8.4三元一次方程组的解法 （课件）
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三元一次方程组的解法
人教版 七年级下
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问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？
解法一：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张，则5元纸币为（12－x－y）张，根据题意，得
新课导入
定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
解得
∴12－x－y＝12－8－2＝2．
答：1元、2元、5元的纸币分别有8张、2张、2张．
导入新课
解法二：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，
问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？
新课导入
定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
根据题意，得
新课讲解
1．三元一次方程组的有关概念
（1）三元一次方程
结合前面得到的三个方程学习相关概念．
x＋y＋z＝12， ①
x＋2y＋5z＝22， ②
x＝4y. ③
新课讲解
问题：方程③是二元一次方程，方程①②呢？你能说出它们的特点吗？
方程①②各含有三个未知数．
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程．
新课讲解
（2）三元一次方程组
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
这三个方程合在一起，写成
新课讲解
2．三元一次方程组的解法
（1）指导思想：将三元一次方程组转化成二元一次方程组．
（2）具体做法：通过①③消去未知数z，得到关于x，y的方程，与②组成二元一次方程组，先求出x，y，再求出z.
解方程组
新课讲解
（3）解答过程：
①×5－②，得4x＋3y＝38，④
解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2．
解由③④组成的方程组
∴原方程组的解为
新课讲解
把x＝5，z＝－2代入②，得y＝ ．
例1 解三元一次方程组
解：②×3＋③，得
11x＋10z＝35． ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
因此，三元一次方程组的解为
新课讲解
例2 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；
当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值．
分析：（1）根据题意，列出关于a，b，c的三元一次方程组，通过解方程组，求出a，b，c的值．
（2）方程组中的每一个方程都含有三个未知数，这是和前面的方程组不同的地方，因此它的解法也有所不同．由于c的系数是1，所以先消去c．用②－①，③－①分别得到两个关于a，b的二元一次方程，解由它们组成的方程组就可以求出a，b的值，然后再求出c的值．
新课讲解
解：根据题意，得三元一次方程组
由②－①，得a＋b＝1． ④
由③－①，得4a＋b＝10． ⑤
由④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
新课讲解
把
因此
答：a＝3，b＝－2，c＝－5．
代入①，得c＝－5．
新课讲解
小结：解三元一次方程组的一般步骤：
（1）观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数．
（2）消元，得到一个二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值．
（4）求出第三个未知数的值，写出方程组的解．
新课讲解
1．解三元一次方程组
解：①＋②＋③，得2（x＋y＋z）＝36，
所以x＋y＋z＝18．④
④－①，得z＝7，④－②，得x＝5，④－③，得y＝6．
所以原方程的解是
巩固练习
2．某学校中的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个．
解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，
把①代入③，得3y＋z＝44，④
由④得z＝44－3y，⑤
根据题意得
巩固练习
2．某学校中的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个．
把⑤代入②，得y＝12．
把y＝12分别代入①⑤，得x＝21，z＝8．
所以这个方程组的解为
答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个．
巩固练习
1．本节主要学习三元一次方程组的解法．
2．用到的主要思想方法是消元思想：将三元一次方程组转化成二元一次方程组．
3．注意的问题：
（1）先消哪个未知数，怎样消元，取决于方程组的系数特点，要仔细观察，选择较简单的方法．
（2）消元时，两次消去的必须是同一个“元”．
（3）解方程组时要细心，在准确的基础上提高运算速度．
课堂小结
谢 谢！
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三元一次方程组的解法
人教版 七年级下
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问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？
解法一：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张，则5元纸币为（12－x－y）张，根据题意，得
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定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
解得
∴12－x－y＝12－8－2＝2．
答：1元、2元、5元的纸币分别有8张、2张、2张．
导入新课
解法二：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，
问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？
新课导入
定义探究
例题精讲
再探新知
拓展练习
课堂小结
导 航
根据题意，得
新课讲解
1．三元一次方程组的有关概念
（1）三元一次方程
结合前面得到的三个方程学习相关概念．
x＋y＋z＝12， ①
x＋2y＋5z＝22， ②
x＝4y. ③
新课讲解
问题：方程③是二元一次方程，方程①②呢？你能说出它们的特点吗？
方程①②各含有三个未知数．
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程．
新课讲解
（2）三元一次方程组
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
这三个方程合在一起，写成
新课讲解
2．三元一次方程组的解法
（1）指导思想：将三元一次方程组转化成二元一次方程组．
（2）具体做法：通过①③消去未知数z，得到关于x，y的方程，与②组成二元一次方程组，先求出x，y，再求出z.
解方程组
新课讲解
（3）解答过程：
①×5－②，得4x＋3y＝38，④
解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2．
解由③④组成的方程组
∴原方程组的解为
新课讲解
把x＝5，z＝－2代入②，得y＝ ．
例1 解三元一次方程组
解：②×3＋③，得
11x＋10z＝35． ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
因此，三元一次方程组的解为
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例2 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；
当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值．
分析：（1）根据题意，列出关于a，b，c的三元一次方程组，通过解方程组，求出a，b，c的值．
（2）方程组中的每一个方程都含有三个未知数，这是和前面的方程组不同的地方，因此它的解法也有所不同．由于c的系数是1，所以先消去c．用②－①，③－①分别得到两个关于a，b的二元一次方程，解由它们组成的方程组就可以求出a，b的值，然后再求出c的值．
新课讲解
解：根据题意，得三元一次方程组
由②－①，得a＋b＝1． ④
由③－①，得4a＋b＝10． ⑤
由④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
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把
因此
答：a＝3，b＝－2，c＝－5．
代入①，得c＝－5．
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小结：解三元一次方程组的一般步骤：
（1）观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数．
（2）消元，得到一个二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值．
（4）求出第三个未知数的值，写出方程组的解．
新课讲解
1．解三元一次方程组
解：①＋②＋③，得2（x＋y＋z）＝36，
所以x＋y＋z＝18．④
④－①，得z＝7，④－②，得x＝5，④－③，得y＝6．
所以原方程的解是
巩固练习
2．某学校中的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个．
解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，
把①代入③，得3y＋z＝44，④
由④得z＝44－3y，⑤
根据题意得
巩固练习
2．某学校中的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个．
把⑤代入②，得y＝12．
把y＝12分别代入①⑤，得x＝21，z＝8．
所以这个方程组的解为
答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个．
巩固练习
1．本节主要学习三元一次方程组的解法．
2．用到的主要思想方法是消元思想：将三元一次方程组转化成二元一次方程组．
3．注意的问题：
（1）先消哪个未知数，怎样消元，取决于方程组的系数特点，要仔细观察，选择较简单的方法．
（2）消元时，两次消去的必须是同一个“元”．
（3）解方程组时要细心，在准确的基础上提高运算速度．
课堂小结
谢 谢！
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
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