1.1.1 不等式
典题精讲
【例1】若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是（ ）
A. B.a2>b2
C. D.a|c|>b|c|
思路解析：本题只提供了“a,b,c∈R,a>b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab>0这个前提条件；选项B，当a,b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>-3，但22>(-3)2不正确；选项C，>0，因而正确；选项D，当c=0时不正确.
答案：C
绿色通道：考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等.
【变式训练1】 如果a,b,c满足c
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2思路解析：由条件c0,c<0，但b的正负情况不确定.
方法一：取a=1,b=0,c=-1分别代入A、B、C、D中验证可知C不成立.
方法二：由题意，知c<0，a>0，则A一定正确；又c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0，所以B一定正确；ac<0,a-c>0，所以ac(a-c)<0，所以D一定正确.故选C（当b=0时，不成立）.
答案：C
【变式训练2】 已知a<0,b<-1，则下列不等式成立的是（ ）
A.a>>ab2 B.>>a
C.>>a D.>a>
思路解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较、、1的大小关系，再比较、、a的大小，又因为a<0，所以又可认为是在比较、、-1的大小.因为b<-1，所以1>>.也可以令a=-1,b=-2，分别代入A,B,C,D中，知A、B、D均错.
答案：C
【例2】 设a>0且a≠1,0思路分析：由于所要比较的两个数带有绝对值号，结合对数函数的知识，可知对a应分为a>1和0解：（1）当a>1时，
∵0∴-1<-x<0,0<1-x<1,1+x>1.
∴loga(1-x)<0,loga(1+x)>0.
∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
=-logα(1-x)-loga(1+x)
=-［loga(1-x)+loga(1+x)］
=-loga(1-x)(1+x)
=-loga(1-x2).
∵0∴0即loga(1-x2)<0,-loga(1-x2)>0.
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
（2）当00,loga(1+x)<0,
∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)
=loga(1-x2)>0.
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
综合①②,可知|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
绿色通道：比较实数大小，常用作差或作商法，作差法中差式最后的形式可以有多种，如常数、平方数（式）、因式相乘等，这些结果形式在某些条件下是非常容易得到差式符号的，但在作差变形中，也存在一定的变化技巧，如平方相减、配方等.
如果要比较的项较多，可恰当选取“分界量”，如先找出正数、负数，在正数中找比1大的数，比1小的数等.
【变式训练1】 比较（+1）3-(-1)3与2的大小（n≠0）.
思路分析：本题中为一个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较大小.
解：设a=,则
（+1）3-(-1)3=(a+1)3-(a-1)3
=(a3+3a2+3a+1)-(a3-3a2+3a-1)
=6a2+2=n2+2.
∴(+1)3-(-1)3-2=n2.
∵n≠0,∴n2>0.
∴(+1)3-(-1)3>2.
【变式训练2】 已知a>0且a≠1,P=loga(a2-a+1),Q=loga(a3-a+1),则P与Q的大小关系是_____________.
思路解析：P与Q两数是对数式，两对数同底，因此只需比较两真数的大小，但应对a讨论.
（a3-a+1）-(a2-a+1)=a3-a2=a2(a-1).
当a>1时,函数y=logax是增函数.
a2(a-1)>0,∴P当0∵a<1,∴a2(a-1)<0.∴P综上可知P答案：P【例3】 (2006山东临沂模拟考试，13) 已知60思路解析：x-y=x+(-y)，所以需先求出-y的范围；=x×，所以需先求出的范围.
∵28∴-33<-y<-28,.
又60即<3.
答案：27 绿色通道：本题不能直接用x的范围去减或除y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20【变式训练】 若已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(-2)的范围.
思路分析：用解方程的思想或待定系数法，视f（-1）,f(1)为整体，找到f(-2)=mf(-1)+nf(1)，求出m,n，再求f(-2)的范围.
解法一：∵f(x)过原点，∴可设f(x)=ax2+bx.
∴
∴
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴6≤f(-2)≤10.
解法二：设f(x)=ax2+bx,则f(1)=a+b,f(-1)=a-b.令m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b,
∴
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1).
∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴6≤f(-2)≤10.
问题探究
问题：下表是某一地区在2006年第一季度应聘和招聘人数排行榜中前5个行业的情况：
行业名称
计算机
机械
营销
建筑
物流
应聘人数
215 830
200 250
154 676
65 280
74 570
招聘人数
124 620
89 115
102 935
76 516
70 436
你能根据表中的数据，来分析一下这五个行业的就业形势吗？
导思：一个行业就业形势的好与坏，要综合考察各个数据，不能只看应聘人数，也不能只看招聘人数，可以用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量.
探究：就业情况=，
计算机就业形势=>1;
建筑业就业形势=<1;
机械业就业形势=>1;
营销业就业形势=>1;
物流业就业形势=>1.
说明计算机、机械、营销、物流业就业形势严峻，行业竞争激烈，而建筑业就业形势好于其他四个行业.又因为
>>>，
所以机械行业就业形势最紧张，其次依次是计算机、营销和物流.
1.1.1 不等式的基本性质（一）
课后导练
基础达标
1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )
A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1
解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.
∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,
∴-2<α-β<0.
答案:A
2“a+b>2c”成立的一个充分条件是( )
A.a>c,或b>c B.a>c且bC.a>c且b>c D.a>c,或b解析:∵a>c且b>c,∴a+b>c+c,即a+b>2c.
答案:C
3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析:∵x>1>y,
∴x+(-1)>y+(-1),即B正确;
x+(-y)>1+(-y),即C正确;
1+(-x)>y+(-x),即D正确.
故选A.
答案:A
4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )
A.-nC.m<-n解析:∵n>0,m+n<0,
∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.
∴m<-n答案:C
5若0A.pC.m解析:m>0,m,n互为倒数,易得m<1答案:A
综合运用
6已知a解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b2-4ac>0.
答案:b2-4ac>0
7下列命题中真命题的个数为( )
①若a>b,且a,b同号,则< ②若>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥bcc≥0 ④若a>b,n∈N*a2n+1>b2n+1
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①∵a,b同号,∴>0.由a>b,两边同乘得,即>,亦即<,因此①是真命题.
②由>1可知a>0,给>1两边同乘a得1>a,综合得0③ac≥bc,即c·(a-b)≥0,当a-b=0时,c可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c可取负数,因此③是假命题.
④由a>b可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.
若a>b≥0,则由性质(5)知a2n+1>b2n+1;
若a≥0>b,则a2n+1≥0>b2n+1;
若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,
可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,
即-b2n+1>-a2n+1,
即是a2n+1>b2n+1,
因此④是真命题.
答案:B
8设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A,B的大小关系是____________.
解析:A-B=(x-1)2(2x2+2x+1)≥0.
答案:A≥B
9若a,b,x,y∈R,则是成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:(1)若①②
由式②知(x-a)与(y-b)同号;
又由式①得(x-a)+(y-b)>0.
∴x-a>0,y-b>0,即x>a,y>b.
故充分性成立.
(2)若
∴.故必要性成立.
综合(1)(2)知,应选C.
答案:C
拓展探究
10某顾客第一次在商店买x件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?
解析:依题意
由②得y=≥1,
∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).
∴x2+25x-150≥0.
∴(x+30)(x-5)≥0.
∵x+30>0,∴x-5≥0,即x≥5.
答:第一次至少买5件商品.
备选习题
11若x解析:(用作差法比较)
(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).
∵x0,x-y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
12令0A. B.a C.2ab D.a2+b2
解析:由题意,0又由2ab≤≤a2+b2,
得a<2ab<答案:D
13给出函数f(x)=x2,对任意x1,x2∈R+,且x1≠x2,试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小关系.
解析:∵［f(x1)+f(x2)］-f()
= (x12+x22)-()2
=x12+x22-x12-x22-x1x2
=x12+x22-x1x2
=(x1-x2)2>0,
∴［f(x1)+f(x2)］>f().
14若aA.> B.|a|>|b|
C.a2>b2 D.>
解析:∵-=<0,∴应选择D.
答案:D
15设a>0,且a≠1,试比较logat与loga的大小.
解析: logat-loga=loga-loga=loga.
∵t+1-=(-1)2≥0,
∴t+1≥.∴0<≤1.
(1)当0∴有logat≥loga(当且仅当t=1时取“=”).
(2)当a>1时,loga≤0,
∴有logat≤loga(当且仅当t=1时取“=”).
16若a,b,m,n均为正数,且m+n=1,试比较与的大小.
解析:由已知>0,>0,
()2-()2=ma+nb-m2a-n2b-
=m(1-m)a+n(1-n)b-=mna+mnb-
=mn(a+b-)=mn()2.
因为m,n,a,b均为正数，所以（）2≥()2,
所以≥.
1.1.1 不等式
自我小测
1．设角α，β满足，则α－β的范围是( )．
A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜π
C． D．
2．已知a、b、c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )．
①a＜b＜0?a2＜b2 ②＜c?a＜bc ③ac2＞bc2?a＞b
④a＜b＜0?
A．0 B．1 C．2 D．3
3．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为__________．
4．“a＞1”是“”的__________条件．
5．若－1＜a＜2，－2＜b＜1，则a－|b|的取值范围是________．
6．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为________．
7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．
8．比较与2的大小(n≠0)．
9．若a＞0，b＞0，用作差法比较与a＋b的大小．
10.当p、q都为正数，且p＋q＝1时，试比较(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
参考答案
1. 答案：A
解析：∵，∴.
∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0.
∴－π＜α－β＜0.
2. 答案：C
解析：①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0.∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴.
3. 答案：a＜c＜d＜b
解析：本题条件较多，若两两比较，需比较6次，很麻烦，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题步骤．
又由①，得a＜c＜d＜b.
4. 答案：充分不必要
解析：由，得a＜0，或a＞1．
所以a＞1?.但a＞1．
故“a＞1”是“”的充分不必要条件．
5. 答案：(－3,2)
解析：∵－2＜b＜1，∴0≤|b|＜2.
∴－2＜－|b|≤0.而－1＜a＜2，∴－3＜a－|b|＜2.
6. 答案：
解析：由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知，且，所以，即.
7. 答案：ab≠1或a≠－2
解析：x－y＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
因为x＞y，所以(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
则ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2.
8. 分析：本题中为一个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较大小．
解：设，则
＝(a＋1)3－(a－1)3＝(a3＋3a2＋3a＋1)－(a3－3a2＋3a－1)
＝6a2＋2＝n2＋2.
∴.
又n≠0，∴n2＞0.∴.
9. 解：∵，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a＞0，b＞0，
∴a＋b＞0，ab＞0.
∴.∴.
10. 解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.又∵p＋q＝1，
∴p－1＝－q，q－1＝－p.
∴(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2，∵p，q都为正数，
∴－pq(x－y)2≤0.∴(px＋qy)2≤px2＋qy2.
1.1.1 不等式
自主广场
我夯基我达标
1.若a<0，-1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
思路解析：∵a<0,-1∴ab>ab2>a.
答案：D
2.若a>b,下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.<1
C.2a>2b D.lg(a-b)>0
思路解析：∵y=2x是增函数，a>b,∴2a>2b.
答案：C
3.已知a,b,c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是（ ）
①abc2a>b;④aA.0 B.1 C.2 D.3
思路解析：①不正确.∵a-b>0,
∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2.
②不正确.∵bc.
③正确.∵ac2>bc2,∴c≠0.∴a>b.
④正确.∵a-b>0,∴1>>0.
答案：C
4.下列命题正确的是（ ）
A.a>bac2>bc2 B.a>b
C. D.
思路解析：∵ab>0,∴a,b同号,又a3>b3，
∴a>b.∴.∴>,故C正确.
答案：C
5.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（ ）
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
思路解析：方法一：取特殊值，令b=-1,a=2,
则-a=-2,-b=1,所以a>-b>b>-a.
方法二：∵b<0,a+b>0,∴a>-b>0.
∴0>b>-a.故选C.
答案：C
6.设角α，β满足<α<β<,则α-β的范围是…（ ）
A.-π<α-β<0 B.-π<α-β<π
C.<α-β<0 D.<α-β<
思路解析： ∵<α<β<,∴<-β<-α<.
∴-π<α-β<β-α<π,且α-β<0,
∴-π<α-β<0.
答案：A
7.有以下四个条件：
①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.
其中能使成立的有__________个条件.
思路解析：①∵b>0,∴>0.
∵a<0,∴<0.∴<.
②∵b.
③∵a>0>b,∴>0, <0,∴>.
④∵a>b>0,∴<.
综上知，①②④均能使<成立.
答案：3
8.实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c;②a+b=c+d;③a+d思路解析：本题条件较多，若两两比较，需C24=6次，很麻烦，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题步骤.
又由①，得a答案：a9.已知<α<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,D=,试比较A、B、C、D的大小.
思路分析：两两比较，运算量较大，若采用赋值法，猜测出它们的大小，再做一般性验证，可将问题简单化.
解：∵A=，B=，C=，D=，由此猜测C>A>B>D.
C-A=-(1+a2)=,
∵1+a>0,-a>0,(a+)2+>0,∴C>A.
A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0,∴A>B.
B-D=1-a2-,
∵0.
(a-12)2-<(-12-12)2-<0,∴B>D.
综上，C>A>B>D.
我综合我发展
10.若a>0,b>0，则不等式-b<A.B.C.x<或x>
D.x<或x>
思路解析：-b<1x0x<0或x>;
1x>-b>0x(bx+1)>0x<或x>0,
∴-b<1x.
答案：D
11.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
思路解析：∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0.
则b>c,a>0ab>ac.
答案：B
12.已知a,b,c,d均为实数，有下列命题：
①若ab>0,bc-ad>0,则;
②若ab>0,>0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,>0，则ab>0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
思路解析：①正确.∵ab>0,bc-ad>0,
∴(bc-ad)·>0.
∴>0.∴.
②正确.∵ab>0,>0,∴>0,
∴bc-ad>0.
③正确.∵bc-ad>0,>0,∴>0.
∴ab>0.
答案：D
13.若a,b,c,d均为实数，使不等式>0和ad（只要写出适合条件的一组值即可）
思路解析：写一个等比的式子，例如>0，此时内项积和外项积相等，减小42的分子则分数值变小，把上式变成不等式：>0,此时外项积大于内项积不合题意，接着进行变换可得>0,此时2×(-2)<1×(-3)，故(a,b,c,d)=(2,1,-3,-2)是符合要求的一组值.
答案：（2，1，-3，-2）（答案不唯一）
14.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b满足的条件是________.
思路解析：x-y=(ab-1)2+(a+2)2,
因为x>y,所以（ab-1）2+(a+2)2>0,则ab-1≠0或a+2≠0.
即ab≠1或a≠-2.
答案：ab≠1或a≠-2
15.已知a,b,c为互不相等的正数.试比较ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)与6abc的大小.
思路分析：要比较两式大小，可作差后与0比较大小，另考虑到本题两式均大于零，故也可考虑作商后与1比较大小.
解法一：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc
=a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2-6abc
=(a2b+bc2-2abc)+(ab2+ac2-2abc)+(b2c+a2c-2abc)
=b(a2+c2-2ac)+a(b2+c2-2bc)+c(b2+a2-2ab)
=b(a-c)2+a(b-c)2+c(b-a)2.
∵a,b,c为互不相等的正数，∴上式>0.
∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)>6abc.
解法二：.
=
∵a2+c2-2ac=(a-c)2>0(a≠c),
∴(ac>0).
同理,可得.
∴上式>16×(2+2+2)=1.
∵6abc>0,
∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)>6abc.
1.1.2 不等式的基本性质（二）
课后导练
基础达标
1不等式a>b和>同时成立的条件是 …（ ）
A.a>b>0 B.a>0>b
C.<<0 D.>>0
解析:由a>b,得a-b>0.由>,得->0,
所以>0.
因为a-b>0,所以ab<0.
可得a与b异号，所以a>0>b.
答案:B
2设0( )
A.loga(xy)<0 B.0C.12
解析:取a=,y=,x=
∴logaxy=·==5,
因此,可排除A,B,C,
故选择D.
答案:D
3若a<0,-1A.(-a)2<(-ab2)2 B.(-ab2)-1<(-a)-1
C.(-a)<(-ab2) D.0.5-a<0.5-a
解析:令a=-1,b=-,排除A,B,D.
答案:C
4给出如下四个命题:
①a②0③a>b>c>0;
④a>b>1b>a,其中错误命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
5已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式一定成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.zy>xz D.x|y|>z|y|
解析:∵x>y>z,x+y+z=0,∴x>0,z<0.又x>y,则xz答案:C
综合运用
6若aA.>和均不能成立
B.>和均不能成立
C.>和(a+)2>(b+)2均不能成立
D.和(a+)2>(b+)2均不能成立
解析:用排除法.∵a∴<<0.
∴,a+∴(a+)2>(b+)2.
又∵a∴a∴<.
故排除A,C,D,选B.
答案:B
7已知下列不等式:①a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R);②a2+b2≥2(a-b-1)(a,b∈R);③x2+3>2x(x∈R).其中成立的不等式的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①的反例为a=-2,b=1;②中(a2+b2)-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0;③中x2+3-2x=(x-1)2+2>0,故②③成立.
答案:C
8当0A.(1-a)>(1-a)b
B.(1+a)a>(1+b)b
C.(1-a)b>
D.(1-a)a>(1-b)b
解析:∵0又∵0∴>1>b,<(1-a)b.
又1<1+a<1+b<2,a∴(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b.
∵b>,∴(1-a)b<.
又∵1-a>1-b且1-a<1,
∴(1-a)a>(1-b)a>(1-b)b.
答案:D
9适当增加条件,使下列各命题成立:
(1)若a>b,则ac≤bc;
(2)若ac2>bc2,则a2>b2;
(3)若a>b,则lg(a+1)>lg(b+1);
(4)若a>b,c>d,则.
答案:①c≤0;
②b>0;
③b>-1;
④b>0,d>0.
拓展探究
10某厂使用两种零件A,B装配两种产品X,Y,该厂的生产能力是月产X最多2 500件,月产Y最多1 200件,而组装一件X需要4个A,2个B,组装一件Y需要6个A,8个B,某个月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个,已知产品X每件利润1 000元,Y每件利润2 000元,欲使该月利润最高,需组装X,Y产品各多少件?最高利润多少万元?
解析:设分别生产X,Y产品x件,y件,则0≤x≤2 500,0≤y≤1 200.由题意4x+6y≤14 000,2x+8y≤12 000,即2x+3y≤7 000,x+4y≤6 000.
则该月产品的利润为1 000x+2 000y=1 000(x+2y).
设x+2y=λ(2x+3y)+k(x+4y),
则
解之,得
于是x+2y=(2x+3y)+(x+4y),
∴x+2y≤×7 000+×6 000=4 000,
当且仅当时上式取等号,
此时最高利润为1 000(x+2y)=4 000 000=400(万元).
备选习题
11若m解析:把p,q看成变量,则m答案:m12下面的推理过程中错误之处的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:a>bac>bc错误.
∵无c>0,
同理,c>dbc>bd错.
ac>bd是把两边同除以cd.
∵无cd>0,故错.
∴总共三处错.
答案:D
13已知-3证明:因为-3所以-4所以0又因为-2所以0<(b-a)c2<16.
所以-16<(a-b)c2<0.
14设实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,试确定a,b,c的大小关系.
解析:c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,则c≥b.
又b-a=［(b+c)-(c-b)］·-a
=1+a2-a=(a-)2+>0,
有b>a,∴c≥b>a.
答案:c≥b>a
15下列命题中,正确的是( )
A.a>bac2>bc2 B.a>b
C.< D.c>d>0
解析:A中c2=0时,不正确.
c<0时,B不正确.
C中,a3>b3a>b.
又ab>0,则两边同除以ab得>.
故C正确.
D中选特值,如a=100,b=1,c=2,d=3满足条件得不到c>d>0.
答案:C
16设a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,确定a,b,c的大小关系.
解析:∵bc>a2,∴b,c同号.
又a>0,故以a为未知数的方程a2-2ab+c2=0有两正根,
设它们是x1,x2,则x1+x2=2b>0,那么b>0;而Δ=4b2-4c2≥0,有b≥c.
若b=c,则a=b=c,与bc>a2矛盾,故b>c.
∴b>c>0,即b2>bc>a2,故b>a.
由a2-2ab+c2=0且a>0知
1-+()2=0,
∴()2=-1>2-1>1.
∴c>a.
∴b>c>a.
1.1.2 基本不等式
典题精讲
【例1】若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_________.
思路解析：已知条件中既有a,b的乘积又有它们的和，而要求的是ab的取值范围，因而需用基本不等式把a+b转化为乘积ab的不等式.
∵ab=a+b+3,a,b为正数,
∴ab≥+3,
∴()2--3≥0.
∴(-3)(+1)≥0.
∴-3≥0.∴ab≥9.
∴ab的取值范围是［9,+∞).
答案：［9,+∞)
绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的范围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.
【变式训练】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是__________.
思路解析：利用基本不等式的变形ab≤()2,使已知条件转化为不等式求解.
方法一：∵ab≤()2,
∴ab=a+b+3≤()2.
∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0,
∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0,
∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）.
方法二：∵ab=a+b+3,
∴b=>0,∴a>1.
∴a+b=a+=a+1+,
=(a-1)+ +2≥+2=6.
当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号.
答案：［6+∞)
【例2】若x,y是正数，则（x+）2+（y+）2的最小值是（ ）
A.3 B. C.4 D.
思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y时可取到最小值.
方法一：∵将命题x,y的位置对调之后，命题的形式不变，
∴取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+)2≥=4,
取“=”的条件为x=y=.
方法二：(x+)2+(y+)2
=(x2+)+(y2+)+(+)≥1+1+2=4,
当x=y=时，式子取得最小值4.
方法三：∵x>0,y>0,
∴(x+)2≥.
(y+)2≥.
∴(x+)2+(y+)2≥≥4.
当且仅当y=且x=,且,
即x=y=时取“=”号.
答案：C
绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=且x=且”来限制“=”号.
【变式训练】 已知a,b∈R+，a+b=1，求证：(a+)(b+)≥.
思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab+++,但其中+能用基本不等式，而ab+不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+(x=ab)，求最小值，这要求求ab+的最小值用单调性法，而求+的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b的值.
证明：设y=ab+，则(a+)(b+)=ab+++≥y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y≥即可.
设ab=x,x∈(0,］,则y=x+，且y=x+在（0,］上为减函数.
∴当x=时，ymin=，此时a=b=,
∴ab+≥,
∴(a+)(b+)≥.
【例3】 如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a,b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）
思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=.又由于受箱体材料多少的限制，a,b之间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,当y=最小时，求a,b的值.
解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意
y=(k>0)，其中k为比例系数.
又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，
∴b=（由a>0,b>0,可得a<30）.
∴y==.
令t=a+2,则a=t-2,
从而
=≤34-=18,
∴y=≥.
当且仅当t=64t,即t=8,
∴a=6时取“=”号.
由a=6,得b=3.
综上所述，当a=6 m,b=3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y=，其中k为比例系数，k>0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.
题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0),
∵a+2b≥(当且仅当a=2b时取“=”号)，
∴ab+≤30,可解得0由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.
即a=6,b=3时，ab取最大值，从而y值最小.
绿色通道：利用不等式解决实际应用问题，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y=f(x)(x-般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.
由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形(如解法一).对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量（或常数）的方法，拼凑出类似函数y=x+a[]x的结构，然后用基本不等式（符合条件）或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的.
【变式训练】 一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)，且p（1）把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出其定义域.
（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
思路分析：由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间，而第（2）问是求最值问题.是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p,q］.因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解.
解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv2，全程航行时间为，于是全程燃料费用y=kv2·,
故所求函数是y=ks·(p（2）y=ks·=ks［(v+p)+］
=ks［v-p++2p］≥ks［+2p］=4ksp.
其中取“=”的充要条件是
v-p=,即v=2p.
①当v=2p∈(p,q］,
即2p≤q时，ymin=f(2p)=4ksp.
②当2p?(p,q］,即2p>q.
任取v1,v2∈(p,q］且v1y1-y2=ks［(v1-v2)+()］
=［p2-(v1-p)(v2-p)］.
而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)
=q(2p-q)>0.
∴y1-y2>0.
故函数y在区间（p,q］内递减，此时y(v)≥y(q).
即ymin=y(q)=ks.
此时，船的前进速度等于q-p.
故为使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/小时)；当2p>q时，船的实际前进速度为q-p（千米/小时）.
问题探究
问题：如右图，粗细均匀的玻璃管长L=100厘米，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段h=25厘米的水银柱封闭着27 ℃空气柱，大气压强为p0=75厘米汞柱，如果空气柱温度逐渐升高，欲使管内水银全部溢出，温度
至少升到多高？
导思：结合物理知识，转化为数学问题，要注意转化的数学式子的特点，寻找可以求最值的方法，而基本不等式的三个要求就是一个特征.
探究：设管内空气柱温度升高到T，管内尚有水银柱x厘米，管的横断面积为S，则有
将数据代入，整理得
T=
由于(75+x)+(100-x)=175为常数，
所以当(75-x)=(100+x)时，即当x=12.5厘米时，T有极大值Tmax=306.25 K.
306.25-273=33.25 ℃.
所以欲使管内水银全部溢出，温度至少升到33.25 ℃.
1.1.2 基本不等式
自主广场
我夯基我达标
1.logab+logba≥2成立的必要条件是（ ）
Aa>1,b>1 Ba>0,0C(a-1)(b-1)>0 D以上都不对
思路解析：因为logab与logba互为倒数，符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b同时大于1或a,b都属于区间(0,1).
答案:C
2.下列命题中:①x+最小值是2;②的最小值是2;③的最小值是2;④2-3x-的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ）
A1个 B2个 C3个 D4个
思路解析:当x<0时,x+无最小值,故①错误;
当x=0时,的最小值是2,②正确;
当时,取得最小值2.
但此时x2=-3,所以取不到最小值2,故③错误;
当x>0时,2-3x-<0,故④错误.
答案:A
3.设x,y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是（ ）
A40 B10 C4 D2
思路解析：因为x,y∈R+,∴.
∴=10.∴xy≤100.
∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.
答案：D
4.设x,y∈R+，且xy-(x+y)=1,则（ ）
Ax+y≥2(+1) Bx·y≤+1
Cx+y≤(+1)2 Dx·y≥2(+1)
思路解析：因为xy-(x+y)=1,
∴x+y+1=xy≤()2
所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0.
所以x+y≥=2+,
或x+y≤2-(舍去).
答案：A
5.若a>b>1，P=，Q=（lga+lgb）,R=lg(),则（ ）
ARCQ思路解析：∵a>b>1lga>0,lgb>0,
∴Q=12(lga+lgb)>=P,
R>=(lga+lgb)=QR>Q>P.
答案：B
6.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是 ……（ ）
A10 B6 C D18
思路解析：3x+3y≥.
答案：D
7.已知lgx+lgy=2,则+的最小值为__________.
思路解析：∵lgx+lgy=2,
∴lgxy=2,xy=102.
∴.
答案：15
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨.
思路解析：设一年总费用为y万元，则y=4×+4x=+4x≥=160.
当且仅当=4x,即x=20时，等号成立.
答案：20
9.（1）求函数y=+x(x>3)的最小值;
(2)设x>-1，求函数y=的最小值.
解：（1）∵x>3,
∴y=1x-3+x=1x-3+(x-3)+3≥5（当且仅当x-3=1x-3，即x=4时，即“=”号）.
∴ymin=5.
(2)因为x>-1,所以x+1>0,
设x+1=t>0,则x=t-1，
把x=t-1代入y=.
=5+(t+)≥5+=5+4=9.
当且仅当t=2即x=1时上式等号成立.
所以当x=1时函数y有最小值9.
我综合我发展
10.若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意常数k，总有（ ）
A2∈M,0∈M B2M,0M
C2∈M,0M D2M,0∈M
思路解析：由(1+k2)x≤k4+4,得x≤,
令f(k)=,再令k2+1=t(t≥1),则k2=t-1,
f(k)==t+-2≥-2>4-2=2.(当且仅当t=5t,即t=时“=”成立).
所以2∈M,0∈M.
答案：A
11.已知不等式（x+y）(+)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A2 B4 C6 D8
思路解析：（x+y）()=1+a+≥1+a+
=(+1)2(当且仅当=时取等号).
∵(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立.
∴需(+1)2≥9.∴a≥4.
答案：B
12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（ ）
A-1 B+1 C2+2 D2-2
思路解析：由a(a+b+c)+bc=4-,
得(a+b)(a+c)=4-.
∵a,b,c>0,
∴(a+c)(a+b)≤()2(当且仅当a+c=b+a,即b=c时取“=”号).
∴2a+b+c≥=2(-1)=-2.
答案：D
13.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是，且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是（ ）
A3 B4 C5 D6
思路解析：由题意，知a+b=1,则α+β=a++b+=1+≥1+=5.
答案：C
14.a>0,b>0,给出下列四个不等式：
①a+b+≥2;
②(a+b)(+)≥4;
③≥a+b;
④a+≥-2.
其中正确的不等式有__________（只填序号）.
思路解析：①正确.∵a>0,b>0,
∴a+b+≥+≥2··=;
②正确.(a+b)(+)≥×=4;
③正确.∵,
∴a2+b2≥2()2=(a+b)≥(a+b),
∴≥a+b;
④a+=(a+4)+-4≥-4=2-4=-2.
当且仅当a+4=,即(a+4)2=1时等号成立.
而a>0,∴(a+4)2≠1,∴等号不能取得.
综上可知①②③正确.
答案：①②③
15.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将利润y（万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
（注： ①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出）
解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=×150%+×50%，
收入=（3+32Q）×150%+50%x,
∴y=(3+32Q)×150%+50%x-(3+32Q)-x
=(32Q+3-x)
=(32×+3-x)
=［32×(3-2x+1)+3-x］
=50-(+x+1).
当x=100时,y=50-12(+101)<0,
∴此时企业亏损.
(2)∵64x+1+x+1≥=16,
∴y=50-(+x+1)≤50-8=42.
当且仅当=x+1,即x=7时取等号.
故当广告投入7万元时，企业年利润最大.
ymax=42.
1.1.2 基本不等式
自我小测
1．若a＞b＞1，，Q＝(lga＋lgb)，，则( )．
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
2．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( )．
A．10 B． C． D．
3．已知不等式(x＋y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列命题：①的最小值是2；②的最小值是2；③的最小值是2；④的最小值是2，其中正确的命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
6．(1)若x＞0，求的最小值；
(2)若x＜0，求的最大值．
7．求函数(x≥0)的最小值．
8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价．
9.求函数，时的最小值．
参考答案
1. 答案：B
解析：∵a＞b＞1?lg a＞0，lg b＞0，
∴Q＝(lg a＋lg b)＞，(lg a＋lg b)＝Q，∴R＞Q＞P.
2. 答案：D
解析：.
3. 答案：B
解析：，当且仅当时取等号，
∵对任意正实数x，y恒成立，
∴需.∴a≥4.
4. 答案：A
解析：当x＜0时，无最小值，∴①错误；当x＝0时，的最小值是2，∴②正确；当时，取得最小值2，但此时x2＝－3不成立，
∴取不到最小值2，∴③错误；当x＞0时，，∴④错误．
5. 答案：[9，＋∞)
解析：令＝t(t＞0)，
由ab＝a＋b＋3≥，则有t2≥2t＋3，
∴t≥3或t≤－1(舍去)．∴.
∴ab≥9，当a＝b＝3时取等号．
6. 解：(1)x＞0，由基本不等式，得.
当且仅当，即x＝2时，f(x)取最小值12.
(2)∵x＜0，∴－x＞0，
则
＝
，当且仅当，即x＝－2时，f(x)取最大值－12.
7. 解：原式变形，得．因为x≥0，所以x＋2＞0.所以.
所以y≥7，当且仅当x＝1时，等号成立．
所以函数y的最小值为7.
8. 解：设水池的造价为y元，池底的长为x m，
则宽为.
∴y＝4×120＋×80＝480＋≥480＋320×＝1 760，
当且仅当，即x＝2 m时，ymin＝1 760元．
所以这个水池的最低造价为1 760元．
9. 解：
.
当且仅当，即时，等号成立．∴ymin＝3＋.
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
典题精讲
【例1】 已知x∈R+，求函数y=x(1-x2)的最大值.
思路分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)×.最先求出最值后再开方.
解：∵y=x(1-x2),
∴y2=x2(1-x2）2=2x2(1-x2)(1-x2)·.
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
∴y2≤.
当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时取“=”号.
∴y≤.∴y的最大值为.
黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：
y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=·x(2-2x)(1+x)≤3
=.
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然x=2-2x=1+x无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.
【变式训练1】 θ为锐角，求y=sinθ·cos2θ的最大值.
思路分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin2θ+cos2θ=1的应用.
解：y2=sin2θ·cos2θ·cos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)
≤()3=.
当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sinθ=时取等号.
此时ymax=.
【变式训练2】 已知x∈R+，求函数y=x2(1-x)的最大值.
思路分析：本题积结构中x2=x·x,所以y=x2(1-x)=x×x(1-x),为使“和”为定值，还需拼凑系数.
解：y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×
≤.
当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.
此时,ymax=.
【例2】 已知n是大于1的自然数，求证：
2n>1+.
思路分析：2n>1+等价于2n-1>①
根据等比数列的前n项和公式逆向联想到
2n-1==1+2+22+…+2n-1.
即①式也可表示为n个不同的数1，2，22，…，2n-1之积，因此自然联想到；如果正好等于这几个正数之积的n次算术根，则①即可由均值不等式证得.
证明：∵2n-1=1+2+22+…+2n-1>,
∴2n>1+.
绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于n个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形.
【变式训练】 已知：a,b,c同号且互不相等，a+b+c=1,求证：++>9.
思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式.
证法一：++=
=1++++1++++1
=(+)+(+)+(+)+3.
∵a,b,c同号，且a+b+c=1.
∴a>0,b>0,c>0.
∴,,,,,均大于0.又a,b,c互不相等，由基本不等式，得
+>2,+>2,+>2.
于是，左边>2+2+2+3=9.
∴++>9.
证法二：++=
=3+(+++++).
∵a,b,c同号且a+b+c=1,
∴a>0,b>0,c>0.
∴,,,,,均大于0，又a,b,c互不相等.由6个正数的均值不等式，得
左边=3+(+++++)≥3+=3+6=9.
∴++=9.
问题探究
问题：制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？
导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来，实质是表面积最小.
探究：已知量：体积V.
需设量：底半径r,高h.
最终要研究的量：表面积S.
关系式：S=2πr2+2πrh.
=2πr2+.
=2πr2+
≥.
即当2πr2=,r=时表面积最小.
此时h=2r.
即饮料盒的底面半径为r=,高度为2时，用料最省.
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
自主广场
我夯基我达标
1.若x>0，则4x+的最小值是（ ）
A.9 B.
C.13 D.不存在
思路解析：因为x>0,所以4x+=2x+2x+≥，当且仅当2x=,即x=时等号成立.
答案：B
2.若实数x,y满足xy>0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析：xy+x2=2xy+xy+x2≥=1.
答案：A
3.已知a,b∈R+，则(++)(++)≥____________.
思路解析：(++)(++)
=3+≥3+=9.
答案：9
4.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.
证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)
≥
=6abc.
∴a、b、c∈R+,∴原式成立.
5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.
证明：∵a、b∈R+,且a≠b,
则a3+b3=［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］
> (）
=a2b+ab2.
∴a3+b3>a2b+ab2.
6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.
解：∵y2=16sin2xsin2x·cos2x,
=8(sin2x·sin2x·2cos2x)
≤8()3=8×.
∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取“=”号.
∴y大=,y小=。
7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于.
证明：假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.
则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.①
又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［］6=()6=,
这与①矛盾.
∴假设不成立.即原结论正确.
8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：≥4.
证明：=4.
当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.
我综合我发展
9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为___________.
思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,
则4r+2h=l,v=πr2h≤π()3=π()3
当且仅当r=h=时取“=”号.
答案：
10.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+≥3,…,由此启发我们可以推广为：x+≥n+1(n∈N +).则a=__________.
思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：
x+≥n+1.
答案：nn
11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是___________.
思路解析：a+(b*c)=(a+b)*(a+c),
∵a+(b*c)=a+,①
又∵(a+b)*(a+c)=,②
由①②，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).
答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)
12.若a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求证：.
证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,
∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).
∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］·()
≥=9.
∴原式得证.
13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？
解：设正方形的边长为x cm.
V=x(60-2x)2=·4x(60-2x)(60-2x)
≤()3=16 000.当4x=60-2x即x=10时取等号.
∴小正方形的边长为10 cm时，最大容积为16 000 cm3.
14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x≤2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.
解：设A(x0,y0),且不妨设x0>1,则矩形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=2(x0-1)y0.
∵y0=-2(x0-1)2+4且1∴S=-4(x0-1)3+8(x0-1)
=4(x0-1)［2-(x0-1)2］
=≤
.
当且仅当2(x0-1)2=2-(x0-1)2,
即x0=1+时，取“=”号.
∴矩形ABCD的面积的最大值为.
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
自我小测
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若，则必有( )．
A．0≤M＜ B．≤M＜1
C．1≤M＜8 D．M≥8
2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )．
A． B．
C．12 D．
3．设，则函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________．
4．设x＞0，则≥__________.
5．已知0＜x＜4.5，则x2(9－2x)的最大值是__________．
6．已知圆柱的体积V是定值，问圆柱的底半径r和高h各是多少时，圆柱的全面积S最小？并求S的最小值．
7．若a＞b＞0，求的最小值．
8．甲、乙两人同时沿同一路线从A地出发走向B地，甲先用的时间以速度p行走，再用的时间以速度q行走，最后用的时间以速度r行走；乙在前的路程用速度p行走，中间的路程用速度q行走，最后的路程用速度r行走(p，q，r均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B地，为什么？
9.已知a，b，c均为正数，证明，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
参考答案
1. 答案：D
解析：
，
当且仅当时等号成立．
2. 答案：C
解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，
∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，时，等号成立．
3. 答案：
解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝
8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤，
∴，当且仅当sin2x＝2cos2x，
即时，等号成立．∴.
4. 答案：3
解析：∵x＞0，∴.
当且仅当，即x＝1时等号成立．∴.
5. 答案：27
解析：由题可知x2(9－2x)＝x·x·(9－2x)．
因为0＜x＜4.5，所以9－2x＞0.
所以，
即，即x2(9－2x)≤27.
当且仅当x＝9－2x，即x＝3时，等号成立．
因此，当x＝3时，x2(9－2x)有最大值是27.
6. 解：πr2h＝V，S＝2πr2＋2πrh
，
当且仅当，即h＝2r时，等号成立．
即，时，.
7. 解：∵，当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立，∴的最小值为3.
8. 解：设A，B两地间的距离为s(s＞0)，甲从A到B所用的时间为t1，乙从A到B所用的时间为t2，
由题意得，
∴，．
∴．
∵p，q，r均不相等，∴等号不成立．
∴t1＜t2，甲先到B地．
9. 证法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
，
所以.②
故
.
又，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当时，③式等号成立．
故当且仅当时，原不等式等号成立．
证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理，.②
故
≥ab＋bc＋ac＋.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
故当且仅当时，原不等式等号成立．
1.1.3 基本不等式（一）
课后导练
基础达标
1若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则( )
A.RC.Q解析:∵a>b>1,∴lga>lgb>0.从而Q>=P,R>=(lga+lgb)=Q,故R>Q>P.选B.
答案:B
2若b>a>0,a+b=1,则（ ）
A.b>a2+b2>2ab>>a B.b>a2+b2>>2ab>a
C.a2+b2>b>>a>2ab D.a2+b2>2ab>b>>a
解析:∵b>a>0,a+b=1,
∴0a2+b2>=,
2ab<2()2=,
2ab=(2b)5a>a.
∴a2+b2-b=(1-b)2+b2-b
=(1-b)2+b(1-b)=(1-b)(1-2b)<0.
∴a2+b2答案:B
3a,b,c是不全相等的正数,且abc=1,若t=,S=++,则S与t的大小关系是( )
A.S>t B.S=t
C.S解析:由abc=1,得S=ab+bc+ac,可用特值法判断选A.
答案:A
4已知f(x)=()x,a,b∈R+,A=f(),G=f(),H=f(),则A,G,H的大小关系是…( )
A.A≤G≤H B.A≤H≤G
C.G≤H≤A D.H≤G≤A
解析:因为f(x)=()x,所以f(x)是单调递减函数.
因为a,b∈R+,所以≥.
所以.所以≤.
所以≤≤.
所以f()≤f()≤f().
所以A≤G≤H.
答案:A
5已知a,b∈R+，则下列不等式中不成立的是（ ）
A.a+b+≥ B.(a+b)(+)≥4
C.≥a+b D.
解析:∵a+b+≥2+≥,(a+b)(+)≥·
=4,a2+b2≥=(a+b)≥(a+b),
∴≥a+b.故选D.
答案:D
综合运用
6在下列不等式中，恒成立的个数有（ ）
①a2+b2+c2≥ab+bc+ca ②a(1-a)≤③+≥2 ④(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:①∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
②a(1-a)=-a2+a=-(a-)2+≤;
③当ab<0时，不成立；
④(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2.
故选C.
答案:C
7已知m=a+(a>2),n=(x<0),则m,n之间的大小关系是( )
A.m>n B.m解析:m=(a-2)++2≥+2=4,
即m≥4.n=,
而f(x)=-x2+2,在x<0时为单调增函数,
又2t在t∈(-∞,+∞)上是单调增函数,
根据复合函数的单调性得n=在x∈(-∞,0)上单调递增.
∴0n,即m>n.
答案:A
8求证:log565log54<1.一般地，试探索logn(n+1)5logn(n-1)(n≥2,n∈N*)与1的大小关系.
证明:log565log54<()2=()2<()2=1.
由类似方法，可得出一般性结果:
logn(n+1)5logn(n-1)<1.
9若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.≤ B.+≥1
C.≥2 D.≥1
解析:∵x+y≤4≥.故A错.
又4≥x+y≥,∴≤2.
故C错.
4≥x+y≥xy≤4≥,故D错.
又+≥≥=1,故B正确.
答案:B
拓展探究
10在某两个正数x,y之间，若插入一个正数a,使x、a、y成等比数列，若另插入两个正数b、c,使x、b、c、y成等差数列.
求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
证明:由题设
∴(b+1)(c+1)=bc+b+c+1
=(2x+y)(x+2y)+x+y+1
=［2(x2+y2)+5xy］+(x+y)+1
≥(4xy+5xy)++1
=(+1)2
=(a+1)2.
∴(a+1)2≤(b+1)(c+1).
备选习题
11已知a>b>c，则与的大小关系是____________.
解析:.
答案:≤
12a,b是正数,则三个数的大小顺序是( )
A.
B.
C.
D.
解析:设(a+b)2≥4aba2+b2≥2ab成立.
∴.
设a+b≥成立,
∴.
又,
∴.
答案:C
13已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,求证:≤ab+bc+ca≤1.
证明:1=a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
又(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥0,
即1+2(ab+bc+ca)≥0,
有ab+bc+ca≥,
故原不等式成立.
14设a,b>0,求证:a+b+.
证明:∵a+b+,∴原不等式成立.
15已知a,b,c>0,求证:>2.
证明:,
即,
同理,,
,
三式相加得≥2.
等号成立的条件:
三式同时成立,
即b=a+c,c=a+b,a=b+c,于是a+b+c=0,与题设矛盾.
故>2.
16设a,b,c是三角形的三边长.求证:≥a+b+c.
证明:∵b+c-a>0,
∴+(b+c-a)≥2a,
即有≥3a-b-c.
同理,≥3b-c-a,≥3c-a-b.
三式相加得证.
1.1.4 基本不等式（二）
课后导练
基础达标
1若a>1,则a+的最小值是（ ）
A.2 B.a C. D.3
解析:∵a+=(a-1)++1≥+1=3,
当且仅当a-1=,即a=2>1时取“=”.
故选D.
答案:D
2若0A.2 B.2 C. D.
解析:∵=,
故选C.
答案:C
3下列函数中，有最小值的函数是（ ）
A.y=x+ B.y=tanx+cotx
C.y=2x+22-x D.y=log2x2+1
解析:x+≤-4或x+≥4,
tanx+cotx≤-2或tanx+cotx≥2,
log2x2+1∈R,
2x+22-x≥=4,
故选C.
答案:C
4若a,b,c>0且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是( )
A. B.3 C.2 D.
解析:a2+2ab+2ac+4bc=12,
则a(a+2b)+2c(a+2b)=12(a+2c)(a+2b)=12≤()2=(a+b+c)2,
∴a+b+c≥,故选A.
答案:A
5已知正数x,y满足x+4y=1,则+的最小值是（ ）
A. B.9 C.3+ D.无最小值
解析:∵+=(+)(x+4y)=5+≥5+=9,
故选B.
答案:B
综合运用
6如果x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是________________.
解析:3x+3y≥.
当且仅当3x=3y,即x=y=时取等号.
答案:
7若正数a,b满足a+b+3=ab,则ab的取值范围是_____________.
解析:ab=a+b+3≥+3,
即ab--3≥0,(-3)(+1)≥0.
∵>0,∴-3≥0.
∴ab≥9,
即ab的取值范围是［9,+∞).
答案:［9,+∞)
8已知a,b∈R+,则y=的最小值为___________.
解析:y=
∴ymin=,此时a=b>0.
答案:
9设x,y,z>0,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是( )
A.1 B.2 C.4 D.不存在
解析:∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz,而(x+y+z)·y=,
即xy+y2+yz=,
因此xy+y2+yz+xz=+xz≥2,
即(x+y)(y+z)≥2.选B.
答案:B
拓展探究
10如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a m和b m，问学生距墙壁多远时看黑板的视角最大?
解析:设学生距黑板x m,则
tanα=,tanβ=,
由此可得tan(α-β)=.
因为x+≥,
当且仅当x=时，tan(α-β)最大.
又由于α-β为锐角，所以此时α-β也最大，
亦即学生距墙壁为 m时看黑板的视角最大.
备选习题
11求函数y=x(3-2x)的最大值(0解析:∵2y=2x(3-2x),由00,3-2x>0,
∴2y≤()2=.
∴y≤.当且仅当2x=3-2x时，取等号，
即x=时，函数y=x(3-2x)有最大值.
12Rt△ABC的周长为定值L，求△ABC的面积的最大值.
解析:设两直角边长为a,b，则L=a+b+≥.
∴ab≤()2=.
从而S△ABC=ab≤.
13设a,b,x,y>0,a+b=10,a>b,=1,x+y的最小值为18,则a=__________,b=__________.
解析:(x+y)()=(a+b)+≥a+b+=18,
∴ab=16.又a+b=10,故a=2,b=8或a=8,b=2.
又a>b,∴a=8,b=2.
答案:8 2
14x,y∈R+,且2x+5y=20,则lgx+lgy的最大值是________________.
解析:∵20=2x+5y≥,
∴,lgx+lgy=lgxy≤lg10=1.
答案:1
15若a,b∈R+,且a2+=1,则a·的最大值是_____________.
解析:
当且仅当时,
有最大值.
答案:
16某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长,再由题意翻译数量关系.
(1)设铁栅长为x m,一堵砖墙长为y m,则有S=xy.
由题意得40x+2×45y+20xy=3 200.(*)
应用二元均值不等式,得
3 200≥+20xy
=+20xy
=+20S,
∴S+≤160,即(+16)(-10)≤0.
∵+16>0,∴-10≤0,从而S≤100.
(2)因为S最大允许值是100 m2,取得此最大值的条件是40x=90y,而xy=100,由此求得x=15,即铁栅的长应是15 m.
1.1.5 三个正数的算术—几何平均不等式（一）
课后导练
基础达标
1当x>0时,求y=x2+的最小值.
解析:∵y=x2++≥3,且能取“=”,
∴y的最小值为3.
答案:3.
2在边长为a的正方形铁皮的四个角上剪去同样大小的四个小正方形(如图),然后制成一个长方体容器,则制成的容器的体积的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析:设剪下的小正方形边长为x,易见容器的容积是
V=(a-2x)2·x(0∵V=(a-2x)2·x
=［(a-2x)·(a-2x)·(4x)］
≤［］3=a3
(当且仅当a-2x=4x,即x=时,取“=”),
∴容器容积的最大值是a3.
答案:B
3用长度分别为2,3,4,5,6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D.20 cm2
解析:令p=,则p=10.
由海伦公式S=
知S=
=<20<.
由于等号成立的条件为10-a=10-b=10-c,故“=”不成立,
∴S<20<.
排除C,D.
由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,面积为,故选B.
答案:B
4已知a,b,c∈R+,求证:
(1)()()≥9;
(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.
证明:运用均值不等式得
(1)()（）=9;
(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)
≥=9abc.
5设0解析:y=x2(1-2x)=x·x·(1-2x)
≤［］3=,
(当且仅当x=x=1-2x,即x=时,取“=”)
∴当x=时,y取得最大值.
综合运用
6设p,q>0,且p3+q3=2,求证:p+q≤2.
证明:∵p,q>0,
∴p·1·1≤,
q·1·1≤.
∴p+q≤=2.
∴原不等式成立.
7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?
解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.
设长方体的长,宽为a,b(分米),高为h(分米),
易知该水箱的容积为108立方分米,
即abh=108,设该水箱的用料面积为S,
则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh
≥=108,
即S≥108(平方分米)(当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,取“=”).
∴水箱的底面是边长为6分米的正方形,高为3分米时,用料最省.
8如果a,b,c∈R+,求证:3()≥2().
证明:直接运用均值不等式可得,,也只能得到≥0,≥0,
尚不能证出3()≥2(),因此应该对结论式进行分析,变形,寻找突破口.
3()≥2()
c+≥.①
考虑到①式右边的特点,可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数,但①式左边形式上是两个数相加,因此把它变为三个数相加,即
c+=c++
≥=.
∴3()≥2().
9设a,b,c>0,求证:(a+b+c)(+)>27.
证明:∵a>0,b>0,c>0,
∴,
即a+b+c≥3·.①
同理,+≥3·.②
又①②式中的“=”成立的条件不同,即“=”不同时成立,
∴①×②,得(a+b+c)(+)>3··3·=27,
即(a+b+c)(+)>27.
拓展探究
10试利用≥ab(a,b>0),
证明≥(a,b,c>0).
证法一:∵a,b,c>0,
∴a+b≥,c+≥2,
∴a+b+c++
=.
故a+b+c≥3·,
即,其中等号当且仅当a=b,c=且=,
即a=b=c时成立 .
证法二:设A=,由a,b,c>0,得A>0,且a+b+c=3A,
于是A=
∴A4≥abcA,A≥,
即,
等号当且仅当a=b,c=A,且,
即a=b=c时成立.
备选习题
11甲,乙两人同时从A地出发走向B地,甲先用的时间以速度p行走,再用的时间以速度q行走,最后用的时间用速度r行走;乙在前的路程用速度p行走,中f间的路程用速度q行走,最后的路程用速度r行走(p≠q≠r).问甲,乙两人谁先到达B地,为什么?
解析:设A,B两地间的距离为s(s>0).甲从A地到B地所用的时间为t1,乙从A地到B地所用时间为t2,
由题意,得s=p·+q·+r·,得t1=,
而t2=÷p+÷q+÷r=().
由均值不等式,得
t2>>=t1
(∵p≠q≠r,∴“=”不成立).
∴t112已知x>0,由不等式
x+≥2,
x+≥3,
……
启发我们可以得出以下结论:
x+≥n+1(n∈N*),则a=_____________.
解析:x+
==(n+1)·=n+1,
故a=nn.
答案:nn
13已知实数x,y满足:xy>0且x2y=2,则xy+x2的最小值应是__________,取最小值时x=__________,y=__________.
解析:xy+x2=xy+xy+x2≥3·=3,
∴xy+x2的最小值为3,此时x=1,y=2.
答案:3 1 2
14已知x>y>0,求证:x+≥3.
证明:x=(x-y)+y,由x>y>0,知x-y>0,
∴x+=［(x-y)+y］+
≥3·=3,
当且仅当x=2,y=1时取“=”.
∴原不等式成立.
15已知x,y,z是三角形的三边长,求证:
≥3.
证明:∵x,y,z是三角形的三边长,
∴x+y-z>0,x+z-y>0,y+z-x>0.
∴(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)
≥3·,①
≥3·.②
由①×②得
［(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)］·［］
≥3··3·=9,
即(x+y+z)()≥9.
∴(+1)+(+1)+(+1)≥9.
∴≥6.
∴≥3,
即原不等式成立.
16某地区农民的年总收入:第一年至第二年增长的百分率为m1,第二年至第三年增长的百分率为m2,第三年至第四年增长的百分率为m3，若m1+m2+m3为定值,则年平均增长的百分率m的最大值为……( )
A. B.
C. D.
解析:设农民第一年总收入为a,则
a(1+m)3=a(1+m1)(1+m2)(1+m3)
≤a()3
=a(1+)3,
所以平均增长率m的最大值为.
答案:B
1.1.6 三个正数的算术—几何平均不等式（二）
课后导练
基础达标
1下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a、b∈R,则=2
B.若x、y是正实数,则lgx+lgy≥
C.若x是负实数,则x+=4
D.若a、b∈R且ab<0,则=-2
解析:只有D正确.
∵ab<0,∴>0.>0
∴.
∴
A、B、C三个选项忽视了各项为负值的情形.
答案:D
2函数y=的最小值是_____________.
解析:y=,
设t=≥2,
则y=t+在［2,+∞)上是增函数.
∴ymin=2+.
答案:
3设a、b∈R,已知命题p:a=b;命题q:()2≤.则p是q成立的…( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:命题p:a=b是命题q:()2≤成立的充分不必要条件.故选B.
答案:B
4函数y=x(1-3x)(0A. B.
C.0 D.无最大值
解析:y=·3x·(1-3x)≤·()2=,即ymax=.
此时3x=1-3xx=.
答案:B
5如果x2+xy+y2=1(x、y∈R),那么n=x2+y2适合的条件是( )
A.0C.n≥2 D.≤n≤2
解析:令y=mx,于是x2+mx2+m2x2=1,
∴x2=.
∴x2+y2=.
∵m+≥2或m+≤-2,
∴≤n≤2.
答案:D
综合应用
6已知m=a+(a>2),n=(x<0),则m、n的大小关系是________.
解析:∵a>2,x<0,
∴a-2>0,x2-2>-2.
又m=a-2++2≥4(当且仅当a=3时取等号),n=<()-2=4,
∴m≥4,n<4.∴m>n.
答案:m>n
7已知x和k都是正实数,f(x)=,则( )
A.f(x)≥4 B.f(x)≥3
C.f(x)≥2 D.f(x)>2
解析:f(x)=≥2,
即f(x)min=2,此时x2+k=1x2=1-k.
当0∴f(x)≥2.
答案:C
8在△ABC中,若三边a、b、c满足条件(a+b+c)3=27abc,试判定△ABC的形状.
解析:∵a>0,b>0,c>0,故有不等式a+b+c≥(见阅读材料),即(a+b+c)3≥27abc,当且仅当a=b=c时,上式等号成立,故三角形为等边三角形.
9某工厂生产一批精密仪器,这个厂有两个分厂,分设在甲、乙两城市.在甲城市的分厂生产半成品,然后送到乙城市的分厂加工成成品.现该厂接受了一批订货,要在100天内制成这批精密仪器.由于乙分厂每天可以加工完一件仪器,而甲分厂的半成品保证满足供应,所以这项订货任务恰好按期完成.今知每一批半成品从甲市运到乙市的运费为100元,而每个半成品在乙市储存一天的储存费为2元.问应分几批(批量相等),才能使总的花费(包括运输费及储存费)最省?
解析:由题设条件,每批送x个,批次为,
又①每批运费100元,
②每批储存费为2×1+2×2+…+2(x-1)=2［1+2+…+(x-1)］=x(x-1),由此可建立总的花费y与x的函数.
设总费用为y元,每批送x个,批次为.
由题意,得y=［100+x(x-1)］(0=(+100x)-100
≥-100
=1 900,
当且仅当=100x,即x=10(件)时等号成立.
=10(批).
答:分10批送总费用最低.
拓展探究
10若θ∈(0,),a>b>0,求f(θ)=的最小值.
解法一:(化弦为切)
f(θ)=
=a2(1+tan2θ)+b2(1+)
=a2+b2+(a2tan2θ+)
≥a2+b2+2ab=(a+b)2.
当且仅当a2tan2θ=,即tan2θ=,tanθ=时“=”成立.
故f(θ)的最小值为(a+b)2.
解法二:(利用cos2θ+sin2θ=1)
(cos2θ+sin2θ)()=a2+b2+
≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
当且仅当,即tanθ=时“=”成立.
∴f(θ)的最小值为(a+b)2.
备选习题
11求y=(0解法一:y=.
∵x∈(0,π),∴0∴y≥.
当且仅当,即sinx=1时取“=”.
因此y的最小值为.
解法二:设=t,∵x∈(0,π),∴t∈(0,］,
则函数y==t+.
而y=t+在t∈(0,］上为减函数(证明略),
∴当t=时,ymin=+2=,此时,x=.
故当x=,即sinx=1时,ymin=.
12若0<α<,0<β<,试证≥7.
证明:
=1+tan2α+4+cot2α≥5+2tanα·cotα=7.
当且仅当sin22β=1,tan2α=1时“=”成立.
∴原不等式成立.
13已知n>2,试证:logn(n+1)证法一:∵logn(n+1)-logn-1n
=logn(n+1)-
=
∴logn(n+1)证法二:=logn(n+1)·lognn-1
<［(logn(n+1)+lognn-1)］2
=［logn(n2-1)］2<(lognn2)2=1.
又logn(n+1)>0,logn-1n>0,
∴logn(n+1)14甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例常数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y元表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?
解析:(1)因为汽车每小时的运输成本为bv2+a(元),全程时间为(小时),故y=(bv2+a),即y=s(+bv),v∈(0,c］.
(2)由于+bv≥,仅当v=时取等号,故①若≤c,则当v=时,y取最小值.
②若≥c,则先证y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数.
事实上,当v1、v2∈(0,c］,且v1=s［(-)+(bv1-bv2)］
=s(v1-v2)(b-)
=sb(v1-v2)·.
∵v1、v2∈(0,c］,v1∴v1-v2<0,v1v2>0,v1<,v2≤.
进而v1v2<,从而y1-y2>0.
故y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数,由此知当v=c时取得最小值.
综上可知,若≤c,则当v=时,y取最小值;若≥c,则当v=c时取得最小值.
15某种生产设备购买时费用10万元,每年的设备管理费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解析:设使用x年的年平均费用为y万元.
由已知,得y=,
即y=1+(x∈N*).由均值不等式,知y≥1+=3,当且仅当,即x=10时取“=”.
因此使用10年报废最合算,年平均费用为3万元.
16已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,求xy2z+xyz2的最大值.
解析:xy2z+xyz2=xyz(y+z)
=x(1-x)yz≤x(1-x)·()2
=x(1-x)·
=·3x·(1-x)·(1-x)·(1-x)
≤·()4=,
当且仅当即时,
(xy2z+xyz2)max=.
1.1 不等式 1
自我小测
1．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＞2b B．－＞－1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞1
2．如果a＞b，那么下列结论中错误的是( )
A．a－3＞b－3 B．3a＞3b
C．＞ D．－a＞－b
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )
①a＜b＜0a2＜b2；②＜ca＜bc；③ac2＞bc2a＞b；④a＜b＜0＜1.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是( )
A．m＞0＞n B．n＞m＞0
C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0
5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
6．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．
7．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为________．
8．若－1＜a＜2，－2＜b＜1，则a－|b|的取值范围是________．
9．(1)研究函数f(x)＝－的单调性，并证明你的结论；
(2)已知a≥1，试用(1)的结论比较M＝－和N＝－的大小．
10．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
参考答案
1．解析：∵y＝2x(x∈R)是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.
答案：C
2．解析：∵a＞b，∴－a＜－b.故D项错误．
答案：D
3．解析：①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴1＞＞0.
答案：C
4．解析：∵＞－＞0＞0mn(n－m)＞0mn(m－n)＜0.
答案：D
5．解析：x1＋x2＜0x1＜－x2，又∵f(x)＝x＋x3为奇函数，且在R上递增，∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＜0.
同理：f(x2)＋f(x3)＜0，f(x1)＋f(x3)＜0.
以上三式相加，整理得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
答案：B
6．解析：方法一：M－N＝＋－－
＝＋＝，
由已知可得a＞0，b＞0且ab＜1，
∴1－ab＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
方法二：＝，
∵0＜a＜，∴0＜ab＜1，∴0＜2ab＜2，
∴0＜a＋b＋2ab＜a＋b＋2.
∴＞1.又∵M＞0，N＞0，∴M＞N.
答案：M＞N
7．解析：由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知＜＜1，且＜＜1，所以＞＞1，即1＜＜.
答案：＜＜＜
8．解析：∵－2＜b＜1，∴0≤|b|＜2.∴－2＜－|b|≤0.
而－1＜a＜2，∴－3＜a－|b|＜2.
答案：(－3,2)
9．分析：(1)用定义法证明函数f(x)＝－的单调性；(2)在单调区间内，利用函数的单调性比较大小．
解：(1)f(x)在其定义域上是减函数．
证明：函数f(x)＝－的定义域是[0，＋∞)，
任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)
＝－＋－
＝－
＝(x1－x2).
∵＞＞0，＞＞0，
∴＋＞＋＞0.
∴0＜＜，
即－＜0.
又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
(2)构造函数f(x)＝－，
由(1)知，当x≥0时f(x)为减函数．
M＝f(a)＝－，
N＝f(a－1)＝－，
且a＞a－1≥0，则f(a)＜f(a－1)，∴M＜N.
10．答案：解：∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，
∴可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
∴∴
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，
∴6≤f(－2)≤10，
即f(－2)的范围是[6,10]．
1.1 不等式
1．不等式的基本性质
练习
1．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＞2b B．＞－1 C．2a＞2b D．lg(a－b)＞1
2．如果a＞b，那么下列结论中错误的是( )
A．a－3＞b－3 B．3a＞3b C.＞ D．－a＞－b
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )
①a＜b＜0a2＜b2；②＜ca＜bc；③ac2＞bc2a＞b；④a＜b＜0＜1.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知m，n∈R，则成立的一个充要条件是( )
A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0
5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0 C．等于0 D．正负都有可能
6．已知0＜a＜，且M＝，N＝，则M，N的大小关系是________．
7．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为________．
8．若－1＜a＜2，－2＜b＜1，则a－|b|的取值范围是________．
9．(1)研究函数f(x)＝的单调性，并证明你的结论；
(2)已知a≥1，试用(1)的结论比较M＝和N＝的大小．
10．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
参考答案
1. 答案：C ∵y＝2x(x∈R)是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.
2. 答案：D ∵a＞b，∴－a＜－b.故D项错误．
3．答案：C ①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴1＞＞0.
4. 答案：D ∵＞＞0＞0mn(n－m)＞0mn(m－n)＜0.
5. 答案：B x1＋x2＜0x1＜－x2，
又∵f(x)＝x＋x3为奇函数，
且在R上递增，
∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)＜0.
同理：f(x2)＋f(x3)＜0，
f(x1)＋f(x3)＜0.
以上三式相加，整理得
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
6. 答案：M＞N 方法一：M－N
＝
＝＝，
由已知可得a＞0，b＞0且ab＜1，
∴1－ab＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
方法二：＝，
∵0＜a＜，∴0＜ab＜1，∴2ab＜2，
∴a＋b＋2ab＜a＋b＋2.
∴＞1.又M＞0，N＞0，∴M＞N.
7. 答案：＜＜＜ 由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知＜＜1，且＜＜1，所以＞＞1，即1＜＜.
8. 答案：(－3,2) ∵－2＜b＜1，∴0≤|b|＜2.
∴－2＜－|b|≤0.
而－1＜a＜2，∴－3＜a－|b|＜2.
9. 分析：(1)用定义法证明函数f(x)＝的单调性；(2)在单调区间内，利用函数的单调性比较大小．
解：(1)f(x)在其定义域上是减函数．
证明：函数f(x)＝的定义域是[0，＋∞)，
设x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
＝
＝
＝(x1－x2)(－)．
∵＞＞0，
＞＞0，
∴＋＞＋＞0.
∴0＜＜，
即－＜0.
又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
(2)构造函数f(x)＝，
由(1)知，当x≥0时f(x)为减函数．
M＝f(a)＝，
N＝f(a－1)＝，
且a＞a－1≥0，则f(a)＜f(a－1)，
∴M＜N.
10．解：∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
∴∴
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，
∴6≤f(－2)≤10，
即f(－2)的范围是[6,10]．
1.1 不等式 2
自我小测
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A．3 B．1＋2
C．6 D．7
2．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则＋的最小值是( )
A．2 B．
C．1＋ D．3＋2
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D．
4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
9．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)
参考答案
1．解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y时，等号成立，取得最小值7.
答案：D
2．解析：＋＝＝≥·＝1＋，当且仅当＝时，等号成立，＋取得最小值1＋.
答案：C
3．解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b，
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，＋取得最小值4.
答案：B
4．解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当＝时，等号成立．
∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
∴需(＋1)2≥9.∴a≥4，故选B.
答案：B
5．解析：设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝，
y2＝0.8x.
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立，故选A.
答案：A
6．解析：a≥＝.而x＋≥2，
当且仅当x＝1时等号成立．
∴的最大值为，∴a≥.
答案：
7．解析：函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，
又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，
则×(2m＋n)＝＋＝2＋＋4·＋2≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．
答案：8
8．解析：令＝t(t＞0)，则
由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.
解得t≥3或t≤－1(不合题意)．
∴≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
答案：[9，＋∞)
9．答案：解：x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2
＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
故(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或
10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝最小．
解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)．又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．
∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)．
∴y＝＝.
令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.
从而＝＝＝34－，
∴y＝≥＝.
当且仅当t＝，即a＋2＝时取等号，
∴a＝6.由a＝6可得b＝3.
综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．
解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．
依题设2×2b＋2ab＋2a＝60，
即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．
∵a＋2b≥2(当且仅当a＝2b时取等号)，
∴ab＋2≤30，可解得0＜ab≤18.
由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
1.1 不等式
2.基本不等式
练习
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A． B． C．6 D．7
2．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则的最小值是( )
A．2 B. C． D．
3．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
4．已知不等式≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处
6．(2010山东高考，理14)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为________．
8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)
参考答案
1. 答案：D 3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥＝＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y时，等号成立．
2. 答案：C ＝＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
3．答案：B ∵是3a与3b的等比中项，∴＝3a·3b，
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＝＝≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
4. 答案：B ＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
∵≥9对任意正实数x，y恒成立，
∴需≥9.∴a≥4.
5. 答案：A 设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝，
y2＝0.8x.
费用之和y＝y1＋y2＝≥＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立，故选A.
6. 答案： a≥＝.而≥2，
∴的最大值为，∴a≥.
7. 答案：8 函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，则×(2m＋n)＝＝2＋＋4·＋2≥4＋＝4＋4＝8.
8. 答案：[9，＋∞) 令＝t(t＞0)，则
由ab＝a＋b＋3≥，得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.
解得t≥3或t≤－1(不合题意)．
∴≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
9. 解：x＋y＝
＝a＋b＋＋≥a＋b＋
＝，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝＝18，
即a＋b＋＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或
10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝最小．
解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)．又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．
∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)．
∴y＝＝.
令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.
从而＝＝＝，
∴y＝≥＝.
当且仅当t＝，即a＋2＝时取等号，
∴a＝6.
由a＝6可得b＝3.
综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．
解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．
依题设2×2b＋2ab＋2a＝60，
即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．
∵a＋2b≥ (当且仅当a＝2b时取等号)，
∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18.
由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
1.1 不等式 3
自我小测
1．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是( )
A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π
3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2 C．12 D．12
5．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．
7．若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥；④ab＋bc＋ca≤.其中正确不等式的序号是________．
9．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．
10．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
参考答案
1．解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，而xyz≤3＝23，∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．
答案：B
2．解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R+2h=6，即2R+h=3.
，当且仅当R=R=h=1时取等号．
答案：B
3．解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3.当且仅当xy＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．
答案：C
4．解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝3＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，取等号．
答案：C
5．解析：∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.
答案：D
6．解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x
＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)
≤83＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号．∴ymax＝，ymin＝－.
答案： －
7．解析：∵xy2＝4，x＞0，y＞0，∴x＝，
∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.当且仅当＝y，即x＝y＝时等号成立，此时x＋2y的最小值为3.
答案：3
8．解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3，
0＜abc≤3＝，≥27.
从而①正确，②也正确，
又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥，从而③正确，又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca),0＜ab＋bc＋ca≤＝，∴④正确．
答案：①②③④
9．解：设正六棱柱容器底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图可有，
∴，
.
当且仅当，即时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.
10．证明：因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式，得，①
，
所以.②
故a2＋b2＋c2＋2
.
又≥2＝6，③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c时，原式等号成立．
所以原不等式成立．
1.1 不等式
3.三个正数的算术－几何平均不等式
练习
1．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π C．V≥ D．V≤
3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A． B． C．12 D．
5．若a＞b＞0，则的最小值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．
7．若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥；④ab＋bc＋ca≤.其中正确不等式的序号是________．
9．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．
10．已知a，b，c均为正数，证明≥，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
参考答案
1. 答案：B ∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤＝23，
∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．
2. 答案：B 如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.
V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．
3．答案：C xy＋x2＝＋x2≥＝＝＝3.当且仅当＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．
4. 答案：C ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥＝＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，取等号．
5. 答案：D ∵a＋＝(a－b)＋b＋≥＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，
∴a＋的最小值为3.
6. 答案： ∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x
＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)
≤＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号．
∴ymax＝，ymin＝.
7. 答案： ∵xy2＝4，x＞0，y＞0，
∴x＝，
∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥＝.当且仅当x＝y＝时等号成立，此时x＋2y的最小值为.
8. 答案：①②③④ ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥，
0＜abc≤＝，≥27.
从而①正确，②也正确，
又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥，从而③正确，又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca)，
0＜ab＋bc＋ca≤＝，
∴④正确．
9. 解：设正六棱柱容器底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图可有2h＋＝，
∴h＝，
V＝S底·h＝6×·h
＝
＝
≤9×＝.
当且仅当＝＝1－x，
即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.
10．证明：因为a，b，c均为正数，由算术－几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥，①
≥，
所以≥.②
故a2＋b2＋c2＋
≥.
又≥＝，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当＝时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
1.1 不等式
更上一层楼
基础·巩固
1.若aA.> B.2a>2b C.|a|>|b|>0 D.()a>()b
思路分析：本题用到了不等式的基本性质及其应用的知识.取a=-2,b=-1验证即可求解.
答案：B
2.如果a∈R且a2+a<0，那么a,a2,-a,-a2的大小关系是（ ）
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
思路分析：本题是一道实数大小比较题.因为a2+a<0，即a(a+1)<0，可得-1a2>0，所以0>-a2>a.综上可得-a>a2>-a2>a.
答案：B
3.已知≤α<β≤,则的取值范围是____________.
思路分析：这类问题在三角函数一章中经常遇到，而且易出错误，现在可以利用不等式的性质进行求解.
答案：≤<0
4.已知x<，则函数y=4x-2+的最大值为__________.
思路分析：∵x<,∴(5-4x)>0,又y=4x-2+,
=(4x-5)++3=-［(5-4x)+)］+3≤-2+3=1,
当5-4x=,即x=1时，取“=”.此时，ymax=1.
答案：1
5.x∈R，比较(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1)的大小.
思路分析：本题用到了实数比较大小的充要条件及其解题应用的知识.直接作差需要将(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1)展开，过程复杂，式子冗长.可否考虑根据两个式子的特点，予以变形后，再作差.
解：∵(x+1)(x2++1)-(x+1)(x2+x+1-)=(x+1)(x2+x+1)-(x+1);
(x+)(x2+x+1)=(x+1-)(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-(x2+x+1).
∴(x+1)(x2++1)-(x+)(x2+x+1)=(x2+x+1)-x(x+1)=>0,
∴(x+1)(x2++1)>(x+)(x2+x+1).
6.设a>b>c，且恒成立，求m的取值范围.
思路分析：由a>b>c知,a-b>0，b-c>0，a-c>0，因此，原不等式等价于发≥m，要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可.
解：∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.
因此原不等式可等价化为≥m恒成立.
又∵
=4.当且仅当，即2b=a+c时，等号成立.
m≤4.
综合·应用
7.求函数y=3x+(x>0)的最值.
思路分析：本题是三个正数的平均值不等式的应用.求最值时要注意三个正数的积（和）是一个常数.
解：由已知x>0,∴y=3x+,
当且仅当=，即x=时，取等号.
当x=时，函数y=3x+的最小值为.
8.已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证++≥9.
思路分析：若从特征运算结构上看，左边是分式且分子为1，又a+b+c=1，所以可把1=a+b+c代入推证.
证明：
≥3+2+2+2=9
（当且仅当,即a=b=c时取“=”）.
9.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每一年都增加4万元，每年捕鱼收益为50元.
（1）问从第几年起开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案；一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总纯收入获利最大时，以8万元出售该船.问：哪种方案合算？（注：取≈7.2）
思路分析：第一问根据题意建立总利润关于年数的函数关系式，解一元二次不等式，在第二问通过实数大小比较的方法去选取优化方案.
解：（1）前n年各种费用总和为12n+×4=2n2+10n（万元），
∴n年的总利润为y=50n-2n2-10n-98=-2n2+40n-98,
令y>0，得n2-20n+49<0.
∴10-∴2.8（2）［方案一］ 年平均收入为：=40-2(n+)≤40-2×14=12（万元）.
当且仅当n=，即n=7时取“=”，此时获利7×12+26=110（万元）.
［方案二］ y=-2(n-10)2+102,∴当n=10时，ymax=102.
此时获利102+8=110（万元），比较两种方案，总收益均为110（万元）.
但方案1中n=7，故方案1合算.
回顾·展望
10.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是（ ）
A. B. C.-3 D.
思路分析：不妨设a=sinα,b=cosα.则满足a2+2b2=6.∴a+b=sinα+cosα,∴最小值为=-3,故选C.
答案：C
11. 若a>0,b>0.则不等式-b<A.-b<<0或0C.x<-或x> D.x<-或x>
思路分析：,-b答案：D
12. 已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
思路分析：(x+y)(+)=1+a++≥1+a+=(+1)2,当y=x时
等号成立.∴(x+y)(+)的最小值为（+1)2.
∴(+1)2≥9,+1≥3,≥2,即a≥4,∴a的最小值为4.
答案：B
