2.7m，∴AB＝AE＋EB＝3.9m.
方法二：延长AC交BD的延长线于点E，如图②.∵CD＝1.2m，＝，∴DE＝2.4m.∴BE＝BD＋DE＝7.8m.∵＝，∴AB＝3.9m.∴树高AB为3.9m.
方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二是透过墙，补全树在平地上的影长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 中心投影的有关计算
如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，问此路灯有多高？
解：根据题意，易证，△CDE∽△ABE，则＝，即＝，所以AB＝4.8米．
答：此路灯高4.8米．
方法总结：与中心投影有关的计算，一般的解题思路是运用三角形的相似寻求对应的等量关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．平行投影
由平行光线所形成的投影．
2．中心投影
由一点(点光源)发出的光线所形成的投影．
影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念．通过在阳光、灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力.
25.1 投 影
第2课时 正投影
1．了解正投影的含义，能够确定物体正投影的情况；
2．了解线段、平面图形和几何体正投影的情况，并掌握其性质(重点、难点)．
一、情境导入
皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．
学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的像．
二、合作探究
探究点一：线段的正投影
木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.故选D.
方法总结：本题考查正投影的定义，注意同一物体所处的位置不同得到的正投影也不同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：平面图形的正投影
下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是( )
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行于投影面时的平行投影
解析：根据正投影的定义：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，正投影不会改变△ABC的形状，故选C.
方法总结：此题主要考查了正投影，关键是掌握中心投影、平行投影和正投影的区别．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点三：几何体的正投影
【类型一】 判断几何体的正投影
观察如图所示的物体，若投影的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项中的( )
解析：我们观察图中的两个立体图形，分别按照所示投影线考虑它的正投影，得到圆柱的正投影是长方形，其中短边等于圆柱底面的直径，长边等于圆柱的高；正方体的正投影是与它一个面全等的正方形．因此本题画出的图形应是它们的组合，且长方形在正方形的左边．故答案为C.
方法总结：本题是正投影性质的简单应用，通过观察和画图可以加深对正投影的理解，同时也可以发展我们的空间想象能力．本题还可以用实物进行实验，通过实验验证结果的正确性．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 几何体的正投影作图
画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解析：第一个图中投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第二个图中投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第三个图中投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
方法总结：此题主要考查了正投影作图，关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 几何体的正投影的计算
如图，一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是边长为4cm的正方形．求圆柱的体积和表面积．
解析：由圆柱的正投影知圆柱的高为4cm，底面圆的直径为4cm，那么圆柱的体积＝底面积×高；表面积＝2×底面积＋侧面积，把相应数值代入即可求解．
解：体积为π×22×4＝16π(cm3)；表面积为2×π×22＋4π×4＝24π(cm2)．
方法总结：解决本题的关键是根据投影得到圆柱的底面直径和高等相关数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
三、板书设计
1．线段的正投影
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．
2．平面图形的正投影
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．
3．几何体的正投影
一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
本节课研究正投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机和兴趣．教学过程中要鼓励学生积极参与，认识到数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用，为日后的学习打下基础.
29.2 三视图
第1课时 三视图的识别与画法
1．理解视图及三视图的概念；
2．会辨别简单几何体的三种视图，能熟练画出简单几何体的三种视图(重点)；
3．能根据三视图描述基本几何体或实物原型(难点)．
一、情境导入
一个物体从不同的角度观察，看到的形状可能是不相同的．观察一个玩具，我们从三个不同的角度看，得到三个图形，如图所示．你能说出它们是从哪个方向观察得到的吗？
二、合作探究
探究点一：几何体的三视图
【类型一】 判断简单几何体的三种视图
图中的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的几何体共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：圆柱的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是带圆心的圆；球的三种视图都是圆；正方体的三种视图都是正方形，故选B.
方法总结：常见的几何体有圆柱、圆锥、球以及直棱柱，竖直放置的圆柱、圆锥的主视图、左视图相同，一般的直棱柱的三种视图是不同的，而球和正方体的三种视图都是相同的，它们分别是圆和正方形．
【类型二】 根据实物确定视图
如图，从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是( )
解析：俯视图就是从物体的正上方向下看到的视图，因而能够看到茶壶的顶部、壶把、壶嘴，故选A.
方法总结：根据实物确定视图的方法：首先要弄清楚物体的主视图、左视图、俯视图的含义，然后根据实际物体思考三种视图的大体轮廓．
探究点二：由三视图想象几何体
【类型一】 根据三视图判断几何体的形状
已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是( )
解析：A图的主视图、左视图均为等腰三角形，B图的左视图、俯视图均为矩形，C图的俯视图的外轮廓线为四边形，由此可排除A，B，C选项，抓住某个特征采用排除法是解决这类问题的常用方法．故选D.
方法总结：主视图能体现物体的左右长度、上下高度；俯视图能体现物体的左右长度、前后宽度；左视图能体现物体的上下高度、前后宽度．通过观察三种视图可以想象出几何体的立体图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 根据两种视图讨论构成几何体的小正方体的个数
用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小正方体的个数，请解答下列问题：
(1)a，b，c各表示多少？
(2)这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少？
(3)当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．
解：(1)由俯视图知道这个几何体共有三排三列，第三列只有一排，第二列有两排；而从主视图知道第三列的层数为3层，第二列的层数为1层，所以a为3，b，c应为1；
(2)d，e，f既可以为1，也可以为2，但至少有一个为2，另外两个为1时，共有9个小立方体；另外两个都为2时，共有11个小正方体；
故最少由9个小立方体搭成，最多由11个小立方体搭成；
(3)左视图如右图所示．
方法点拨：这类问题一般是给出一个由相同的小正方体搭成的立体图形的两种视图，要求想象出这个几何体可能的形状．解答时可以先由三种视图描述出对应的该物体，再由此得出组成该物体的部分个体的个数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．三视图
主视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图．
俯视图：自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图．
左视图：自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图．
2．三视图的画法
(1)主视图的长与俯视图的长对正；
(2)主视图的高与左视图的高平齐；
(3)俯视图的宽与左视图的宽相等．
通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动，使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系．通过具体活动，积累学生的观察、想象物体投影的经验，发展学生的动手实践能力、数学思考能力和空间观念.
25.2 三视图
第2课时 棱柱及由视图描述几何体
1．认识棱柱及其侧面展开图，并会进行相关的计算；(重点)
2．能够根据三视图描述几何体或实物原型(难点)．
一、情境导入
1．如图是一个长方体，大家数一下它有几个面，几条棱，上、下面与侧面有什么位置关系，竖着的棱与上、下面有何位置关系？
2．如图所示，分别是由若干个完全相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是多少？
二、合作探究
探究点一：直棱柱及其侧面展开图
如图是一个四棱柱的表面展开图，根据图中的尺寸(单位：cm)求这个四棱柱的体积．
解析：从展开图中分析出原图形中的各种数据，不要弄混原图形中的数据．
解：底面长方形的长为18cm，宽为7cm，直棱柱的高为30cm，∴V＝Sh＝18×7×30＝3780(cm3)．
方法总结：弄清几何体展开图的各种数据，再进行有关计算．
探究点二：由三视图描述几何体
【类型一】 根据三视图描述几何体
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
解析：熟记常见几何体的三视图后首先可排除选项A，因为长方体的三视图都是矩形；因为所给的主视图中间是两条虚线，故可排除选项B；选项D的几何体中的俯视图应为一个梯形，与所给俯视图形状不符．只有C选项的几何体与已知的三视图相符．故选C.
方法总结：由几何体的三视图想象其立体形状可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图想象物体的正面形状及上下、左右位置，根据俯视图想象物体的上面形状及左右、前后位置，再结合左视图验证该物体的左侧面形状，并验证上下和前后位置；(2)从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．在得出原立体图形的形状后，也可以反过来想象一下这个立体图形的三视图，看与已知的三视图是否一致．
【类型二】 由三视图判断实物图的形状
下列三视图所对应的实物图是( )
解析：从俯视图可以看出实物图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，圆柱与下面的长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同．只有C满足这两点，故选C.
方法总结：主视图、左视图和俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．对于本题要注意圆柱的高与长方体的高的大小关系．
【类型三】 根据两种视图讨论构成几何体的小正方体的个数
用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小正方体的个数，请解答下列问题：
(1)a，b，c各表示多少？
(2)这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少？
(3)当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．
解：(1)由俯视图知道这个几何体共有三排三列，第三列只有一排，第二列有两排；而从主视图知道第三列的层数为3层，第二列的层数为1层，所以a为3，b，c应为1；
(2)d，e，f既可以为1，也可以为2，但至少有一个为2，另外两个为1时，共有9个小立方体；另外两个都为2时，共有11个小正方体；
故最少由9个小立方体搭成，最多由11个小立方体搭成；
(3)左视图如图所示．
方法点拨：这类问题一般是给出一个由相同的小正方体搭成的立体图形的两种视图，要求想象出这个几何体可能的形状．解答时可以先由三种视图描述出对应的该物体，再由此得出组成该物体的部分个体的个数．
探究点三：三视图与计算
如图所示是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是( )
A．13πcm3 B．17πcm3
C．66πcm3 D．68πcm3
解析：由三视图可以看出，该工件是上下两个圆柱的组合，其中下面的圆柱高为4cm，底面直径为4cm；上面的圆柱高为1cm，底面直径为2cm，则V＝4×π×22＋1×π×12＝17π(cm3)．故选B.
方法点拨：解决此类问题的关键是想象几何体的形状，根据物体对应的相关数据找准其对应关系，再正确地进行计算．
三、板书设计
1．由棱柱的侧面展开图求棱柱的体积．
2．由三视图判断几何体的形状．
3．由三视图判断几何体的组成．
经历由直棱柱到其三视图的转化过程，进一步发展空间观念，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式．在应用数学知识解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情．
26.2 等可能情形下的概率计算
第1课时 简单概率的计算
1．理解并掌握概率的意义及计算；
2．会运用列举法求简单随机事件的概率(重点，难点)．
一、情境导入
一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平．
二、合作探究
探究点：用举例法求简单随机事件的概率
【类型一】 抽取问题
盒子里放有三张分别写有整式a＋1，a＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是( )
A. B. C. D.
解析：分母含有字母的式子是分式，整式a＋1，a＋2，2中，抽到a＋1，a＋2做分母时组成的都是分式，共有3×2＝6种情况，其中a＋1，a＋2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率为＝.故选B.
方法总结：列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 与函数有关的问题
在y＝□2x2□8x□8的“□”中，任意填上“＋”或“－”，可组成若干个不同的二次函数，其中图象的顶点在x轴上的概率为( )
A. B. C. D．1
解析：在“□”中，任意填上“＋”或“－”，共有＋＋＋，＋＋－，＋－＋，＋－－，－＋＋，－＋－，－－＋，－－－8种情况，当ac的符号相同时，b2－4ac＝0，这种情况有＋＋＋，＋－＋，－＋－，－－－4种，故图象的顶点在x轴上的概率为＝.故选C.
方法总结：图象的顶点在x轴上，即b2－4ac＝0，找出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 与面积有关的问题
如图，AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为( )
A. B. C. D.
解析：根据题意，AB、CD是水平放置的轮盘上两条互相垂直的直径，即圆面被等分成4个面积相等的部分．分析图示可得阴影部分面积之和为圆面积的，可知该小钢球最终停在阴影区域的概率为.故选A.
方法总结：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
三、板书设计
随机事件的概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A发生的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率为P(A)＝，0≤P(A)≤1.
教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目．事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1，通过适当的练习，及时巩固所学知识，引导学生从练习中总结解题规律，培养学生独立思考与归纳总结的能力.
26.2 等可能情形下的概率计算
第2课时 利用画树状图求概率
1．进一步学习概率的计算方法，能够进行简单的概率计算；
2．理解并掌握用树状图法求概率的方法，能够运用其解决实际问题(重点，难点)．
一、情境导入
学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”“2”“3”“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是多少？
二、合作探究
探究点：用树状图法求概率
【类型一】 转盘问题
有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果．其中A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：选择A转盘．画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，
∴P(A大于B)＝，P(A小于B)＝，∴选择A转盘．
方法总结：树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比．
【类型二】 游戏问题
甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打．规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同(都是手心或都是手背)，则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是________．
解析：分别用A，B表示手心，手背．画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况，
∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是＝，故答案为.
方法总结：列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．
【类型三】 数字问题
将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．
(1)随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
(2)随机抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
解析：(1)将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数恰好是4的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：(1)∵将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，∴P(抽到奇数)＝；
(2)画树状图得：
∴能组成的两位数是12，13，21，23，31，32.∵共有6种等可能的结果，这个两位数恰好是4的倍数的有2种情况，∴这个两位数恰好是4的倍数的概率为＝.
方法总结：用树状图法求概率时，要做到不重复不遗漏．本题的解题关键是准确理解题意，求出符合题设的数的个数．
三、板书设计
↓
↙ ↘
教学过程中，强调在面对多步完成的事件时，通常选择树状图求概率．
26.2 等可能情形下的概率计算
第3课时 利用列表法求概率
1．进一步归纳复习概率的计算方法；
2．理解并掌握用列表法求概率的方法，能够运用概率计算解决实际问题(重点，难点)．
一、情境导入
希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子．
探究点：用列表法求概率
【类型一】 摸球问题
一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：
第一次
第二次
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(2，1)，(2，2)，∴P＝，故选D.
【类型二】 学科内综合题
从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为________．
解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：
第一次
第二次
0
1
2
0
——
(0，1)
(0，2)
1
(1，0)
——
(1，2)
2
(2，0)
(2，1)
——
共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1，2)三种，故点P落在抛物线上的概率是＝，故答案为.
方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果．
【类型三】 学科间综合题
如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是( )
A．0.25
B．0.5
C．0.75
D．0.95
解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率公式计算．列表表示所有可能的结果如下：
灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
(发光，发光)
(不发光，发光)
灯泡2不发光
(发光，不发光)
(不发光，不发光)
根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P(至少有一个灯泡发光)＝，故选C.
方法总结：求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率公式计算．
【类型四】 概率的探究性问题
小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
解析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
解：(1)根据题意，我们可以列出下表：
小敏
哥哥
2
3
5
9
4
(4，2)
(4，3)
(4，5)
(4，9)
6
(6，2)
(6，3)
(6，5)
(6，9)
7
(7，2)
(7，3)
(7，5)
(7，9)
8
(8，2)
(8，3)
(8，5)
(8，9)
从表中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率P(和为偶数)＝＝.
(2)哥哥去看比赛的概率P(和为奇数)＝1－＝，因为＜，所以哥哥设计的游戏规则不公平；如果规定点数之和小于等于10时则小敏(哥哥)去，点数之和大于等于11时则哥哥(小敏)去．则两人去看比赛的概率都为，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规则也是公平的(只要满足两人手中点数为偶数(或奇数)的牌的张数相等即可)．
方法总结：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、板书设计
本课时所学习的内容多与实际相结合，因此教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学方法来解决问题．
