1.1.1 角的概念的推广
课堂导学
三点剖析
一、任意角的概念
角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,射线旋转时经过的平面部分为角的内部.如图,射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角,记作∠AOB,OA叫做∠AOB的始边,OB叫做∠AOB的终边;以OB为始边,OA为终边的角记作∠BOA.由图知∠AOB=120°,∠BOA=-120°.
理解角的概念时要注意角的四要素:顶点,始边,终边和旋转方向,角可以是任意大小的.
【例1】 用集合表示下列各角:“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.
思路分析:解决本题关键是明确这几类角的定义,搞清它们之间的关系.
解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α<90°},
第一象限角的集合为{α|k·360°<α
锐角的集合为{α|0°<α<90°}.
小于90°的角的集合为{α|α<90°}.
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}.
各个击破
类题演练 1
A={小于90°的角}，B={第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A.{锐角} B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限角包括锐角和其他终边在第一象限的角.所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成，应选D.
答案：D
变式提升 1
时钟的分针所转的角是正角还是负角？经过下列时间分针所转过的角各是多少度？
（1）12分钟；（2）2小时15分.
思路分析:首先要由分针旋转的方向确定角的符号,其次要注意小时与分的换算.
解：分针所转的角是负角，经过1分钟分针所转过的角是=-6°.
(1)分针走12分钟所转过的角是-6°×12=-72°.
(2)2小时15分=135分，分针走2小时15分所转过的角是-6°×135=-810°.
二、终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
(3)明确以下几点:a.k为整数;b.α为任意角;c.k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°-30°应看成是k·360°+(-30°);d.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；e.终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
【例2】 与-457°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法一：∵-457°=-2×360°+263°,
∴应选C.
解法二：∵-457°与-97°角终边相同，又-97°与263°角终边相同，263°角又与k·360°+263°角终边相同.∴应选C.
答案：C
温馨提示
讨论三角函数问题时，在同一个式子中两种角度制不能混用，如与45°角终边相同的角的集合不能用{x|x=2kπ+45°,k∈Z}表示.正确的表示方法为{x|x=k·360°+45°,k∈Z}或{x|x=2kπ+,k∈Z}.
类题演练 2
(1)写出与15°角终边相同的角的集合;
(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1 080°<α<360°的元素α求出来.
思路分析:对于(1),可利用终边相同角公式写出.
对于(2),可在(1)的基础上,利用满足约束条件的不等式,对其中的k值,采用赋值法求解.
解:(1)与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°,k∈Z}.
(2)在M中适合-1 080°<α<360°的元素是:
取k=-3时,-3·360°+15°=-1 065°.
取k=-2时,-2·360°+15°=-705°.
取k=-1时,-1·360°+15°=-345°.
取k=0时,0·360°+15°=15°,
即元素-1 065°,-705°,-345°,15°为所求.
变式提升 2
如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,那么α与β间的关系是( )
A.α+β=0 B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析:∵α=x+45°+k1·360°,β=x-45°+k2·360°,k1,k2∈Z,
∴α-β=90°+(k1-k2)·360°,即α-β=90°+k·360°,k∈Z.
答案:D
三、象限角
当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合时,那么角的终边(除顶点外)在第几象限角就是第几象限角;当角的终边落在坐标轴上时,称为轴线角,这时这个角不属于任何象限.本概念是以“角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合”为前提,否则则不能从终边的位置来判断某角是第几象限角,轴线角这个概念在教材中没有提到.
【例3】 已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
思路分析：角α与角-α表示两旋转方向相反，转过的角度相等的两个角.
解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°<α答案：B
温馨提示
（1）若采用数形结合，角α可看成按逆时针方向旋转，角-α则看成是按顺时针方向旋转;
（2）写出象限角的步骤：第一步，在0°—360°范围内，终边在第一象限内角的取值范围是
0°<α<90°;第二步，加上360°的整数倍，即加上k·360°，k∈Z.其他各象限角的集合，可仿此步骤写出.
类题演练 3
求终边为直线y=-x的角的集合.
思路分析:终边共线且反向的角的写法有二:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上180°的整数倍.
解法一:由于y=-x的图象是第二、四象限的平分线,故在0°—360°间所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·360°+135°或α=k·360°+315°,k∈Z},
∴S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
解法二:因为终边为y=-x,当x<0时的一个角为135°,所以角α的集合为S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
变式提升 3
若α是第二象限的角，则2α、各是第几象限的角？写出它们的一般表达形式.
思路分析:对象限角进行和,差,倍,分运算,要注意运用不等式的性质,结果是哪个象限的角,要进行讨论.
解：∵α是第二象限角，
∴k ·360°+90°<α∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+３６０°(k∈Z).
∴2α是第三或第四象限角或2α的终边与y轴的负半轴重合.
又∵k·360°+90°<α∴k·180°+45°<当k=2m(m∈Z),m·360°+45°<当k=2m+1(m∈Z),m·360°+225°<综上,可知是第一或第三象限角.
【例4】 已知角α,β的终边有下列关系,分别求α,β间的关系式:
(1)α,β的终边关于原点对称;
(2)α,β的终边关于y轴对称.
思路分析:如图.
仔细观察坐标系中α,β的终边位置的关系,适当地变换其中一个角,使两角终边共线,以便用数量关系表示出.
解:(1)由于α,β的终边互为反向延长线,故α,β相差180°的奇数倍〔如图(1)〕.
于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z).
(2)在0°—360°间,设α的终边所表示的角为90°-θ,由于α,β关于y轴对称〔如图(2)〕,则β的终边所表示的角为90°+θ.
于是α=90°-θ+k1·360°(k1∈Z),
β=90°+θ+k2·360°(k2∈Z),
两式相加得α+β=(2k+1)·180°(k∈Z).
温馨提示
(1)角α,β的终边关于直线y=x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+90°(k∈Z).
(2)角α,β的终边关于直线y=-x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+270°,(k∈Z).
类题演练 4
若角α与65°角的终边相同,角β与-115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50° B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z) D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
解析:∵{α|α=k1·360°+65°,k∈Z };{β|β=k1·360°-115°,k∈Z },
∴α-β=k·360°+180°(k∈Z).
答案:D
变式提升 4
若角α是第二象限的角,求角2α的集合A.记B={第一、三象限的角},举例说明AB,BA.
思路分析:用集合表示角,特别是求角的交,并以及集合间的关系时,要注意分类讨论思想的运用.
解:∵90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
∴A={2α|180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z}.
∴270°∈A,270°B.
∴AB.
∵1°∈B,1°A,
∴BA.
温馨提示
要证明AB,只需举一特殊值即可,但要证明AB时,必须验证集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课堂导学
三点剖析
一、弧度制的定义
【例1】 如图所示，圆心角∠AOC所对的弧的长l分别为r,2r,2πr,4πr,如果圆心角表示正角，它的弧度数分别是多少？如果圆心角表示负角，它的弧度数又分别是多少？
思路分析：从圆心角与弧度的关系出发，结合正角、负角的概念，分别求出各角的弧度数.当圆心角∠AOC表示正角时，弧长l为r,2r,2πr,4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是1，2，2π,4π.
当圆心角∠AOC表示负角时，弧长l为r,2r ,2πr,4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是-1，-2，-2π,-4π.
温馨提示
（1）角的大小与圆的半径长短无关，仅与弧长与半径的比值有关；
（2）一般地，正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.
各个击破
类题演练 1
下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.
根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D为真命题.
答案:D
变式提升 1
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.
根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D不正确.
答案:D
二、角度与弧度之间的互化
(1)将角度化成弧度:
360°=2π rad;180°=π rad;
1°=rad≈0.017 45 rad.
(2)将弧度化成角度:2π rad=360°;π rad=180°;
1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(3)弧度制和角度制的互化是本节的重点,也是难点.互化的实质是一种比例关系:=,将要求的部分解出,再添上相应的单位即可.
需记住特殊角的弧度数.(见教材,本书略)
【例2】 -300°化为弧度是（ ）
A. B. C. D.π
思路分析：依据1 °=弧度进行转换.
解析：∵1°= rad,∴-300°= rad.
∴应选B.
答案：B
类题演练 2
(1)将112°30′ 化为弧度；
（2）将 rad化为度.
解:（1）∵1°= rad,
∴112°30′=×112.5 rad= rad.
(2)∵1 rad=()°,
∴ rad=-( rad×)°=-75°.
温馨提示
弧度与角度互化，要牢记π rad=180°.
变式提升 2
时钟经过一小时,时针转过了( )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
解析:由于时钟经过12小时转了-2π rad,
所以时钟经过1小时转了 rad.
答案:B
【例3】 设角α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°—0°之间找出它们有相同终边的所有角.
思路分析:运用弧度与角度的互化公式,用待定系数法去找一个k,α1,α2化为2kπ+α的形式,而β1,β2化为k·360°+α的形式(k∈Z).
解：(1)∵180°=π rad,
∴-570°=-570×=.
∴α1==-2×2π+.
同理,α2=2×2π+.
∴α1在第二象限,α2在第一象限.
(2)∵β1==(×°)=108°,
设θ=k·360°+β1(k∈Z).
由-720°≤θ<0°,
∴-720°≤k·360°+108°<0°.
∴k=-2或k=-1.
∴在-720°—0°间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.
同理,β2=-360°-60°=-420°,且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.
类题演练 3
用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.（如图所示）
解：先找准两个边界所对应的在0°—360°范围内的角 .边界在第二象限对应的角为120°,边界在第三象限对应的角是225°.
如上图所示，以OB为终边的角225°可看成-135°,化为弧度.而120°=.
∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
（1）回答问题要弄清角的大小，防止出现矛盾不等式而造成混乱.
(2)在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度).
变式提升 3
若集合A={α|α=-,k∈Z},B={α|-π<α<π},求A∩B.
解:由交集定义,知-π<-<π,即-1<-<1,
∴.
由k∈Z,知k=-1,0,1,2.
当k=-1,0,1,2时,α=,故A∩B={}.
三、弧长公式和扇形面积公式
在弧度制下,弧长公式和扇形的面积公式分别为l=α·r;S=l·r=α·r2.
在角度制下,弧长公式和扇形的面积公式分别为l=;S=.
【例4】 解答下列各题:
(1)求半径为2,圆心角为的圆弧的长度.
(2)在半径为6的圆中,求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积.
(3)如图(1),在半径为10,圆心角为的扇形铁皮ADE上,截去一个半径为4的小扇形ABC,求留下部分环形的面积.
思路分析:引进弧度制后,简化了初中所学的弧长和扇形面积的计算公式.在弧长(l),扇形面积(S),圆心角度数(α)和圆半径(R)这四个量的有关计算中,应明确“知其二，得其二”.
解:(1)∵半径R=2,圆心角α=,
∴弧长l=α·R=.
(2)如图(2)所示.
∵AB=6,OA=OB=6,
∴∠AOB=.
∴扇形AOB的面积S△AOB=l·R
=α·R2=××62=6π.
又∵△AOB是等边三角形,
∴S△AOB=×62=.
∴弓形面积S=6π-.
(3)∵圆心角α=60°=,
∴S扇形ADE=α·AD2=,S扇形ABC=α·AB2=.
∴环形BCED的面积为S=-==14π.
类题演练 4
已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积.
思路分析：正确运用弧度制与角度制换算公式及弧长面积公式，先把120°
化为弧度，再用公式l=|α|r求弧长；用公式S=lr求扇形面积；用公式S=r2sinθ,求三角形的面积，从而得出弓形的面积.
解：∵120°=120×=,r=6,∴l=|α|r=×6=4π.又∵S扇形=lr=×4π×6=12π,S△AOB=r2sin=,
∴S弓形=S扇形-S△AOB=12π-.
温馨提示
弧长公式l=|α| ·r以及扇形面积公式S=lr都是弧度制下的公式.因此，运用时必须把角度化成弧度.
变式提升 4
已知一扇形的中心角是α,其所在圆的半径是R.
（1）若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l,弓形面积为S弓形.
∵α=60°=，R=10 cm,
∴l=|α|R= cm.
∴S弓形=S扇形-S△=lR-R2sinα=××10-×102sin60°=50(-) cm2.
(2)∵扇形周长C=2R+l=2R+|α|R,∴R=.
∴S扇=αR2=α·()2
=,
当且仅当α=,即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积最大，最大面积是.
温馨提示
用弧度制表示的弧长和扇形面积公式l=|α|·r和S=l·r,比角度制的求弧长和面积公式l=和S=更简单，在实际中的应用也更广泛.
1.2.1 三角函数的定义
课堂导学
三点剖析
一、任意角的三角函数的定义
注意:(1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围(自变量取值)是全体实数.
(2)一个任意角α的三角函数值只依赖于α的大小(即只与这个角的终边位置有关),而与P点在终边上的位置无关.
(3)正弦,余弦,正切,余切,正割,余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(4)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.
每个词的第一个字母“s”或“c”或“t”都不能大写.
【例1】 已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα,secα,cscα,cotα的值.
思路分析:在由三角函数的定义求三角函数时,应先确定α终边位置.由于含有参数a,而a的条件为a≠0,
所以必须对a进行讨论,这一点不可忽视.
解：∵x=3a,y=-4a,
∴r==5|a|(a≠0).
(1)当a>0时,r=5a,α是第四象限角.
sinα==,cosα==,
tanα==,cotα=,
secα==,cscα==.
(2)当a<0时,r=-5a,α是第二象限角.
于是sinα=,cosα=,tanα=,cotα=,secα=,cscα=.
温馨提示
(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
(2)求任意角的三角函数,有时需要确定角所在的象限,相应地以此来确定三角函数的符号,这是容易出现错误的地方.
各个击破
类题演练 1
已知角α的终边经过P（-2，-3），求角α的正弦,余弦,正切值.
解：∵x=-2,y=-3,r=，
∴sinα===,
cosα===,
tanα===.
变式提升 1
已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3secα=________.
思路分析:由角α的终边落在直线y=-3x上,所以可设其终边上一点为P(k,-3k)(k≠0),再分k>0与k<0求解.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=|k|.
(1)当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sinα==,secα==,
∴10sinα+3secα=10×()+=+=0.
(2)当k<0时,r=k,α为第二象限角,
sinα==,secα==,
∴10sinα+3secα=10×+3×()==0.
综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.
答案:0
温馨提示
要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限,这与角α的终边在y=-3x上是一致的.
二、三角函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+cosx;
(2)y=+tanx.
解：(1)∵使sinx,cosx有意义的x∈R,
∴y=sinx+cosx的定义域为R.
(2)当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,
∴有(k∈Z)
∴函数y=+tanx的定义域为［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).
类题演练 2
求函数y=tan(x-)的定义域.
思路分析:∵y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},
∴本题中将x-看作一个角即可解得x的取值范围.
解:设θ=x-,在y=tanx中,θ≠kπ+,k∈Z,
∴x-≠kπ+,k∈Z.
∴x≠kπ+,k∈Z.
∴定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
变式提升 2
x取什么值时,有意义?
解:由题意得
解得
所以当{x|x≠,k∈Z}时,有意义.
三、三角函数值的符号
【例3】 确定下列式子的符号:
(1)tan125°·sin273°;
(2);
(3)sin·cos·tan;
(4);
(5)tan191°-cos191°;
(6)sin3·cos4·tan5·cot6.
解：(1)∵125°是第二象限角,∴tan125°<0;
∵273°是第四象限角,∴sin273°<0.
从而tan125°sin273°>0.
∴式子符号为正.
(2)∵108°是第二象限角,∴tan108°<0.
∵305°是第四象限角,∴cos305°>0.
从而<0,
∴式子符号为负.
(3)∵是第三象限角,是第二象限角;是第四象限角.
∴sin<0,cos<0,tan<0,从而sin·cos·tan<0.
∴式子符号为负.
(4)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角.
∴cos<0,tan<0,sin>0.
从而>0.
∴式子符号为正.
(5)∵191°是第三象限角,
∴tan191°>0,cos191°<0.
∴tan191°-cos191°>0.
∴式子符号为正.
(6)∵<3<π,π<4<,<5<6<2π,
∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,cot6<0.
∴sin3·cos4·tan5·cot6<0.
∴式子符号为负.
类题演练 3
判定下列各式的符号:
(1)sin105°·cos230°;
(2)sin·tan;
(3)cos6·tan6;
(4)sin4·tan().
解:(1)∵105°,230°分别为第二、第三象限角,
∴sin105°>0,cos230°<0.
∴sin105°·cos230°<0.
(2)∵<<π,∴是第二象限角.
∴sin>0,tan<0.
∴sin·tan<0.
(3)∵<6<2π,∴6弧度的角是第四象限角.
∴cos6>0,tan6<0.
∴cos6·tan6<0.
(4)∵π<4<,∴sin4<0.
又=-6π+,
∴与终边相同.
∴tan()>0.
∴sin4·tan()<0.
变式提升 3
若α同时满足tanα<0,cosα>0,
(1)求α的集合；
（2）判断sin,cos,tan的符号.
解：（1）由cosα>0知α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上.由tanα<0,得α终边又在第二、四象限.因此，α的终边在第四象限.
∴角α的集合为{α|2kπ-<α<2kπ,k∈Z }.
(2)∵2kπ-<α<2kπ,k∈Z，
∴kπ-<当k=2n(n∈Z)时，2nπ-<<2nπ.
∴sin<0,cos>0,tan<0；
当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+<<2nπ+π.
∴sin>0,cos<0,tan<0.
温馨提示
(1)要熟记三角函数值在各象限的符号.
(2)α为象限角，求是哪个象限角的方法：根据α所在象限写出α的不等式，进而得的不等式.再对k为奇数、偶数两种情况讨论.
1.2.2 单位圆与三角函数线
课堂导学
三点剖析
一、三角函数线的概念
正弦线,余弦线,正切线分别是正弦,余弦,正切的几何表示,是与单位圆有关的有向线段,通过三角函数线可将三角函数问题转化为几何问题.
【例1】 分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线.
思路分析：先以原点为圆心，1为半径作单位圆，然后分别作出角度为和-的角的终边，最后按三角函数线的定义作出正弦线、余弦线和正切线.
解析：在直角坐标系中作单位圆（如图），以Ox轴的正方向为始边作角的终边，与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M.由单位圆与Ox正方向交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点.则sin=MP,cos=OM,tan=AT,
即的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线.sin（-）=M′P′,cos(-)=OM′，tan(-)=AT′,即-的正弦线为M′P′,余弦线为OM′，正切线为AT′.
温馨提示
（1）三角函数线有方向、正负，是有向线段；
（2）在利用三角函数线比较三角函数值的大小时要注意方向、正负.
各个击破
类题演练 1
在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1)sinα=;(2)cosα=;(3)tanα=2.
解:(1)作直线y=交单位圆于P,Q,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
(2)作直线x=交单位圆于M,N,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
(3)在直线x=1上截取AT=2,其中A的坐标为(1,0),设直线OT与单位圆交于C,D,则OC与OD为角α的终边,如图丙.
变式提升 1
根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角α的取值集合.
(1)sinα=;(2)cosα=;(3)tanα=-1.
解:(1)角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.
(2)角α的取值集合为{α|α=2kπ±,k∈Z}.
(3)角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}={α|α=kπ±,k∈Z}.
二、利用三角函数线解简单不等式
【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.
（1）sinα≥;(2)cosα≤-.
思路分析：先画出区域边界，再根据三角函数的正负确定区间范围.
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的α的集合为
{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
（1）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数定义域；
（2）三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具.
类题演练 2
利用单位圆解不等式3tanα+>0.
思路分析:先画出正切线,再根据平面区域确定角的范围.
解:(1)要使3tanα+>0,即tanα>,由正切线知kπ<α不等式的解集为(kπ,kπ+),k∈Z.
变式提升 2
求下列函数的定义域：
（1）y=+tanx；
(2)y=lg(3-4sin2x).
解：（1）由k∈Z.
∴2kπ≤x≤(2k+1)π且x≠2kπ+(k∈Z).
∴定义域为 ［2kπ,2kπ+）∪(2kπ+,(2k+1)π］（k∈Z）.
（2）如图，∵3-4sin2x>0,
∴sin2x<.∴∴定义域为（2kπ-,2kπ+）∪(2kπ+,2kπ+),k∈Z.
三、比较三角函数值的大小
【例3】 若集合A=［0,2π),集合B={α|sinα>cosα},求集合A∩B.
思路分析：三角函数线的作用是利用有向线段直观地表示三角函数值.有向线段的方向表示三角函数值的正负,有向线段的长度表示三角函数值的绝对值.在解决有关三角函数不等式或比较函数值大小方面,利用三角函数线比较简捷.
解:依题意当≤α<π时,sinα>0,cosα≤0,
∴sinα>cosα成立.
当0≤α≤时,如图中以OA为终边表示的角,这时sinα≤cosα.
当<α<时,如图中以OB为终边表示的角,这时sinα>cosα成立.
当π≤α<时,如图中以OC为终边表示的角,这时sinα>cosα成立.
同理,可推出当≤α<2π时,sinα≤cosα.
综上所述,当<α<时,sinα>cosα.
∴A∩B={α|<α<}.
类题演练 3
比较sin1 155°与sin(-1 654°)的大小.
思路分析:首先利用诱导公式将1 155°和-1 654°分别变化到0°—360°的角,然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线,利用三角函数线即可比较出大小.
解:先化成0°—360°间的角的三角函数.
sin1 155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin146°.
在单位圆中分别作出sin75°或sin146°的正弦线M2P2,M1P1(如图).
∵M1P1sin(-1 654°).
变式提升 3
设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),试比较a、b、c的大小.
解：如右图，作出-1 rad的正弦线、余弦线及正切线.显然，b=cos(-1)>0,c=tan(-1)即c温馨提示
单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
课堂导学
三点剖析
一、对基本关系的理解
(1)公式sin2α+cos2α=1(平方关系)和=tanα(商数关系),称为同角三角函数的基本关系式.
这里,“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.
(2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α的平方的正弦,两者是不同的.应弄清它们的区别,并能正确书写.
(3)公式sin2α+cos2α=1,=tanα的应用极为广泛,它们还有如下等价形式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosαtanα,cosα=.
【例1】 若sinθ+cosθ=-1(θ≠,k∈Z),则θ所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：记f(θ)=sinθ+cosθ.
(1)当θ在第一象限时,sinθ>0,cosθ>0.
∴f(θ)=1;
(2)当θ在第二象限时,sinθ>0,cosθ<0.
∴f(θ)=sin2θ-cos2θ;
(3)当θ在第三象限时,sinθ<0,cosθ<0.
∴f(θ)=-1;
(4)当θ在第四象限时,sinθ<0,cosθ>0.
∴f(θ)=-sin2θ+cos2θ.
答案:C
各个击破
类题演练 1
若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ,则β的取值范围是( )
A.［0,］ B.［,π］
C.［π,］ D.［,2π］
解析:由已知得|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
则又β∈［0,2π),
∴β∈［,π］.
答案:B
变式提升 1
设函数y=(tanx+sinx)·(cotx+cosx),且x≠(k∈Z),则关于y的取值范围的判定正确的是( )
A.y的值恒大于零
B.y的值恒小于零
C.有时大于零,有时等于零,但不小于零
D.有时小于零,有时等于零,但不大于零
解析:y=(tanx+sinx)·(cotx+cosx)=(+sinx)·(+cosx)
=
=(1+cosx)(1+sinx),
又∵x≠(k∈Z),
∴-1∴(1+cosx)(1+sinx)>0,即y>0.
答案:A
二、求一个角的三角函数值的问题
已知角α的一个三角函数值,求α的其余三角函数值时,要特别注意角所在的象限,以确定三角函数值的符号.一般有以下三种情况:
(1)已知三角函数值且角在某一确定象限,这时只有一组解.如sinα=,α在第二象限,求cosα,tanα;
(2)已知三角函数值,但没有给出角所在象限,这时一般有两组解,需对角所在象限分两种情况讨论.如sinα=,求cosα,tanα;
(3)所给三角函数值为字母,这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论.如sinα=m,求cosα,tanα.
当已知一个三角函数式的值,求另外一个三角函数式的值时,要对已知和结论进行化简,使两者联系起来.
【例2】 已知tanα=2，求下列各式的值:
（1）sin2α-3sinαcosα+1;
(2);
(3).
解析：（1）原式=
=.
(2)原式==-1.
(3)原式=.
温馨提示
(1)已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将1=sin2α+cos2α代入，转化为关于tanα的函数后，再求值.
（2）已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值，需注意以下两点：
①被求式必须是关于sinα,cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
②由cosα≠0，可用cosnα（n∈N*)除之.这样可以将被求式化为关于tanα的式子，整体代入tanα=m，就能求出被求式的值.
类题演练 2
已知cosα=,且α为第二象限角,求tanα的值.
思路分析:由于α为第二象限角,故tanα的值一定为负值.
解:∵α为第二象限角,
∴sinα=.
∴tanα==.
温馨提示
已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值，且角所在象限已经确定，求另外两个三角函数值，只有一组结果.
变式提升 2
已知sinα=,求tanα的值.
思路分析:由于α可以有两种情况,故应分两种情况讨论.
解：∵sinα=>0，
∴α是第一象限或第二象限的角.
若α是第一象限角，则cosα>0,tanα>0.
∴cosα=,tanα==.
若α是第二象限角，则cosα<0，tanα<0
∴cosα=,tanα==.
温馨提示
（1）要注意根据问题需要运用sin2α+cos2α=1的变形sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α；
（2）已知一个角的某一个三角函数值，但不知其终边位置，要先根据已知的三角函数值确定终边位置，然后分不同情况求解.
三、三角函数式的化简与证明
【例3】 化简下列各式:
(1);
(2).
思路分析:对(1)应用公式想方设法将无理式化为有理式,将结果化为最简形式.对(2)遇到高次,要通过基本关系式降次,将1代换为sin2θ+cos2θ,再因式分解.
解：(1)原式=
(2)原式=
=.
温馨提示
(1)去掉绝对值符号时,一般需要进行分类讨论.
(2)注意公式sin2α+cos2α=1具有“降幂”的作用.
类题演练 3
化简：sin2αtanα+cos2α·+2sinαcosα.
解法一：原式=sin2α·+cos2α·+2sinαcosα
=
解法二：原式=（sin2αtanα+sinαcosα）+(+sinαcosα)
=tanα(sin2α+cos2α)+(cos2α+sin2α)
=tanα+=+.
温馨提示
化简三角函数的目的是为了简化运算.本题两种解题思路不同，但都用到了公式tanα=.法一是顺用公式.法二是逆用，即sinα=tanα·cosα,cosα=.解题时要注意灵活运用公式.
变式提升 3
如果=tanα-,那么角α的范围是（ ）
A.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
B.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}
C.{α|2kπ<α<(2k+1)π,k∈Z}
D.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
解析：.
tanα-=.
由已知=tanα-,得|cosα|=-cosα.
又cosx≠0（否则tanα无意义），
∴cosα<0.
∴2kπ+<α<2kπ+,k∈Z.故选A.
答案:A
【例4】 求证:.
思路分析:本题可以从5种不同的角度分析.
证法一：左边=
=右边.
证法二:∵
=-secα-tanα
=
==0.
∴.
证法三:左边=
=tanα+secα
==右边.
证法四:∵
==1
∴.
证法五:∵tan2α-sec2α=-1,
即(tanα+secα)(tanα-secα)=-1.
∴.
由等比定理可得
.
∴.
类题演练 4
证明下列三角恒等式.
(1).
(2).
分析:(1)切化弦;(2)左边入手,利用平方差公式.
证明:(1)左边=
=右边.
所以原命题成立.
(2)左边=
.
所以原命题成立.
变式提升 4
求证：
证法一：左边=
=右边.
证法二：右边=
=左边.
所以等式成立.
温馨提示
三角恒等式的证明有以下方法:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合方法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法.
(4)比较法,即设法证明“左边－右边＝0”或“=1”.
(5)分析法,从被证的等式出发,逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
1.2.4 诱导公式
课堂导学
三点剖析
一、关于诱导公式的理解
【例1】 若α和β的终边关于y轴对称,则下列各式中正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ
C.tanα=tanβ D.cos(2π-α)=cosβ
解析：α,β终边关于y轴对称可得β=2kπ+π-α,故sinα=sinβ.
答案:A
温馨提示
(1)公式中的角α可以是任意角.
(2)这五组诱导公式可以叙述为:
①α+k·2π,-α,α+(2k+1)π的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
为了便于记忆,也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α+,-α+的三角函数值,等于α的余名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.
③这两套公式可以归纳为k·+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.概括为“奇变偶不变，符号看象限”,这里的奇偶是指k的奇偶.
各个击破
类题演练 1
若α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ
C.tanα=tanβ D.sinα=cosβ
解析:α,β的终边关于x轴对称,则β=2kπ-α,故cosα=cosβ.
答案:B
温馨提示
给定一个角α.
(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为-α.
变式提升 1
对于诱导公式中的角α,以下理解中正确的是( )
A.α一定是锐角 B.α一定是正角
C.0≤α≤2π D.α是使公式有意义的任意角
解析:我们有时把α当作锐角来记忆公式,事实上,α是使公式有意义的任意角.
答案:D
二、诱导公式的应用
【例2】 化简:cos(π+α)+cos(π-α),其中k∈Z.
思路分析一：注意到π+α=kπ++α,π-α=kπ--α,必须对k进行讨论才能利用诱导公式进行化简.
解法一:当k=2n,n∈Z时,
原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)
=cos(2nπ++α)+cos(2nπ--α)
=cos(+α)+cos(--α)
=cos(+α)+cos(+α)
=2cos(+α).
当k=2n+1,n∈Z时,
原式=cos［(2n+1)π++α］+cos［(2n+1)π--α］
=cos(π++α)+cos(π--α)
=-cos(+α)-cos(+α)
=-2cos(+α).
思路分析二:注意到(kπ++α)+(kπ--α)=2kπ,
则有cos(kπ--α)=cos［2kπ-(kπ++α)］
=cos(kπ++α).
解法二:原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=2cos(kπ++α).
当k=2n,n∈Z时,
原式=2cos(2nπ++α)=2cos(+α).
当k=2n+1,n∈Z时,
原式=2cos(2nπ+π++α)=2cos(π++α)=-2cos(+α).
类题演练 2
求下列各三角函数的值:
（1）sin(）；(2)tan(-855°)；(3)cos210°.
思路分析：负角化正角，正角化周期(0°—360°)角，周期角化为锐角（0°—90°）.
解：（1）sin()=-sin=-sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=.
(2)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.
(3)cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数.若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数.若这时的角是90°—360°间的角，再利用180°-α或180°+α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的三角函数，做题时，一定要认真地审视问题，找出最佳的路径.
变式提升 2
已知cos(75°+α)=,其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
解：分别求cos(105°-α)和sin(α-105°)的值.
cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)=
-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=>0且α为第三象限角，
∴75°+α为第四象限角.
∴sin(75°+α)=.
∴sin(α-105°)=.
∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=.
温馨提示
观察一下每一组诱导公式的等号两边的角度,不难发现,这两个角度的和或差总是一个轴线角,即为kπ,k∈Z的形式.于是我们可以归纳出诱导公式的一个十分重要的功能是如果两个角的和或差是轴线角kπ,k∈Z的话,利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理,能认识到这一点,对于我们灵活利用诱导公式进行变形是十分重要的.
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
一、正弦函数的图象
【例1】 作函数y=3tanxcosx的图象.
思路分析:注意函数的定义域.
解：由cosx≠0，得x≠kπ+，于是函数y=3tanxcosx的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z }.
又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx(x≠kπ+,k∈Z).
按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
3sinx
0
3
0
-3
0
描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图）
先作出y=3tanxcosx，x∈［0,2π］的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为{x|x=kπ+,k∈Z}的点，得到y=3tanxcosx的图象.
温馨提示
（1）函数y=3tanxcosx的图象与y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的图象在x=kπ+处不同.因此，作出y=3sinx的图象后，要把x=kπ+（k∈Z）的这些点去掉.
（2）作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性.因此，作函数图象时，要先求定义域.
各个击破
类题演练 1
画出y=2sinx，x∈［0，2π］的图象.
思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五个点连接起来就得到y=2sinx，x∈［0,2π］的图象.
解：列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
描点并将它们用平滑曲线连接起来：
温馨提示
五点法是画三角函数图象的基本方法，其步骤为：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
变式提升 1
根据正弦函数图象求满足sinx≥的x的范围.
解：首先，在同一坐标系内，作出y=sinx，y=的图象.然后观察长度为2π的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］找出符合sinx≥的x的集合［,］.最后拓展到x∈［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
温馨提示
(1)一般地，y=sinx观察长度为2π的区间，常常是［0,2π］或［-,］,即一个周期区间.
(2)这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决.
二、正弦函数的定义域,值域与性质
【例2】 求下列函数的值域和最值:
(1)y=2sinx-1;
(2)y=3sin(3x+)+2;
(3)y=2cos2x+5sinx-4;
(4)y=.
思路分析:利用|sinx|≤1,通过变量代换转化为基本函数.
解：(1)∵-1≤sinx≤1,
∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.
当x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1;
当x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-3.值域为［-3,1］.
(2)u=3x+,则有y=3sinu+2,
∴值域为［-1,5］.
当u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,y有最大值5.
当u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,y有最小值-1.
(3)设sinx=u,则|u|≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①
问题转化为在定义域［-1,1］内求二次函数①的值域问题.配方,有y=-2(u-)2+,
∵-1≤u≤1,
∴当u=-1,即x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-9;当u=1,即x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1.
∴函数y的值域为［-9,1］.
(4)原函数可化为y=,即y=1-.
∵1≤sinx+2≤3,
∴≤≤1,
1≤≤3,-3≤≤-1.
故-2≤1≤0.
∴函数y的值域为［-2,0］,并且当x=2kπ+时,y=0;当x=2kπ-时,y=-2.
类题演练 2
求下列函数的值域:
(1)y=cos2x+2sinx-2；(2)y=.
（1）解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.
∵-1≤sinx≤1,
∴sinx-1∈［-2,0］.
∴y∈［-4，0］.
∴函数y=cos2x+2sinx-2的值域是［-4，0］.
（2）解法一：∵y==1+,
∴当sinx=-1时，ymin=1+=.
∴值域为［,+∞).
解法二：由y=,得sinx=.
又∵-1≤sinx≤1,
∴∴y≥.
∴函数y=的值域为［,+∞).
温馨提示
（1）一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，用上述方法时，要注意三角函数的特性.
（2）求三角函数的值域，主要是运用sinx,cosx的有界性，以及复合函数的有关性质.
变式提升 2
求函数y=的定义域.
思路分析:被开方数为非负数,对数的真数必须大于0.
解:为使函数有意义,需满sinx>0,即
由正弦函数或单位圆,如图所示,
∴{x|2kπ【例3】 求函数y=2sin(-x)的单调区间.
思路分析:可依据y=sinx的单调区间来求本题函数的单调区间.
解：y=2sin(-x)=-2sin(x-),
∵y=sinu(u∈R)的递增,递减区间分别为［2kπ-,2kπ+］(k∈Z),［2kπ+,2kπ+］(k∈Z),
∴函数y=-2sin(x-)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定:
2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),
2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z∈Z),
2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴函数y=2sin(-x)的单调递增区间,单调递减区间分别为［2kπ+,2kπ+］(k∈Z),［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).
温馨提示
从y=sinx,x∈［-,］的图象上可看出:
当x∈［-,］时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1;
当x∈［,］时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1.
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
类题演练 3
比较下列各组数的大小:
(1)sin194°和cos160°;(2)sin和cos;
(3)sin(sin)和sin(cos).
思路分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小.
解:(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°,
cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°.
∵0°<14°<70°<90°,∴sin14°从而-sin14°>-sin70°,即sin194°>cos160°.
(2)∵cos=sin(+),又<<+<π,
y=sinx在［,π］上是减函数,
∴sin>sin(+)=cos,即sin>cos.
(3)∵cos=sin,
∴0而y=sinx在(0,)内递增,
∴sin(cos)变式提升 3
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=.
思路分析:可利用函数奇偶性定义判断.
解:(1)函数的定义域R关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)函数应满足1+sinx≠0,
∴函数的定义域为{x∈R|x≠2kπ+,k∈Z}.
∴函数的定义域关于原点不对称.
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
三、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=,叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f==,叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相位).
作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的简图时,一般用五点法作图.
【例4】 已知函数y=sin(2x+)+，x∈R.
（1）当函数值y取最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数图象可由y=sinx，x∈R的图象经过怎样变换得到？
思路分析：利用y=sinx与y=Asin(ωx+φ)+B的图象变换关系逐步进行变换，但要注意变换的顺序.
解：（1）要使y取最大值，必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z，即x=+kπ,k∈Z.
∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
(2)将函数y=sinx的图象依次进行如下变换：
①把函数y=sinx图象上各点横坐标缩短到原来的倍，得y=sin2x的图象；
②把得到的图象各点向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象；
③把得到的图象上的各点纵坐标缩短为原来的倍，得y=sin(2x+)的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度,得y=sin(2x+)+的图象.
温馨提示
(1)本题把2x+视为一个整体,使思路变得十分清晰,这是一种重要而又常用的思考方法;
(2)将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象，为什么不是向左平移个单位呢?这是因为sin(2x+)=sin［2(x+)］.
类题演练 4
已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为［0,］,最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.
思路分析:应按a>0和a<0分类讨论.
解:∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤.
∴≤sin(2x-)≤1.
当a>0时，有
当a<0时，有
温馨提示
求值域或最大值、最小值问题，一般依据是（1）sinx,cosx的有界性；（2）连续函数在闭区间上存在最大值,最小值.根据上述原则，常把给出的函数变成下面几种形式具体处理：（1）sin(ωx+φ)的一次式形式；（2）y=f(sinx)的形式，并根据|sinx|≤1来确定值域.
变式提升 4
下图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象,确定A,ω,φ的值.
解:显然A=2,T=-()=π,
∴ω==2.
∴y=2sin(2x+φ).
法一:由图知当x=时,y=0.
故有2x+φ=2×()+φ=0,∴φ=.
所求函数解析式为y=2sin(2x+).
法二:由图象可知将y=2sin2x的图象向左移即得y=2sin2(x+),即y=2sin(2x+).
∴φ=.
温馨提示
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,难点在于确定初相φ,一般可利用图象变换关系和特殊值法.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
一、图象问题
余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(kπ-,kπ+)上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.
【例1】 用“五点法”画下列函数的简图.
y=-cosx,x∈［0,2π］.
画法一:按五个关键点列表:
x
0
2π
Cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点画图(如图所示):
画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图形.图象如上图.
温馨提示
类似于正弦函数,也可以由y=cosx变换为y=Acos(ωx+φ),x∈R,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等.
各个击破
类题演练 1
作出函数y=tan()在一个周期内的图象是( )
解析:首先函数的周期为2π,可排除B,D,其次当x=时,函数无意义,又可排除C.
答案:A
变式提升 1
在区间(,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在(-,)内的图象,需明确x∈(0,)时,有sinx所以应选C.
解法二:x∈(-,),
即sinx=tanx=,
sinx(1-)=0,sinx=0或cosx=1.
在x∈(-,)内x=-π,0,π满足sinx=0,x=0满足cosx=1,所以交点个数为3.
所以应选C.
答案:C
二、定义域与值域
余弦函数y=cosx与y=sinx的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线y=±1之间,故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题;正切函数的定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z},值域是R,图象只有增区间,无减区间,整个定义域不具备单调性.
【例2】
求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=
解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内,如图所示.由图显然可得函数定义域集合为
{x|2kπ≤x<2kπ+,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π,k∈Z}.
(2)由
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集,如图所示,
即
∴定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z }.
类题演练 2
求函数y=tan(2x+)的定义域.
思路分析:把2x+作为一个整体，转化为求y=tanx的定义域的问题.
解：令z=2x+,根据y=tanz的定义域为{z|z≠kπ+,k∈Z },
得2x+≠kπ+,于是x≠+.
所以y=tan(2x+)的定义域为{x|x≠+,k∈Z }.
变式提升 2
解答下列各题：
（1）求函数f(x)=tanx·cosx的定义域与值域；
（2）求函数f(x)=tan|x|的定义域与值域，并作其图象．
思路分析:先化简函数,然后确定.
解:(1)
其定义域是{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}．
由f(x)=·cosx=sinx∈(-1,1)，
∴f(x)的值域是(-1,1)．
（2）f(x)=k∈Z．
可知，函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为(-∞,+∞)，其图象如图所示.
温馨提示
(1)为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形,化简,在变形,化简过程中一定要注意等价变形,否则作出的图象不是给出函数的图象.
(2)由图象可以看到f(x)=tan|x|不是周期函数.
三、周期,单调性问题
根据诱导公式知y=cosx的周期T=2π,y=tanx的周期为π.求函数的单调区间和判断函数的单调性常用的方法是:定义法和图象法.利用单调性可以比较三角函数值的大小,也可以求函数的值域等.
【例3】 已知函数f(x)=asin(kx+),g(x)=btan(kx-),k>0.若它们的周期之和为，且f()=g(),f()=g()+1,求这两个函数.
思路分析:先求出f(x)、g(x)的周期，再用待定系数法求a,b.
解：由f(x)、g(x)的周期之和为,得+=,
∴k=2.
∵f()=asin(2×+)=-asin=a,
g()=btan(2×-)=-btan=b,
由f()=g(),得a=b,即a=2b.①
又f()=asin(2×+)=acos=a,
g()=btan(2×-)=bcot=b.
由f()=g()+1,得a=×b+1,即a=-2b+2.②
由①②联立方程组，解得a=1,b=.
∴f(x)=sin(2x+),g(x)=tan(2x-).
温馨提示
求三角函数的周期，通常把它转化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.周期的大小仅与x的系数ω有关，用公式T=就可求出周期.
类题演练 3
试把tan1、tan2、tan3、tan4按照从小到大的顺序排列，并说明理由.
解法一：∵函数y=tanx在区间［,］内是增函数且tan1=tan(π+1),
又<2<3<4<π+1<,
∴tan2解法二：如图所示，1，2，3，4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4.所以tan2温馨提示
(1)将自变量化到同一单调区间，再利用单调性比较大小是比较三角函数值大小的重要方法.
（2）本题易产生以下两种误解:
误解一：∵函数y=tanx是增函数，又1<2<3<4,∴tan1误解二：∵2和3终边在第二象限，
∴tan2,tan3都是负数.
又∵1和4的终边分别在第一和第三象限，
∴tan1，tan4都是正数.
根据y=tanx是增函数且2<3，1<4，
∴tan2 上述两个误解的根源在于混淆了函数单调性的概念.两个误解都把y=tanx视作定义域
上的单调增函数，从而导致了错误的结果.
变式提升 3
给出下列命题:
①函数y=sin|x|不是周期函数;
②函数y=tanx在定义域内是增函数;
③函数y=|cos2x+|的周期是;
④y=sin(+x)是偶函数.
其中正确命题的序号是_________.
解析:对于②,∵0<π,而tan0=tanπ,
∴y=tanx在定义域内不是增函数.
对于③,y=|cos2(x+)+|=|-cos2x|≠|cos2x+|.
∴不是y=|cos2x+|的周期.
对于①,从其图象可说明其不是周期函数.
对于④,f(x)=sin(+x)=sin(2π++x)=cosx,显然是偶函数.∴①④正确.
答案:①④
1.3.3 已知三角函数值求角
课堂导学
三点剖析
一、已知正弦值求角
已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-,］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-,］上,用反正弦表示出来.
【例1】 已知sinx=,
(1)当x∈［-,］时,求x的取值集合;
(2)当x∈［0,2π］时,求x的取值集合;
(3)当x∈R时,求x的取值集合.
思路分析:在函数y=sinx的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.
解:(1)∵y=sinx在［-,］上是增函数,且知sin=,
∴满足条件的角只有x=.
∴x的取值集合为{}.
(2)∵sinx=>0,
∴x为第一或第二象限角,且sin=sin(π-)=.
∴在［0,2π］上符合条件的角x=或.
∴x的取值集合为{,}.
(3)当x∈R时,x的取值集合为
{x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.
(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n·,n∈Z}.一般地,对于sinx=a(x∈R),|a|≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina或x=2kπ+π-arcsina,k∈Z,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}.
各个击破
类题演练 1
已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）
解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°).
温馨提示
任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.
变式提升 1
已知sin,且α是第二象限的角,求角α.
思路分析:先求出,进而求出α.
解:首先确定所在象限.
∵α是第二象限的角,
∴是第一或第三象限的角.
又∵sin=<0,∴是第三象限的角.
然后在［0,2π)内找到满足条件的.
∵sin=,
∴在［0,2π)内满足条件的角是π+=.
再找到所有满足条件的角.
∴=2kπ+(k∈Z).
最后求出所有满足条件的角α,
∴α=4kπ+,k∈Z.
温馨提示
本例中将看作一个整体,求出的所有角后,再求出α.
二、已知角的余弦值求角
已知余弦值求角,可利用y=cosx的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.
【例2】 已知cosx=-0.287,
(1)当x∈［0,π］时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
思路分析:由于cosx=-0.287,x不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而［0,π］正是反余弦的主值区间,故当x∈［0,π］时,x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.当x∈R时,可利用诱导公式先求出［0,2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x∈R的所有解.
解:(1)因为cosx=-0.287,且x∈［0,π］,所以x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.
(2)当x∈R时,先求出x∈［0,2π］上的解.
因为cosx=-0.287.故x是第二或第三象限角,由(1)知x1=π-arccos0.287是第二象限角.
因为cos(π+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,
且π+arccos0.287∈(π,),
所以x2=π+arccos0.287.
由余弦函数的周期性,可知当x=2kπ+x1或x=2kπ+x2,k∈Z时,cosx=-0.287,
即所求的x值的集合是
{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k∈Z}={x|x=2kπ±arccos(-0.287),k∈Z}.
温馨提示
方程cosx=a,|a|≤1的解集可写成{x|x=2kπ±arccosa,k∈Z}.
类题演练 2
已知cos(x+)=，求角x的集合.
思路分析:把“x+”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.
解:
∵cos(x+)=<0,
∴角x+是第二或第三象限角.
令cos(x+)=,得锐角+=.
在区间［0，2π］上，符合条件的角是π-或π+,即或,所以在x∈R上,有+=+2kπ,k∈Z或+=+2kπ,k∈Z.
化简得x=π+4kπ或x=+4kπ,k∈Z.
故角x的集合是{x|x=π+4kπ或x=+4kπ,k∈Z}.
变式提升 2
已知cosx=,x∈(-π,-),则x等于…( )
A.arccos() B.π-arccos
C.-arccos() D.-arccos
解析:∵arccos()∈(,π),
∴-arccos()∈(-π,-).故选C.
答案:C
三、已知正切值求角
已知正切值求角,可利用y=tanx的图象找出(-,)内满足条件的角,然后根据y=tanx的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.
【例3】 已知tanα=-2,若(1)α∈(-,);
(2)α∈［0,2π］;
(3)α∈R,求角α.
思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-,)内,符合条件tanα=-2的角只有一个,而在α∈［0,2π］内,符合条件tanα=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.
解:(1)由正切函数在开区间(-,)上是增函数可知符合条件tanα=-2的角只有一个,即α=arctan(-2).
(2)∵tanα=-2<0,
∴α是第二或第四象限角.
又∵α∈［0,2π］,由正切函数在区间(,π］,(,2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个，即α=π-arctan2,α=2π-arctan2.
(3)α∈R时角α有无穷多个,则α=(2k+1)π-arctan2或α=2(k+1)π-arctan2(k∈Z).
温馨提示
对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-≤arcsinx≤,0≤arccosx≤π,- 类题演练 3
（1）已知sinx=,x∈（π,），求角x;
（2）已知tanx=3,x∈（3π,）,求角x.
解法一：（1）令sinx1=,得x1=arcsin.
∵x∈（π，）,
∴符合条件的角x=π+x1=π+arcsin.
(2)令tanx1=3,得锐角x1=arctan3.
∵x∈(3π,),
∴符合条件的角x=3π+x1=3π+arctan3.
解法二：（1）∵π又由sinx=,得sin(π-x)=.
∴π-x=arcsin()=-arcsin.
∴x=π+arcsin.
(2)∵3π∴0由tanx=3,得tan(x-3π)=3.
∴x-3π=arctan3.
∴x=3π+arctan3.
变式提升 3
已知直线bx+ay=ab(a<0,b<0)，试求它的倾斜角.
解：因为该直线的斜率k=<0，所以它的倾斜角是钝角.令tanθ=，得θ=arctan.所以它的倾斜角是π-arctan.
温馨提示
直线的倾斜角α的正切值tanα是直线的斜率.这里的arctan()表示一个负角，而不是我们要求的钝角.
3.1.1 两角和与差的余弦
课堂导学
三点剖析
一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用
【例1】 已知cosα=,cosβ=且α,β∈(0,),求cos(α-β).
思路分析:联系公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知α,β的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用α,β单角的三角函数表示α与β两角差的余弦函数.
解：由cosα=,cosβ=,且α,β∈(0,),得
sinα=,
sinβ=,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+.
各个击破
类题演练 1
求值:cos(225°-30°).
解:cos(225°-30°)
=cos225°cos30°+sin225°sin30°
=.
变式提升 1
已知α,β都是锐角,sinα=,sin(α-β)=,求cosβ的值.
解:因为α是锐角,sinα=,所以cosα=.
因为α,β都是锐角,sin(α-β)=>0,所以cos(α-β)=.
所以cosβ=cos［α-(α-β)］
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=+×=.
二、公式的逆用
熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.
【例2】 求值:sin(+3x)cos(-3x)+cos(+3x)cos(+3x).
思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.
解：原式=sin(3x+)sin(+3x)+cos(+3x)cos(3x+)
=cos［(+3x)-(+3x)］=cos(-)
=coscos+sin·sin=.
类题演练 2
化简cos(α+β)sin(-α)+sinαcos［-(α+β)］.
解：原式=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)=cos［α-(a+β)］=cos(-β)=cosβ.
变式提升 2
已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=,求cos(α-β)的值.
解：将cosα-cosβ=和sinα-sinβ=的两边，分别平方并整理，得
cos2α+cos2β-2cosαcosβ=，
sin2α+sin2β-2sinαsinβ=，
上述两式相加，得
2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,
即cos(α-β)=.
三、公式的灵活运用
【例3】 设α∈R,若sinα-cosα=成立,试求实数m的取值范围.
思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.
解：∵sinα-cosα=2(sinα-cosα)
=2(sin30°sinα-cos30°cosα)
=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)
=-2cos(α+30°),
又∵α∈R,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,
即-2≤≤2.解得-1≤m≤.
∴m的取值范围是-1≤m≤.
类题演练 3
计算:cos15°-sin15°.
解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30°
=2sin45°·sin30°=2××=.
解法二:原式=(cos15°-sin15°)
=(cos45°cos15°-sin45°sin15°)
=cos(45°+15°)=cos60°=.
变式提升 3
在△ABC中,sinA=,cosB=,求cosC的值.
解:∵cosB=>0,∴B<90°.
∴sinB=.
又sinA=,∴cosA=.
(当cosA=-时,∠A为钝角,而sinB>sinA=sin(π-A),
∴B>π-A,即A+B>π,矛盾)
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.
3.1.2 两角和与差的正弦
课堂导学
三点剖析
一、运用公式求值
对于给角求值题目,一般所给出的角都是非特殊角,必须观察非特殊角与特殊角之间的联系,然后运用和差的正弦公式求解.
【例1】 已知α为锐角,且cosα=,求sin(α+)的值.
思路分析:由cosα=且α为锐角,可求得sinα的值,然后直接运用和的正弦公式.
解：因为α为锐角,且cosα=,
所以sinα=.
所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin=.
各个击破
类题演练 1
求sin15°+sin75°的值.
解:原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30°
=2sin45°cos30°=2××=.
变式提升 1
已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-.求sin2α.
解:由题意得π<α+β<,0<α-β<,
∴sin(α-β)=,
cos(α+β)=.
∴sin2α=sin［(α+β)+(α-β)］
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)·sin(α-β)
=-×+()×=.
二、运用公式化简三角函数式
【例2】 化简:(1)sinx+cosx;
(2)sin(-x)+cos(-x).
思路分析:每个小题都要做好以下变换:asinα+bcosα=).
解：(1)sinx+cosx
=(sinx+cosx)
=(cossinx+sincosx)=sin(x+).
(2)sin(-x)+cos(-x)
=［sin(-x)+cos(-x)］
=［cossin(-x)+sincos(-x)］
=sin(-x+)=sin(π-x).
类题演练 2
把2sinx-3cosx化成Asin(x+φ)的形式.
解：∵a=2,b=-3,A=,
∴2sinx-3cosx=sin(x+φ).
其中φ在第四象限，且tanφ=.
变式提升 2
求函数f(x)=sin(x+)+2sin(x-)的最大值和最小值.
解:f(x)=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin
=sinx-cosx
=(sinx-cosx)
=sin(x-),
∴f(x)的最大值为,此时x=+2kπ(k∈Z);
f(x)的最小值为-,此时x=-+2kπ(k∈Z).
三、公式的综合运用
公式的综合运用包括公式的变形,三角恒等式的证明以及角的变形技巧.
【例3】 已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.
思路分析:在已知当中有2α+β角的三角函数,在要证明的三角式中含有α+β角和α角,因此要进行角的变形.
证明：∵2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,
∴sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
而5sinβ=5sin［(α+β)-α］
=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.
由已知得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.
∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,
等式两边都除以cos(α+β)cosα,得
2tan(α+β)=3tanα.
类题演练 3
证明-2cos(α+β)=.
证明:等式左边=-2cos(α+β)
=
,
∴等式成立.
变式提升 3
求式子2sin80°sin50°+sin10°cos10°(1+tan10°)的值.
思路分析:将tan10°化为tan10°=是求值过程中最关键的一步.
解:原式=2sin80°sin50°+
=2sin80°sin50°+2sin10°(cos10°+sin10°)
=2sin80°sin50°+2sin10°cos50°
=2(cos10°sin50°+sin10°cos50°)
=2sin60°=2×=.
3.1.3 两角和与差的正切
课堂导学
三点剖析
一、两角和与差的正切公式的运用
两角和与差的正切公式可由同角三角函数关系式和正,余弦的和差公式导出.此外在公式中还要注意公式成立的条件α≠kπ+,β≠kπ+,α+β≠kπ+,α-β≠+kπ(k∈Z),这是与两角和与差的正弦,余弦公式的不同之处.在运用公式时一定要注意这一点.
【例1】 求值(1)tan105°;(2).
思路分析:(1)中105°=60°+45°,故可用公式直接计算,(2)中的1=tan45°,故可逆用公式.
解：(1)原式=tan(60°+45°)=.
(2)原式=
=tan(45°-75°)=tan(-30°)
=-tan30°=.
温馨提示
解题时,首先要认真观察和分析题目的已知条件和结论中各角度之间的相互关系,并根据这种关系来选择公式.
各个击破
类题演练 1
求值:.
思路分析:公式逆用时要注意公式中α,β在分子和分母的位置;应先由诱导公式进行转化,再用公式.
解:原式=
=tan(55°-25°)=tan30°=.
变式提升 1
求值:.
思路分析:运用公式时,要注意观察240°=180°+60°和390°=360°+30°这两个角的拆分技巧.
解:原式=
=tan［(60°+α)-(30°+α)］=tan30°=.
二、给值求值问题
解决此类问题首先要根据已给角的范围确定所求角的范围,然后正确运用和与差的正切公式.有时当所给角的范围较大时,可借助于该角的正切值的符号,进一步缩小所求角的范围,使问题能得以圆满解决.
【例2】 已知tanα=,tanβ=且α,β均为锐角,求α+2β的值.
思路分析:因为α+2β=(α+β)+β,也可以把α+2β看成α角和2β角的和.只需先求tan2β即可.
解：∵tanα=,tanβ=,
∴tan(α+β)=
==.
又∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).
而tan(α+β)=>0,∴α+β∈(0,).
∴α+2β=(α+β)+β∈(0,π).
∴tan(α+2β)=tan［(α+β)+β］
==1.
∴α+2β=.
类题演练 2
若tanα,tanβ是方程2x2+x-6=0的两根,求tan(α+β)的值.
解:∵tanα,tanβ是方程2x2+x-6=0的两根,
∴tanα+tanβ=-,tanα·tanβ=-3.
∴tan(α+β)==.
变式提升 2
已知<α<π,-<β<0,且tanα=-,tanβ=,求2α+β的值.
思路分析:将2α+β化为α+(α+β)后,利用已知条件先求tan(α+β)的值.
解∵tan(α+β)=
=-<0,且α+β∈(0,π),
∴α+β∈(,π).又∵α∈(,π),
∴2α+β∈(π,2π).
又∵tan(2α+β)=tan［α+(α+β)］
==-1,
∴2α+β=.
三、公式的变式应用
两角和与差的正切公式tan(α±β)=可以改写为tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα·tanβ)的形式,在三角函数的化简和证明中经常用到.
【例3】 化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+［tan(18°-x)+tan(12°+x)］.
思路分析:因为(18°-x)+(12°+x)=30°,所以可以用tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanα·tanβ)化简.
解：原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+·tan［（18°-x）+(12°+x)］·［1-tan(18°-x)·tan(12°+x)］
=tan(18°-x)·tan(12°+x)+×［1-tan(18°-x)·tan(12°+x)］
=tan(18°-x)·tan(12°+x)+1-tan(18°-x)·tan(12°+x)=1.
类题演练 3
求tan2°+tan43°+tan2°·tan43°的值.
思路分析:将tan(2°+43°)=变形后代入即可得到结果.
解:原式=tan(2°+43°)·(1-tan2°·tan43°)+tan2°·tan43°=tan45°(1-tan2°·tan43°)+tan2°·tan43°=1.
变式提升 3
求值:(1+tan1°)·(1+tan2°)·…·(1+tan44°)·(1+tan45°).
思路分析:注意到问题中的角的特点:1°+44°=2°+43°=45°,然后变式应用.
解:∵(1+tan1°)·(1+tan44°)
=1+(tan1°+tan44°)+tan1°·tan44°
=1+tan45°(1-tan1°·tan44°)+tan1°·tan44°
=1+1=2,
依次类推,得原式=222·(1+tan45°)=223.
3.2.1 倍角公式
课堂导学
三点剖析
一、运用倍角公式求值
对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.
【例1】 已知cosα=-,α∈(π,),求sin2α,cos2α和tan2α的值.
思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.
解：∵cosα=-,α∈(π,),
∴sinα=.
∴sin2α=2sinα·cosα=2×()×(-)=,
cos2α=1-2sin2α=1-2×()2=,
tanα=.
温馨提示
在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.
各个击破
类题演练 1
已知sinα=,求sin2α,cos2α,tan2α的值.
思路分析:∵sinα=>0且α∈R,∴α为第一、二象限角,解题时应分象限讨论.
解:∵α∈R且sinα=>0,∴α为第一象限或第二象限角.
①当α为第一象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.
②当α为第二象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.
变式提升 1
求的值.
思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.
解:原式==4.
二、给值求角问题
给值求角问题,其方法步骤是:(1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-,),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好.
【例2】 已知α,β是锐角,且sinα=,sinβ=,求α+2β的值.
思路分析:因为β∈(0,),所以2β∈(0,π).所以先求cos2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值.
解：∵sinβ=,∴cos2β=1-2sin2β=.
由β∈(0,)且cos2β=>0,可推得2β∈(0,),
∴α+2β∈(0,π).
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β.
∵α∈(0,)且sinα=,
得cosα=,
又2β∈(0,)且cos2β=,
∴sin2β=.
∴cos(α+2β)=.
∴α+2β=.
类题演练 2
已知tan(α-β)=,tanβ=,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
解：∵tanα=tan［(α-β)+β］=,
∴tan2α=.
∵tanα=>0且α∈(0,π),可推得α∈(0,).
又tan2α=>0,可推得2α∈(0,),
同理,得β∈(,π).
∴2α-β∈(-π,0).
又tan(2α-β)==1,∴2α-β=π.
变式提升 2
已知tanα=4,cos(α+β)=,α,β均为锐角，求β的值.
解：∵α,β均为锐角，
∴0<α+β<π.又cos(α+β)=,
∴<α+β<π,则sin(α+β)=.
∵tanα=4,∴sinα=,cosα=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
∴β=.
三、三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,对于根式形式的化简常以化去根号为目标,为此常使被开方的式子配成完全平方,化简时要注意角的范围.
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.
对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法,化弦法,化切法,拆项拆角法,“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
【例3】 化简（1）cos72°cos36°;
(2)cos20°cos40°cos60°cos80°.
思路分析：利用二倍角正弦、余弦公式及诱导公式，将角度不同的三角函数转化为同一个角或互补、互余角的三角函数，再通过约分求出式子的值.
解：（1）cos72°cos36°=.
(2)原式=cos20°cos40°cos80°=
.
温馨提示
对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，如果分子、分母有公因式，通过约分把分式化简，这是解这类问题的常规思路.
类题演练 3
化简.
解法一：原式=
.
解法二：原式=
.
变式提升 3
求证：［sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)］［sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)］=sin2θ.
证明：左=（sinθ+sin2θ+cosθ+cos2θ)·（sinθ-sin2θ+cosθ-cos2θ）
=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)
=(sinθ+cosθ)2-1
=1+2sinθcosθ-1
=2sinθcosθ=sin2θ=右.
∴原式成立.
温馨提示
证明条件三角恒等式,首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构),从解决某一差异入手,采用条件转化法或条件代入法,条件转化法就是从已知条件出发,经过恰当的变换,推出被证式;条件代入法就是从已知条件出发,求出被证式中的某一个式子,然后代入被证式,化简证明.
3.2.2 半角的正弦余弦和正切
课堂导学
三点剖析
一、运用半角公式求值
由二倍角公式可得cosα=cos(2×)=1-2sin2=2cos2-1,
即sin2=,cos2=.
∴sin,cos,tan=±.
在应用以上半角公式时,根号前的正负号由角所在的象限确定.
【例1】 已知cosθ=,且180°<θ<270°，求tan.
思路分析：先判断所在象限，再用半角公式求值.
解：∵180°<θ<270°,
∴90°<<135°.∴tan<0.
∴tan==-2.
各个击破
类题演练 1
设5π<θ<6π,cos=a,|a|≤１，求sin的值.
思路分析：先由θ的范围确定角的范围，再用半角公式求值.
解：∵5π<θ<6π,∴<<3π,<<.
∴sin=.
变式提升 1
已知cosα=,求sin,cos.
思路分析:∵cosα=,∴α是第一或第四象限角，可能为任何象限角，如果不能确定角的象限，用半角公式计算时，根号前保持正、负两个符号.
解:sin=±=±.
cos=±.
二、运用公式化简三角函数式
在三角恒等变形中,所涉及的三角公式要求做到灵活运用,既要会正用,又要会逆用,更要会变用.特别要注意根号前正负号的选择,要由所在的象限来确定.
【例2】 若<α<2π,化简:.
思路分析:在逐层去根号时,要根据角的范围确定被开方数的符号.
解：∵<α<2π,∴<<π.
∴原式=
=-cos.
类题演练 2
化简:等于( )
A.2sin4 B.2sin4-4cos4 C.-2sin4-4cos4 D.4cos4-2sin4
解析:原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4.
答案:C
变式提升 2
化简:cosα·cos·cos·…·cos.
解:原式=
=.
3.3三角函数的积化和差与和差化积
课堂导学
三点剖析
一、公式的推导及简单应用
因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(4)
(1)+(2)得:sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;
(1)-(2)得:cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;
(3)+(4)得:cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;
(3)-(4)得:sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］.
以上得到的四个等式我们称为积化和差公式.
设α+β=x,α-β=y,则α=,β=,代入积化和差公式得:
sinx+siny=2sin·cos,
sinx-siny=2cos·sin,
cosx+cosy=2cos·cos,
cosx-cosy=-2sin·sin.
以上四式称为和差化积公式.
【例1】 (1)把+cos20°化成积的形式.
(2)把sin84°cos132°化成和差的形式.
思路分析:(1)可化成cos60°,然后运用公式.(2)直接运用公式.
解：(1)原式=cos60°+cos20°
=2cos·cos
=2cos40°·cos20°.
(2)原式=［sin(84°+132°)+sin(84°-132°)］
=［sin216°-sin48°］
=-sin36°-sin48°.
各个击破
类题演练 1
(1)求值:sin20°+sin40°-sin80°;
(2)求值:2cos37.5°·cos22.5°.
思路分析:(1)∵20°+40°=60°为特殊角,∴前两个先和差化积.
(2)直接运用积化和差.
解:(1)原式=2sin·cos-sin80°
=2sin30°·cos10°-sin80°
=cos10°-sin80°=sin80°-sin80°=0.
(2)原式=cos(37.5°+22.5°)+cos(37.5°-22.5°)
=cos60°+cos15°=+cos(45°-30°)
=+cos45°cos30°+sin45°sin30°
=+×
=+.
变式提升 1
已知sin(θ+)sin(θ-)=,求tanθ的值.
思路分析:等式左边运用积化和差公式.
解:∵sin(θ+)sin(θ-)
=-(cos2θ-cos)
=-cos2θ+.
∴-cos2θ+=.
解得cos2θ=-.
∴sin2θ=±.
∴tanθ==±2.
二、运用公式化简或证明三角函数式
运用公式进行三角变换是高考的基本要求,变换中要反复体会其中的内涵,灵活运用数学思想方法,从而加深对变换的理解.
【例2】 求值:.
思路分析:本题通过对公式的灵活运用使问题得到解决.运用的方法和公式分别为“切化弦”,两角和与差的正余弦,二倍角的升幂公式,注意寻求合理简捷的运算途径.
解：原式=
=2.
温馨提示
对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或者选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.
类题演练 2
把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.
思路分析：把cosx与cos4x看作一组，cos2x与cos3x看作一组进行和差化积.
解：原式=（cosx+cos4x）+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos
=2cos·(cos+cos)=4coscosxcos.
变式提升 2
求证：2sin4x+sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2(1+cos2x).
证明：左=（2sin2x）2+sin22x+(2cos2x)2-cos3xcosx
=(1-cos2x)2+sin22x+(1+cos2x)2-(cos4x+cos2x)
=(1-2cos2x+cos22x)+sin22x+(1+2cos2x+cos22x)-(cos4x+cos2x)
=+cos2x+cos22x-cos4x
=+cos2x+cos22x-(2cos22x-1)
=3+cos2x
=3+2cos2x-1
=2(1+cos2x)
=右.
∴等式得证.
三、最值问题
根据问题的具体特点,从变换已知条件和被求式的角度入手,进行双向变换,实现角度和函数名称双统一;然后利用所给的角的范围确定出相应三角函数值的范围,从而确定出所求函数的函数值的取值范围.
【例3】 已知函数f(x)=sin(-x)·sinx·sin(+x)+a的最大值为,求实数a的值.
思路分析:注意到角-x和+x这两个角的和为,所以可先运用积化和差公式.
解：f(x)=sin(-x)·sinx·sin(+x)+a
=sinx·(cos2x-cos)+a
=sinx·cos2x+sinx+a
=(sin3x-sinx)+sinx+a
=sin3x-sinx+sinx+a
=sin3x+a.
∵f(x)最大值为+a,
∴+a=.∴a=.
类题演练 3
求函数y=sinx［sinx-sin(x+)］的最值及相应的x值.
解：y=sinx［sinx-sin(x+)］=sinx·2cos(x+)sin(-)
=-sinxcos(x+)
=-［sin(2x+)+sin(-)］
=-sin(2x+)+.
∵sin(2x+)∈［-1,1］,
∴当sin(2x+)=-1,
即x=kπ-,k∈Z时,ymax=;
当sin(2x+)=1,
即x=kπ+,k∈Z时，ymin=-.
变式提升 3
求函数f(x)=sin6x+cos6x的最小正周期和最大,最小值.
解:f(x)=sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3
=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x-sin2xcos2x)
=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x
=1-sin22x=1-×
=cos4x+.
∵x∈R,∴cos4x∈［-1,1］.
∴f(x)的最小正周期为,最大值为1,最小值为.
2.1.1 向量的概念
课堂导学
三点剖析
一、向量的有关概念
关于向量,要注意:
1.向量的模:向量的大小——长度称为向量的模,记为||.我们也可以用|a|来表示向量a的大小.模是可以比较大小的.
2.零向量:长度(模)为零的向量,叫做零向量,记作0,零向量的方向不确定,是任意的.
【例1】 下列物理量,其中不是向量的有( )
①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路分析:一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.
解:由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.∴应选D.
答案:D
各个击破
类题演练 1
判断下列说法正确与否,并说明理由.
(1)温度有零上温度,有零下温度,所以温度是向量;
(2)作用力与反作用力是一对大小相等,方向相反的向量;
(3)线段是向量,数轴也是向量.
思路分析:依据向量的定义来判断.
解:(1)不正确.虽然温度有上下,但这指的不是方向,故不是向量.
(2)正确.作用力与反作用力是作用于同一点,且大小相等方向相反的两个力,因而是向量.
(3)不正确.线段只有大小没有方向,故不是向量;数轴只有方向,但没有大小,也不是向量.
变式提升 1
下列命题中,假命题是( )
A.向量与的长度相等
B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析:据向量的有关概念知A,B,C正确,而向量相等需要模相等且方向相同,共线不一定同向,故D是假命题.
答案:D
二、向量的表示方法
1.向量的几何表示法
以A为始点,以B为终点的有向线段记作(如图).应注意,始点一定要写在终点的前面.
已知,的长度记作||.
如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量.
2.用字母表示向量
向量除了用上面的符号表示外,通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量.手写时,可写成带箭头的小写字母,,,…
用字母表示向量便于向量运算.
【例2】 热带风暴“麦莎”从A点出发向西行驶了150公里到达B点,然后又改变方向向西北60°走了200公里到达C点,最后又改变方向,向东行驶了150公里到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
思路分析:解答本题应先确立指向标,再由行驶方向确定有关向量来求解.
解:(1)如图所示.
(2)易知与方向相反,故与共线.
又||=||=150,
∴ABCD,
即四边形ABCD为平行四边形.
∴||=||=200(公里).
类题演练 2
对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形?
(1)把所有单位向量的起点平移到同一点P;
(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P;
(3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P.
解:(1)是以P点为圆心,以1个单位长为半径的圆.
(2)是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点.
(3)是直线l.
变式提升 2
一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点,再从B点向东飞行 km到达C点,再从C点向东南60°飞行了 km到达D点,求飞行从D点飞回A点的位移.
思路分析:利用平面几何三角函数正确画出图形.
解:如图所示.由|BC|=,知C在A的正北,
又由|CD|=,∠ACD=60°知∠CDA=90°,
即∠DAC=30°,故的方向为南偏西30°,长度为 km.
温馨提示
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段表示向量是数形结合思想的具体应用.
(2)要注意运用向量观点将实际问题抽象为数学模型,“数学建模”能力是今后能力培养的重要方面.在平日学习中要不断积累经验.
三、相等向量与共线向量
共线向量也就是平行向量.任一向量a都与它自身是平行向量,并规定,零向量与任一向量是平行向量.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
共线向量要求几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
【例3】 如图所示,D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点.
(1)与相等的向量有____________;
(2)与共线的向量有____________;
(3)与的模相等的向量有____________.
解析：根据相等向量,共线向量,向量的模的概念来解题.
(1)相等向量必须满足方向相同,模相等两个条件.
∴与相等的向量有,.
(2)共线向量即是平行向量,其方向相同或相反,且与向量的模无关.
∴与共线的向量有.
(3)向量的模相等是指向量的长度相等,与方向无关.
∴与的模相等的向量有.
答案:(1), (2) (3)
类题演练 3
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|＞|b|,则a＞b.
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反.
(3)对于任意向量a和b,若|a|=|b|且a与b的方向相同,则a=b.
(4)由于零向量方向不确定,故0不能与任意向量平行.
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
(6)向量与向量是共线向量,则A、B、C、D四点在一条直线上.
(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
解:(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小.故(1)不正确.
(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能判断方向.
(3)正确.∵|a|=|b|且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b.
(4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
(6)不正确.若向量与向量是共线向量,则向量与所在直线平行或重合,因此,A、B、C、D不一定共线.
(7)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向.是可以任意移动的.
变式提升 3
设O为△ABC的外心,则,,是( )
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
解析:作出图形,利用三角形外心的性质进行判断.
因为O为△ABC的外心,
所以OA=OB=OC,
即||=||=||.
答案:C
2.1.2 向量的加法
课堂导学
三点剖析
一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则
学习这部分内容时要注意:
①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.
②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.
③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.
④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=,b=,则a+b=+=.
⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.
【例1】 设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?
思路分析：画图求解.
解:如图,作=a,=b,
则=+=a+b.
∵△ABO为直角三角形,
且||=||=2,
∴||=且∠AOB=45°.
∴a+b表示向西北方向走了 km.
各个击破
类题演练 1
已知向量a和非零向量b,求作向量a+b.
思路分析:已知中明确了b是非零向量,没有明确a是否是非零向量,所以,应就a=0和a≠0两种情况分类讨论.
解:(1)若a=0,则a+b=b,见图(1).
(2)若a≠0,则
①当a与b不共线时,a+b,见图(2).
②当a与b共线时,有
(ⅰ)a与b同向共线,a+b,见图(3).
(ⅱ)a与b反向共线,
|a|<|b|,a+b,见图(4);
|a|=|b|,a+b,见图(5);
|a|>|b|,a+b,见图(6).
变式提升 1
如图所示,向量++++=________.
解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即.
答案:
温馨提示
更一般地,.特别地当A1和An重合时,=0.
二、向量加法的平行四边形法则
三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和.三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则.
【例2】 两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40 N,方向向东,F2=30 N,方向向北,求它们的合力.
解：如图,表示F1,表示F2.
以OA,OB为邻边作ABCD,则表示合力F.
在Rt△OAC中,||=|F1|=40,||=||=|F2|=30.
由勾股定理,得|F|=||==50.
设合力F与F1的夹角为θ,
则tanθ==0.75.
所以θ≈37°.
所以合力大小为50 N,方向为北偏东53°.
类题演练 2
已知向量a、b(如图),求作a+b.
思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.
解:在平面内任取一点O,如图,作=a,=b,则=a+b.
变式提升 2
已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.
解:如图,设||=a,||=b,
以AB,AD为邻边作ABCD,
则=a+b,=a-b.
∵|a+b|=|a-b|,
即||=||,
∴ABCD为矩形,故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,||=6,||=8,
由勾股定理,得
|=10.
∴|a+b|=|a-b|=10.
三、向量加法的运算性质
(1)对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.
(2)向量加法的交换律:a+b=b+a.
(3)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(4)三角形不等式:对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A出发先位移向量a,接着再位移向量b与先位移向量b再位移向量a一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.
(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了.
【例3】 化简:
(1);
(2);
(3).
解:(1).
(2)=0.
或=0.
(3)
=0.
类题演练 3
如图所示,已知△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,且AD与BE交于O点.求
证:=0.
思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得.
证明:,
又,
∴,
同理,可证,,
∴=0.
变式提升 3
下列命题:
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;
②△ABC中,必有=0;
③若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①假命题.当a+b=0时,命题不成立.
②真命题.
③假命题.当A,B,C三点共线时也可以有=0.
④假命题.只有当a与b同向时相等,其他情况均为|a|+|b|>|a+b|.
答案:B
【例4】 已知A,B,C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明：
如图所示,因为=0,
所以.
以,为邻边作平行四边形BGCD,
则有=+,
所以=.
又因为在BGCD中,BC交GD于点E,
所以.
所以AE是△ABC的边BC的中线,
且||=2||.
所以G是△ABC的重心.
温馨提示
(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.通过本例题知,若G为△ABC的重心,则有++=0.
类题演练 4
在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.
解:
作OACB,如图所示,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,
在△AOC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.
||=||cos30°=(N),
||=||sin30°=150(N).
||=||=150(N),
∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是 N,与铅垂线成60°角的绳子拉力是150 N.
变式提升 4
用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O,且AO=OC,DO=OB.
求证:ABCD是平行四边形.
证明:根据向量加法的三角形法则,
有.
又∵.
∴AB与DC平行且相等.
∴ABCD为平行四边形.
2.1.3 向量的减法
课堂导学
三点剖析
一、向量减法的定义及作图法
1.向量减法有两种定义
(1)将减法运算转化成加法运算:a-b=a+(-b).
(2)将减法运算定义为加法运算的逆运算,即若b+x=a,则x=a-b.
2.向量减法的几何作法
在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
【例1】 如下图,已知向量a、b,求作向量a-b.
解法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,连结AB,则=a-b.(如下图)
解法二:在平面内任取一点O,作=a,=-b,连OB,则=a+(-b)=a-b.(如下图)
各个击破
类题演练 1
已知向量a,b,c与d,求a-b,c-d(如下图).
思路分析:a-b可以由向量减法的三角形法则(或平行四边形法则)直接作出,也可以看作a+(-b),先作出-b,再利用加法的三角形法则(或平行四边形法则)作出.
解:作=a,=b,作,
则a-b=-=;
作=c,=d,作,
则c-d=-==.
变式提升 1
化简:(-)-(-)=___________.
解法一:(-)-(-)=--+
=+++=(+)+(+)
=+=0.
解法二:(-)-(-)
=--+
=(-)+(-)=+
=0.
答案:0
温馨提示
解法一是将向量减法转化为加法运算进行化简的.解法二是根据向量减法的几何意义进行化简的.
二、用已知向量表示其他向量
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是,第一步:观察各向量位置;第二步:寻找(或作)相应的平行四边形和三角形;第三步:运用法则找关系;第四步:化简结果.
【例2】 已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示.
思路分析:利用三角形法则,把向量互相表示.
解：
方法一:如图所示,
=+=a+
=a+(-)=a+c-b.
方法二:=+++=++(+)=++0=+(+)
=a+(-b+c)=a-b+c.
类题演练 2
已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,则向量=_______.
思路分析:可结合图形,利用向量相等的知识解决.
解:如图,=a,=b,=c,
则=+=+=+(-)=a+(c-b)=a+c-b.
答案:a+c-b
变式提升 2
如下图,在ABCD中,已知=a,=b,用a、b表示向量,.
解析:由于=+,而=-b,
所以=a-b.
由于四边形ABCD为平行四边形,
所以=+=a+a-b=2a-b.
三、向量减法的综合应用
【例3】 如图,ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b,a-b互相垂直?
(2)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(3)a+b,a-b有可能是相等的向量吗?为什么?
思路分析:运用向量减法的几何意义作图求解.
解：
a+b,a-b恰对应ABCD的两条对角线,.
(1)由a+b与a-b相互垂直,即ABCD的两条对角线互相垂直,
所以ABCD为菱形,
故相邻边相等,即|a|=|b|.
(2)由|a+b|=|a-b|,知ABCD两条对角线相等,此时ABCD为矩形,所以a与b相互垂直.
(3)不可能.因为ABCD中两条对角线不可能平行,故对应两向量的方向不可能相同.
温馨提示
把向量的加,减法,向量的模与四边形的边的概念综合起来,拓广了思维的范围.
类题演练 3
给出下列命题,其中正确的是( )
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
②△ABC中,必有++=0
③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
④若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一方向相同
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
思路分析:一定要注意零向量的特别之处.
解:①中当a=0时,命题不正确.
④中当a+b=0时,命题不正确.故选D.
答案:D
温馨提示
记住常用关系、常用数据.如△ABC中,++=0,以向量a、b为邻边的平行四边形中,a±b表示的是两条对角线所在的向量.
变式提升 3
试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于O,AO=CO,DO=BO.求证:四边形ABCD为平行四边形.
证明:设=a,=b.
则=-=b-a,
=-=-a-(-b)=b-a.
所以=.
因此,四边形ABCD为平行四边形.
2.1.4 向量数乘
课堂导学
三点剖析
一、向量数乘的概念及几何意义
1.对向量数乘定义的理解
注意:①λa中的实数,叫做向量a的系数.
②关于对向量数乘λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1)时,也可以缩小(当|λ|<1时),同时可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
③向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0,而λ≠0,若a=0,也有λa=0.
④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a就无法运算.
2.向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
【例1】 已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
思路分析:利用λa中λ的作用.
解：(1)真命题.∵2>0,∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a反向,且|-2a|=|5a|.
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
温馨提示
对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0时,λa与a同向,模是|a|的λ倍;λ<0时,λa与a反向,模是|a|的-λ倍;λ=0时,λa=0.
各个击破
类题演练 1
如图(1),已知非零向量a,求作向量2a,a,-3a,a.
思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.
作法:将向量a依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的倍,反向伸长到原来的3倍,反向缩短到原来的倍,得到图(2).
变式提升 1
已知点C在线段AB的延长线上,且.
(1)用表示;
(2)用表示.
思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.
解:如图①,由已知,点C在线段AB的延长线上,且,
∴,解得AB=3BC.
同理,可得AC=4CB.
(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3.
(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-4.
温馨提示
确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小.
二、向量数乘的运算律及应用
设λ,μ为实数,则
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
【例2】 设x,y为未知向量.
(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
(2)解方程组
解：
(1)原方程可化为5x+5a+3x-3b=0,
∴8x+5a-3b=0.
∴8x=3b-5a.∴x=b-a.
(2)
①×2-②得(x-2y)-(x-y)=2a-b,
∴y=2a-b.
∴y=b-a.
代入①得x=a+b-a,
∴x=2a+b-a=b-a.
类题演练 2
化简下列各式:
(1)［(2a+8b)-(4a-2b)］;
(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.
解:(1)原式=(a+4b-4a+2b)=［(1-4)a+(4+2)b］
=(-3a+6b)=2b-a；
(2)原式=(4a-3b+b-a+b)
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
温馨提示
(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.
(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.
变式提升 2
将［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为( )
A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a
思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.
解:原式=(4a+16b-16a+8b)
=［(4-16)a+(16+8)b］
=-a+2b=2b-a.
∴应选B.
答案:B
三、向量的线性运算
向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示,如2a,-3a,-a都是a的线性表示,2a+3b,-3a+5b,a-b等都可以由a,b线性表示.
【例3】 梯形ABCD(如图)中,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC与AB的中点.若=a,=b,试用a,b表示和.
解法一:连结CN,N为AB中点.
∵AN∥DC,AN=DC,
∴ANCD为平行四边形.
有=-b.
又∵=0,
∴==b-a.
∴=
=+=a-b.
解法二:梯形ABCD中,有+=0,
即a++(-a)+(-b)=0.
可得=b-a.
在四边形ADMN中,=0,
即b+a++(-a)=0.∴=a-b.
温馨提示
解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为0的结论.
类题演练 3
如图所示,△ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解:如图,设AG交BC于点M,则M是BC的中点.
=b-a,=c-a,=c-b,
=+=b-a+(c-b)=(c+b-2a),
=(c+b-2a),
所以=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).
变式提升 3
证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.
思路分析:数学语言分为三种形式:文字语言,符号语言,图形语言.解答用文字语言给出的数学问题,必须用符号语言写出已知,求(求证),然后再去解(证明),这是规矩.
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证:DEBC.
证明:如图,非零向量.
∵DE是△ABC的中位线,
∴D,E分别是BA,AC的中点.
∴=,=.
∵=++=(+)=,
即=,①
①式有两个方面的含义,即∥.
又DE与BC没有公共点,
∴DE∥BC.②
||=||,即DE=BC.③
由②和③,可知DEBC.
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课堂导学
三点剖析
一、向量共线的概念及共线的条件
1.向量共线的概念
如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行.
2.向量共线的条件——平行向量定理
平行向量定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b(b≠0),则一定存在一个实数λ,使a=λb.
注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.
(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.
【例1】 判断向量a=-2e与b=2e是否共线.
思路分析：要分e=0与e≠0两种情况分析.
解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时a与b共线.
(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0.
∴b=-a(这时满足定理中的a≠0及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立).∴a与b共线.
综合(1)(2)可知,a与b共线.
各个击破
类题演练 1
已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?
思路分析:根据向量共线条件列式求解.
解:设存在λ,μ使得d与c共线,
并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),
则m=λ+μ且m=,
解得λ=-2μ,
即存在实数λ,μ,使得d=λa+μb与c共线.
变式提升 1
设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量.
思路分析:运用平行向量定理列式求解.
解:因为(ke1+e2)∥(e1+ke2),
所以存在唯一实数p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,
所以(k-p)e1=(pk-1)e2,
因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=±1.
温馨提示
(1)向量共线的充要条件:a与b共线存在唯一λ使b=λa(a≠0).
(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法.
二、轴上向量的坐标及其运算
关于这部分内容要注意:
1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
2.设e是轴l上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=ABe.
3.在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.
即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:
|AB|=|x2-x1|.
【例2】 已知轴上三点A,B,C,且AC=2,BC=-2,则AB等于( )
A.0 B.4 C.-4 D.非上述答案
解析：AB=AC-BC=2-(-2)=4.
答案:B
类题演练 2
已知数轴上两点M,N,且|MN|=4,若xm=-3,则xn等于( )
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
解析:据数轴上两点间的距离公式,得|MN|=|xn-xm|=4,
又xm=-3,∴|xn+3|=4.
∴xn=1或-7.
答案:D
变式提升 2
A,B,C,D是轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0.
证明:设轴l上的点A,B,C,D的坐标分别为x1,x2,x3,x4,
则AB+BC+CD+DA=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x1-x4)=0.
故原题得证.
三、三点共线问题
【例3】 如图所示,在ABCD中,=a,=b,M是AB中点,点N是BD上一点,| |=||.
求证:M、N、C三点共线.
思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3.
证明:∵=a,=b,∴=-=a-b.
∴=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).
又∵=+=b+a=(2a+b),
∴=3.
又与有共同起点,
∴M、N、C三点共线.
温馨提示
几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的实数λ,使得一个向量等于另一个向量的λ倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.
类题演练 3
设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,
=2e1-e2.若A、B、D三点共线,求k的值.
解:∵=-=(2e1-e2)-( e1+3e2)= e1-4e2,
又由题设A、B、D三点共线,得存在实数λ,使=λ,
∴2e1+ke2e2=λ(e1-4e2).
∴λ=2,k=-4λ=-8.
变式提升 3
已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,
=4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.
证明:∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,
∴向量与共线.
又与有共同起点A,
∴A、B、D三点共线.
温馨提示
证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平行或重合时,两向量平行,因此证得两向量平行后,若两向量所在的两直线有公共点,则两直线必重合,从而可得三点共线.一般地,要证明A,B,C三点共线,只要用该三点任意构造两向量(如:,),证明它们共线就可以了.
2.2.1 平面向量基本定理
课堂导学
三点剖析
一、基底
(1)基底的特征:①两个向量,②不共线.
(2)就像平面上可选取不同的坐标系一样,同一平面可以有不同的基底.因此,要表示一个向量时基底不唯一,但是基底给定时,向量的表示法唯一,即若a=λ1 e1+λ2 e2=λ1′e1+λ2′e2,则λ1=λ1′且λ2=λ2′.
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解.
【例1】 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析：平面内向量的基底不唯一.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案：B
各个击破
类题演练 1
设点O是ABCD两对角线交点,下列向量组:①与;②与;③与;④与.可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
解析:①与不共线;
②=-,∥,与共线;
③与不共线;
④=-,∥,与共线.
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案:B
变式提升 1
e1、e2是平面内的一组基底,则下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )
A.e1和e1+ e2
B.e1-2e2和e2-2e1
C.e1-2e2和4e2-2e1
D.e1+e2和e1-e2
解析:∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),
∴e1-2e2与4e2-2e1共线,不能作为基底.∴选C.
答案:C
二、平面向量基本定理及其应用
关于定理的说明:
(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；
(2)平面内的任一向量都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；
(3)对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的不共线向量都可作为基底；
(4)当平面内取定一组基底a0、b0后，任一向量m都被a0、b0唯一确定，其含义是存在唯一实数对（λ1,λ2),使m=λ1a0+λ2b0.若还有m=λ1′a0+λ2′b0.则必有λ1=λ1′且λ2=λ2′.
【例2】 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
思路分析：解决本题有两个关键点:一是由题意证明三线交于一点,需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点,这两点为终点的两向量相等,从而得这两点重合.
证明:设D、E、F分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点,
令=a,=b为基底,
则=a-b,=a-b,=-a+b,
设AD与BE交于点G1,且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb.
又有=+=(1-)a+(μ-1)b,
∴
解得λ=μ=,
∴=,
再设与交于G2,
同理求得=,
∴G1点、G2点重合,即AD、BE、CF交于一点.
∴三角形三条中线交于一点.
温馨提示
平面向量基本定理是向量法的理论基础,这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线向量“生成”的,或者说,任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示的实质,它不仅提供了向量的几何表示方法,同时也使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁.如我们已经证明过的结论:若A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任一点P,存在实数t,使OP关于基底{,}的分解式为=(1-t) +t(*)并且满足(*)式中点P一定在l上.
实际上,向量等式(*)叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.
类题演练 2
已知向量a、b,求作向量3a-2b.
方法一:如图,(1)取一点O,作=3a,=-2b.
(2)作△OAB,则就是求作的向量.
方法二:如图,(1)取一点O,作=3a,=-2b.
(2)作OABC,则就是求作的向量.
（1） (2)
温馨提示
（1）已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量.
（2）本题是平面向量基本定理的简单应用，除可运用平行四边形法则外，还可用向量加法的三角形法则求作向量.
变式提升 2
如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC边上的中点,且BC=3AD,=a,=b,试以a、b为基底分别表示、和.
解:∵AD∥BC且AD=BC,
∴==b.
∴==b.
又∵=,
∴=b.
∴=-=a-b.
∴=+=--=-b-(a-b)=b-a.
=+=+=-+=-b+b-a=b-a.
=+=-(+)=-(b-a+b)=a-b.
温馨提示
(1)本例实质上是平面向量基本定理的应用，由于与不共线，因此，平面内的所有向量都可用它们表示出来.
（2）任一平面直线型图形，根据平面向量基本定理，都可以表示为某些向量的线性组合.这样解答几何问题，应先把已知和结论线段表示为向量形式,然后通过向量的运算，达到解决问题的目的.
三、两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.
说明:（1）向量a与b的夹角定义中强调的是作=a，=b，即强调a、b同起点.在研究具体问题时，涉及到不同起点的夹角问题，要把起点移到同一点；
（2）向量a与b夹角范围是0°≤θ≤180°.当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时,a与b反向；
（3）向量a⊥b是两向量夹角的特殊情况，在今后学习中会经常用到.
【例3】 如下图,在Rt△ABC中，边AB、BC、AC的长分别为、2、1，求向量与的夹角.
思路分析：由于向量与的夹角不是∠C，应是∠C的补角,因此，我们应先求∠C，然后再求与的夹角.
解:∵||2+||2=||2，
∴∠BAC=90°.
∵cos∠BCA=,
∴∠BCA=60°.
∴平移向量使点B与点C重合，则与的夹角为120°.
类题演练 3
在正△ABC中,向量和的夹角是多少度?向量与的夹角是多少度?
思路分析:作出图形,根据向量夹角的定义求出即可.
解:由图形可知向量与夹角为120°;向量与夹角为60°.
变式提升 3
已知向量a与b的夹角是60°,那么向量a与-b的夹角是多少度?向量-a与-b的夹角是多少度?
解:根据向量夹角的定义,可以得到a与-b的夹角是120°;向量-a与-b的夹角为60°,如图所示.
(1) (2)
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课堂导学
三点剖析
一、向量a=的坐标
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
【例1】 在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.
思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ,则有
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos45°=2×=,
a2=|a|sin45°=2×=,
b1=|b|cos120°=3×(-)=,
b2=|b|sin120°=3×,
c1=|c|cos(-30°)=4×,
c2=|c|sin(-30°)=4×(-)=-2,
因此a=(,),b=(),c=(,-2).
各个击破
类题演练 1
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=，∠xOA=60°,求向量的坐标.
思路分析:要求向量的坐标，就是要求在x、y轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.
解:设点A的坐标为（x,y),则x=||·cos60°=×,
y=||sin60°=×=6,即A（，6）.
∴=（，6）.
变式提升 1
如图,正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量证明PA=EF.
思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA与EF的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D点为坐标原点,以DC、AD边所在直线分别为x、y轴,建立坐标系.
证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),
则A(0,a),P(λ,λ),E(a,λ),F(λ,0),
∴=(λ,a-λ),=(λ-a,λ).
∵||2=λ2-aλ+a2,||2=λ2-aλ+a2,
∴||2=||2,故PA=EF.
二、向量的直角坐标运算
(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
(2)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
(4)若a=(a1,a2),λ∈R,则λa=(λa1,λa2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.
【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.
思路分析：根据题意可设C(x1,y1),D(x2,y2),然后利用=和=-相等关系可得关于x1、y1及x2、y2的方程组,可得C、D点坐标及坐标.
解:设C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6), =(-1-x2,2-y2),=(-3,-6),
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),也就是(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴∴
∴C、D的坐标分别为(0,4)、(-2,0).
因此=(-2,-4).
类题演练 2
(1)设向量a、b的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a-b+c的坐标.
解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).
(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).
变式提升 2
用坐标法证明++=0.
思路分析:先设出点A、B、C的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式.
证明:设A（a1,a2)、B（b1,b2)、C(c1,c2),则
=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2),
∴++=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)
=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)=(0,0).
∴++=0.
温馨提示
这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A、B、C是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.
三、向量坐标运算的应用
向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.
【例3】 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），以，为一组基底表示++.
思路分析:求解时，首先由点A、B、C、D的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++=m+n.最后列出关于m，n的方程组求解.
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）.
设++=m+n,
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).
∴++=32-22.
温馨提示
(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.
(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.
类题演练 3
已知向量a=(x+3,x-3y-4)与相等，若A（1，2），B（3，2），求x、y的值.
解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.
∵a=，
∴
故x=-1,y=.
温馨提示
由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.
变式提升 3
如图,在ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,=d,试用c、d表示和.
思路分析:直接用c、d表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c、d,再来解关于、的方程组.
解:设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b,=a.
+=,即b+a=c.①
+=,即a+b=d.②
由①②可得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课堂导学
三点剖析
一、两向量共线的判断
利用a=λb和坐标表示x1y2-x2y1=0来判断.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线的条件是a=λb;用坐标表示可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0,也就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.
【例1】 判断下列向量a与b是否平行:
(1)a=(,),b=(-2,-3);
(2)a=(0.5,4),b=(-8,64);
(3)a=(2,3),b=(3,4);
(4)a=(2,3),b=(,2).
思路分析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥ba1b2-a2b1=0.
解：(1)×(-3)-×(-2)=+=0,
∴a∥b.
(2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,
∴ab.
(3)2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴ab.
(4)2×2-3×()=4+4=8≠0,∴ab.
温馨提示
由于a2≠0,b2≠0,因此也可以这样判定:
(1),∴a∥b.
(2),∴.
∴ab.
(3)≠,∴ab.
(4)≠,∴ab.
各个击破
类题演练 1
已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判断与是否共线?
思路分析:判断两个向量是否共线,可直接利用坐标形式的条件x1y2-x2y1=0来判断.
解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),
=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8),
∵4×(-8)-4×(-8)=0,
∴∥,
即和共线.
变式提升 1
a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解得k=λ=-.
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b).
∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.
解法二:由解法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),
∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-,
此时ka+b=(--3,+2)=-(a-3b).
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
二、坐标法证三点共线问题
证明三点共线(或两直线平行、重合)
(1)证明两直线平行,可通过证这两直线上的两向量共线,且无公共点.
(2)证明三点共线,可通过证由这三点构成的两个向量共线,且有公共点.
(3)证三点共线常见的方法还有:证得两条较短的线段之和等于第三条线段的长度,以及利用斜率或直线方程,证明三点为顶点的三角形面积为零等.
【例2】 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.
思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.
解法一:∵A、B、C三点共线即、共线，
∴存在实数λ使
=λ,即i-2j=λ(i+mj).
∴
∴m=-2.
∴m=-2时，A、B、C三点共线.
解法二：依题意知：i=（1，0），j=（0，1），=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），
=（1，0）+m(0,1)=(1,m).而，共线，
∴1×m+2=0.
∴m=-2.
故当m=-2时，A、B、C三点共线.
温馨提示
向量共线的几何表示与代数表示形式不同，但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用.
类题演练 2
向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线?
解:=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k),
∵A、B、C三点共线,
∴∥,
即(k-4)(12-k)-(k-10)×7=0,整理,得k2-9k-22=0,
解得k1=-2或k2=11,
∴当k=-2或11时,A、B、C三点共线.
变式提升 2
证明下列各组点共线:
(1)A(1,2),B(-3,-4),C(2,3.5);
(2)P(-1,2),Q(0.5,0),R(5,-6).
证明:(1)=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).
∵-4×7.5-(-6)×5=0(或),
∴∥.
又∵、有公共点B,
∴A、B、C三点共线.
(2)=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),
=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6),
∴1.5×(-6)-(-2)×4.5=-9+9=0(或).
∴∥.
又∵、有公共点Q,
∴P、Q、R三点共线.
三、向量共线的坐标应用
平面向量共线的坐标表示常应用于:(1)求点的坐标;(2)确定参数的值(比值);(3)平面几何中的证明问题.向量共线的坐标表示与几何表示形式不同但实质一样,在解决问题时要不拘泥于形式,灵活运用.
【例3】 平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=(4,1).
(1)求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)若a+kc∥（2b-a），求实数k；
（4）设d=（x,y）满足（d-c）∥（a+b）且|d-c|=1,求d.
思路分析：对于（1），可直接用坐标运算得出结果.对于（2），可将向量相等转化为关于坐标的方程组.对于（3）（4）,都可运用向量平行的条件，将其转化为关于坐标的等式求解.
解:（1）3a+b-2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）.
（2）∵a=mb+nc，∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).
∴
(3)∵(a+kc）∥（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
(4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴
解之，得
∴d=()或d=().
类题演练 3
已知a≠0,b≠0,且ab,求证:a+ba-b.
证明:令a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
假设a+b∥a-b,
则(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0,
即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0,
整理得2(x2y1-x1y2)=0,即x1y2-x2y1=0,
因为a≠0,b≠0,所以a∥b.
这与已知矛盾,故a+b与a-b不平行.
温馨提示
平面向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题，通过向量的代数运算使几何问题得到解决，这是数形结合思想的体现.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂导学
三点剖析
一、平面向量的数量积
关于向量的数量积,注意:
(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;
(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;
(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;
(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“·”不能省略;
(6)当〈a,b〉为锐角时,a·b>0;当〈a,b〉为直角时,a·b=0;当〈a,b〉为钝角时,a·b<0;
(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功.
【例1】 已知|a|=4，|b|=5，且a与b的夹角为60°.
求：（1）a·b；（2）（a+b）2；
（3）（a-b）2；（4）a2-b2.
思路分析：利用两向量数量积公式a·b=|a||b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算.
解析:（1）a·b=|a||b|cosθ=4×5×cos60°=10.
（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=42-20+52=21.
（4）a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.
类题演练 1
已知|a|=4，|b|=5.当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
思路分析:确定夹角θ运用数量积的公式列式求解.
解:（1）a∥b.若a与b同向，则θ=0,a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.
若a与b反向，则θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时，θ=90°,a·b=|a||b|cos90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos30°=.
变式提升 1
在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求·.
思路分析:要求、,关键是确定与的夹角.
解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,所以直角边AB==2.
∴||=2,||=.
如图(2),与的夹角∠BAC=45°,
∴·=·(-)=-(·)
=-||||cos∠BAC=-2×cos45°=-2××=-4.
二、两向量的夹角
关于两向量的夹角,注意:
(1)已知两个非零向量a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉.
(3)当〈a,b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向.
【例2】 已知单位向量e1、e2的夹角为60°,求向量a=2 e1+ e2与b=2 e2-3 e1的夹角θ.
思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件.
解:∵e1·e2=|e1||e2|cos60°=cos60°=,
∴a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)=-6e12+e1·e2+2e22=.
又a2=(2 e1+e2)2=4 e12+4e1·e2+e22=7,
b2=(2e2-3e1)2=4 e22-12e1·e2+9e12=7.
∴|a|=|b|=,则cosθ==-,
又∵0≤θ≤π,∴θ=π.
类题演练 2
已知|a|=5，|b|=4，且a·b=-10，求a与b的夹角θ.
思路分析:用夹角公式,即数量积公式变形.
解:cosθ==-,又θ∈［0,π］,∴θ=.
变式提升 2
在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°-∠B.
因为a·b=|a||b|cos(180°-B)=-|a||b|cosB>0,
所以cosB<0.
又因为B∈(0°,180°),所以角B为钝角.
所以△ABC为钝角三角形.
答案:C
温馨提示
此题主要考查两向量夹角的概念,应避免a·b=|a||b|cosB>0得cosB>0,进而得角B为锐角,从而无法确定,错选D.
三、向量在轴上的投影
这部分内容要注意:
(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1、A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).
(2)a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作a,a=|a|cosα.
(3)射影的坐标是数量,当α为锐角时,a为正值;当α为钝角时,a为负值;当α=0时,a=|a|;当α=π时,a=-|a|.
【例3】 已知轴l,如图:
(1)向量||=5,〈,l〉=60°,求在l上的正射影OAl;
(2)向量||=5,〈,l〉=120°,求在l上的正射影OBl.
思路分析：向量a在轴l上的正射影为al=|a|cosθ.
解:(1)OAl=5cos60°=5×=,
(2)OBl=5cos120°=5×(-)=.
类题演练 3
设a,b是两非零向量，λ是a在b方向上的投影，μ是b在a方向上的投影，若a与b的夹角为钝角，则（ ）
A.λ=μ＞0 B.λ=μ＜0
C.λ、μ∈(-∞,0) D.λ、μ∈（0，+∞）
解析：λ=|a|cosθ,μ=|b|cosθ,θ为钝角，
∴λ＜0,μ＜0.
而|a|与|b|不一定相等，故选C.
答案：C
变式提升 3
已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为( )
A. B.3 C.4 D.5
解析:由已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,又a·b=|a||b|cosθ,
所以cosθ=.
而a在b上投影为|a|cosθ=3×,故选A.
答案:A
温馨提示
向量a在向量b上的投影为|a|cosθ,应用公式时要分清|a|与|b|,不能套错公式.
2.3.2 向量数量积的运算律
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的交换律和分配律
【例1】 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°,求证:(a-b)⊥c.
证法一:∵|a|=|b|=|c|=1且a、b、c之间夹角均为120°,∴(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0.∴(a-b)⊥c.
证法二:如右图,设=a,=b,=c,
连结AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC,O为△ABC的中心,
∴OC⊥AB.
又∵=a-b,∴(a-b)⊥c.
各个击破
类题演练 1
若a、b、c为任意向量，m∈R,则下列等式不一定成立的是( )
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.m（a+b）=ma+mb
C.（a+b）·c=a·c+b·c
D.（a·b）c=a（b·c）
解析:A项是向量加法结合律.B项是向量数乘分配律.C项是向量数量积分配律.故A、B、C项均正确.D项中，（a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示与a共线的向量，而c与a一般不共线，∴（a·b）c≠a(b·c）.
故选D.
答案:D
变式提升 1
（2006湖南高考,理5） 已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )
A.［0,］ B.［,π］
C.［,］ D.［,π］
解析:据题意,x2+|a|x+a·b=0有实根,∴Δ=|a|2-4a·b≥0.
∴|a|2≥4a·b.
cosθ==.∴θ∈［,π］.
答案:B
二、向量的数量积的应用
【例2】 (本例是一组应用本节知识的题目)
1.（2006重庆高考,理7） 与向量a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为1的向量是( )
A.()
B.()或()
C.()
D.()或()
解析：由题意知a与b垂直,设所求向量为m,则m与a或b所成角为45°或135°,排除A、C.
验证B或D中任一个值即可迅速得解.
答案:B
2.(2006重庆高考,文8) 已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若||=||,则与的夹角为( )
A.arccos() B.或arccos
C.arccos D.或π-arccos
解析:由||=||,得k=0或6.
∴=(-3,-4),=(4,-3)或=(4,3).
∴||=||=5.
又∵cos〈,〉=,代入坐标,
∴与的夹角为或π-arccos.
答案:D
3.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=4,|b|=2,求(1)|3a-4b|;(2)(a-b)·(a+2b).
解:(1)因为|3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2
=9×16-24×4×2×cos60°+16×4=16×7,
所以|3a-4b|=.
(2)(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=16+4×2×-2×4=12.
类题演练 2
已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为,求|a+b|、|a-b|的值.
思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数量积联系起来了.
解:因为a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos=,
所以|a+b|=
.
同理,可得|a-b|==1.
变式提升 2
若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|,则α与β的夹角为_________.
解析一:如图所示,以α、β为邻边作出OACB,则=α+β,=α-β,又|α+β|=|α-β|,即平行四边形OACB的对角线长相等,所以OACB为矩形,所以α⊥β,即它们的夹角为90°.
解析二:因为|α+β|=|α-β|,
所以α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2,即α·β=0.
所以α⊥β,即α、β的夹角为90°.
答案:90°
温馨提示
向量问题的几何意义很重要.本题的解法一就是向量运算的几何解法,解法二则运用了向量数量积的代数运算.
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的坐标运算
若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.
【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.
(1)求D点的坐标;
(2)用、表示.
思路分析:求D点坐标要先设出D点的坐标,然后用待定系数法求之.
解：(1)设D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y),
所以·=x+1+2y=5,①
2=(x+1)2+y2=10.②
联立①②,解之,得
所以D点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)当D点的坐标为(-2,3)时,=(1,2),
=(-1,3),=(-2,1),设=m+n,
则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
所以所以m=-1,n=1.
所以=-+.
当D点的坐标为(2,1)时,设=p+q,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以所以p=1,q=-1.
所以=-.
综上,当D点的坐标为(-2,3)时,=-+.
当D点的坐标为(2,1)时,=-.
各个击破
类题演练 1
设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.
思路分析:运用(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°列出等式,解方程.
解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),
(a+tb)·b=(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,
|a+tb|=.
由(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,
得5t+5=,
即t2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.
温馨提示
本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.
变式提升 1
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)a.
思路分析:因为a与b同向,所以在设出a的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.
解:(1)∵a与b同向,∴可设a=(k,2k)(k>0).
又a·b=10,∴(k,2k)·(1,2)=10k=2.
∴a=(2,4).
(2)(b·c)a=［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.
二、两向量垂直条件的坐标表示
设a与b为两个非零向量,且a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1b1+a2b2=0.
【例2】 在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC为直角三角形,求k的值.
思路分析:题目中只给出了△ABC为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.
解：若∠A=90°,由已知得·=0,
∴2×1+3k=0,解得k=.
若∠B=90°,则·=0,
∵=-=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),
∴·=2×(-1)+3(k-3)=0,
解得k=.
若∠C=90°,则·=0.
∴1×(-1)+k(k-3)=0,
即k2-3k-1=0,解得k=.
综上可得k=或k=或k=.
类题演练 2
已知a=(1,0),b=(1,1),当λ为何值时,(a+λb)⊥a?
思路分析:先求出a+λb的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.
解:∵a=(1,0),b=(1,1),∴a+λb=(1+λ,λ).
又∵a+λb与a垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.
∴当λ=-1时,a+λb与a垂直.
变式提升 2
平面上三点A、B、C共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且⊥.求m、n的值.
思路分析:解答本题要注意A、B、C三点共线这个条件的运用,即与共线.
解:由题意得向量与共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.
∴
解得
三、向量的模、距离和夹角公式
1.设a=(a1,a2)，
则|a|=.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则=(x2-x1,y2-y1)，
∴||=.
3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
则cos〈a,b〉=.
【例3】 已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围.
思路分析：由于两个非零向量a、b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.
解:由题意cosα=,
∵90°<α<180°,∴-1∴-1<<0.
∴
即即
∴λ的取值范围是(-,2)∪(2,+∞).
类题演练 3
已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
思路分析:设出a与b的坐标,运用公式.
解:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵|a|=|b|,
∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2·(x12+y12)=3(x12+y12),
得|a+b|=.
设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.
∴θ=30°.
变式提升 3
如右图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，试用向量法证明⊥.
证明:以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，||=λ，则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0）.
于是=（λ，1-λ），=(λ-1,λ).
∵·=(λ)·(λ-1)+(1-λ)(λ)=0,
∴⊥.
2.4.1 向量在几何中的应用
课堂导学
三点剖析
一、向量在平面几何中的应用
因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.
【例1】 如下图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M、N、C三点共线.
思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明.
证明：设=e1，=e2，
∵=-=e2-e1，=，
∴=e1.∴=+=e1+e2.
又=，∴=（e2-e1）.
∴=+=e1+（e2-e1）
=e1+e2.
∴=3.∴M、N、C三点共线.
各个击破
类题演练 1
如图，已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：
=（++）.
证明：设三条中线分别为AD、BE、CF.所以有=.由向量的中线公式有=（+），
=（+），
所以+=（+）.①
同理，+=（+），②
+=(+)，③
①+②+③得2（++）=(+++++)=0.
所以++=0.
所以3=++=（+）+（+）+（+）=（++）+（++）=++.
所以=（++PC）.
变式提升 1
如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++.求证：⊥.
思路分析：要证⊥，即证·=0，选取基底{，}，将，表示出来即可.
证明：∵=-，=-=（++）-=+，
∴·=（-）·（+）=||2-||2.
∵O为外心，∴||=||，即·=0.
∴⊥.
二、向量在解析几何中的应用
一般地，对于直线方程Ax+By+C=0而言，向量a=（B，-A）为该直线的方向向量，向量n=（A，B）与直线垂直，又称n=（A，B）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题.
【例2】 求过点A（-1，2）且平行于向量a=（3，2）的直线方程.
思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示.
解法一：直线与a=（3，2）平行，
∴直线斜率k=.
∴直线方程为y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.
解法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y），则∥a.
如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件,整理，得方程为2x-3y+8=0.
解法三：设P(x,y)为所求直线上任意一点，由题意知∥a，
而=（x+1,y-2）,a=(3,2),
∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,
化简得2x-3y+8=0，即为所求直线的方程.
类题演练 2
在△ABC中，已知A（-1，2），B（3，1），C（2，-3），求AC边上的高所在的直线方程.
思路分析：在过A点的直线上任取一点P，由已知直线l的方向坐标得法向量n的坐标，利用·n=0求出直线方程.
解：与AC边平行的向量为=（3，-5），设P（x,y）是所求直线上任一点，=（x-3,y-1）,所以AC边上的高所在直线方程为·（x-3,y-1）=0,即3x-5y-4=0.
变式提升 2
设A（-1，0），B（1，0），点C在直线2x-3=0上，且2·=·+·，求cos〈,〉.
思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系.
解：设C（x0,y0），∵点C在直线2x-3=0上，
∴2x0-3=0，∴C（，y0）.
则=（，y0）,=(2,0),=(-,-y0).
∴·=5，·=+y02,·=-1，
又∵2·=·+·，
∴2（+y02）=5+(-1).
∴y02=.解得y0=±.
∴cos〈,〉=.
2.4.2 向量在物理中的应用
课堂导学
三点剖析
一、用向量解决运动学问题
【例1】 如图，一条河的两岸平行，河宽为d米.一船从A出发航行到河的对岸，航行的速度大小为|v1|,水流的速度大小为|v2|，且|v1|>|v2|,那么|v1|与|v2|的夹角θ多大时，船才能垂直到达河岸B处？船航行多少时间？
思路分析：解题时要注意速度是一个向量，应用向量的三角形或平行四边形法则解决时，关键是“水速+船速=船的实际速度”是向量的加法运算.
解：|v|=,所以船航行的时间t=,又因为t=,
所以=.所以sinα=.所以θ=π-arcsin.
答：当|v1|、|v2|的夹角为π-arcsin时，船才能垂直到达河岸B处,船航行时间为.
各个击破
类题演练 1
一艘船从A点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小和方向.
解：如图，|v1|=,|v2|=2,且v1⊥v2.所以|v|==4,所以cos∠BAC=.所以∠BAC=60°.所以船实际航行的速度大小为4 km/h，方向与水流方向的夹角为60°.
变式提升 1
在风速为75（） km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行.求没有风时飞机的航速和航向.
解：设v0=风速，va=有风时飞机的航行速度，vb=无风时飞机的航行速度（如图）.则vb=va-v0,∴vb,va,v0构成三角形.
设|AB|=|va|,||=|v0|,||=|vb|,
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD=45°.
设||=150，则||=75（），
∴||=||=||=，||=.
从而||=，∠CAD=30°,
∴vb= km/h，方向为西偏北30°.
二、用向量解决力学问题
用向量知识解决力学问题的步骤是用向量的三角形法则或平行四边形法则进行力的合成与分解，然后利用解直角三角形或解斜三角形的知识求得问题的解.
【例2】 已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m/s2)
思路分析：物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积.
解：如图所示，设木块的位移为s，则
F·s=|F||s|cos30°=50×20×(J)
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×=25( N).
所以，摩擦力f的大小为|f|=|μ（G-F1）|=（80-25）×0.02=1.1( N)，
因此，f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22( J),
即F和f所做的功分别为 J和-22 J.
温馨提示
在物理学中矢量与矢量运算，与数学中向量与向量运算是相通的，体现了数学知识与其他学科是紧密相连的.
类题演练 2
一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为东偏北30°；|F3|=6 N，方向为西偏北60°.如图，求合力F所做的功.
解：如图建立坐标系，则F1=（1，），F2=（，2），F3=（-3，），则F=F1+F2+F3=（-2，2+）.
又位移s=（，），
故合力F所做的功为W=F·s=（-2）×+(2+)×=×=(J).
答：合力F所做的功为 J.
变式提升 2
如右图，若物体重量为G，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A和B保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试研究f1和f2两个拉力的大小.
思路分析：物体处于静止状态，受重力平衡,即f1和f2的合力和物体重力是平衡力，可以应用力的分解来处理.
解：建立直角坐标系，则=，=，=，=.物体在水平方向和竖直方向上，如下图.
受力平衡
即
解得
故两根绳子的拉力大小为和.
