30.2 二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
1．会用描点法画出y＝ax2的图像，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y＝ax2的二次函数图像和性质，并会应用．
一、情境导入
自由落体公式h＝gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2的图像
【类型一】图像的识别
已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图像有可能是( )
解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图像开口向上，函数y＝ax图像经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图像开口向下，函数y＝ax图像经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.
方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．
【类型二】实际问题中图像的识别
已知h关于t的函数关系式为h＝gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图像为( )
解析：根据h关于t的函数关系式为h＝gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝gt2图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.
方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义．
探究点二：二次函数y＝ax2的性质
【类型一】利用图像判断二次函数的增减性
作出函数y＝－x2的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：
(1)在y轴左侧图像上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2
(2)在y轴右侧图像上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？
解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．
解：(1)图像如图所示，由图像可知y1＞y2，(2)由图像可知y3方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．
【类型二】二次函数的图像与性质的综合题
已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
解析：(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．
(2)图像的开口向下，则m＋3＜0；
(3)函数有最小值，则m＋3＞0；
(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
解：(1)根据题意，得解得∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数．
(2)∵图像开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值．
(4)当m＝－4时，此函数为y＝－x2，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
当m＝1时，此函数为y＝4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
探究点三：确定二次函数y＝ax2的表达式
【类型一】利用图像确定y＝ax2的解析式
一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图像经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．
解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A(2，－2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，－2)关于y轴的对称点B2(－2，－2)．
解：∵点B与点A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当y＝ax2的图像经过点B1(2，2)时，2＝a×22，∴a＝，∴y＝x2；当y＝ax2的图像经过点B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2)2，∴a＝－，∴y＝－x2.∴二次函数的关系式为y＝x2或y＝－x2.
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．
【类型二】二次函数y＝ax2的图像与几何图形的综合应用
已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：
(1)a，b的值；
(2)函数y＝ax2的图像的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标．
解析：直线与函数y＝ax2的图像交点坐标可利用方程求解．
解：(1)∵点A(1，b)是直线与函数y＝ax2图像的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴∴
(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(－3，－9)．
【类型三】二次函数y＝ax2的实际应用
如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．
解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－，∴抛物线的函数关系式为y＝－x2.
(2)当x＝1时，y＝－×12＝－.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－＝(米)．
方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图像与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.
第2课时 二次函数y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图像和性质
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像．
2．掌握形如y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k二次函数图像的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝a(x－h)2及y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图像解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
【类型一】y＝a(x－h)2的图像与性质的识别
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图像经过点(－4，2)，求a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝.
方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h.
【类型二】二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
【类型三】确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
能否向左或向右平移函数y＝－x2的图像，使得到的新的图像过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，设平移后的函数为y＝－(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”．
【类型四】y＝a(x－h)2的图像与几何图形的综合
把函数y＝x2的图像向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
探究点二：二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
【类型一】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式
将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A.
【类型二】y＝a(x－h)2＋k的图像与几何图形的综合
如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)
解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.
方法总结：二次函数的图像关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h) 2＋k图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．
3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：① abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.
方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．
【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C． a＞0
D．－1＜a＜2
解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．
【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别
已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图像如图所示，其中正确的是( )
解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－＜0，∴选项B，C错．故选择D.
方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数)，再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．
【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图像的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－3，－4)
解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图像的顶点为(1，－6)，故选择C.
方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得：解得∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6.
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)．∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
