第三章函数 第10节 一次函数
■知识点一：一次函数的定义
?形如y=__ _(k、b为常数，k_ _)的函数叫做一次函数。当b_ __时，函数y=_ __(k__≠0__)叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_ _次
⑵自变量X的系数为常数。
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■知识点二：一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而
y随x的增大而
■知识点三：用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■知识点四：两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标. 二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■知识点五：一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■知识点六：一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。21cnjy.com
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。2·1·c·n·j·y
■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2016齐齐哈尔）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设
△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，
∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．
∵点A的坐标为（4，0），
∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），
∴C符合．
故选C．
（2016荆州）若点M（k-l，k+l）关于轴的对称点在第四象限内，则一次函数
的图象不经过第 象限。
解题点拨：首先根据平面直角坐标系内关于轴对称的点的坐标特征确定点M所处的象限，然后确定的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案。21·世纪*教育网
◆变式训练
（2017?泰安）已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自
变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
（2017?大庆）对于函数y=2x-1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2015浙江湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=?2时，y=?4，求这
个一次函数的解析式．
【分析】设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 分别将x=3，y=1和x=?2，y=?4分别代入y=kx+b得方程组，解这个方程组即可求得k、b的值，也就求得了函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 将x=3，y=1和x=?2，y=?4分别代入y=kx+b得，,21*cnjy*com
解这个方程组得，．
∴所求一次函数的解析式为y=x—2．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
◆变式训练
(2017楚雄一模)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB
上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是( )
A．y＝x＋5 B．y＝x＋10 C．y＝－x＋5 D.y＝－x＋10
（2016?厦门）已知一次函数y=kx+2，当x=-1时，y=1，求此函数的解析式，并在平面
直角坐标系中画出此函数图象．
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2016·陕西）已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这
两个一次函数的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】根据k的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据b的情况即可求得交点的位置．
解：∵一次函数y=kx+5中k＞0，
∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y=k′x+7中k′＜0，
∴一次函数y=k′x+7的图象经过第一、二、四象限．
∵5＜7，
∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限，
故选A．
如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.
(1)求点B的坐标；
(2)求sin∠BAO的值．
解：(1)解方程组得
所以B点坐标为(1，2)；
(2)作BC⊥x轴于点C.
当y＝0时，x＋＝0，
解得x＝－3，则A(－3，0)，
∴OA＝3，
而OC＝1，BC＝2，AC＝AO＋OC＝3＋1＝4，
∴AB＝＝2，
∴sin∠BAC＝＝＝，
即sin∠BAO＝.
◆变式训练
（2017?大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为______________（用含m的代数式表示）．
（2017?福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n
的值可以是（?? ）
A.?3??? ??B.?4???? ?C.?5??????D.?6
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：（广安市2017年中考）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出P′点坐标，再求出k的值，再利用一次函数平移的性质得出答案．www-2-1-cnjy-com
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，
解得：k=﹣5，
则y=﹣5x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣5x+5．
故答案为：y=﹣5x+5．
◆变式训练
（2017年毕节地区中考）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（ ）
A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2016·广西桂林·3分）如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）【出处：21教育名师】
A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，
故选D
◆变式训练
（2015滩坊）如图，正比例函数()的图象与反比例函数（）的图象交于点A(n，4)和点B，轴，垂足为M。 21*cnjy*com
若△AMB的面积为8，则满足的实数的取值范围是 。
（2016广州）若一次函数y= ax+6的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中
总是成立的是 ( )
B. C. D.
（2016温州）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上
任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）21教育名师原创作品
A．y＝x＋5 B．y＝x＋10 C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10
（2017?上海）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象
限，那么k、b应满足的条件是（?? ）
A.k＞0，且b＞0? B.k＜0，且b＞0? ?C.k＞0，且b＜0? ?D.k＜0，且b＜0
（2017年浙江省温州市中考数学一模）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是
（ ）
A．（0，﹣4） B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）
（2015济南）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，
则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞－2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
（2017?赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（?? ）www.21-cn-jy.com
A.y=2x﹣5????B.?y=2x+5???C.?y=2x+8????D.?y=2x﹣8
（2017?贵阳）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（?? ）
A.2 B.4 C.6 D.8
8.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数
图象上的是（ ）
A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6）
C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）
9.（2017?株洲）如图示直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点
A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为________．
10.（2016北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y
＝2x相交于B(m，4)．
（1）求直线l1的表达式；
（2）过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C、D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
11.（2016绥化）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B，
在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．
（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
（2017年温州市中考数学 ）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象
上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
（2017?绥化）在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在
（?? ）
A.?第一象限? ?B.?第二象限 ??C.?第三象限??? D.?第四象限
（2017?毕节市）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（?? ）
A.y=2x﹣2?????B.?y=2x+1??????C.?y=2x??????D.?y=2x+2
（2017?湘潭）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（?? ）
A.?x≥2??????B.?x≤2?????C.?x≥4????????D.?x≤4
（2017?天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k
的值可以是________（写出一个即可）．
2017?海南）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1 ， y1）、
P2（x2 ， y2）两点，若x1＜x2 ， 则y1________y2（填“＞”，“＜”或“=”）
（2017?孝感）如图，将直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），
且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为________．
三.解答题
（2011?杭州）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．
（2017·台州）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点P（1，b）
(1)求b，m的值
(2)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值
（2015?湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个
一次函数的解析式．
（2017年杭州市中考数学 ）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．2-1-c-n-j-y
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
（2016年浙江省台州市中考数学 ）【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按
“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；21·cn·jy·com
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）【来源：21·世纪·教育·网】
（017?湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次
性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为 万元；放养 天的总成本为 万元（总成本=放养总费用+收购成本）． 【来源：21cnj*y.co*m】
(1)设每天的放养费用是 万元，收购成本为 万元，求 和 的值；
(2)设这批淡水鱼放养 天后的质量为 （ ），销售单价为 元/ ．根据以往经验可知： 与 的函数关系为 ； 与 的函数关系如图所示． ①分别求出当 和 时， 与 的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养 天后一次性出售所得利润为 元，求当 为何值时， 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本） 【版权所有：21教育】
（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连
结OB，D为OB的中点。点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。 21*cnjy*com
(1)如图1，当t=3时，求DF的长；
(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。
第三章函数 第10节 一次函数
■知识点一：一次函数的定义
?形如y=__y＝kx＋b_____(k、b为常数，k_≠0_____)的函数叫做一次函数。当b_=0____时，函数y=_kx___(k__≠0__)叫做正比例函数。?21教育名师原创作品
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_1__次
?⑵自变量X的系数为常数。
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■知识点二：一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
■知识点三：用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■知识点四：两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标. 二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■知识点五：一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■知识点六：一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。【来源：21·世纪·教育·网】
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。www-2-1-cnjy-com
■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2016齐齐哈尔）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设
△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，
∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．
∵点A的坐标为（4，0），
∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），
∴C符合．
故选C．
（2016荆州）若点M（k-l，k+l）关于轴的对称点在第四象限内，则一次函数
的图象不经过第一 象限。
解题点拨：首先根据平面直角坐标系内关于轴对称的点的坐标特征确定点M所处的象限，然后确定的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案。21世纪教育网版权所有
◆变式训练
（2017?泰安）已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自
变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
【考点】一次函数的性质．
【分析】由一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k-2＜0、-m＜0，解之即可得出结论．21教育网
解：∵一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k-2＜0，-m＜0， ∴k＜2，m＞0． 故选A．21·cn·jy·com
（2017?大庆）对于函数y=2x-1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据一次函数的性质进行计算即可．
解：A、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误；
B、函数y=2x-1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误；
C、函数y=2x-1中，k=2＞0，b=-1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误；
D、当x＞1时，2x-1＞1，则y＞1，故y＞0正确，故本选项正确．
故选：D．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2015浙江湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=?2时，y=?4，求这
个一次函数的解析式．
【分析】设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 分别将x=3，y=1和x=?2，y=?4分别代入y=kx+b得方程组，解这个方程组即可求得k、b的值，也就求得了函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 将x=3，y=1和x=?2，y=?4分别代入y=kx+b得，,www.21-cn-jy.com
解这个方程组得，．
∴所求一次函数的解析式为y=x—2．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
◆变式训练
(2017楚雄一模)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB
上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是( C )【版权所有：21教育】
A．y＝x＋5 B．y＝x＋10 C．y＝－x＋5 D.y＝－x＋10
（2016?厦门）已知一次函数y=kx+2，当x=-1时，y=1，求此函数的解析式，并在平面
直角坐标系中画出此函数图象．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象．
【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式得到一元一次方程，求解即可得到k的值，写出解析式即可． （2）先求出与两坐标轴的交点，再根据两点确定一条直线作出图象．
解：（1）将x=-1，y=1代入一次函数解析式：y=kx+2， 可得1=-k+2， 解得k=1 ∴一次函数的解析式为：y=x+2； （2）当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2， 所以函数图象经过（0，2）；（-2，0）， 此函数图象如图所示，
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2016·陕西）已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这
两个一次函数的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】根据k的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据b的情况即可求得交点的位置．
解：∵一次函数y=kx+5中k＞0，
∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y=k′x+7中k′＜0，
∴一次函数y=k′x+7的图象经过第一、二、四象限．
∵5＜7，
∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限，
故选A．
如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.
(1)求点B的坐标；
(2)求sin∠BAO的值．
解：(1)解方程组得
所以B点坐标为(1，2)；
(2)作BC⊥x轴于点C.
当y＝0时，x＋＝0，
解得x＝－3，则A(－3，0)，
∴OA＝3，
而OC＝1，BC＝2，AC＝AO＋OC＝3＋1＝4，
∴AB＝＝2，
∴sin∠BAC＝＝＝，
即sin∠BAO＝.
◆变式训练
（2017?大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为______________（用含m的代数式表示）．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y=2x+b经过点A时，得出b=m-6；当直线y=2x+b经过点B时，得出b=m-4；即可得出答案．
解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
∴线段AB∥y轴，
当直线y=2x+b经过点A时，6+b=m，则b=m-6；
当直线y=2x+b经过点B时，6+b=m+2，则b=m-4；
∴直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为m-6≤b≤m-4；
故答案为：m-6≤b≤m-4．
（2017?福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n
的值可以是（?? ）
A.?3??? ??B.?4???? ?C.?5??????D.?6 【考点】一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系
【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，即可得到结论． 解：依题意得： ， ∴k=n﹣4， ∵0＜k＜2， ∴0＜n﹣4＜2， ∴4＜n＜6， 故选C．
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：（广安市2017年中考）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出P′点坐标，再求出k的值，再利用一次函数平移的性质得出答案．2·1·c·n·j·y
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，
解得：k=﹣5，
则y=﹣5x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣5x+5．
故答案为：y=﹣5x+5．
◆变式训练
（2017年毕节地区中考）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（ ）
A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答．
解：根据题意，将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为：
y=2（x+1）﹣1，即y=2x+1，
故选B．
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2016·广西桂林·3分）如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）21*cnjy*com
A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，
故选D
◆变式训练
（2015滩坊）如图，正比例函数()的图象与反比例函数（）的图象交于点A(n，4)和点B，轴，垂足为M。 21*cnjy*com
若△AMB的面积为8，则满足的实数的取值范围是 。
解题点拨：由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程，解方程求出n的值，然后利用图象可知满足的实数的取值范围。
（2016广州）若一次函数y= ax+6的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中
总是成立的是 ( )
B. C. D.
故选C
（2016温州）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上
任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）21教育名师原创作品
A．y＝x＋5 B．y＝x＋10 C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10
故选C
（2017?上海）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象
限，那么k、b应满足的条件是（?? ）
A.k＞0，且b＞0? B.k＜0，且b＞0? ?C.k＞0，且b＜0? ?D.k＜0，且b＜0 【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质得出即可． 解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， 故选B．
（2017年浙江省温州市中考数学一模）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是
（ ）
A．（0，﹣4） B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【考点 】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标．
解：令x=0，得y=2×0+4=4，
则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：B．
（2015济南）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，
则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞－2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
故选C
（2017?赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（?? ）
A.y=2x﹣5????B.?y=2x+5???C.?y=2x+8????D.?y=2x﹣8 【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据函数图象上加下减，可得答案． 解：由题意，得 y=2x﹣3+8， 即y=2x+5， 故选：B．
（2017?贵阳）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（?? ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】把y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8）分别代入y=﹣x+a和直线y=x+b求出a，b的值即可. ∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8）， ∴8=﹣2+a，8=2+b， 解得：a=10，b=6， ∴a﹣b=4， 答案为：B．
（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6）
C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）
【考点 】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M的坐标求出k的值，再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．
解：设正比例函数的解析式为y=kx，
A．﹣3=2k，解得：k=﹣，
﹣4×（﹣）=6，6=6，
∴点N在正比例函数y=﹣x的图象上；
B、3=﹣2k，解得：k=﹣，
4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，
∴点N不在正比例函数y=﹣x的图象上；
C、﹣3=﹣2k，解得：k=，
4×=6，6≠﹣6，
∴点N不在正比例函数y=x的图象上；
D、3=2k，解得：k=，
﹣4×=﹣6，﹣6≠6，
∴点N不在正比例函数y=x的图象上．
故选A．
（2017?株洲）如图示直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点
A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为________． 【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0， ），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算． 解：当y=0时， x+ =0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0）， 当x=0时，y= x+ = ，则B（0， ）， 在Rt△OAB中，∵tan∠BAO= = ， ∴∠BAO=60°， ∴AB= =2， ∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度= = π． 故答案为 π．21cnjy.com
（2016北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y
＝2x相交于B(m，4)．
（1）求直线l1的表达式；
（2）过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C、D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：（1）∵点B在直线l2上，∴4＝2m，∴m＝2，则B(2，4)，设l1的表达式为y＝kx＋b，由A、B两点均在直线上得到，，解得：．
则直线l1的表达式为y＝x＋3．
（2）由图可知：C(＋3，n)，D(2n，n)，由于点C在点D的上方，得到＋3＞2n，解得：n＜2．
（2016绥化）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B，
在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．
解：分两种情况：
①如图1，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝3，∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DE⊥OA，∴DE＝AE，∵四边形COED是正方形，∴OE＝DE，∴OE＝AE，∴OE＝OA＝，∴E(，0)；
②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF＝OF，AF＝EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF，∴AF＝CF＝2OF，∴OA＝OF＋2OF＝3，∴OF＝1，∴F(1，0)．
（2016年杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点 】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据k、b的符号确定直线的变化趋势和与y轴的交点的位置即可．
解：∵k＞0，
∴一次函数y=kx﹣b的图象从左到右是上升的，
∵b＜0，一次函数y=kx﹣b的图象交于y轴的正半轴，
故选A．
（2017年温州市中考数学 ）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象
上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
【考点 】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．
解：∵点（﹣1，y1），（4，）在一次函数y=3x﹣2的图象上，
∴y1=﹣5，y2=10，
∵10＞0＞﹣5，
∴y1＜0＜y2．
故选B．
（2017?绥化）在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在
（?? ）
A.?第一象限? ?B.?第二象限 ??C.?第三象限??? D.?第四象限 【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果． 解：直线y=4x+1过一、二、三象限； 当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限， 两直线交点可能在一或二象限； 当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限， 两直线交点可能在二或三象限； 综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在第四象限， 故选D．
（2017?毕节市）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（?? ）
A.y=2x﹣2?????B.?y=2x+1??????C.?y=2x??????D.?y=2x+2 【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答． 解：根据题意，将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为： y=2（x+1）﹣1，即y=2x+1， 故选B．
（2017?湘潭）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（?? ）
A.?x≥2??????B.?x≤2?????C.?x≥4????????D.?x≤4 【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】利用函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 解：不等式ax+b≥0的解集为x≤2．
故选B．
（2017?天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k
的值可以是________（写出一个即可）． 【考点】一次函数的图象，一次函数与系数的关系
【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可． 解：∵若正比例函数y=kx的图象在第二、四象限， ∴k＜0， ∴符合要求的k的值是﹣2， 故答案为：﹣2．
（2017?海南）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1 ， y1）、
P2（x2 ， y2）两点，若x1＜x2 ， 则y1________y2（填“＞”，“＜”或“=”） 【考点】一次函数的性质
【分析】根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1＜x2即可得出y1＜y2 ， 此题得解． 解：∵一次函数y=x﹣1中k=1， ∴y随x值的增大而增大． ∵x1＜x2 ， ∴y1＜y2 ． 故答案为：＜．
（2017?孝感）如图，将直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），
且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为________． 【考点】待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题
【分析】先作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y=﹣x﹣2，进而得到点B的坐标以及点B'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB'的解析式，即可得到点P的坐标．
解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求， 设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a， 把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2， ∴平移后的直线为y=﹣x﹣2， 令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2） ∴B'（0，2）， 设直线AB'的解析式为y=kx+b， 把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得， ，解得 ， ∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2， 令y=0，则x= ， ∴P（ ，0）， 故答案为：（ ，0）．
三.解答题
（2011?杭州）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题 【分析】本题需先根据已知条件写出直线AB、CD的解析式，再把方程组进行解答，即可求出直线AB，CD的交点坐标．
解：设直线AB方程为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）”， ∴ ， 解得： ， ∴直线AB的方程为：y=2x+6， 同理可得：直线CD方程为 解方程组 ， 得 ， 所以直线AB，CD的交点坐标为（﹣2，2）
（2017·台州）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点P（1，b）
(1)求b，m的值
(2)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值
【考点】待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题 【分析】（1）把点P（1，b）分别代入l1和l2,得到b和m的值. （2）将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标，根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.
（1）解：把点P（1，b）代入y=2x+1,得b=2+1=3， 把点P（1，3）代入y=mx+4,得m+4=3, ∴m=-1. （2）解：直线x=a与直线l1的交点C为（a,2a+1）,与直线l2的交点D为（a,-a+4）. ∵CD=2, ∴|2a+1-（-a+4）|=2, 即|3a-3|=2, ∴3a-3=2或3a-3=-2, ∴a=或a=.
（2015?湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个
一次函数的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式 【分析】一次函数解析式为y=kx+b，将x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式． 2-1-c-n-j-y
解：设一次函数解析式为y=kx+b， 将x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得： ， 解得：k=1，b=﹣2． 则一次函数解析式为y=x﹣2．
（2017年杭州市中考数学 ）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（1）利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．
解：设解析式为：y=kx+b，
将（1，0），（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；
（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，
把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=﹣2m+2，
∵m﹣n=4，
∴m﹣（﹣2m+2）=4，
解得m=2，n=﹣2，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
（2016年浙江省台州市中考数学 ）【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按
“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；21·世纪*教育网
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）【出处：21教育名师】
【考点 】一次函数综合题；一次函数的性质．
【分析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．
（2）分x1＞，x1＜，x1=三种情形解答即可．
（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，xn的值越来越接近两直线交点的横坐标．
②根据前面的探究即可解决问题．
解：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，
取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…
取x1=4，则x2x3=x4=4，…
取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．
当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．
当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大．
（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），
当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，
∴y1＞x1
∵y1=x2，
∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，
∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
（3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．
随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．
②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，
由消去y得到x=
∴由①探究可知：m=．
（017?湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次
性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为 万元；放养 天的总成本为 万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
(1)设每天的放养费用是 万元，收购成本为 万元，求 和 的值；
(2)设这批淡水鱼放养 天后的质量为 （ ），销售单价为 元/ ．根据以往经验可知： 与 的函数关系为 ； 与 的函数关系如图所示． ①分别求出当 和 时， 与 的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养 天后一次性出售所得利润为 元，求当 为何值时， 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）
【考点】解二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值 【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可. （2）通过图像找到相应的点的坐标，根据待定系数法分类列出方程组即可得到函数解析式；然后根据利润=销售总额-总成本=销售单价×销售天数-（放养总费用+收购成本），然后根据一次函数的特点和二次函数的最值求解即可.
（1）解：依题可得： 解得 答：a的值为0.04，b的值为30. （2）解：①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1. 把点（0，15），（50，25）的坐标分别代入得: 解得: ∴y与t的函数关系式为y=t+15. 当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2. 把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入得? : 解得 : ∴y与t的函数关系式为y=-t+30. ②由题意得，当0≤t≤50时， W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t ∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元） 当50＜t≤100时，W=（100t+15000）(-t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250 ∵-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250 综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.
（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连
结OB，D为OB的中点。点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。
(1)如图1，当t=3时，求DF的长；
(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。
【考点】矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，与一次函数有关的动态几何问题 【分析】（1）当t=3时，如图1，点E、D分别为AB、OB中点，得出DE//OA，DE=OA=4，根据OA⊥AB得出DE⊥AB，从而得出四边形DFAE是矩形，根据矩形性质求出DF=AE=3. （2）如图2，过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M、N,四边形OABC、DMAN都是矩形，由平行得出,,由D、M、N是中点又可以得出条件判断△DMF∽△DNE，从而得出tan∠DEF=。 （3）过D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分别是M,N；若AD将△DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点. 分点E到达中点之前或越过中点之后来讨论，得出 NE，由△DMF∽△DNE得 MF和AF的长度， 再算出直线AD的解析式，由点G为EF的三等分点得出G点坐标将其代入AD直线方程求出t值。
（1）解：当t=3时，如图1，点E为AB中点. ?∵点D为OB中点， ∴DE//OA，DE=OA=4， ∵OA⊥AB, ∴DE⊥AB, ∴∠OAB=∠DEA=90°, ?又∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90° ∴四边形DFAE是矩形， ∴DF=AE=3. （2）解：∵∠DEF大小不变，如图， 过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M、N, ∵四边形OABC是矩形， ∴OA⊥AB, ∴四边形DMAN是矩形， ∴∠MDN=90°，DM//AB,DN//OA, ∴,, ∵点D为OB中点， ∴M、N分别是OA、AB中点， ∴DM=AB=3,DN=OA=4, ∵∠EDF=90°, ∴∠FDM=∠EDN. 又∵∠DMF=∠DNE=90°, ∴△DMF∽△DNE ∴, ∵∠EDF=90°, ∴tan∠DEF= （3）解：过D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分别是M,N. 若AD将△DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点. ①当点E到达中点之前时. NE=3-t，由△DMF∽△DNE得 MF=（3-t）.
∴AF=4+MF=-t+.?
∵点G为EF的三等分点。
∴G（.t）. 由点A（8，0），D（4，3）得直线AD解析式为y=-χ+6. G(.t)代入，得t=. ②当点E越过中点之后. NE=t-3,由△DMF～△DNE得MF=（t-3）.
∴AF=4-MF=-+.
∵点G为EF的三等分点.
∴G (.).
代入直线AD解析式y=-χ+6.
得t=.
