3.1.1 函数的平均变化率
自我小测
1．已知函数y＝f(x)＝，那么当自变量x由2变到时，函数值的增量Δy为( )
A. B．－ C. D．－
2．在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么为( )
A．2＋Δx B．2Δx＋(Δx)2 C．Δx＋5 D．5Δx＋(Δx)2
3．某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内的气温变化率为( )
A．0.03 ℃/min B．－0.03 ℃/min C．0.003 ℃/min D．－0.003 ℃/min
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．3 B．4 C．4.1 D．0.41
5．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．无法确定
6．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝__________.
7．已知函数y＝x3，当x＝1时，＝__________.
8．设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为__________．
9．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)．
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
参考答案
1. 答案：Δy＝f－f(2)＝－＝.
答案：C
2. 解析：因为Δy＝(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－6＝(Δx)2＋5Δx，所以＝Δx＋5，故选C.
答案：C
3. 解析：＝－0.03.
答案：B
4. 解析：利用求平均变化率的方法和步骤来解决．
Δs＝(3＋2.12)－(3＋22)＝0.41，
Δt＝2.1－2＝0.1，所以＝4.1.
答案：C
5. 解析：k1＝＝＝Δx＋2x0，
k2＝＝＝2x0－Δx，
k1－k2＝(Δx＋2x0)－(2x0－Δx)＝2Δx，Δx符号不确定，故无法确定k1与k2谁大．
答案：D
6. 解析：平均变化率＝＝＝a＝3.
答案：3
7. 解析：因为Δy＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
所以＝(Δx)2＋3Δx＋3.
答案：(Δx)2＋3Δx＋3
8. 解析：＝＝.
答案：
9. 解：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
10. 解：(1)因为V＝πr3，
所以r3＝，r＝，
所以r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
3.1.1 函数的平均变化率
课后训练
1．下列说法错误的是( )
A．函数的平均变化率可以大于零
B．函数的平均变化率可以小于零
C．函数的平均变化率可以等于零
D．函数的平均变化率不能等于零
2．在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么为( )
A．2＋Δx B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋5 D．5Δx＋(Δx)2
3．函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是( )
A．2＋Δx B．2－Δx
C．2 D．(Δx)2＋2
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．3 B．4 C．4.1 D．0.41
5．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
6．已知曲线和这条曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为__________．
7．已知，t从3秒到3.1秒的平均速度是__________m/s(g＝10 m/s2)．
8．已知函数y＝x3，当x＝1时，＝__________.
9．求在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0)．
10．求函数y＝x3＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，时平均变化率的值．
参考答案
1. 答案：D
2. 答案：C 因为Δy＝(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－6＝(Δx)2＋5Δx，
所以＝Δx＋5，故选C.
3. 答案：C
4. 答案：C 利用求平均变化率的方法和步骤来解决．
Δs＝(3＋2.12)－(3＋22)＝0.41，
Δt＝2.1－2＝0.1，
所以＝4.1.
5. 答案：C
6. 答案：
7. 答案：30.5 因为Δs＝×10×3.12－×10×32＝3.05(m)，
Δt＝3.1－3.0＝0.1(s)，
所以(m/s)．
8. 答案：(Δx)2＋3Δx＋3 因为Δy＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以＝(Δx)2＋3Δx＋3.
9. 答案：分析：利用求平均变化率的方法和步骤直接计算即可．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为.
10. 答案：分析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝3x02＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，时，
平均变化率的值为
.
3.1.1 函数的平均变化率
课堂探究
探究一 求函数的平均变化率
求函数的平均变化率应按照定义应用公式来求．第一步，计算自变量的改变量：Δx＝x－x0；第二步，计算函数值的改变量：Δy＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)；第三步，计算平均变化率：＝.
【典型例题1】 已知函数f(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．
思路分析：先由题目条件求出自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy，再根据定义代入公式求解．
解：(1)Δx＝－1－(－3)＝2，
Δy＝f(－1)－f(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
所以＝＝－8，
即f(x)在－3到－1之间的平均变化率为－8.
(2)因为Δx＝1＋Δx－1＝Δx，
Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx，
即f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为4＋Δx.
探究二 平均变化率的比较
函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度．函数在某点附近的平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”．
比较平均变化率的方法步骤：
(1)求出两不同点处的平均变化率；
(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)；
(3)下结论．
【典型例题2】 已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大．
思路分析：先求f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论．
解：函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝
＝＝－2x0－Δx.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－.
因为－＞－＞－，
所以函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大．
3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义
自我小测
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
2．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．若＝1，则f′(x0)等于( )
A. B. C．－ D．－
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
5．曲线y＝x3＋2在点处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．135° D．60°
6．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则＝__________.
7．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则＝__________.
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用＞连接)
9．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，求x0的值．
10．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
参考答案
1. 解析：Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，＝18＋3Δt，当Δt→0时，→18.
答案：B
2. 解析：k＝y′|x＝2＝＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，
所以过点(2,8)的切线方程为y－8＝12(x－2)，
即y＝12x－16，所以a＝1.
答案：B
3. 解析：＝
＝－＝－f′(x0)＝1.
所以f′(x0)＝－.
答案：D
4. 解析：根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.
答案：C
5. 解析：Δy＝(1＋Δx)3－×13＝Δx＋(Δx)2＋(Δx)3，＝1＋Δx＋(Δx)2，＝ ＝1，所以曲线y＝x3＋2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
答案：B
6. 解析：＝2＝2f′(x0)＝8.
答案：8
7. 答案：－2
8. 解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，由图象易知k1＞k3＞k2.
答案：k1＞k3＞k2
9. 解：对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝(2x0＋Δx)＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝[－3－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3.
又曲线y＝1－x3与曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线互相平行，
所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－.
10. 解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝
＝＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为li ＝li (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义
课堂探究
探究一 求导数
求函数在点x0处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，求解过程中要注意对式子的变形和约分，变形不彻底可能会导致不存在，得出错误结论．
【典型例题1】 已知函数y＝，求y′，y′|x＝1.
思路分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．
解：因为Δy＝－，
所以＝＝＝ .
所以y′＝ ＝ ＝ .
所以y′|x＝1＝.
点评 函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．
探究二 利用导数求曲线的切线方程
求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程，需要先求出f′(x0)，即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程后化简，但要注意分清“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”两者的不同．
【典型例题2】 如图，已知曲线y＝x3上一点P，
求：(1)点P处的切线方程．
(2)满足斜率为1的曲线的切线方程．
思路分析：(1)先利用导数的几何意义求斜率，然后写出切线方程．
(2)设出切点坐标，利用斜率求出切点坐标，从而得切线方程．
解：因为y＝f(x)＝x3，
所以y′＝＝
＝
＝
＝x2.
(1)因为y′|x＝2＝4，
所以在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
(2)设切点坐标为M，
由于切线斜率k＝，
则＝1，x0＝±1，那么切点坐标M或M′，所以所求切线方程为y＋＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋＝0或x－y－＝0.
探究三 导数几何意义的应用
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
【典型例题3】 已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝－2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
思路分析：要求直线l的方程，只需求y′|x＝－2，要求抛物线C的方程，可以利用抛物线的定义求解．
解：(1)设曲线y＝f(x)，
因为y′|x＝－2＝ ＝0，
所以直线l的斜率为0，其方程为y＝－1.
(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，
所以可设抛物线方程为x2＝2py，
则有＝1，p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
探究四 易错辨析
易错点 混淆切点与切线经过的点
【典型例题4】 试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线的方程．
错解：因为函数y＝x2的导数为y′＝2x，
所以y′|x＝3＝2×3＝6.
所以切线方程为y－5＝6(x－3)，即y＝6x－13.
错因分析：没有注意到点P不在曲线上，点P不是切点，错解中把点P当成了切点，从而导致错误．
正解：直线的斜率不存在时显然不成立．
函数y＝x2的导数为y′＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则y0＝x20，切线斜率为y′|x＝x0＝2x0.
因为切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
所以其斜率为＝，所以2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5，从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x0＝10.
所以所求切线有两条，方程分别为
y－1＝2(x－1)或y－5＝10(x－3)，
即y＝2x－1或y＝10x－25.
点评 求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，点P也不一定在已知曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．若点P在曲线上，要分点P是切点和不是切点两种情况解决．
3.1.3 导数的几何意义
课后训练
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
2．函数y＝x在x＝2处的导数为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)是函数值的增量
B．叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
4．已知曲线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋1平行，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4,2)
5．曲线y＝x2在点处切线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于__________．
7．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则等于__________．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x2上，已知曲线C在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为__________．
9．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)在第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
10．求经过点P(1,0)与曲线相切的直线的方程．
参考答案
1. 答案：B Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt－3(Δt)2，＝18＋3Δt，当Δt→0时，→18.
2. 答案：A Δy＝(2＋Δx)－2＝Δx，
＝1，当Δx→0时，→1.
3. 答案：C
4. 答案：A
5. 答案：B
6. 答案：2
7. 答案：－2
8. 答案：(－2,4)
9. 答案：分析：先求出函数y＝f(x)在x＝1处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由点斜式写出切线方程．
解：(1)将x＝1代入曲线方程得y＝1，
故切点为(1,1)．
∵
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|x＝1＝3.
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由3x－y－2＝0和y＝x3联立解得x＝1或x＝－2，故切线与曲线C的公共点为(1,1)或(－2，－8)．
∴除切点外，它们还有其他的公共点．
10. 答案：分析：所给点P(1,0)不在曲线上，此时可设切点的坐标为(x0，y0)．先求出切点处的导数即斜率，然后用点斜式写出方程．
解：设此切线过曲线上的点.
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝，
∴.
∴切线斜率为.
又此切线过点(1,0)和，其斜率应满足，解得，故切点为，该点处的切线斜率为－4.
故切线方程为，
即y＝－4x＋4.
3.1 导数
课后导练
基础达标
1.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间［1,1+Δt］内相应的平均速度为( )
A.3Δt+6 B.-3Δt+6
C.3Δt-6 D.-3Δt-6
答案：D
2.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1，2)及附近一点(1+Δx,2+Δy)，则为( )
A.Δx++2 B.Δx--2
C.Δx+2 D.2+Δx-
解析：即为（1，2）与（1+Δx,2+Δy)两点连线的斜率.
答案：C
3.设f(x)在x处可导，则等于( )
A.2f′(x) B.f′(x)
C.f′(x) D.4f′(x)
答案：B
4.设f(x)为可导函数，且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
解析：利用定义.
答案：B
5.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增加值Δy约等于( )
A.R3ΔR B.4πR2ΔR
C.4πR2 D.4πRΔR
解析：利用Δy=
答案：B
6.若f′(x0)=2,则=___________.
解析：利用导数的定义：
f′(x0)=
答案：-1
7.已知P(1，2)为函数f(x)=1+x3图象上一点，以P点为切点的切线的斜率为___________.
解析：k=f′(1)=
=(Δx2+3Δx+3)=3.
答案：3
8.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2,则t=2秒时，汽车的瞬时速度是___________.
解析：汽车在t=2秒时的瞬时速度为s(t)在t=2处的导数，利用导数的定义即可.
答案：4
9.已知y=f(x)=,求y′及y′|x=1.
解：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
10.抛物线y=x2在哪一点处的切线平行于直线y=4x-5?
解：
令2x=4,x=2,即在点（2，4）处的切线平行于直线y=4x-5.
综合运用
11.设函数f(x)在x=a处可导，求下列各极限.
(1)
(2)
解：（1）原式
(2)原式=
12．已知函数f(x)及f(x)的导函数f′(x),求［f(x)+3］2的导数.
解：{［f(x)+3］2}′
拓展探究
13．试求过P(3,5)且与曲线y=x2相切的切线方程.
解：
设所求切线的切点为A（x0,y0).
∵点A在曲线y=x2上，∴y0=x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率y′｜x=x0=2x0.
∵所求的切线过P（3，5）和A（x0,y0)两点，
∴其斜率又为
∴2x0=
解之得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）.
当切点为（1，1）时，切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为（5，25）时，切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),
即y=2x-1和y=10x-25.
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
自我小测
1．下列命题正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
2．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0 C．2 D.
3．若y＝sin x，则y′|x＝＝( )
A. B．－ C. D．－
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
5．函数f(x)＝，则f′(x)＝__________.
6．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是__________．
7．设点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．
8．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
参考答案
1. 答案：D
2. 解析：因为y′＝，所以y′|x＝2＝，
故图象在x＝2处的切线斜率为.
答案：D
3. 解析：y′＝cos x，y′|x＝＝cos＝.
答案：A
4. 解析：观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．
答案：D
5. 解析：因为f(x)＝＝，所以f′(x)＝.
答案：
6. 解析：因为曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，
所以y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为y＝x－1.
答案：y＝x－1
7. 解：根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，因为y′＝(ex)′＝ex，
所以由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.
8. 分析：(1)点P在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a；
(2)利用导数先求直线l的斜率，即可得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．
解：(1)因为P在曲线y＝cos x上，
所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
课堂探究
探究一 利用导数公式求函数的导数
利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y＝可以写成y＝等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导．
【典型例题1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x7； (2)y＝x； (3)y＝log3x；
(4)y＝2sin·cos；(5)y＝.
思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．
解：(1)y′＝7x6；
(2)因为y＝x＝，所以y′＝＝；
(3)y′＝；
(4)因为y＝2sin·cos＝sin x，所以y′＝cos x；
(5)因为y＝＝x－2，所以y′＝－2x－3＝－.
探究二 导数的应用
利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．
【典型例题2】 若曲线y＝在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x轴、y轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a.
解：y′＝－(x＞0)，故在点(a，)处的切线的斜率k＝－，
所以切线方程为y－＝－ (x－a)，
易得切线在x轴、y轴上的截距分别为3a，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×＝＝18.
所以a＝64.
3.2.2 导数公式表
课后训练
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝sin x，则y′＝cos x
B．若y＝cos x，则y′＝sin x
C．若，则
D．若，则
2．下列命题正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
4．已知f(x)＝x4，则f′(2)＝( )
A．16 B．24 C．32 D．8
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
6．常数的导数为0的几何意义是__________．
7．曲线y＝cos x在点处的切线方程为__________．
8．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__________．
9．当常数k为何值时，直线y＝x才能与函数y＝x2＋k相切？并求出切点．
10．已知点在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：D
3. 答案：A f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4.
当a＝4时，a－1＝3，则f′(－1)＝－4成立．
当a＝－4时，f′(－1)＝4，与题意不符．同理，a＝5和－5时，与题意也不符．
4. 答案：C
5. 答案：D 观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．
6. 答案：函数y＝C的图象上每一点处的切线的斜率为0
7. 答案：x＋y－＝0 ，即求曲线y＝cos x上点处的切线方程，y′＝－sin x，当时，y′＝－1.所以切线方程为，即x＋y－＝0.
8. 答案：21 ∵函数y＝x2，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x＞0)在点(ak，)处的切线方程为y－＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak.
又∵a1＝16，
∴a3＝a2＝a1＝4，a5＝a3＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
9. 答案：分析：利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标，进一步可求k.
解：设切点A(x0，x02＋k)．因为y′＝2x，
所以所以
故当时，直线y＝x与函数y＝x2＋的图象相切于一点，切点坐标为.
10. 答案：分析：(1)点P在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a；
(2)利用导数先求直线l的斜率，即可得到所求直线斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．
解：(1)∵在曲线y＝cos x上，
∴.
(2)∵y′＝－sin x，
∴.
又∵所求直线与直线l垂直，
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
即.
3.2 导数的运算
自我小测
1．函数f(x)＝的导数是( )
A. B.
C. D.
2．函数y＝(2＋x3)2的导数为( )
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3 C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )
5．若函数f(x)＝x3＋x＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋2，则a＝__________，b＝__________.
6．若函数f(x)＝，则f′(π)＝__________.
7．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
8．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P处，点Q处的切线斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
9．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案
1. 解析：f′(x)＝＝.
答案：C
2. 解析：因为y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
所以y′＝6x5＋12x2.
答案：A
3. 解析：因为y′＝，所以k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为y＝2x＋1.
答案：A
4. 解析：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题图知，a＜0，b＝0，c＞0，所以其解析式可表示为y＝ax2＋c.
而y′＝2ax，由于a＜0，所以B正确．
答案：B
5. 答案：1 2
6. 解析：f′(x)＝＝，所以f′(π)＝＝.
答案：
7. 解析：设P(x0，y0)(x0＜0)，
由题意知：y′|x＝x0＝3－10＝2，
所以＝4.
所以x0＝－2，
所以y0＝15，
所以P点的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
8. 解：因为－1＝，所以t＝1，所以y＝，
所以y′＝.
(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1；
当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝.
(2)当P为切点时，切线方程为x－y－3＝0；
当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.
9. 解：(1)y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为.
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，，
所以，所求三角形的面积S＝××＝.
3.2.3 导数的四则运算法
课后训练
1．函数y＝(1－x2)2的导数为( )
A．2－2x2 B．2(1－x2)2
C．4x3－4x D．2(1－x2)·2x
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x B．－xsin x
C．xcos x D．－xcos x
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．曲线在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
5．曲线y＝ex在x＝0处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为( )
A． B． C．1 D．2
6．若函数f(x)＝x3＋x＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋2，则a＝__________，b＝__________.
7．已知点P在曲线y＝ex上，在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为__________．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
9．已知曲线在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
10．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，若直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
3. 答案：A
4. 答案：因为，所以k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为y＝2x＋1.
5. 答案：B 因为y′＝ex，所以切线斜率k＝y′|x－0＝e0＝1.又x＝0时，y＝e0＝1，故切线方程为y＝x＋1.
其与x轴，y轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，所以所求三角形的面积为.
6. 答案：1 2
7. 答案：(0,1)
8. 答案：(－2,15) 设P(x0，y0)(x0＜0)，由题意知：＝3x02－10＝2，∴x02＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15，∴P点的坐标为(－2,15)．
9. 答案：分析：求出在切点处的斜率(用a表示)，写出切线方程，求出在x轴、y轴上的截距，从而用a表示三角形面积，即可解得a.
解：，点(a，)处切线的斜率.
切线方程为．
从而直线的横，纵截距分别为3a，.
由，得a＝64.
10. 答案：分析：设出直线l与C1，C2的切点坐标，可以分别用一个参数来表示，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出两切点的坐标．
解：解法一：设直线l与两曲线的切点分别为A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．
因为两曲线对应函数的导函数分别为y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，
所以在A，B两点处两曲线的斜率分别为y1′|x＝a＝2a，y2′|x＝b＝－2(b－2)．
由题意可得＝2a＝－2b＋4，
即解之，得或
所以A(2,4)或(0,0)，切线的斜率k＝4或0，从而所求的切线方程为y＝4x－4或y＝0.
解法二：设l与C1，C2的切点的横坐标分别为a，b，直线l的斜率为k，
根据题意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．
y1′|x＝a＝2a，y2′|x＝b＝－2(b－2)．
由k＝2a＝－2b＋4，可得，，
设l与C1，C2的切点的坐标分别为，，
则，解得k＝0或4.
故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝0.
3.2.3 导数的四则运算法
课堂探究
探究一 应用求导法则求导数
要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．
在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．
例如求函数y＝的导数，先化简为y＝－·，再求导，使问题变得更简单．
【典型例题1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x＋2；
(2)y＝cos x·ln x；
(3)y＝；
(4)y＝＋.
思路分析：(1)是函数和差求导；(2)是函数积求导；(3)是函数商求导；(4)先进行分母有理化化简函数式，再求导．
解：(1)y′＝′
＝(x3)′－′－(6x)′＋(2)′
＝3x2－3x－6.
(2)y′＝(cos xln x)′
＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′
＝－sin xln x＋.
(3)y′＝′＝
＝＝.
(4)y＝＋
＝＝－2，
y′＝′＝
＝.
探究二 利用导数求切线方程
求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．
【典型例题2】 已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f′(x)＝－1有唯一解确定a的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．
解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，
所以f′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.
所以f′(x)＝x2－4x＋3＝－1可化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝，
所以切线l的方程为y－＝(－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0.
所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
探究三导数的综合应用
对于一个具体的初等函数，可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来，已知某些条件及其导函数，也可以确定参数，求出函数解析式．
【典型例题3】 已知函数f(x)是关于x的二次函数，f′(x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函数f(x)的解析式．
思路分析：利用待定系数法，设出f(x)的解析式，根据条件列出方程组求出参数值．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
3.2 导数的运算
课后导练
基础达标
1.下列运算正确的是( )
A.(ax2-bx+c)′=a(x2)′+b(-x)′
B.(sinx-2x2)′=(sinx)′-(2)′(x2)′
C.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′·cosx
D.
答案：A
2.y=cotx的导数是( )
A.y′= B.y′=
C.y′=- D.y′=
答案：C
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )
A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,4)
答案：A
4.设y=-2exsinx,则y′等于( )
A.-2excosx B.-2exsinx
C.2exsinx D.-2ex(sinx+cosx)
解析：y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).
答案：D
5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于( )
A.100 B.0
C.100×99×98×…×3×2×1 D.1
解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),
∴f′(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+x·［（x-1)·(x-2)…(x-100)］′.
∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.
答案：C
6.(2005北京高考，12)过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.
解析：将y=ex求导知（ex）′=ex.
设切点坐标为（x0,）,则过该切点的直线的斜率为.
∴直线方程为y-=（x-x0）.
∴y-=·x-x0·.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程.
∴x0·=,∴x0=1.
∴切点为（1，e），斜率为c.
答案：（1，e） e
7.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为，则a=___________.
解析：∵y=x3,
∴y′=3x2.
∴y=x3在（a,a3）点的切线斜率k为k=3a2.
∴切线方程为y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.
令3a2x-2a3=0，得x=a,即y=3a2x-2a3与x轴交点横坐标为a.
令x=a,得y=3a2×a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3与x=a交点纵坐标为a3.于是有×a3,
解得a=±1.
答案：±1
8.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是___________.(以弧度数作答)
解析：
(x-2)(x2+4x+8)=0x=2.
∴两曲线只有一个交点.
∵y′=(2-x2)′=-x,
∴当x=2时，y′=-2.
又∵y′=(-2)′=x2,
∴当x=2时，y′=3.
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2，3.
∴夹角的正切值的绝对值为
∴夹角为.
答案：
9.求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);
(2)f(x)=xtanx-
(3)f(x)=.
解：（1）∵f′(x)=［2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5］′,
∴f′(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
(2)f′(x)=
(3)f′(x)=
10.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).
解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f′(x)=g′(x)，得2x+a=2x+c,∴a=c. ③
由f(5)=30,得25+5a+b=30. ④
∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=-.
∴g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=.
综合运用
11.曲线y=x2+1上点P处的切线与曲线y=-2x2-1也相切，求点P的坐标.
解：设P点坐标为（a,a2+1）,由y=x2+1,得y′=2x.
过P点的切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a)，
即y=2ax-a2+1,由
由相切知Δ=0，即a=±,
∴P点为（，7 3），（-，）.
12.当常数k为何值时，直线y=x指出与函数y=x2+k相切？并求出切点.
解：设切点A（x0,x20+k）
∵y′=2x
故当k=时，直线y=x与函数y=x2+的图象相切于点A且坐标为（，）.
13.设直线l1与曲线y=相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K，求KQ的长.
解：先确定l2的斜率，再写出方程，设P(x0,y0),
则
由l2和l1垂直，故,于是
l2:y-y0=-2(x-x0),
令y=0,则：
-y0=-2(xQ-x0)
即：-=-2(xQ-x0)
解得：xQ=+x0
易得：xK=x0
∴|KQ|=|xQ-xK|=.
拓展探究
14.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2：y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.
(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.
(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
答案：
（1）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x21+2x1)的切线方程是y-(x21+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21. ①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).
由Δ=0，得a=-,解得x1=-,此时P与Q重合，即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线.
由①得公切线方程为y=x-.
(2)证明：由（1）可知，当a＜-时，C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1,y1+y2=x21+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a，线段PQ的中点为（）.
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（）,
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
自我小测
1．函数y＝x＋ln x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)，(1，＋∞) C．(－1,0) D．(－1,1)
2．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＞0
3．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
4．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－6 D．－12
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
6．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
7．若f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是__________．
8．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是__________．
9．求证：函数y＝xsin x＋cos x在区间上是增函数．
10．设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1. 解析：函数y＝x＋ln x的定义域为(0，＋∞)．
令f′(x)＝1＋＝＞0，得x＞0.
答案：A
2. 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，又a＞0，所以当b＝0，c＞0时，f′(x)＞0恒成立．
答案：C
3. 解析：因为导函数f′(x)是增函数，
所以切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大．
而B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．
答案：A
4. 解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax＜0，
当a＞0时，解得－＜x＜0，不合题意；
当a＜0时，解得0＜x＜－.
由题意，－＝2，所以a＝－6.
答案：C
5. 解析：由函数y＝xf′(x)的图象，知在(－∞，－1)上，f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数；在(－1,0)上，f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(0,1)上，f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(1，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数．结合所给选项知应选C.
答案：C
6. 解析：令y′＝3x2＋2x－5＞0，得x＜－或x＞1.
答案：，(1，＋∞)
7. 解析：因为f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，
所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
即3ax2＋1＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝－12a＞0，所以a＜0.
答案：a＜0
8. 解析：y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥x在区间(0,2)上恒成立，所以a≥3.
答案：[3，＋∞)
9. 证明：y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
因为x∈，所以cos x＞0.
所以y′＞0，即函数y＝xsin x＋cos x在上是增函数．
10. 解：(1)因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋－，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
由f′(x)＞0结合x＞0，
得0＜x＜或x＞2；
由f′(x)＜0及x＞0，得＜x＜2.
所以f(x)在区间和(2，＋∞)内是增函数，
在区间内是减函数．
(2)若f(x)在定义域上是增函数，
则f′(x)≥0对x＞0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立．
化为a≥对x＞0恒成立．
因为＝≤1，当且仅当x＝1时取等号，
所以a≥1.
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
课后导练
基础达标
1.已知f(x)=x2+2xf′(-1)，则f′(0)等于…( )
A.0 B.+4
C.-2 D.2
解析：f′(x)=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(-1)=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f′(0)=+4.
答案：B
2.设f(x)在(a,b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的________条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：A
3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
解析：f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立.因为a>0,则Δ=4b2-4·3ac<0,即b2-3ac<0.
答案：D
4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A. B.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
解（直接法）：y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时，sinx<0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0);
x<0时，sinx>0,则x∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目知应选B.
答案：B
5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1］
C.(0,1) D.(0,1］
解法一(直接法)：g′(x)=,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在［1,2］上为减函数，则有a≤1.再由条件知g′(x)=<0,∴a>0.
综上，0
解法二(排除法)：若a=1,f(x)=-x2+2x,g(x)=,易知f(x)与g(x)在［1,
2］上为减函数，排除A、C.
又若a=-,g(x)=-,在［1，2］上为增函数，排除B
，故选D.
答案：D
6.函数f(x)=ln(3x-b)(b>0)的增区间为__________.
答案：(,+∞)
7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是__________.
解析：f′(x)=3x2+2x+m.
∵f(x)在R上是单调递增函数，
∴f′(x)>0在R上恒成立，即3x2+2x+m>0.
由Δ=4-4×3m<0,得m>.
答案：m>
8.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0，3)，则m=__________.
解析：f′(x)=3x2-2mx,
∵f(x)的递减区间是(0，3)，
∴0，3是3x2-2mx=0的根，
∴0+3=,
∴m=.
答案：
9.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P(x,y)在该曲线上移动，过P的切线设为l.
(1)求证：此函数在R上单调递增；
(2)求l的斜率的范围.
答案：
(1)证明：y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R上递增.
(2)解：由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l的斜率的范围是k≥3.
10.(2004全国高考Ⅱ，文19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
解：f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.
3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.
所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.
(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.
(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.
综合运用
11.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a2+a+1)解：∵在(-∞,0)上f′(x)>0
∴f(x)在(-∞，0)上为增函数
又f(x)为偶函数
∴f(x)在(0，+∞)上为减函数
且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1)
∴原不等式可化为f(2a2+a+1)又∵2a2+a+1>0 3a2-2a+1>0恒成立
∴2a2+a+1>3a2-2a+1
解得012.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
解：f′(x)=3ax2+1,若a>0,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间，与原条件矛盾，若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+)(x-),综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(-∞,-)和(,+∞),增区间为(-,).
13.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1，求f(x)的单调区间.
解：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,
令f′(x)=0,
解得x1=0,x2=a-1.
(1)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞，+∞)上单调递增.
当a>1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0
(0,a-1)
a-1
(a-1,+ ∞)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
从上表可知，函数f(x)在（-∞,0）上单调递增；在（0,a-1）上单调递减；在（a-1,+ ∞）上单调递增.
拓展探究
14.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.
(1)求b、c的值；
(2)求g(x)的单调区间.
解析：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx,∴(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,
所以g(0)=0得c＝0,由奇函数定义得b=3.
(2)由（1）知g(x)=x3-6x,从而(x)=3x2-6,由此可知,
(-∞,-)和(,+∞)是函数g（x）的单调递增区间；
（-,）是函数g(x)的单调递减区间.
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
课后训练
1．函数y＝2x－x2的单调增区间为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
2．函数y＝x3－9x＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－3)和(0,3)
B．(－3,3)
C．(－3,0)
D．(－∞，－3)和(3，＋∞)
3．在区间(a，b)内，f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在区间(a，b)内有( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
4．函数f(x)＝ln x－ax(a＞0)的单调增区间为( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．(0，a)
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是( )
6．函数f(x)＝sin x，x∈(0,2π)的单调减区间为__________．
7．函数y＝x3－6x2＋3x＋1的单调增区间为__________；单调减区间为__________．
8．若函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为__________．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的单调增递区间．
10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：B
3. 答案：A 由f′(x)＞0，知f(x)在区间(a，b)内是增函数．
又f(a)≥0，故f(x)＞0.
4. 答案：A 令，则(ax－1)x＜0.又a＞0，所以0＜x＜.
5. 答案：C 由函数y＝xf′(x)图象，知在(－∞，－1)上f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数；在(－1,0)上f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(0,1)上f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数．结合所给选项应选C.
6. 答案： f′(x)＝cos x，令f′(x)＜0，即cos x＜0，又x∈(0,2π)，所以x∈.
7. 答案：(－∞，)和(，＋∞) (，) f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，则．
当x∈(－∞，)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，)上是增函数；
当x∈(，)时，f′(x)＜0，f(x)在(，)上是减函数；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上是增函数．
综上，f(x)的单调增区间是(－∞，)和(，＋∞)，f(x)的单调减区间是(，)．
8. 答案：(－∞，0] y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，即恒成立．
又∵，∴a≤0.
9. 答案：分析：先根据f(x)在区间(－5,5)上为减函数求得a值，再应用导数求f(x)为增函数的区间．
解：f′(x)＝3x2＋a.
∵在(－5,5)上函数f(x)是减函数，
则－5,5是方程3x2＋a＝0的根．
∴a＝－75.此时，f′(x)＝3x2－75.
令f′(x)＞0，则3x2－75＞0.
解得x＞5或x＜－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
10. 答案：分析：(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f′(x)≥0在R上恒成立，然后用分离参数法可求参数a的范围．
(2)若找到a的值满足不等式f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，则a存在，否则不存在．
(3)特值验证，若找到图象上点的坐标小于等于a，则命题得以证明．
解：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在R上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2时，x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－ax－1在实数集R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需a≥3.
由求a的过程知当a≥3时，f(x)在(－1,1)上是减函数，故这样的实数a存在．
实数a的取值范围为[3，＋∞)．
(3)∵f(－1)＝a－2＜a，
∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
课堂探究
探究一 函数图象的升降与导数的关系
要解决函数图象的升降与导数的关系问题，主要从两方面入手：一是观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；二是观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
【典型例题1】 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
思路分析：根据给出的函数图象分析函数图象的升降情况，确定导数的正负，得出导数图象的情况．
解析：观察原函数图象可知，在y轴左侧，函数f(x)图象是上升的，因此对应导数为正，图象在x轴上方，在y轴右侧，函数f(x)的图象是先升、再降、最后上升，故对应导数应为先正、再负、最后为正，图象自左向右依次在x轴上方、下方、再上方，故选D.
答案：D
探究二 求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间，但要特别注意的是，不能忽视函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．
利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)求函数定义域；
(2)对函数求导；
(3)令导函数大于零，解不等式得递增区间；令导函数小于零，解不等式得递减区间．
【典型例题2】 求下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
(2)f(x)＝x2－ln x.
思路分析：利用函数单调性的判定法则，转化为关于导数的不等式求解．
解：(1)y′＝(x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
所以y＝x3－9x2＋24x的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)．
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.
所以y＝x3－9x2＋24x的递减区间是(2,4)．
(2)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，
因为f′(x)＝2x－＝，
所以令f′(x)＞0，则x＞，
令f′(x)＜0，则0＜x＜，
所以函数f(x)＝x2－ln x的递减区间为，
递增区间为.
探究三 利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求参数的取值范围问题往往转化为不等式恒成立问题，其常用方法有两种：一是f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，要注意验证等号是否成立；二是利用集合的包含关系处理，f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
【典型例题3】 已知函数f(x)＝x(a∈R)，若函数f(x)在(1,2)内是增函数，求a的取值范围．
思路分析：本题先求导，转化为f′(x)≥0在(1,2)上的恒成立问题．
解：因为函数f(x)在(1,2)内是增函数，
所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈(1,2)恒成立，所以a≤－，x∈(1,2)．
令g(x)＝－，x∈(1,2)，g′(x)＝＋＞0恒成立，
所以g(x)＝－在(1,2)上是增函数，当x＝1时，g(x)＝－，所以a≤－.
探究四 易错辨析
易错点 恒成立问题漏掉等号
【典型例题4】 已知f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
错解：f′(x)＝1－.
由题意得1－＞0在[1，＋∞)上恒成立，
即a＜x2在[1，＋∞)上恒成立．
因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，
所以a＜1，即a的取值范围为(－∞，1)．
错因分析：f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，导函数f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立；而错解用了f(x)在[1，＋∞)上是增函数时，f′(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．
正解：f′(x)＝1－.由题意，得1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[1，＋∞)上恒成立．
因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，
所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
3.3.2 利用导数研究函数的极值
自我小测
1．在下面函数y＝f(x)图象中，既是函数的极大值点又是最大值点的是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
2．函数y＝f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数y′＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为( )
A．2 B．4 C．18 D．20
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0
6．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：
(1)f(x)是增函数，无极值；
(2)f(x)是减函数，无极值；
(3)f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；
(4)f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值－4.
其中正确命题是________．(填序号)
7．已知函数f(x)＝2x3＋3(a＋2)x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是__________．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值．
(2)求g(x)的单调区间与极值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值．
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是单调递增的，求a的取值范围．
参考答案
1. 答案：C
2. 解析：由y′＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
答案：A
3. 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1或x2＝1，
f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
答案：C
4. 解析：令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1.
又x∈[0,3]，所以x＝1.
则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.
又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，
所以M＝18－a，N＝－2－a，所以M－N＝20.
答案：D
5. 解析：由题意，得f(1)＝0，所以p＋q＝1.①
f′(1)＝3－2p－q＝0，所以2p＋q＝3.②
由①②得p＝2，q＝－1.
所以f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，f＝，f(1)＝0.
答案：A
6. 答案：(3)(4)
7. 解析：f′(x)＝6x2＋6(a＋2)x＋3a.
因为x1，x2是f(x)的两个极值点，
所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，
即x1，x2是6x2＋6(a＋2)x＋3a＝0的两个根，
从而x1x2＝＝2，所以a＝4.
答案：4
8. 解析：从图象可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．
答案：①
9. 解：(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
又g(x)是奇函数，
所以g(0)＝－c＝0.
由g(－x)＝－g(x)得b－3＝0，
所以b＝3，c＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x3－6x，
所以g′(x)＝3x2－6.
令g′(x)＝0，得x＝±；
令g′(x)＞0，得x＜－或x＞；
令g′(x)＜0，得－＜x＜.
所以(－∞，－)，(，＋∞)是函数g(x)的递增区间，(－，)是函数g(x)的递减区间，函数g(x)在x＝－处取得极大值为；在x＝处取得极小值为－.
10. 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，
所以a＋b＋c＝－1.③
由①，②，③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
11. 解：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
所以f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)·，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝，或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，
即所以－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2]．
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课后导练
基础达标
1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
2.函数y=1+3x-x3有( )
A.极小值-2，极大值2 B.极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值1 D.极小值-1，极大值3
解析：y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.
当x<-1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数；
当-10,函数y=1+3x-x3是增函数；
当x>1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.
∴当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；
当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3.
答案：D
3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解法一：(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以a=5.
故选D.
解法二：(验证法)当a=2时，f′(x)=3x2+4x+3=0,无解，排除A；
当a=3时，f′(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件，排除B；
当a=4时，f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C，故选D.
答案：D
4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的( )
A.极大值为，极小值为0 B.极大值为0，极小值为-
C.极小值为-，极大值为0 D.极小值为0，极大值为
解析：∵f(x)与x轴切于(1，0)点，
∴f′(x)=3x2-2px-q.
∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,
∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.
∴fmax=,fmin=f(1)=0.故选A.
答案：A
5.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
解析：三次函数过原点，可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,∴b=-6,c=9.
∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
当x=1时，f(x)max=4;
当x=3时，f(x)min=0,满足条件.
答案：B
6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是_______________.
解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0，1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0答案：07.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是_______________.
解析：f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),
令f′(x)=0,得x=±a,
当-a当x>a或x<-a时，f′(x)>0，函数递增.
∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.
答案：a>
8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为_______________.
解析：x=2是f(x)的极大值点，
∵f(x)=x(x2-2cx+c2),
∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.
∴f′(2)=c2-8c+12=0.∴c=2或c=6.
当c=2时，不能取极大值，∴c=6.
答案：6
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1,
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
解：(1)由f′(-1)=f′(1)=0，得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0.
又f(1)=-1，∴a+b+c=-1.
∴a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x，
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1)；
当x<-1或x>1时，f′(x)>0；
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数，在(-1,1)上为减函数.
∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.
10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
解：(1)∵f(x)=alnx+bx2+x，
∴f′(x)=+2bx+1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0，
∴a+2b+1=0且+4b+1=0，
解方程组得a=-，b=-.
∴f(x)=-lnx-x2+x.
(2)f′(x)=-x-1-x+1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，故在x=1处函数f(x)取得极小值，在x=2处函数取得极大值ln2.
综合运用
11.求下列函数的极值
(1)y=x4-2x2-1
(2)y=(x+2)2(x-1)3
解：(1)y′=4x3-4x=0，x=0或x=-1或x=1.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
-
0
+
0
-
0
+
y
极小
极大
极小
当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=1时，函数有极小值-2.
(2)f′(x)=2(x+2)(x-1)3+3(x+2)2(x-1)2
=(x+2)(x-1)2(5x+4).
令f′(x)=0，解得x=-2，或x=-，或x=1.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
y′
+
0
-
0
+
0
+
y
极大
极小
无
当x=-2时，有极大值0；当x=-时，有极小值-
12.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图所示.求：
(1)x0的值；
(2)a、b、c的值.
答案：
(1)解：由图象可知，在(-∞,1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0.在(2,+∞)上f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.
(2)解法一：f′(x)=3ax2+2bx+c，
由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5，
得
解得a=2,b=-9,c=12.
解法二：设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m，
又f′(x)=3ax2+2bx+c，
所以a=,b=-m,c=2m,
f(x)= x3-mx2+2mx.
由f(1)=5,即-m+2m=5,
得m=6，所以a=2,b=-9,c=12.
13.(2005全国高考Ⅱ，21)设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
解：(1)f′(x)=3x2-2x-1.
若f′(x)=0，则x=-,1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表.
x
(-∞,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的极大值是f(-)=+a，极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.
由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0.
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
结合f(x)的单调性可知.
当f(x)的极大值+a<0，即a∈(-∞,-)时，它的极大值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1,+∞)上；
当f(x)的极小值a-1>0，即a∈(1,+∞)时，它的极小值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(-∞,-)上.
所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
拓展探究
14.已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R为常数.若b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性.
解析：求导得f′(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex.
因b2>4(c-1)，故方程f′(x)=0，
即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；
x1=
令f′(x)>0，解得xx2；
又令f′(x)<0，解得x1故当x∈(-∞,x1)时，f(x)是增函数；
当x∈(x2,+∞)时,f(x)是增函数；
但当x∈(x1,x2)时，f(x)是减函数.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课后训练
1．在下面函数y＝f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
2．在上题的函数图象中，是f′(x)＝0的根但不是函数f(x)的极值点的是( )
A．x0 B．x2 C．x3 D．x4
3．函数y＝x2＋2x的极小值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
4．函数f(x)＝xln x在[1，e]上的最小值和最大值分别为( )
A．0，eln e B．，0
C．，e D．0，e
5．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为( )
A．2 B．4 C．18 D．20
6．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：
(1)f(x)是增函数，无极值；
(2)f(x)是减函数，无极值；
(3)f(x)单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；
(4)f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值－4.
其中正确命题是________．
7．已知函数f(x)＝2x3＋3(a＋2)x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．
9．求曲线f(x)＝x2＋4ln x上切线斜率的极小值点．
10．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：A
3. 答案：B
4. 答案：D f′(x)＝ln x＋1.
当1≤x≤e时，f′(x)＝ln x＋1＞0，故f(x)＝xln x在[1，e]上是增函数．
所以当x＝1时，f(x)取得最小值0；当x＝e时，f(x)取得最大值e.
5. 答案：D 令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1，
又x∈[0,3]，∴x＝1.
则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.
又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，
∴M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20.
6. 答案：(3)(4)
7. 答案：4 f′(x)＝6x2＋6(a＋2)x＋3a.
∵x1，x2是f(x)的两个极值点，
∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，
即x1，x2是6x2＋6(a＋2)x＋3a＝0的两个根，
从而x1x2＝＝2，∴a＝4.
8. 答案：a＜－1或a＞2 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．
令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵f(x)既有极大值又有极小值，
∴f′(x)＝0有两个不相同的实数根．
∴Δ＝4a2－4(a＋2)＞0.
解得a＞2或a＜－1.
9. 答案：分析：先求曲线f(x)上的切线的斜率，即函数f(x)的导数f′(x)，再求f′(x)的极小值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.
令h(x)＝x＋，则h′(x)＝1－.
当0＜x＜2时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,2)上是减函数．
当x＞2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(2，＋∞)上是增函数；
所以h(x)在x＝2处取得极小值，且h(2)＝4，
故曲线f(x)＝x2＋4ln x上切线斜率的极小值点为2.
10. 答案：分析：按照求函数极值的步骤求解即可．
解：由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，
知f′(x)＝cos x＋sin x＋1，
于是.
令f′(x)＝0，从而，得x＝π或.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
π＋2
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和，单调递减区间是，极小值为，极大值为f(π)＝π＋2.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课堂探究
探究一 求函数的极值
解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f′(x)＝0只是函数在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x0处取得极值．函数f(x)在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的．
【典型例题1】 求下列函数的极值：
(1)y＝f(x)＝3x3－x＋1； (2)f(x)＝x2ex.
思路分析：首先对函数求导，求得f′(x)，然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
解：(1)y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－.
当x变化时，y′和y的变化情况如下表：
x
－
y′
＋
0
－
0
＋
y
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝.
而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值0
单调递增
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝.
探究二 求函数的最值
利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值．
【典型例题2】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]；
(2)f(x)＝－x3＋2x2＋3，x∈[－3,2]．
思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝－3(x2－1)＝0, 得x＝±1，
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0.
故f(x)的最大值为2，最小值为－2.
(2)f′(x)＝－3x2＋4x，
由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，或x＝.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3,0)
0
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
48
极小
值3
极大
值
3
故当x＝－3时，f(x)取最大值48；
当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3.
探究三 求参数的取值
已知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题．解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
【典型例题3】 设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a，b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．
思路分析：(1)可以由条件列出关于a，b的方程组求解；(2)存在x0使不等式c≥f(x0)成立，含义是函数f(x)的图象上至少有一点在直线y＝c的下方，也就是说只需c≥f(x)min.
解：(1)因为f(x)＝2ax－＋ln x，
所以f′(x)＝2a＋＋.
因为f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
所以f′(1)＝0，f′＝0.
即解得
所以a，b的值分别为－，－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由(1)知f(x)＝－x＋＋ln x.
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
所以当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在上单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，故f(x)在上单调递增；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(1,2)上单调递减．
所以f是f(x)在上的极小值，
而f＝＋ln＝－ln 2，
f(2)＝－＋ln 2，且f－f(2)＝－ln 4＝ln－ln 4，
又e3－16＞0，
所以ln－ln 4＞0，
所以在上f(x)min＝f(2)，
所以c≥f(x)min＝－＋ln 2.
所以c的取值范围为，
所以c的最小值为－＋ln 2.
探究四 易错辨析
易错点 忽视对极值点的验证
【典型例题4】 已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值．
错解：f′(x)＝3x2－2ax－b.
由题意得3－2a－b＝0，
1－a－b＋a2＝10，
解得或
错因分析：在x＝1处有极值10，则x＝1是f′(x)＝0的根．但f′(x)＝0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x＝1处有极值．
正解：f′(x)＝3x2－2ax－b.
由题意得3－2a－b＝0,1－a－b＋a2＝10，
解得或
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，
所以f(x)单调递增，不存在极值，故应舍去．
当a＝－4，b＝11时，满足题意．
所以a＝－4，b＝11.
3.3.3 导数的实际应用
自我小测
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
2．用边长为36 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四个角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．容积为108 L的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( )
A．2 dm B．3 dm C．4 dm D．6 dm
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．
5．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x t与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p＝24 200－x2，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)，则该厂利润达到最大时的月产量为( )
A．100 B．20 C．400 D．200
6．圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为__________．
7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．
8．一张1.4 m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8 m，问观察者应站在距离墙__________处看图，才能最清晰(即视角最大)．
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？
10．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：A
3. 解析：设水箱的底面边长为a dm，高为h dm，则V＝a2h＝108，即h＝.
用料最省，即表面积最小．
S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋.
S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(dm)．
答案：B
4. 解析：设底面边长为x，则表面积S(x)＝x2＋V(x＞0)，S′(x)＝(x3－4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点x＝.
答案：C
5. 解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝·x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
令f′(x)＝－x2＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．
答案：D
6. 解析：设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，
则表面积S＝2πRh＋2πR2.
由V＝πR2h，得h＝，
则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2.
令S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得R＝，从而h＝＝＝＝2，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，
所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．
答案：2∶1
7. 解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，
则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)
＝－0.15m2＋3.06m＋30，
所以y′＝－0.3m＋3.06.
令y′＝0，得m＝10.2.
当0≤m＜10.2时，y′＞0；
当10.2＜m≤15时，y′＜0.
故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．
又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；
当m＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
答案：45.6
8. 解析：如图所示，设OD＝x，∠BOA＝α，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，则α＝γ－β，tan γ＝，tan β＝，
tan α＝tan(γ－β)＝＝＝(x＞0)．
令(tan α)′＝＝0，
解得x＝2.4.在x＝2.4附近，导数值由正到负，在x＝2.4 m处，tan α取得最大值，即视角最大．
答案：2.4 m
9. 解：设速度为每小时v千米时的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10时，p＝6，解得k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为小时，所以行1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，令q′＝0，解得v＝20.
因当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值．
即当速度为20千米/时时，航行1千米所需费用总和最小．
10. 解：(1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.
故C(x)＝.
所以f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，
即6－＝0，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x＜10时，f′(x)＞0.
故当x＝5时，有f(x)最小值＝f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
3.3.3 导数的实际应用
课后导练
基础达标
1.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V=x(48-2x)2(0答案：B
2.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( )
A. B. C.r D.r
解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，因为h=
令S′=0，得x=,h=r.
当x∈(0,)时，S′>0；
当∴当x=时，S取极大值.当梯形的上底长为r时，它的面积最大.
答案：A
3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D.
解析：设底面边长为x，侧棱长为l，则V=x2·sin60°·l，
∴l=.∴S表=2S底+3S侧=x2·sin60°+3·x·l=x2+.
∴V′==0.∴x3=4V，即x=.
又当x∈(0,)时y′<0，x∈(,V)时，y′>0，∴当x=时，表面积最小.
答案：C
4.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A.10 B.15 C.25 D.50
解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ×2×5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故S max=25.
答案：C
5.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.无最大值，但有最小值
答案：C
6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为x米，则长为米.
因此新墙总长度L=2x+(x>0),
则L′=2-.
令L′=0，得x=±16.∵x>0,∴x=16.
当x=16时，L极小值=Lmin=64，
∴堆料场的长为=32米.
答案：32米和16米.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0,3］上的最大值、最小值分别是________.
答案：5，-15
8.函数y=sin2x-x,x∈［-,］的最大值是________，最小值是________.
答案：,-
9.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.
解析：设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x，设正方形与圆的面积之和为S，则S=π()2+()2(0所以S′=(100-x),
令S′=0，得x=≈44 cm.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为0的点，故当x=时S最小，此时S=
所以截成圆的一段铁丝长为时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为
10.货车欲以x km/h的速度行驶，去130 km远的某地.按交通法规，限制x的允许范围是40≤x≤100.假设汽油的价格为5元/升，而汽车耗油的速率是(2+)升/小时.司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？
解析：汽车运行的时间为小时，耗油量为升，耗油费用为2·元，司机的工资为14×元.
故这次行车的总费用为
y=5×
∴y′=130
由y′=0，得40≤x≤100内的唯一解为x=243≈42 km/h.
∴最经济的车速为42 km/h，最低费用为130×≈150(元).
综合运用
11.如图，一艘渔船停泊在距岸9 km的A处，今需派人送信给距渔船3 km处的海岸渔站C，若送信人步行速度为每小时5 km，船速为每小时4 km，问在何处上岸，可以使抵站的时间最省？［参考导数公式()′=·f′(x)］
解析：设上岸点为D，BD=x,BC=15,AD=,所用时间t(x)=
∴t′(x)=解得x=12.
∴15-x=15-12=3 km.
∴上岸点在距渔站3 km处.
12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大.
解析：设被切去的全等四边形的一边长为x，如图，则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,
∴正六棱柱的体积V=6×(1-2x)2×3x(0又V′=（12x2-8x+1),由V′=0，得x=或x=.
∵当x∈(0, )时，V′>0,V是增函数；
当x∈(,）时V′<0，V是减函数.
∴当x=时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为.
13.甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)，
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
解：（1）由题意，得ω=2 000-st=-s(t>0).
∴当吨时，ω取得最大值为元.
∴乙方获得最大利润的年产量为t=吨.
（2）设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为v元，则t=吨，v=st-0.002t2=
v′=
令v′=0,得s=20.当s>20时，v′<0,所以v在 (20,+∞)上单调递减；当s<20时，v′>0,所以v在（0，20）上单调递增.所以s=20时，v取得极大值，也就是最大值.所以在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是20元.
拓展探究
14.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
①当每辆车的月租定为3 600元时，能租出多少辆车？
②每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为多少？
解：（1）当每辆车的月租金为3 600元时，未出租的车辆数为
所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益
f(x)=
f′(x)=-+162 由f′(x)=0得
∴当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.
3.3.3 导数的实际应用
课后训练
1．把长为80 cm的铁丝分为两段，分别围成正方形，要使两个正方形面积之和最小，则两段铁丝的长分别为( )
A．20 cm和60 cm B．30 cm和50 cm
C．35 cm和45 cm D．40 cm和40 cm
2．用边长为36 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( )
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．6分米
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A． B． C． D．
5．已知圆柱的表面积为定值S，则当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为( )
A． B． C． D．
6．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长分别为__________．
7．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
8．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．
参考答案
1. 答案：D
2. 答案：A
3. 答案：B 设水箱的底面边长为a分米，高为h分米，则V＝a2h＝108，即.
用料最省，即表面积最小．
S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋.
S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(分米)．
4. 答案：C 设底面边长为x，则表面积(x＞0)，S′(x)＝(x3－4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点.
5. 答案：B 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh.
∴.
又圆柱的体积V(r)＝πr2h＝(S－2πr2)＝.
而，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
又，∴.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
6. 答案：， 设矩形的边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0＜x＜2)．
∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解之，得，(舍去)．
当0＜x＜时，S′＞0；当＜x＜2时，S′＜0.
∴当时，S取最大值为.
∴矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
7. 答案：分析：由每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，可得多卖出商品件数为kx2.又由商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．可得k＝6.从而得到商品利润与x之间的函数关系，进而用导数求利润的最大值．
解：(1)设商品降价x元，则多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意，有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
8 664
11 664
故x＝12时，f(x)达到极大值，因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大．
8. 答案：分析：由于不建隔热层时，每年能源消耗费用为8万元，可得C(0)＝＝8，即k＝40.再由题意得到f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)，进而利用导数求其最小值．
解：(1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.
故.
所以f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)．
(2) .令f′(x)＝0，
即，
解得x＝5，(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x＜10时，f′(x)＞0.
故当x＝5时，有f(x)最小值＝f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
3.3.3 导数的实际应用
课堂探究
探究一 与几何有关的最值问题
解决与面积、体积等与几何有关的最值问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值．
【典型例题1】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．
思路分析：设出容器底面一边长为x m，表示出容器的另一边及高，利用长方体的体积公式，将其表示为x的函数，利用导数求解．
解：设容器底面一边长为x m，
则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x.
由解得0＜x＜1.6.
设容器的容积为y m3，
则y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，则15x2－11x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
在定义域(0,1.6)内只有x＝1使y′＝0，
即x＝1是函数y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．
因此，当x＝1时y取得最大值ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2.
故容器的高为1.2 m时容积最大，最大值为1.8 m3.
探究二 利润最大(成本最低)问题
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢，通常以产量或单价为自变量建立函数关系，从而利用导数来分析、研究．
【典型例题2】 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？
思路分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．
解：设利润为L(p)，由题意可得
L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p＞0)，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(舍去)．
则L(30)＝23 000.
因为0＜p＜30时，L′(p)＞0；p＞30时，L′(p)＜0，
所以p＝30时，L(p)取得极大值．根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元．
第三章 导数及其应用
单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)在x＝x0处可导，则( )
A．f′(x0) B．f′(x0)
C．2f′(x0) D．4f′(x0)
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知P点在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1,0)
C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1)
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，0]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤1
C．a＜5 D．a≥1
5．设a∈R，若函数f(x)＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a＞－1 B．a＜－1
C． D．
6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不正确
7．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．1 B． C． D．
8．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．[－2,2]
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
9．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
D．f(x)g(x)＞f(b)g(a)
10．设函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的大致图象为( )
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)＝x2＋x在点(2，f(2))处的切线方程为__________．
12．函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调递减区间为__________．
13．函数f(x)＝x＋在(0，＋∞)上的最小值为__________，此时x＝__________.
14．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
15．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是__________．(把你认为不是的序号都填上)
①f(x)＝sin x＋cos x；
②f(x)＝ln x－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；
④f(x)＝xex.
三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值．
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
17．(15分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)．(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：A 从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增、减、增、减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点．
3. 答案：C
4. 答案：B f′(x)＝2x＋2a－2，因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f′(0)≤0，即2a－2≤0，a≤1.
5. 答案：B 因为f(x)＝ex＋ax，所以f′(x)＝ex＋a.
若函数在x∈R上有大于零的极值点，
即f′(x)＝ex＋a＝0有正根．
当f′(x)＝a＋ex＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln(－a)，
由x＞0，得参数a的范围为a＜－1.
6. 答案：A f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)最大＝m，∴m＝3.
从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.
7. 答案：B
8. 答案：A f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
∵当x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0，
∴当x＝－1时，f(x)有极大值，当x＝1时，f(x)有极小值．
要使f(x)有3个不同的零点，
只需解得－2＜a＜2.
9. 答案：C 令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，所以y在R上单调递减，
又x＜b，故f(x)g(x)＞f(b)g(b)．
10. 答案：D 由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故f′(x)＜0；当x＞0时，f(x)先增，再减，然后再增，故f′(x)先正，再负，然后再正．故选D.
11. 答案：5x－y－4＝0
12. 答案：(0,2)
13. 答案：4 2
14. 答案：[－2，＋∞) ∵f(x)＝aln x＋x，∴f′(x)＝＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，
∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，
∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
15. 答案：④ 对于①，f″(x)＝－(sin x＋cos x)，时，f″(x)＜0恒成立；
对于②，，在时，f″(x)＜0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在时，f″(x)＜0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)ex在时，f″(x)＞0恒成立，
所以f(x)＝xex不是凸函数．
16. 答案：分析：(1)极值点是f′(x)＝0的根，利用根与系数的关系解决即可．
(2)f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数方程f′(x)＝0的判别式Δ≤0.
解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，
∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，
即x1，x2是18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两个根，
从而x1x2＝＝1，∴a＝9.
(2)∵Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
17. 答案：分析：(1)将R(x)与C(x)的关系式代入P(x)＝R(x)－C(x)即可；然后将P(x)关系式代入边际利润函数MP(x)即可．
(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值．
(3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间．
解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5(x∈N*且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵x＞0，
∴P′(x)＝0时，x＝12，
∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0，
当x＞12时，P′(x)＜0，
∴x＝12时，P(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)是减函数，
所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润比较，利润在减少．
第三章 导数及其应用
本章测评
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1根据导数的定义，f′(x1)等于( )
A. B．
C. D．
2函数y＝x3在(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝4x－3
3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数函数
C．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数函数
4设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＞x D．f(x)＜x
5下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 …( )
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋lnx
6函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7函数f(x)＝x4－2x3＋图象上点(1，－1)处的切线方程为( )
A．4x＋y－3＝0 B．4x－y＋3＝0
C．4x＋y＋3＝0 D．x－4y－3＝0
8在函数y＝x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
9已知函数y＝xf′(x)的图象如图，则下列四个图中，y＝f(x)的图象大致为…( )
10已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时( )
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11函数y＝在x＝1处的导数为________．
12某物体的运动方程为s＝t3－t2＋14t＋15(0＜t≤7)，则它的瞬时速度的最大值和最小值分别为________．
13曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形面积为________．
14若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________.
15设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，则常数a＝________，b＝________.
三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(9分)设函数f(x)＝x3－x2－3x－3，点P为曲线y＝f(x)上一个动点，求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程．
17(10分)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
18(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)．x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
19(11分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
参考答案
1答案：C
2解析：∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3.
因此，切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
答案：C
3解析：令h(x)＝f(x)－g(x)，若h(x)为常数函数，则h′(x)＝0，即f′(x)＝g′(x)．
答案：B
4解析：特殊值法：由于2f(x)＋xf′(x)＞x2成立，取特殊值x＝0，则有2f(x)＞0，即f(x)＞0.
答案：A
5解析：由y＝xex得y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0.
答案：B
6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0得a＝5，验证知，a＝5符合题意．
答案：D
7解析：令y＝f(x)，则y′|x＝1＝－4.
∴切线方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
答案：A
8解析：y′＝3x2－8，令y′＜1，则x2＜3，－＜x＜.又x∈Z，故x＝－1、0、1，选A.
答案：A
9解析：由y＝xf′(x)图象可知，x＞1，y＞0，则f′(x)＞0，则在(1，＋∞)内f(x)为增函数．
答案：C
10解析：由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
又由x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0知，
当x＞0时，f′(x)和g(x)均单调递增．
从而当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减．
∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.
答案：B
11解析：y′＝，∴y′|x＝1＝－.
答案：－
12解析：∵v＝s′＝t2－2t＋14＝(t－1)2＋13，∴当t＝1时，速度v取得最小值13，当t＝7时，速度v取得最大值49.
答案：49和13
13解析：y′＝ex，y′|x＝2＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.
∴S＝×|－e2|×1＝.
答案：
14解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，
则f′(2)＝4－4f′(1)＋2＝6－4f′(1)，
而f′(1)＝1－2f′(1)＋2＝3－2f′(1)，
∴f′(1)＝1.∴f′(2)＝2.
答案：2
15解析：f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
↗
b
↘
b－a3
↗
1－a＋b
由b－(1－a＋b)＝a－1＞0知，b＞1－a＋b，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值b，则b＝1.
∴－1－a＋b＝－a∈(－，－1)，b－a3＝1－a3∈(，)．
∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－a，则－a＝－，即a＝.
答案： 1
16分析：f′(x)的最小值即切线的斜率最小值，求出切点，由点斜式写出方程．
解：设切线的斜率为k，则k＝f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.当x＝1时，k有最小值－4.
又f(1)＝－，
∴切线方程为：
y＋＝－4(x－1)，即12x＋3y＋8＝0.
17分析：由f′(1)＝f′(－1)＝0，及f(1)＝－1可求出a、b、c的值．再应用导数求极值．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.因为x＝±1是函数f(x)的极值点，则－1,1是方程f′(x)＝0的根，即有
?
又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，
由上述三个方程可解得
此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.所以f′(x)＝x2－.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
1
?↘
－1
?↗
由上表可以看出，当x＝－1时，函数f(x)有极大值，且f(－1)＝－＋＝1；当x＝1时，函数f(x)有极小值，且f(1)＝－＝－1.
18分析：第(1)问考查函数f(x)在x＝x0处切线斜率为f′(x0)．
第(2)问问法新颖，与常规题反其道而行．其实等价于f′(x)在(－1,1)内有根而转化为二次函数根的分布问题．
解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0，
又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
f(x)在原点处的切线斜率是－3，
则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3，或a＝1.
(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.
又f(x)在(－1,1)上不单调，即
或
解得或
所以a的取值范围是(－5，－)∪(－，1)．
19分析：第(1)问先求导，再利用二次函数恒成立问题求解；第(2)问利用三次函数的导数、极值点求解．
解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．
解得a＜2或a＞.
第三章 导数及其应用
本章检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个正确答案，请把正确答案的选项填在括号内)
1.已知f(x)在x=x2处可导，则等于( )
A.f′(x0) B.f(x0)
C.f(x0)·f′(x0) D.2f(x0)·f′(x0)
解析：
=2f(x0)·f′（x0).
答案：D
2.物体运动的方程为s=t4-3，则t=5的瞬时速度为( )
A.5 B.25
C.125 D.625
解析：利用导数的物理意义.
答案：C
3.若曲线y=x2-1与y=1-x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A. B.-
C. D.或0
解析：
∴2x0·（-3x)=-1.∴x=.∴x0=
答案：A
4.(2004湖北高考，文3)已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1
解析：对于选项A，有f′(x)=2x+1,于是f′(1)=3.合题意，故选A.
答案：A
5.函数f(x)=x(1-x2)在［0,1］上的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)=1-3x2,由f′(x)=1-3x2=0,得x1=-,x2=.而f()= ,f(0)=f(1)=0，所以f(x)max=.故选A.
答案：A
6.已知f(x)=，则f′()等于 …( )
A. B.
C. D.-
解析：f′(x)=
2
将x=代入f′(x)中得f′(）=.
答案：C
7.已知函数f(x)=x2+2xf′(1),则f(-1)与f(1)的大小关系是( )
A.f(-1)=f(1) B.f(-1)C.f(-1)>f(1) D.无法确定
解析：f′(x)=2x+2f′(-1),
∴f′(-1)=-2+2f′(-1).
∴f′(1)=+2.∴f(x)=x2+4x.
∴f(1)=5,f(-1)=-3.
答案：B
8.函数f(x)=x+2cosx在(0,］上取得最大值时，x的值为( )
A.0 B.
C. D.
解析：f′(x)=1-2sinx=0,∴sinx=.
∵x∈(0,］，∴x=.
答案：B
9.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是 ( )
解析：由y=f′(x)的图象得，当x<0时，f′(x)>0,
∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增.
∵当0∴y=f(x)在(1,2)上单调递减.
∵当x>2时，f′(x)>0,
∴y=f(x)在（2，+∞）上单调递增.
结合选项得只有C正确.
答案：C
10.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且图象过点(2,3)，当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
解析：（直接法）设f(x)=x4-2x2+b,
∴由图象过点（2，3），得b=-5.
∴由f′(x)=4x3-4x=0,得x=0,x=-1或x=1.
则f(0)=-5,f(-1)=f(1)=-6.
又由条件知x=0,故选B.
答案：B
11.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A.［0,) B.［0,)∪［,π)
C.［π,π) D.［0,)∪(,］
解析：由y=x3-3x2+(3-)x+y′=3x2-6x+3-,
即曲线在点P处切线的斜率
k=tanα=3x2-6x+3-=3(x-1)2-≥-,
即k≥-,所以倾斜角α的取值范围为[0,)∪[,π),故选B.
答案：B
12.落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，在持续的一段时间内，若最外一圈波的半径的增大率总是6米/秒，则在2秒末扰动水面面积的增大率为( )
A.288π米2/秒 B.144π米2/秒
C.108π米2/秒 D.172π米2/秒
解析：由题意知：2秒末波纹的最外一圈的半径r=12 m,所以扰动水面面积的增大率为122π=144π(米2/秒），故选B.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.函数y=x2 007在x=处的导数等于________.
解析：y′=2 007·x2 006
∴当x=时，y′=2 007×[]2 006=1.
答案：1
14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.
解析：y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.
当x=-1时，y′min=3,当x=-1时，y=-14.
∴切线方程为y+14=3(x+1),
即3x-y-11=0.
答案：3x-y-11=0
15.函数f(x)=2x2-lnx的减区间是________.
解析：f′(x)=4x-或0又∵x>0,∴0答案：（0，）
16.已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在［-2,2］上有最小值3.那么f(x)在［-2,2］上的最大值是________.
解析：由于f′(x)=6x2-12x=0,则x=0或x=2.
因f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40,故a=43.
在[-2,2]上最大值为f(x)max=f(0)=43.
答案：43
三、解答题(本题共6小题，共74分)
17.(12分)求下列函数的导数.
(1)y=
(2)y=alnx+2ex·x-5.
解析：（1）y′=
(2)y′=a·+2·(x·ex+ex)=+2(x+1)ex
18.(12分)设函数y=4x3+ax2+bx+5在x=与x=-1时有极值.
(1)写出函数的解析式；
(2)指出函数的单调区间；
(3)求f(x)在［-1,2］上的最值.
解：(1)y′=12x2+2ax+b.
由题设x=与x=-1时函数有极值，
则x=与x=-1满足f′(x)=0，
即12×()2+2a·+b=0且12(-1)2+2a(-1)+b=0.
解得a=-3,b=-18.
∴y=4x3-3x2-18x+5.
(2)y′=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3),列表如下：
x
(-∞,-1)
-1
(-1,)
(,+∞)
y′
+
0
-
0
+
y
y极大植=16
y极小值=-
由上表可知（-∞，-1）和（，+∞）上均为函数的单调递增区间.（-1，）为函数的单调递减区间.
（3）极值点-1，均属于［-1，2］.
又∵f(-1)=16,f(2)=-11>-.
故f(x)在［-1，2］上的最小值是-61 4，最大值为16.
19.(12分)(2006陕西高考，文22)设函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0.求k的取值范围.
解：（1）当k=0时，f(x)=-3x2+1,
∴f(x)的单调增区间为（-∞，0］，单调减区间为［0，+∞）.
当k>0时，f′(x)=3kx2-6x=3kx(x-),
∴f(x)的单调增区间为（-∞，0］，［,+∞),单调减区间为［0，］.
（2）当k=0时，函数f(x)不存在极小值.
当k>0时，依题意f()=+1>0，
即k2>4.
由条件k>0，所以k的取值范围为（2，+∞）.
20.(12分)已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：x>1时，x2+lnx解：（1）依题意，函数的定义域为x>0.
∵f′(x)=x-.
∴当a≤0时f(x)的单调递增区间为（0，+∞）.
当a>0时，∵f′(x)=,
令f′(x)>0，有x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为（0，+∞）.
令f′(x)<0，有0∴函数f(x)的单调递减区间为（0，）.
（2）设g(x)=-lnx,
∴g′(x)=2x2-x-.
∵当x>1时，g′(x)=
所以g′(x)在（1，+∞）上是增函数，
∴g(x)>g(1)=>0.
∴当x>1时，x3>x2+lnx.
21.(12分)请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥
(如右图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x m，则1由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
6×
帐篷的体积为（单位：m3）
V（x)=(8+2x-x2)［（x-1)+1］=(16+12x-x3).
求导数，得V′（x)=(12-3x2).
令V′（x)=0，解得x=-2(不合题意，舍去），x=2.
当10,V(x)为增函数；
当2所以当x=2时，V(x)最大.
答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大.
22.(14分)已知函数f(x)=x2+bx2+cx+1在区间(-∞,-2］上单调递增，在区间［-2,2］上单调递减，且b≥0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)设0解：（1）f(x)=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.
∵f(x)在区间（-∞，-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，
∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1、x2，且x1=-2,x2≥2,
∵x1+x2=,x1x2=,
∴x2=+2,∴+2≥2,
∴b≤0.∵已知b≥0,∴b=0,
∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1.
(2)对任意的x′、x″∈［m-2,m］,不等式｜f(x′)-f(x″)｜≤16m恒成立，等价于在区间［m-2,m］上，［f(x)］max-［f(x)］min≤16m.
f(x)=x3-12x+1,f′(x)=3x2-12.
由f′(x)=3x2-12<0，解得-2∴f(x)的减区间为［-2，2］
∵0在区间［m-2,m］上，［f(x)］max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,
［f(x)］min=f(m)=m3-12m+1,
［f(x)］max-［f(x)］min=［(m-2)3-12(m-2)+1］-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,
∵［f(x)］max-［f(x)］min≤16m，
∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,
解得m≤-2,或m≥.
∵0