1.1.1 角的概念的推广
课堂探究
探究一 有关角的概念问题
1．熟记一些角的概念，如第一象限角α可表示为k·360°<α<90°＋k·360°．
2．熟悉一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之也不成立．
【例1】 下列各种说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角就是锐角
C．锐角是第一象限的角 D．小于90°的角都是锐角
解析：根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定．
因为锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限的角的集合是{α|k·360°<α
－60°角与300°角是终边相同的角，它们并不相等，故选项A错误；390°角是第一象限的角，但它不是锐角，故选项B错误；－30°角是小于90°的角，但它不是锐角，故选项D错误．
答案：C
反思 (1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°～90°的角等概念．
(2)本题也可采用排除法，这时需掌握判断说法是否正确的技巧．判断说法正确需要证明，而判断说法错误只需举一反例即可．
探究二 终边相同的角的问题
求与已知角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式求解，确定k的值，求出适合条件的角．
【例2】 在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在－360°～360°范围内的角？
分析：从代数角度看，取k＝…，－2，－1,0,1,2，…，可以得α为…，－135°，－45°，45°，135°，225°，…；从图形角度看，是以45°角为基础，依次加上(或减去)90°的整数倍，即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得各角，如图所示，结合图形求解．
解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别是与45°，135°，225°，315°角的终边相同的角．
(2)令－360°≤k·90°＋45°＜360°，得－≤k＜．
又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3．
所以在－360°～360°范围内的角共有8个．
反思 把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，会使这类问题处理起来更容易些．数形结合是解决数学问题的重要方法之一，做题时要注意自觉地应用．
探究三 已知角α终边所在象限，求(n∈N＋)终边所在象限
一般地，要确定 (n∈N＋)所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是当α为第几象限的角时，终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出．
【例3】 已知α是第一象限的角，求终边所在位置．
解法一：因为α是第一象限的角，
所以k·360°<α所以k·120°<所以当k＝3n，n∈Z时，n·360°<当k＝3n＋1，n∈Z时，n·360°＋120°<当k＝3n＋2，n∈Z时，n·360°＋240°<所以的终边在第一象限或第二象限或第三象限，如图(1)所示．
图(1) 图(2)
解法二：如图(2)所示，先将各象限分成三等份，再从x轴正向上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为的终边所落在的区域，故的终边在第一象限或第二象限或第三象限．
点评 上述两种解法各有优缺点，解法一可以求出具体的，但运算量大，解法二只能粗略判断所在的象限，但操作简单．
探究四 终边相同的角的集合之间的关系
解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素．其方法有：一是将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识，即分类讨论)；二是用列举法把集合具体化，对各集合中表示角的式子中的k赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止，根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合的关系．
【例4】 已知集合A＝{α|30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°<β<45°＋k·360°，k∈Z}，求A∩B．
解：因为30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z，
所以当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时，30°＋n·360°<α<90°＋n·360°，n∈Z；
当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时，210°＋n·360°<α<270°＋n·360°，n∈Z，
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内，集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内．
所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内．
所以A∩B＝{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
规律总结 区域角表示的步骤：①借助图形，在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域；②确定－360°<α<360°范围内的基本角，即区域起始及终止边界所对应的角；③写出终边相同的角的集合．解决终边相同的角的集合问题，一般都是利用图象数形结合解题．
探究五 易错辨析
易错点：考虑不全面，忽视对称轴可分为两个半轴
【例5】 已知α，β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为__________．
错解：因为α，β角的终边关于y轴对称，
所以＝90°＋k·360°(k∈Z)．
错因分析：上述解法仅是关于y轴非负半轴对称的情况，而忽视了关于y轴非正半轴对称的情况．
正解：因为α，β角的终边关于y轴对称，
所以＝90°＋k·180°(k∈Z)，即α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．
答案：α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
点评 解此类问题一般先画出图形，从图形中得出有关直线的对称直线，再利用终边相同的角的表示方法来解决．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课堂探究
探究一 弧度制的概念
必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强应用，才能快速地掌握该定义．
【例1】 下面各命题中，是假命题的为__________．(填序号)
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径的大小有关．
解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与所在圆的半径的大小无关，而是与圆心角的大小有关，所以④是假命题．
答案：④
点评 要记住1°角及1 rad角的定义，以免概念混淆．
探究二 角度制与弧度制的互化
牢记关系式180°＝π rad，它是推导角度与弧度换算公式的关键．利用1°＝ rad可将角度化成弧度；利用1 rad＝°可将弧度化成角度．
如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如，2弧度化为度应是°＝°．
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若角β∈[－4π，0]，且角β与(1)中角α的终边相同，求角β．
分析：利用角度与弧度的关系将－1 480°化为弧度即可，由角β的范围及β＝α＋2kπ(k∈Z)即可求出角β．
解：(1)因为－1 480°＝＝－10π＋，且0≤<2π，所以－1 480°＝＋2×(－5)π．
(2)因为角β与角α的终边相同，
所以β＝α＋2kπ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为β∈[－4π，0]，
所以β1＝－2π＝，β2＝－4π＝．
所以β＝或．
反思 在一定的约束条件下，求与角α终边相同的角，一般地，先将满足约束条件的角表示为2kπ＋α(k∈Z)的形式，再在约束条件下确定k的值，进而求出满足条件的角．
探究三 用弧度制表示角的集合
用弧度制表示角的集合，实质是角度表示角的集合在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一．
【例3】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
分析：
解：(1)如图(1)所示，以OB为终边的角为225°，可看作－135°，因为－135°＝，135°＝，所以．
(2)如图(2)所示．
因为30°＝，210°＝，
所以∪
＝∪
＝．
所以即为所求．
反思 (1)表示角的集合时，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用．
(2)进行区间合并时，要做到准确无误，注意π的整数倍．
(3)还要注意角的终边所在的阴影部分的边界是实线还是虚线．
探究四 扇形面积公式，弧长公式的应用
根据已知条件选用弧长公式及扇形面积公式或它们的变形，有时要利用列方程(组)、二次函数的最值、平面几何等知识解决问题．
【例4】 解答下列各题：
(1)已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解：(1)设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，则l＝4－2r．
因为S扇形＝，所以(4－2r)·r＝1，解得r＝1，l＝2．
所以圆心角的弧度数为α＝＝2(rad)．
(2)设扇形的弧长为l cm．
因为72°＝72×＝ (rad)，
所以l＝|α|·r＝×20＝8π(cm)．
所以扇形的面积S＝＝×8π×20＝80π(cm2)．
反思 利用弦长公式和扇形面积公式解题时，常用到方程思想，同时要注意解的取舍．
【例5】 已知扇形的周长为10 cm，则当扇形的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r cm，则弧长为(10－2r)cm，
由题意得S＝ (10－2r)·r＝－r2＋5r
＝＋，
所以当r＝ cm时，Smax＝ (cm2)．
此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．
综上所述，当扇形的半径为cm和圆心角为2 rad时，扇形的面积最大．
反思 求面积的最值关键是找出面积关于一个变量的函数，针对此题莫忘记函数的定义域的求解，还有求二次函数的最值一般用配方法．
探究五 易错辨析
易错点：误认为不同区间角中的k是一致的
【例6】 已知＋2kπ<α<＋2kπ，2kπ<β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范围．
错解：由已知两式左右两边分别相加，可得＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z．
错因分析：此题的错因是对终边相同的区间角理解不到位，误认为两式中的k是一致的，从而缩小了α＋β的范围．
正解：因为＋2k1π<α<＋2k1π，k1∈Z，
2k2π<β<＋2k2π，k2∈Z，
所以＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π，k1，k2∈Z．
又因为k1，k2∈Z，所以存在整数k，使得k＝k1＋k2．
所以＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z．
1.2.1 三角函数的定义
课堂探究
探究一 三角函数的定义
利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：
(1)若已知角α终边上有一不同于坐标原点的任意一点P(x，y)，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝；
(2)若已知角α终边所在的位置，只需从终边上取点P(不同于坐标原点)，利用三角函数的定义求值；
(3)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：r＝＝5|a|．
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，则
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－；
若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，则
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
反思 当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．
【例2】 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求10sin α＋3sec α的值．
分析：先确定角α终边上一个点(不同于坐标原点)的坐标，然后利用三角函数的定义求得sin α，sec α的值，进而求出代数式的值．
解：因为角α的终边落在直线y＝－3x上，
所以角α的终边可能落在第二象限或第四象限．
若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1,3)，
所以r＝＝．
所以sin α＝＝，sec α＝＝－，
所以10sin α＋3sec α＝10×＋3×(－)＝0．
若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)，
所以r＝＝．
所以sin α＝－，sec α＝＝．
所以10sin α＋3sec α＝10×＋3×＝0．
综上所述，10sin α＋3sec α＝0．
反思 要正确理解角的终边在直线上的意义，因为角的终边是射线，所以可能出现两种情况，解题时要注意分类讨论．
探究二 判断三角函数值的符号
三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．
【例3】 判断下列三角函数值的符号．
(1) (θ为第二象限的角)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5·cot 6．
分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式子的结构特点及每部分的符号．
解：(1)因为θ是第二象限的角，
所以sin θ＞0，cos θ＜0．
故<0．
(2)因为<3<π，π<4<，<5<6<2π，
所以sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，cot 6＜0．
所以sin 3·cos 4·tan 5·cot 6＜0．
反思 这里的sin 3就是“sin 3(rad)”，将弧度符号省略了．在第(1)小题中解题的关键是分别判断出sin θ，cos θ的符号．
【例4】 函数y＝＋的值域是__________．
解析：当x为第一象限的角时，sin x>0，cos x>0，
所以y＝＋＝1＋1＝2；
当x为第二象限的角时，sin x>0，cos x<0，
所以y＝＋＝1－1＝0；
当x为第三象限的角时，sin x<0，cos x<0，
所以y＝＋＝－1－1＝－2；
当x为第四象限的角时，sin x<0，cos x>0，
所以y＝＋＝－1＋1＝0．
所以y＝＋的值域是{－2,0,2}．
答案：{－2,0,2}
探究三 三角函数的定义域
1．求一个函数的定义域就是要找出使这个函数有意义的x取值的集合；
2．将三角函数符号后的整体看做一个角，从而化为一个角的三角函数，这种整体的化归思想在今后的学习中经常用到，要注意理解与应用．
【例5】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝＋．
分析：本题主要考查三角函数的定义域以及定义域的求法，应考虑到分式中分母不等于零、偶次根式有意义等条件，还要注意使tan x有意义，解不等式组即可．
解：(1)要使函数有意义，须tan x≠0，
所以x≠kπ(k∈Z)，且x≠kπ＋(k∈Z)．
所以x≠ (k∈Z)．
所以函数的定义域是．
(2)若函数有意义，则
得
解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
所以函数的定义域是
．
点评 求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义外，三角函数本身的定义域也不可忽视，若式中含有tan x，cot x时，x的取值要特别注意．
1.2.2 单位圆与三角函数线
课堂探究
探究一 作出三角函数线
作三角函数线的题型主要有两种：
(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可；
(2)已知函数值的大小找角，先找出相应y或x的值，再找出相应的角．
【例1】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝； (2)cos α＝－； (3)tan α＝2．
分析：对于(1)设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x．所以，要作出满足sin α＝的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则OP即为α的终边，对于(2)，(3)可采用同样的方法予以处理．
解：(1)作直线y＝交单位圆于点P，Q，则OP与OQ为角α的终边，如图①．
(2)作直线x＝－交单位圆于点M，N，则OM与ON为角α的终边，如图②．
(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角α的终边，如图③．
评注 三角函数线可以用来求出满足形如f(a)＝m的三角函数的角α的终边，体现了对三角函数线的深刻理解，同时这也是利用三角函数解决问题的关键．
探究二 利用三角函数线比较大小
利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．
【例2】 若θ∈，则下列各式错误的是________．(填序号)
①sin θ＋cos θ<0； ②sin θ－cos θ>0； ③|sin θ|<|cos θ|； ④sin θ＋cos θ>0．
解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．
由图可观察出，当θ∈时，
sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|．
所以①②③正确，④错误．
答案：④
反思 通过此题，我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效，所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．
探究三 利用三角函数线解不等式
用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
【例3】 求函数f(α)＝的定义域．
分析：要使函数f(α)有意义，则sin α≥．利用三角函数线可得α的范围，即为函数f(α)的定义域．
解：要使函数f(α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥，如图所示，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于．
在[0,2π)内，sin ＝sin ＝．
由于sin α≥，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，
所以函数f(α)的定义域为
．
反思 求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集，其方法是首先作出单位圆，然后根据约束条件利用三角函数线画出角α终边所在的区域(可用阴影部分表示)，然后写出该区域内角的集合即可．
【例4】 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．
解：由题意，知如图所示，由三角函数线可得
故<α<或π<α<．
反思 根据三角函数线可以判断sin α，cos α，tan α的符号，推出三角函数的定义域，比较三角函数值的大小等，更重要的是，由于给出了三角函数的几何定义，可以直观地研究三角函数，运用数形结合思想解决某些实际问题，还可以沟通三角函数与几何等其他内容的联系．
探究四 三角函数值与角的关系
由三角函数定义知：－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1 rad＝．
【例5】 (1)若角θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．
(2)若tan(cos θ)·cot(sin θ)>0，试指出θ所在象限．
分析：本题主要考查正弦、余弦函数的定义和取值范围，以及它们在各象限函数值的符号，关键将角α，cos α，sin α看作弧度制下的角．
解：(1)因为角θ在第四象限，
所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0．
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0．
(2)由题意，知或
所以或
即θ在第一或第三象限．
探究五 易错辨析
易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误
【例6】 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1．
错解：证明：如图所示，MP＝|sin α|，OM＝|cos α|．
根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sin α|＋|cos α|≥1．
错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sin α|和OM＝|cos α|．
正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1．当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|＞1．
综上，有|sin α|+|cos α|≥1．
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
课堂探究
探究一 利用同角三角函数基本关系式求值
在求值时，要注意恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：
(1)已知一个角的一个三角函数值及这个角的终边所在象限，此类情况只有一组解；
(2)已知一个角的一个三角函数值，但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值的符号确定这个角的终边所在象限，然后求解，一般有两组解；
(3)已知一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此时既要对角的终边所在的象限进行分类讨论，也要对表示其值的字母的正负进行分类讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
分析：先利用平方关系求出sin α的值，再利用商关系求出tan α的值．在求sin α的值时，先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论．
解：因为cos α＝－<0，
所以α是第二或第三象限的角．
若α是第二象限的角，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
若α是第三象限的角，则
sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝＝．
易错警示 在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出．如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负．应用正切公式时，要看tan α是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角α可能是一个集合．
【例2】 已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值．
解：当m＝0时，tan α＝0；
当m＝±1时，角α的终边落在y轴上，此时tan α不存在；
当α为第一、四象限的角时，
cos α＝＝，
tan α＝＝＝；
当α为第二、三象限的角时，
cos α＝－＝－，
tan α＝＝－．
【例3】 已知tan α＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α；
(3) ．
分析：由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)；若切化弦，应把条件tan α＝＝－代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tan α表示的式子，代入化简即可．
解：(1)由tan α＝＝－得cos α＝－3sin α，代入所求式得
＝＝－．
(2)原式＝·cos2α
＝·．
将tan α＝－代入得
原式＝×＝．
(3)原式＝
＝＝＝．
方法总结 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式或整式的齐次式(每一项中的次数相同)．
(1)对分式齐次式，因为cos α≠0，一般可在分子和分母中同时除以cosnα，使所求代数式化成关于tan α的代数式，从而得解；
(2)对整式(一般是指关于sin2α，cos2α)齐次式，把分母看为“1”，用sin2α＋cos2α替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2α，即可得关于tan α的代数式，从而得解．
探究二 利用同角三角函数关系式化简
1．三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值．
2．同角三角函数式化简过程中常用的方法：
(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；
(2)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【例4】 化简：
(1) ；
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β．
解：(1)
＝
＝|sin 40°－cos 40°|，
因为sin 40°所以|sin 40°－cos 40°|＝cos 40°－sin 40°．
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β
＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β
＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β
＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β
＝cos2β＋sin2β＝1．
点评 (1)含根号的三角函数式的化简，关键是将被开方式化为完全平方式，再根据符号去掉根号，从而达到化简的目的．
(2)注意公式sin2α＋cos2α＝1有“降幂”的作用．
探究三 利用同角三角函数关系式证明
证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证．采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
【例5】 求证： ＝．
证明：证法1：因为左边＝
＝
＝＝＝＝右边．
所以原式成立．
证法2：由证法1知，左边＝，
右边＝＝，
所以左边＝右边，原式成立．
反思 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁为简的原则，即从较复杂的一边推向较简单的一边，还可以将左右两边同时推向一个中间结果．有时还可以证明其等价命题成立．无论采用哪种方法，证明时都要“盯住目标，执果变形”．当从左边推向右边时，右边就是“目标”，也就是变形要得到的“果”，变形的措施要以它为依据来进行变形，方法要得当，推理要合理，最终达到目标。
1.2.4 诱导公式
课堂探究
探究一 直接利用诱导公式化简、求值
对于任意给定的角都要将其化成k·360°±α(k∈Z)，180°±α等形式进行求值，大体求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．
【例1】 求下列各三角函数式的值：
(1)msin＋ntan(－4π)＋pcos；
(2)a2sin 810°＋b2tan 765°＋(a2－b2)tan 1 125°－2abcos 360°．
分析：利用诱导公式(一)、(二)求值即可．
解：(1)因为sin＝sin＝sin＝－1，
tan(－4π)＝tan 0＝0，
cos＝cos＝cos＝0，
所以原式＝－m．
(2)因为sin 810°＝sin(90°＋2×360°)＝sin 90°＝1，
tan 765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan 45°＝1，
tan 1 125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan 45°＝1，
cos 360°＝cos 0°＝1，
所以原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab．
反思 解决本题，可以得出的一般规律：求值、化简时，一般先用诱导公式(二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式(一)将其转化为[0,2π)内的角的三角函数值．
探究二 利用诱导公式化简
利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为[0°，360°)范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．
即
【例2】 化简：．
分析：利用诱导公式将290°，110°，250°角的三角函数转化为20°角的三角函数，再通过约分进行化简．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1．
规律总结 充分观察三角函数式中各个角的内在联系，利用诱导公式进行角的转化，可达到统一角的目的，判断两个三角函数值的差的符号，一般先化为同名三角函数值，再结合单位圆中的三角函数线加以确定，一般地，如果α，β都是锐角，且α>β，则sin α>sin β，cos αtan β．
探究三 利用诱导公式证明问题
证明无条件恒等式的基本方法：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，可以由左边推至右边，或由右边推至左边，遵循的是由繁到简的原则．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．如左边＝A，右边＝A，则左边＝右边．
(3)作差或作商法：即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1，且右边≠0”．
例3】 求证：＝tan α．
分析：观察被证等式两端，左边较为复杂，右边较为简简，可以从左边入手，利用诱导公式进行化简，逐步推向右边．
证明：左边＝
＝＝tan α＝右边，
所以等式成立．
反思 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用．主要思路在于如何配角，如何分析角之间的关系．
探究四 给值(式)求值问题
给值(或式)求值，解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性，主要包括函数名称及角两个方面，然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理．
【例4】 已知sin(π＋α)＝，求sin(2π－α)－cot(α－π)·cos α的值．
解：由sin(π＋α)＝可得－sin α＝，
即sin α＝－．
所以sin(2π－α)－cot(α－π)·cos α
＝－sin α－·cos α
＝－sin α－·cos α
＝－sin α－·cos α＝－sin α－
＝－＝－＝2．
反思 根据给值式、被求式的特点，发现它们之间的内在联系，恰当地选择公式，是做好本题的关键．
【例5】 已知cos＝，求cos－sin2的值．
分析：注意到＋＝π，可以把＋α化成π－，且α－＝－，利用诱导公式即可．
解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以sin－sin2
＝－－＝－．
反思 对于不同形式的角，要特别注意留心观察看所求角与已知角是否具有互余，互补等特殊关系，在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂探究
探究一 用“五点法”作函数的图象
1．“五点法”是作三角函数简图的常用方法，要掌握好五点的选取及连线的光滑、凸凹方向．
2．作图过程中，要注意体会整体代换的思想．
3．在解题中，常用“五点法”作出简图，使计算更加快捷．
【例1】 作出y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图．
解：列表得：
x
－π
－
0
π
y
0
1
0
－1
0
作出图象如图所示：
探究二 正弦函数图象的应用
利用正弦函数的图象可以求解形如sin x>a或sin x【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋．
分析：(1)只需求2sin x＋1≥0的x的取值集合，即求sin x≥－的x的集合，可先求出在一个周期内适合条件的区间，再根据函数的周期性，加上2kπ(k∈Z)即可；(2)可转化为解不等式组先将满足两个不等式的x的范围解出，然后再在数轴上求交集．
解：(1)由题意知2sin x＋1≥0，sin x≥－．
因为在一个周期上符合条件的角的范围为，
所以函数定义域为(k∈Z)．
(2)根据函数表达式可得
?
在数轴上表示出这两个不等式，如图所示，可得函数定义域是[－5，－π]∪[0，π]．
规律总结 正弦函数y＝sin x的定义域为R，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，则由解析式有意义得到关于正弦或余弦的三角不等式组，而解三角不等式(组)，可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
【例3】 求方程sin x＝，x∈[－3π，3π]的解的个数．
分析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x与y＝的图象，观察交点个数．
解：如图所示：
由图中看出两函数有7个交点，所以sin x＝，x∈[－3π，3π]有7个解．
技巧点拨 将方程的根转化为函数图象的交点时，要注意图象的边界何时处在相离的位置，要观察全面．
探究三 正弦函数性质的应用
【例4】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝．
分析：利用函数奇偶性的定义进行判断．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
所以f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)函数应满足1＋sin x≠0，
所以函数的定义域为．
所以函数的定义域不关于原点对称．
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
规律总结 (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法，即偶函数也可判断f(x)－f(－x)＝0或＝1(f(x)≠0)；奇函数也可判断f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)．
【例5】 比较下列各组数的大小：
(1)sin 和sin ；
(2)sin和sin；
(3)sin和sin；
(4)sin 194°和cos 160°．
分析：变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．
解：(1)sin＝sin＝sin．
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin (2)因为－<－<－<，y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin>sin．
(3)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin．
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin(4)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°．
因为0°<14°<70°<90°，
所以sin 14°所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°．
方法归纳 常利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小，其方法是：
(1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较；
(2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较．
【例6】 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝cos2x＋sin x．
分析：(1)先用y表示出sin x，利用sin x的有界性求；(2)转化为二次函数的最值问题，要特别注意sin x的范围对二次函数的影响．
解：(1)因为y·sin x＋y＝sin x－2，
所以sin x＝．
又|sin x|≤1，所以≤1．
所以y≤－．
所以值域为．
(2)y＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋．
因为－≤x≤．
所以－≤sin x≤．
所以当sin x＝－时，ymin＝；
当sin x＝时，ymax＝．
技巧点拨 求与正弦函数有关的三角函数式的值域(最值)常用的方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性；
(2)转化为关于sin x的二次函数．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂探究
探究一 作正弦型函数的图象
用“五点法”作正弦型函数的简图的方法步骤，以y＝Asin(ωx＋φ)为例，主要是通过变量代换，设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π来求出相应的x的值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
【例1】 用“五点法”作函数y＝2sin的图象．
分析：采用“五点法”作三角函数图象，关键在于确定“五点”．
解：设X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X，
当X取0，，π，，2π时，
由x＝＝－，得x取－，，，，，
列表如下：
2x＋
0
π
2π
x
－
2sin
0
2
0
－2
0
描点作图，先作出函数y=
2sin，x∈的图象，如图，然后将其向左、向右扩展，就得到了函数y＝2sin的图象(图略)．
易错提示 本例采用“五点法”作图，要注意，不是x取0，，π，，2π这五个值，而是X＝2x＋取这五个值．
探究二 正弦型函数的图象变换
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度．
【例2】 说明y＝－2sin＋1是由y＝sin x的图象怎样变换而来的？
分析：由函数y＝sin x到y＝－2sin＋1需要经过平移变换、周期变换、振幅变换，可分步进行．
解：变换过程可以先伸缩后平移，也可先平移后伸缩，
变换一(先伸缩后平移)：
y＝sin x
y＝－2sin x
y＝－2sin 2x
y＝－2sin
y＝－2sin＋1．
变换二(先平移后伸缩)：
y＝sin x
y＝－2sin x
y＝－2sin
y＝－2sin
y＝－2sin＋1．
评注 在三角函数图象变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意．
这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想．
探究三 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
可利用函数的最大、最小值确定振幅A及平衡位置，同时根据奇偶性、对称性及单调性得出相应不等式或等式，从而确定ω及φ的值．
【例3】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)在它的某个周期上，最高点为，且与y轴交于点(0，－)，与x轴交于点，求解析式．
分析：本题虽然没有给出函数的图象，但指明了函数图象上的特殊点，因此，我们可以根据条件画出简图，再求出解析式．
解法一：(数形结合，逐个确定字母法)
如图，由题意结合图形可知，
T=+=．
所以T=3π，ω==．所以y=Asin．
将最高点的坐标代入y=Asin，得A=Asin，即sin=1．
所以=+2kπ，即φ＝ (k∈Z)．
因为0<φ<2π，所以φ=，则y=Asin．
将点(0，-)代入y=Asin得-=Asin，解得A=2．
由以上可知，y=2sin．
解法二：(待定系数，联想“五点作图法”)
因为点和点相当于“五点作图法”中的第二点和第五点的坐标，
所以解得ω=，=．
所以y=Asin．
把点(0，-)的坐标代入y=Asin得-=Asin．所以A=2．
由以上可知y=2sin．
反思 通过本题的解决，我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维，这样才能做到举一反三．
探究四 正弦型函数的综合应用
1．记住一个重要结论：对于函数f(x)来说，若总有f(a＋x)＝f(a－x)，则该函数图象关于直线x＝a对称．
2．求f(x)的最值时，注意定义域的作用．
【例4】 若函数f(x)＝sin(2x＋φ)对任意x都有＝．
(1)求的值；
(2)求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值．
分析：f(x)对任意x都有＝，意味着f(x)的一条对称轴为x＝，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．
解：(1)因为f(x)对任意x都有＝，
所以x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴．
所以＝±．
(2)由f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的对称轴知2x＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．
因为直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，代入，得φ＝kπ－ (k∈Z)．所以φ的最小正值为．
(3)由(2)，知f(x)＝sin，
因为x∈，所以2x＋∈，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－．
探究五 易错辨析
易错点：对三角函数周期的认识不当而致错
【例5】 求函数y＝2sin的单调区间．
错解：当－＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递增，当＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为．
错因分析：忽略了“ω”的正负和“k∈Z”的条件，当y＝Asin(ωx＋φ)中ω<0时，错以为ω为负值对单调性没有影响．
正解：y＝2sin化为y＝－2sin．
因为y＝sin u(u∈R)的单调递增区间、单调递减区间分别为 (k∈Z)， (k∈Z)，
所以函数y＝－2sin的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调递增区间、单调递减区间分别为
(k∈Z)， (k∈Z)．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂探究
探究一 余弦函数图象的画法
在用“五点法”画出函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π．
【例1】 用“五点法”画出y＝3＋2cos x(x∈[0,2π])的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
3＋2cos x
5
3
1
3
5
描点，连线，如图所示．
点评 (1)用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．(2)学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图象区别和联系的理解．
探究二 三角函数的定义域问题
与三角函数有关的不等式主要借助于三角函数图象、单位圆和数轴来解决．
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋lg cos x．
解：(1)由题意得2cos x－≥0，
所以cos x≥，画出单位圆，如图所示．
由图可得函数定义域为．
(2)要使函数有意义，只需
即
利用数轴求解，如图所示：
所以函数的定义域为∪∪．
反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．
探究三 与余弦函数有关的值域问题
求值域或最大值、最小值问题一般依据及方法：
(1)sin x，cos x的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1；
(2)sin x，cos x的单调性，通常结合函数图象来解决；
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，再利用|f(y)|≤1来确定；
(4)通过换元转化为二次函数问题，换元时注意变量范围的一致性．
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝－2cos x－1；
(2)y＝2cos，x∈；
(3)y＝cos2x－3cos x＋2；
(4)y＝．
解：(1)因为－1≤cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2．
所以－3≤－2cos x－1≤1．
所以y＝－2cos x－1的值域为[－3,1]．
(2)因为－所以－所以y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．
(3)令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1,1]．
所以原函数化为y＝t2－3t＋2＝2－．
所以二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴．
所以t∈[－1,1]为函数的单调减区间．
所以t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0．
所以y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0,6]．
(4)y＝＝＝－1．
因为1≤2＋cos x≤3，所以≤≤4．
所以≤－1≤3．
所以y＝的值域为．
【例4】 比较下列各组数的大小：
(1)cos，cos；
(2)cos，cos．
解：(1)cos＝cos ．
因为0<<<π，而y＝cos x在[0，π]上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos．
(2)因为cos＝sin，所以0而y＝cos x在(0,1)内单调递减，
所以cos>cos．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂探究
探究一 求函数的定义域
与正切函数有关的定义域问题通常先借助正切函数的图象在一个周期内得出x的取值范围，然后加上周期．
【例1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝．
分析：根据题意列出不等式，再根据图象找出不等式的解集．
解：(1)由tan x－≥0，得tan x≥，利用图象(如图所示)可知，所求定义域为(k∈Z)．
(2)要使函数y＝有意义，
则有
即x≠kπ－，且x≠kπ＋ (k∈Z)．
所以函数的定义域为
．
规律总结利用正切函数的图象，可解不等式tan x>α，其解题步骤是：
(1)作出正切曲线y＝tan x在上的图象；
(2)求出在内使tan x＝a成立的x的值；
(3)利用图象确定tan x>a在内的解；
(4)把解扩展到整个定义域内．
同理，也可解形如tan x探究二 正切函数的性质
1．周期性
y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解．
2．单调性
求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需令kπ－<ωx＋φ【例2】 求下列函数的周期：
(1)y＝3tan； (2)y＝|tan x|．
解：(1)因为ω＝2，且T＝，
所以函数的最小正周期T＝．
(2)函数y＝|tan x|的图象如图所示，
显然为周期函数，且T＝π．
【例3】 求y＝3tan的图象的对称中心．
解：由2x＋＝ (k∈Z)，得x＝－ (k∈Z)．
故所求函数的图象的对称中心为 (k∈Z)．
温馨提示正切函数y＝tan x的图象是中心对称图形，它的对称中心有无数个，其坐标为 (k∈Z)，但它不是轴对称图形．
【例4】 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
分析：对于(1)，由于x的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解；对于(2)可利用正切函数单调性进行比较．
解：(1)y＝tan＝－tan，
则由kπ－<－(2)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又因为<2<π，所以－<2－π<0．
因为<3<π，所以－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)探究三 求函数的值域
对于形如y＝Atan2x＋Btan x＋C型的函数，可以通过换元法将问题转化为给定区间上的二次函数求值问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合函数图象或单调性确定．
【例5】 求函数y＝tan2x－2tan x的值域．
分析：利用换元法，将原函数化为二次函数的形式来解决．
解：令u＝tan x．因为|x|≤，
所以由正切函数的图象知u∈[－，]．
所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]．
因为二次函数的开口向上，对称轴方程为u＝－＝1，
所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1．
当u＝－时，ymax＝3＋．
所以f(x)的值域为[－1,3＋]．
反思使用换元法求函数值域时，一定要注意换元后自变量的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点：因作图不准确而致错
【例6】 当x∈时，确定方程tan x－sin x＝0根的个数．
错解：同一平面直角坐标系中作出y＝tan x与y＝sin x在上的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x－sin x＝0有5个根．
错因分析：没有比较x∈时，y＝tan x与y＝sin x的大小．
正解：将方程变形为tan x＝sin x，作y＝tan x，y＝sin x在上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．
在同一坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sin x与y＝tan x在内的图象，需明确x∈时，有sin x点评判断方程根的个数，对于一些超越方程无法直接求解，可以考虑用数形结合的思想，把方程看成是两个函数，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，观察图象交点的个数即为方程根的个数．
1.3.3 已知三角函数值求角
课堂探究
探究一 已知正弦值求角
已知正弦值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用，当角的范围不在内时，要通过诱导公式构造一个角，使其在内，并能求其正弦值．
【例1】 求下列范围内适合sin x＝的x的集合．
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]；(3)x∈R．
分析：借助正弦函数的图象及所给角的范围求解．
解：(1)由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sin x＝的角x只有一个，即x＝．这时，适合sin x＝的x的集合为．
(2)当x∈[0,2π]时，由诱导公式sin(π－x)＝sin x＝及sin＝sin＝，可知x1＝，x2＝．这时，适合sin x＝的x的集合为．
(3)当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋或x＝2kπ＋ (k∈Z)时，sin x＝，
则所求的x的集合是
＝．
技巧点拨 给值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．对于sin x＝a(x∈R)，－1≤a≤1，这个方程的解可表示成x＝2kπ＋arcsin a或x＝2kπ＋π－arcsin a(k∈Z)．从而方程的解集为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}．
探究二 已知余弦值求角
根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cos x＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择闭区间[0，π]作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件cos x＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arccos a，即x＝arccos a，其中x∈[0，π]，且a＝cos x．
【例2】 已知cos x＝－，
(1)若x∈[0，π]，求x；(2)若x∈[0,2π]，求x．
分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可．
解：(1)适合cos x＝的锐角为，
因为cos x＝－<0，x∈[0，π]，所以角x为钝角．
又cos＝－cos＝－，
所以x＝π－＝．
(2)适合cos x＝的锐角为，
因为cos x＝－<0，x∈[0,2π]，
所以角x为第二象限的角或第三象限的角．
又cos＝cos＝－cos＝－．
所以x＝π－＝或x＝π＋＝．
故适合cos x＝－，x∈[0,2π]的角x为或．
技巧点拨 cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈[0，π]时，则x＝arccos a，当x∈R时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}．
探究三 已知正切值求角
已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的思路相同点是找角、表示角、确定角．
不同点是：①已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在[0,2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范围一般是在；②在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”．
【例3】 已知tan x＝－．
(1)当x∈时，求角x的值；
(2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值；
(3)当x∈R时，求角x的值．
分析：先求出满足tan α＝的锐角α，再由诱导公式转换得出．
解：令tan α＝得锐角α＝arctan＝．
(1)因为tan x＝－<0，x∈，
所以x∈，所以x＝－α＝－．
(2)tan x＝－<0，且x为三角形内角．
所以x∈，所以x＝π－＝．
(3)tan x＝－<0，x∈R．
所以x在第二象限或第四象限，
所以x＝－α＋2kπ＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝π－α＋2kπ＝π－＋2kπ(k∈Z)．
所以x＝2kπ－或x＝2kπ＋ (k∈Z)．
即x＝kπ－ (k∈Z)．
反思 对于已知正切值求角有如下规律：
tan x＝a
(a∈R)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arctan a
0≤a
a<0
x1＝arctan a，
x2＝π＋arctan a
x1＝π＋arctan a，
x2＝2π＋arctan a
3.1.1 两角和与差的余弦
课堂探究
探究一 直接利用两角和与差的余弦公式
公式Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如，30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．
【例1】 求下列各式的值：
(1)cos 15°－cos 75°；
(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°；
(3)cos 15°－sin 15°．
分析：注意结构形式，将其变形为两角和与差的余弦形式，套用公式．
解：(1)cos 15°－cos 75°
＝cos(60°－45°)－cos(45°＋30°)
＝×＋×－×＋×＝．
(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°
＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°
＝cos(20°＋25°)＝．
(3) cos 15°－sin 15°
＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15°
＝cos 75°＝cos(45°＋30°)
＝×－×＝．
探究二 给值求值问题
给值求值问题的主要技巧有两个，一个是已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的正负．
二是注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α),4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝(α＋β)＋β等等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．
【例2】 已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值．
分析：由公式Cα＋β可知，欲求cos(α＋β)的值，应先计算cos α和sin β的值．
解：由α∈及sin α＝，得
cos α＝－＝－＝－．
又由β∈及cos β＝－，得
sin β＝－＝－＝－．
由余弦的和角公式，得
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝．
探究三 给值求角问题
先根据已知条件求出角的余弦值，然后根据已知条件求出角的范围，从而确定角的大小．
【例3】 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β．
分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．
解：因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝＝＝，
sin β＝＝＝．
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝．
由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，
又cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝．
探究四 易错辨析
易错点：角的范围考虑不全致误
【例4】 已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α．
错解：由已知，得
①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1．
故cos(β－α)＝－．由0≤α＜β＜γ＜2π，
知0＜β－α＜2π，所以β－α＝或β－α＝．
错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件β－α＜γ－α．
正解：由已知，得
①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
故cos(β－α)＝－．
由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，
所以β－α＝π或β－α＝π．
同理，可求出cos(γ－α)＝－，且0＜γ－α＜2π，
所以γ－α＝π或γ－α＝π．
又β－α＜γ－α，
因此β－α取两者中较小的，γ－α取两者中较大的．
所以β－α＝π．
3.1.2 两角和与差的正弦
课堂探究
探究一 给值求值
在解三角函数题目时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样变换，我们主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少角的个数．其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．
【例1】 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α．
分析：注意变角思想(已知角与未知角之间的内在联系)．
解：因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<．
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－．
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－．
探究二 利用两角和与差的正弦公式化简
化简三角函数式的标准和要求：
(1)能求出值的应求出值；
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；
(3)使三角函数式的次数尽可能低；
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．
【例2】 化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
分析：(1)各式中角的形式无法统一，且没有明显的拼角关系，所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法．(2)观察三个角之间的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β)，所以首先考虑角的代换，再利用两角和与差公式化复角为单角．
解：(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝0．
(2)原式＝
＝
＝＝．
探究三 两角和与差的公式在三角形中的应用
判定三角形的形状，充分利用角的变换，借助A＋B＋C＝π，即A＋B＝π－C，＝－．因而有sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin．
【例3】 在△ABC中，已知tan A＝，试判断△ABC的形状．
解：因为tan A＝，
所以＝．
所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，
所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，
所以cos(A－C)＝cos(A－B)，
所以A－C＝A－B或A－C＝B－A，
即B＝C或2A＝B＋C．
所以△ABC为等腰三角形或为A等于60°的三角形．
方法规律判断三角形的形状，关键是找出角A，B，C的关系．本题的巧妙之处在于角的和与差的公式的逆用，这也是解这类题的一条重要途径．同时，注意隐含条件A＋B＋C＝π的限制作用．
探究四 三角函数形式的转化
研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数或余弦函数的形式，方法是提取，逆用公式Sα±β，Cα±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．
【例4】 已知函数f(x)＝sin x－cos x，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期与值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
分析：对于此类问题可把asin x＋bcos x化简成sin(x＋θ)的形式来求解．
解：f(x)＝sin x－cos x＝2
＝
＝2sin，x∈R．
(1)T＝＝2π，f(x)的值域为[－2,2]．
(2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
3.1.3 两角和与差的正切
课堂探究
探究一 利用和(差)角正切公式求值
对于形如：的式子，常常分子、分母同时除以cos α转化为的形式，再化为的形式，逆用公式Tα＋β即可．
【例1】 计算：(1) ；
(2) ；
(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°．
分析：由两角和与差公式Tα±β的特点易知(1)(2)可逆用公式Tα±β，而(3)应使用公式Tα＋β的变形．
解：(1)解法一：tan 75°＝tan(45°＋30°)
＝＝
＝＝＝2＋．
所以＝
＝＝－＝－．
解法二：＝
＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－．
(2) ＝＝
＝＝tan (45°－15°)
＝tan 30°＝．
(3)公式tan(α＋β)＝可变形为
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
所以tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°
＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°
＝tan 45°＝1．
探究二 给值求值问题
若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值，即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值．
【例2】 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan的值．
解：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝
＝＝－．
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝．
tan＝＝＝．
探究三 给值求角问题
【例3】 已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
分析：已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正切，必须通过角变换，2α－β＝α＋(α－β)，α＝(α－β)＋β，故需先求出α角的正切．
解：因为tan β＝－，tan(α－β)＝，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
＝＝1．
因为tan α＝>0，tan β＝－<0，
所以α∈，β∈．
所以α－β∈(－π，0)．
又因为tan(α－β)＝>0，
所以α－β∈，
2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－．
评注 该小题的解题思路是利用角变换求出了2α－β角的正切值，难点和关键是通过判断值的大小缩小2α－β角的范围．若仅仅根据已知条件告诉的α和β的范围判断2α－β的范围，这个范围是非常大的，这个范围是(－π，π)，则正切值为1的角有和－，导致错误答案．
探究四 易错辨析
易错点：对角的取值范围把握不准致误
【例4】 已知tan α，tan β是方程x2＋x＋4＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β的值等于( )
A． B．－或 C．－或 D．－
错解：因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4．
所以tan(α＋β)＝＝＝．
又因为α，β∈，所以α＋β∈(－π，π)．
所以α＋β＝－或α＋β＝．故选B．
错因分析：忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．
正解：因为tan α，tan β是方程x2＋x＋4＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝－＜0，tan αtan β＝4＞0．
所以tan α，tan β是方程x2＋x＋4＝0的两个负根，
即tan α＜0，tan β＜0．
因为α，β∈，所以α，β∈，
所以α＋β∈(－π，0)．
又因为tan(α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－．故选D．
答案：D
3.2.1 倍角公式
课堂探究
探究一 化简、求值问题
解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，常变形后正用或逆用公式来解决．
【例1】 求下列各式的值：
(1) －sin215°；
(2)coscos；
(3)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值；
(4)sin 50°(1＋tan 10°)．
解：(1)－sin215°＝ (1－2sin215°)＝cos 30°＝．
(2)原式＝＝
＝＝＝．
(3)由tan β＝，得tan 2β＝>0，所以2β∈．
又tan α＝，所以tan(α＋2β)＝＝1．
因为α∈，2β∈，
所以α＋2β∈(0，π)，所以α＋2β＝．
(4)原式＝sin50°
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝＝＝1．
探究二 给值求值问题
由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值或求相关角时，关键在于“变角”，把“目标角”变换成“已知角”．
【例2】 (1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α．
解：(1)因为≤α<，所以≤α＋<．
因为cos>0，所以<α＋<．
所以sin＝－
＝－＝－．
所以cos 2α＝sin
＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×＝．
所以cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－．
(2)因为sin 2α＝－cos
＝－，
sin＝－sin＝－cos
＝－cos，
所以原方程可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－．
因为α∈，所以α＋∈．
所以α＋＝0或α＋＝．
所以α＝－或α＝．
探究三 与三角函数有关的综合问题
解决这类问题经常是先利用二倍角公式、辅助角公式及三角函数的性质等将函数表达式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用三角函数的性质和图象解决．
【例3】 求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x的最小值，并求其单调减区间．
解：f(x)＝5·＋·－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋
＝3＋
＝3＋4sin＝3－4sin．
因为≤x≤，所以≤2x－≤．
所以sin∈．
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为3－2．
因为y＝sin在上单调递增，
所以f(x)在上单调递减．
探究四 易错辨析
易错点：忽视角所在象限
【例4】 化简：2＋．
错解：原式＝＋
＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4
＝2sin 4＋4cos 4．
错因分析：没有判断4弧度的角终边所在的象限或根号下正负号判断错误．
正解：因为4∈，所以sin 4<0，cos 4<0．
所以原式＝＋
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|
＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2(sin 4＋2cos 4)．
3.2.2 半角的正弦余弦和正切
课堂探究
探究一 利用半角公式化简求值问题
对于化简求值问题要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧．
【例1】 (1)求值：(tan 5°－cot 5°)·；
(2)已知sin－cos＝－，<α<π，求tan的值．
解：(1)原式＝·
＝·
＝－2··
＝－2cot 10°·tan 10°＝－2．
(2)因为＝，
所以1－sin α＝，所以sin α＝．
又因为<α<π，所以cos α＝－．
所以tan＝＝＝2．
探究二 给值求值问题
【例2】 已知tan 2θ＝－2，θ∈，求的值．
分析：先化简，再求值．
解：原式＝．
因为θ∈，所以2θ∈．
所以cos 2θ＝－＝－
＝－．
所以sin θ＝＝＝，
cos θ＝＝＝，
所以原式＝＝4(1－)．
评注sinsin＝－＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－＝－＝cos 2θ＋．
探究三 与向量、三角函数有关的综合问题
【例3】 已知a＝，b＝，设f(x)＝a·b．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝a·b＝＋·2cos＝cos2－sin2－sin x＝cos x－sin x＝＝cos．
所以f(x)的最小正周期为2π．
(2)因为x∈，所以x＋∈．
当x＋＝时，fmax(x)＝；
当x＋＝π时，fmin(x)＝－．
故f(x)的值域为．
探究四 易错辨析
易错点：没有分类讨论而漏解
【例4】 在等腰三角形中，已知顶角θ的正弦值为，试求该三角形底角的正弦值、余弦值和正切值．
错解：因为sin θ＝，所以cos θ＝．
设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，即α＝－，
所以sin α＝sin
＝cos＝±＝±，
cos α＝cos＝sin＝±＝±，
所以tan α＝＝±3．
错因分析：错误一是由sin θ＝求cos θ没有分类讨论；错误二是由cos θ求α的正弦值、余弦值和正切值时没有检验符号．
正解：设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，
即α＝－．
由sin θ＝，得cos θ＝±．
①当cos θ＝时，
sin α＝cos＝＝，
cos α＝sin＝＝．
所以tan α＝＝3．
②当cos θ＝－时，
sin α＝cos＝＝，
cos α＝sin＝＝，
所以tan α＝＝．
3.3三角函数的积化和差与和差化积
课堂探究
探究一 求值问题
1．只有同名三角函数和(或差)才能化为积的形式．
2．通常情况下遇积化和差，遇和差化积．
【例1】 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°．
分析：两题符合公式的形式，直接运用公式即可．
解：(1) ＝
＝tan 15°＝＝2－．
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°＝．
探究二 化简问题
【例2】 化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
解：(1)原式＝＝
＝＝tan．
(2)原式＝
＝
＝＝．
评注 问题(1)是对复杂的含不同角、不同函数的分式进行化简，它的化简过程是第一次化积出现特殊角，从而分子、分母都各为两项，再进行第二次化积，然后约分，达到化简目的．
问题(2)的分子和分母均为三项，认真观察其角度特点，做好“配对”，然后化积，再与第三项“配对”有因子提出，再分子、分母约分，最后达到化简的目的．
探究三 证明恒等式
【例3】 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin 3α．
分析：根据积化和差公式将左边变形整理，进行角的统一．
证明：左边＝sin α· (cos 120°－cos 2α)
＝sin α＋sin αcos 2α＝sin α＋ [sin 3α＋sin(－α)]
＝sin α＋sin 3α－sin α＝sin 3α．
评注 本题考查积化和差公式的应用，本题证明的关键是向右边目标角的转化与统一．
探究四 与三角函数有关的综合问题
【例4】 求函数y＝sin x的最值．
解：y＝sin x
＝sin x·2cossin
＝－sin xcos
＝－
＝－sin＋，
因为sin∈[－1,1]，
所以当sin＝－1，
即x＝kπ－，k∈Z时，ymax＝；
当sin＝1，即x＝kπ＋，k∈Z时，ymin＝－．
探究五 三角形中的应用
【例5】 在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形．
分析：看到和，想到和差化积，可以得到cos与cos的关系，再利用半角公式可以得出关于cos A和cos B的因式．
证明：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝cos A＋cos B．
因为cos A＋cos B＝2coscos，
所以2sincos＝2coscos．
因为cos＝cos＝sin≠0，
所以sin＝cos．
两边平方，得sin2＝cos2，
所以＝．
所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0．
所以2cos Acos B＝0，所以cos A＝0或cos B＝0．
因为A，B为△ABC的内角，所以A，B中必有一个是直角．
所以△ABC为直角三角形．
反思 本题证明三角形为直角三角形，既然没有边的相对位置关系，就从角入手，可以证明有一个角为直角，或者有两角互余，除了直接求度数，还可以从正弦值为1或余弦值为0得出直角的结论．
2.1.1 向量的概念
课堂探究
探究一 有关向量概念的问题
解有关向量的基本概念的题，首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、相等向量、零向量有深入的理解，分别掌握它们的特征，共线向量又称平行向量，前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任一向量平行；相等向量是两向量大小相等且方向相同；零向量的大小为零，它的方向是任意的．
【例1】 给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中不正确的命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．
答案：C
反思 对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．
探究二 向量的表示
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．(2)画图时可以按比例画图，要注意题中是否规定有向线段的始点和终点．
【例2】 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．
(1)作出向量，，；
(2)求||．
解：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．
又因为||＝||，
所以在四边形ABCD中，AB綉CD．
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
探究三 相等向量和共线向量
向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．
(1)找出与向量相等的向量；
(2)找出与向量共线的向量．
解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和．
(2)由图可得：，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，．
警示误区 找一个向量的共线向量时，易忽视找出与其方向相反的向量，尤其是与本身方向相反的向量，如本题中易把漏掉．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视与本身相反的向量而致错
【例4】 如右图，A1，A2，…，A8是⊙O上8个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O 9个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？
错解：(1)模等于半径的有(i＝1,2,3，…，8)共8个．
(2)模等于半径倍的向量为正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的边共8个．
错因分析：忽略了向量的方向．
正解：(1)模等于半径的向量只有两类：一类是(i＝1,2，…，8)共8个，另一类是(i＝1,2，…，8)也有8个，两类合计16个．
(2)以A1，A2，…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个正方形A2A4A6A8，在题目中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍，所以模为半径倍的向量共有4×2×2＝16个．
2.1.2 向量的加法
课堂探究
探究一 作向量的和
应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的始点重合．
(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．
【例1】如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c．
分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
解：作法1：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
图(1)
作法2：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．
图(2)
再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
探究二 向量的加法运算
多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算(必要时，注意利用向量加法的运算律)．
【例2】化简下列各式：
(1)＋＋．
(2)(＋)＋＋．
(3)＋＋＋＋．
解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋．
(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝．
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
技巧点拨：求和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接”的两个向量放在一组．
在解答本题(3)时，易出现＋＋＋＝0的情况，导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量．
【例3】如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A． (5e1＋3e2) B． (5e1－3e2) C． (－5e1＋3e2) D．－ (5e1＋3e2)
解析：由矩形的性质及向量加法的平行四边形法则得＝＝ (＋)＝ (＋)＝ (3e2＋5e1)．故选A．
答案：A
点评 结合图形分析，向量的平移常用向量相等来实现，此题也可用三角形法则＝＋＝＋．
探究三 利用向量的加法证明几何问题
利用向量加法可以证明线段相等和平行，可以证明三点共线，证明的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系转化为几何关系．
【例4】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图所示)．用向量的方法判断：四边形AECF的形状．
解：如图所示，标记向量，=+，=+．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以=．
又=，
所以=，即AE，FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
反思 利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原为几何问题．
【例5】 已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋．
分析：用多边形法则把用不同的向量形式表示出来，然后相加即可得到结论．
证明：如图所示，在四边形CDEF中，+++=0，
所以＝－－－
＝＋＋．①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
所以＝＋＋．②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＋＝0，＋＝0．
所以＋＝＋．
探究四 向量的加法在实际问题中的应用
利用向量加法解决实际应用问题主要步骤如下：
(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；
(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加法进行运算；
(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形边和角的关系解题．
【例6】 雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s．现在有风，风使雨滴以3 m/s的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解：如图所示，为雨滴无风时的下落速度，为雨滴有风时的水平速度，由平行四边形法则，雨滴实际下落的速度为：
＝＋，故||＝5(m/s)，
∠BCA≈53．1°．
即雨滴将沿与地面成53．1°的方向，以5 m/s的速度着地．
2.1.3 向量的减法
课堂探究
探究一 向量加减法的几何作图
求作向量的和与差要注意三角形法则和平行四边形法则的应用，求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行，如a－b，可以作出－b，然后再用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两个向量的始点重合，则两个向量的差向量是连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点．
【例1】如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
分析：首先在平面内选一始点，然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图即可(平移向量时要注意向量箭头的方向)．
解：作法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
图(1)
则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c，如图(1)所示．
作法二：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，以B点为始点作＝－c，
则＝a＋b－c，如图(2)所示．
图(2)
探究二 化简向量表达式
向量的减法运算有如下方法：
(1)利用相反向量统一成加法(相当于代数和)；
(2)运用减法公式－＝(正用或逆用均可)；
(3)辅助点法：利用向量的定义将所有向量转化为以某一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
另外，应用向量减法的三角形法则需注意“共起点”的条件．
【例2】 化简：(－)－(－)＝________．
分析：本题主要运用加减法法则进行运算．
解：方法1：(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0．
方法2：(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0．
方法3：设O为平面内任意一点，则有
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－
＝0．
答案：0
反思 满足下列两种形式可以化简：
(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用．
探究三 用已知向量表示未知向量
用几个基本向量表示某向量的一般步骤是：
(1)先观察各个向量在图形中的位置；
(2)寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形；
(3)运用法则找关系；
(4)化简结果．
【例3】 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；
(3)－．
解：(1)－＝＝－＝d－b．
(2)＋＝(－)＋(－)＝b－a＋f－c．
(3)－＝＝－＝f－d．
探究四 证明向量恒等式
利用向量的加减法证明几何题关键是充分挖掘已知条件将未知向量放在三角形或平行四边形中进行运算和表示．
【例4】 如图所示，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心．
求证：＝＋＋．
证明：如图，作出△ABC外接圆的直径BD，
连接AD，CD，则＝－，DA⊥AB，DC⊥BC．
又因为AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC．
所以四边形AHCD是平行四边形．所以＝．
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋．
2.1.4 向量数乘
课堂探究
探究一 数乘向量的理解
【例1】 已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有( )
①当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；
④当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
⑤当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ<0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确．
答案：D
探究二 向量的线性运算
向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．
【例2】 计算下列各题：
(1)化简；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；
(3)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0(x是未知向量)．
解：(1)原式＝
＝
＝
＝a－b．
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝＋
＝－＋
＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j．
(3)由5(x＋a)＋3(x－b)＝0，得8x＋5a－3b＝0．
所以8x＝3b－5a．
所以x＝b－a．
探究三 向量之间的线性表示
在求向量时要尽可能把未知向量转化到平行四边形或三角形中，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．
【例3】 如图，设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，求，，．
解：由平面几何知△APQ∽△ABC，
所以＝＝t，
所以＝t，＝t，＝＋＝＋t＝＋t(－)＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，
＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)a＋tc，
所以＝－＝(1－t)a＋tc－(1－t)a－tb
＝t(c－b)．
点评 点O位置的变化不影响本题的结果，将向量，分别转化为t(－)，t(－)是本题的关键．
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课堂探究
探究一 轴上向量的坐标运算
首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．
【例1】 已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d．
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4．
分析：解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明．
解：(1)因为AC＝5，所以c－(－4)＝5．所以c＝1．
(2)因为|BD|＝6，
所以|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
所以d＝4或d＝－8．
(3)证明：因为＝＋＝－＋，
而＝－3，
所＝－(－3)＋＝4．
所以3＝12．
又－4＝－4×(－3)＝12，
故3＝－4．
探究二 平行向量基本定理的应用
证明三点共线可以利用向量共线来解决，注意选取的向量要有公共点，利用向量共线条件求参数，主要是根据a＝λb列出方程(组)、解方程(组)．
【例2】 (1)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．
求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若有A，B，D三点共线，求k值．
分析：(1)若A，B，D三点共线，只需证明＝．
(2)由＝列出方程组求k．
(1)证明：因为＝＋＋
＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，
又＝2e1＋3e2，
所以＝6．
所以与共线．
又因为AB，AD有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)解：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
因为A，B，D共线，所以，共线，
所以存在λ使＝．
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以所以k＝－8．
点评 由以上解答可以看出，三点共线与向量共线是可以相互转化的．但是注意选取的两个向量一定要有一个公共点．
探究三 利用平行向量基本定理证明几何问题
应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时，关键是把一个向量用有关向量线性表示出来，即确定向量等式b＝λa(a≠0)，再结合图形完成证明．
【例3】 如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB，EF＝ (AB＋DC)．
分析：首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证．
证明：延长EF到点M，使得FM=EF，连接CM，BM，EC，EB得?ECMB，
由平行四边形法则得==．
因为AB∥DC，
所以，共线且同向，根据向量共线定理知，存在正实数λ，使=λ．
由三角形法则得=+，=+，
且+=0．
所以＝ (＋)＝ (＋＋＋)
＝ (＋)＝，
所以∥，由于，，没有公共点，
所以EF∥DC∥AB，
又||＝＝ (||＋||)，
所以EF＝ (AB＋DC)，
所以结论得证．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视0与任何向量平行而致误
【例5】 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
错解：因为a∥b，所以e1＋λe2＝2ke1，
所以(2k－1)e1＝λe2．
所以 e1∥e2．故选C．
错解分析：没有考虑2k－1可能为零而漏解．
正解：因为a∥b，b≠0，
所以存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2．
因为e1≠0，
所以若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，
又0与任何一个向量平行，
所以有e1∥e2或λ＝0，故选D．
答案：D
2.2.1 平面向量基本定理
课堂探究
探究一 基底的判断
两个向量能否作为基底关键是判断这两个向量中是否有零向量或这两个向量是否共线．
【例1】 已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)·e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．2
解析：由得故x－y＝3．
答案：A
名师点拨 若a，b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
【例2】 已知e1和e2不共线，则下列各组向量可以作为基底的是________．(填序号)
①a＝2e1，b＝－2e1；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
解析：①a＝－b；②b＝－2a；③a＝4b，所以①②③不能作基底．
答案：④
探究二 用基底表示向量
用基底来表示向量主要有以下两种类型：
(1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解．
(2)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想求解．
【例3】 已知在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，．
分析：把，，分别放在一个封闭三角形中，利用线性运算不断地向基底靠拢．
解：由题意，得
＝＋＝＋＝＋ (－)
＝a＋ (b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b．
探究三 直线的向量参数方程式的应用
直线的向量参数方程式＝(1－t)＋t (t为实数)包含两层意思：(1)当点P在直线AB上时满足该式；(2)反之，当点P满足该式时，点P一定在直线AB上．
【例4】 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A． B． C． D．
解析：因为＝，
所以＝4．又＝m＋，
所以＝m＋．
因为P，B，N三点共线，
所以由直线的向量参数方程式知m＋＝1，
所以m＝．
答案：C
探究四 向量法证明几何问题
选取合适的基底，将待证的向量用基底表示，可以证明线段平行等位置关系．
【例5】 如图所示，点M是AB边上的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于点F，MH∥AF，且MH交BC于点H．
求证：＝＝．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝＋＋
＝－＋2＋2
＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，
＝＋＝＋
＝－＋＋
＝－b＋＋－
＝－b＋a＋2－
＝－b＋a＋2b－b
＝a＋b．
综上可得：＝＝．
探究五 确定两直线交点的位置问题
基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适．
【例6】 如图所示，在△ABC中，点M在边BC上，且BM＝MC，点N在边AC上，且AN＝3NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
分析：选择一组合适的向量作为基底，用这组基底表示平面内的有关向量，再由向量共线的条件列出等式，用待定系数法解之．
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－4e2－2e1，
＝＋＝3e1＋e2．
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝－2λe1－4λe2，＝μ＝3μe1＋μe2，
所以＝－＝－＋＝(2λ＋3μ)e1＋(4λ＋μ)e2．
又因为＝＋＝3e1＋4e2，
所以由平面向量基本定理，得解得
所以＝，即AP∶PM＝9∶1．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课堂探究
探究一 向量的坐标表示
求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．
【例1】 如图所示，分别用基底i与j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
解：由题图可知，a＝＋＝2i＋3j，
所以a＝(2,3)．
同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；
c＝－2i－3j＝(－2，－3)；
d＝2i－3j＝(2，－3)．
点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解．
【例2】 在平面直角坐标系xOy中，a，b如图所示，分别求它们的坐标．
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则a1＝|a|cos 45°＝4×＝，
a2＝|a|sin 45°＝4×＝．
b向量相对于x轴正方向的转角为120°．
所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝．
所以a＝(，)，b＝．
评注 公式a1＝|a|cos θ，a2＝|a|sin θ中θ是指a的方向相对于x轴正方向的转角，此点不容忽视．
探究二 向量的坐标运算
向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．
【例3】 已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，
因为＝，＝－，
所以(x1＋1，y1－2)＝×(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－×(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
所以和所以和
所以C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．
探究三 向量坐标法的应用
通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．
【例4】 已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c．
分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a，b表示c．
解：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
因为|a|=2，所以a=(2,0)．
设b=，
所以=|b|cos 150°=1×=-，
y1=|b|sin 150°=1×=．
所以b=．
同理可得c=．
设c= a+ b(，∈R)，
所以= (2,0)+ =(2 -，)．
所以解得
所以c=-3a-3b．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视点的位置而漏解
【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求顶点D的坐标．
错解：设顶点D(x，y)，
因为＝(－1，－4)，＝(1－x，－2－y)，＝，
所以解得
所以顶点D的坐标为(2,2)．
错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解．
解：设顶点D(x，y)．
①若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，C，D，
则＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，
＝(1－x，－2－y)．
由＝，得
解得
故顶点D的坐标为(2,2)．
②若平行四边形四个顶点的顺序为A，C，B，D，
则＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，＝(3－x，－1－y)．
由＝，得解得
故顶点D的坐标为(6,4)．
③若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，D，C，
则＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，＝(x－1，y＋2)．
由＝，得解得
故顶点D的坐标为(0，－6)．
综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课堂探究
探究一 平面向量共线问题
利用平面向量坐标表示向量共线，可以将几何证明问题转化为代数运算．
【例1】 已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证∥．
证明：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意知：＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
所以＝＝，＝＝，
所以(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
所以(x1，y1)＝，
(x2，y2)＝，
所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝．
因为4×－(－1)×＝0，所以∥．
探究二 三点共线问题及其应用
利用向量证明三点共线的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ，使得两个向量共线．由于两个向量还过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线．若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线．
【例2】 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
分析：解答本题可直接利用向量共线的条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．
解：方法一：因为A，B，C三点共线，即，共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)．
于是所以m＝－2．
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
方法二：依题意，知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，
＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
而，共线，所以1×m－1×(－2)＝0．
所以m＝－2．
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
【例3】 已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，点D在线段AB上，且满足＝．点E在BC上，若△BDE的面积是△ABC面积的一半，求点E的坐标．
解：如图，
因为=，所以=．
过点D作⊥BC于点，
过点A作⊥BC于点，
则∥，
且=．
于是S△BDE∶S△ABC
=
==．
所以=．
从而得=2，即=2．
因为B(-4,0)，C(5，-3)，设E(x，y)，
则(x+4，y)=2(5-x，-3-y)，解得
所以E点坐标为(2，-2)．
【例4】 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
分析：利用向量法证明几何问题，首先是建立适当的直角坐标系，将图中点的坐标转化为向量坐标．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
令||＝1，则||＝1，||＝2．
因为CE⊥AB，而AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形．
所以可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)因为＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
所以＝，所以∥，即DE∥BC．
(2)因为M为EC的中点，所以M，
所以＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝．
所以＝－，所以∥．
又MD与MB共点于M，
所以D，M，B三点共线．
点评 在建立直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的线与x轴、y轴平行．
探究五 易错辨析
易错点：因未分析共线时有同向和反向而致误
【例5】 设点A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n＋1)，D(2,2n＋1)，若向量与共线且同向，则n的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．1
错解：因为＝(n,1)，＝(4，n)，
所以由∥得n2－4＝0，即n＝±2．故选C．
错因分析：非零向量共线时有同向和反向两种情况，没有进行检验．
正解：由已知条件得＝(n,1)，＝(4，n)，
显然n≠0．
由与共线得n2－4＝0，
解得n＝±2．
当n＝2时，＝(2,1)，＝(4,2)，
则有＝2，满足与同向；
当n＝－2时，＝(－2,1)，＝(4，－2)，
则有＝－2，此时与反向，
不符合题意．
因此，符合条件的只有n＝2．
答案：A
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂探究
探究一 与数量积有关命题的判断
两向量方向相同时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为 (或90°)，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．
【例1】 已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|＝|a|·|b|?a∥b；
②a，b反向?a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；
④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为a·b＝|a|·|b|·cos θ，所以由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②中若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|．反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题；④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|．故命题④是假命题．
答案：C
探究二 求向量的正射影或数量积
向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负，也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角．因此在正确理解正射影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意“共起点”这一前提条件．
【例2】 如图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)在方向上的正射影．
解：(1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因为∥，且方向相反，
所以与的夹角是180°，
所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16．
(3)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6．
(4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||cos 120°＝4×＝－2．
反思 两向量夹角的范围是[0°，180°]，当两向量平行时，夹角可能为0°(同向时)或180°(反向时)．若与的夹角为θ，则与的夹角是180°－θ．
探究三 向量数量积的性质
求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观地得出．
【例3】 已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解．
解：(1)因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|
＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6．
又|a|＝3，|b|＝4，
所以|cos〈a，b〉|＝＝＝，
所以cos〈a，b〉＝±．
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或．
(2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，
所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为．
探究四 易错辨析
易错点：因未分清夹角而致误
【例4】 已知平面上三点A，B，C满足||＝6，||＝8，||＝10，则·＋·＋·的值等于( )
A．100 B．96 C．－100 D．－96
错解：由题意知AB⊥BC，·＋·＋·＝0＋8×10×＋6×10×＝100．选A．
错因分析：向量的夹角理解错误．
正解：由题意，可得连接A，B，C三点可构成直角三角形，且B＝90°．
所以·＋·＋·＝0＋·(＋)＝·＝－||2＝－100．
2.3.2 向量数量积的运算律
课堂探究
探究一 向量数量积的计算
求平面向量的数量积时，常用到以下结论：
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．
解：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝．
(2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2
＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2
＝－6＋－2＝－．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝＋e1·e2＋e2·e1＋
＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．
误区警示 利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的a·b写成|a||b|．
探究二 求向量的模
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝．
【例2】 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
分析：通过数量积a·b来探求已知条件|3a－2b|＝3与目标式|3a＋b|之间的关系．
解：因为|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2＝1．
又因为|3a－2b|＝3，所以(3a－2b)2＝9，
所以9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，
将|a|2＝|b|2＝1，代入有a·b＝，
而(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋6×＋1＝12，
所以|3a＋b|＝．
探究三 向量在几何中的应用
向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角．
【例3】 在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．
证明：如图．
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=-＋·＋·
＝－＋||·||·＋||·||·
＝－＋||··||·＋||··||·
＝－＋＋＝0，
所以⊥，即AD⊥CE．
【例4】 △ABC三边长为a，b，c，以A为圆心，r为半径作圆，如图所示，PQ为直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值？
分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值．
解：因为＝－，＋＝，
即＝－－＝－－，
所以·＝(－)·(－－)
＝－·＋·－＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·．
当与同向时，·最大且最大值为||·||＝ra．
即当与共线且同方向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．
探究五 易错辨析
易错点：向量与实数的混用
【例5】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．求a与b的夹角．
错解：由题意，得
即
①－②得46a·b＝23b2．
因为b≠0，所以a＝，
把它代入②得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°．
错因分析：在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合．
正解：因为a＋3b与7a－5b垂直，
所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0．
同理由a－4b与7a－2b垂直可得
7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0，
则
①－②得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝，
代入①得|a|2＝|b|2．所以|a|＝|b|．
设a，b夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
所以θ＝60°．
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂探究
探究一 向量数量积的坐标运算
已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．
【例1】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，
所以|a＋b|＝．
(2)设向量a与b的夹角为x，
则cos ＝＝＝＝．
探究二 向量的模、夹角的坐标表示
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．
【例2】 已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝( )
A． B． C．20 D．40
解析：设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①
a－b＝(－2－x，－1－y)，
所以|a－b|＝＝．②
由①②可得x＝－4，y＝－2．
所以b＝(－4，－2)，|b|＝＝．
答案：A
反思 本题是利用公式|a|＝ (其中a＝(a1，a2))求解．
【例3】 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．
分析：要对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．
解：当A＝90°时，·＝0，
所以2×1＋3×k＝0．所以k＝－．
当B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0．所以k＝．
当C＝90°时，·＝0，所以－1＋k(k－3)＝0，
所以k＝．
因此，当k＝－，或k＝，或k＝时，△ABC的一个内角为直角．
探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用
用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．
【例4】 以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标．
解：设B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
因为△ABO是等腰直角三角形，故⊥，且||＝||，
所以
解得或
所以＝或＝．
【例5】 已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由题意有|a|＝2，|b|＝1．
因为a·b＝×－1×＝0，所以a⊥b．
因为x·y＝0，所以[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，化简得k＝，所以＝(t2＋4t－3)＝ (t＋2)2－．
当t＝－2时，有最小值为－．
反思 本题的关键是注意到a⊥b，以此来化简x·y＝0．
探究四 易错辨析
易错点：因a·b<0理解不完全而致误
【例6】 设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A． ∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． D．
错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，
即－2λ－1<0，解得λ>－．
错因分析：a·b<0?a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．
正解：a·b<0?(－2,1)·(λ，－1)<0?λ>－．
又设b＝ta(t<0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，
所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，
所以λ∈∪(2，＋∞)．故选A．
答案：A
2.4 向量的应用
课堂探究
探究一 向量在平面几何中的应用
用向量的方法证明有关平面图形中平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法：
(1)要证两线段AB＝CD，可转化为证明||＝||或＝；
(2)要证两线段AB∥CD，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ成立；
(3)要证两线段AB⊥CD，可转化为证明·＝0；
(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ．
【例1】 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC．
分析：借助向量的减法分别表示出向量，然后代入已知条件证明．
证明：设＝c，＝b，＝m，
则＝－＝m－c，＝－＝m－b．
因为AB2＋CD2＝AC2＋BD2，
所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，
c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，
所以2m·(c－b)＝0,2·(－)＝0．
所以·＝0，所以AD⊥BC．
反思基本思路就是将已知条件AB2＋CD2＝AC2＋BD2转化为与的关系，而又可表示为－，所以就变成了讨论和，的关系，因此可设这三个向量，再用它们来表示和，就能得到结论．
探究二 向量在解析几何中的应用
1．利用向量的方法来解决解析几何中有关直线平行、垂直等问题．
2．要掌握向量用坐标表示的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．
【例2】 过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
分析：在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)．根据∥a和⊥b解题即可．
解：设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)．
因为A(－2,1)，所以＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意，知∥a，
所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0．
所以所求直线方程为x－3y＋5＝0．
(2)由题意，知⊥b，
所以(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
所以所求直线方程为x－2y＋4＝0．
反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．
探究三 向量在物理中的应用
用向量方法解决物理问题的步骤：(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)把结果还原为物理问题．
【例3】 如图所示，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力分别为F1，F2，夹角为θ．
(1)求其中一根绳子受到的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系；
(2)求F1的最小值；
(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围．
解：(1)由力的平衡得F1＋F2＋G＝0，设F1，F2的合力为F，则F＝－G，由F1＋F2＝F且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，解直角三角形得cos1＝＝，
所以|F1|＝，∈[0°，90°)，由于函数y＝cos x在x∈[0°，90°)上为减函数，所以逐渐增大时，cos逐渐减小，逐渐增大，所以θ增大时，|F1|也增大．
(2)由(1)可知，当θ＝0°时，|F1|有最小值为．
(3)由题意，≤|F1|≤|G|，
所以≤≤1，即≤cos≤1．
由于y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，
所以0°≤≤60°．所以θ∈[0°，120°]为所求．
探究四 易错辨析
易错点：混淆向量平行与直线平行
【例4】 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，问AB与CD平行吗？
错解：因为＝(1，－1)，＝(3，－3)，
又因为1×(－3)－(－1)×3＝0，
所以∥，即AB∥CD．
错因分析：此题混淆了向量的平行与线段(直线)的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以当A，B，C，D四点共线时，与仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行．
正解：证明：因为＝(1，－1)，＝(3，－3)，
又因为1×(－3)－(－1)×3＝0，所以∥．
又因为＝(－1,1)，＝(1，－1)，
而－1×(－1)－1×1＝0，
所以∥，所以A，B，C，D四点共线，
所以AB与CD不平行．
