1.1 命题与量词
课堂探究
探究一 命题及其真假判断
判断某个语句是否是命题的方法是先看句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断其真假．
判断一个命题真假的方法：判断一个命题为真，要经过证明；判断一个命题为假，则只需举一反例即可．
【典型例题1】 下列语句是不是命题？如果是，说明其真假：
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？
(2)偶数的平方仍是偶数；
(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；
(4)两个向量的夹角可以等于π.
思路分析：(1)该语句是疑问句，不能判断其真假，故不是命题；
(2)因所有偶数的平方都是偶数，无一例外，故该语句是命题且为真命题；
(3)根据空间立体几何知识知，垂直的两条直线不一定相交，故所给语句是命题且为假命题；
(4)根据两个向量夹角的定义知，两个向量反向时夹角为π，故所给语句是命题且为真命题．
解：(1)不是；(2)是，真命题；(3)是，假命题；(4)是，真命题．
探究二 全称命题与存在性命题真假的判定
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．
【典型例题2】 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：
(1)p：所有正方形都是矩形；
(2)q：x∈R，x2－x＋≥0；
(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0；
(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.
思路分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．
(1)利用正方形的定义进行判定；
(2)将不等式的左边配方后进行判定；
(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；
(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．
解：(1)命题p是全称命题，
因为正方形是邻边相等的矩形，所以命题p是真命题；
(2)命题q是全称命题，
因为x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；
(3)命题r是存在性命题，
因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0成立，所以命题r是真命题；
(4)命题s是存在性命题，
因为由x3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有正整数满足x3＋1＝0，所以命题s是假命题．
规律小结 全称命题与存在性命题的不同表述方法：
命题
全称命题“x∈A，p(x)”
存在性命题“x∈A，p(x)”
实质
全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题
表述方式
①所有x∈A，p(x)成立
②对一切x∈A，p(x)成立
③对每一个x∈A，p(x)成立
④任选一个x∈A，p(x)成立
⑤凡x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立
②至少有一个x∈A，使p(x)成立
③对有些x∈A，p(x)成立
④对某个x∈A，p(x)成立
⑤有一个x∈A，使p(x)成立
探究三 易错辨析
易错点 全称命题理解不全面
【典型例题3】 若关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0对任意实数x都成立，求a的取值范围．
错解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则有解得0＜a＜4.
错因分析：这是一个全称命题，意味着每个x都满足ax2＋ax＋1＞0.本题错解中，只考虑了a≠0时的情况，忽视了a＝0时的判断．
正解：当a＝0时，1＞0，显然成立．
当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则即0＜a＜4.
综上，a的取值范围是0≤a＜4.
1.2.1“且”与“或”
课堂探究
探究一 “p∧q”形式的命题及其真假的判定
1．写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，后一个命题的主语可以省略．
2．判断“p∧q”命题真假的方法是：如果p，q都是真命题，则命题p∧q是真的；如果p，q中至少有一个是假命题，则命题p∧q是假的，因此要先判断每一个命题的真假，再利用真值表来判断．
【典型例题1】 分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数；
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等；
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是方程x＋1＝0的根．
思路分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
探究二 “p∨q”形式的命题及其真假判定
1．写“或”命题时，若两个命题有公共的主语，则后一个命题的主语可以省略．
2．判断“p∨q”命题真假的方法是：当两个命题p，q中至少有一个是真命题时，p∨q就为真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q为假．
【典型例题2】 将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假：
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：正弦函数是奇函数，q：正弦函数是增函数．
解：(1)p∨q：9是奇数或9是素数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
(2)p∨q：正弦函数是奇函数或是增函数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
探究三 应用逻辑联结词求参数的范围
含有逻辑联结词的命题p∧q，p∨q的真假可以用真值表来判断；反之，根据命题p∨q，p∧q的真假也可以判断命题p，q的真假．
【典型例题3】 已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
思路分析：这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．它可以先利用命题知识判定p，q的真假，再求m值，也可以先化简p，q的范围，再利用命题知识求解．
解：p：解得m＞2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假，或p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
规律小结 应用逻辑联结词求参数范围的步骤
1.2.2“非”（否定）
课堂探究
探究一 “p”形式的命题及其真假判断
“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．UA＝{x∈U|(x∈A)}＝{x∈U|xA}．
“p”与“p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有(p)＝p.
【典型例题1】 写出下列命题p的否定，并判断其真假：
(1)p：周期函数都是三角函数；
(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；
(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.
思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．
解：(1)p：周期函数不都是三角函数．
命题p是假命题，p是真命题．
(2)p：偶函数的图象不关于y轴对称，
命题p是真命题，p是假命题．
(3)p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.
命题p是真命题，p是假命题．
规律小结 下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
探究二 存在性命题与全称命题的否定
解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“p(x)成立”．
【典型例题2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：x∈R，x2＋1＜0；
(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；
(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；
(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．
思路分析：命题p，r是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．
命题q，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．
解：(1)p：x∈R，x2＋1≥0.(真)
(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)
(3)r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)
(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)
探究三 易错辨析
易错点 否定不全面
【典型例题3】 若“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是__________．
错解：由于“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，则其否定“x∈，sin x＋cos x＞m”为真命题．
令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，x∈，可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，且f(0)＝，f＝1，所以f(x)min＝1.故有m＜1，即实数m的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
错因分析：原命题的否定应为“x∈，sin x＋cos x≥m”，漏掉了等号成立的情况，导致m的范围被缩小．
正解：令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，x∈，
可知f(x)在上为增函数，在上为减函数．
由于f(0)＝，f＝2，f＝1，
所以1≤f(x)≤2.
由于“x∈，sin x＋cos x＜m”为假命题，
则其否定“x∈，sin x＋cos x≥m”为真命题，
所以m≤f(x)min＝1.
答案：(－∞，1]
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课堂探究
探究一 充分条件、必要条件的判断
要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．
(1)判定“若p，则q”的真假．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
【典型例题1】 在下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．
解：(1)因为x－2＝0(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为pq，
而qp，
所以p是q的充分不必要条件．
探究二 利用充分条件、必要条件求参数的范围
解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．
【典型例题2】 已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．
解：令命题p对应的集合为A，
命题q对应的集合为B，
由x2－8x－20＜0，
得(x－10)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜10，
所以A＝{x|－2＜x＜10}．
又由x2－2x＋1－m2＜0，
得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，
因为m＞0，
所以1－m＜x＜1＋m，
所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．
因为q是p的充分不必要条件，
所以BA.
所以且两等号不能同时成立．
解得0＜m≤3.
经检验知m＝3时符合题意．
所以m的取值范围是(0,3]．
规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：
首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
探究三 充要条件的证明与探求
要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：
(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；
(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．
【典型例题3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．
证明：先证必要性：
因为a＋b＝1，即b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0，且b≠0，
所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【典型例题4】 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．
解：①a＝0时，方程有一个负实根．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号的实根，则a＜0；
若方程有两个负实根，则
解得0＜a≤1.
综上可知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，
若a≤1，则方程至少有一个负实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
点评 若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．
探究四易错辨析
易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价
【典型例题5】 已知p：A＝{x|x2－5x－6＜0}，q：B＝{x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
错解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6.
因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.
所以a的取值范围为a＞3.
错因分析：“p是q的充分条件AB”，而错解用了“p是q的充分条件AB”，导致丢掉等号的错误．
正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，
因为p是q的充分条件，即AB，
故2a≥6，即a≥3，
所以a的取值范围为a≥3.
1.3.2 命题的四种形式
课堂探究
探究一 四种命题及其真假的判断
写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断命题的真假时，要借助：原命题与逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假．
【典型例题1】 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc；
(3)若x＞9，则x＞0.
思路分析：先分清各命题的条件和结论，再根据定义写出即可．
解：(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n＜0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0无实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0无实数根，则m·n≥0；真命题．
(2)逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b；真命题．
否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc；真命题．
逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b；真命题．
(3)逆命题：若x＞0，则x＞9；假命题．
否命题：若x≤9，则x≤0；假命题．
逆否命题：若x≤0，则x≤9；真命题．
探究二 命题的否定与否命题
命题的否定一般来说只否定命题的结论，而否命题则既要否定条件又要否定结论．
【典型例题2】 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假．
(1)若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
解：(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
命题的否定：若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．假命题．
命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数．真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零．真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a，b，c全不为零，假命题．
探究三 等价命题及其应用
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有难度时，可以转化为证明其逆否命题的真假性，来间接地证明原命题的真假．
【典型例题3】 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
思路分析：判断原命题的逆否命题的真假，可以先写出逆否命题，然后判断，也可以利用“互为逆否命题的两个命题的真假性相同”来直接判断原命题的真假．
解：因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7≥0，
所以a≥≥1.
所以原命题是真命题．
由原命题和它的逆否命题等价，故它的逆否命题为真命题．
点评 在判断命题的真假时，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，再由等价命题的真假来确定原命题的真假．
3.1.1 空间向量的线性运算
课堂探究
探究一 空间向量的概念
解决有关向量概念的问题，要熟练掌握空间向量的有关概念，注意区分向量与向量的模以及数量．相等向量只需方向相同，长度相等，与向量的起点和终点没有必然的联系．
【典型例题1】 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要熟练掌握空间向量的有关概念．
答案：C
探究二 空间向量的线性运算
对于无图形的向量线性运算要注意加、减、数乘向量运算的法则和运算律的应用，还要灵活地通过将一个向量化为它的相反向量进行加减转化；对于有图形的向量运算，则应在运用线性运算知识的基础上更关注图形本身的特征性质．
【典型例题2】 已知在平行六面体ABCD - A′B′C′D′中，M为CC′的中点(如图)．化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)＋；
(2)＋＋.
思路分析：(1)利用＝；
(2)利用＝.
解：(1)＋＝＋＝.向量结果表示如图．
(2)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.向量结果表示如图．
3.1.2 空间向量的基本定理
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探究一 共线向量定理的应用
判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．
【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断与是否共线？
思路分析：由共线向量定理，要判断与是否共线，即看能否找到x，使＝x成立．
解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，
∴∥，即与共线．
探究二 共面向量定理的应用
判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
【典型例题2】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数x，y，使＝x＋y，证明了三个向量共面，点M就在平面内．
解：(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，
∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
探究三 空间向量分解定理的应用
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解，空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是唯一的．
【典型例题3】 如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
思路分析：结合图形，从向量出发利用向量运算法则不断进行分解，直到全部用，，表示出来，即可求出x，y，z的值．
解：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则＝＋，
而＝－＝－＝＝(－)，
＝＝B＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
3.1.3 两个向量的数量积
课堂探究
探究一 求向量的数量积
求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求．
【典型例题1】 已知长方体ABCD - A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.
解：如图，设＝a，＝b，＝c，
则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，||＝2，〈，〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0，
(1)·＝||||cos〈，〉＝2×2×＝4；
(2)·＝b·＝|b|2＝16；
(3)·＝·＝－|a|2＋|b|2＝2.
探究二 求夹角和距离
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的范围是，故〈a，b〉∈时它们相等，而当〈a，b〉∈时，它们互补．
【典型例题2】 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点．
(1)求MN的长；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用．
解：设＝p，＝q，＝r.由题意|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
(1)＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]
＝
＝×2a2＝.
∴||＝a，∴MN的长为a.
(2)设向量与的夹角为θ，
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－A＝q－p，
∴·＝(q＋r)
＝
＝
＝＝a2.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||·||·cos〈，〉＝a·acos θ，
∴cos θ＝，∴向量与夹角的余弦值为，
从而异面直线AN与CM夹角的余弦值也为.
探究三 数量积性质的应用
1．对于空间两个非零向量a，b，由夹角公式得a⊥ba·b＝0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中的垂直问题．
2．证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零．
【典型例题3】 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
思路分析：解答本题即要证PM⊥QN，只要证明·＝0，需将，用其他向量表示后再进行计算即可．
证明：如图，设＝a，＝b，＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，
∴＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c]．
同理，＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c]．
∴·＝[(b－a)＋c]·＝－(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴·＝0，∴⊥，即PM⊥QN.
探究四 易错辨析
易错点 将向量的夹角与直线夹角混淆
【典型例题4】 如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，计算·.
错解：·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
错因分析：〈，〉＝120°，错解写成了〈，〉＝60°.忽视了向量的方向，混淆了向量夹角与直线夹角．
正解：·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－.
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课堂探究
探究一 空间向量的坐标运算
解决空间向量的坐标运算问题，首先要正确记忆空间向量的直角坐标运算公式，其次要结合向量的运算法则，先化简，再代入坐标运算．
【典型例题1】 已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b；
(2)a－b；
(3)a·b；
(4)2a·(－b)；
(5)(a＋b)·(a－b)．
思路分析：利用空间向量的直角坐标运算求解．
解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)
＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)方法1：2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
方法2：2a·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝|a|2－|b|2
＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
探究二 空间向量的平行与垂直问题
要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
【典型例题2】 设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
思路分析：解答本题可先由a∥b，a⊥b分别建立关于x的方程，再解方程即可．
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，满足a∥b.
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，不满足a∥b，
∴x≠1.
③当x≠0，x≠1时，a∥b＝＝x＝2.
综上所述，当x＝0，或x＝2时，a∥b.
(2)a⊥ba·b＝0，
∴(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝01－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±.
∴当x＝±时，a⊥b.
探究三 空间向量的夹角及长度公式的应用
空间向量的夹角及长度公式除直接应用在向量的计算中外，经常利用其求异面直线所成的角以及线段的长度，通过应用向量的坐标运算使立体几何中复杂的角与距离的计算简单化．
【典型例题3】 已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a.
思路分析：(1)由公式S＝absin θ(θ为a，b边的夹角)知，需首先求出与的夹角．(2)向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标的值确定，这就需要找到三个方程列出方程组求得a.
解：(1) ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
设θ为，的夹角，
则cos θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
∴S＝||||sin θ＝7.
∴以，为边的平行四边形面积为7.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意，得
解得或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
探究四 易错辨析
易错点 忽视参数的取值范围
【典型例题4】 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c的夹角的余弦值．
错解：(1)c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
|c|＝＝＝，
所以当t＝时，|c|的最小值为.
(2)当t＝时，c＝，
所以cos〈b，c〉＝＝＝0，
即b和c的夹角的余弦值为0.
错因分析：(1)题设中关于x的方程有两实根，应考虑t的限制，而不是t∈R.
(2)向量夹角和直线夹角既有联系又有区别．
正解：(1)因为关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，
即－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)
＝(－1＋t,1,3－2t)，
所以|c|＝＝.
因为t∈时，上述关于t的函数单调递减，
所以当t＝－时，|c|取最小值.
(2)当t＝－时，c＝，
所以cos〈b，c〉＝
＝
＝－
＝－.
所以向量b与c夹角的余弦值为－.
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课堂探究
探究一 利用向量方法判定线、面的位置关系
解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．
【典型例题1】 (1)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u，v分别是两个不重合的平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α，l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，
∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝0，∴u⊥a，∴l∥α或lα.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
探究二 平面法向量的求法
求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可．
【典型例题2】 已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
思路分析：设平面ABC的一个法向量为n，则n垂直于平面ABC内的任意向量，不妨取，，然后将向量垂直转化为数量积为0，求得n.
解：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
因为n⊥，n⊥，
所以
令x＝1，得y＝z＝1，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
归纳求法向量的步骤为：
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量．
探究三 利用向量法证明空间中的平行关系
用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：
(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行．
【典型例题3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
思路分析：证明线面平行有三种方法：一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理．
证法一：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，∴MN∥平面A1BD.
证法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面A1BD.
证法三：∵＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝＋－－
＝＋＋(－)
＝＋＋＝＋0·D.
即可以用与线性表示，
∴与，是共面向量，
∴∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD.
探究四 向量法证明垂直关系
证两直线垂直可转化为证两直线的方向向量垂直．
(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法．
(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.
向量法证明线面垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明．而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成．
【典型例题4】 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
思路分析：(1)建立空间直角坐标系→确定，的坐标→计算·→AE⊥CD；
(2)求平面ABE的法向量n→判断满足＝kn(k∈R)→PD⊥平面ABE或确定，，的坐标→计算·，·→→PD⊥平面ABE.
证明：(1)∵AB，AD，AP两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，
∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)证法一：∵＝(1,0,0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
证法二：∵P(0,0,1)，
∴＝.
又·P＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
又∵＝(1,0,0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
【典型例题5】 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
思路分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则B(0,0,0)，D(0，a,0)，A(0,0，a)，C，E，F.
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
∴＝为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，得x＝y.
由n·＝0得z＝－y，取y＝1，
得n＝(1,1，－)．
∵n·＝0，∴n⊥，∴平面BEF⊥平面ABC.
探究五 三垂线定理及其逆定理
1．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：
(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”．
(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反．
2．三垂线定理及逆定理应用中的三个环节
用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．
【典型例题6】 如图，空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内的射影 O1是△BCD的垂心，求证：B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心．
思路分析：应用三垂线定理一定要分清斜线与射影，并注意第三条垂线要与射影在同一平面内．
证明：连接DO1，BO1，AO2，CO2.
∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.
又AO1⊥平面BCD，
∴BC⊥AD(三垂线定理)．
∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影，
∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．
同理，AO2⊥CD.
∴O2是△ACD的垂心．
3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量
课堂探究
探究一 用定义法求直线与平面所成的角
利用定义法求直线与平面所成的角，首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小．其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”．
【典型例题1】 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．
思路分析：在求解斜线和平面所成的角时，确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题．
解：如图，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足．
则AO∥GE，AO＝2GE.
连接GC，则∠ECG为EC和平面BCD所成的角．
因为AB＝AC＝AD，所以OB＝OC＝OD.
因为△BCD是正三角形，
所以O为△BCD的中心．
连接DO并延长交BC于F，
则F为BC的中点．
令正四面体ABCD的棱长为1，
可求得CE＝，DF＝，OD＝，
则AO＝＝＝，
所以EG＝.
在Rt△ECG中，sin∠ECG＝＝.
归纳找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．
探究二 向量法求直线与平面所成的角
利用向量法求直线与平面所成角的优势在于不用找角，只需求出直线的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量s和平面的法向量n；(3)设线面角为θ，由sin θ＝得出θ的值，需注意的是θ的范围是.
【典型例题2】 如图所示，在直三棱柱ABO-A1B1O1中，OO1＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A1B1的中点．P是侧棱BB1上的一点，若BD⊥OP，求OP与底面AOB所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)
思路分析：由于题中所给图形是直三棱柱，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
解：如图所示，以O点为原点，，，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
由题意有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)．
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
因为BD⊥OP，所以·＝－＋4z＝0，所以z＝.
因为平面PBO⊥平面ABO，所以OB为OP在平面ABO内的射影，所以∠POB为OP与平面ABO所成的角．
又因为BB1⊥平面AOB，
所以是平面AOB的一个法向量，且＝(0,0,4)，
所以sin∠POB＝|cos∠BPO|＝＝＝.
所以OP与底面AOB所成的角为arcsin.
探究三 定义法求二面角的大小
所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有：
(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；
(2)在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；
(3)在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．
【典型例题3】 已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B-AP-C的大小．
思路分析：本题可考虑利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可考虑用射影面积公式求出二面角的大小．
解法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
∴BE⊥平面PAC.
由三垂线定理有BF⊥PA，
∴∠BFE是二面角B-PA-C的平面角．
设PC＝1，由E是AC中点，
得BE＝，EF＝×sin 45°＝，
∴tan∠BFE＝＝，∴∠BFE＝arctan.
解法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
∵PC⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
∴△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1，
∴△PAB中AB边上的高h＝.
∴S△PAB＝，又S△PAE＝S△PAC＝.
设二面角B-PA-C的大小为θ，
由射影面积公式有cos θ＝＝，∴θ＝arccos.
探究四 向量法求二面角
利用向量法求二面角常有如下两种方法：
方法一：分别在二面角α-l-β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．
cos〈n1，n2〉＝，n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上．
方法二：通过法向量求解
设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．
此方法的运用适宜于：
(1)在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．
(2)二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．
(3)具体求解过程中，先求m1与m2所成锐角θ，cos θ＝.
若二面角为锐角，则为θ；
若二面角为钝角，则为π－θ.
【典型例题4】 在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD.SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．
思路分析：解答本题可建立空间直角坐标系，转化为求法向量的夹角．
解：以A为原点建立空间直角坐标系如图．
则D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A(0,0,0)，＝，＝(1,1，－1)，＝.
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴
∴∴
令z＝1，得n＝(－1,2,1)，而是平面SAB的法向量．
∴cos〈，n〉＝＝.
观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角为锐角，其余弦值为.
探究五 易错辨析
易错点 混淆直线的方向向量和平面法向量的夹角与线面角
【典型例题5】 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与底面ABCD所成角的正弦值．
错解：由向量加法知＝＋＝＋＝(＋)＋，设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可求出||＝，∴·＝－，∴cos〈，〉＝＝＝－，∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为＝.
错因分析：用向量法求线面角时，sin θ＝|cos〈a，n〉|，而不是说直线的方向向量与平面的法向量的夹角即是线面角．
正解：由向量加法知＝＋＝＋＝(＋)＋.
设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可得||＝，∴·＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.
3.2.5 距离（选学）
课堂探究
探究一 用向量求两点间的距离
用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝||＝，或利用|a|＝求解．
【典型例题1】 已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求B，D间的距离．
思路分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解．
解法一：过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
则由已知条件可知AC＝5，
∴DE＝＝，BF＝＝.
∵AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝.
∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∵平面ADC⊥平面ABC，DE⊥AC，
∴DE⊥平面ABC，
∴DE⊥BF，即⊥，
∴||2＝2＋2＋2＝＋＋＝，
∴||＝.
故B，D间距离是.
解法二：过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
由解法一知DE＝FB＝，EF＝，
∴D，B，
∴＝，
∴||＝＝.
探究二 求点到平面的距离
利用点到平面的距离定义，求点到平面的距离，就是过点作平面的垂线，点与垂足间的线段长就是点到平面的距离，从而转化到可解三角形中求解．
用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d＝||·|cos〈n，〉|.
【典型例题2】 直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
思路分析：直接作平面的垂线较困难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．
解：如图，建立空间直角坐标系，
由已知得直三棱柱各顶点坐标：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，则＝(－1,1,0)，＝(0，－1,0)，＝(－1,0，－)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即－x－z＝0，－y＝0.令x＝－，则y＝0，z＝1，
所以平面A1BC的一个法向量为n＝(－，0,1)，
所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
探究三 求平行平面之间的距离
当两个平面互相平行时，其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等，且都等于这两个平行平面间的距离，因此，两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解．
【典型例题3】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
思路分析：平面A1BD与平面B1CD1间的距离就等于平面A1BD内任意一点到平面B1CD1的距离，即转化为求点到平面的距离．
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
2.1 曲线与方程
课堂探究
探究一 曲线与方程的概念问题
曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．
判断点与曲线关系的方法
(1)从点的坐标角度
若点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)＝0；或若f(x0，y0)≠0，则点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上．
(2)从方程的解的角度
若f(x0，y0)＝0，则点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上；或若点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0.
【典型例题1】 如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是( )
A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解
D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．
据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的．
答案：D
探究二 曲线方程的求法
解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：
(1)建立恰当的坐标系：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简)．
(2)利用题目条件，建立等量关系：根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，常用到一些基本公式，如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点M有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简．
(3)挖掘题目隐含条件，避免“少解”与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点，或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上．
【典型例题2】 已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
思路分析：因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(－a,0)，B(a,0)，然后求解．
解：如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．
由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a,0)，M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以∶＝2∶1，
所以＝2.
化简，得2＋y2＝a2，
所以所求动点M的轨迹方程为
2＋y2＝a2.
【典型例题3】 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，求动点C的轨迹方程．
思路分析：A，B分别在x轴、y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足＝2，代入即可得轨迹方程．
解：因为长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，
故可设A(x0,0)，B(0，y0)．
又因为动点C(x，y)满足＝2，
所以(x－x0，y)＝2(0－x，y0－y)，
即(x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，
所以
又因为|AB|＝3，
即＝9，
所以(3x)2＋2＝9.
整理得动点C的轨迹方程为x2＋＝1.
方法总结 求曲线方程常见方法的注意点
(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求．
(2)相关点代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，有时也称代入法．其基本思想是，如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某一条已知的曲线C：f(x，y)＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可求得动点轨迹方程．
(3)待定系数法：根据题意正确设出曲线方程，明确待定系数，寻找待定系数的方程时一定要充分挖掘题中条件，特别注意隐含条件．
探究三 求曲线的交点问题
已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P(x0，y0)是曲线C1，C2的交点点P的坐标(x0，y0)满足方程组且方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
【典型例题4】 试讨论圆x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数．
思路分析：只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可．
解：由
得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，
Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝4(12k－5)．
当Δ＞0，即k＞时，直线与圆有两个不同的交点；
当Δ＝0，即k＝时，直线与圆有一个交点；
当Δ＜0，即k＜时，直线与圆没有交点．
探究四 易错辨析
易错点 忽视验证造成增解
【典型例题5】 求以A(－2,0)，B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程．
错解：设点C的坐标为(x，y)．
△ABC为圆内接三角形且以AB为直径．
∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1.
∵kAC＝，kBC＝，
∴·＝－1.
化简，有x2＋y2－4＝0.
即点C的轨迹方程为x2＋y2－4＝0.
错因分析：(1)在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况．
(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
正解：设C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，
∴⊥，即·＝0.
又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又当x＝±2时，A，B，C共线，不构成三角形，
∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
2.2.1 椭圆及其标准方程
课堂探究
探究一 利用椭圆的定义解题
椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
【典型例题1】 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值．
解：因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
所以有
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
探究二 求椭圆的标准方程
解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
【典型例题2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
所以2a＝＋＝10.
所以a＝5，所以a2＝25.又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以?
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
因为点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
所以
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．
探究三 求与椭圆有关的轨迹方程
求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定；(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．
【典型例题3】 如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
思路分析：根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10.由于点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题．
解：设|PB|＝r.
因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10,2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
探究四 易错辨析
易错点 对椭圆的标准方程认识不清
【典型例题4】 若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
错解：由得3＜k＜5.
错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
正解：由题意，得
所以k的取值范围是3＜k＜4或4＜k＜5.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂探究
探究一 利用标准方程研究几何性质
解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a，b的值，并求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
【典型例题1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．
解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
探究二 利用椭圆的几何性质求它的方程
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：
【典型例题2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为＋＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．
解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得
所以椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
探究三 与离心率有关的问题
求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用定义e＝求解或构造关于a，c的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的不等式求解．
【典型例题3】 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
思路分析：由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．
解：如图所示，
由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2+y2=c2上，
又点P在椭圆上，
所以圆x2+y2=c2与椭圆=1有公共点，
连接OP，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2-c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤＜1，所以e∈.
点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e＜1.
探究四 易错辨析
易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上
【典型例题4】 若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
错解：由已知得a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝＝，
所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
错因分析：忽视了椭圆的焦点在y轴上的情况．
正解：(1)若焦点在x轴上，即当k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8.
又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，
解得k＝－.
综上可知，k＝4或k＝－.
2.3.1 双曲线及其标准方程
课堂探究
探究一 双曲线的定义及应用
若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．
【典型例题1】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．
解：由－＝1，知a＝3，b＝4，
所以c＝5.
由双曲线定义及勾股定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
探究二 求双曲线的标准方程
解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.
【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(4)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．
解：(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设方程为－＝1.
又因为过点(－5,2)，
所以－＝1.
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以方程为－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线方程为－＝1.
(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
因为P，Q两点在双曲线上，
所以
解得
所以所求双曲线方程为－＝1.
点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1有公共焦点的双曲线系方程－＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．
探究三 易错辨析
易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号
【典型例题3】 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.
由题意知焦点在y轴上，
所以a2＝，b2＝，
所以c＝＝＝3，
即＝9，
所以k＝.
错因分析：上述解法有两处错误：一是a2，b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a，b，c的关系式用错了，在双曲线中应为c2＝a2＋b2.
正解：将双曲线方程化为kx2－y2＝1，
即－＝1.
因为一个焦点是(0,3)，
所以焦点在y轴上，
所以c＝3，a2＝－，b2＝－，
所以a2＋b2＝－－＝c2＝9，
所以k＝－1.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课堂探究
探究一 由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据a，b的值(注意分母分别为a2，b2，而不是a，b)求出c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．
【典型例题1】 求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．
思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．
解：把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程－＝1，由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e＝＝；渐近线方程为y＝±x.作草图．
探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a，b，c的方程，解方程组求出待定系数．
【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(3)与椭圆＋＝1有公共焦点，且率心率e＝.
思路分析：根据题设条件确定a，b的关系式，利用解方程的方法求得a，b的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．
解：(1)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.
由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.
又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
解法二：由渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.
由a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，
所以|λ|＝5，所以λ＝±5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
所以可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又因为双曲线过点M，
所以λ＝4×－9＝72.
所以双曲线方程为4x2－9y2＝72，
即标准方程为－＝1.
(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5.
又e＝＝，
所以a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线方程为－＝1(24＜λ＜49)．
又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的双曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．
探究三 双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．
【典型例题3】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为__________．
思路分析：分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．
解析：方法1：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，故e＝＝.当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，即e＝＝.方法2：由e＝＝得：当＝时，e＝；当＝时，e＝.
答案：或
规律小结求双曲线的离心率的常用方法：
(1)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)利用a，b求．若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程(p，q，r为常数，且p≠0)，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．
探究四 双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程±＝0或y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上．
【典型例题4】 已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的渐近线方程．
思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a，b间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求a，b间的关系．
解：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±，
所以|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
所以|F1F2|＝|PF2|，
即2c＝×.①
将c2＝a2＋b2代入①式，
解得b2＝2a2或b2＝－a2(舍去)，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2.4.1 抛物线的标准方程
课堂探究
探究一 抛物线的定义及应用
抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点F；一条定直线l；一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．
【典型例题1】 设P为抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路．
解：(1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
因为点P到准线x＝－1的距离等于点P到F(1,0)的距离，
所以问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．
连接AF，如图(1)所示，
图(1)
显然P是AF与抛物线的交点，
最小值为|AF|＝.
(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等．
如图(2)所示，
图(2)
过B作BQ⊥准线于Q，交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|＝|P1F|，
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
所以|PB|＋|PF|的最小值为4.
点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．
探究二 求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数p即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p的值后，再写出焦点和准线方程．
【典型例题2】 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值．
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出p的关系式，求出p的值，再用代入法求m的值．
解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线方程x＝－，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，则
3＋＝5，解得p＝4.
因此抛物线方程为y2＝8x.
又点M(3，m)在抛物线上，
所以m2＝24，
解得m＝±2.
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
(2)因为p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，
准线方程是x＝－2.
探究三 易错辨析
易错点 忽略抛物线中变量的取值范围
【典型例题3】 设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝4x上的点到点A的距离的最小值为多少？
错解：设曲线上的任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
因为a∈R，
所以当x＝a－2时，d2取最小值4a－4.
所以dmin＝2.
错因分析：在求与抛物线有关的最值时，要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围．错解中既忽略了抛物线中x的取值范围，也忽略了对a的讨论．
正解：设曲线上任意一点B(x，y)到点A的距离为d，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋(4a－4)．
由题意知x∈[0，＋∞)，
所以当a≥2时，d＝4a－4，dmin＝2；
当a＜2时，d＝a2，dmin＝|a|.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课堂探究
探究一 由抛物线的性质求标准方程
确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；
(3)抛物线上点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.
思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量．
解：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，由过点(－3,2)，知4＝－2p1·(－3)或9＝2p2×2，得p1＝，p2＝，故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．
依题意＝6，所以2p＝24.
所以抛物线方程为y2＝±24x.
(3)由已知＝6，
整理得x2＋10x＋9＝0，即(x＋1)(x＋9)＝0，
所以x＝－1或x＝－9.
所以F(－1,0)，p＝2，y2＝－4x；
或F(－9,0)，p＝18，y2＝－36x.
显然，若抛物线为y2＝－36x，则它的准线方程为x＝9.
由抛物线的定义，点A(－5,2)到F(－9,0)的距离是6，而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，矛盾．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.
探究二 抛物线的实际应用
涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．
【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一条小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？
思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．
解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝1.6.
所以x2＝－3.2y.
当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．
由22＝－3.2yA，得yA＝－.
又知船面露出水面部分为 m，
所以h＝|yA|＋＝2(m)．
答：水面上涨到距抛物线拱顶2 m时，小船不能通航．
探究三 直线与抛物线相交问题
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
【典型例题3】 设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小．
(2)求证：·是一个定值．
思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．
(1)解：依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一：所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝5.
方法二：所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，所以·是一个定值．
【典型例题4】 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．
解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
由题意知y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由方程组
得ky2－6y－24k＋6＝0.
设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝.
因为P1P2的中点为(4,1)，所以＝2.所以k＝3.
所以所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值，这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．
探究四 易错辨析
易错点 不理解抛物线的标准方程的形式
【典型例题5】 设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解：由y＝mx2(m≠0)可知其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2，解得m＝8，
故所求抛物线的标准方程为y＝8x2.
错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解．
正解：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
2.5 直线与圆锥曲线
课堂探究
探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，若Δ＞0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ＜0，则直线l与曲线C相离．
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．
【典型例题1】 已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
思路分析：直线与圆锥曲线的公共点的个数，就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数．因此本题可转化为方程组解的个数的判定，从而确定参数的取值．
解：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①
要使l与C无公共点，即方程①无实数解，
则有1－4k2≠0，且Δ＜0，即
64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.
解得k＞或k＜，
故当k＞或k＜时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一解；
当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝时，方程①只有一解，
故当k＝±或k＝时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，方程①有两个不同的解，即l与C有两个不同的公共点，于是可得，当＜k＜，且k≠±时，l与C有两个不同的公共点．
探究二 相交弦长问题
若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．
(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．
设直线方程为y＝kx＋m，与圆锥曲线F(x，y)＝0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝
＝
＝·；
或当k≠0时，|AB|＝|y1－y2|＝·.
当k＝0时，直线平行于x轴，∴|AB|＝|x1－x2|.
【典型例题2】 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|＝，求椭圆的方程．
思路分析：设出椭圆方程，将椭圆方程和直线方程联立消去y，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解．
解：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，
Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)＞0，
即m＋n－mn＞0.
由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，
∴－＋1＝0，∴m＋n＝2.①
又|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝＝2，
将m＋n＝2代入得mn＝.②
由①②式，得或
故椭圆方程为＋y2＝1或x2＋＝1.
探究三 中点弦问题
对中点弦问题，常用的解题方法——平方差法，其解题步骤为：(1)设点，即设出弦的两端点坐标；(2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3)作差，即两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理．
【典型例题3】 已知椭圆＋＝1，求：
(1)以P(2，－1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
分析：可利用平方差法求解，在求轨迹方程时要注意变量的范围．
解：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为R(x，y)，则2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2.
又A，B两点均在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)．
故kAB＝＝－＝－.
(1)由kAB＝－＝，得所求轨迹方程为x－2y－4＝0.
(2)由kAB＝－＝2，得所求轨迹方程为x＋8y＝0(－4≤x≤4)．
(3)由kAB＝－＝，得所求轨迹方程为(x－4)2＋4(y－1)2＝20(－4≤x≤4)．
探究四 易错辨析
易错点 混淆直线与圆锥曲线相切和直线与圆锥曲线只有一个公共点
【典型例题4】 过点(1,3)作直线与抛物线y＝x2－2x＋交于一点，求此直线的方程．
错解：设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，把它代入抛物线方程y＝x2－2x＋中，得x2－(2＋k)x＋k＋＝0.
由题意知，直线与抛物线相切，
∴Δ＝(2＋k)2－4×＝0，解得k＝±1.
∴所求的直线方程为y－3＝±1×(x－1)，
即x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.
错因分析：对于抛物线，一条直线若与它相切，则直线与抛物线只有一个公共点，反过来并不一定成立．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，但它不是抛物线的切线，因此，直线与抛物线相切，并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件．上述解答把直线与抛物线只有一个公共点问题完全转化为切线问题，显然是错误的．
正解：过平面上一点的直线与抛物线交于一点，则此直线或者是抛物线的切线，或者是一条与对称轴平行的直线，又因为抛物线的对称轴的斜率不存在，因此按上述解法可知，当斜率存在时，所求直线的方程为x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.当斜率不存在时，直线与抛物线对称轴平行，直线x＝1与抛物线也只有一个公共点．
∴所求的直线方程为x－y＋2＝0或x＋y－4＝0或x＝1.
