1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.以下对正弦函数y=sinx的图象描述不正确的是( )
A.在x∈［2kπ,2(k+1)π］(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅一个交点
解析:画出y=sinx的图象，根据图象可知A、B、D三项都正确.
答案：C
2.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=_____________.
解析：M=-1=，m=--1=，∴M+m==-2.
答案：-2
3.利用五点法，在［0，2π］上画出下列函数的简图：
(1)y=sinx-1；(2)y=2cosx.
解析：画函数的简图，可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确.
(1)第一步：按五个关键点列表；
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连接起来.
(2)第一步：按五个关键点列表；
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
2cosx
2
0
-2
0
2
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连接起来.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=2sin(3x+)的对称轴为________________，对称中心为______________.
解析：观察y=sinx的图象，x=kπ+(k∈Z)是其对称轴，(kπ,0)是其对称中心.
由3x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z)为对称轴；由3x+=kπ(k∈Z)，得(-,0)(k∈Z)为对称中心.
答案：x=+(k∈Z) (-,0)(k∈Z)
2.分析y=sinx-1及y=2sinx的图象在［0，2π］上与y=sinx的图象的位置关系.
解：(1)在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图象.
通过图象比较，可知y=sinx-1的图象是将y=sinx的图象整个向下平行移动了1个单位得到的.
(2)在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图象.
通过图象很容易看出，将y=sinx的图象上所有的点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标保持不变，就可以得到y=2sinx的图象.
3.作出函数y=-sinx，x∈［-π，π］的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sinx＞0；②sinx<0.
(2)直线y=与y=-sinx的图象有几个交点？
解：利用五点法作图，
(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分sinx＞0，在x轴下方的部分sinx＜0，所以当x∈(-π，0)时，sinx＞0；当x∈(0，π)时，sinx＜0.
(2)画出直线y=，得知有两个交点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.对于余弦函数y=cosx的图象，有以下描述：
①向左向右无限伸展；②与y=sinx的形状完全一样，只是位置不同；
③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称.
其中正确的描述有( )
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
解析：由函数y=cosx的图象可知①②③④都正确.
答案：D
2.在(0，2π)上，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是( )
A.(，)∪(π，) B.(，π)
C.(，) D.(，π)∪(，)
解法一：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标为和，由图(1)可得答案C.
(1) (2)
解法二：在单位圆中作出第一、三象限的角平分线如图(2)，由正弦线、余弦线可知应选C.
答案：C
3.方程sinx=lgx的实根的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
解析：如图，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.
由图中看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解，此方程再无别的解.
答案：C
4.y=1+cosx，x∈［0，2π］与直线y=的图象交点个数为___________.
解析：分别画出y=1+cosx与y=的图象，确定交点.
答案：2
5.(2005高考上海卷，理10)函数f(x)=sinx+2｜sinx｜，x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________________.
解析：∵f(x)=
∴y=f(x)的图象如下图.
故若y=f(x)与y=k的图象有且仅有两个交点，则k的范围是1＜k＜3.
答案：1＜k＜3
6.方程sinx=的根的个数为______________.
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数y=与函数y=sinx的图象交点个数，借助图形直观求解.
当x≥4π时，≥＞1≥sinx;当0＜x＜4π时，sin=1＞=，从而x＞0时，有3个交点，由对称性x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.
答案：7
7.作出函数y=sinx的图象.
解析：函数y=sinx的图象即是y=cosx(x≠kπ且x≠kπ+，k∈Z)的图象，因此作出y=cosx的图象后，要把x=kπ和x=kπ+，k∈Z的这些点去掉.
首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.
当sinx≠0且tanx有意义，即x≠kπ且x≠kπ+(k∈Z)时，有y=sinx=cosx，即y=cosx(x≠kπ且x≠kπ+，k∈Z).
其图象如下图.
8.画出下列函数的简图：
(1)y=3+sinx，x∈［0，2π］；
(2)y=2-sinx，x∈［0，2π］；
(3)y=-cosx+3，x∈［-π，π］.
解析：可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，整理数据，描点画图.
解：(画法略)
快乐时光
代 词
语法课上，约翰的思想开了小差.
突然老师问道：“约翰，你能说出两个代词吗？”
约翰站起来，摇摇头说：“谁？我！”
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
主动成长
夯基达标
1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图象是( )
图1-4-8
解析:y=sinxy=-sinxy=1-sinx.
答案:B
2.函数y=-cosx的图象与余弦函数的图象( )
A.只关于x轴对称 B.只关于原点对称
C.关于原点、x轴对称 D.关于原点、坐标轴对称
解析:关于x轴对称.
答案:A
3.对于函数f(x)=下列四个命题中,错误的个数为( )
①该函数的值域为［-1,1］ ②当且仅当x=2kπ+ (k∈Z)时,该函数取得最大值1 ③该函数是以π为最小正周期的周期函数 ④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+ (k∈Z)时,f(x)＜0
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:画出f(x)的图象如图.黑体为函数图象.
①值域为［-,1］;②当x=2kπ+或x=2kπ时,取得最大值;③最小正周期为2π;④正确.
答案:C
4.使sinx＜cosx成立的一个区间是( )
A.［-,］ B.［-,］ C.［-,］ D.［0,π］
解析:在同一坐标系中画出y=sinx与y=cosx的图象便得.
答案:A
5.方程2|x|=cosx的实根有( )
A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:在同一坐标系中画出y=2|x|与y=cosx的图象,如图,交点为(0,1).
答案:D
6.根据正弦函数的图象解不等式sin2x≥(x∈［0,π］).
解:作出正弦函数的图象.
由图象易知x∈［］.
7.作出函数y=|sinx|的图象,你能由函数y=sinx的图象,通过变换方法得到函数y=|sinx|的图象吗?
解:y=|sinx|=
比较函数y=|sinx|的图象与函数y=sinx的图象可知,当2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z时,两个函数图象重合;当2kπ+π＜x＜2kπ+2π,k∈Z时,两个函数图象关于x轴对称.
所以,保留函数y=sinx在x轴上方及与x轴的交点的图象,将其在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,就可以得到函数y=|sinx|的图象.
8.用五点法作出函数y=2sin(2x+)的图象.
解:(1)列表:列表时2x+取值 0,,π,,2π,再求出相应的x值和y值.
x
-
2x+
0
Π
2π
y
0
2
0
-2
0
(2)描点.
(3)用平滑的曲线顺次连结各点,所得图象如图所示.
走近高考
9.(2006辽宁高考,11)已知函数f(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx|,则f(x)的值域是( )
A.［-1,1］ B.［-,1］ C.［-1, ］ D.［-1,- ］
解析:f(x)=故f(x)的图象如图.
f(x)的值域是［-1,］,故应选C.
答案:C
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
自我小测
1．下列叙述：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与x轴的单位长度必须一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)对称；③y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称图形；④正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域，其中正确的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝cos x与y＝－cos x的图象( )．
A．只关于x轴对称
B．只关于原点对称
C．关于原点、x轴对称
D．关于原点、坐标轴对称
3．用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )．
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
4．函数y＝sin |x|的图象是( )．
5．如果直线y＝a与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象有且只有2个交点，则a的取值范围是__________．
6．方程lg x＝sin x实根的个数为__________个．
7．求下列函数的定义域：
(1) ；
(2)
8．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x>0，②sin x<0.
(2)直线与y＝－sin x的图象有几个交点？
9若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
参考答案
1答案：D
解析：结合正弦函数的图象可知，①②③④均正确．
2答案：A
解析：画出y＝－cos x的图象，观察可知选A.
3答案：B
解析：令z＝2x＝0，，π，，2π，则x＝0，，，，π，故选B.
4答案：B
解析：
作出y＝sin|x|的简图知选B.
5答案：{a|－1
解析：画出y＝a与函数y＝sin x在[0,2π]上的图象可知，
当a＝±1时，只有一个交点；当a＝0时有三个交点；
当a>1或a<－1时无交点，当－16答案：3
解析：如图所示，函数y＝lg x与y＝sin x图象有三个交点．
7解：(1)由得，
∴，k∈Z.
∴6kπ＋3π≤x≤6kπ＋6π，k∈Z.
∴函数的定义域为[6kπ＋3π，6kπ＋6π](k∈Z)．
(2)由
得
∴，k∈Z，即函数的定义域为
(k∈Z)．
8解：利用五点法作图．
(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分sin x>0，在x轴下方的部分sin x<0；
所以当x∈(－π，0)时，sin x>0；
当x∈(0，π)时，sin x<0.
(2)画出直线，得知有两个交点．
9解：观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S矩形OABC＝2×2π＝4π.
∴所求封闭图形的面积为4π.
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后集训
基础达标
1.用“五点法”画y=sinx,x∈［0,2π］的简图时，正确的五个点应是（ ）
A.（0，0），（，1），（π，0）,(,-1),(2π,0)
B.（0，0），（-，1），（-π，0）,(-,1),(-2π,0)
C.（0，1），（，0），（π，-1）,(,0),(2π,1)
D.（0，-1），（-，0），（π，1）,(,0),(2π,-1)
答案：A
2.下列函数图象相同的是（ ）
A.y=sinx与y=sin(π+x) B.y=sin(x-)与y=sin(-x)
C.y=sinx与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sinx
解析：A中y=sin(π+x)=-sinx
B中y=sin(x-)=-sin(-x)
C中y=sin(-x)=-sinx
只有D中sin(2π+x)=sinx
答案：D
3.不等式cosx＜0,x∈［0,2π］的解集为( )
A.（，） B.［，］
C.（0，） D.（，2π）
答案：A
4.在［0，］上，满足sinx≥的x取值范围是（ ）
A.［0，］ B.［，］
C.［，］ D.［，π］
解析：在同一坐标系内作出y=sinx与y=的图象.
答案：B
5.函数y=-cosx的图象与余弦函数图象（ ）
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称 D.关于原点和坐标轴对称
解析：在同一坐标系中作出y=cosx与y=-cosx的图象（如右图），由图象知：y=cosx与y=-cosx的图象关于x轴对称且关于原点对称.
答案：C
6.y=1+sinx,x∈［0,2π的图象与y=交点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：如下图y=1+sinx,x∈［0,2π］的图象，与y=的图象有两个交点.
答案：C
综合运用
7.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，如下图，则这个封闭图形的面积为（ ）
A.4 B.8 C.2π D.4π
解析：观察图形，由图象可知，图形S1与S2、S3与S4都是两个对称图形，有S1=S2、S3=S4.因此函数y=2cosx的图象与直线y=2所围成的图形面积，可以等积的转化为求矩形OABC的面积.
∵|OA|=2,|OC|=,
∴S矩形OABC=2×=4π.
答案：D
8.方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
解析：在同一坐标系中作y=cosx与y=lgx的图象（如下图），由图可知两图象有三个交点.故选C.
答案：C
9.如下图所示，函数y=cosx|tanx|(0≤x＜且x≠)的图象是（ ）
解析1：首先考虑函数的定义域x≠，故排除A.然后去掉绝对值符号:
y=cosx·|tanx|=
于是可得答案为C.
解法2：首先考虑函数定义域x≠，排除掉A.然后再利用特殊值检验的方法.当x=时，y=.
故排除掉B、D.
故选C.
答案：C
拓展探究
10.方程sinx=在x∈［,π］上有两个实数根，求a的取值范围.
解析：本题主要考查利用数形结合的思想判断方程根的个数问题.首先作出y=sinx，x∈［,π］上的图象.然后再作出y=的图象.由图象知：如果y=sinx与y=的图象有两个交点，方程sinx=,x∈［,π］就有两个实数根.
解：设y1=sinx,x∈［,π］,y2=.
y1=sinx,x∈［,π］的图象如右图.
由图象可知，当≤＜1，即-1＜a≤1时，y=sinx,x∈［,π］的图象与y=的图象有两个交点，即方程sinx=在x∈［,π］上有两个实根.
备选习题
11.与图中曲线对应的函数是（ ）
A.y=sinx B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sinx|
解析：排除法：A不是；B中y=sin|x|当x≥
0时，y=sinx也不符合；D中y=-|sinx|≤0.
∴选C.
答案：C
12.先将y=sinx-1的图象向左平移个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f(x)=________________.
答案：cosx
13.作出下列函数的简图:
（1）y=2+cosx,x∈［0,2π］;
(2)y=-2sinx,x∈［0,2π］
解：（1）
x
0
π
2π
y
3
2
1
2
3
（2）
x
0
π
2π
y
0
-2
0
2
0
14.作函数y=·sinx的图象.
解析：本题实际考查解析式的化简及函数y=cosx的图象.首先将函数解析式化简，然后作其图象.但要注意化简前、后的定义域不变.
解：当sinx≠0,即x≠kπ(k∈Z),cosx≠0,即x≠nπ+,n∈Z时，有y=1tanx·sinx=cosx，即y=cosx(x≠kπ且x≠kπ+,k∈Z),其图象如下图
15.函数y=|sinx|的图象可由函数y=sinx的图象如何变化得到____________.
答案：将y=sinx的图象在x轴上方部分保留，x轴下方部分作关于x轴的对称图象，组合而成
16.函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同交点，求k的取值范围.
解析：目标——消去绝对值符号，因此，先分象限讨论.
解：f(x)=
如下图，由图象知1＜k＜3.
答案：1＜k＜3
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
更上一层楼
基础?巩固
1.函数y=lgsinx+的定义域是( )
A.(-4，-π) B.(0，π)
C.(-4，-π)∪(0，π) D.(-4，-π)∪［0，π］
思路分析：当sinx＞0且16-x2＞0时函数有意义，所以要求画图如图.
当0＜x＜π时，sinx＞0，与-4＜x＜4取公共部分得解为(-4，-π)∪［0，π］，故选D.
答案：D
2.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,)
思路分析：令Q(x,y)，由三角函数的定义得，.
答案：A
3.在(0，2π)上，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是( )
A.(，)∪(π，) B.(，π)
C.(，) D.(，π)∪(，)
思路分析一：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图(1)可得答案C.
(1) (2)
思路分析二：如图(2)，在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线、余弦线可知应选C.
答案：C
4.设函数f(x)=sinx，x∈R，对于以下三个命题：
①函数f(x)的值域是［-1，1］；②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值1；③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z)时，f(x)＜0.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路分析：作出正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如图).
从图中可以看出①②正确，③错误.
答案：C
综合?应用
5.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=_________.
思路分析：，
∴M+m=.
答案：-2
6.试确定满足|cosα|＞|sinα|的角α的范围.
思路分析一：如图所示，作出单位圆.
∵|cosα|=|sinα|的角在0到2π之间有四个：，，，，|cosα|＞|sinα|的角在图中阴影部分(不含边界).故2kπ-＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即nπ-＜α＜nπ+，n∈Z.
思路分析二：在［0，2π］内作出y=|sinx|，y=|cosx|的图象，如图.
从图中可以看出满足|cosα|＞|sinα|的角是2kπ≤α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z.其中，2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z可化为2kπ-＜α＜2kπ.故满足|cosα|＞|sinα|的角是nπ-＜α＜nπ+，n∈Z.
7.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，若角α的终边经过点P(，y)且sinα= (y≠0)，试判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值.
解：依题意，点P到原点O的距离为r=|PO|=，
∴sinα=.
∵y≠0，∴9+3y2=16.
∴y2=.∴y=±.∴r=.
∴角α是第二或第三象限角.
当角α是第二象限角时，y=,
cosα=，tanα=；
当角α是第三象限角时，y=，同理可得cosα=，tanα=.
8.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的.如图1-4-9所示，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状).如图1-4-9(1)，若烟筒的直径为12 cm，最短母线为6 cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省材料？
图1-4-9
解：如图所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径，又设B是这个圆上任意一点，过点B作BE垂直CD于点E，作圆柱的母线AB，交截面与圆柱的交线于点A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.
设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，α=，
又设AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，
从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.
铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin (0≤x≤12π)，其图象如图(4).因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如图(5).
回顾?展望
9.(2006临沂统考) 作函数y=cotxsinx的图象.
思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.函数y=cotxsinx的图象即是y=cosx(x≠kπ，k∈Z)的图象，因此作出y=cosx的图象，但要把x=kπ，k∈Z的这些点去掉.
解：当sinx≠0，即x≠kπ(k∈Z)时，有y=cotxsinx=cosx，即y=cosx(x≠kπ，k∈Z).其图象如图.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考辽宁卷，文1)函数y=sin(x+3)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=，该函数最小正周期为T==4π.
答案：D
2.(高考北京卷，文2)函数y=1+cosx的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=对称
解析：函数y=1+cosx是偶函数，所以关于y轴对称.
答案：B
3.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么…( )
A.T=2，θ= B.T=1，θ=π
C.T=2，θ=π D.T=1，θ=
解析：T==2，又当x=2时，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=.
答案：A
4.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t的函数关系如图1-4-1所示：
图1-4-1
(1)求该函数的周期；
(2)求t=10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
解：(1)由图象可知该函数的周期为4 s.
(2)设x=f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.(2005高考浙江卷,文1)函数y=sin(2x+)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=.
答案：B
2.下列函数中，周期为π，图象关于直线x=对称的函数是( )
A.y=2sin(+) B.y=2sin(-)
C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)
解析：sin(ωx+φ)的周期为，对称轴方程为ωx+φ=kπ+(k∈Z)，由周期为π，排除A、B；将x=代入2x+得，将x=代入2x-得，故选D.
答案：D
3.在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
A.[，π] B.[0，] C.[-π，0] D.[,]
解析：y=sin(x+)的递增区间是
2kπ-≤x+≤2kπ+,
即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
当k=0时，区间是［-,］,已知区间［0，］是它的子区间，故应选B.
答案：B
4.设函数f(x)=A+Bsinx，若B＜0时，f(x)的最大值是，最小值是，则A=_____________，B=_________________.
解析：因为sinx的最大值是1,最小值是-1，根据题意，得解方程可得A、B值.
答案： -1
5.求函数y=的定义域.
解析：要使函数有意义，只需2sinx+≥0，即sinx≥-.
如图，在区间［-，］上，适合条件的x的范围是-≤x≤.
所以该函数的定义域是［2kπ-，2kπ+］，k∈Z.
6.已知函数y=3sin(x-).
(1)用“五点法”作函数的图象；
(2)求函数的周期；
(3)求函数的单调递增区间；
(4)求此函数的对称轴、对称中心.
解：(1)
(2)因为3sin［(x+4π)-］=3sin(x-+2π)=3sin(x-)，所以由周期函数的定义，知原函数的周期是4π；也可以直接用公式：T===4π.
(3)x前的系数为正数，所以把x-视为一个整体，令-+2kπ≤x-≤+2kπ，解得［-+4kπ，+4kπ］，k∈Z，即为函数的单调递增区间.
(4)由于y=3sin(x-)是周期函数，通过观察图象可知所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x-=+kπ，解得直线方程为x=+2kπ，k∈Z.
图象与x轴的所有交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点(+2kπ，0)，k∈Z.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.使cosx=有意义的m的值为( )
A.m≥0 B.m≤0
C.-1＜m＜1 D.m＜-1或m＞1
解析：由|cosx|≤1，得||≤1.解之，得m≤0.
答案：B
2.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是( )
A.-1 B. C. D.-5
解析：整理得y=-2(cosx)2.
又∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=时，ymax=.
答案：C
3.函数y=sin(2x+)在区间［0，π］内的一个单调递减区间是( )
A.［0，］ B.［，］
C.［，］ D.［，］
解析：+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)，
∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
答案：B
4.(2006高考安徽卷，文8)对于函数f(x)=(0＜x＜π)，下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
解析：令t=sinx,t∈(0,1］，则函数f(x)=(0＜x＜π)的值域为函数y=,t∈(0,1］的值域，而y=,t∈(0,1］是一个减函数，故选B.
答案：B
5.(2006高考湖南卷,文8)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是( )
A.2π B.π C. D.
解析：因为图象对称中心与对称轴的最短距离等于周期，所以T=4×=π.
答案：B
6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f(x)=sinx，则f()的值为( )
A. B. C. D.
解析：f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin=.
答案：D
7.sin300°、sin(-310°)、sin790°三个数值从小到大的排列顺序为___________.
解析：sin300°=sin(-60°)＜0，sin(-310°)=sin50°，sin790°=sin70°.由于y=sinx在(0°，90°)内是单调递增的，所以sin(-310°)＜sin790°.
答案：sin300°＜sin(-310°)＜sin790°
8.函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在［0，］上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=____________________.
解析：由已知得2sin(ω·)=3，即ω·=2kπ+，ω=8k+(k∈Z)；已知函数在［0，］上单调递增，说明此函数的最小周期是π，
又T＞0，所以T=≥π.
故ω=.
答案：
9.已知函数f(x)=2sin(kx+)的最小正周期T∈(1,3),则正整数k=_____________.
解析：由题意得1＜＜3＜3＜k＜2π.
∵k∈N*,∴k=3,4,5,6,即正整数k的值是3,4,5,6.
答案：3,4,5,6
10.已知f(x)的定义域为［0，1)，求f(cosx)的定义域.
解：(1)0≤cosx＜12kπ-≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z),
∴所求函数的定义域为{x｜2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ，k∈Z｝.
11.已知函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b(a≠0)的定义域为［0，］，值域为［-5，1］，求常数a、b的值.
解：∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.
根据y=sinx的图象可知≤sin(2x+)≤1.
因此，由已知函数的值域为［-5，1］，可得
或
解之，得 或
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）
课后集训
基础达标
1.y=cos(-2x)的最小正周期为（ ）
A.π B. C.2π D.
解析：T==π.
答案：A
2.函数y=sin(-+)的最小正周期是（ ）
A.π B.2π C.4π D.
解析：T==4π.
答案：C
3.下列函数中，最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin B.y=cos C.y=cosx D.y=cos
解析：A中T==4π;
B中T==4π;
C中T=2π.
答案：D
4.下列两个函数：①y=|cosx|;②y=sin|x|周期性是（ ）
A.只有①是周期函数 B.只有②是周期函数
C.①和②都是周期函数 D.①和②都不是周期函数
解析：由两函数图象可判断.
答案：A
5.函数y=cos(+)(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
解析：∵y=cos(k4x+)(k＞0)的最小正周期为T=，∴≤2,∴k≥4π,
∴k的最小值为.故选D.
答案：D
6.函数y=2cos(-ωx)的最小正周期是4π,则ω=______________.
解析：T==4π,
∴|ω|=,∴ω=±.
答案：±
综合运用
7.(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0, ］时，f(x)=sinx,则f(π)的值为（ ）
A.- B. C.- D.
解析：由题意可得
f()=f(π+)=f()
=f(-+π)=f(-)=f()
=sin=.
答案：D
8.y=sin3x+cos2x的最小正周期为_____________.
解析：∵y1=sin3x的最小正周期为T1=，y2=cos2x的最小正周期为T2=π，而与3的最小公倍为即2π.
∴y=sin3x+cos2x的最小正周期为2π.
答案：2π
9.若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为,且满足f(x)=则f()=________________.
解析：∵f(-)=f(-×3+)=f()=sin=.
答案：
拓展探究
10.求函数y=|sinx|+|cosx|的周期.
解：∵|sin(x+)|=|cosx|,|cos(x+)|=|sinx|,
∴y=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sinx|+|cosx|.
∴是函数y=|sinx|+|cosx|的周期.下面是证明是函数y的最小正周期.
设存在T(0＜T＜)，使y=|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对一切实数x都成立.
令x=代入上式得
|sinx|+|cosx|=1+0=1,
|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|cosT|+|sinT|=cosT+sinT＞1,
此时|sin(x+T)|+|cosx(x+T)|≠sinT+cosT,矛盾,
∴是函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
备选习题
11.y=|3cos(-)|的最小正周期为_____________.
解析：y=3cos(-)的周期T==4π.加绝对值周期减半.
答案：2π
12.若函数f(x)=2cos(ωx+)的最小正周期为T，且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是__________.
解析：∵T=，T∈(1,3),
∴1＜＜3,即＜ω＜2π.
∴ω的最大整数为6.
答案：6
13.求下列各函数的周期：
(1)y=cos2x;
(2)y=sin;
(3)y=2sin(-).
解：(1)T==π.
(2)T==4π.
(3)T==4π.
14.已知函数f(x)=|sinx|.(1)求f(x)定义域与值域；（2）判断f(x)周期性.若是周期函数，求周期.
解：(1)|sinx|＞0sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z,
∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
∵0＜|sinx|≤1,
∴|sinx|≥0,
∴函数的值域为{y|y≥0}.
(2)∵|sinx|在定义域｛x|x≠kπ,k∈Z｝内是周期函数，且最小正周期是π,
∴函数y=|sinx|是周期函数，且最小正周期是π.
15.设f(x)为定义在（-∞,+∞）上的周期函数，且周期为2，当x∈［2,3］时，f(x)=x.当x∈［0,1］时，求f(x)的解析式.
解：设x∈［0,1］,则x+2∈［2,3］,∴f(x+2)=x+2.
∵f(x)是周期为2的函数,
∴f(x+2)=f(x),
∴f(x)=x+2.
16.已知定义在（-∞,+∞）上的函数f(x)的周期为π，若在［0，π］上f(x)=-sinx,求函数f(x)在区间［-22.8π,-22.4π］上的解析式.
解：设x∈［-22.8π,-22.4π］,则x+23π∈［0.2π,0.6π］.
∵x∈［0,π)时，f(x)=-sinx,
∴f(x+23π)=-sin(x+23π)=-sin(x+π)=sinx.
∵f(x)是周期为π的函数，
∴f(x+23π)=f(x),
∴f(x)=sinx,即当x∈［-22.8π,-22.4π］时，f(x)的解析式为f(x)=sinx.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主动成长
夯基达标
1.下列四个函数中,既是(0,)上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是( )
A.y=|sinx| B.y=|sin2x| C.y=|cosx| D.y=cos2x
解析:结合图象进行判断.
答案:A
2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f(+x)=f(-x),则f()等于( )
A.0 B.3 C.-3 D.3或-3
解析:由f(+x)=f(-x)得x=为函数的对称轴,所以y=f(x)在对称轴处取得最大值或最小值.
答案:D
3.函数y=-xcosx的部分图象是( )
图1-4-9
解析:从y=-xcosx的性质考虑.
f(-x)=xcos(-x)=xcosx=-f(x).
∴y=-xcosx为奇函数.∴排除A,C.
当x＞0,但x→0时,cosx＞0,
∴-xcosx＜0.
∴图象应在x轴下方.故选D.
答案:D
4.给定函数①y=xsinx;②y=1+sin2x;③y=cos(sinx)中,偶函数的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:①f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)为偶函数;
②f(-x)=1+sin2(-x)=1+sin2x=f(x)为偶函数;
③f(-x)=cos［sin(-x)］=cos(-sinx)=cos(sinx)为偶函数,三个都为偶函数,故选A.
答案:A
5.函数y=(x∈R)的最大值是( )
A. B. C.3 D.5
解析:y=.
∵-1≤cosx≤1,∴-1≤-cosx≤1.
又1≤2-cosx≤3,
∴≤≤1.
∴≤≤4,得≤-1+≤3,即最大值是3.
答案:C
6.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题:①f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必定是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos(2x-);③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称.其中正确命题的序号是____________.
解析:①由f(x)=0有2x+=kπ(k∈Z),
令k=0得x1=-.
令k=1得x2=-.
∴x1-x2=-.故①不正确.
②利用诱导公式知正确,f(x)=4sin(2x+)
=4cos(-2x-)=4cos(-2x+)
=4cos(2x-).
③令2x+=kπ(k∈Z),得2x=kπ- (k∈Z).
∴x=-(k∈Z).
令k=0得x=-,
∴y=f(x)的图象关于点(-,0)对称.
答案:②③
7.若函数y=acosx+b(a、b是常数)的最大值是1,最小值是-7,求函数y=3+absinx的最值.
解:∵-1≤cosx≤1,
当a＞0时,b-a≤y≤a+b,
∴∴
当a＜0时,a+b≤y≤b-a,
∴∴
当a=4,b=-3时,y=3-12sinx.
∴ymax=15,ymin=-9.
当a=-4,b=-3时,y=3+12sinx.
∴ymax=15,ymin=-9.
8.已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=.
(1)试证f(x)是周期函数且8为一个周期;
(2)若f(3)=-1,求f(2 003)的值.
(1)证明:f(x+2+2)==
即f(x+4)=.
∴f(x+4+4)=-,
即f(x+8)=f(x).
∴f(x)是周期函数且8为一个周期.
(2)解:f(2 003)=f(3+250×8)=f(3)=-1.
9.(2005全国高考)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间;
(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.
图1-4-10
解:(1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2×+φ)=±1.
∴+φ=kπ+,k∈Z.∵-π＜φ＜0,∴φ=.
(2)由(1)知φ=,因此y=sin(2x-).
由题意,得其单调增区间为2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z.
∴函数y=sin(2x)的单调增区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.
(3)由y=sin(2x)知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象是
走近高考
10.(2006辽宁高考)函数y=sin(x+3)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
解析:T==4π.
答案:D
11.(2006湖南高考)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是( )
A.2π B.π C. D.
解析:T=4×=π.
答案:B
12.(2006北京高考)函数y=1+cosx的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=对称
解析:函数y=1+cosx的图象可由y=cosx的图象向上平移一个单位得到,其图象关于y轴对称.
答案:B
13.(2006安徽高考,8)设a＞0,对于函数f(x)=(0＜x＜π),下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
解析:∵f(x)=(a＞0),且sinx∈(0,1］,
∴f(x)有最小值1+a,无最大值.
答案:B
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
自我小测
1．函数y＝3sin x－1的最大值和最小值分别是( )．
A．1，－1 B．2，－4 C．2，－2 D．4，－4
2．下列函数中，周期为的是( )．
A． B．y＝sin 2x C． D．y＝cos 4x
3．函数的图象的一条对称轴方程是( )．
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是( )．
A．y＝－2sin x为偶函数
B．y＝－3cos x＋1为偶函数
C．y＝sin x－1是奇函数
D．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数
5．比较cos 0，，cos 30°，cos 1，cos π的大小为__________．
6 (2)求下列函数的值域：
①y＝3－2sin x；②y＝cos2x＋4sin x－2.
7．已知函数的定义域是，值域是[－5,1]，求a，b的值．
8已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
参考答案
1答案：B
解析：∵－1≤sin x≤1，∴－3≤3sin x≤3，
∴－4≤3sin x－1≤2，故选B.
2答案：D
解析：y＝cos 4x的周期为，故选D.
3答案：A
解析：∵y＝sin x的图象的对称轴方程为 (k∈Z)，由
得 (k∈Z)．令k＝1，得，故选A.
4答案：B
解析：定义域都为R，可以通过比较f(－x)与f(x)的关系来求解．A为奇函数，B为偶函数，C由y＝sin x－1的图象关于点(0，－1)对称知，它既不是奇函数，也不是偶函数，D中的y＝|sin x|是偶函数，故选B.
5答案：
解析：∵，而y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，
∴义域．
6解：(1)由题意得2sin x－1>0，即.
解得 (k∈Z)．
∴函数的定义域为
.
(2)①∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2.
∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5.
∴函数的值域为[1,5]．
②y＝cos2x＋4sin x－2＝－sin2x＋4sin x－1
＝－(sin x－2)2＋3.
∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1时，ymin＝－6；
当sin x＝1时，ymax＝2.∴函数值域为[－6,2]．
7解：∵，∴，
∴.
∴a>0时，
解得a<0时，
解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
8解：由 (k∈Z)得 (k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)．
据题意， (k∈Z)．
从而有 解得.
故ω的取值范围是.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
更上一层楼
基础?巩固
1.函数y=cos(x+),x∈R是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
思路分析：根据函数奇偶性的定义进行判断.函数的定义域为x∈R，
由f(-x)=cos(-x+)≠f(x)，f(-x)=cos(-x+)≠-f(x)，
所以函数既不是奇函数又不是偶函数.
答案：C
2.下列叙述正确的个数是( )
①作正弦函数图象时，单位圆的半径长与x轴的单位长度可以不一致 ②y=sinx，x∈［0，2π］的图象关于点P(π，0)成中心对称图形 ③y=cosx，x∈［0，2π］的图象关于x=π成轴对称图形 ④正、余弦函数y=sinx、y=cosx的图象不超出y=-1与y=1所夹的区域
A.1 B.2 C.3 D.4
思路分析：①错；②③④正确.
答案：C
3.方程cosx=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
思路分析：在同一坐标系中作函数y=cosx与y=lgx的图象，如图，显然两图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i=1，2，3)是方程cosx=lgx的解.
答案：C
4.若0＜α＜β＜，a=sin(α+)，b=sin(β+)，则( )
A.a＜b B.a＞b C.ab＜1 D.ab＞2
思路分析：∵0＜α＜β＜，∴.
而正弦函数y=sinx，x∈［0，］是增函数，
∴sin(α+)＜sin(β+).
∴sin(α+)＜2sin(β+)，即a＜b.
答案：A
5.函数y=3cos()-1的最小正周期是___________.
思路分析：.
答案：10
综合?应用
6.当时，函数f(x)=2sin(x+)的最大值是____________，最小值是____________.
思路分析：∵-≤x≤，∴.令u=x+，则.
∵≤sinu≤1，∴-1≤2sinu≤2，即-1≤2sin(x+)≤2，即该函数的最大值与最小值分别是2、-1.
答案：2 -1
7.求函数的定义域.
解：要使函数有意义，只需sin(2x-)-1≥0，即sin(2x-)≥.
令u=2x-，如图，作y=sinu的图象.在区间［0，2π］上适合条件的u的范围是［，］，扩展到整个定义域上，得+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z.化简得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即该函数的定义域是［+kπ，+kπ］，k∈Z.
回顾?展望
8.求函数y=sin2x-8sinx+15的最值.
解：y=(sinx-4)2-1，∵x∈R，
∴-1≤sinx≤1.于是问题就变成了求闭区间［-1，1］上二次函数的最大值与最小值问题了.
显然，当sinx=-1时，ymax=(-1-4)2-1=24；
当sinx=1时，ymin=(1-4)2-1=8.
1.4.3 正切函数的性质与图象
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅰ，文6)函数f(x)=tan(x+)的单调区间为( )
A.(kπ-,kπ+),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ-,kπ+),k∈Z D.(kπ-,kπ+),k∈Z
解析：由kπ-＜x+＜kπ+,k∈Z，解得kπ-＜x＜kπ+,k∈Z.
答案：C
2.函数y=tan(πx+)的最小正周期是_______________.
解析：T==1.
答案：1
3.作出函数y=｜tanx｜的图象，并根据图象求其单调区间.
解：由于y=|tanx|
(k∈Z)，
所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ，kπ+)(k∈Z)；单调减区间为(kπ-，kπ］(k∈Z).
4.利用函数图象,写出x的范围:tanx≥-1.
解析：在(-,)内tanx≥-1=tan(-),∴-≤x＜.
由周期性可知当tanx≥-1时,
kπ-≤x＜kπ+,k∈Z.
答案：kπ-≤x＜kπ+,k∈Z.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是( )
图1-4-2
解析：函数y=tan(x-)的周期是2π，可排除B、D；对于答案C，图象过点(，0)，代入解析式不成立，可排除C.
答案：A
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(，0)，则φ可以是( )
A.- B. C.- D.
解析：将(，0)代入原函数可得tan(+φ)=0，再将A、B、C、D代入检验即可.
答案：A
3.若f(x)=tan(x+)，则( )
A.f(0)＞f(-1)＞f(1) B.f(0)＞f(1)＞f(-1)
C.f(1)＞f(0)＞f(-1) D.f(-1)＞f(0)＞f(1)
解析：在(-,)上，y=tanx为增函数.根据诱导公式把x+转化到(-,)上再比较大小.
f(1)=tan(1+)=tan(1-).又-＜1-＜-1＜，所以f(0)＞f(-1)＞f(1).
答案：A
4.函数y=的定义域是_________________.
解：要使函数y=有意义，则有
即x≠-+kπ且x≠+kπ(k∈Z).
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠-+kπ且x≠+kπ,k∈Z.
答案：{x|x∈R且x≠-+kπ且x≠+kπ,k∈Z}
5.函数y=的定义域为_______________，值域为_______________.
解：∵∴tanx≤.
∴-+kπ＜x≤+kπ(k∈Z),y≥0.
答案：{x|-+kπ＜x≤+kπ,k∈Z}y≥0
6.求函数y=tan(2x-)的单调区间.
解：由y=tanx,x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z)是增函数，
∴kπ-＜2x-＜kπ+，k∈Z，即-＜x＜+，k∈Z.
因此，函数的单调递增区间为(-,+)(k∈Z).
7.比较tan1,tan2,tan3的大小.
解：∵tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π),
又∵＜3＜π，∴-＜3-π＜0.
显然-＜2-π＜3-π＜1＜.
而y=tanx在(-,)内是增函数，
∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan1.
∴tan2＜tan3＜tan1.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=tan(-x)的定义域是( )
A.{x|x≠，x∈R}
B.{x|x≠-，x∈R}
C.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
D.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
解析：要使函数有意义，需满足-x≠+kπ(k∈Z)，
∴x≠-+kπ(k∈Z)，也可写成x≠+kπ(k∈Z).
答案：D
2.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A.π B. C. D.与a的值有关
解析：相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y=tanωx，ω＞0，得T=.
答案：C
3.函数y=2tan(3x-)的一个对称中心是( )
A.(，0) B.(，0) C.(-，0) D.(-，0)
解析：由y=tanx的对称中心是(，0)，
∴3x-=，x=+(k∈Z).
当k=-2时，x=-.
答案：C
4.(2005高考全国卷Ⅱ，4)已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数，则( )
A.0＜ω≤1 B.-1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤-1
解析：由≥π，∴|ω|≤1.若ω＞0,其图象与y=tanx在(-,)上有相同的增减性，∵y=tanωx是(-,)上的减函数,∴ω＜0.
答案：B
5.给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；
③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；
④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f()=0.
其中正确命题的序号是_____________________.
答案：④
6.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1)tan167°与tan173°；
(2)tan()与tan().
解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y=tanx在(90°，270°)上是增函数，
∴tan167°＜tan173°.
(2)∵tan()=tan(-)，tan()=tan()，
又∵-＜-＜＜-，函数y=tanx，x∈(-，-)是增函数，
∴tan(-)＜tan()，即tan()＜tan().
7.若α、β为锐角，且cotα＞tanβ，试比较(α+β)与的大小.
解：∵α、β∈(0，)，∴(-α)∈(0，).
由cotα＞tanβ，得tan(-α)＞tanβ.
∵y=tanx在x∈(0，)上是增函数，
∴-α＞β，即α+β＜.
8.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,)，若x1、x2∈(0,)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
解：f(x)=tanx,x∈(0,)的图象如图所示，则f(x1)=AA1，f(x2)=BB1，f()=CC1，C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1＞CC1=f()，即［f(x1)+f(x2)］＞f().
9.有两个函数f(x)=asin(ωx+)，g(x)=btan(ωx-)(其中ω＞0).已知它们的周期之和为，且f()=g()，f()=()+1，你能确定a、b、ω的值吗？
解：∵f(x)的周期为，g(x)的周期为，
由已知+=，得ω=2.
∴函数式为f(x)=asin(2x+)，g(x)=btan(2x-).由已知，得方程组
即解之，得
∴a=1，b=，ω=2.
快乐时光
相反的例子
孙子问当美学教授的爷爷：“爷爷，为什么您说一切假的都是丑的？”
“那当然啰，难道你还能举出相反的例子吗？”
“能，”孙子爬到美学教授的膝头上，得意地说：“您瞧您自己一装上假牙后又年轻又精神，拿掉假牙，您嘴巴又空又瘪，那才丑呢，这不是相反的例子吗？”
教授一时语塞.
1.4.3 正切函数的性质与图象
主动成长
夯基达标
1.下列命题中,正确的是( )
A.y=tanx是增函数 B.y=tanx在第一象限是增函数
C.y=tanx在区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数 D.y=tanx在某一区间内是减函数
解析:A.例如x1=0,x2=,x1＜x2,
但tan0=0,tan=-1,tanx1＞tanx2.
故A不对.
B.例如x1=,x2=2π+,x1＜x2,但tanx1=tanx2.
C.由正切函数的性质知是正确的.
D.不正确.
答案:C
2.正切函数y=tan(2x-)的定义域是( )
A.{x|x∈R且x≠-,k∈Z} B.{x|x∈R且x≠+,k∈Z}
C.{x|x∈R且x≠+,k∈Z} D.{x|x∈R且x≠+,k∈Z}
解析:2x-≠kπ+,
∴2x≠kπ+.
∴x≠(k∈Z).
答案:B
3.函数y=2tan(3x+)图象的一个对称中心是…( )
A.(,0) B.(,0) C.(,0) D.(π,0)
解析:令3x+=kπ,∴3x=kπ-.
∴x=.
令k=2,x=.
∴对称中心为(,0).
答案:B
4.下列各图分别是y=|tanx|,y=tanx,y=tan(-x),y=tan|x|在x∈(-,)内的大致图象,那么,由左至右对应的函数关系式应是( )
图1-4-15
A.y=|tanx|,y=tanx,y=tan(-x),y=tan|x| B.y=|tanx|,y=tan(-x),y=tan|x|,y=tanx
C.y=tan(-x),y=tanx,y=tan|x|,y=|tanx| D.y=|tanx|,y=tanx,y=tan|x|,y=tan(-x)
解析:y=|tanx|≥0,所以y=|tanx|的图象在x轴上方.
故第(1)个是y=|tanx|的图象.
y=tanx的图象是第(2)个.
y=tan(-x)的图象与y=tanx的图象关于y轴对称,
所以y=tan(-x)的图象是第(4)个.
y=tan|x|是把y=tanx的图象x＞0的部分保留,x＜0的部分删去,然后把x＞0的部分沿y轴对折.
答案:D
5.下列各式正确的是( )
A.tan()＜tan() B.tan()＞tan()
C.tan()=tan() D.大小关系不确定
解析:tan()=tan(-3π-)=tan(-),
tan()=tan(-3π-)=tan().
∵-＜＜-＜0,
∴tan()＜tan(-).
∴tan()＜tan().
答案:B
6.若tanx≤0,则( )
A.2kπ-＜x＜2kπ,k∈Z B.2kπ+≤x＜(2k+1)π,k∈Z
C.kπ-＜x≤kπ,k∈Z D.kπ-≤x≤kπ,k∈Z
解析:根据图象得kπ-＜x≤kπ,k∈Z.
答案:C
7.函数y=|tanx|的图象关于_____________对称. ( )
A.x轴 B.y轴 C.原点 D.以上都不对
解析:∵y=|tanx|为偶函数,
∴图象关于y轴对称.
答案:B
8.在区间(-π,π)上,y=sinx与y=tanx的图象的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:在同一坐标系内准确地作出两函数的图象便得.
答案:A
9.若函数y=tan(3ax-)的最小正周期是,则a=__________.
解析:=,∴|3a|=2.
∴a=±.
答案:±
10.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系为___________.
解析:结合图象,根据单调性可得.
答案:a＞c＞b
11.给出下列命题:
①函数y=sin|x|不是周期函数;②函数y=tanx在定义域内是增函数;③函数y=|cos2x+|的周期是;④y=sin(+x)是偶函数.其中正确命题的序号是___________,
解析:对于②,∵0＜π,而tan0=tanπ,
∴y=tanx在定义域内不是增函数.
对于③,y=|cos2(x+)+|=|-cos2x|≠|cos2x+|,
∴不是y=|cos2x+|的周期,对于①,从其图象可说明其不是周期函数.
对于④,f(x)=sin(+x)=sin(2π++x)=cosx,显然是偶函数.
∴①④正确.
答案:①④
走近高考
12.(2006全国高考,6)函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为( )
A.(kπ-,kπ+),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ-,kπ+),k∈Z D.(kπ-,kπ+),k∈Z
解析:kπ-＜x+＜kπ+,kπ-＜x＜kπ+ (k∈Z).
答案:C
13.(2005全国高考,4)已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数,则( )
A.0＜ω≤1 B.-1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤-1
解析:ω只是变换函数的周期并将函数图象进行伸缩.
若ω使函数在(-,)上递减,则ω必小于0.而当|ω|＞1时,图象将缩小其周期,故-1≤ω＜0.
答案:B
1.4.3 正切函数的性质与图象
自我小测
1．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
2．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点之间的距离是( )．
A. B. C．π D．与a的值有关
3．函数的图象的一个对称中心是( )．
A. B. C. D．(0,0)
4．的定义域是( )．
A.
B.
C.
D.
5．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．
6．若函数的最小正周期为，则a＝__________.
7．求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
8．函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点坐标为，，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．
9已知α、β都是锐角，且，，你能根据正切函数的增减性直接判断α＋β是否为锐角吗？
参考答案
1答案：D
解析：画出函数y＝tan x的图象，并作出直线y＝1，并观察其在直线上方的部分可知：x的取值范围是，故选D.
2答案：A
解析：直线y＝a与函数y＝tan x的图象的两相邻交点的距离实际上就是最小正周期的值．
3答案：C
解析：∵y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z，由得 (k∈Z)，∴函数的图象的对称中心为，k∈Z.
令k＝0，得，故选C.
4答案：B
解析：y＝tan x的定义域为，由得 (k∈Z)．
5答案：[－tan 1，tan 1]
解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．，
∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.
6答案：
解析：由得2a＝±5，∴.
7解：由，k∈Z，得，k∈Z.
∴所求定义域为，
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间 (k∈Z)上是增函数．
8解：由，k∈Z，得，k∈Z.
∴所求定义域为，
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间 (k∈Z)上是增函数．
9解：能根据正切函数的增减性直接判断α＋β不是锐角．
∵，又α为锐角，
∴.同理，，又β为锐角，
∴，故，
∴α＋β不可能为锐角．
1.4.3 正切函数的性质与图象
更上一层楼
基础?巩固
1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A.π B. C. D.与a的值有关
思路分析：相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y=tanωx，ω＞0，得.
答案：C
2.下列函数中，同时满足：①在(0，)上是增函数;②为奇函数;③以π为最小正周期的函数是( )
A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=|sinx|
思路分析：y=cosx三个条件均不符合；y=的周期是2π；y=|sinx|是把y=sinx的图象在x轴的下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的，它是偶函数，所以选A.
答案：A
3.函数y=3tan()的一个对称中心是( )
A.(，0) B.()
C.(，0) D.(0，0)
思路分析：由于函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心是图象同x轴的交点，所以B是错误的；把A、C、D代入函数解析式，只有C符合题意.
答案：C
4.函数y=tan()在一个周期内的图象是图1-4-17中的( )
图1-4-17
思路分析：函数y=tan(x-)的周期是2π，可排除B、D；对于答案C，图象过(，0)点，代入解析式不成立，可排除C.
答案：A
5.已知切函数(A＞0)的最小正周期为3π，则A=_________.
思路分析：由，A＞0，得=Aπ=3π，即A=3.
答案：3
综合?应用
6.函数y=tan(cosx)的值域是_________.
思路分析：因为x∈R，cosx∈［-1，1］，切函数y=tanx在(，)上是增函数，所以tan(cosx)∈［-tan1，tan1］.
答案：［-tan1，tan1］
7.解简单的三角不等式：tan(2x-)≤1.
解：令z=2x-，在(，)上满足tanz≤1的z的值是-＜z≤，在整个定义域上有，解不等式，得 ，k∈Z.
所以不等式的解集是()，k∈Z.
8.求函数y=tan()的单调减区间.
解：原式可化为y=-tan(x-)，令u=，
由于u在(-+kπ，+kπ)，k∈Z上tanu是增函数，
所以y=-tan(x-)在，k∈Z，
即在x∈(-+2kπ，+2kπ)，k∈Z上是减函数.
故原函数的单调减区间是(-+2kπ，+2kπ)，k∈Z.
9.求函数的定义域.
思路分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成.求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论.
解：欲求函数定义域，则由
即即
解得
取k=-1、0、1，可分别得到x∈(-6，］或x∈［，］或x∈［，6)，
即所求的定义域为(-6，］∪［，］∪［，6).
回顾?展望
10.(2006黄冈模拟) 有两个函数f(x)=asin(ωx+)，g(x)=btan(ωx-)(其中ω＞0)，已知它们的周期之和为，且f()=g()，f()=g()+1，你能确定a、b、ω的值吗？
思路分析：首先根据两个函数周期之和求得ω的值，再将关于f,g的方程具体化，得到a、b的方程，解方程组即得结果.
解：∵f(x)的周期为，g(x)的周期为，由已知得ω=2.
∴函数式为f(x)=asin(2x+)，g(x)=btan(2x-).
由已知，得方程组
即解得∴a=1，b=，ω=2.
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）
课后集训
基础达标
1.函数f(x)=sin(2x+)的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
解析：∵f(x)=sin(2x++π)=-sin(+2x)=-cos2x由于y=-cos2x是偶函数.
∴f(x)=sin(2x+)为偶函数.故选B.
答案：B
2.下列命题中正确的个数是（ ）
①y=sinx的递增区间是［2kπ,2kπ+］(k∈Z) ②y=sinx在第一象限是增函数 ③y=sinx在［-，］上是增函数
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：①y=sinx的递增区间是［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
②函数的单调性是相对于某一区间来说，与所在象限无关.
③正确，故选A.
答案：A
3.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为( )
A.y=3,x= B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z) D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
解析：要求y=2-sinx的最大值,sinx取最小值.
答案：C
4.下列不等式中成立的是（ ）
A.sin()＜sin() B.sin()＜sin()
C.sin3＞sin2 D.sinπ＞sin(π)
解析：∵-＜＜＜0，且y=sinx在（-，0）上是增函数，
∴sin()＜sin().
答案：A
5.下列函数，在［，π］上是增函数的是（ ）
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x
解析：①将x=与x=π代入可得；②结合图象求解；③结合正、余弦函数的单调性求解.
答案：D
6.使函数y=sin(2x+φ)为奇函数的φ值可以是（ ）
A. B. C.π D.
解析：代入验证法，当φ=π时，y=sin(2x+π)=-sin2x为奇函数.
答案：C
综合运用
7.函数y=的定义域是（ ）
A.［-3，0） B.（0，3］
C.［-3，3］ D.（2kπ,2kπ+π）(k∈Z)
解析：函数的定义域由下列不等式组解得：
0＜x≤3.
答案：B
8.函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈［,］的最小值是（ ）
A. B. C.0 D.
解析：y=3(cos2x-cosx+)+1-=3(cosx-)2-.
∵x∈［,］,
∴cosx∈［-,］,当cosx=时，y取到最小值且y最小=3（）2-=.
答案：D
9.设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是______________.
答案：，，…，π,k∈Z中的一个
拓展探究
10.已知函数f(x)=sin2x+acosx+在x∈［0,］上的最大值为1，求实数a的值.
解析：本题通过换元转化为二次函数问题.但对称轴变化，区间给定，故需要对a进行分类讨论.
解：设cosx=t,则f(x)=1-cos2x+acosx+a-=-(t-)2+.
∴0≤x≤,
∴0≤cosx≤1，
即t∈［0,1］.
(1)当0≤a≤2时，则t=时，
f(x)max=,令=1,得a=.(a=-4舍去).
（2）当a＜0时，当t=0时，f(x)max=,令=1得a=＞0(舍去).
(3)当a＞2时，则t=1时，f(x)max=a+=1,
所以a=＜2(舍去).
综上可知a=.
备选习题
11.函数y=sinx+|sinx|的最大值是__________，最小值是__________.
解析：y=或者结合函数的图象求解.
答案：2 0
12.下列命题:
①点（kπ,0）是正弦曲线的对称中心（k∈Z）；
②点（0，0）是余弦曲线y=cosx的一个对称中心；
③把余弦函数y=cosx的图象向左平移个单位，即得y=sinx的图象;
④在余弦曲线y=cosx中，最高点与它相邻的最低点的水平距离是2π；
⑤在正弦曲线y=sinx中，相邻两个最高点的水平距离是2π；
其中正确命题的序号是__________________.
解析：②错,是因为y=cosx的对称中心是（kπ+,0）k∈Z;
③错，是由于得到的是y=-sinx;
④错，是由于所得水平距离为π;
①⑤正确可由正弦函数的性质得到.
答案：①⑤
13.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);
(2)f(x)=x·cosx2.
解：(1)先求定义域：
-1＜sinx＜1,
∴x≠kπ+,k∈Z,定义域关于原点对称.
∵f(-x)=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-［lg(1-sinx)-lg(1+sinx)］=-f(x).
∴原函数为奇函数.
(2)f(-x)=-x·cos(-x2)=-x·cosx2=-f(x),
∴原函数是奇函数.
14.求下列函数的单调区间.
（1）y=sin(3x-);(2)y=cos(-2x+).
解：(1)令3x-=u,y=sinu的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］,(k∈Z).
即2kπ-≤3x-≤2kπ+.
∴原函数单调增区间为［］(k∈Z).
又y=sinu的单调减区间为［2kπ+,2kπ+］,(k∈Z),
即2kπ+≤3x-≤2kπ+,
∴原函数的单调减区间为
［］(k∈Z).
(2)∵y=cos(-2x+)=cos(2x-),令2x-=u,y=cosu的单调增区间为［2kπ-π,2kπ］,(k∈Z)即2kπ-π≤2x-≤2kπ,
解得：kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴原函数的增区间为：［kπ-,kπ+］,k∈Z.
∵y=cosu的单调减区间为［2kπ,2kπ+π］,k∈Z.
即：2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得:kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
∴原函数的减区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.
15.求下列函数的定义域:
（1）y=;
(2)y=+lg(2sinx-1)的定义域.
解：（1）要使y=有意义，须有sin(cosx)≥0，又因-1≤cosx≤1,必有0≤cosx≤1，由下图甲可知：2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
图甲
所以原函数的定义域为：
{x|-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(2)要使函数有意义，只要
即由图乙可得：
图乙
cosx≤的解集为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.sin＞的解集为{x|+2kπ＜x＜+2kπ,k∈Z}.它们的交集{x|+2kπ≤x＜+2kπ,k∈Z}即为函数的定义域.
1.4.4 正切函数的图象与性质
课后集训
基础达标
1.下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是（0，）上的增函数是（ ）
A.y=tanx B.y=tanωx C.y=tan D.y=｜sinx｜
答案：A
2.直线y=a(a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω为常数，且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是（ ）
A.π B. C.πω D.与a值有关
解析：利用图象，直线y=a与正切曲线y=tanωx相交，知两相邻交点间的距离就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此可得.
答案：C
3.函数y=tan（-x）的定义域是（ ）
A.{x｜x≠,x∈R} B.{x｜x≠,x∈R}
C.{x｜x≠kπ+,x∈R,k∈Z} D.{x｜x≠kπ+34,x∈R,k∈Z}
解析：-x≠kπ+,k∈Z，
∴x≠-kπ-，即x≠-（k+1）π+,k∈Z.
∵k∈Z，∴-(k+1) ∈Z.
答案：D
4.(2004全国卷Ⅱ)已知y=tan(2x+φ)的图象过点（，0）则φ可以是（ ）
A.- B. C.- D.
解析：∵y=tan(2x+φ)过（，0），
∴tan（+φ）=0.
∴+φ=kπ，（k∈Z）.
∴φ=kπ-.
k=0时，φ=-.
答案：A
5.函数y=3tan（+）的一个对称中心是（ ）
A.（，0） B.（，）
C.（-，0） D.（0，0）
解析1：∵y=tanx的对称中心坐标是（，0），故+=,x=kπ-.当k=0时，x=-,故一个对称中心是（-，0）.
解析2：由于y=Atan（ωx+φ）的对称中心是图象与x轴的交点，所以B答案是错误的，把A、C、D代入解析式，只有C符合题意.
答案：C
6.已知正切函数y=tan(A＞0)的最小正周期为3π，则A=_______________.
解析：由于y=tan（x+）的最小正周期为T==Aπ.∴Aπ=3π，故A=3.
答案：3
综合运用
7.若f(x)=tan(x+),则（ ）
A.f(-1)＞f(0)＞f(1) B.f(0)＞f(1)＞f(-1)
C.f(1)＞f(0)＞f(-1) D.f(0)＞f(-1)＞f(1)
解析：f(x)=tan(x+)在（，）上是增函数.
又＜-1＜0＜，故f(-1)＜f(0).
由于f(x)的周期为π，故f(1)=f(1-π).
因为＜1-π＜-1＜.
故f(1-π)＜f(-1).故f(1)＜f(-1)＜f(0).
答案：D
8.y=lg(tanx)的增区间是（ ）
A.(kπ-,kπ+)(k∈Z) B.(kπ,kπ+)(k∈Z)
C.(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) D.(kπ,kπ+π)(k∈Z)
解析：函数y=lg(tanx)为复合函数，要求其增区间则要满足tanx＞0且y=tanx是增函数的区间，∴kπ＜x＜kπ+,k∈Z.
答案：B
9.函数y=的定义域是（ ）
A.{x｜0＜x≤} B.{x｜2kπ＜x≤2kπ+,k∈Z}
C.{x｜kπ＜x≤kπ+,k∈Z} D.{x｜kπ-＜x≤kπ+,k∈Z}
解析：由≥0,得0＜tanx≤1,根据y=tanx在x∈(-,)上的图象可知0＜x≤.
结合周期性，可知原函数的定义域为{x｜kπ＜x≤kπ+,k∈Z}.
答案：C
拓展探究
10.求函数y=tan2x-2tanx+3的值域，其中x∈［,］.
思路分析：通过换元转化为二次函数的最值问题解决.
解：设t=tanx.
∵x∈［,］,∴t∈［,tan］.
则y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
∵t=1∈［,tan］,∴ymin=2.
当t=时，y取最大值，且ymax=（-1）2+2=.∴函数的值域为［2，］.
备选习题
11.函数y=tan（2x+）的图象被平行直线____________隔开，与x轴交点的横坐标是____________，与y轴交点的纵坐标是____________，周期是____________，定义域是____________，值域是____________，它的奇偶性是____________.
答案：x=,k∈Z π,k∈Z 1 {x｜x≠π+,k∈Z} R 非奇非偶函数
12.若tan（2x-）≤1,则x的取值范围是_____________.
解析：令Z=2x-满足tanZ≤1的Z的值是：-+kπ＜Z≤+kπ,k∈Z.
即 -+kπ＜2x-≤+kπ,k∈Z.
解得-+kπ＜x≤+kπ,k∈Z.
答案：(-+kπ,+kπ］,k∈Z
13.已知正切函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,｜φ｜＜)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（，0），且过（0，-3），求它的表达式.
解：T=-=，∴ω=.
∴∴
∴y=3tan(-).
14.求函数y=3tan(-）的周期及单调区间.
解：T==4π，y=3tan(-）=-3tan(-），
由kπ-＜-＜kπ+,(k∈Z),
得4kπ-＜x＜4kπ+,(k∈Z).
∴原函数的周期为4π，单调递减区间为（4kπ-，4kπ+）（k∈Z）.
15.函数y=tan (cosx)的值域是_________________.
解析：∵x∈R，∴cosx∈［-1,1］,正切函数y=tanx在（-,）上是增函数，所以tan(cosx)∈［-tan1,tan1］.
答案：［-tan1,tan1］
16.若tanx＞tanπ5且x在第三象限，求x的取值范围.
解：tanx＞tan=tan（π+）=tan,
∴＜x＜,k∈Z.
考虑到角的任意性,
∴2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z.
1.4 三角函数的图象与性质
典题精讲
例1（安徽高考卷，理8）设a＞0，对于函数f(x)=(0＜x＜π)，下列结论正确的是（ ）
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
思路解析：令t=sinx,t∈(0,1］，则函数f(x)= (0＜x＜π)的值域为函数y=1+,t∈(0,1］的值域，又a＞0，所以y=1+,t∈(0,1］是一个减函数，故选B.
答案：B
绿色通道：本题的解法对形如y=或y=的函数的值域（或最大值、最小值）问题具有一般性.
变式训练求函数y=的值域.
思路分析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法，利用sinx的值域确定函数的值域.
解：由y=,得sinx=.∵|sinx|≤1,
∴||≤1.
解得-2≤y≤.∴ymax=，此时sinx=1时；
ymin=-2，此时sinx=-1时.∴函数的值域为［-2, ］.
例2求下列函数的周期：
（1）y=cos2x；
（2）y=-2cos(-x-1)；
（3）y=|sin2x|；
（4）y=cos3x+sin2x.
思路分析：（1）复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；（2）先用诱导公式将ω转为正值，再用T=；（3）可利用绝对值的意义；（4）可用最小公倍数法.
解：（1）把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，即u增加到u+2π，且必须增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现，而u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现，因此y=cosx的周期为π.
（2）y=-2cos(-x-1)=-2cos(x+1),T==4π.
（3）通过画图知y=|sinx|的周期是=π，故y=|sin2x|的周期是.
（4）y1=cos3x的周期T1=；y2=sin2x的周期T2==π，因为T1=,T2=且4与6的最小公倍数是12，所以T==2π.
绿色通道：周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握.
变式训练（2006湖南高考卷，文8）设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是（ ）
A.2π B.π C. D.
思路解析：通过图象分析，可以知道对称中心与最近对称轴的距离为,∵P到对称轴的最小距离为,∴最小正周期T=4×=π.
答案：B
例3（江苏高考卷，1）已知α∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.±1
思路解析：解法1：由题意可知f(x)=-f(-x),得a=0.
解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,解得a=0.
解法3：由f(x)是奇函数图象法函数画出f(x)=sinx-|a|,x∈R的图象.
答案：A
绿色通道：对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.
若函数f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)y=f(x)的图象关于原点对称.
若函数f(x)为偶函数f(-x)=f(x) y=f(x)的图象关于y轴对称.
变式训练（2006北京高考卷，文2）函数y=1+cosx的图象（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=对称
思路解析：函数y=1+cosx是偶函数，因此图象关于y轴对称.
答案：B
例4（全国高考巻Ⅰ，理17）设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
（1）求φ；
（2）求函数y=f(x)的单调增区间；
（3）画出函数y=f(x)在区间［0，π］上的图象.
思路分析：求φ值可利用对称轴来解决；求函数的单调区间要注意“整体性”原则；画函数图象时用“五点法”即可.
解：（1）∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴，
∴sin(2×+φ)=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z.∵-π＜φ＜0,∴当k=-1时，φ=-.
（2）由（1）知φ=-，因此y=sin(2x-)单调递增的区间为2kπ≤2x-≤2kπ+ (k∈Z).
则函数y=sin(2x-)的单调增区间为［kπ+,kπ+］（k∈Z）.
（3）由y=sin(2x-)知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象如图1-4-2所示：
图1-4-2
绿色通道：高考也侧重基础知识、基本技能的考查，而三角函数是高考考查的重点内容之一，三角函数的图象与性质也经常在高考题中出现，熟练掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键.
变式训练（2006福建高考卷，理9）已知函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间[-,]上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）
A. B. C.2 D.3
思路解析：函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间［-,］上的最小值是-2，则ω的取值范围是［-ω,ω］，且-ω≤或ω≥，∴ω的最小值等于.
答案：B
问题探究
问题很多三角函数都是周期函数，你有几种方法来确定三角函数的周期呢？
导思：周期的求法可以应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，当然最小公倍数法也要灵活掌握.
探究：
（1）定义法：如y=2sin(+2π)=2sin［(x+4π)-］=2sin(-),
∴y=2sin(-)的周期是4π.
（2）公式法：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=，函数y=Atan(ωx+φ)（其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=π[]ω.
如y=2sin(-)的周期T==4π,
y=-2tan(3x+)的周期T=.
（3）图象法：如y=|sin2x|周期为，y=|tan2x|的周期为.
（4）最小公倍数法：如函数y=sin+cos，因为y=sin的周期为4π，y=cos的周期为6π，故y=sin+cos的周期为12π.
1.4 三角函数的图象与性质 1
自我小测
1．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
2．点M(π，－m)在函数y＝cos x－1的图象上，则m的值为( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2的交点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．当x∈[0,2π]时，满足sin≥－的x的取值范围是( )
A. B. C. ∪ D.
5．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A. B．π C. D.
6．用“五点法”画函数y＝－2＋sin x，x∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是__________．
7．函数y＝的定义域为__________．
8．方程lg x＝sin x的实根的个数为__________．
9．用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图象．
10．作函数y＝的图象．
参考答案
1. 解析：由正弦函数图象知A，B，C正确．
答案：D
2. 解析：∵cos π＝－1，∴当x＝π时，由y＝cos x－1得－m＝cos π－1＝－2，∴m＝2.
答案：D
3．解析：法一：当2＋sin x＝2时，sin x＝0，
∵x∈[0,2π]，∴x＝0或π或2π，两图象交点个数为3.
法二：在同一坐标系中，作出y＝2＋sin x，x∈[0,2π]和y＝2的图象(图略)，观察得有3个交点．
答案：A
4. 解析：由sin≥－得cos x≥－.
画出y＝cos x，x∈[0,2π]，y＝－的图象．如图所示，
又∵cos＝cos＝－，∴当x∈[0,2π]时，由cos x≥－，
可得x∈∪.
答案：C
5. 解析：y＝cos x的图象如图1所示，y＝－sin x的图象如图2所示，观察图象可得最少向右平移个单位，两者图象重合．
图1
图2
答案：C
6. 答案：(0，－2)，，(π，－2)，，(2π，－2)
7. 解析：当函数y＝有意义时，cos x≤.
当x∈[0,2π]时，由cos x≤得≤x≤.
∴函数的定义域为
.
答案：
8. 解析：如图所示，函数y＝lg x与y＝sin x的图象有三个交点．
答案：3
9. 解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑曲线连起来，如图所示．
10. 解：∵＝＝|sin x|，
∴将函数化为y＝|sin x|.
将y＝sin x的图象位于x轴下方的部分对称到x轴上方，再结合y＝sin x图象的其他部分一起构成了y＝|sin x|的图象，即函数y＝的图象，如图所示．
1.4 三角函数的图象与性质 2
自我小测
1．已知函数f(x)＝－2sin的最小正周期为( )
A．6 B．2π C．π D．2
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝sin D．y＝cos 4x
3．下列说法正确的是( )
A．当f(x＋4)＝f(x)时，函数f(x)的周期为2
B．因为sin(π－x)＝sin x，所以y＝sin x的周期为π
C．因为x＝时，sin≠sin x，所以不是y＝sin x的周期
D．因为x＝时，sin＝sin x，所以是y＝sin x的周期
4．已知函数f(x)＝sin，g(x)＝sin的最小正周期分别为T1，T2，则sin(T1＋T2)＝( )
A．－ B．－ C. D.
5．设f(x)的定义域为R，最小正周期为，若f(x)＝则f的值为( )
A．1 B. C．0 D．－
6．若f(x)(x∈R)为奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝__________.
7．已知函数y＝sin的最小正周期为，则a＝__________.
8．已知f(x)＝cosx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝__________.
9．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，求f的值．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出这个函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
参考答案
1. 解析：T＝＝2.
答案：D
2. 解析：对y＝cos 4x来说，周期T＝＝＝.
答案：D
3. 解析：对于A由周期定义得f(x)的周期为4，故A不正确．
对于B，D易知y＝sin x的周期为2π，故B，D错误．
答案：C
4. 解析：由已知T1＝＝，T2＝，
∴sin(T1＋T2)＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案：B
5. 解析：∵T＝，∴f＝f
＝f＝sin＝sin＝.
答案：B
6. 解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为T＝2.
∴f(4)＝f(0)．
又∵f(x)(x∈R)为奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝0.
答案：0
7. 解析：T＝＝，∴|a|＝4.∴a＝±4.
答案：±4
8. 解析：因为f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos π＝－1，
f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos 2π＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
又f(x)的周期为T＝＝6，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－1.
答案：－1
9. 解：∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f＝f
＝f＝f.
而f＝f＝f＝f＝1，
∴f＝1.
10. 解：(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π.
1.4 三角函数的图象与性质 3
自我小测
1．下列四个函数的图象中关于y轴对称的是( )
A．y＝sin x B．y＝－cos x C．y＝1－sin x D．y＝cos
2．下列x的取值中，能使函数f(x)＝2sin取得最大值的是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝
3．函数f(x)＝3sin在下列区间内递减的是( )
A. B．[－π，0] C. D.
4．函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝sin，x∈R，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于y轴对称 D．函数f(x)是奇函数
6．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)为偶函数，则φ＝__________.
7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为__________．
8．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，则当ω取最大值时，函数f(x)＝sin ωx的周期是__________．
9．已知函数f(x)＝sin (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)在上的值域，并求出取最小值时的x值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
10．已知函数f(x)＝2asin＋a＋b的定义域是，值域是[－5,1]，求a，b的值．
参考答案
1. 解析：设f(x)＝－cos x，
则f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
答案：B
2. 解析：当f(x)取最大值时，πx－＝2kπ＋，k∈Z，
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
答案：C
3. 解析：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的递减区间为，k∈Z.
从而可判断?，
∴在x∈时，f(x)单调递减．
答案：D
4. 解析：∵T＝＝4π，∴ω＝.∴f(x)＝2sin.
由x－＝2kπ－ (k∈Z)，
得x＝4kπ－ (k∈Z)．
答案：A
5. 解析：f(x)＝sin＝－sin＝－cos x，
∴周期T＝2π，∴选项A正确；
f(x)在上是增函数，∴选项B正确；
定义域是R，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴选项C正确，选项D错误．
答案：D
6．解析：若f(x)为偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
答案：
7. 解析：sin 470°＝sin(360°＋110°)＝sin 110°＝sin(90°＋20°)＝cos 20°，
cos 760°＝cos(2×360°＋40°)＝cos 40°，
又∵y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos 150°∴cos 150°答案：cos 150°8. 解析：令2kπ－≤ωx≤2kπ＋可得－≤x≤＋，
∴k＝0时，f(x)在上递增．
又∵f(x)在上递增，
∴解得0<ω≤.
∴ω的最大值为.∴周期T＝＝.
答案：
9. 解：由已知得＝π，ω＝1，
∴f(x)＝sin.
(1)当x∈时，≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴f(x)值域为.
当2x＋＝时，f(x)取最小值－，
∴x＝时，f(x)取最小值．
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
∴f(x)的递增区间为 (k∈Z)．
10. 解：∵0≤x≤，
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
1.4 三角函数的图象与性质
自我小测
1．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
2．下列说法正确的是( )
A．y＝tan x是增函数
B．y＝tan x在第一象限是增函数
C．y＝tan x在每个区间(k∈Z)内是增函数
D．y＝tan x在某一区间上是减函数
3．函数f(x)＝tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为( )
A. B. C．π D．1
4．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
5．函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)
6．比较大小：tan__________tan.
7．若函数y＝tan (a≠0)的最小正周期为，则a＝__________.
8．方程x－tan x＝0在x∈∪内的根的个数为__________．
9．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
10．函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为，，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．
参考答案
1．解析：函数有意义时x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠kπ＋，k∈Z.
∴所求定义域为.
答案：D
2. 解析：由y＝tan x是周期函数，知A，B不正确．
又y＝tan x在 (k∈Z)上是增函数，没有减区间，∴C正确，D错误．
答案：C
3. 解析：由已知得f(x)的周期为2，∴＝2.∴a＝.
答案：A
4. 解析：f(x)的定义域为，
∴f(－x)＝＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
答案：A
5. 解析：∵－≤x≤且x≠0，
∴≤－x≤且－x≠.
∴由y＝tan x的图象知y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：B
6. 解析：tan＝－tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan，
又∵tan>tan，
∴tan答案：<
7. 解析：T＝＝，∴|3a|＝2.∴a＝±.
答案：±
8. 解析：分别画出y＝x与y＝tan x在x∈∪内的图象，如图．
易知y＝x与y＝tan x在相应区间内有2个交点，原方程有2个根．
答案：2
9. 解：由4x－≠kπ＋，得x≠＋，
∴所求定义域为.值域为R，周期T＝.
又f没有意义，
f＝tan＝0，
∴f(x)是非奇非偶函数．
令－＋kπ<4x－<＋kπ，k∈Z，
解得－∴f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)，不存在单调递减区间．
10. 解：∵T＝－＝，∴ω＝＝.
将点代入y＝Atan中，
得0＝Atan，得φ＝－.
将(0，－3)代入y＝Atan，得A＝3.
∴y＝3tan.
1.4 三角函数的图象与性质
自主广场
我夯基 我达标
1．函数y=的定义域是（ ）
A.［0，1］ B.x∈R C.［kπ,kπ+］(k∈Z) D.［2kπ,2kπ+］(k∈Z)
思路解析：由函数式可知sin(cosx)≥0，
∴0≤cosx≤1，∴x∈［2kπ,2kπ+］(k∈Z).
答案：D
2．（2004全国高考卷Ⅲ，文10）函数y=2sin(-x)-cos(+x)(x∈R)的最小值为（ ）
A.-3 B.-2 C.-1 D.
思路解析：y=2sin(-x)-cos(+x)
=2sin(-x)-cos［-(-x)］
=2sin(-x)-sin(-x)=sin(-x).
∵x∈R,∴ymin=-1.
答案：C
3．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（ ）
A.(,)∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪(,)
思路解析：此题可以使用图象法、特殊值法或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆图象解答时，以直线y=x为界，角α的终边落在该直线上方，则有sinα＞cosα；落在该直线下方，则有sinα＜cosα；落在y=x上，则有sinα=cosα.
答案：C
4．下列函数中，周期为π，图象关于直线x=对称的函数是（ ）
A.y=2sin(+) B.y=2sin(-)
C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)
思路解析：sin(ωx+φ)周期，对称轴方程ωx+φ=kπ+)(k∈Z)，由周期为π，得ω=±2,排除A、B；将x=代入2x+得，将x=代入2x-得.
答案：D
5．已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图1-4-3所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集为（ ）
图1-4-3
A.(-3,)∪(0,1)∪(,3) B.(,-1)∪(0,1)∪(,3)
C.(-3,)∪(0,1)∪(1,3) D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)
思路解析：奇函数的图象关于原点对称，由此将图象补充完整，再在同一坐标系中画出y=cosx的图象，如图所示，当f(x)与cosx的值互为相反数，即在同一个取值范围内，图象一个在x轴上方，一个在x轴下方时，f(x)cosx＜0,观察图象可知，满足条件的x取值集合为(,-1)∪(,3)∪(0,1).
答案：B
6．（2005上海高考卷，理10）函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________________.
思路解析：∵f(x)=
∴y=f(x)图象如图所示，从图象上可以看出：
若y=f(x)与y=k图象有且仅有两个交点，
则k的取值范围是1＜k＜3.
答案：1＜k＜3
7.欲使函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)在闭区间［0，1］上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_______________.
思路解析：要使y=Asinωx在［0,1］上至少出现50个最小值，则至少需含493[]4个周期，
即
解得ω≥.
答案：
8.方程sinx=的根的个数为_____________.
思路解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=的图象与函数y=sinx的图象交点个数，借助图形直观求解.
如图所示，当x≥4π时，≥＞1≥sinx，当0＜x＜4π时，sin=1＞=.从而x＞0时，有3个交点，由对称性知x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.
答案：7
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9.求函数f(x)=|tanx|这里是一个图片的定义域与值域，并作其图象.
思路分析：注意对给出的函数式进行化简，变形过程中一定要保证等价性.
解：f(x)=|tanx|化为f(x)=
可知，函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为［0，+∞)，其图象如图所示：
10.已知函数f(x)=+1.
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）判断函数的最小正周期，并证明你的结论（用反证法）.
思路分析：（1）利用函数奇偶性的定义；
（2）周期函数周期不止一个，一般存在一个最小正周期，证明T是最小正周期时，往往用反证法比较容易.
解：f(x)=|sinx|+|cosx|+1的定义域为R.
（1）∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
（2）∵f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|+1=f(x),∴是一个周期.
假设f(x)的最小正周期为T，且0＜T＜，
则f(x+T)=f(x)，即|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对x∈R恒成立.x=0，得|sinT|+|cosT|=1.∵0＜T＜，
∵sinT+cosT=1 (sinT+cosT)2=11+2sinTcosT=1,
∴sinTcosT=0sinT=0或cosT=0与T∈(0,)矛盾.
∴f(x)的最小正周期为T=.
11.已知函数f(x)=tanx,x∈(0, )，若x1、x2∈(0, )且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
思路分析：数形结合法.
解：f(x)=tanx,x∈(0,)的图象如右图所示，则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1，f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以［f(x1)+f(x2)］= (AA1+BB1)=DC1＞CC1=f()，即［f(x1)+f(x2)］＞f().
