1.1 命题与量词
课后训练
1．下列语句不是命题的是( )
A．一个正数不是质数就是合数
B．大角所对的边较大，小角所对的边较小
C．请把门关上
D．若x∈R，则x2＋x＋2＞0
2．下列语句是命题的是( )
A．|x＋a| B．{0}∈N
C．元素与集合 D．真子集
3．命题“存在实数x，使x＋1＜0”可写成( )
A．若x是实数，则x＋1＜0
B．x∈R，x＋1＜0
C．x∈R，x＋1＜0
D．以上都不正确
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
5．下列命题中的假命题是( )
A．x∈R，lg x＝0 B．x∈R，tan x＝1
C．x∈R，x3＞0 D．x∈R,2x＞0
6．下列语句是命题的是__________．
①地球上有四大洋；②－2∈N；③π∈R；④同垂直于一条直线的两个平面平行．
7．命题①奇函数的图象关于原点对称；②有些三角形是等腰三角形；③x∈R,2x＋1是奇数；④实数的平方大于零．其中是全称命题的是__________．
8．下列命题中，是真命题的是__________．
①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2＜0；③对任意实数x，均有x－1＜x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为空集．
9．判断下列命题的真假：
(1)a∈R，函数y＝logax是单调函数；
(2)a∈{向量}，使a·b＝0.
10．求使命题p(x)：为真命题的x的取值范围．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：B 由存在性命题的表示形式可知，选项B正确．
4. 答案：D 由全称命题的表示形式可知，选项D错误．
5. 答案：C 对于A选项，当x＝1时，lg x＝0，为真命题；
对于B选项，当时，tan x＝1，为真命题；
对于C选项，当x＜0时，x3＜0，为假命题；
对于D选项，由指数函数性质知，x∈R,2x＞0，为真命题，故选C.
6. 答案：①②③④ 所给语句均能判断真假，故都是命题．
7. 答案：①③④ 根据全称命题的定义知，①③④是全称命题．
8. 答案：①②③⑤ 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ＜0，故x2－x＋2＜0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ＜0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集，所以该命题是真命题．
9. 答案：分析：根据全称命题与存在性命题的真假法则判断．
解：(1)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题；
(2)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．
10. 答案：分析：要使命题p(x)：为真命题，就是要使x的取值满足，只需解不等式即可．
解：由得x(2x＋1)≥0且2x＋1≠0，
解得x≥0或，
故x的取值范围为.
1.2.1“且”与“或”
课后训练
1．下列命题中不是“p∧q”形式的命题是( )
A．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象一定过(0,1)
B．＋3和－3是方程x2－9＝0的实数根
C．1不是质数且不是合数
D．正方形的四条边相等且四个角相等
2．下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a＞1)是增函数
D．函数y＝ln x是减函数
3．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是( )
A．x＝0且y＝0
B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0
D．x≠0或y≠0
4．以下判断正确的是( )
A．命题“p∨q”是真命题时，命题p一定是真命题
B．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是真命题时，命题“p∨q”一定是真命题
5．如果命题“p∨q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，那么( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，q有且只有一个是真命题
D．以上答案都不正确
6．命题“n∈R，n≤n”的构成形式是__________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
7．命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是__________，组成该命题的两个命题是__________________，__________________.
8．命题p：等腰三角形有两条边相等；q：等腰三角形有两个角相等．由命题p，q构成的“且”命题是__________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”)．
9．已知c＞0且c≠1，设命题p：函数y＝x2＋cx＋1的图象与x轴有两个交点；q：当x＞1时，函数y＝logcx＞0恒成立．如果p∨q为假，求c的取值范围．
10．已知命题p：函数y＝x2＋mx＋1在区间(－1，＋∞)上是单调增函数；q：函数y＝4x2＋4(m－2)＋1的函数值恒大于零．若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：B 选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
3. 答案：A 因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
4. 答案：D 利用真值表可以判断选项D正确．
5. 答案：C 因命题“p∨q”是真命题，故p，q中至少有一个是真命题，因命题“p∧q”是假命题，故p，q中至少有一个是假命题，所以p，q中有且只有一个是真命题．
6. 答案：p∨q 真
7. 答案：p∧q 所有正多边形都有一个内切圆 所有正多边形都有一个外接圆
8. 答案：等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9. 答案：分析：先由p，q为真，分别求出c的范围；再由p∨q为假知p，q都假；然后列出关于c的不等式组来解决．
解：若p为真，则Δ＝c2－4＞0(c＞0且c≠1)，
解得c＞2.
若q为真，则c＞1.
因为p∨q为假，所以p，q都为假，
当p为假时，0＜c≤2且c≠1，
当q为假时，0＜c＜1，
所以当p，q都为假时，0＜c＜1，即c的取值范围为(0,1)．
10. 答案：分析：先由p，q为真，分别求出m的取值范围；再由p∧q为假，p∨q为真知，命题p，q一真一假；然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决．
解：若p为真，则，解得m≥2；
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3，
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p，q一真一假．
当p真q假时，得到解得m≥3；
当p假q真时，得到解得1＜m＜2.
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2}．
1.2.2“非”（否定）
课后训练
1．命题“2不是质数”的构成形式是( )
A．p∧q B．p∨q
C．p D．以上答案都不正确
2．若命题“p”与“p∧q”都是假命题，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题q是真命题，命题p是假命题
3．a，b不全为0是指( )
A．a，b全不为0
B．a，b中至多有一个为0
C．a，b中只有一个不为0
D．a，b中至少有一个为0
4．命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是__________．
5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________．
6．命题“所有人都晨练”的否定是__________．
7．已知命题p：“x∈R，”，命题p的否定为命题p，则命题是“______________”；命题p是______________命题(填“真”或“假”)．
8．命题p：0不是自然数，命题q：是无理数，则在命题(1)“p∧q”；(2)“p∨q”；(3)“p”；(4)“q”中，真命题的序号是__________，假命题的序号是__________．
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)集合A是集合A∪B的子集；
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin x.
10．指出下列命题的结构形式及构成它们的简单命题，并判断它们的真假：
(1)正多边形既有内切圆又有外接圆；
(2)1－x2≤1；
(3)A(A∪B)．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：C
3. 答案：B
4. 答案：有些菱形的对角线不互相垂直
5. 答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
6. 答案：有些人不晨练
7. 答案：x∈R， 假 利用存在性命题的否定形式写出p为：x∈R，.
当x＞1时，，故知p为假．
8. 答案：(2)(3) (1)(4) 先判断命题p，q的真假，其真假为p假q真；再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法(真值表)进行判断，其中(2)(3)为真，(1)(4)为假．
9. 答案：解：它们的否定及真假如下：
(1)集合A不是集合A∪B的子集；(假)
(2)T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)≠sin x．(假)
10. 答案：分析：可依据命题的几种结构形式(“p∨q”，“p∧q”，“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题；然后根据真值表判断其真假．
解：它们的结构形式依次为：(1)p∧q，(2)p∨q，(3)p.
构成它们的简单命题依次为：(1)“正多边形有内切圆”和“正多边形有外接圆”．(2)“1－x2＜1”和“1－x2＝1”．(3)A(A∪B)．
其真假依次为：(1)真；(2)真；(3)假．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．必要不充分 D．充要
5．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，①
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
参考答案
1. 答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2. 答案：C
3. 答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1＝k2.故选B.
4. 答案：A
5. 答案：C 因{an}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{an}是递增数列，数列{an}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{an}是递增数列的充要条件．
6. 答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
7. 答案：必要不充分
8. 答案：充分不必要 a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分不必要条件．
9. 答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“BA”，最后利用数轴分析，得关于a的不等式求解．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，
∵p是q的必要不充分条件，∴BA.
当a≤0时，B＝，满足BA；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使BA，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10. 答案：分析：方程①②的根都是整数即方程①②有实数根且为整数，因此先求出方程①②有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．
解：方程①有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，
方程②有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，
所以①②同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程①无整数根；
当m＝0时，方程①②都有整数根；
当m＝1时，方程②无整数根．
综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝0.
1.3.2 命题的四种形式
课后训练
1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )
A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角
B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角
D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
3．下列说法正确的是( )
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真
C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真
D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真
4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
5．下列命题中，是真命题的为( )
A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题
B．“正方形的四条边相等”的逆命题
C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．
7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．
8．有下列四个命题：
①如果xy＝1，则lg x＋lg y＝0；
②“如果sin α＋cos α＝，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B＝B，则AB”的逆命题．
其中是真命题的有__________．
9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．
10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：B
3. 答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．
4. 答案：B
5. 答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．
6. 答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7. 答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真
8. 答案：③④ 命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg x＋lg y无意义．对于②，其否命题为“如果sin α＋cos α≠，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin α＋cos α＝，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤0时，Δ＝4b2－4b≥0恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若AB，则A∪B＝B”，显然为真．
9. 答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．
解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
10. 答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．
解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
3.1.1 函数的平均变化率
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1．下列说法错误的是( )
A．函数的平均变化率可以大于零
B．函数的平均变化率可以小于零
C．函数的平均变化率可以等于零
D．函数的平均变化率不能等于零
2．在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么为( )
A．2＋Δx B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋5 D．5Δx＋(Δx)2
3．函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是( )
A．2＋Δx B．2－Δx
C．2 D．(Δx)2＋2
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．3 B．4 C．4.1 D．0.41
5．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
6．已知曲线和这条曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为__________．
7．已知，t从3秒到3.1秒的平均速度是__________m/s(g＝10 m/s2)．
8．已知函数y＝x3，当x＝1时，＝__________.
9．求在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0)．
10．求函数y＝x3＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，时平均变化率的值．
参考答案
1. 答案：D
2. 答案：C 因为Δy＝(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－6＝(Δx)2＋5Δx，
所以＝Δx＋5，故选C.
3. 答案：C
4. 答案：C 利用求平均变化率的方法和步骤来解决．
Δs＝(3＋2.12)－(3＋22)＝0.41，
Δt＝2.1－2＝0.1，
所以＝4.1.
5. 答案：C
6. 答案：
7. 答案：30.5 因为Δs＝×10×3.12－×10×32＝3.05(m)，
Δt＝3.1－3.0＝0.1(s)，
所以(m/s)．
8. 答案：(Δx)2＋3Δx＋3 因为Δy＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以＝(Δx)2＋3Δx＋3.
9. 答案：分析：利用求平均变化率的方法和步骤直接计算即可．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为.
10. 答案：分析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝3x02＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，时，
平均变化率的值为
.
3.1.3 导数的几何意义
课后训练
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
2．函数y＝x在x＝2处的导数为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)是函数值的增量
B．叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
4．已知曲线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋1平行，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4,2)
5．曲线y＝x2在点处切线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于__________．
7．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则等于__________．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x2上，已知曲线C在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为__________．
9．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)在第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
10．求经过点P(1,0)与曲线相切的直线的方程．
参考答案
1. 答案：B Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt－3(Δt)2，＝18＋3Δt，当Δt→0时，→18.
2. 答案：A Δy＝(2＋Δx)－2＝Δx，
＝1，当Δx→0时，→1.
3. 答案：C
4. 答案：A
5. 答案：B
6. 答案：2
7. 答案：－2
8. 答案：(－2,4)
9. 答案：分析：先求出函数y＝f(x)在x＝1处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由点斜式写出切线方程．
解：(1)将x＝1代入曲线方程得y＝1，
故切点为(1,1)．
∵
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|x＝1＝3.
∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由3x－y－2＝0和y＝x3联立解得x＝1或x＝－2，故切线与曲线C的公共点为(1,1)或(－2，－8)．
∴除切点外，它们还有其他的公共点．
10. 答案：分析：所给点P(1,0)不在曲线上，此时可设切点的坐标为(x0，y0)．先求出切点处的导数即斜率，然后用点斜式写出方程．
解：设此切线过曲线上的点.
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝，
∴.
∴切线斜率为.
又此切线过点(1,0)和，其斜率应满足，解得，故切点为，该点处的切线斜率为－4.
故切线方程为，
即y＝－4x＋4.
3.2.2 导数公式表
课后训练
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝sin x，则y′＝cos x
B．若y＝cos x，则y′＝sin x
C．若，则
D．若，则
2．下列命题正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
4．已知f(x)＝x4，则f′(2)＝( )
A．16 B．24 C．32 D．8
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
6．常数的导数为0的几何意义是__________．
7．曲线y＝cos x在点处的切线方程为__________．
8．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__________．
9．当常数k为何值时，直线y＝x才能与函数y＝x2＋k相切？并求出切点．
10．已知点在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：D
3. 答案：A f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4.
当a＝4时，a－1＝3，则f′(－1)＝－4成立．
当a＝－4时，f′(－1)＝4，与题意不符．同理，a＝5和－5时，与题意也不符．
4. 答案：C
5. 答案：D 观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．
6. 答案：函数y＝C的图象上每一点处的切线的斜率为0
7. 答案：x＋y－＝0 ，即求曲线y＝cos x上点处的切线方程，y′＝－sin x，当时，y′＝－1.所以切线方程为，即x＋y－＝0.
8. 答案：21 ∵函数y＝x2，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x＞0)在点(ak，)处的切线方程为y－＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak.
又∵a1＝16，
∴a3＝a2＝a1＝4，a5＝a3＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
9. 答案：分析：利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标，进一步可求k.
解：设切点A(x0，x02＋k)．因为y′＝2x，
所以所以
故当时，直线y＝x与函数y＝x2＋的图象相切于一点，切点坐标为.
10. 答案：分析：(1)点P在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a；
(2)利用导数先求直线l的斜率，即可得到所求直线斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．
解：(1)∵在曲线y＝cos x上，
∴.
(2)∵y′＝－sin x，
∴.
又∵所求直线与直线l垂直，
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
即.
3.2.3 导数的四则运算法
课后训练
1．函数y＝(1－x2)2的导数为( )
A．2－2x2 B．2(1－x2)2
C．4x3－4x D．2(1－x2)·2x
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x B．－xsin x
C．xcos x D．－xcos x
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．曲线在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
5．曲线y＝ex在x＝0处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为( )
A． B． C．1 D．2
6．若函数f(x)＝x3＋x＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋2，则a＝__________，b＝__________.
7．已知点P在曲线y＝ex上，在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为__________．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
9．已知曲线在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
10．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，若直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
3. 答案：A
4. 答案：因为，所以k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为y＝2x＋1.
5. 答案：B 因为y′＝ex，所以切线斜率k＝y′|x－0＝e0＝1.又x＝0时，y＝e0＝1，故切线方程为y＝x＋1.
其与x轴，y轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，所以所求三角形的面积为.
6. 答案：1 2
7. 答案：(0,1)
8. 答案：(－2,15) 设P(x0，y0)(x0＜0)，由题意知：＝3x02－10＝2，∴x02＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15，∴P点的坐标为(－2,15)．
9. 答案：分析：求出在切点处的斜率(用a表示)，写出切线方程，求出在x轴、y轴上的截距，从而用a表示三角形面积，即可解得a.
解：，点(a，)处切线的斜率.
切线方程为．
从而直线的横，纵截距分别为3a，.
由，得a＝64.
10. 答案：分析：设出直线l与C1，C2的切点坐标，可以分别用一个参数来表示，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出两切点的坐标．
解：解法一：设直线l与两曲线的切点分别为A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．
因为两曲线对应函数的导函数分别为y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，
所以在A，B两点处两曲线的斜率分别为y1′|x＝a＝2a，y2′|x＝b＝－2(b－2)．
由题意可得＝2a＝－2b＋4，
即解之，得或
所以A(2,4)或(0,0)，切线的斜率k＝4或0，从而所求的切线方程为y＝4x－4或y＝0.
解法二：设l与C1，C2的切点的横坐标分别为a，b，直线l的斜率为k，
根据题意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．
y1′|x＝a＝2a，y2′|x＝b＝－2(b－2)．
由k＝2a＝－2b＋4，可得，，
设l与C1，C2的切点的坐标分别为，，
则，解得k＝0或4.
故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝0.
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
课后训练
1．函数y＝2x－x2的单调增区间为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
2．函数y＝x3－9x＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－3)和(0,3)
B．(－3,3)
C．(－3,0)
D．(－∞，－3)和(3，＋∞)
3．在区间(a，b)内，f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在区间(a，b)内有( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
4．函数f(x)＝ln x－ax(a＞0)的单调增区间为( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．(0，a)
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是( )
6．函数f(x)＝sin x，x∈(0,2π)的单调减区间为__________．
7．函数y＝x3－6x2＋3x＋1的单调增区间为__________；单调减区间为__________．
8．若函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为__________．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的单调增递区间．
10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：B
3. 答案：A 由f′(x)＞0，知f(x)在区间(a，b)内是增函数．
又f(a)≥0，故f(x)＞0.
4. 答案：A 令，则(ax－1)x＜0.又a＞0，所以0＜x＜.
5. 答案：C 由函数y＝xf′(x)图象，知在(－∞，－1)上f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数；在(－1,0)上f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(0,1)上f′(x)＜0，f(x)在此区间上是减函数；在(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)在此区间上是增函数．结合所给选项应选C.
6. 答案： f′(x)＝cos x，令f′(x)＜0，即cos x＜0，又x∈(0,2π)，所以x∈.
7. 答案：(－∞，)和(，＋∞) (，) f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，则．
当x∈(－∞，)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，)上是增函数；
当x∈(，)时，f′(x)＜0，f(x)在(，)上是减函数；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上是增函数．
综上，f(x)的单调增区间是(－∞，)和(，＋∞)，f(x)的单调减区间是(，)．
8. 答案：(－∞，0] y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，即恒成立．
又∵，∴a≤0.
9. 答案：分析：先根据f(x)在区间(－5,5)上为减函数求得a值，再应用导数求f(x)为增函数的区间．
解：f′(x)＝3x2＋a.
∵在(－5,5)上函数f(x)是减函数，
则－5,5是方程3x2＋a＝0的根．
∴a＝－75.此时，f′(x)＝3x2－75.
令f′(x)＞0，则3x2－75＞0.
解得x＞5或x＜－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
10. 答案：分析：(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f′(x)≥0在R上恒成立，然后用分离参数法可求参数a的范围．
(2)若找到a的值满足不等式f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，则a存在，否则不存在．
(3)特值验证，若找到图象上点的坐标小于等于a，则命题得以证明．
解：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在R上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2时，x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－ax－1在实数集R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需a≥3.
由求a的过程知当a≥3时，f(x)在(－1,1)上是减函数，故这样的实数a存在．
实数a的取值范围为[3，＋∞)．
(3)∵f(－1)＝a－2＜a，
∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课后训练
1．在下面函数y＝f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
2．在上题的函数图象中，是f′(x)＝0的根但不是函数f(x)的极值点的是( )
A．x0 B．x2 C．x3 D．x4
3．函数y＝x2＋2x的极小值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
4．函数f(x)＝xln x在[1，e]上的最小值和最大值分别为( )
A．0，eln e B．，0
C．，e D．0，e
5．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为( )
A．2 B．4 C．18 D．20
6．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：
(1)f(x)是增函数，无极值；
(2)f(x)是减函数，无极值；
(3)f(x)单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；
(4)f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值－4.
其中正确命题是________．
7．已知函数f(x)＝2x3＋3(a＋2)x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．
9．求曲线f(x)＝x2＋4ln x上切线斜率的极小值点．
10．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：A
3. 答案：B
4. 答案：D f′(x)＝ln x＋1.
当1≤x≤e时，f′(x)＝ln x＋1＞0，故f(x)＝xln x在[1，e]上是增函数．
所以当x＝1时，f(x)取得最小值0；当x＝e时，f(x)取得最大值e.
5. 答案：D 令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1，
又x∈[0,3]，∴x＝1.
则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.
又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，
∴M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20.
6. 答案：(3)(4)
7. 答案：4 f′(x)＝6x2＋6(a＋2)x＋3a.
∵x1，x2是f(x)的两个极值点，
∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，
即x1，x2是6x2＋6(a＋2)x＋3a＝0的两个根，
从而x1x2＝＝2，∴a＝4.
8. 答案：a＜－1或a＞2 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．
令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵f(x)既有极大值又有极小值，
∴f′(x)＝0有两个不相同的实数根．
∴Δ＝4a2－4(a＋2)＞0.
解得a＞2或a＜－1.
9. 答案：分析：先求曲线f(x)上的切线的斜率，即函数f(x)的导数f′(x)，再求f′(x)的极小值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.
令h(x)＝x＋，则h′(x)＝1－.
当0＜x＜2时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,2)上是减函数．
当x＞2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(2，＋∞)上是增函数；
所以h(x)在x＝2处取得极小值，且h(2)＝4，
故曲线f(x)＝x2＋4ln x上切线斜率的极小值点为2.
10. 答案：分析：按照求函数极值的步骤求解即可．
解：由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，
知f′(x)＝cos x＋sin x＋1，
于是.
令f′(x)＝0，从而，得x＝π或.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
π＋2
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和，单调递减区间是，极小值为，极大值为f(π)＝π＋2.
3.3.3 导数的实际应用
课后训练
1．把长为80 cm的铁丝分为两段，分别围成正方形，要使两个正方形面积之和最小，则两段铁丝的长分别为( )
A．20 cm和60 cm B．30 cm和50 cm
C．35 cm和45 cm D．40 cm和40 cm
2．用边长为36 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( )
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．6分米
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A． B． C． D．
5．已知圆柱的表面积为定值S，则当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为( )
A． B． C． D．
6．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长分别为__________．
7．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
8．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．
参考答案
1. 答案：D
2. 答案：A
3. 答案：B 设水箱的底面边长为a分米，高为h分米，则V＝a2h＝108，即.
用料最省，即表面积最小．
S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋.
S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(分米)．
4. 答案：C 设底面边长为x，则表面积(x＞0)，S′(x)＝(x3－4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点.
5. 答案：B 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh.
∴.
又圆柱的体积V(r)＝πr2h＝(S－2πr2)＝.
而，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
又，∴.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
6. 答案：， 设矩形的边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0＜x＜2)．
∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解之，得，(舍去)．
当0＜x＜时，S′＞0；当＜x＜2时，S′＜0.
∴当时，S取最大值为.
∴矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
7. 答案：分析：由每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，可得多卖出商品件数为kx2.又由商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．可得k＝6.从而得到商品利润与x之间的函数关系，进而用导数求利润的最大值．
解：(1)设商品降价x元，则多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意，有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
8 664
11 664
故x＝12时，f(x)达到极大值，因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大．
8. 答案：分析：由于不建隔热层时，每年能源消耗费用为8万元，可得C(0)＝＝8，即k＝40.再由题意得到f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)，进而利用导数求其最小值．
解：(1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.
故.
所以f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)．
(2) .令f′(x)＝0，
即，
解得x＝5，(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x＜10时，f′(x)＞0.
故当x＝5时，有f(x)最小值＝f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
2.1.1 椭圆及其标准方程
课后训练
1．椭圆的焦点坐标是( )
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
D．(12,0)，(－12,0)
2．在椭圆的标准方程中，下列选项正确的是( )
A．a＝100，b＝64，c＝36
B．a＝10，b＝6，c＝8
C．a＝10，b＝8，c＝6
D．a＝100，c＝64，b＝36
3．已知a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程是( )
A．＋y2＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．x2＋＝1
4．化简方程为不含根式的形式是( )
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝( )
A．4 B．5
C．7 D．8
6．设F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10 B．12
C．16 D．不确定
7．椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D．
8．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______．
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝1及圆B：(x－3)2＋y2＝81，动圆P与圆A外切，与圆B内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
10．已知椭圆上一点P，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
参考答案
1. 答案：B 由题易知焦点在y轴上，a2＝169，b2＝144，
则.
2. 答案：C
3. 答案：C
4. 答案：C 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6,6＜10，它符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16.
5. 答案：D 因为焦点在y轴上，所以6＜m＜10.
又焦距2c＝4，所以m－2－10＋m＝22m＝8.
6. 答案：B
7. 答案：B 设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
8. 答案：[2,) ∵点P(x0，y0)满足，
∴点P在椭圆内且不过原点，
∴2c≤|PF1|＋|PF2|＜2a.
又∵a2＝2，b2＝1，
∴，b＝1，c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
∴2≤|PF1|＋|PF2|＜.
9. 答案：分析：利用椭圆定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆，再求其方程．
解：设动圆的半径为r.
由所给圆的方程知，A(－3,0)，B(3,0)，
由题意可得，|PA|＝r＋1，|PB|＝9－r，
故|PA|＋|PB|＝r＋1＋9－r＝10＞|AB|＝6.
由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆．其中
2a＝10,2c＝6，即a＝5，c＝3，所以b2＝16.
故动圆圆心P的轨迹方程为.
10. 答案：分析：计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为＝|PF1|·|PF2|·sin θ，所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算．
解：如图，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4c2，即4(a2－c2)＝3|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝.
2.1.2 椭圆的几何性质
课后训练
1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
2．方程，化简的结果是( )
A． B．
C． D．
3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点是(0，－4)，则k的值为( )
A． B．8 C． D．32
4．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A． B．
C．或 D．
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．
7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为的两段，则其离心率为__________．
8．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________．
9．如果椭圆的离心率为，求k的值．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：B 由题意可知，方程表示点(x，y)与两个定点(2,0)和(－2,0)之间的距离，又两定点之间的距离为4,4＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝4，从而可求得b2＝21.
3. 答案：A 先化成标准方程为，又焦点是(0，－4)，可知焦点在y轴上，所以，又c＝4，所以，解得.
4. 答案：C
5. 答案：B 依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，
∴4b2＝a2＋2ac＋c2.
∵b2＝a2－c2，
∴4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，
∴3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得或e＝－1(舍去)．故选B.
6. 答案： 椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b2＋c2＝2c2，解得，所以.
7. 答案： 由题意得(a＋c)∶(a－c)＝，即，解得e＝5－.
8. 答案： 由题意可设该椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，由已知得解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆的标准方程为.
9. 答案：分析：所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论，利用离心率的定义解题．
解：当焦点在x轴上，即k＞1时，b＝3，，
∴，∴，解得k＝4，符合k＞1的条件．
当焦点在y轴上，即－8＜k＜1时，a＝3，，∴，
∴，解得，符合－8＜k＜1的条件．综上所述，k＝4或.
2.2.1 双曲线及其标准方程
课后训练
1．双曲线的方程为，则它的两焦点坐标是( )
A．(2,0)，(－2,0)
B．(4,0)，(－4,0)
C．(0,2)，(0，－2)
D．(0,4)，(0，－4)
2．方程表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≤0
D．k＞1或k＜－1
3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为( )
A．1 B．1或3
C．1或3或－2 D．3
4．已知方程ax2－ay2＝b，且ab＜0，则它表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
5．与双曲线共焦点，且过点(，2)的双曲线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
7．已知F是双曲线的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
8．已知双曲线－y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积是__________．
9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且经过点(2，－5)．求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
参考答案
1. 答案：B 因为c2＝a2＋b2＝10＋6＝16，焦点在x轴上，所以两焦点坐标为(4,0)，(－4,0)．
2. 答案：A 因为方程表示双曲线，
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1.
3. 答案：A 由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有，解得m＝1.
4. 答案：C 原方程可变形为，即，可知它表示的是焦点在y轴上的双曲线．
5. 答案：D 由题意知，c2＝16＋4＝20，设所求的双曲线的方程为(a＞0，b＞0)．则a2＋b2＝20，且，解得a2＝12，b2＝8.所以双曲线的标准方程为.
6. 答案： 令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为.
7. 答案：9 设右焦点为F1，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
8. 答案：1 设P为左支上的点，F1为左焦点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
，得r1r2＝2.
∴.
9. 答案：分析：由焦点坐标可知，焦点在y轴上，可设方程为(a＞0，b＞0)，又知c＝6，再把点代入即可求得．
解：设所求的双曲线方程为(a＞0，b＞0)，则有解得故所求的双曲线的标准方程为.
10. 答案：分析：由于不知道焦点在哪个轴上，所以需分两种情况来讨论，然后再把两点代入即可．此题还可以设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，然后再把两点代入即可．
解：解法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为(a＞0，b＞0)．因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，所以解得，b2＝7.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为(a＞0，b＞0)，同理，有解得a2＝－7，，不合题意，舍去．
故所求的双曲线的标准方程为.
解法二：设所求的双曲线方程为Ax2＋By2＝1.
因为M(1,1)，N(－2,5)两点在双曲线上，代入上述方程有解得
故所求的双曲线的标准方程为.
2.2.2 双曲线的几何性质
课后训练
1．双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，那么它的离心率为( )
A． B． C．2 D．3
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
3．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为( )
A． B．
C． D．
4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
7．双曲线的渐近线方程为__________．
8．若双曲线的离心率为2，则k的值是__________．
9．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，)，离心率；
(2)F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，，离心率为2.
10．如图所示，已知F1，F2为双曲线(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
参考答案
1. 答案：B 因为双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，所以4b＝2a＋2c，即a＋c＝2b，再由a2＋b2＝c2即可求得离心率.
2. 答案：B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为.
3. 答案：A 由题意可设双曲线方程为－y2＝k，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为.
4. 答案：A 由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，
故必有|F1F2|＝|PF2|，
即，从而得c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，解之得，
∵e＞1，∴.
5. 答案：D 双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点，一条渐近线3y－mx＝0，由题意知，m＝4.
6. 答案：(4,0)，(－4,0) ∵椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
∴双曲线的焦点坐标也为(4,0)，(－4,0)，
∴c＝4，又，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，
∴双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为，即.
7. 答案： 利用公式可求得渐近线方程为.
8. 答案：－31
9. 答案：解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设为所求．由，得.①
由点P(3，)在双曲线上，得.②
又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，.
若双曲线的焦点在y轴上，设为所求．
同理有，，a2＋b2＝c2.解之，得(舍去)．
故所求双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线的标准方程为，因|F1F2|＝2c，而，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos 60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
由3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的标准方程为.
10. 答案：分析：由于双曲线的渐近线方程为，故只需求出的值即可，可以通过已知解Rt△F1F2P求得．
解：解法一：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)代入方程得，
∴|PF2|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，
即.
又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝2a2.
∴.
故所求双曲线的渐近线方程为.
解法二：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|.
∴，c2＝3a2＝a2＋b2.
∴2a2＝b2.
∴，
故所求双曲线的渐近线方程为.
2.3.1 抛物线及其标准方程
课后训练
1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是( )
A．(12,0) B．(6,0)
C．(3,0) D．(0,3)
2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A． B．
C． D．y2＝4x
3．抛物线的准线方程是( )
A． B．
C． D．
4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
5．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
6．设定点与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，)
C．(2,2) D．
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
8．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．
9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程．
10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)为定值．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：D
4. 答案：C
5. 答案：B 设点P到抛物线准线的距离为l.由抛物线y2＝16x知.由抛物线定义知l＝h，又l＝d＋，故d＝l－＝h－＝10－4＝6.
6. 答案：C 连结PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值是|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为，与y2＝2x联立求得x＝2，y＝2；， (舍去)，此时，点P的坐标为(2,2)．
7. 答案：y2＝8x
8. 答案：
9. 答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．
解：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－，与y2＝2px联立得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p.由题意知y1＋y2＝4，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得y1＋y2＝4，y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减，得，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
10. 答案：分析：设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．
解：(1)∵焦点，
当k存在时，设直线AB的方程为(k≠0)，
由
消去x得ky2－2py－kp2＝0.①
由一元二次方程根与系数的关系得y1y2＝－p2.
当k不存在时，直线AB的方程为，
则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
∴总有y1y2＝－p2，.
(2)当k存在时，由抛物线的定义知，
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②
又，
∴，
∴x1＋x2＝(y1＋y2)＋p.由①知y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋p，代入②得
|AB|＝＋2p＝.
当k不存在，即时，，，|AB|＝2p＝＋＋p＝.
综上，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)，
将，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得．
故为定值．
2.3.2 抛物线的几何性质
课后训练
1．已知抛物线的焦点坐标是(2,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝－8y
C．y2＝8x D．y2＝－8x
2．抛物线y2＝－4mx(m＞0)的焦点为F，准线为l，则m表示( )
A．F到l的距离 B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标 D．F到l的距离的
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为( )
A．(3,) B．(3，)
C．(3,)或(3，) D．(－3，)
4．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A． B． C． D．
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1 C．2 D．4
6．抛物线ax2＝y的焦点坐标是______．
7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点______．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p＝________.
9．已知直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为2，求直线l的斜率．
10．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点M的坐标．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：C
4. 答案：B 点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，
所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．
焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为.
5. 答案：C 抛物线y2＝2px的准线方程为，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有，所以p＝2.
6. 答案：
7. 答案：(2,0) 直线x＋2＝0即x＝－2是抛物线y2＝8x的准线，由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的准线的距离，即动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的焦点的距离．故动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
8. 答案：2 过点B，M分别作准线的垂线，垂足分别为点B1，M1，由|AM|＝|MB|得|BB1|＝2|MM1|＝|AM|＝|BM|，所以点M恰为抛物线的焦点，即，p＝2.
9. 答案：分析：利用“设而不求”和“点差法”解决．
解：由题意，直线斜率显然存在．设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y2＋y1＝4.
将A，B的坐标代入方程y2＝4x得y12＝4x1，①
y22＝4x2，②
②－①得：y22－y12＝4(x2－x1)，
即(y2－y1)(y2＋y1)＝4(x2－x1)．
所以.
故直线l的斜率为.
10. 答案：分析：如图，线段AB的中点M到y轴距离的最小值，就是横坐标的最小值，这是中点坐标的问题，因此只要研究A，B两点的横坐标之和最小即可．
解：F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AC|，|BD|＝|BF|，
∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设M点为(x，y)，则|MN|＝x＋，则.当弦AB过F点时，等号成立，此时点M到y轴的最小距离为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x，当时，y1·y2＝－p2＝.
∴(y1＋y2)2＝y12＋y22＋2y1y2＝2x－＝2.
∴y1＋y2＝，即.
∴M的坐标为或.
