6.2 立方根 （课件）
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(共23张PPT)
立 方 根
人教版 七年级下
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劳动节即将来临，学生们纷纷向他们敬爱的老师表达心意，刘老师所任教的两个班的课代表一同前往老师办公室，他们手中捧着两个形状、大小一模一样的礼盒，并对老师说：“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意．”说完，两个课代表相视一笑，请老师猜一猜里面装的东西是否一样，里面物体的体积是否一样．老师知道，他们葫芦里肯定又要卖什么药，就郑重其事地说出两个盒子的大小虽然一样，但里面所装的物体的形状肯定不一样．虽然它们的体积相同，但一定有其他不相同的地方．
新课导入
定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
导入新课
刘老师打开纸盒一看，发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物，一个是圆球形的，一个是正方形的，并且盒子里面各有一张纸条，内容为“经过测算，其体积为125 cm3”．同学们，你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗？那就是球的半径与正方形的边长，您能求出球的半径和正方形的边长吗？
新课导入
定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
导入新课
问题1：在学习平方根的运算时，首先是找出一些数的平方值，然后再根据其逆运算过程确定某数的平方根，同样，我们先来算一算一些数的立方．
23＝_________；（－2）3＝________；0.53＝_________；
＝_______； ＝________；
（－0.5）3＝________；
03＝__________．
0
8
－8
－0.125
0.125
新课讲解
经计算发现正数，0，负数的立方值与平方值有何不同之处？
我们发现，求立方运算时，当底数互为相反数时，其立方值也互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数，但其平方值相等，故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根却只有一个值了，那么，什么是立方根呢？
类似平方值定义可知，一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记为
，读作三次根号a．
新课讲解
负数没有平方根，负数有无立方根呢？
可知负数有立方根，并且其立方根仍为负数．
从（－2）3＝－8，（－0.5）3＝－0.125，
＝
，
新课讲解
问题2：说出开立方与立方运算的关系，并请写出上例中互为相反数的立方根．
开平方与平方互为逆运算，同样开立方与立方也互逆，上例中互为相反数的立方根有：
新课讲解
＝2，
＝－2．
8的立方根为2，－8的立方根为－2，记为
0.125的立方根为0.5，－0.125的立方根为－0.5，记为
记为
＝ ，
的立方根为 ，
的立方根为
，
0的立方根为0，记为
＝0．
＝
．
＝0.5，
＝－0.5．
新课讲解
总结：上述过程都是求一个数的立方根的运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算互为逆运算．
既然正数的立方是正数，负数的立方是负数，那么正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，同样0的立方是0，则0的立方根是0，可记为
＝a（a为任意数），或者若a3＝M，则有 ＝a，
新课讲解
其中M为被开方数，3为根指数，且根指数为3时，不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写．故课本探究中，
＝－2，
＝
，又
＝－3，
＝－3，由此得
＝
．
＝－2，由此得
新课讲解
问题3：试用一般式表示出上述规律，并与数的平方根作一比较．
，而
，
的意义不同，其值也不同，
表示a的算术平方根的相反数，
若a＜0，则
无意义．
若a＞0，
无意义．
新课讲解
解：（1） ；（2） ；（3） ；
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
例1 求下列各式的值：
（6） ．
新课讲解
解：（1）∵（－3）3＝－27，
∴
例2 求下列各数的立方根，它们是有理数吗？
，故 是有理数．
（2）∵
，
∴
也是有理数．
（1）－27；（2） ；（3）－0.216；（4）－5．
，
（3）∵（－0.6）3＝－0.216，
∴
是有理数．
，
新课讲解
解：（4）对－5这个数，作如下尝试：13＝1，23＝8，1.53＝3.375，1.73＝4.193．发现4.193最接近于5，故 不能口算出其值，
例2 求下列各数的立方根，它们是有理数吗？
（1）－27；（2） ；（3）－0.216；（4）－5．
得借助计算器求值，且通过计算器检验知 是一个无限不循环小
数即无理数，用计算器计算知
≈－1.71，是一个近似数．
新课讲解
，可以按照下面的步骤进行：
等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们．
例如，用计算器求
1．实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如
，
1 845 ＝，显示：12.264 940 81．
的近似值12.264 940 81．
依次按键
这样就得到
新课讲解
… …
… …
2．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现什么规律了吗？你能说说其中的道理吗？
0.06
0.6
6
60
发现规律：被开方数每扩大（或缩小）1 000倍，立方根则扩大（或缩小）10倍．
新课讲解
根据 的值说出
≈0.04642；
的近似值，你能根据
3．用计算器计算 （结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律说出
，
，
，
，
的值说出
是多少吗？
解：
≈4.642，则根据规律可得：
≈0.4642；
≈46.42．
因为被开方数不满足扩大（或缩小）1000的规律，所以不能
，
，
．
新课讲解
1．如果一个数的立方根是它本身，这个数一定是（ ）．
A．1或－1 B．1或0 C．－1或0 D．0，1或－1
2．已知 ，那么下列各式中正确的是（ ）．
D
，
B．
C．
D．
B
A．
巩固练习
3． （1）若正方体的棱长为1，则其体积为1；若正方体的棱长为2，则其体积为8；若正方体的棱长为4，则其体积为64；若其棱长为8，则其体积为512；…；当棱长为2n时，其体积为多少？
解：（1）正方体棱长为1，则体积为1，棱长为2，体积为8，比较两者棱长扩大了2倍，体积扩大了8倍，棱长又扩大了1倍，其体积相应增大7倍，为原来的8倍，故当棱长为2n时，体积为8n3.
巩固练习
；体积为3时，棱长为…；若体积扩大到原来的n倍，则棱长扩大多少倍？
解：（2）当体积扩大到原来的n倍时，棱长扩大到原来的
（2）某正方体的体积为1时，其棱长为1；体积为2时，棱长为
倍．
巩固练习
1．立方根与开立方的意义．
2．正数、0、负数的立方根的特征．
3．立方根与平方根的异同．
课堂小结
谢 谢！
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立 方 根
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定义探究
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课堂小结
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刘老师打开纸盒一看，发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物，一个是圆球形的，一个是正方形的，并且盒子里面各有一张纸条，内容为“经过测算，其体积为125 cm3”．同学们，你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗？那就是球的半径与正方形的边长，您能求出球的半径和正方形的边长吗？
新课导入
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导 航
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问题1：在学习平方根的运算时，首先是找出一些数的平方值，然后再根据其逆运算过程确定某数的平方根，同样，我们先来算一算一些数的立方．
23＝_________；（－2）3＝________；0.53＝_________；
＝_______； ＝________；
（－0.5）3＝________；
03＝__________．
0
8
－8
－0.125
0.125
新课讲解
经计算发现正数，0，负数的立方值与平方值有何不同之处？
我们发现，求立方运算时，当底数互为相反数时，其立方值也互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数，但其平方值相等，故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根却只有一个值了，那么，什么是立方根呢？
类似平方值定义可知，一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记为
，读作三次根号a．
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负数没有平方根，负数有无立方根呢？
可知负数有立方根，并且其立方根仍为负数．
从（－2）3＝－8，（－0.5）3＝－0.125，
＝
，
新课讲解
问题2：说出开立方与立方运算的关系，并请写出上例中互为相反数的立方根．
开平方与平方互为逆运算，同样开立方与立方也互逆，上例中互为相反数的立方根有：
新课讲解
＝2，
＝－2．
8的立方根为2，－8的立方根为－2，记为
0.125的立方根为0.5，－0.125的立方根为－0.5，记为
记为
＝ ，
的立方根为 ，
的立方根为
，
0的立方根为0，记为
＝0．
＝
．
＝0.5，
＝－0.5．
新课讲解
总结：上述过程都是求一个数的立方根的运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算互为逆运算．
既然正数的立方是正数，负数的立方是负数，那么正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，同样0的立方是0，则0的立方根是0，可记为
＝a（a为任意数），或者若a3＝M，则有 ＝a，
新课讲解
其中M为被开方数，3为根指数，且根指数为3时，不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写．故课本探究中，
＝－2，
＝
，又
＝－3，
＝－3，由此得
＝
．
＝－2，由此得
新课讲解
问题3：试用一般式表示出上述规律，并与数的平方根作一比较．
，而
，
的意义不同，其值也不同，
表示a的算术平方根的相反数，
若a＜0，则
无意义．
若a＞0，
无意义．
新课讲解
解：（1） ；（2） ；（3） ；
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
例1 求下列各式的值：
（6） ．
新课讲解
解：（1）∵（－3）3＝－27，
∴
例2 求下列各数的立方根，它们是有理数吗？
，故 是有理数．
（2）∵
，
∴
也是有理数．
（1）－27；（2） ；（3）－0.216；（4）－5．
，
（3）∵（－0.6）3＝－0.216，
∴
是有理数．
，
新课讲解
解：（4）对－5这个数，作如下尝试：13＝1，23＝8，1.53＝3.375，1.73＝4.193．发现4.193最接近于5，故 不能口算出其值，
例2 求下列各数的立方根，它们是有理数吗？
（1）－27；（2） ；（3）－0.216；（4）－5．
得借助计算器求值，且通过计算器检验知 是一个无限不循环小
数即无理数，用计算器计算知
≈－1.71，是一个近似数．
新课讲解
，可以按照下面的步骤进行：
等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们．
例如，用计算器求
1．实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如
，
1 845 ＝，显示：12.264 940 81．
的近似值12.264 940 81．
依次按键
这样就得到
新课讲解
… …
… …
2．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现什么规律了吗？你能说说其中的道理吗？
0.06
0.6
6
60
发现规律：被开方数每扩大（或缩小）1 000倍，立方根则扩大（或缩小）10倍．
新课讲解
根据 的值说出
≈0.04642；
的近似值，你能根据
3．用计算器计算 （结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律说出
，
，
，
，
的值说出
是多少吗？
解：
≈4.642，则根据规律可得：
≈0.4642；
≈46.42．
因为被开方数不满足扩大（或缩小）1000的规律，所以不能
，
，
．
新课讲解
1．如果一个数的立方根是它本身，这个数一定是（ ）．
A．1或－1 B．1或0 C．－1或0 D．0，1或－1
2．已知 ，那么下列各式中正确的是（ ）．
D
，
B．
C．
D．
B
A．
巩固练习
3． （1）若正方体的棱长为1，则其体积为1；若正方体的棱长为2，则其体积为8；若正方体的棱长为4，则其体积为64；若其棱长为8，则其体积为512；…；当棱长为2n时，其体积为多少？
解：（1）正方体棱长为1，则体积为1，棱长为2，体积为8，比较两者棱长扩大了2倍，体积扩大了8倍，棱长又扩大了1倍，其体积相应增大7倍，为原来的8倍，故当棱长为2n时，体积为8n3.
巩固练习
；体积为3时，棱长为…；若体积扩大到原来的n倍，则棱长扩大多少倍？
解：（2）当体积扩大到原来的n倍时，棱长扩大到原来的
（2）某正方体的体积为1时，其棱长为1；体积为2时，棱长为
倍．
巩固练习
1．立方根与开立方的意义．
2．正数、0、负数的立方根的特征．
3．立方根与平方根的异同．
课堂小结
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