22.3 实际问题与二次函数教案（2课时）

22.3 实际问题与二次函数（第1课时）
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
目标
1.经历探索实际问题中的最大高度、面积、利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力.
能力
目标
经历实际问题中的最大高度、面积、利润等问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展运用数学知识解决实际问题的能力.
情感
目标
体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．
教学
重点
探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法.
教学
难点
1．二次函数解决实际问题的方法；2.二次函数与最值问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
【回顾】1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________________，顶点坐标是______________.当x=_______时y有_____值是_______. .
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是__________ ，顶点坐标是_________.当x=______ 时，函数有最___ 值，是________ .
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是__________，顶点坐标是___.当x=____时，函数有最_____ 值，是________. .
【问题】从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位m）与小球运动时间t（单位：s）的关系式是h=30t-5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？
【归纳】结合问题，拓展一般
对于二次函数y=ax2+bx+c，如何求出它的最小（大）值呢？
复习引入，为学习实际问题与二次函数作好铺垫
学生独立完成并组内交流
让学生先独立思考，若有困难，教师给予帮助分析理解.
1.借助画函数图像解决问题
2.发现抛物线的定点就是这个函数图像的最高点.
3.求出抛物线的顶点坐标.
学生说出解题思路，学生先写出证明过程.
最后教师板书解题过程.
学生根据前面问题的解决方法，总结出求二次函数最小（大）值的方法
一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．
自
主
探
究
【探究1】用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

【探究2】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
归纳：利用二次函数解决实际问题的一般方法
分析：先写出s与l的关系式，再求出使s最大的l值。
首先矩形场地的周长是60m，一边长l，则另一边长为 ,场地面积s= 化简s= .
其次学生探讨自变量取值范围
最后求出顶点坐标，也是使S最大的l值．
教师与学生共同分析,寻找解决问题的方法,培养学生的探索精神,让学生初步感受数学教师引导学生参照问题的解法.
学生思考问题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
教师引导学生类比前面解决问题的方法，畅所欲言对于探究2的解决策略
学生思考自变量取值范围
解决涨价时的最大利润
学生独立解决若是降价，设未知量，求取最大利润
学生最后讨论由前面的分类讨论的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
最后学生思考解决最大利润问题的思路
教师引导学生整理上面解决问题的步骤，分析方法
学生思考会回答，师生共同归纳：
(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值
尝
试
应
用
1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　)　
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元．
3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
请同学们完成解答； 教师巡视、指导；
师生共同完成解答过程
教师要注意让学生呈现解题的思路和方法
明确所用等量关系
巩固训练，引导学生辅助上面解决问题的经验解决此问题。
巩固本节课所学的内容，再次体会二次函数的最小（大）值的结论与已有知识综合运用用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：
(5)解决提出的实际问题。
补
偿
提
高
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少
本例是考查实际问题与二次函数的最大利润问题，解决本题的关键是熟练找出题目中的变量之间的关系，应用利润等量关系式。
证明略
教师指导性完成
注意学生解题过程的完善，以及学困生的掌握程度
小
结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2. 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？
3.你还有哪些疑惑？
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法
一般地,当a﹥0(a﹤0)时抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点是最低(高)点, 所以当 二次函
数y = ax2+bx+c 有最小(大)值
作
业
必做：教科书习题22.3 第2、4题.
选做：第8题
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
三、【板书设计】

实际问题与二次函数
一般地,当a﹥0(a﹤0)时抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点是最低(高)点,
所以当 二次函数y = ax2+bx+c 有最小(大)值
探究 学生板演
四、【教后反思】
22.3 实际问题与二次函数（第2课时）
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
目标
通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
能力
目标
经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.
情感
目标
通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
教学
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
教学
难点
读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
【回顾】
1.图中所示的二次函数图像的解析式为：

（1）该二次函数存在最( )值是( ).
（2）若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）.
(3)又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）.
2.思考求函数的最值问题，应注意什么?
【情境引入】欣赏一组石拱桥的图片，观察桥拱的形状．
学生课前独立完成并小组交流
，通过题目复习二次函数的最值，同时防止进入最值就是顶点的误区，因此强化在求最值时需要先确定自变量的取值范围.
学生总结最值的注意事项，明确最值需考虑自变量取值范围.
教师出示图片．学生观察图片发表见解．引出本节课探究内容.
自
主
探
究
【探究3】下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
思考：如何建立平面直角坐标系
能更简洁的解决问题？

【归纳】建立二次函数模型解决拱桥问题的一般步骤
教师引导学生审题，由抛物线联想到二次函数，从而根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？
教师展示图片并提出问题；学生观察图片，自主分析，得出结论.
设二次函数，用抛物线知识解决
教师关注：
（1）二次函数是生活中实际问题的模型，可以解决现实问题；
（2）通过数学模型的使用，感受数学的应用价值．
为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．
小组活动——归纳总结
⑴考察实物（抛物线形）；
⑵选建坐标系；
⑶化距离成坐标；
⑷构建二次函数；
⑸解决实际问题.
尝
试
应
用
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m. 试写出涵洞所在抛物线的函数表达式．
2. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？

教师提出问题
学生独立思考解答. 对教材知识加固.
学生独立完成．
教师关注：
（1）学生能否独立找到两个变量之间的关系；
（2）由已给抛物线图象如何求解析式；
（3）如果题中不给图象，关注学生怎样建立抛物线模型.
引导学生审题，从题目中提取有用信息，从而将实际问题转化为数学问题.
独立思考后小组交流思路，板书解题过程.
最后学生总结实际问题建立二次函数模型的解题方法和技巧.
补
偿
提
高
1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的和距离都是1m, 拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系.（1）求抛物线的解析式（2）求两盏景观丁之间的水平距离.
针对前几个环节出现的问题，进行针对性的补偿，对学有余力的学生拓展提高.
教师指导性完成
小
结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2. 你还有哪些疑惑？
学习小组内互相交流，讨论，展示.
1.对于像抛球、拱桥跨度等实际问题情景的分析，建立二次函数的数学模型，利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
2.对于没有平面直角坐标系的实际问题，要先根据实际建立适当的平面直角坐标系，然后转化为二次函数的问题，利用二次函数的性质解决问题.
作
业
必做:课本习题22.3第3、5题.
选做：第6题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
三、【板书设计】
22.3实际问题与二次函数（第2课时）
建立适当的坐标系解决实际问题
探究3的解答过程
课堂练习的解答过程
课堂小结
布置作业
四、【教后反思】