第三章函数 第9节 平面直角坐标系和函数的概念
■知识点一：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条 且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个象限【来源：21·世纪·教育·网】
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组 来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的 坐标，B是点A的 坐标．
■知识点二：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限 ； 第二象限 ；
第三象限 ； 第四象限
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 ；
若点P在y轴上，则 ；
若点P在一、三象限角平分线上，则 ；
若点P在二、四象限角平分线上，则
■知识点三：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’
点P(a，b)关于y轴的对称点P’
点P(a，b)关于原点的对称点P’
■知识点四：坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为 ．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
⑤线段PM的中点坐标：()
■知识点五：函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是 ；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得 ；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得 为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
失分点警示
函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.
■知识点六：函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生 的量叫做变量． 21·cn·jy·com
(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有 的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
(3)函数的表示方法：①解析式法；② 图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤： 、 、
■知识点七：函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，
再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
1.（2017年贵州省六盘水市中考数学）已知A（﹣2，1），B（﹣6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为（ ， ）．21世纪教育网版权所有
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：∵A（﹣2，1），B（﹣6，0），
∴建立如图所示的平面直角坐标系，
∴C（﹣1，1）．
故答案为：﹣1，1．
◆变式训练
（2015?绵阳第14题，3分）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
2.（2016年湖南省衡阳市中考数学 ）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是 ．21教育名师原创作品
【考点】点的坐标．
【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可．
解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，
∴，
解得：x＞2．
故答案为：x＞2．
◆变式训练
（2016·湖北荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（ ）2-1-c-n-j-y
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2016·湖北武汉 ）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）21*cnjy*com
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
【考点】关于原点对称的点的坐标．
解：关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
∵点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，
∴a＝－5，b＝－1，
故选D．
◆变式训练
（2015?湖南湘西州在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B． （2，﹣1） C． （2，1） D． （﹣2，﹣1）
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2016?长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．
解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，
∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【版权所有：21教育】
◆变式训练
（2016?青岛）如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点P'在A1B1上的对应点P的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
(2016湖南省娄底中考) 函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故选A．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
■考点6.函数图象的判断
◇典例
3.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．
故选：D．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
（2016眉山）已知点M（1- 2m，m-1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确
的是( )
（2016武汉）已知点（，1）与点(5，)关于坐标原点对称，则实数、的
值是( )
A．, B．, C., D.,
（2016成都）平面直角坐标系中，点P( -2，3)关于轴对称的点的坐标为( )．
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（-3，-2） D．（3，-2）
（2017年贵港市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2017西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到
点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( )
A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)
（2017年台州市中考数学 ）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间
的关系为 ，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（??? ）
A．B、C、 D．
（2017年海南省中考 ）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐
标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
（2015?湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）
的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是________千米/分钟．
9.（2017年赤峰市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为 ．www-2-1-cnjy-com
10.（2017年温州市中考数学 ）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
（2015年浙江省金华市中考数学）点P（4，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
（2017?湖州）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是（?? ）
A.?????B.?? ?C.??? ??D.?
（2017?绍兴模拟）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲：从学校向北直走500米，再向东直走100米可到图书馆； 乙：从学校向西直走300米，再向北直走200米可到博物馆； 丙：博物馆在体育馆正西方向200米处． 根据三人的描述，若从图书馆出发，其终点是体育馆，则下列描述正确的是（ ）
A．向南直走300米，再向西直走200米
B．向南直走300米，再向西直走600米
C．向南直走700米，再向西直走200米
D．向南直走700米，再向西直走600米
（2015年杭州市开发区）函数y=中，自变量x的取值范围（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B
地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）21教育网
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早小时
（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为
AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
（2016年浙江省衢州市中考数学 ）如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的
一点（不与A．B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）21cnjy.com
A． B．C．D．
（2016年浙江省温州市中考数学 ）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P
是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）21*cnjy*com
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
（2016年浙江省衢州市中考数学 ）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），
B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
（2015?台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴
的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置． 则椒江区B处的坐标是 ____________【出处：21教育名师】
（2016年浙江省杭州市中考数学试卷含答案解析）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），
B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．21·世纪*教育网
（2016年宁波市中考数学 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，
交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
（2016年浙江省台州市中考数学 ）请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，
k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（2017·金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(?2，?2)，
B(?4,?1），C(?4,?4)．
(1)作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部
（宁波市慈溪市2015年中考数学一模 ）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1
个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．www.21-cn-jy.com
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
第三章函数 第9节 平面直角坐标系和函数的概念
■知识点一：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个象限2·1·c·n·j·y
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组有序实数对来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的 横 坐标，B是点A的 纵坐标．
■知识点二：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限(+，+) ； 第二象限（—，+） ；
第三象限（一，一）；第四象限（+，一）．
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0 ；
若点P在y轴上，则a=0 ；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b ；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
■知识点三：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P(a，b)关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P(a，b)关于原点的对称点P’（一a，一b） ．
■知识点四：坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
⑤线段PM的中点坐标：()
■知识点五：函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
失分点警示
函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.
■知识点六：函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生 变化 的量叫做变量． 21世纪教育网版权所有
(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．【来源：21·世纪·教育·网】
(3)函数的表示方法：①解析式法；② 图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
■知识点七：函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，
再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
1.（2017年贵州省六盘水市中考数学）已知A（﹣2，1），B（﹣6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为（ ， ）．www-2-1-cnjy-com
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：∵A（﹣2，1），B（﹣6，0），
∴建立如图所示的平面直角坐标系，
∴C（﹣1，1）．
故答案为：﹣1，1．
◆变式训练
（2015?绵阳第14题，3分）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 （2，﹣1） ．【版权所有：21教育】
【分析】根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可．
解：因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），
所以可得点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
2.（2016年湖南省衡阳市中考数学 ）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
【考点】点的坐标．
【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可．
解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，
∴，
解得：x＞2．
故答案为：x＞2．
◆变式训练
（2016·湖北荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（ ）21*cnjy*com
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，
∴a＞0，﹣b＞0，
∴b＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．
故选D．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2016·湖北武汉 ）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
【考点】关于原点对称的点的坐标．
解：关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
∵点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，
∴a＝－5，b＝－1，
故选D．
◆变式训练
（2015?湖南湘西州在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B． （2，﹣1） C． （2，1） D． （﹣2，﹣1）
【考点】关于原点对称的点的坐标．.
【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．
解：∵点A坐标为（﹣2，1），
∴点B的坐标为（2，﹣1）．
故选B．
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2016?长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）21教育网
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．
解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，
∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．21cnjy.com
◆变式训练
（2016?青岛）如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点P'在A1B1上的对应点P的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）
【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．
解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a﹣2，b+3）
故选A．
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
(2016湖南省娄底中考) 函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故选A．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
■考点6.函数图象的判断
◇典例
3.（2017年义乌、绍兴、金华市中考数学 ）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．21*cnjy*com
故选：D．
◆变式训练
（2017年黑龙江省鹤岗）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
解：先注甲速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，
故选：D．
（2016眉山）已知点M（1- 2m，m-1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确
的是 ( )
【答案】 B
（2016武汉）已知点（，1）与点(5，)关于坐标原点对称，则实数、的
值是 ( )
A．, B．, C., D.,
【答案】 D
（2016成都）平面直角坐标系中，点P( -2，3)关于轴对称的点的坐标为 ( )．
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（-3，-2） D．（3，-2）
【答案】 A
（2017年贵港市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，
4﹣2m＜﹣2，
所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；
②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，
4﹣2m＞﹣2，
点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
(2017西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到
点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( B )
A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)
【方法总结】点平移，横坐标左减右加，纵坐标上加下减．关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数．21教育名师原创作品
（2017年台州市中考数学 ）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间
的关系为 ，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（??? ）
A．B、C、 D．
【考点】反比例函数的定义，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】I=， 电压U一定时，电流I关于电阻R的函数关系式为反比例函数，其图像为双曲线，根据反比例函数图像的性质，可知其图像在第一象限，故可得出正确答案。
解：∵I=（U＞0,R＞）
∴图像是在第一象限的双曲线的一个分支.
故选A．
（2017年海南省中考 ）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐
标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（3，﹣1）
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
解：如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．
故选：B．
（2015?湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）
的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是________?千米/分钟．
【考点】函数的图象
【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
解：由纵坐标看出路程是2千米，
由横坐标看出时间是10分钟，
小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟），
故答案为：0.2．
9.（2017年赤峰市中考 ）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为 ．
【考点】：规律型：点的坐标．
【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．
解：P1 坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），
∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，
∵2017=2016+1=4×504+1，
∴P2017 坐标与P1点重合，
故答案为（2，0）．
10.（2017年温州市中考数学 ）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；
解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，
∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，
△PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），
整数解为（2，1）等，△PAB如图所示．
（2015年浙江省金华市中考数学）点P（4，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
解：根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.故点P（4，3）位于第一象限.
故选A．
（2017?湖州）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是（?? ）
A.?????B.?? ?C.??? ??D.? 【考点】点的坐标
【分析】根根据在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点:横纵坐标均变符号，可得出答案. 解：依题可得：P′（-1，-2）. 故答案为：D
（2017?绍兴模拟）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲：从学校向北直走500米，再向东直走100米可到图书馆； 乙：从学校向西直走300米，再向北直走200米可到博物馆； 丙：博物馆在体育馆正西方向200米处． 根据三人的描述，若从图书馆出发，其终点是体育馆，则下列描述正确的是（ ）
A．向南直走300米，再向西直走200米
B．向南直走300米，再向西直走600米
C．向南直走700米，再向西直走200米
D．向南直走700米，再向西直走600米
【考点】坐标确定位置．
【分析】以学校为坐标原点画出直角坐标系，1个单位长表示100m，描出图书馆、邮局、火车站的位置，然后根据图书馆和火车站的坐标进行判断．
解：如图，以学校为坐标原点画出直角坐标系，1个单位长表示100m， ， 从图书馆出发，向南直走300米，再向西直走200米可到体育馆． 故选：A．
（2015年杭州市开发区）函数y=中，自变量x的取值范围（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：根据题意得，4﹣x≥0，
解得x≤4．
故选D．
（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B
地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早小时
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．
解：A．由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；
B、∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，
故乙行驶全程所用时间为：=1（小时），
由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，
故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），
故甲车的速度为：=80（km/h），
故B选项正确，不合题意；
C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；
D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1=（小时），故此选项错误，符合题意．
故选：D．
（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为
AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据三角形面积得出S△PAB=PE?AB；S△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN?PB+PA?MQ，进而得出y=，即可得出答案．
解：连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N
∴S△PAB=PE?AB；
S△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN?PB+PA?MQ，
∵矩形ABCD中，P为CD中点，
∴PA=PB，
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN?PB+PA?MQ=PB（QM+QN）=PB?y，
∴S△PAB=PE?AB=PB?y，
∴y=，
∵PE=AD，
∴PE，AB，PB都为定值，
∴y的值为定值，符合要求的图形为D，
故选：D．
（2016年浙江省衢州市中考数学 ）如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的
一点（不与A．B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）【出处：21教育名师】
A． B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】由△DEB∽△CMB，得==，求出DE、EB，即可解决问题．
解：如图，作CM⊥AB于M．
∵CA=CB，AB=20，CM⊥AB，
∴AM=BM=15，CM==20
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠CMB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△DEB∽△CMB，
∴==，
∴==，
∴DE=，EB=，
∴四边形ACED的周长为y=25+（25﹣）++30﹣x=﹣x+80．
∵0＜x＜30，
∴图象是D．
故选D．
（2016年浙江省温州市中考数学 ）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P
是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，
h==，
∵PD∥BC，
∴=，
∴AD=2x，AP=x，
∴S1+S2=?2x?x+（2﹣1﹣x）?=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．
故选C．
（2016年浙江省衢州市中考数学 ）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），
B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A．B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
（2015?台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴
的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置． 则椒江区B处的坐标是 ____________
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．
解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点， 由题意，得AB=16，∠ABC=30°， AC=8，BC=8． OC=OA+AC=10， B（10，8）．
（2016年浙江省杭州市中考数学试卷含答案解析）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），
B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标；平行四边形的判定与性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
（2016年宁波市中考数学 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，
交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
【考点】反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以分别设出点A．点B的坐标，根据点O、A．B在同一条直线上可以得到A．B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．
解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
（2016年浙江省台州市中考数学 ）请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，
k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
【考点】函数的图象；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可．
解：（1）函数y=的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．
②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
（2017·金华）(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(?
2，?2)，B(?4,?1），C(?4,?4)．
(1)作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部【考点】坐标与图形性质，关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于圆点O对称的点，然后顺次连接即可； （2）作出点A关于X轴的对称点即可。再向右平移即可。 21·世纪*教育网
包括顶点和边界），求a的取值范围.
解：（1）如下图： （2）解：A′如图所示。
a的取值范围是4＜a＜6.
（宁波市慈溪市2015年中考数学一模 ）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1
个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【分析】（1）直接利用表格列举即可解答；
（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
解：（1）如下表，
﹣7
﹣1
3
﹣2
（﹣7，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（3，﹣2）
1
（﹣7，1）
（﹣1，1）
（3，1）
6
（﹣7，6）
（﹣1，6）
（3，6）
点A（x，y）共9种情况；
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是．
