第九章 实际问题与一元一次不等式辅导讲义

课题
实际问题与一元一次不等式辅导讲义
教学目标
1、会列出一元一次不等式解决实?际问题。?
2、熟练掌握一元一次不等式的?解法
教学重点/难点
?重点是弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式；难点是寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。
教学过程
教师活动
学生活动
上节课作业检查及知识点回顾，解决上节课遗留的问题
本节课知识点讲解：
（1）列不等式解决实际问题的一般思路和步骤。
（2）一些实际问题中的数量关系。
（3）一些不等关键词的数学表达。
本节课重点题型讲解分析
本节课常考知识点对应的题型及解题思路和方法总结，如：数学建模思想。
整理上节课所留作业中典型试题的解题方法
回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部分
课堂笔记及教师补充知识点的记录
重点知识点对应典型试题训练，并且通过训练归纳总结常考题型的解题思路和方法
知识点总结
上节课知识点回顾:
1．一元一次不等式的概念
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．
2．不等式的解和解集
不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示．
3．不等式的性质
性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c．
性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或>）．
性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac）．
不等式的其他性质：①若a>b，则bb，b>c，则a>c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a≤0，则a=0．
4．一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
本节知识讲解:
1．一元一次不等式的应用
1、列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．
2、列不等式解决实际问题的一般思路和步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如：、“大于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：解所列的不等式；
（5）答：写出答案，并检验是否符合题意。
详解：（1）列不等式的关键在于确定不等关系；
（2）求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；（3）构建不等关系解应用题的流程如图所示
2、实际问题中的数量关系：
1. 和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
2. 等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：
状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积。

3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
4. 比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和＝总量。
5. 数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
?6. 工程问题：
　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
7. 行程问题：
　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。
　　（2）基本类型有
　　　　① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
8. 利润赢亏问题
（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
（2）有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率
9. 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）
不等关键词：
“大于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”、“至多”、“不少于”“低于”…….
例题/课上习题
例题解析
例1 解不等式≥x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．
【解答】去分母，得
4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60．
去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60
移项合并同类项，得-27x≥-54
系数化为1，得x≤2．在数轴上表示解集如图所示．
【点评】①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．
例2 若实数a<1，则实数M=a，N=，P=的大小关系为（ ）
A．P>N>M B．M>N>P C．N>P>M D．M>P>N
【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a>1内的任意值即可；其二，用作差法和不等式的传递性可得M，N，P的关系．
【解答】方法一：取a=2，则M=2，N=，P=，由此知M>P>N，应选D．
方法二：由a>1知a-1>0．
又M-P=a-=>0，∴M>P；
P-N=-=>0，∴P>N．
∴M>P>N，应选D．
【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定．如，当a>1时，A与2a-2的大小关系不确定，当12a-2；当a=2时，a=2a-2；当a>2时，a<2a-2，因此，此时a与2a-2的大小关系不能用特征法．
例3 若不等式-3x+n>0的解集是x<2，则不等式-3x+n<0的解集是_______．
【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，再利用解集的等价性求出n的值，进而得到另一不等式的解集．
【解答】∵-3x+n>0，∴x<，∴=2
即n=6
代入-3x+n<0得：-3x+6<0，∴x>2
例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲
乙
价格/（万元/台）
7
5
每台日产量/个
100
60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【解析】（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解．
（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，则
7x+5（6-x）≤34
解得x≤2
又x≥0
∴0≤x≤2
∴整数x=0，1，2
∴可得三种购买方案：
方案一：购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台．
（2）列表如下：
日生产量/个
总购买资金/万元
方案一
360
30
方案二
400
32
方案三
440
34
由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．
【点评】①部分实际问题的解通常为整数；②方案的各种情况可以用表格的形式表达．
例5某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．
（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？
（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？
【分析】（1）五月份工人加工的最少套数为150×60%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为（200+150×60%x），由题意得200+150×60%x≥450；
（2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y≥1200．
【解答】（1）设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%×150x≥450．
解得：x≥2.78．
因此，该企业每套至少应奖励2.78元；
（2）设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y≥1200，
解得y≥200．
【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．
例6 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
分析：“超过90分”是什么意思？本题的不等关系是什么？
“超过90分”就是大于90分；不等关系是：答对的得分-答错或不答的扣分＞90。
解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x。根据他的得分要超过90，得
10x-5(20-x) ＞90
10x-100+5x ＞90
15x ＞90
∴x ＞38/3
思考： 这是本题的答案吗？为什么？
这不是本题的答案。因为x是正整数且不能大于20，所以 小明至少要答对13题。
例7 2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？
分析：2002年北京空气质量良好的天数是多少？用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？
2002年北京空气质量良好的天数是365×55%;2008年北京空气质量良好的天数是x+365×55%;不等关系是:2008年北京空气质量良好的天数÷366 ＞70%.
解：设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x天，依题意，得
（x+365×55%）/366 ＞70%
去分母，得
x+200.5 ＞256.2
移项，合并同类项，得 x＞55.45
思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？
不是。因为x为正整数。
∴x≥56
答：2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。
注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。例1与例2中的未知数都应是正整数。
◆强化训练
一、填空题
1．若不等式ax1，则a的取值范围是______．
2．不等式x+3>x的负整数解是_______．
3．不等式5x-9≤3（x+1）的解集是______．
4．满足≥的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______．
5．某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品．
二、选择
6．如果不等式+1>的解集是x<，则a的取值范围是（ ）
A．a>5 B．a=5 C．a>-5 D．a=-5
7．关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．-3
C．-2 D．-1
8．初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P>R>S>Q B．Q>S>P>R
C．S>P>Q>R D．S>P>R>Q
三、解答题
10．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）； （2）x-3≥．
11．王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？
12．甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
13．福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．
（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？
（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？
14．某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；
（2）若要使每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
15．足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
（2）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？
（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标
答案:
1．a<0 2．-5，-4，-3，-2，-1
3．x≤6 4．-19
5．7
6．B 7．D 8．C 9．D
10．（1）x≥-2 （2）x≥7 数轴上表示略
11、设她在甲商场购物x元（x>100），就比在乙商场购物优惠，
由题意得：100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50）
∴x>150
答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠．
12．（1）在甲超市购物所付的费用是：
300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元；
在乙超市购物所付的费用是：
200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元．
（2）当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x+60>0.85x+30时，解得x<600，而x>300，∴300即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
13．（1）设应安排x名工人制作衬衫，由题意得：
3x=5×（24-x）
∴x=15
∴24-x=24-15=9
答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子．
（2）设应安排y名工人制作衬衫，由题意得：
3×30y+5×16×（24-y）≥2100
∴y≥18
答：至少应安排18名工人制作衬衫．
14．（1）依题意，得
y=150×6x+260×5（20-x）=-400x+26000（0≤x≤20）．
（2）依题意得，-400x+26000≥24000．
解得x≤5，20-x=20-5=15．
答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．
15．（1）设这支球队胜x场，则平了（8-1-x）场，
依题意得：3x+（8-1-x）=17，解得x=5．
答：前8场比赛中这支球队共胜了5场．
（2）最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为：
17+3×（14-8）=35（分）．
答：这个球打完14场最高得分为35分．
（3）设胜x场，平y场，总分不低于29分，可得
17+3x+y≥29，3x+y≥12，x+y≤6
∵x，y为非负整数，
∴x=4时，能保证不低于12分；
x=3，y=3时，也能保证不低于12分．
所以，在以后的比赛中至少要胜3场才能有可能达到预期目标。
课后习题
一、填空题
1、已知2－3x2＋2k＞1是关于x的一元一次不等式，则k= ，不等式的解集是 ．
2、不等式≥的正整数解是 ．
3、当 x 时，代数式的值是正数；当x 时，代数式的值是负数；当x 时，代数式的值为非负数．
4、当a 时，不等式（a－5）x＞1的解集为x＜．
5、不等式-2<的最小整数解为 ．
6、若不等式组的解集为x<2，则a 的取值范围为 ．
7、实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示则a、a+c、a-b、a-c的大小关系是 ．

C b 0 a
（第10题图）
8．不等式4（x+1）≥6x-3的正整数解为______．
9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于______．
10．若不等式a（x-1）>x-2a+1的解集为x<-1，则a的取值范围是______．
11．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔．
12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．
二、选择题
13．不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）

14、实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A、b＋c＞0 B、a＋b＜a＋c C、ac＞bc D、ab＞ac
15、若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（ ）
A、a＜1＜ B、a＜＜1 C、＜a＜1 D、1＜＜a
16、不等式23＞7＋5x的正整数解的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
17、若不等式(a＋1)x＞a＋1的解为x＜1，则a必须满足（ ）
A、a＜0 B、a＜1 C、a＜－1 D、a＞－1
18、若a≠0，a，b互为相反数，则不等式ax＋b＜0的解集为（ ）
A、x＞1 B、x＜1 C、x＜1或x＞1 D、x＜－1或x＞－1
19．某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：
三好学生
优秀学生干部
优秀团员
市级
3
2
3
校级
18
6
12
已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为（ ）
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
解答题
20、解不等式：3(x－1)＜4(x―2)―3
21、已知方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)＞8a，求a的取值范围．
四、探究与应用
22、已知y1=，y2=－3
（1）若y1 ＞y2，则x的取值范围是什么？
（2）若y1 ＝y2，则x是多少？
（3）若y1 ＜y2，求x的取值范围．
23．宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？
参考答案
一、1、－,x＜； 2、x＜2；3、x＞－2,x＞,x≥； 4、＜5； 5．1，2，3 6．1 7．a<1 8、 a2；9、-111、 a2；12、．
二、13、B 14 、D 15、A 16 C 17、C 18、C；19 A．
三、20、x＞8；
21、a＜－；
四、22、（1）x＜ ； (2) x=； (3) x＞.
23．设去年招收“宏志班”学生x名，普通班学生y名．
由条件得：
将y=550-x代入不等式，可解得x≥100．
于是（1+10%）x≥110，
答：今年最少可招收“宏志班”学生110名．