1.1 命题与量词
课堂导学
三点剖析
一、判断一个语句是否是命题
【例1】 下列语句①是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时，2x＞0；④垂直于同一直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不平分吗？⑦把门关上.
其中不是命题的是_________.
解析：①是命题，能判断真假
②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假
③是命题，能作出判断的语句
④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断
⑤是命题 ⑥是命题
⑦不是命题，没法作出判断
故答案为：②④⑦
温馨提示
祈使句、疑问句一般不是命题。
二、判断命题及其真假
【例2】设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中为真命题的是( )
A.m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β
B.α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n
C.α⊥β，m⊥α，n∥βm⊥n
D.α⊥β，α∩β=m，n⊥mn⊥β
解析：对于选项A，反例如图，此时α、β成任意角.
对于选项C，反例如图，此时m∥n.
对于选项D，反例如图，此时①mβ或②n与β斜交.
答案：B
三、将命题改写成“若p则q”的形式
【例3】 将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假：
(1)偶数能被2整除
(2)奇函数的图象关于原点对称
(3)同弧所对的圆周角不相等
解析：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除.真命题.
(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称.真命题.
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.假命题.
温馨提示
“若p则q”命题形式的改写关键是找到命题的条件和结论，任何一个命题都可以写成“若p则q”的形式
各个击破
类题演练1
若x∈Z，给出下列语句
①x2-2x-3=0
②x2+1＜0
③|x|＞5
④x∈R
试判断它们是否为命题
解析：对语句①，无法判断真假，因为不给定变量x的值时，不能确定x2-2x-3的值是否为0.∴①不是命题；对语句②，可以判断真假.故②是命题.语句③同①一样无法判断真假，故③也不是命题.由于整数一定是实数.∴可以判断④是正确的，即④是一个命题.
变式提升1
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
(1)“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
(2)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”
(3)“一个数不是正数就是负数”；
(4)“大角所对的边大于小角所对的边”；
(5)“x+y是有理数，则x、y也都是有理数”；
(6)“作△ABC∽△A′B′C′”.
解析：(1)通过反问疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
(5)是假命题，如x=,y=-.
(6)祈使句，不是命题.
类题演练2
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
(1)末位是0的整数能被5整除.
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分.
(3)两直线平行则斜率相等.
(4)△ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB.
(5)余弦函数是周期函数吗？
答案：(1)是命题，真命题.
(2)是命题，假命题.
(3)是命题，假命题.
(4)是命题，真命题.
(5)不是命题.
变式提升2
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假 (2)真 (3)假 (4)真
类题演练3
指出下列命题的条件p和结论q：
(1)若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；
(2)若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.
解析：(1)条件p：空间四边形为正四面体，结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心.
(2)条件p：两直线a和b都和直线c平行.
结论q：直线a和b平行.
变式提升3
把下列命题改写成“若……则……”的形式并判断真假.
①对顶角相等 ②末位数是0的整数能被5整除
解析：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等(真) ②如果一个整数末位数是0，那么这个整数可以被5整除(真)
1.1 命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 (1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词．
名师点拨 存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
1.2 基本逻辑联结词
课堂导学
三点剖析
一、逻辑联结词“或”“且”“非”
【例1】写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断真假.
(1)p：1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：NZ；q：0∈N.
思路分析：每一道题都要写出三种形式的新命题，本题考查逻辑联结词“或”“且”“非”的应用.
解：(1)因为p假q真，所以p或q：1是质数或是方程x2+2x-3=0的根，为真；p且q：1是质数且是方程x2+2x-3=0的根，为假；非p：1不是质数，为真.
(2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真.
(3)因为p真q真，所以p或q：NZ或0∈N，为真；p且q：NZ且0∈N，为真；非p：NZ，为假.
温馨提示
为了正确判断命题的真假，首先要确定命题的构成形式，然后指出其中命题p、q的真假，再根据已有结论判断这个命题的真假.
二、含有一个量词的命题的否定
【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
(2)p：?x∈R，x2+2x+5＞0.
解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”，因此，p：至少存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立；即p：x∈R，使x2+x+1≠0成立.
(2)由于“x∈R”表示至少存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即x∈R，x2+2x+5≤0.
温馨提示
首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定.从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.
三、逻辑知识的综合应用
【例3】 已知p：方程x3+mx+4=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则
解得m＞4，即p：m＞4
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因p或q为真，所以p、q至少有一个为真.又p且q为假，所以p、q至少有一个为假.因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真.
所以解得m＞4或1＜m＜3.
温馨提示
由p、q的真假可以判断p∨q、p∧q，p的真假.反过来，由p∨q、p∧q，p的真假也应能准确断定p、q的真假情况.如“p∧q”为假，应包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”这三种情况.
类题演练1
指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：
(1)10≤10；(2)方程x2-6x-1=0没有实数根；(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
解：(1)是“p∨q”形式的复合命题，其中p：10=10；q：10<10，为真命题；也可认为是非p形式的复合命题，其中p：10>10；
(2)是非p形式的复合命题，其中p：方程x2-6x+1=0有实根为真，则非p为假命题；
(3)是“p∧q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题.
变式提升1
用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假.
(1)5和7都是素数；
(2)平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分.
解：(1)“5和7都是素数”可以改写成“5是素数且7也是素数”.
∵“5是素数”与“7是素数”都是真命题.
∴这个命题是真命题.
(2)“平行四边形的对角线既互相垂直，又互相平分”可以改写成“平行四边形的对角线互相垂直且互相平分”.
∵“平行四边形的对角线互相垂直”是假命题.
∴这个命题是假命题.
类题演练2
命题p：x∈R，＜0的非p形式的命题是( )
A.x∈R,＞0
B.x∈R,1≤x≤3
C.x∈R,x＜1或x＞3
D.x∈R,x≤1或x≥3
解析：事实上，求一个命题的“非p”形式，首先应把该命题化为最简形式.求命题p：x∈R,<0的“非p”形式，由于该命题不是最简形式，所以首先应把它化为最简形式1
答案：D
变式提升2
判断命题“x∈R，方程x2+2x+1=0有解”是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定.
解析：由于x∈R表示x是任意实数，即命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；其否定是“x不是任意实数，方程x2+2x+1=0无解”.
类题演练3
已知a＞0，a≠1，设P：函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减；Q：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P和Q有且只有一个正确，求a的取值范围.
解：当01时，y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于(2a-3)2-4>0，即0.
(1)若P正确，且Q不正确，即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减，曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点，因此a∈(0,1)∩(［,1)∪(1,］)，即a∈［，1).
(2)若P不正确，且Q正确，即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减，曲线y=x2+(2a-3)x+1与x
轴交于两点，因此a∈(1,+∞)∩((0,)∪(,+∞))，即a∈(,+∞).
综上，a的取值范围为［,1)∪(,+∞).
变式提升3
设p：|x-a|＜2，q：，若p则q为真命题.求实数a的取值范围.
解：由|x-a|<2得
p：a-2由<1得-1<0，即<0
解得q：-2∴解得0≤a≤1
∴实数a的取值范围为0≤a≤1.
3.1 导数
课堂导学
三点剖析
一、求函数的平均变化率
【例1】 求y=2x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解析：当自变量从x0到x0+Δx时函数的平均变化率为：
=4x0+2Δx
温馨提示
求函数f(x)平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δf=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
二、利用导数的定义求导
【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.
(1)y=x2+ax+b;(2)y=
解析：Δy=(x+Δx)2+a(x+Δx)+b-x2-ax-b
=(Δx)2+a(Δx)+2xΔx.
=Δx+a+2x.
y′=(Δx+a+2x)=2x+a.
(2)Δy=
温馨提示
利用定义求导数分三步：①求Δy;②求;③求.
三、利用导数求切线方程
【例3】 求函数y=x2在点P(2,1)处切线的方程.
思路分析：利用导数求切线方程的步骤：
①先求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);
②根据直线方程的点斜式，得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
解：欲求切线方程需先求过点P的切线的斜率K=而Δy=(2+Δx)2-×22=×2Δx+(Δx)2,
∴
∴过点p的切线方程为y-1=x-2.
即x-y-1=0.
温馨提示
f(x)在x0处的导数f′(x0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.
各个击破
类题演练1
求函数y=x3-2,当x=2时，的值.
解：Δy=(x+Δx)3-2-(x3-2)
=(2+Δx)3-23
=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx
∴=(Δx)2+6Δx+12
变式提升1
自由落体运动方程为s=gt2,计算从3 s到3.1 s内的平均速度.
解：Δt=3.1-3=0.1(s)
Δs=s(3.1)-s(3)=g×3.12-g×32=0.305gcm
∴=3.05g(m/s)
类题演练2
求函数y=在x=1处的导数.
解析：Δy=
变式提升2
已知f(x)在x0处可导，则等于( )
A.f′(x0) B.f′(x0)
C.2f′(x0) D.4f′(x0)
解析：转化成导数的定义.
答案：B
类题演练3
求曲线y=上一点p(4,-)处的切线方程.
解析：由导数的定义，求得
y′=-
∴所求切线的斜率为-.
所求切线方程为5x+16y+8=0
变式提升3
已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
解：∵直线l过原点，则k=(x0≠0).
由点(x0,y0)在曲线c上得y0=x-3x+2x0,
∴由导数的定义，求得
y′=3x2-6x+2,
∴k=3x-6x0+2.
又k=x-3x0+2,∴3x-6x0+2==x-3x0+2
整理得2x-3x0=0.
∵x0≠0,∴x0=.此时y0=,k=-.
因此直线l的方程为y=-x,
切点坐标为(,).
3.2 导数的运算
课堂导学
三点剖析
一、求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(-2)2;(3)y=x-sin·cos;(4)y=3x2+xcosx;(5)y=tanx;(6)y=ex·lnx;(7)y=lgx-.
解析：(1)方法一：y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.
方法二：∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,
∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.
(2)∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.
(3)∵y=x-sincos=x-sinx,
∴y′=x′-(sinx)′=1-cosx.
(4)y′=(3x2+xcosx)′=6x+cosx-xsinx;
(5)y′=()′=
(6)y′=+ex·lnx;
(7)y′=
二、求直线方程
【例2】 2004全国高考卷Ⅳ，文19 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在P(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(Ⅰ)求直线l2的方程；
(Ⅱ)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
解：(Ⅰ)y′=2x+1.直线l1的方程为：y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(Ⅱ)解方程组
所以直线l1和l2的交点坐标为()
l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)、(，0).
所以所求三角形的面积S=
温馨提示
要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.
三、利用导数求函数解析式
【例3】 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.
思路分析：解决问题的关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来.题中涉及三个未知数，题设中有三个独立条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径.
解：∵曲线y=ax2+bx+c过P(1，1)点，
∴a+b+c=1.①
∵y′=2ax+b,∴y′｜x=2=4a+b.
∴4a+b=1.②
又曲线过Q(2，-1)点，∴4a+2b+c=-1.③
联立①②③解得a=3,b=-11,c=9.
温馨提示
用导数求曲线的切线方程或求曲线方程，常依据的条件是
(1)切点既在切线上，又在曲线上；
(2)过曲线上某点的切线的斜率，等于曲线的函数解析式在该点的导数.
各个击破
类题演练1
求下列函数的导数
(1)y=x6 (2)y= (3)y= (4)y=
解：(1)y′=(x6)′=6x6-1=6x5;
(2)y′=
(3)y′=(x-2)′=-2x-3;
(4)y′=()′=()′=
变式提升1
求下列函数的导数：
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3) (2)y=
解：(1)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′
=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11
解法二：y=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
(2)解法一：y′=
解法二：y=1-,
y′=(1-)′=(-)′
类题演练2
求过曲线y=cosx上点P(,)且与过这点的切线垂直的直线方程.
解：∵y=cosx,∴y′=-sinx.
曲线在点P(,)处的切线斜率是
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为.
∴所求的直线方程为y-=,
即2x-y-
变式提升2
求曲线y=2x2-1的斜率等于4的切线方程.
解：设切点为P(x0,y0)，则
y′=(2x2-1)′=4x,
∴=4,即4x0=4,∴x0=1
当x0=1时，y0=1,故切点P的坐标为(1，1)
∴所求切线方程为y-1=4(x-1)
即4x-y-3=0.
类题演练3
已知y=f(x)是一个一元三次函数，若f(-3)=2,f(3)=6且f′(-3)=f′(3)=0，求此函数的解析式.
解：设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f′(x)=3ax2+2bx+c,依题意有：
即f(x)=-x3+x+4.
变式提升3
已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式：
解析：由已知
即
又∵f′(x)=6x2+a,g′(x)=2bx且f′(2)=g′(2)
∴6×22+a=2×b×2 ③
由①②③的
∴f(x)=2x3-8x
g(x)=4x2-16
2.3抛物线
课堂导学
三点剖析
一、利用抛物线定义求最值
【例1】 在抛物线x2=8y上求一点P，使得P点到焦点的距离与P点到定点A(1，3)的距离之和最小，并求出这个最小距离.
解析：过A作直线l与准线垂直交于点A′，与抛物线交于点P，则P点即为所求.
将P(1，y)代入x2=8y中，则y=，于是点P的坐标为(1,)，且最小距离d=5.
温馨提示
此题解法中将点P到焦点F与点A的最小距离，转化为线段AA′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.
二、焦点弦问题
【例2】 已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.
思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.
解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.
∵抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，
∴直线方程为y=k(x-1).
由
整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
∴x1+x2=.
∴｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜
=x1+x2+2=+2.
又｜AB｜=36，∴+2=36,
解得k2=,即k=±.
∴所求直线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
温馨提示
(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k，但是计算复杂，一般不采用.
(2)也可以利用弦长公式｜AB｜=｜x1-x2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.
(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB｜=x1+x2+p,解起来更简捷.
三、直线与抛物线的位置关系
【例3】 直线l：y=kx+1,抛物线C：y2=4x，当k为何值时l与C有(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.
解析：将l和C的方程联立消去y，得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
当k=0时，方程(*)只有一个解x=,∴y=1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于对称轴.
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程.
(1)当Δ＞0，即k＜1,且k≠0时，l与C有两个公点，此时称直线l与C相交；
(2)当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切；
(3)当Δ＜0,即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离.
综上所述，可知：当k=1或k=0时，直线l和C有一个公共点；当k＜1,且k≠0时，直线l和C有两个公共点；当k＞1时，直线l和C没有公共点.
温馨提示
一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.
各个击破
类题演练1
给定抛物线y2=2x，设A(a,0),a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d,试求d的最小值.
解析：设P(x0,y0),(x0≥0),
则y20=2x0,
∴d=｜PA｜=
∵a＞0,x0≥0,
∴(1)当0＜a＜1时，1-a＞0,此时当x0=0时，
d最小=
(2)当a≥1时，1-a≤0,
此时当x0=a-1时，
d最小=
变式提升1
抛物线y2=2px动弦AB长为a(a≥2p),弦AB中点到y轴最短距离是( )
A. B.
C. D.
答案：D
类题演练2
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.
求证：
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),则｜FA｜=x1+,｜FB｜=x2+,｜AB｜=x1+x2+p当AB⊥x轴时，结论显然成立；当AB不垂直于x轴时，
消去y得k2x2-p(k2+2)x+=0,
则x1+x2=,x1x2=,
变式提升2
(2006湖北黄冈中学综合能力测试(三)，14)已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e，则e的值为_________.
解析：如图，抛物线准线为x=-3c,
又｜PF2｜=｜PH｜，∴=e,∴x=-3c也为椭圆E的准线.∴-=-3ce=.
答案：
类题演练3
设双曲线-y2=1(a＞0)与直线x+y=1相交于两个不同的点A、B，求a的取值范围.
解析：由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 ①
所以解得0＜a＜且a≠1.
故a的取值范围是(0，1)∪(1，)
变式提升3
设抛物线y2=2px(p＞0)上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值.
解析：由题意可知，抛物线必在直线3x+4y+12=0的上方.
则直线3x+4y+12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x+4y+7=0.
由题意只有一解.
消去x得：+4y+7=0.
由Δ=16-4××7=0,所以p=.
