1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
互动课堂
疏导引导
1.正弦函数的图象
(1)用单位圆中的正弦线,作出函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图象,步骤如下:
①在x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
②从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份;
③过圆上各点作x轴的垂线,可得对应于0, ,,…,2π的正弦线;
④相应地,再把x轴上从原点O开始,把0~2π这段分成12等份;
⑤把角的正弦线平移,使正弦线的起点与x轴上对应的点重合;
⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来即得,如图1-4-1.
图1-4-1
(2)正弦函数y=sinx,x∈R的图象——正弦曲线.
因为sin(x+k·2π)=sinx,k∈Z,所以正弦函数y=sinx在x∈［-2π,0］,x∈［2π,4π］,x∈［4π,6π］,…时的图象与x∈［0,2π］的形状完全一样,只是位置不同,因此我们把y=sinx在x∈［0,2π］的图象沿x轴平移±2π,±4π,…,就可得到y=sinx,x∈R的图象,如图1-4-2.
图1-4-2
2.作正弦函数简图的方法——五点法
观察正弦函数的图象,可以看出(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)这五点在确定图象形状时起着关键作用.这五点描出后,正弦函数y=sinx,x∈［0,2π］的图象的形状就基本上确定了.在精确度要求不高的情况下,我们常用“五点法”作y=sinx在［0,2π］上的近似曲线.
3.余弦函数的图象
把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象,余弦函数y=cosx的图象叫做余弦曲线.如图1-4-3.
图1-4-3
从上图可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1).
活学巧用
1.作函数y=tanx·cosx的图象.
解析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象.
当cosx≠0,即x≠+kπ(k∈Z)时,有y=tanx·cosx=sinx,即y=sinx(x≠+kπ,k∈Z).
其图象如图1-4-4.
图1-4-4
点评:函数y=tanx·cosx的图象是y=sinx(x≠+kπ,k∈Z)的图象,因此作出y=sinx的图象后,要把x=+kπ(k∈Z)的这些点去掉.
2.作函数y=的图象.
解析:同第2题,首先将y=变形,然后作图.y=化为y=|sinx|,
即y=k∈Z.
其图象如图1-4-5.
图1-4-5
3.用“五点法”画函数y=-1+sinx，x∈［0,2π］的简图.
画法一:按五个关键点列表.
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
-1+sinx
-1
0
-1
-2
-1
利用正弦函数的性质描点画图,如图1-4-6.
图1-4-6
画法二:可先用“五点法”画y=sinx,x∈［0,2π］的图象（如图中的虚线图），再将其向下平移1个单位也得到y=-1+sinx,x∈［0,2π］的图象.
4.用五点法画出函数y=-cosx,x∈［0,2π］的图象.
解析:画法一:按五个点列表.
X
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点画图,如图1-4-6.
图1-4-7
画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图.
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．了解利用正弦线作正弦函数图象的方法．
2．掌握正、余弦函数的图象，知道它们之间的关系．
3．会用“五点法”画正、余弦函数的图象．
1．正、余弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，是把角x的____向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，______，(π，0)，，(2π，0)．
③用______顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．
①“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象．
②若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象，然后通过左、右平移可得到y＝sin x和y＝cos x的图象．
【做一做1－1】 用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A. B. C．(π，0) D．(2π，0)
【做一做1－2】 用五点法画y＝cos x，x∈[0,2π]的图象时，这五个点的纵坐标的和等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x，x∈R和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做____曲线和____曲线．
(2)图象：如图所示．
将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
【做一做2－1】 下列各点中，不在y＝sin x图象上的是( )
A．(0,0) B. C. D．(π，1)
【做一做2－2】 x轴与函数y＝cos x的图象的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．无数个
答案：1．(1)正弦线 左 右 (2)② ③光滑的曲线
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 C 1＋0＋(－1)＋0＋1＝1.
2．(1)正弦 余弦
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 D
“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象
剖析：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，有五个关键点，它们是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的形状基本上就确定了．在连线时，光滑的曲线经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”．用“五点法”画余弦函数y＝cos x的图象时也是一样．
题型一 画三角函数的图象
【例1】 画函数y＝－sin x，x∈[0,2π]的简图．
分析：用“五点法”画图．
反思：用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]的简图的步骤：
①列表：
x
0
π
2π
sin x或cos x
y
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
③连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
题型二 正、余弦曲线的应用
【例2】 判断方程x2－cos x＝0的根的个数．
分析：构造函数f(x)＝x2和g(x)＝cos x，转化为判断函数f(x)和g(x)的图象交点个数．
反思：关于方程根的个数问题，往往是运用数形结合构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决．
答案：
【例1】 解：步骤：①列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
③连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝－sin x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
【例2】 解：设f(x)＝x2，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象有两个交点，则方程x2－cos x＝0有两个根．
1．函数y＝－sinx，x∈的简图是( )
2．方程x＋sin x＝0的根有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．用“五点法”画y＝1－cos x，x∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是__________．
4．函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点的个数为__________．
5．用“五点法”画出函数y＝1＋cos x(0≤x≤2π)的简图．
答案：1．D 用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除选项A、C；
又x＝时，y＝＝1，排除选项B.
2．B 设f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根．
3．(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)
4．4 f(x)＝
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
则它们的图象有4个交点．
5．解：列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1＋cos x
2
1
0
1
2
描点、连线、作图，如图所示．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
疱工巧解牛
知识?巧学
一、正弦函数、余弦函数的图象
1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，作出点(α，sinα)，α∈［0，2π］.
由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角α，就能利用几何法作出对应的正弦值sinα.如图1-4-1，当0≤α≤2π时，在单位圆中对任意的角α，它的弧度数恰好等于角α所对的弧长AP，我们可设想把单位圆的圆周拉直到x轴上，使A点与原点重合，这时点P就落到x轴上的(α，0)点，由于sinα=MP，所以平移MP至此，就可得到一点(α，sinα).也就是说，要画出点P(α，sinα)，只需把角α的正弦线MP向右平移，使M点与x轴上表示数α的点M1重合，得到线段M1P1，由于点P和P1的纵坐标相同，都等于sinα，所以点P1(α，sinα)是以弧AP的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点.
图1-4-1
2.正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象
(1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈［0，2π］的图象.如图1-4-2，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角0，，，，…，2π等分点的正弦线.相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象.
图1-4-2
(2)正弦曲线
根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2π的函数y=sinx，x∈［2kπ，2(k+1)π］，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象的形状完全一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx，x∈［0，2π］的图象左、右平移(每次2π个单位)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如图1-4-3).
图1-4-3
正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(3)余弦曲线
根据诱导公式y=cosx=sin(x+)，可知y=cosx与y=sin(x+)是同一函数，而y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位而得到的.如图1-4-4.
图1-4-4
余弦函数的图象叫做余弦曲线.
事实上，y=cosx=sin(x-)，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数y=sin(x-)也是同一函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到.
学法一得 作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即x轴、y轴上的单位统一)，作出的图象才正规，且利于应用.
利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点.
由y=sinx的图象变换得到y=cosx的图象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左可右的.
二、“五点法”作草图
通过正弦曲线、余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，［-4π，-2π］，［-2π，0］，［0，2π］，［2π，4π］，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不妨选择［0，2π］，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线，它们是(0，0)，(，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)；对于余弦曲线，它们是(0，1)，(，0)，(π，-1)，(，0)，(2π，1).因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”.
学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.
典题?热题
知识点一 “五点法”作图
例1 用“五点法”画出下列函数在区间［0，2π］上的简图.
(1)y=2sinx；(2)y=1-sinx；(3)y=cosx-1.
思路分析：在区间［0，2π］上按五个关键点列表、描点、连线，并用光滑的曲线将它们连接起来.
解：(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-5).
图1-4-5
方法归纳 函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的.
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
cosx-1
0
-1
-2
-1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-6).
图1-4-6
方法归纳 y=f(x)y=f(x)+a(a＞0)，y=f(x)y=f(x)-a(a＞0)，记忆的口诀是“上加下减”.
知识点二 图象的应用
例2 方程sinx=lgx的实根的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
思路分析：如图1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.
图1-4-7
由图中看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解，此方程再无别的解.
答案：C
方法归纳 像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.
例3 写出使sinx≥(x∈R)成立的x的取值集合.
思路分析：可借助于单位圆或正弦曲线求解.
图1-4-8
解：如图1-4-8，在0≤x＜2π中满足sinx≥的角x的集合为{x|≤x≤}；当x∈R时集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
巧解提示：由y=sinx在［0,］,(,π)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.
又sinx≥，则有sinx≥sin或sinx≥sin，所有在［0,2π］中，满足sinx≥的角的集合为{x|≤x≤}∪{x|＜x≤}={x|≤x≤}.以下同解.
方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为［0,2π］的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去.
问题?探究
思想方法探究
问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，推广到一般的情况，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？
探究过程：首先，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T是f(x)的周期.例如sin(+)=sin，但是sin(+)≠sin.就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是sinx的周期.
其次，从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+)］=f(2x)，则是f(x)的周期.
第三，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.
对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集.
探究结论：周期函数并不都有最小正周期；周期函数的定义域一定无上界或无下界.
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课堂导学
三点剖析
1.正弦函数、余弦函数的图象
【例1】 画下列函数的简图，（1）y=1+cosx,x∈［0,2π］;(2)y=-sinx,x∈［0,2π］.
思路分析：本题主要考查“五点法”作图象.利用“五点法”作图象可分为列表、描点、连线三步.
(1)画法：①列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
1+cosx
2
1
0
1
2
②描点：
③连线：用平滑曲线依次连结各点.
(2)画法：①列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
-sinx
0
-1
0
1
0
②描点：
③连线：用平滑曲线依次连结各点,即可得到所求图象.
温馨提示
一般地y=f(x)+b是由y=f(x)沿y轴方向向上（向下）平移|b|个单位得到的.
一般地y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
2.正、余弦函数图象间的关系
【例2】在（0,2π）内，使sinx＞cosx成立的x值取值范围是（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
解析：用“五点法”作出y=sinx,y=cosx(0≤x≤2π)的简图.
由图象可知(1)当x=或x=时，sinx=cosx.
(2)当＜x＜时sinx＞cosx.
(3)当0≤x＜或＜x≤2π时，sinx＜cosx.
答案：C
3.几何法作图和“五点法”作图
【例3】 作出函数y=2sin(2x+)的图象.
解：列出下表，并描点画出图象如下图.
2x+
0
π
2π
x
-
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0
温馨提示
“五点法”作图如y=Asin(ωx+φ)的函数图象时，要从整体的观点找出五个关键点.使式子中ωx+φ取0，，π，，2π,然后求出相应的x、y值.
各个击破
类题演练1
函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图象是（ ）
解析1：用特殊点代入验证：取（0，1）、（，0）两点检验知B正确.
解析2：对于本题可按如下程序进行思考：
首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图象，然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0,2π］的图象（请同学自己画出）；最后作出（或想象出)y=-sinx+1的图象（请同学自己画出）.
易得图象就为B所示.
答案：B
变式提升1
作出y=|sinx|的图象.
解：y=(k∈Z)
其图象如下图.
温馨提示
（1）y=|sinx|的图象可以看作是将y=sinx的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方得到的.
(2)y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方得到的.
类题演练2
要得到函数f(x)=sinx的图象，可以将g(x)=cosx的图象（ ）
A.向左平移π个单位 B.向右平移π个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵y=sinx
=cos(+x)
=cos(x-).
答案：D
变式提升2
函数y=sin(x-)和y=cosx的图象有何关系？并在同一坐标系内画出它们的草图.
解：y=sin(x-)
=-sin(-x)=cosx
∴两函数图象相同.(图略).
类题演练3
用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A.0，，π，，2π B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，2
答案：B
变式提升3
函数y=3sinx,x∈［-,］的简图是（ ）
答案：A
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
问题导学
一、用“五点法”作函数的图象
活动与探究1
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
迁移与应用
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝cos(0≤x≤2π)；
(2)y＝(0≤x≤2π)．
用“五点法”作图，关键是先确定出在[0,2π]内x＝0，，π，，2π时的五个关键点，再用光滑曲线连接起来．
二、正、余弦函数图象的应用
活动与探究2
求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－cos x)；(2)y＝.
迁移与应用
求函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域．
(1)用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法：
①作出直线y＝a，作出y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
②确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值；
③确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
(2)用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法：
①找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在位置；
②根据变化趋势，确定不等式的解集．
当堂检测
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．函数y＝的定义域是___________________________________________．
4．cos x＞0在x∈[0,2π]上的解集是____________________________________________．
5．用“五点法”作函数y＝2sin x，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点的坐标是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(0,0) (π，0) (2π，0) (0,1) (π，－1) (2π，1)
预习交流 提示：由sin x＝cos＝cos可知，由y＝cos x的图象向右平移个单位可得y＝sin x的图象并且平移的方法不唯一，如也可向左平移个单位，得到y＝sin x的图象．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
解：(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图．
迁移与应用 解：(1)y＝cos＝－sin x(0≤x≤2π)
列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
cos
0
－1
0
1
0
描点作图，如图．
(2)y＝＝|cos x|(x∈[0,2π])
列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
|cos x|
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
描点作图，如图．
活动与探究2 思路分析：先写出满足条件的不等式，再结合正、余弦函数的图象，或三角函数线，写出x的范围．
解：(1)为使函数有意义，则需要满足－cos x＞0，即cos x＜0．
由余弦函数图象可知满足条件的x为2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z．
所以原函数定义域为
．
(2)为使函数有意义，则需要满足2sin x－≥0，
∴sin x≥．
由正弦函数图象可知满足条件的x为2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z．
所以原函数定义域为
．
迁移与应用 解：要使函数y＝＋lg(2sin x－1)有意义，只需
即
由函数的图象可知，cos x≤的解集为，sin x＞的解集为＋2kπ＜x＜，
它们的交集为，
这就是函数的定义域．
【当堂检测】
1．D 解析：可以用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C；
又x＝－时，y＝－sin＝1，故选D．
2．B
3．
4．
5．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
互动课堂
疏导引导
1.周期性
(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)正弦函数的周期
从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.
正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到.由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π.
类似地,可以探索余弦函数的周期为2kπ,最小正周期为2π.
2.奇偶性
(1)正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,
①由诱导公式 sin(-x)=-sinx可知上述结论成立.
②反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称.
③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=kπ+,k∈Z.
(2)余弦函数的奇偶性与对称性
①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称.
②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+,0)(k∈Z);余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ(k∈Z).
3.单调性
(1)正弦函数的单调性
在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x由-增加到时,sinx由-1增加到1;当x由增大到时,sinx由1减小到-1,情况如下表:
x
-
0
π
sinx
-1
0
1
0
-1
由正弦函数的周期性可知:
正弦函数y=sinx在每一个闭区间［-+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从1减小到-1,是减函数.
(2)余弦函数的单调性
通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,
它的值由1减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k∈Z)上都是增函数,它的值由-1增大到1.
4.最值
从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2kπ+ (k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ- (k∈Z)时,取得最小值-1.
对余弦函数来说,当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1.
活学巧用
1.求下列函数的周期:
(1)y=sinx;(2)y=2sin(-).
解析:(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数且周期为2π.
∴sin(x+2π)=sinx,
即sin［ (x+4π)］=sinx.
∴y=sinx的周期是4π.
(2)∵2sin(-+2π)=2sin(-),
即2sin［(x+6π)-］=2sin(-),
∴2sin(-)的周期是6π.
答案:(1)4π;(2)6π.
2.若函数f(x)是奇函数,当x＞0时,f(x)=x2-sinx,当x＜0时,求f(x)的解析式.
解析:设x＜0,则-x＞0.
∵x＞0时,f(x)=x2-sinx,
∴f(-x)=x2-sin(-x)=x2+sinx.
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴-f(x)=x2+sinx.
∴f(x)=-x2-sinx.
答案:f(x)=-x2-sinx(x＜0).
3.写出函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程及对称中心坐标.
解析:令2x+=kπ+ (k∈Z)得x=+(k∈Z),
令2x+=kπ(k∈Z)得x=- (k∈Z).
∴函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程为x=+ (k∈Z),对称中心坐标为(-,0)(k∈Z).
答案:对称轴方程x=+ (k∈Z),对称中心(-,0)(k∈Z).
4.求y=cos(-x)的单调递增区间.
解析:函数y=cos(-x)=cos(x-),∴y=cos(-x)的单调递增区间就是y=cos(x-)的单调递增区间,由下式确定:2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z.
∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即函数y=cos(-x)的单调递增区间是［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
5.若sinx=a-1有意义,则a的取值范围是____________________.
解析:∵|sinx|≤1,∴|a-1|≤1.∴-1≤a-1≤1.∴0≤a≤2.
答案:0≤a≤2
6.y=4cos2x,x∈R有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x的集合.
解析:函数y=4cos2x取最大值的集合为{x|2x=2kπ,k∈Z},即{x|x=kπ,k∈Z}.
同理,函数y=4cos2x取最小值的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）
课堂导学
三点剖析
1.周期的概念及求函数的周期
【例1】求下列函数的周期：
（1）y=sin2x;(2)y=3cos;(3)y=2sin(2x-).
思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.
解：（1）由于f（x+π）=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为π.
(2)由于f(x+4π)=3cos［12(x+4π)］=3cos(+2π)=3cos=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.
(3)由于f(x+π)=2sin［2(x+π)-］=2sin［2x+2π-］=2sin(2x-)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为π.
温馨提示
由上例可以看到函数的周期仅与x的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A、ω、φ为常数，A≠0,ω＞0）的周期T=2πω，若y=f(x)的周期为T，则y=f(ωx)的周期为.
2.周期函数概念的理解
【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.
(1)y=lgx;(2)y=sinx.
思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T，使得f(x+T)=f(x).
解：（1）
取定义域内一个值x0=1.由于f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数)，于是f(x)=lgx不是周期函数.
(2)∵对定义域内任一x，有sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z,k≠0),
∴y=sinx是周期函数，周期为2kπ(k∈Z,k≠0).
温馨提示
判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T（T≠0），使得对定义域内的任一x，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x0，验证f（x0+T）≠f(x0).就可以说明f(x)不是周期函数.
3.周期函数的定义
【例3】①存在T=使sin(+)=sin成立，所以是y=sinx的一个周期.
②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立，所以是f(x)的周期.(T≠0)
③周期函数不一定有最小正周期.
④周期函数的周期不止一个.
以上命题是真命题的是.
答案：②③④
温馨提示
理解周期函数的概念要注意以下三点：
(1)存在一个常数T≠0;
(2)对其定义域内的每一个x值，x+T属于定义域;
(3)当x取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.
各个击破
类题演练1
求下列函数的最小正周期.
(1)y=3sin(2x+);
(2)y=2cos(x-).
解：(1)T==π.
(2)T==π2.
变式提升1
求y=|sinx|的周期.
解：将y=sinx的图象中y≥0的部分保持不变，将y＜0部分的图象翻折到x轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.
温馨提示
由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|（A、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ)（A、ω、φ为常数，ω＞0）的周期的一半.
类题演练2
下列四个函数为周期函数的是（ ）
A.y=3 B.y=3x0 C.y=sin|x| x∈R D.y=sin1x x∈R且x≠0
答案：A
变式提升2
已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).
判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.
解：∵f(x+4)
=f［2+(x+2)］
=-f(x+2)
=-［-f(x)］=f(x).
∴f(x)是周期函数，且周期是4.
类题演练3
函数y=f(x)，x∈［-2,2］图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？
解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
答案：不是
变式提升3
函数y=asinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？
解析：∵y=asin(x+2kπ)=asinx,
即存在常数T=2kπ(k∈Z),
使得f(x+T)=f(x),
∴y=asinx是周期函数，且最小正周期为2π.因此，它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
疱工巧解牛
知识?巧学
由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，即y=sinx，x∈R,y=cosx，x∈R.通过正、余弦函数的图象，可知它有如下的主要性质.
一、周期性
1.对于函数y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出：任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期，它们的最小正周期都是2π.
设T是y=sinx的最小正周期，且0＜T＜2π，根据周期函数的定义，当x取定义域内每一个值时，都有sin(x+T)=sinx.令x=，代入上式，得sin(+T)=sin=1.
但是sin(+T)=cosT，于是cosT=1，这表明T的值是0,2π,…，即T=2kπ,k∈Z，这与0＜T＜2π相矛盾.所以不存在小于2π的最小正周期,即y=sinx的最小正周期为2π.
2.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型的函数的周期仅与函数解析式中x的系数ω有关，而与其他量无关.事实上，设y=Asin(ωx+φ)，x∈R，其中A、ω、φ均为常数，且A≠0，ω＞0.令z=ωx+φ，因为x∈R，所以z∈R，且函数y=Asinz，z∈R的周期是2π.由于z+2π=ωx+φ+2π=ω(x+)+φ，所以自变量x只需增加到x+.函数值才能重复出现.所以函数y=Asin(ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期是.同理可证y=Acos(ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期也是.例如y=2sin(x-)的周期是等.
学法一得 反证法是一种典型的补集思想，它也是一种常见的证明方法，是高考中常常考查的一个重要内容.对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目，可考虑用反证法.具体地说，对于那些含有否定词的命题，如“至少”“唯一性”“至多”“都不是”“不存在”等命题，尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发，把题设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证，如果导出的结论与公理相矛盾、与已知条件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等，那么就否定了假设，从而肯定了原命题的正确.
记忆要诀 函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R及函数y=Acos(ωx+φ)，x∈R (其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T=.
二、奇偶性
对于函数f(x)=sinx，它的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，所以它是奇函数.
对于函数f(x)=cosx，它的定义域为R，因为f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，所以它是偶函数.
三、单调性
1.由正弦函数的图象及其周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.
由余弦函数的图象及其周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.
2.正、余弦函数单调性的用途主要有：
(1)比较三角函数值的大小：解决这类问题的关键是把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小，也可进一步转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小.
(2)求三角函数的单调区间：对于形如y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k，ω＞0的函数，可把(ωx+φ)视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正、余弦函数的单调性，直接写出ωx+φ的单调区间，再解关于x的不等式即可.
(3)借助于正、余弦函数的图象解三角不等式：对于可化为形如sin(ωx+φ)≥a〔cos(ωx+φ)≥a〕或sin(ωx+φ)＜a〔cos(ωx+φ)＜a〕，ω＞0的弦函数不等式，可把(ωx+φ)视为一个整体，借助于y=sinx，x∈R或y=cosx，x∈R的图象和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2kπ，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x的不等式，便可求出x的解.
典题?热题
知识点一 函数的周期
例1 若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期；(2)求t=10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
解：(1)由图1-4-10,可知该函数的周期为4 s.
图1-4-10
(2)设x=f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8.
方法归纳 周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数(非零实数)，这个数仅仅是相对于x而言的.函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期是.
知识点二 函数的奇偶性
例2 函数f(x)=cos(2x+)的( )
A.最小正周期是2π B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称 D.图象关于x轴对称
思路分析：先利用诱导公式化简函数解析式，再作出判断.
∵y=cos(2x+π+)=-cos(2x+)=sin2x，
∴它的周期T==π，排除A.
显然，它是奇函数.
答案：C
例3 函数f(x)=xsin(-x)是( )
A.奇函数 B.非奇非偶函数
C.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
思路分析：先利用诱导公式化简，再作出判断.对于函数f(x)=xcosx，
∵f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x)，∴f(x)是奇函数.
答案：A
例4 试判断函数在区间(，)上的奇偶性.
思路分析：可先将函数式化成最简形式，再判断.
解：(1)
.
因为x∈(，)关于原点对称，且，
所以函数f(x)在(，)上是奇函数.
巧妙变式：如果将题中的(，)改为［，］，情况会怎样呢？由于当x=时，f()=1，而f()无意义，因此f(x)在x∈［，］上不具有奇偶性，即函数f(x)在x∈［，］上既不是奇函数也不是偶函数.
方法归纳 函数的奇偶性是研究f(-x)与f(x)之间关系的，其中f(-x)是把f(x)解析式中的x换成-x而得到的.奇、偶函数的定义域必关于原点对称.函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同，偶函数则相反.
例5 已知函数f(x)=ax+bsin3x+2(a、b为常数)，且f(3)=5，试求f(-3)的值.
思路分析：要求函数值，需先确定函数解析式，因含a、b两个参数，需要列关于a、b的两个方程，而题目仅提供了f(3)=5这一个条件，它无法求a、b的值.由f(3)与f(-3)的自变量互为相反数这一条件，应联想到函数的奇偶性，由于f(x)-2是奇函数，所以问题可解决.
解：令g(x)=f(x)-2=ax+bsin3x，
因为g(-x)=a(-x)+bsin3(-x)=-(ax+bsin3x)=-g(x)，
所以g(x)=ax+bsin3x是奇函数.
所以g(-3)=-g(3)，
即f(-3)-2=-［f(3)-2］.
所以f(-3)=2-［f(3)-2］=4-f(3)=4-5=-1，即f(-3)=-1.
方法归纳 一般地，在两个函数的公共定义域内，两个奇(偶)函数的和仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积却是偶函数.
知识点三 比较三角函数值的大小
例6 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)sin110°18′与sin146°30′；
(2)sin()与sin().
解：∵sin110°18′=sin69°42′，sin146°30′=sin33°30′,33°30′,69°42′∈［0°,90°］，且33°30′＜69°42′，而y=sinx在［0°,90°］上是增函数，所以sin33°30′＜sin69°42′，即sin110°18′＞sin146°30′.
(2)sin()=sin(-8π+)=sin,sin()=sin(-8π+)=sin.
因为,∈［0,］，且，y=sinx在x∈［0,］上是增函数，
所以sin＞sin，即sin()＞sin().
方法归纳 要比较不同角的三角函数值的大小，需利用诱导公式把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，化简的步骤是先把负角化成正角，再把正角化成0到2π的角，再化成锐角，最后利用函数在［0,］上的单调性去判断.
知识点四 求三角函数的单调区间
例7 求函数y=()cosx的单调递减区间.
解：令μ=cosx,则y=()μ，因为y=()μ是减函数，所以函数y=()cosx的单调减区间为函数μ=cosx的单调增区间：［2kπ-π,2kπ］,k∈Z.
方法归纳 求复合函数单调性的关键是分清函数的复合过程，即把所求函数分解成若干层已知其单调性的函数，按照“同增异减”的法则，来判断复合函数单调性及其单调区间.
例8 求函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调区间.
思路分析：应先把y=sin()化简成y=-sin()，
再把“”视为一个整体，利用复合函数的单调性求解.
解：因为y=sin()=-sin()，所以要使函数在给定的区间上单调递增，只需+2kπ≤≤+2kπ，解得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z.
令k=-1，得；令k=0，得.
由于x∈［-2π，2π］，所以该函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调增区间是［-2π，-］或［，2π］.
同理,可得函数y=sin()，x∈［-2π，2π］的单调减区间是［，］.
方法归纳 求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时，一般先将x的系数化成正值，再把“ωx+φ”视为一个整体，结合基本初等函数y=sinx的性质找到“ωx+φ”在x∈R上满足的条件，通过解不等式组求得单调区间.
知识点五 借助于正、余弦函数的图象解三角不等式
例9 解不等式2sin(-2x+)＞1.
思路分析：首先将原式化为sin(2x-)＜，再利用正弦函数的单调性.
解：原式可化为sin(2x-)＜，把2x-视为一个整体，如图1-4-11，在区间［0，2π］上，适合条件的x的范围是，在整个定义域上，满足+2kπ＜2x-＜+2kπ.
图1-4-11
解得+kπ＜x＜+kπ，k∈Z.
方法归纳 ①把ωx+φ，ω＞0视为一个整体，是化未知为已知，化生疏为熟悉的化归思想的具体应用.
②解三角不等式时，要注意结合正弦曲线、余弦曲线.由于弦函数的周期性，应先在一个长度为2π的周期上求范围，该范围的选择并非一定是［0，2π］或［-π，π］，而应该以是否得到一个完整的周期区间为标准.
知识点六 求最大值与最小值
例10 求函数y=1-cos(2x-)的最值及函数取最值时自变量x的集合.
思路分析：可把“2x-”视为一个整体，结合复合函数单调性的判定方法写出函数的最值及取得最值时2x-的集合，再通过解方程求得x的集合.
解：当cos(2x-)=-1时，ymax=1-×(-1)=，此时2x-=2kπ+π，k∈Z，解得x=kπ+，k∈Z，即函数y=1-cos(2x-)的最大值是，此时x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}.
同理,可得函数y=1-cos(2x-)的最小值是，此时x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}.
方法归纳 在求三角函数的最值(或值域)时，这种先把“ωx+φ,ω＞0”视为一个整体，再把sin(ωx+φ)视为一个整体，利用函数的性质去研究函数的值域(或最值)的方法是化未知为已知的化归思想的具体应用，它是我们研究函数问题的重要方法之一.
例11 求y=2sin2x-2cosx+3的最值.
思路分析：可先利用平方关系把sin2x转化成1-cos2x，即把函数转化成以cosx为未知数的二次函数的形式，再配方求值.
解：y=2(1-cos2x)-2cosx+3=-2cos2x-2cosx+5=-2(cosx+)2+，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-时，ymax=；
当cosx=1时，ymin=-2×12-2×1+5=1.
方法归纳 对于可以转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数形式问题，可利用配方法求解.
问题?探究
材料信息探究
由单位圆中的正弦线、余弦线的定义,可知正弦函数、余弦函数的值域都是［-1，1］，即-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1.特别地，当角α的终边落在y轴的正半轴上时，其正弦线等于1，函数值最大，即当且仅当{x|x=+2kπ，k∈Z}时，y=sinx取得最大值1；当角α的终边落在y轴的负半轴上时，其正弦线等于-1，函数值最小，即当且仅当{x|x=-+2kπ，k∈Z}时，y=sinx取得最小值-1.同理可知对余弦函数当且仅当{x|x=2kπ，k∈Z}时，取得最大值1；当且仅当{x|x=(2k+1)π，k∈Z}时，取得最小值-1.观察正、余弦函数的图象也极易看出它们的最大值都是1，最小值都是-1.
问题 函数的最值是函数值域的端点值，在三角函数的值域中，我们主要研究它的最值，那么如何求三角函数的最值呢？
探究过程：依托正、余弦函数的图象，使数形紧密结合，借助于函数单调性，寻求含有正、余弦函数的式子的最值.
探究结论：常见的方法有：
(1)可化为一个角的一个函数的形式，利用三角函数的有界性求最值;
(2)转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数的形式，利用配方法求解;
(3)逆用三角函数的有界性求最值.
思维发散探究
问题 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称.利用你所学的知识，加上一个你认为适当的条件，使φ、ω为确定的值，并求出它们的值.
探究思路：本题是一个条件开放型题，条件中已给了函数的奇偶性、对称性，则可以考虑给题目加上一个单调性的条件，然后再合理利用奇偶性、对称性和单调性解题.也可以考虑给ω加上一个范围，或给周期一个范围，利用奇偶性、对称性和周期性解题.
观点一：加条件“函数在［0,］上是减函数”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有,k=0,1,2,3,4, …，
∴ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4….
当k=0时，ω=，f(x)=sin()，在［0,］上是减函数;
当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)，在［0,］上不具有单调性;
当k≥2时，f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)在［0,］上也不具有单调性.
由上可知φ=，ω=.
观点二：加条件“ω为不大于2的整数”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有,k=0,1,2,3,4,…,即ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4, …，则k=1时满足条件，此时φ=,ω=2.
观点三：加条件“函数的周期T∈［,π］”.
由f(x)是偶函数和0≤φ≤π可得φ=.
由图象关于点M(,0)对称，得f()=0，
即sin()=cos=0.
又ω＞0，则有
=kπ+,k=0,1,2,3,4…,
即ω=(2k+1),k=0,1,2,3,4…，则.
又由T∈［,π］及k=0.1,2,3,4…,可得k=1或k=2，即ω=2或ω=.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期函数
1．了解周期函数的定义，知道周期函数的周期和最小正周期的含义．
2．知道正弦函数和余弦函数都是周期函数．
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
1．周期函数
(1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个____常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝__，那么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的____．
(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个____的正数，就称它为最小正周期．在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的__________．
若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有：①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次．
【做一做1】 函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝__________.
2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．
(2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．
(3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω＞0)的周期T＝.
【做一做2】 函数y＝sin x，y＝cos x的周期分别是T1，T2，则tan＝__________.
答案：1．(1)非零 f(x) 周期 (2)最小 最小正周期
【做一做1】 f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝.
2．(1)2π (2)2π
【做一做2】 1 T1＝T2＝2π，
则tan＝tan＝tan＝1.
对周期函数的概念的理解
剖析：可以从以下几点来理解周期函数：
(1)周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是y＝f(x)的周期．
例如：sin＝sin，但是sin≠sin，这就是说，对定义域内的每一个值x，sin＝sin x不恒成立，因此不是y＝sin x的周期．
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．
(3)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次．
题型一 证明周期函数
【例1】 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，求证：函数y＝f(x)是周期函数．
分析：只需找到一个非零实数T，满足f(x＋T)＝f(x)即可．
反思：通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(x＋T)＝f(x)成立．
题型二 求三角函数的周期
【例2】 求下列函数的周期：
(1)f(x)＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
分析：解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．
反思：求三角函数的周期，通常有三种方法．
(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)．
(2)公式法．一般地，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数且A≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T，则T＝.本例(1)可用公式求解如下：T＝＝8π.
(3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．
题型三 函数的周期的应用
【例3】 设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求f的值．
分析：可利用f＝f＝f求解．
反思：(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．
(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
题型四 易错辨析
易错点 不清楚f(x＋T)表达的意义
【例4】 利用定义求f(x)＝sin的最小正周期．
错解：∵f(x＋2π)＝sin
＝sin＝sin＝f(x)，
∴T＝2π是f(x)的最小正周期．
错因分析：错解中求的不是最小正周期．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其周期为.
答案：
【例1】 证明：令x－2＝t，则x＝t＋2，
于是由f(x＋2)＝f(x－2)，得
f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)．
∴f(t)＝f(t＋4)．∴f(x＋4)＝f(x)．
∴函数y＝f(x)是周期函数，4是一个周期．
【例2】 解：(1)∵f(x)＝sin，
∴f(x＋8π)＝sin
＝sin＝sin＝f(x)．
∴f(x)＝sin的周期为8π.
(2)函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象知T＝π.
【例3】 解：∵f(x)是以1为一个周期的函数，
∴f＝f，
从而f＝f.
又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，
∴f＝f＝2×＋1＝0.
【例4】 正解：令z＝2x－，
∵x∈R，∴z∈R.
又∵y＝sin z的周期是2π，
z＋2π＝＋2π＝2(x＋π)－，
∴f(x＋π)＝sin
＝sin＝sin＝f(x)．
∴T＝π.
1．函数y＝|cos x|的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
2．函数y＝的最小正周期为( )
A. B. C．2π D．5π
3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的周期为π，则ω＝__________.
4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝__________.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
答案：1．C 2.D
3．2 由于周期T＝，所以＝π，解得ω＝2.
4．－1 由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，
则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝1，则f(5)＝－1.
5．证明：∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时
一、与三角函数周期有关的问题
活动与探究1
求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
迁移与应用
下列函数中，周期为π的函数为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
三角函数周期的主要求法：
方法一：定义法；
方法二：公式法，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，周期T＝；
方法三：观察法(图象法)．
二、正弦、余弦的奇偶性
活动与探究2
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin xcos x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋．
迁移与应用
若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B． C． D．
判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
另外，当知道函数奇偶性求参数时，要注意诱导公式五或六的运用．
当堂检测
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．下列函数中周期为，且为偶函数的是( )
A．y＝sin 4x B．y＝cosx
C．y＝sin D．y＝cos
4．若函数y＝2sin(ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________．
5．函数f(x)＝sin x·cos x的奇偶性是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 非零常数T (2)最小的正数
预习交流1 (1)提示：不是．如f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数．
(2)提示：不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)(n∈N)．
2．2kπ(k∈Z) 2π
3．奇 偶
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)利用代换z＝2x＋，将求原来函数的周期转化为求y＝sin z的周期求解，或利用公式求解．
(2)作出函数图象观察求解．
解：(1)方法一：令z＝2x＋，
∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，∴自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π．
方法二：f(x)＝sin中，ω＝2，
∴T＝＝π．
(2)作出y＝|sin x|的图象如图：
由图象易知y＝|sin x|的周期为π．
迁移与应用 C 解析：利用周期公式T＝，可知C中函数周期T＝＝π．故选C．
活动与探究2 思路分析：首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcos x为奇函数．
(2)函数应满足1－sin x≠0，
∴函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝为非奇非偶函数．
(3)由得cos x＝1，∴函数的定义域为，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
迁移与应用 C 解析：∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1．
∴sin＝±1．
∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝．故选C．
【当堂检测】
1．D 解析：易知T＝＝4π，故选D．
2．A 解析：∵f(x)＝sin(－x)＝－sin x，
∴f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
3．C 解析：显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C．
4． 解析：由T＝得＝4π，∴ω＝．
5．奇函数 解析：f(－x)＝sin(－x)·cos(－x)＝－sin x·cos x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正、余弦函数的性质
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．
3．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x的值的集合．
1．正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式
y＝sin x
图象
定义域
____
值域
______
当x＝____________时，y取最大值1
当x＝__________时，y取最小值－1
最小正周期
____
奇偶性
__函数
单调性
在______________上是增函数；
在______________上是减函数(k∈Z)
正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．
【做一做1】 已知函数y＝sin x，x∈R，则下列说法不正确的是( )
A．定义域是R B．最大值与最小值的和等于0
C．在上是减函数 D．最小正周期是2π
2．余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式
y＝cos x
图象
定义域
__
值域
[－1,1]
当x＝________时，y取最大值1
当x＝________时，y取最小值－1
最小正周期
__
奇偶性
__函数
单调性
在__________上是增函数；
在__________上是减函数(k∈Z)
余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．
【做一做2】 已知函数y＝cos x，x∈R，则下列说法错误的是( )
A．值域为[－1,1] B．是奇函数
C．在定义域上不是单调函数 D．在[0，π]上是减函数
答案：1．R [－1,1] 2kπ＋(k∈Z) 2kπ－(k∈Z) 2π 奇
【做一做1】 C
2．R 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z) 2π 偶 [(2k－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π]
【做一做2】 B
正、余弦函数的性质与图象的关系
剖析：(1)定义域是R，反映在图象上是所有垂直于x轴的直线与图象有且只有一个交点．
(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．
(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．
(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y轴对称，即sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x.
(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．
题型一 判断三角函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin xcos x；(2)f(x)＝.
分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而可确定函数的奇偶性．
反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的应用．
2．本例(2)中，易忽视f(x)的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f(x)＝＝sin x，从而导致结果错误．
题型二 求三角函数的单调区间
【例2】 求函数y＝2sin的单调递减区间．
反思：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．
题型三 求三角函数的值域(最值)
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝3－2cos 2x，x∈R；
(2)y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R.
分析：(1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
反思：求三角函数的值域的方法：①化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则其值域为[－A＋b，A＋b]．如本例(1)小题；②把sin x或cos x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．
题型四 比较三角函数值的大小
【例4】 比较下列各组数的大小：
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)sin与sin.
分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin与cos的大小，然后利用正弦函数单调性求解．
反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．
题型五 易错辨析
易错点 忽视x的系数是－1
【例5】 求y＝sin的单调递增区间．
错解：令－x＝t，
∵y＝sin t的递增区间为
(k∈Z)，
∴2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z)，
解得－2kπ－≤x≤－2kπ＋π，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即y＝sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
错因分析：在－x中，x的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．
答案：
【例1】 解：(1)定义域为R.
f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值应满足1＋sin x≠0，
∴sin x≠－1.∴x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为
.
f＝＝1，但f无意义，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
【例2】 解：由于函数y＝2sin x的递减区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
故所求的单调递减区间为
(k∈Z)．
【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x≤1，∴－2≤－2cos 2x≤2.
∴1≤3－2cos 2x≤5，即1≤y≤5.
∴函数y＝3－2cos 2x，x∈R的值域为[1,5]．
(2)y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
∵－1≤sin x≤1，∴函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°，
从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.
(2)∵cos＝sin，
∴0＜cos＜sin＜1.
而y＝sin x在(0,1)内递增，
∴sin＜sin.
【例5】 正解：∵y＝sin＝－sin，
∴要求原函数的单调递增区间，只需求y＝sin的单调递减区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
∴y＝sin的单调递增区间是
(k∈Z)．
1．函数y＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
3．函数y＝sin2x－cos x的值域是__________．
4．函数y＝3－的最大值为____________，此时自变量x的取值集合是__________．
5．求函数y＝的单调递增区间．
答案：1．A 定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，
sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
3. 设cos x＝t，－1≤t≤1，则y＝1－cos2x－cos x＝－t2－t＋1＝.
由于－1≤t≤1，则有－1≤y≤.
4．5 {x|x＝3kπ＋π，k∈Z} 当＝－1时，ymax＝3－2×(－1)＝5.
此时x的取值集合为{x|x＝3kπ＋π，k∈Z}．
5．解：y＝＝.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，得
2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
函数y＝的递增区间为
(k∈Z)．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时
问题导学
一、正弦、余弦函数的单调区间问题
活动与探究1
求函数y＝2sin的单调区间．
迁移与应用
1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上递减，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0,2]
2．求下列函数的单调递减区间．
(1)y＝2sin；(2)y＝cos．
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数是负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求单调区间，求单调区间时需将最终结果写成区间的形式．
二、正弦、余弦函数的最值(值域)问题
活动与探究2
1．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)y＝3－2sin x；
(2)y＝cos．
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
迁移与应用
求下列函数的值域：
(1)y＝cos2x＋2sin x－2；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
1．形如y＝asin x＋b的函数最值或值域问题，一般利用正弦函数的有界性求解．
2．形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值或值域问题，要注意ωx＋φ的范围，结合相应函数的单调性求解．
3．形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(或可化为此形式)的函数转化为二次函数求解．
三、正弦、余弦函数的对称性
活动与探究3
函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
迁移与应用
函数y＝cos图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的对称轴满足ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)，对称中心的横坐标满足ωx＋φ＝kπ(k∈Z)；余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)图象的对称轴满足ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，对称中心的横坐标满足ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
当堂检测
1．下列区间中是函数y＝sin的单调递增区间的是( )
A． B．
C．[－π，0] D．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
3．函数y＝2sin 2x，x∈的值域为( )
A．[－2,2] B．[－1,0]
C．[0，] D．[0,1]
4．函数y＝3cos在x＝______时，y取最大值．
5．函数f(x)＝sin的周期为π时，f(x)在y轴右侧的第一条对称轴为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] ＋2kπ －＋2kπ
2kπ 2kπ＋π (kπ，0)，k∈Z x＝＋kπ，k∈Z ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
预习交流 提示：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．正弦函数在第一象限不是单调增函数．即使终边相同的角，它们也能相差2π的整数倍．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：令z＝2x－，借助y＝2sin z的单调性求解．
解：令z＝2x－，函数y＝2sin z的递增区间是(k∈Z)，
递减区间是(k∈Z)．
∴当原函数递增时，－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即原函数递增区间为(k∈Z)．
当原函数递减时，＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即原函数递减区间为(k∈Z)．
迁移与应用 1．A 解析：取ω＝2时，f(x)＝sin，可求得f(x)的递减区间是(k∈Z)，显然ω＝2不合题意．取ω＝1时，f(x)＝sin，可求得f(x)的递减区间是(k∈Z)，则ω＝1符合题意，从而排除B、C、D，故选A．
2．解：(1)y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，而函数y＝－2sin z的递减区间是(k∈Z)．
∴原函数递减时，得2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的递减区间是(k∈Z)．
(2)令z＝2x＋，而函数y＝cos z 的递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴原函数递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的递减区间是(k∈Z)．
活动与探究2 1．思路分析：借助正弦、余弦函数的值域及取得最值时相应的x值求解；(2)中令z＝，用换元法求解．
解：(1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为．
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，相应x的集合为．
(2)令z＝，∵－1≤cos z≤1，∴y＝cos的最大值为1，最小值为－1．
易知y＝cos z取得最大值时的z的集合为{z|z＝2kπ，k∈Z}，由＝2kπ，得x＝6kπ，∴使函数y＝cos取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
同理可得使函数y＝cos取得最小值的x的集合为{x|x＝(6k＋3)π，k∈Z}．
2．思路分析：可利用0≤x≤9，求出－的范围，利用正弦函数的单调性求出最值．
A 解析：由0≤x≤9可得，－≤x－≤，
所以－≤2sin≤2，所以最大值为2，最小值为－，最大值与最小值之差为2－．
迁移与应用 解：(1)y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1
＝－(sin x－1)2．
∵－1≤sin x≤1，
∴函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为y∈[－4,0]．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x
＝－2＋．
∵－≤x≤，
∴当x＝－，即sin x＝－时，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，ymin＝－．
故函数y＝cos2x－sin x，x∈的值域为y∈．
活动与探究3 思路分析：根据正弦(余弦)函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点与x轴垂直的直线均是对称轴．
C 解析：函数f(x)＝sin的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z．
当k＝－1时x＝－π＋＝－．故选C．
迁移与应用 B 解析：∵y＝cos x的对称中心是(k∈Z)，令2x＋＝kx＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
∴函数y＝cos的对称中心是
(k∈Z)．故B正确．
【当堂检测】
1．B 解析：∵函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得－≤x≤，
∴只有，故选B．
2．C 解析：cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°．
sin 80°＞sin 12°＞sin 11°，
即cos 10°＞sin 168°＞sin 11°．
3．C 解析：∵0≤x≤，∴0≤2x≤，
∴0≤sin 2x≤，∴y∈[0，]．
4．4kπ＋(k∈Z) 解析：当函数取最大值时x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
5．x＝ 解析：由已知＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)．
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)．
∴f(x)在y轴右侧的第一条对称轴为x＝．
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质
互动课堂
疏导引导
1.正切函数的性质
(1)周期性
由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知正切函数是周期函数,周期是π.
(2)奇偶性
由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,且x≠+kπ,k∈Z,可知正切函数是奇函数.
(3)单调性
如图1-4-11(1)(2),由正切函数线的变化规律得,正切函数在(-,)内是增函数,又由周期性可知正切函数在开区间(-+kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.
图1-4-11
(4)值域
如图1-4-11(1),当x大于-且无限接近-时,正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸;如图1-4-11(2),当x小于且无限接近时,正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(-,)内可取任意实数,但没有最大值、最小值.
2.正切函数的图象
正切函数的图象的画法与正弦函数图象的画法类似,正切函数的图象是利用单位圆上的正切线来作的.如图1-4-12.
图1-4-12
图1-4-13
根据正切函数的周期性,我们可把图象向左、向右连续平移,得到y=tanx,x∈(-+kπ, +kπ),k∈Z的图象的正切曲线.
如图1-4-13,可以看出,正切曲线是由通过点(+kπ,0)(k∈Z)且被与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.
活学巧用
1.判断函数f(x)=lg的奇偶性.
分析:判断函数奇偶性分两步:
①考察定义域是否关于原点对称;②考察f(-x)=±f(x)是否成立.
解:要使y=lg有意义,函数应满足＞0,即tanx＞1或tanx＜-1.
∴函数的定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z).
∴定义域关于原点对称的f(-x)=lg
==-f(x).
∴y=是奇函数.
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则y可以是( )
A.- B. C.- D.
解析:∵y=tan(2x+φ)过(,0),∴tan(+φ)=0.
∴+φ=kπ.∴φ=kπ-.∴k=0时,φ=-.
答案:A
3.根据正切函数的图象,写出下列不等式的解集.
(1)tanx≥-1;(2)tan2x≤-1.
解析:作出y=tanx的图象,如图1-4-14.
图1-4-14
(1)∵tanx≥-1,tan(-)=-1,在(-,)内,满足条件的x为-≤x＜,由正切函数的图象,可知满足此不等式的x的集合为{x|-+kπ≤x＜+kπ,k∈Z}.
(2)在(-,)内,tan(-)=-1,
∴不等式的解集由不等式kπ-＜2x≤kπ- (k∈Z)确定.
解得-＜x≤k- (k∈Z).
∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|-＜x≤-,k∈Z}.
答案:(1){x|-+kπ≤x＜+kπ,k∈Z};
(2){x|-＜x≤-,k∈Z}.
1.4.3 正切函数的性质与图象
1．能借助单位圆中的正切线画出y＝tan x的图象．
2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用．
正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tan x的图象叫做________．
(2)性质：如下表所示．
(1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)正切曲线无限接近直线x＝＋kπ(k∈Z)．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝.
【做一做1－1】 y＝tan x( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间(k∈Z)上为增函数
D．在每一个闭区间(k∈Z)上为增函数
【做一做1－2】 f(x)＝tan2x是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【做一做1－3】 函数y＝3tan x－1的定义域是__________．
答案：正切曲线 ＋kπ R π 奇 －＋kπ
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 B
【做一做1－3】
画正切函数的简图
剖析：我们知道“五点法”可以快速画出正、余弦函数的图象的草图，正切函数的图象不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图象，需从正切函数的图象和性质上来分析，找出画简图的方法．
由于正切函数的定义域为，所以正切函数的图象被垂直于x轴的无数条平行直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开．
画正切函数的图象时，也是先画一个周期的图象，即函数y＝tan x，x∈的图象，再把这一图象向左、右平移(每次平移π个单位长度)，从而得到正切函数的图象．
通过函数y＝tan x，x∈的作图发现：函数的图象过，，(0,0)三点，被直线x＝±隔开，这样，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的简图．
题型一 求定义域和单调区间
【例1】 求函数y＝tan的定义域，并指出它的单调性．
分析：把3x－看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．
反思：求函数y＝Atan(ωx＋φ)，A≠0，ω＞0的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把“ωx＋φ(ω＞0)”看作一个整体．令ωx＋φ≠kπ＋(k∈Z)可解得该函数的定义域．
题型二 比较大小
【例2】 比较tan与tan的大小．
分析：先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值，再比较大小．
反思：运用正切函数单调性比较tan α与tan β大小的步骤：
①运用诱导公式将角α，β化到同一单调区间内，通常是化到区间内；
②运用单调性比较大小．
题型三 求周期
【例3】 求下列函数的最小正周期：
(1)y＝－tan；
(2)y＝|tan x|.
分析：(1)利用T＝求解；(2)画出函数图象利用图象法求解．
反思：函数y＝Atan(ωx＋φ)与函数y＝|Atan(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期均为T＝.
题型四 解不等式
【例4】 观察正切曲线，解不等式tan x＞1.
分析：先确定在一个周期内的x值的范围，再写出不等式的解集．
题型五 易错辨析
易错点 忽视正切函数的定义域
【例5】 求y＝的定义域．
错解：∵1＋tan x≠0，即tan x≠－1，
∴x≠kπ－(k∈Z)，即y＝的定义域为.
错因分析：错解忽略了tan x本身对x的限制．
答案：
【例1】 解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
令kπ－＜3x－＜kπ＋(k∈Z)，
即－＜x＜＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，不存在单调递减区间．
【例2】 解：tan＝－tan，tan＝－tan.
∵0＜＜＜，y＝tan x在上是增函数，
∴tan＜tan.
∴－tan＞－tan，
即tan＞tan.
【例3】 解：(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝3.
(2)函数y＝|tan x|的图象是将函数y＝tan x图象x轴下方的图象沿x轴翻折上去，其余不变，如图所示．
由图知函数y＝|tan x|的最小正周期为π.
【例4】 解：函数y＝tan x在区间内的图象如图所示．
作直线y＝1，则在内，当tan x＞1时，有＜x＜.又函数y＝tan x的周期为π，
则tan x＞1的解集是.
【例5】 正解：要使函数y＝有意义，则应有
∴函数的定义域为
.
1．函数y＝的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2．函数f(x)＝的单调增区间为( )
A.，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
4．函数y＝的定义域为__________．
5．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
答案：1．B
2．C 利用整体思想，令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，得kπ－＜x＜kπ＋.
3．B 要使函数有意义，自变量x的取值应满足解得kπ－＜x≤kπ＋(k∈Z)．
4. 要使函数有意义，自变量x的取值应满足x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠kπ＋.
5．解：∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又＜2＜π，∴＜2－π＜0.
∵＜3＜π，∴＜3－π＜0，
∴＜2－π＜3－π＜1＜，
又y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，
即tan 2＜tan 3＜tan 1.
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质
疱工巧解牛
知识?巧学
一、正切函数的周期
π是正切函数的周期.在这里，我们用两角和的正切公式tan(α+β)=证明π是正切函数的最小正周期.
设T是正切函数的最小正周期且0＜T＜π，那么，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有tan(x+T)=tanx.令x=代入上式，得tan(+T)=tan=1，即 =1，解得tanT=0，此时T=kπ，k∈Z，这与0＜T＜π相矛盾.这说明上述tanT=0是不可能的，于是T必须等于π，即正切函数的最小正周期是π.
学法一得 (1)周期函数的定义中“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”的含义是指函数定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0+T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期.
(2)根据问题所给的全部信息，选包含在问题中的题设或结论中的某个特殊值，导出问题的答案，再进一步论证其正确性的方法，称之为特殊化法.
二、正切函数的奇偶性
由诱导公式三可知，tan(-x)=-tanx.又因为正切函数的定义域是x∈R，且x≠+kπ,k∈Z，它关于原点对称，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.
三、正切函数的单调性
过单位圆与x轴的正半轴的交点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边(当角α为第一、四象限时)或其反向延长线(当角α为第二、三象限时)相交于点T，我们就把有向线段AT叫做角α的正切线.
设角α∈(,)，当α由小变大时，可见它的正切线在负的方向上由长逐渐变短到零，再在正的方向上由零逐渐变长.结合正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(-+kπ, +kπ),k∈Z内都是增函数.
四、正切函数的值域
由正切函数线的变化规律可知，正切函数在给定的定义域上没有最值，它的值域是y∈R.
五、正切函数的对称性
正切函数是中心对称图形，同一支曲线的对称中心是图象与坐标轴的交点(kπ，0)，k∈Z.相邻的两支曲线的对称中心是它们的公共渐近线同坐标轴的交点(+kπ，0)，k∈Z.由于终边落在坐标轴上的角是α=，k∈Z，可知切函数的对称中心是(，0).
六、用正切线作正切函数y=tanx，x∈(，)的图象
1.由任意角的三角函数的定义可知，正切函数y=tanx的定义域是{x|x∈R且x≠+kπ，k∈Z }，即角x的终边不能落在y轴上.结合单位圆中正切线的画法及其周期性，我们选择在(，)这一区间内作它的图象是最为适宜的.
2.作正切函数y=tanx，x∈(，)的图象的步骤
(1)建立直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆;
(2)把单位圆中的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出其相应的正切线;
(3)在x轴上，把到这一段分成8等份，依次确定单位圆上8个分点在x轴上的位置;
(4)把角x的正切线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合;
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连结起来，就得到y=tanx，x∈(，)的图象.如图14-1-2所示.
图1-4-12
3.根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展(每次扩展π的整数倍)，得到正切函数y=tanx，x∈R且x≠+kπ，k∈Z的图象，并把它叫做正切曲线(如图1-4-13).从下图可以看到，正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为正切曲线的渐近线)所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
图1-4-13
学法一得 (1)一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格的表述.但对正切函数，本书采用了先根据已有的知识研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象.在函数性质的指导下，更加有效地研究图象，使数形结合的思想体现的更加完美.
(2)画正切函数的简图时，可按照开区间(,),(,),(,),…分段，这些开区间的长度都等于π个单位.在每一个开区间上，都有一支曲线与x轴交于一点，且与渐近线无限接近但永不相交.与x轴的交点及渐近线在确定图象的形状时起关键作用，利用它可以画出正切函数的简图.类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三个点分别为(kπ,0),(kπ+,1),(kπ-,-1),其中k∈Z.两线为直线x=kπ+ (k∈Z)和直线x=kπ- (k∈Z).
(3)当把单位圆的右半圆等分时，分的份数越多，图象就越精确，所分份数以4的倍数为佳.正切曲线中，相互平行的直线x=+kπ，k∈Z都是它的渐近线.在同一单调区间内，图象向上、向下无限地接近这些线，但永远不能相交.
典题?热题
知识点一 周期性
例1 求下列正切函数的周期：
(1)y=2tan(2x+)；
(2)y=3tan()；
(3)y=Atan(ωx+φ)，x∈R,x≠+kπ(其中A、ω、φ为常数，且A≠0,ω＞0).
思路分析：利用周期函数的定义或最小正周期的公式求解.
解：(1)令z=2x+，那么函数y=2tanz的周期是π.
由于z+π=(2x+)+π=2(x+)+，所以自变量x只要并且至少要增加到x+时，函数值才能重复取得，即T=是能使等式2tan［2(x+T)+］=2tan(2x+)成立的最小正数，从而函数y=2tan(2x+)的周期是.
(2)令z=，那么函数y=3tanz的周期是π.
由于z+π=()+π=(x+2π)-，所以自变量x只要并且至少要增加到x+2π时，函数值才能重复取得，即T=2π是能使等式3tan［(x+T)-］=3tan()成立的最小正数，从而函数y=3tan()的周期是2π.
(3)令z=ωx+φ，那么y=Atanz的周期是π.
由于z+π=(ωx+φ)+π=ω(x+)+φ，所以自变量只要并且至少要增加到时，函数值才能重复出现，即是能使等式Atan［ω(x+T)+φ］=Atan(ωx+φ)成立的最小正数，从而函数y=Atan(ωx+φ)的周期是.
方法归纳 函数y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)的周期是.对于上述结论，在以后的学习中可直接利用它求正切函数的周期.对于较复杂的三角函数式，可先化简成这种形式，再求周期.
例2 求f(x)=|tanx|的最小正周期.
思路分析：函数f(x)=|tanx|=的图象可看作把y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.
解：先作出y=tanx的图象，然后将它在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象向上翻(即作出关于x轴的对称图象)，就可得到y=|tanx|的图象.如图1-4-14,显然它的最小正周期是π.
图1-4-14
方法归纳 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个最小正数是相对x而言的.正切函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为.
知识点二 奇偶性
例3 试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|；(2)f(x)=x2tanx-sin2x；(3)f(x)=tanx·cotx.
思路分析：利用函数奇偶性的定义去判断.
解：(1)因为该函数的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|= 1-2cosx+|tanx|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.
(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z}，关于原点对称，
又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x，f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)因为该函数的定义域是{x|x≠，k∈Z }，关于原点对称，且f(x)=tanx·cotx=1，对定义域内的任意一个x，都有f(-x)=1=f(x)，所以该函数是偶函数.
方法归纳 ①函数的定义域关于原点(y轴)对称是该函数具有奇偶性的一个充要条件.奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称;反过来，图象关于原点(或y轴)对称的函数是奇(偶)函数.
②判断函数奇偶性的步骤是：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(-x)与f(x)的关系.若定义域关于原点对称且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是偶函数或奇函数，否则就是非奇非偶函数.
知识点三 单调性
例4 比较不同角的三角函数值的大小.
(1)tan100°15′与tan138°30′；(2)tan()与tan()；(3)tan509°与tan140°.
思路分析：利用诱导公式把它们转化成锐角的正切函数或转化成同一单调区间内的正切函数.
解：(1)tan100°15′=tan(180°-79°45′)=-tan79°45′，
tan138°30′=tan(180°-41°30′)=-tan41°30′.
∵0°＜41°30′＜79°45′＜90°，且正切函数y=tanx，x∈(0°，90°)是增函数，
∴tan41°30′＜tan79°45′，即tan100°15′＜tan138°30′.
(2)tan()=-tan(5π-)=tan，
tan()=-tan(5π-)=tan，
∵且正切函数y=tanx，x∈(0，)是增函数，
∴，即.
(3)tan509°=tan(3×180°-31°)=tan(-31°)=-tan31°，tan140°=tan(180°-40°)=tan(-40°)=-tan40°.
∵0＜31°＜40°＜90°，且正切函数y=tanx，x∈(0°，90°)是增函数，
∴tan31°＜tan40°，即tan509°＞tan140°.
例5 求函数y=tan(3x-)的单调区间.
思路分析：利用复合函数单调性的判定方法求复合函数的单调区间.
解：令u=3x-，则y=tanu.
∵u=3x-为增函数且y=tanu在区间(-+kπ，+kπ)，k∈Z上是增函数，
∴y=tan(3x-)在-+kπ＜3x-＜+kπ，即在x∈()，k∈Z上是增函数.
方法归纳 由于切函数是奇函数，对于负角的切函数，可先转化成正角的切函数；由于切函数的周期是π，对于非锐角可直接转化成kπ±α或k·180°±α，α是锐角的形式，利用诱导公式对其化简；函数的单调性是相对于某一个区间而言的.正切函数在每一个开区间内都是增函数，但在整个定义域上不是单调函数.
例6 解下列不等式：
(1)tanx≥1；(2)tan(2x-)+3＞0.
思路分析：利用切函数的图象及其单调性求解.
解：(1)如图1-4-15，在区间(，)上，满足tanx≥1的角是≤x＜，所以不等式的解集是{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}.
图1-4-15 图1-4-16
(2)原不等式可化为tan(2x-)＞-3，设z=2x-.
如图1-4-16，在(，)上满足tanz＞-3的角的范围是，
所以在整个定义域上有，k∈Z，
即，k∈Z.
解得，k∈Z.
所以原不等式的解集是{x|，k∈Z}.
知识点四 对称性
例7 下列各点中是函数y=tan(x+)(x∈R且x≠+kπ，k∈Z)的一个对称中心的为( )
A.(0，0) B.(，0) C.(，0) D.(π，0)
思路分析：因为切函数的对称中心是使函数值为零或使函数值无意义的点，不妨采用直接代入法求解.
答案：C
知识点五 函数的定义域
例8 求函数的定义域.
思路分析：求该函数的定义域不仅要考虑到tanx≠1，还要考虑到自身的限制条件.
解：要使函数有意义，必须tanx≠1，且x≠+kπ,k∈Z，
即该函数的定义域是x≠+kπ,k∈Z且x≠+kπ,k∈Z.
方法归纳 函数y=Atan(ωx+φ)的定义域是它的渐近线集在实数中的补集，因此可从研究它的渐近线方程入手，来确定它的定义域.这也是一种非常重要的求补集思想.
知识点六 函数的值域
例9 求函数y=tan2x-2tanx-3，x∈［，+kπ］，k∈Z的值域.
思路分析：换元后，用配方法求二次函数的值域.
解：设t=tanx，x∈［，+kπ］，k∈Z，
由正切函数的性质可得t∈［，1］.
则y=t2-2t-3=(t-1)2-4.
因为y=t2-2t-3在区间［，1］上是减函数，
所以当t=时，ymax=；
当t=1时，ymin=(1-1)2-4=-4.
所以，所求函数的值域为［-4，］.
方法归纳 (1)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫函数的值域.它是由定义域和对应关系决定的.
(2)求二次函数的最值时，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴不在给定区间时，函数是单调函数，其最值在区间的两个端点处取得；当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的区间端点处取另一最值.
问题?探究
误区陷阱探究
问题1 正弦与余弦函数图象形状相同，因此在若干性质上差别不大，但正切函数与正弦、余弦函数相比较，就有了较多的不同点，那么在把握正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？
探究过程：正切函数y=tanx,x≠kπ+,k∈Z，其定义域不是R，又正切函数与正弦、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+，图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函数.同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)而言，T=,y=tanx是奇函数，它的图象既可以类似用正切线的几何方法作图，又可以用“三两线法”作简图，这里三个点为(kπ,0),(kπ+,1),(kπ-,-1)，直线x=kπ+，直线x=kπ-(其中k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx在一个周期上的简图.正弦、余弦函数与正切函数同是中心对称图形(正、余弦函数同时也是轴对称图形).
函数y=tanx的对称中心的坐标是(,0)(k∈Z)，y=tanx的值域为R是显然的.
探究结论：对正切、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正弦、余弦函数的结论作一般的推广，需论证后加以应用，例如：y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx的周期却相同，均为π，再如y=sinωx+cosax的周期可用最小公倍数法求，而y=tanωx+cotax的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期.
问题2 判断函数的奇偶性.
∵
,
且f(-x)==-f(x)，
∴f(x)是奇函数.
你能看出上述的解法存在什么问题吗？
探究过程：上述解法是错误的，原因是没有考虑原函数的定义域，而且在化简函数式时没有考虑到的要求.
在判断函数的奇偶性时，首先应求定义域，即看是否具备函数具有奇偶性的必要条件——定义域区间关于原点对称.
探究结论：正确的解法如下：
∵1+sinx+cosx≠02sin(x+)≠-1sin(x+)≠
x≠2kπ-且x≠2kπ+π.
∴定义域关于原点不对称，故f(x)是非奇非偶函数.
1.4.3 正切函数的性质与图象
问题导学
一、与正切函数有关的定义域问题
活动与探究1
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
迁移与应用
求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
二、正切函数的单调性及其运用
活动与探究2
(1)函数y＝sin x＋tan x，x∈的值域是__________．
(2)比较大小：tan__________tan．
迁移与应用
求函数y＝tan的单调递减区间．
求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
三、正切函数的图象及应用
活动与探究3
画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
迁移与应用
设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期，对称中心．
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
(1)作函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
当堂检测
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为2π，则f＝( )
A． B．1 C． D．0
2．函数y＝tan的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)＝tan的单调区间为( )
A．，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
4．比较大小：tan 1__________tan 4．
5．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
R π 奇函数 (k∈Z)
预习交流 提示：y＝tan x在每个开区间，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域求若干三角不等式的交集即可．
解：(1)要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为
．
(2)因为－tan x＞0，所以tan x＜．
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，所以函数的定义域是
．
迁移与应用 解：由题意得即－1≤tan x＜1．
在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
活动与探究2 思路分析：(1)判断函数的单调性，再求值域．
(2)将角化成在同一单调区间内，利用单调性比较．
(1) (2)＞ 解析：(1)函数y＝sin x，y＝tan x在x∈内均是单调递增函数，∴y＝sin x＋tan x在上是单调递增函数，∴函数y＝sin x＋tan x的值域为．
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，∴tan ＜tan ，
∴tan ＞tan ．
迁移与应用 解：y＝tan＝－tan．
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
∵y＝tan在(k∈Z)内递增，
∴y＝－tan在(k∈Z)内递减，此即为原函数的单调递减区间．
活动与探究3 思路分析：画出y＝tan x的图象，再画出y＝|tan x|的图象，利用图象研究函数的性质．
解：由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π．
迁移与应用 解：(1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π．
令－＝(k∈Z)得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝．
令－＝，则x＝．
令－＝－，则x＝－．
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
【当堂检测】
1．B 解析：由已知＝2π，∴ω＝，∴f(x)＝tan，
∴f＝tan＝tan＝1．
2．D 解析：由tan＝－tan，
∴x－≠kπ＋，k∈Z，
从而x≠kπ＋，x∈R，k∈Z．
3．C 解析：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z．故选C．
4．＞ 解析：由正切函数的图象易知tan 1＞0，
tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜，
函数y＝tan x在上为增函数，
∴tan 1＞tan(4－π)＝tan 4．
5．－5 解析：f(x)的定义域为∪(k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝tan(－x)＋
＝－＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－5．
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）
课堂导学
三点剖析
1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值
【例1】求下列函数的单调区间：
（1）y=sin(x-);
(2)y=cos2x.
思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R)和y=cosx(x∈R)的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.
解：（1）令u=x-,函数y=sinu的递增、递减区间分别为［2kπ-,2kπ+］，k∈Z，［2kπ+,2kπ+］，k∈Z.
∴y=sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.
2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
2kπ+≤x≤2kπ+116π,k∈Z.
∴函数y=sin(x-)的递增区间、递减区间分别是
［2kπ-，2kπ+］,k∈Z,
［2kπ+，2kπ+116π］,k∈Z.
(2)函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.
∴kπ-≤x≤kπ,k∈Z,kπ≤x≤kπ+,k∈Z.
∴函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别为
［kπ-,kπ］,k∈Z,［kπ,kπ+］,k∈Z.
【例2】求函数y=3-2sin(x+)的最大、最小值及相应的x值.
思路分析：使函数y=3-2sin(x+)取得最大、最小值的x就是使得函数y=sin(x+)取得最小、最大值的x.
解：当sin(x+)=1
即x+=2kπ+,x=2kπ+时，y取最小值，y的最小值为3-2=1.
当sin(x+)=-1
即x+=2kπ-,x=2kπ-23π时,y取最大值，y的最大值为3+2=5.
温馨提示
求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的单调区间或最值时，我们用整体换元思想.A、ω＞0时，则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x的集合，解得x的范围即可.
2.判断函数的奇偶性
【例3】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|sinx|+cosx;
(2)f(x)=;
(3)y=;
(4)y=.
思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)与f(x)的关系.
解：（1）函数的定义域为R,
f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)
=|-sinx|+cosx
=|sinx|+cosx=f(x).
∴函数为偶函数.
(2)由1+sinx+cosx≠0得
x≠π+2kπ,且x≠+2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域不关于原点对称.
∴函数f(x)=为非奇非偶函数.
(3)∵sinx-1≥0,
∴sinx=1,x=2kπ+(k∈Z).
函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.
(4)∵1-cosx≥0且cosx≥1，
∴cosx=1,x=2kπ(k∈Z).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数.
温馨提示
判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.
3.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型函数中，A、ω的正负对求单调区间及最值的影响
【例4】求函数的单调区间：y=2sin(-x).
思路分析：令-x=u,则u=-x在x∈R上是减函数，由复合函数同增异减原则，要求原函数的递增区间，-x必须套sinu的减区间.
解：y=2sin(-x)化为y=-2sin(x-).
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
∴函数y=-2sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.
2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z.
2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z.
得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
∴函数y=sin(-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为
［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
各个击破
类题演练1
求函数y=3sin(2x+)的单调递增区间.
解：令2x+=u,则
y=3sinu的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］,k∈Z,
即2kπ-≤2x+≤2kπ+,
∴kπ-≤x≤kπ+.
∴y=3sin(2x+)的单调递增区间是［kπ-π,kπ+］,k∈Z.
变式提升1
比较下列各组数的大小.
（1）sin16°与sin154°；
（2）cos3,cos,sin4,cos.
解：(1)因为sin154°=sin(180°-26°)=sin26°.函数y=sinx在［0,］为增函数，而26°＞16°.
所以sin26°＞sin16°,即sin154°＞sin16°.
(2)因为sin4=cos(-4)=cos(4-)，函数y=cosx在［0，π］为减函数，而
＜4-＜＜3＜π.
所以cos＞cos(4-)＞cos＞cos3.
即cos＞sin4＞cos＞cos3.
类题演练2
函数f(x)=3sin(π5x+)的最大值为____________,相应的x取值集合为____________.
解析：最大值为3，此时π5x+=2kπ+,k∈Z,
∴x=10k+,k∈Z.
答案：3 {x|x=10k+,k∈Z}
变式提升2
求下列函数的最大值与最小值及相应的x.
(1)y=acosx+b;
(2)y=cos2x+sinx-2.
解：(1)①若a＞0，当cosx=1,即x=2kπ时，y取最大值,y的最大值为a+b；
当cosx=-1，即x=2kπ+π时，y取最小值，y的最小值为b-a.
②若a＜0，当cosx=1即x=2kπ时，y取最小值，y的最小值为a+b；
当cosx=-1即x=2kπ+π时，y取最大值，y的最大值为b-a.
总上知y的最大值为|a|+b，最小值为-|a|+b.
(2)y=1-sin2x+sinx-2=-sin2x+sinx-1=-(sinx-)2-,
当sinx=12,即x=2kπ+或x=2kπ+(k∈Z)时，y取得最大值，y的最大值为-;
当sinx=-1即x=2kπ-时，y取得最小值,y的最小值为-3.
类题演练3
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sinx;
(3)f(x)=.
解：(1)函数的定义域R关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域R关于原点对称,
又f(x)=cosx-x3sinx
∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)
=cosx-x3sinx=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(3)函数应满足1+sinx≠0,
∴函数的定义域为{x∈R |x≠2kπ+,k∈Z},
∴函数的定义域关于原点不对称,
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
变式提升3
(1)已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7，求f(-5).
(2)如果函数y1=a-bcosx(b＞0)的最大值是32，最小值是，那么函数y2=-4asin3bx的最大值是（ ）
A.-2 B.2 C. D.-
解：（1）因为f(-x)-1=a(-x)+bsin3(-x)=-(ax+bsin3x)=-［f(x)-1］,
所以f(-5)=-6.
（2）由题意a+b=∴
∴y2=-2sin3x.
∴y2的最大值为2.
答案：（1）-6 （2）B
类题演练4
函数y=2sin(-2x)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（ ）
A.［0，］ B.［，］
C.［，］ D.［，π］
解：2sin(-2x)=-2sin(2x-),
当2kπ+≤2x-≤2kπ+,即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
当k=0时得在［0，π］上的单调增区间为［，］.
答案：C
变式提升4
求函数y=cos(-)的单调递增区间.
解：∵y=cos(-2x)=cos(2x-),
令2x-=u,
则y=cosu的单调递增区间为
［2kπ-π,2kπ］,k∈Z,
即2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数y=cos(-)的单调递增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.
1.4.4 正切函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
1.正切函数的图象和性质.
【例1】 已知函数y=tan,
（1）作此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.
思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令-=z）将问题转化到正切函数y=tanZ的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.
解：（1）列表：
x
-
…
-
…
-
-
…
0
…
tan（-）
-∞
…
-1
0
1
…
+∞
描点作线画图：
（2）∵-≠+kπ,k∈Z.
∴x≠+2kπ,从而函数的定义域是{x∈R｜x≠π+2kπ,k∈Z}.
函数的周期是T==2π.
又∵-+kπ＜-＜+kπ,k∈Z,
∴-+2kπ＜x＜π+2kπ.
故函数的单调增区间是
（-+2kπ，π+2kπ），k∈Z；无减区间.
（3）由-=+kπ，k∈Z得
x=,
故函数图象的渐近线为
x=π+2kπ,k∈Z；
再由-=，k∈Z，
得x=+kπ,
故函数图象的对称中心为（+kπ，0），k∈Z.
2.正切函数图象与性质的应用
【例2】求满足下面条件的x的集合tan(2x-)+3＞0.
思路分析：本题可将2x-看作一个整体，利用y=tanx的图象及单调性求解.
解：原不等式可化为tan（2x-）＞，
设z=2x-.
如下图，在（-，）上满足tanz＞的角的范围是-＜z＜,所以在整个定义域上有-+kπ＜z＜+kπ,k∈Z,
即-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z.
解得＜x＜+,k∈Z.
所以原不等式的解集是
{x｜＜x＜+,k∈Z}.
温馨提示
本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x-看作一个变量Z，然后结合正切函数的图象得到Z的范围，最后用2x-替换Z，解得x即可.
3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解.
【例3】若A={x｜tanx＞0}，
B={x｜≥0}，
试求A∩B.
解：由B得
∴tanx≥.
∴A∩B={x｜tanx≥}，
而正切函数在每一个区间（kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数，
所以tanx≥的解为
kπ+≤x＜kπ+,k∈Z，
故A∩B={x｜kπ+≤x＜kπ+,k∈Z}.
温馨提示
由tanx≥易解得x≥kπ+，k∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（kπ-,kπ+），k∈Z上是增函数.
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域
（1）y=tan（2x-）;
(2)y=.
解：（1）函数的自变量x应满足：2x-≠kπ+,k∈Z,
即x≠+(k∈Z).
所以,函数的定义域为{x｜x≠+,k∈Z}.
(2)要使函数y=有意义，
则有
即x≠kπ-，且x≠kπ+(k∈Z).
∴函数的定义域为，
{x｜x∈R且x≠kπ-,x≠kπ+,k∈Z}.
变式提升1
y=｜tanx｜的最小正周期为（ ）
A. ? B.π ?? C.2π ?? D.
解析：作出y=｜tanx｜的图象，如下图所示.
故y=｜tanx｜的周期为π.
答案：B
温馨提示
（1）y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期都是y=sinx,y=cosx的周期缩短了一半，而y=｜tanx｜的周期与y=tanx的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=｜tanx｜的周期是.
（2）注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数.
类题演练2
求函数y=的定义域.
解：
∴tanx≤3,如右图
∴kπ-＜x≤kπ+(k∈Z).
∴函数的定义域为{x｜kπ-＜x≤kπ+,k∈Z}.
变式提升2
在区间（-，）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx与y=tanx，在（-，）内的图象，须明确x∈（0，）时，有sinx＜x＜tanx（利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明），然后利用对称性作用x∈（-，）的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点.
∴应选C.
答案：C
类题演练3
以下三个描述不正确的是（ ）
①正切函数为定义域上增函数
②正切函数存在闭区间［a,b］,使y=tanx为其上增函数
③正切函数存在闭区间［a,b］,使y=tanx为其上减函数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：只有②正确.
答案：C
变式提升3
比较tan1,tan2,tan3,tan4的大小.
解：tan2=tan（2-π),tan3=tan(3-π),
tan4=tan(4-π),
又∵-＜2-π＜3-π＜4-π＜1＜,且y=tanx在（-，）上是增函数.
∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan(4-π)＜tan1.
即tan2＜tan3＜tan4＜tan1.
1.4 三角函数的图象与性质
知识梳理
1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.
2.正弦曲线与余弦曲线的关系
我们知道y=cosx=sin(+x)(x∈R)，由此可知，余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.
3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
4.正弦、余弦、正切函数的主要性质
函数性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠+kπ,k∈Z}
值域
［-1，1］
［-1，1］
R
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间
［+2kπ, +2kπ］
(k∈Z)
［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)
(+2kπ, +2kπ)
(k∈Z)
减区间
［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)
［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)
无
对称性
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(kπ+,0)(k∈Z)
(k,0)(k∈Z)
对称轴
x=kπ+ (k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
知识导学
要学好本节内容，可借助一定的实例展现正弦函数的图象，对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（x∈R）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx的图象.从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性，体会周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过过来利用图象观察性质.
疑难突破
1.为什么y=sinx不在［0,2π］上考查单调性，而选用［，］？
剖析：因为在［0，2π］上y=sinx的增区间有两部分，表达起来不集中，而在一个周期［，］上，单调增减区间都分别只有一个，所以表达正弦函数所有单调区间时相对简单些.
2.除原点外正弦函数y=sinx图象还有没有其他的对称中心？
剖析：将ｙ轴左移或右移π个单位，2π个单位，3π个单位，…即ｋπ（k∈Z）个单位，正弦函数图象的对称中心也可以是点（π，０），点（2π，０），…，点（ｋπ，０）（k∈Z）.由此可知正弦函数图象有无数个对称中心（ｋπ，０）（k∈Z）.
它们是图象与x轴的交点，亦即图象和其平衡位置的交点，可以看出正弦函数图象也具有轴对称性.所有的对称轴为x=ｋπ＋（k∈Z），它们是过图象的最高或最低点而与x轴垂直的直线.
3.如何理解三角函数图象的五点法作图？
剖析：y=sinx,x∈［0，2π］的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0）（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.（0，1）（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）这五点描出后，余弦函数y=cosx，x∈［0,2π］的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx图象，如图1-4-1：
图1-4-1
所以，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法.
注意：（1）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.
（2）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.
4.如何理解正弦、余弦、正切函数的性质？
剖析：（1）正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键，而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象，因此图象与性质相辅相承，图象是性质的载体，性质又决定了图象的特征.
（2）正切函数y=tanx,x∈(kπ,kπ+)(k∈Z)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调函数.
（3）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.
（4）正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线、正切曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.正切曲线的对称中心有两类：一类是曲线与x轴的交点，此时正切值为0；另一类是对称轴与x轴的交点，此时正切函数无意义.
5.如何理解周期函数?
剖析：（1）周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足都不能说T是y=f(x)的周期；
例如：sin(+)=sin,但是sin(+)≠sin.
就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.
（2）从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+)］=f(2x)，则是y=f(x)的周期.
（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.
（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C（C为常数）（x∈R），当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.
再如函数D(x)=
设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.
（5）“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值.
（6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N+)一定也是周期.
（7）在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
1.4 三角函数的图象与性质（第1课时）
课堂探究
探究一 用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x或cos x
0或1
1或0
0或－1
－1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【典型例题1】 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
思路分析：先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
解：(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图．
探究二 利用“图象变换”作三角函数的图象
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．一般地，函数f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称；－f(x)与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称；|f(x)|的图象将f(x)在x轴上方及x轴上的图象保持不变，x轴下方的作关于x轴对称的图象．
【典型例题2】 利用图象变换作出下列函数的简图．
(1)y＝1－cos x；
(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．
解：(1)作函数y＝cos x关于x轴对称的图象得函数y＝－cos x的图象．
再把y＝－cos x的图象向上平移1个单位得y＝1－cos x的图象．如图中实线所示，图中虚线为y＝cos x的图象．
(2)作y＝sin x，x∈[0,4π]的图象，把x轴下方的图象翻折到x轴上方，x轴上方的保持不变，如图中实线所示．
探究三 正、余弦曲线的应用
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤：
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒解三角不等式sin x>a，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
【典型例题3】 写出不等式sin x≥的解集．
思路分析：解答本题可利用数形结合，分别画出y＝sin x和y＝的图象，通过图象写出不等式的解集．
解：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象及y＝，
由图知sin ＝sin ＝，
∴当x∈[0,2π]，且≤x≤时，sin x≥.
又由终边相同的角的同一三角函数值相等得不等式sin x≥的解集为.
1.4 三角函数的图象与性质（第1课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法．
2．掌握正弦函数、余弦函数的图象，知道它们之间的关系．
3．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
1．正、余弦函数解析式
函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sin x
R
余弦函数
y＝cos x
R
2．正弦线法画图象
(1)可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
(2)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
思考1为什么把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度图象形状不变？
提示：由公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z可得．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x，x∈R和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
思考2如何由y＝cos x(x∈R)的图象得到y＝sin x，x∈R的图象？方法唯一吗？
提示：(1)sin x＝cos，故只需把y＝cos x，x∈R的图象向左平移个单位便可得到y＝sin x，x∈R的图象．
(2)方法不唯一．如sin x＝cos，即也可以把y＝cos x，x∈R的图象向右平移个单位得到y＝sin x，x∈R的图象．
4．“五点法”作正、余弦函数的图象
正弦函数图象的五点
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
余弦函数图象的五点
(0,1)
(π，－1)
(2π，1)
思考3为什么用“五点法”可以得到y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
提示：“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及平衡点．因为这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，所以由此可以作出函数的简图．
1.4 三角函数的图象与性质（第2课时）
课堂探究
探究一求三角函数的周期
求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
【典型例题1】 (1)函数f(x)＝2sin的最小正周期为__________．
(2)函数f(x)＝的最小正周期是__________．
思路分析：(1)可用周期函数的定义求解，也可用公式法求解；(2)可通过画图象求周期．
解析：(1)∵ω＝，∴周期T＝＝＝4π.
(2)f(x)＝＝＝|cos x|，画出f(x)图象如图所示，
由图象知最小正周期为π.
答案：(1)4π (2)π
探究二 函数周期性的应用
1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其定义域内的有关性质．
【典型例题2】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
又∵f(x)是偶函数，
∴f＝f＝sin＝.
答案：B
探究三易错辨析
易错点：不清楚周期函数的定义
【典型例题3】 利用定义求f(x)＝sin的最小正周期．
错解：∵f(x＋2π)＝sin
＝sin
＝sin＝f(x)，
∴T＝2π是f(x)的最小正周期．
错因分析：错解中求的不是最小正周期．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其最小正周期为.
正解：令z＝2x－，∵x∈R，∴z∈R.
又∵y＝sin z的周期是2π，
z＋2π＝＋2π＝2(x＋π)－，
∴f(x＋π)＝sin
＝sin
＝sin＝f(x)．
∴f(x)的最小正周期是T＝π.
1.4 三角函数的图象与性质（第2课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解周期函数的定义，知道周期函数的周期和最小正周期的含义．
2．知道正弦函数和余弦函数都是周期函数．
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
1．周期函数
(1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)规定：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期．
思考1是否所有周期函数都有最小正周期？
提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．
如常数函数f(x)＝c(c为常数)，x∈R，即对定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝f(x)＝c，由于正数中无最小者，故无最小正周期．
2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考2函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期与什么量有关？周期公式是什么？
提示：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期只与ω有关，而与A，φ无关，周期公式为T＝ (ω>0)．
1.4 三角函数的图象与性质（第3课时）
课堂探究
探究一三角函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性的常用方法：
(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．
(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．
(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．
2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶函数．
【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝sin xsin.
思路分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而可确定函数的奇偶性．
解：(1)f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(2)f(x)有意义时，sin x＋1≠0，
∴sin x≠－1.
∴x≠2kπ－，k∈Z.
∴f(x)的定义域为.
∴f(x)的定义域不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，
由已知可得f(x)＝sin xcos x，
∴f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
探究二 正、余弦函数的单调性
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)或函数y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0)单调区间的方法：
运用整体变量代换法，即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u，利用基本三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间，但要注意A，ω的符号对单调性的影响．A>0与A<0时，单调区间相反，当ω<0时，先用诱导公式将x的系数化为正．
例如：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等式确定：
－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)．
2．比较三角函数值的大小时：
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式化为同一单调区间；
(3)利用函数的单调性比较大小．
【典型例题2】 (1)函数y＝2sin的单调递增区间为__________．
(2)已知a＝sin，b＝sin，则a，b的大小关系是__________．
解析：(1)∵y＝2sin x的单调递增区间是，k∈Z.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴所求的单调递增区间为，k∈Z.
(2)a＝－sin＝－sin＝sin.
b＝－sin＝－sin＝－sin
＝sin＝sin.
∵0<<<，y＝sin x在上是增函数，
∴sin>sin.∴a>b.
答案：(1) ，k∈Z (2)a>b
探究三 三角函数的值域(最值)
三角函数最值问题的常见类型及求解方法
(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．
【典型例题3】 (1)函数f(x)＝2sin－1，x∈的值域为__________．当x＝__________时，f(x)取最小值，当x＝__________时，f(x)取最大值．
(2)函数f(x)＝2cos2x－4cos x＋1，x∈R的值域为__________；且当f(x)取最大值时，x的取值集合是__________．
思路分析：(1)先利用x∈求出x＋的范围，再将x＋看成整体利用正弦函数图象性质求得．
(2)把cos x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
解析：(1)∵－≤x≤，∴－≤x＋≤.
∴由正弦函数图象性质得，
当x＋＝－，即x＝－时，sin取最小值－，∴f(x)的最小值为－2.
当x＋＝，即x＝时，sin取最大值1，
∴f(x)的最大值为1.
当x∈时，f(x)的值域为[－2,1]．
(2)f(x)＝2cos2x－4cos x＋1＝2(cos2x－2cos x)＋1＝2(cos x－1)2－1，
设t＝cos x，∴y＝2(t－1)2－1，且图象开口向上，对称轴为t＝1.
∵－1≤cos x≤1，∴－1≤t≤1.
则当t∈[－1,1]时，函数y＝2(t－1)2－1单调递减．
∴当t＝－1时，ymax＝7，当t＝1时，ymin＝－1.
∴f(x)的值域为[－1,7]，且cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，f(x)取最大值．
∴f(x)取最大值时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}．
答案：(1)[－2,1] － (2)[－1,7] {x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
探究四易错辨析
易错点：忽视x的系数是负数
【典型例题4】 求y＝sin的单调递增区间．
错解：令－x＝t，
∵y＝sin t的递增区间为 (k∈Z)，
令2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，解得－2kπ－≤x≤－2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
∴y＝sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
错因分析：在－x中，x的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，这样才能求出原函数的单调递增区间．
正解：∵y＝sin＝－sin，
∴要求原函数的单调递增区间，只需求y＝sin的单调递减区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．∴y＝sin的单调递增区间是 (k∈Z)．
1.4 三角函数的图象与性质（第3课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性．
2．理解正弦函数、余弦函数的单调性，会根据单调性比较三角函数值的大小．
3．会求三角函数的最值.
正弦函数、余弦函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：T＝2π
单调性
在，k∈Z上递增；
在，k∈Z上递增
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增；
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；
当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1；
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
思考1正弦函数在第一象限是增函数吗？
提示：不是．虽然第一象限角包含无数个正弦函数的单调增区间，但是不能说y＝sin x在第一象限是增函数，比如，都是第一象限角且<，却有sin＝sin.
思考2正弦曲线、余弦曲线的对称轴、对称中心分别有什么特点？
提示：正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴为x＝kπ＋ (k∈Z)，余弦曲线的对称轴为x＝kπ(k∈Z)；而它们的对称中心分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，因此，正弦曲线的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，余弦曲线的对称中心是 (k∈Z)．
1.4 三角函数的图象与性质（第4课时）
课堂探究
探究一与正切函数有关的定义域问题
1．求由三角函数参与构成的函数的定义域，对于自变量必须满足：(1)使三角函数有意义，例如，若函数含有tan x，则x≠kπ＋，k∈Z；(2)分式形式的分母不等于零；(3)偶次根式的被开方数不小于零．
2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
【典型例题1】 函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是__________．
解析：由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
∴所求x的范围是，k∈Z.
即为此函数的定义域．
答案：，k∈Z
探究二正切函数的单调性及应用
1．求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ2．运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤：
(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间内；
(2)运用正切函数的单调性比较大小．
【典型例题2】 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2的大小．
解：(1)y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∴－<2－π<1<.
又∵y＝tan x在上是增函数，
∴tan(2－π)探究三 正切函数的奇偶性与周期性
1．函数奇偶性的判断：
在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
2．函数y＝Atan(ωx＋φ)与函数y＝|Atan(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期均为T＝.
【典型例题3】 (1)函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)函数y＝tan的周期是( )
A．2π B．π C. D.
解析：(1)函数有意义时，tan2x≠1，
∴tan x≠－1且tan x≠1.
∴f(x)的定义域为
，
定义域关于原点对称．
∴f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)周期T＝＝.
答案：(1)A (2)C
探究四易错辨析
易错点：忽视正切函数的定义域
【典型例题4】 求y＝的定义域．
错解：∵1＋tan x≠0，即tan x≠－1，
∴x≠kπ－ (k∈Z)，即y＝的定义域为.
错因分析：错解忽略了tan x本身对x的限制．
正解：要使函数y＝有意义，则应有
故函数的定义域为.
1.4 三角函数的图象与性质（第4课时）
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能借助单位圆中的正切线画出y＝tan x的图象．
2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
3．能利用正切函数的图象与性质解决问题.
正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线．
(2)性质：如下表所示.
思考1如何作正切函数的图象？
提示：用“三点两线法”可作正切函数的图象．
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右扩展即可得正切曲线．
思考2能否认为正切函数在其定义域内是单调增函数？
提示：函数的单调性是相对于某一区间而言的，虽然y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z在每一个区间，k∈Z上是单调增函数，但并不能说在整个定义域上是单调增函数，如：虽然>，但tan＝－1思考3正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点 (k∈Z)对称，因此正切函数y＝tan x的对称中心为 (k∈Z)．
