第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__ __连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__ __，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__ __．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向________．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式_________；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__ __不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有______未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，_______，移项，__ __，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．www.21-cn-jy.com
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2017年株洲市中考数学 ）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
◆变式训练
（2015年江西省中考数学试卷（样卷三））已知a＞b，则下列不等式关系中正确的是（ ）
A.ac＞bc B.ac2＞bc2 C.a﹣1＞b+1 D.a+1＞b﹣1
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
1.（2015年江苏省南京市初中毕业生学业考试数学）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．21世纪教育网版权所有
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.
分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解答：解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
2.（2017年遵义市中考数学 ）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】 一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤2．
故其非负整数解为：0，1，2，共3个．
故选B．
◆变式训练
1.（2017年四川省自贡市中考数学）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2017年内江市中考数学 ）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
（2017年四川省广元市中考数学）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．21教育网
（1）符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？21cnjy.com
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书室共30个，已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本，因此可以列出不等式组，解不等式组然后去整数即可求解．21·世纪*教育网
（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
解：（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．
由题意，得，
化简得 ，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
（2）方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
◆变式训练
（2017年湖南省怀化市中考数学）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
1.（2017年杭州市中考数学 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
2.（2016年温州市龙湾区中考数学一模）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2017年湖州市中考数学 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
4.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）不等式3x+1＜﹣2的解集是 ．
5.（2016年浙江省杭州市中考数学模拟3）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是 ．
6.（2017年台州市中考数学 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克 www-2-1-cnjy-com
7.（2015年湖州市中考数学 ）解不等式组
8.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
9.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
10.（2016年宁波市中考数学 ）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示2-1-c-n-j-y
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
1.（2017年浙江省温州市中考数学一模）不等式组的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
2.（2016届杭州市高桥中学中考数学二模）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
3.（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
4.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
5.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
6.（2017年杭州市清河中学中考数学模拟）写出一个解为x≥1的一元一次不等式 ．
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）不等式＞+2的解是 ．
8.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2．【版权所有：21教育】
9.（2015年浙江省金华市中考数学）解不等式组
10.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）解下列一元一次不等式组：．
11.（2016年舟山市中考数学 ）（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2
（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．
12.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．21教育名师原创作品
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．2·1·c·n·j·y
13.（2017年湖州市中考数学 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
14.（2017年嘉兴市中考数学 ）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．21*cnjy*com
15.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__ __连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__ __，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__ __．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向________．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式_________；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__ __不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有______未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，_______，移项，__ __，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．www.21-cn-jy.com
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2017年株洲市中考数学 ）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
◆变式训练
（2015年江西省中考数学试卷（样卷三））已知a＞b，则下列不等式关系中正确的是（ ）
A.ac＞bc B.ac2＞bc2 C.a﹣1＞b+1 D.a+1＞b﹣1
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
1.（2015年江苏省南京市初中毕业生学业考试数学）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．21世纪教育网版权所有
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.
分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解答：解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
2.（2017年遵义市中考数学 ）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】 一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤2．
故其非负整数解为：0，1，2，共3个．
故选B．
◆变式训练
1.（2017年四川省自贡市中考数学）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2017年内江市中考数学 ）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
（2017年四川省广元市中考数学）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．21教育网
（1）符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？21cnjy.com
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书室共30个，已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本，因此可以列出不等式组，解不等式组然后去整数即可求解．21·世纪*教育网
（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
解：（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．
由题意，得，
化简得 ，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
（2）方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
◆变式训练
（2017年湖南省怀化市中考数学）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
1.（2017年杭州市中考数学 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
2.（2016年温州市龙湾区中考数学一模）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2017年湖州市中考数学 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
4.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）不等式3x+1＜﹣2的解集是 ．
5.（2016年浙江省杭州市中考数学模拟3）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是 ．
6.（2017年台州市中考数学 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克 www-2-1-cnjy-com
7.（2015年湖州市中考数学 ）解不等式组
8.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
9.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
10.（2016年宁波市中考数学 ）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示2-1-c-n-j-y
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
1.（2017年浙江省温州市中考数学一模）不等式组的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
2.（2016届杭州市高桥中学中考数学二模）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
3.（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
4.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
5.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
6.（2017年杭州市清河中学中考数学模拟）写出一个解为x≥1的一元一次不等式 ．
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）不等式＞+2的解是 ．
8.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2．【版权所有：21教育】
9.（2015年浙江省金华市中考数学）解不等式组
10.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）解下列一元一次不等式组：．
11.（2016年舟山市中考数学 ）（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2
（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．
12.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．21教育名师原创作品
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．2·1·c·n·j·y
13.（2017年湖州市中考数学 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
14.（2017年嘉兴市中考数学 ）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．21*cnjy*com
15.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__不等号__连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__不等式的解集__，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__解不等式__．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__不变__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式__仍成立__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__改变__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有__一个__未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．【出处：21教育名师】
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__去括号__，移项，__合并同类项__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2017年株洲市中考数学 ）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
◆变式训练
（2015年江西省中考数学试卷（样卷三））已知a＞b，则下列不等式关系中正确的是（ ）
A.ac＞bc B.ac2＞bc2 C.a﹣1＞b+1 D.a+1＞b﹣1
【考点】不等式的性质．
【分析】利用不等式的性质即可得出结论．
解：A．∵a＞b，∴当c≤0时，ac≤bc，∴此选项错误；
B．∵当c=0时，ac2=bc2，∴此选项错误；
C．∵a＞b，a﹣1＞b+1不一定成立，∴此选项错误；
D．∵a＞b，由不等式的性质1可知，a+1＞b+1，∴a+1＞b﹣1，∴此选项正确；
故选D．
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
1.（2015年江苏省南京市初中毕业生学业考试数学）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．www.21-cn-jy.com
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.
分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解答：解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
2.（2017年遵义市中考数学 ）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】 一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤2．
故其非负整数解为：0，1，2，共3个．
故选B．
◆变式训练
1.（2017年四川省自贡市中考数学）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．
解：，
解①得：x＞1，
解②得：x≤2，
不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选：C．
2.（2017年内江市中考数学 ）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
解：
∵解不等式①得：x≥﹣，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选B．
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
（2017年四川省广元市中考数学）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．2·1·c·n·j·y
（1）符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？2-1-c-n-j-y
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书室共30个，已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本，因此可以列出不等式组，解不等式组然后去整数即可求解．21*cnjy*com
（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
解：（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．
由题意，得，
化简得 ，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
（2）方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
◆变式训练
（2017年湖南省怀化市中考数学）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
1.（2017年杭州市中考数学 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A．根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
2.（2016年温州市龙湾区中考数学一模）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．
解：不等式1﹣x≤0，
解得：x≥1，
表示在数轴上，如图所示：
故选D
3.（2017年湖州市中考数学 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
【考点】 解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y21*cnjy*com
解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
4.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）不等式3x+1＜﹣2的解集是 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以3，不等号的方向不变．得到不等式的解集为：x＜﹣1．
解：解不等式3x+1＜﹣2，得3x＜﹣3，解得x＜﹣1．
5.（2016年浙江省杭州市中考数学模拟3）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是 ．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；实数的运算．
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k=2x﹣k≥1，
∴2x﹣1≥k且2x﹣1≥﹣3，
∴k=﹣3．
故答案是：k=﹣3．
6.（2017年台州市中考数学 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
【考点】一元一次不等式的应用
解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得：
x（1-5%）×80≥760，
∴76x≥760,
∴x≥10,
故答案为10.
7.（2015年湖州市中考数学 ）解不等式组
【考点】一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
解：
解不等式（1）得，x＜6，
解不等式（2）得，x＞1
∴不等式组的解集是.
8.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．
解：（1）原式=1
=﹣3；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2
移项合并同类项得，2x≤﹣3
解得x．
9.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
【考点】解一元一次不等式．
【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题．
解：3x﹣5＜2（2+3x），
去括号，得3x﹣5＜4+6x，
移项及合并同类项，得﹣3x＜9，
系数化为1，得x＞﹣3．
故原不等式组的解集是：x＞﹣3．
10.（2016年宁波市中考数学 ）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．
解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，
解得：，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套，
1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤10，
答：A种设备购进数量至多减少10套．
1.（2017年浙江省温州市中考数学一模）不等式组的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
故选D．
2.（2016届杭州市高桥中学中考数学二模）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
解：根据题意得：，
解得：，
则6﹣m＜0，
解得：m＞6．
故选：A．
3.（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
【考点】不等式的解集．
【分析】根据x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
解：∵x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，
∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，
解得：a≤2，
∵x=1不是这个不等式的解，
∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，
解得：a＞1，
∴1＜a≤2，
故选：C．
4.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2＜0，解之即可得．
解：∵程x﹣m+2=0的解是负数，
∴x=m﹣2＜0，
解得：m＜2，
故选：C．
5.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
6.（2017年杭州市清河中学中考数学模拟）写出一个解为x≥1的一元一次不等式 ．
【考点】不等式的解集．
【分析】根据不等式的解集，可得不等式．
解：解为x≥1的一元一次不等式有：x+1≥2，x﹣1≥0等．
故答案为：x+1≥2．
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）不等式＞+2的解是 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：3（3x+13）＞4x+24，
去括号，得：9x+39＞4x+24，
移项，得：9x﹣4x＞24﹣39，
合并同类项，得：5x＞﹣15，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
8.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2．21教育网
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．
解：如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48﹣4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB?BH=x（48﹣x）=﹣（x﹣24）2+576
∴x＜24时，S随x的增大而增大，
∴x=12时，S可取得最大值，最大值为S=432
9.（2015年浙江省金华市中考数学）解不等式组
【考点】一元一次不等式
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。21cnjy.com
解：
由①可得，即，
由②可得，，，，
∴不等式组的解是.
10.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）解下列一元一次不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．21世纪教育网版权所有
解：解不等式x≤2，得：x≤4，
解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
11.（2016年舟山市中考数学 ）（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2
（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
解：（1）原式=4﹣2=2；
（2）去括号得：3x＞2x+2﹣1，
解得：x＞1．
12.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．www-2-1-cnjy-com
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设这个月有x天晴天，根据总电量550度列出方程即可解决问题．
（2）需要y年才可以收回成本，根据电费≥40000，列出不等式即可解决问题．
解：（1）设这个月有x天晴天，由题意得
30x+5（30﹣x）=550，
解得x=16，
故这个月有16个晴天．
（2）需要y年才可以收回成本，由题意得
（0.52+0.45）?12y≥40000，
解得y≥8.6，
∵y是整数，
∴至少需要9年才能收回成本．
13.（2017年湖州市中考数学 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．【版权所有：21教育】
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
【考点】 解一元一次不等式； 实数的运算； 解一元一次方程．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．
解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，
解得：x=2017；
（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，
解得：x＜4．
14.（2017年嘉兴市中考数学 ）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次不等式
【分析】去分母时，每项都要乘以6，不等号的右边，没有乘以6，故后面的答案都错了；步骤②的去括号出错，步骤⑤的不等号要改变方向
解：错误的编号有：①②⑤；
去分母，得3（1+x）-2(2x+1)≤6
去括号，得3+3x-4x-2≤6
移项，得3x-4x≤6-3+2,
合并同类项，得-x≤5
两边都除以-1，得x≥-5.
15.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；21教育名师原创作品
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有
，
解得．
答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__不等号__连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__不等式的解集__，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__解不等式__．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__不变__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式__仍成立__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__改变__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有__一个__未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．【出处：21教育名师】
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__去括号__，移项，__合并同类项__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2017年株洲市中考数学 ）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
◆变式训练
（2015年江西省中考数学试卷（样卷三））已知a＞b，则下列不等式关系中正确的是（ ）
A.ac＞bc B.ac2＞bc2 C.a﹣1＞b+1 D.a+1＞b﹣1
【考点】不等式的性质．
【分析】利用不等式的性质即可得出结论．
解：A．∵a＞b，∴当c≤0时，ac≤bc，∴此选项错误；
B．∵当c=0时，ac2=bc2，∴此选项错误；
C．∵a＞b，a﹣1＞b+1不一定成立，∴此选项错误；
D．∵a＞b，由不等式的性质1可知，a+1＞b+1，∴a+1＞b﹣1，∴此选项正确；
故选D．
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
1.（2015年江苏省南京市初中毕业生学业考试数学）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．www.21-cn-jy.com
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.
分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解答：解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
2.（2017年遵义市中考数学 ）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】 一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤2．
故其非负整数解为：0，1，2，共3个．
故选B．
◆变式训练
1.（2017年四川省自贡市中考数学）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．
解：，
解①得：x＞1，
解②得：x≤2，
不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选：C．
2.（2017年内江市中考数学 ）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
解：
∵解不等式①得：x≥﹣，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选B．
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
（2017年四川省广元市中考数学）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．2·1·c·n·j·y
（1）符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？2-1-c-n-j-y
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书室共30个，已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本，因此可以列出不等式组，解不等式组然后去整数即可求解．21*cnjy*com
（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
解：（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．
由题意，得，
化简得 ，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
（2）方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
◆变式训练
（2017年湖南省怀化市中考数学）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
1.（2017年杭州市中考数学 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A．根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
2.（2016年温州市龙湾区中考数学一模）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．
解：不等式1﹣x≤0，
解得：x≥1，
表示在数轴上，如图所示：
故选D
3.（2017年湖州市中考数学 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
【考点】 解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y21*cnjy*com
解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
4.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）不等式3x+1＜﹣2的解集是 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以3，不等号的方向不变．得到不等式的解集为：x＜﹣1．
解：解不等式3x+1＜﹣2，得3x＜﹣3，解得x＜﹣1．
5.（2016年浙江省杭州市中考数学模拟3）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是 ．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；实数的运算．
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k=2x﹣k≥1，
∴2x﹣1≥k且2x﹣1≥﹣3，
∴k=﹣3．
故答案是：k=﹣3．
6.（2017年台州市中考数学 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
【考点】一元一次不等式的应用
解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得：
x（1-5%）×80≥760，
∴76x≥760,
∴x≥10,
故答案为10.
7.（2015年湖州市中考数学 ）解不等式组
【考点】一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
解：
解不等式（1）得，x＜6，
解不等式（2）得，x＞1
∴不等式组的解集是.
8.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．
解：（1）原式=1
=﹣3；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2
移项合并同类项得，2x≤﹣3
解得x．
9.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
【考点】解一元一次不等式．
【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题．
解：3x﹣5＜2（2+3x），
去括号，得3x﹣5＜4+6x，
移项及合并同类项，得﹣3x＜9，
系数化为1，得x＞﹣3．
故原不等式组的解集是：x＞﹣3．
10.（2016年宁波市中考数学 ）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．
解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，
解得：，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套，
1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤10，
答：A种设备购进数量至多减少10套．
1.（2017年浙江省温州市中考数学一模）不等式组的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
故选D．
2.（2016届杭州市高桥中学中考数学二模）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
解：根据题意得：，
解得：，
则6﹣m＜0，
解得：m＞6．
故选：A．
3.（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
【考点】不等式的解集．
【分析】根据x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
解：∵x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，
∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，
解得：a≤2，
∵x=1不是这个不等式的解，
∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，
解得：a＞1，
∴1＜a≤2，
故选：C．
4.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2＜0，解之即可得．
解：∵程x﹣m+2=0的解是负数，
∴x=m﹣2＜0，
解得：m＜2，
故选：C．
5.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
6.（2017年杭州市清河中学中考数学模拟）写出一个解为x≥1的一元一次不等式 ．
【考点】不等式的解集．
【分析】根据不等式的解集，可得不等式．
解：解为x≥1的一元一次不等式有：x+1≥2，x﹣1≥0等．
故答案为：x+1≥2．
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）不等式＞+2的解是 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：3（3x+13）＞4x+24，
去括号，得：9x+39＞4x+24，
移项，得：9x﹣4x＞24﹣39，
合并同类项，得：5x＞﹣15，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
8.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2．21教育网
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．
解：如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48﹣4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB?BH=x（48﹣x）=﹣（x﹣24）2+576
∴x＜24时，S随x的增大而增大，
∴x=12时，S可取得最大值，最大值为S=432
9.（2015年浙江省金华市中考数学）解不等式组
【考点】一元一次不等式
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。21cnjy.com
解：
由①可得，即，
由②可得，，，，
∴不等式组的解是.
10.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）解下列一元一次不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．21世纪教育网版权所有
解：解不等式x≤2，得：x≤4，
解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
11.（2016年舟山市中考数学 ）（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2
（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
解：（1）原式=4﹣2=2；
（2）去括号得：3x＞2x+2﹣1，
解得：x＞1．
12.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．www-2-1-cnjy-com
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设这个月有x天晴天，根据总电量550度列出方程即可解决问题．
（2）需要y年才可以收回成本，根据电费≥40000，列出不等式即可解决问题．
解：（1）设这个月有x天晴天，由题意得
30x+5（30﹣x）=550，
解得x=16，
故这个月有16个晴天．
（2）需要y年才可以收回成本，由题意得
（0.52+0.45）?12y≥40000，
解得y≥8.6，
∵y是整数，
∴至少需要9年才能收回成本．
13.（2017年湖州市中考数学 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．【版权所有：21教育】
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
【考点】 解一元一次不等式； 实数的运算； 解一元一次方程．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．
解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，
解得：x=2017；
（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，
解得：x＜4．
14.（2017年嘉兴市中考数学 ）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次不等式
【分析】去分母时，每项都要乘以6，不等号的右边，没有乘以6，故后面的答案都错了；步骤②的去括号出错，步骤⑤的不等号要改变方向
解：错误的编号有：①②⑤；
去分母，得3（1+x）-2(2x+1)≤6
去括号，得3+3x-4x-2≤6
移项，得3x-4x≤6-3+2,
合并同类项，得-x≤5
两边都除以-1，得x≥-5.
15.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；21教育名师原创作品
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有
，
解得．
答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
