1.1 命题与量词
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课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1 数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理等都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 1.并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
2．有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2 常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒 全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3 如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词．
名师点拨 存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
1.2.1“且”与“或”
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课程目标
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1.了解含有“且”“或”联结词的复合命题的概念及其构成形式，理解“且”“或”的含义．
2．会用真值表判断由“且”与“或”构成的新命题的真假.
1．且
思考1“且”与自然语言中的哪些词语相当？
提示：“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当．
思考2如何用“且”来定义集合A和集合B的交集？
提示：A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2．或
思考3 逻辑联结词“或”和日常语言中的“或者”相同吗？
提示：不相同，日常语言中的“或”是“不可兼有”的，而数学中的“或”是“可兼有但不必须兼有”．
思考4 如何用“或”定义集合A与集合B的并集？
提示：A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．
1.2.2“非”（否定）
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1.了解含有“非”的命题的含义．
2．会判断含有逻辑联结词“非”的命题的真假．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1．命题p的否定p
(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定：
p
p
真
假
假
真
思考1 对一个命题p进行否定，否定的是此命题的条件还是结论？
提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．
2．存在性命题的否定
存在性命题p
p
结论
x∈A，p(x)
x∈A，p(x)
存在性命题的否定是全称命题
思考2 存在性命题否定后如何进行真假判断？
提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．
3．全称命题的否定
全称命题q
q
结论
x∈A，q(x)
x∈A，q(x)
全称命题的否定是存在性命题
思考3 全称命题的否定描述是否唯一？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
思考4 省略全称量词的全称命题如何进行否定？
提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，q也是假命题，这与q，q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
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1.了解推出的意义．
2．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
3．会具体判断所给条件是哪一种条件.
1．推出
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p，q分别表示研究对象所具有的性质．p称做命题的条件，q称做命题的结论．
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说，由p成立可推出q成立，记作pq，读作“p推出q”．
思考1 推出是否具有传递性？
提示：推出具有传递性．若pq，且qr，则pr.
2．充分条件、必要条件
如果由p可推出q，我们称p是q的充分条件；q是p的必要条件．
思考2 若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞10等也是x＞0的充分条件．
思考3 p是q的充分条件与q是p的必要条件有怎样的关系？
提示：p是q的充分条件反映了pq，而q是p的必要条件也反映了pq，所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同．
3．充要条件
思考4 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．例如，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．
1.3.2 命题的四种形式
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1.理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念．
2．能够写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．
3．会分析四种命题之间的相互关系.
1．命题的四种形式及其概念
形式
本质
原命题
如果p，则q
逆命题
如果q，则p
条件和结论“换位”
否命题
如果p，则q
条件和结论“换质”
逆否命题
如果q，则p
条件和结论“换质”又“换位”
思考1 四种命题是否是固定的？
提示：不是，原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．
思考2 一个命题的否命题与它的否定是相同的吗？
提示：不是．
命题的否定：只否定结论，它的真假与原命题的真假相反．
否命题：条件和结论同时否定，它的真假与原命题的真假可能相同，也可能相反．
2．四种命题的关系
(1)原命题和逆命题是互逆的命题；否命题和逆否命题也是互逆的命题．
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题．
(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题．
四种命题的关系如下图：
思考3 为什么互为逆否命题的两个命题是等价的？
提示：互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释．
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，其中p，q是集合A，B中元素的特征性质，如果AB，则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q，所以可以认为AB与pq等同．由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论：AB与UBUA等价，也就说明“pq”与“qp”等价．
3.1.1 空间向量的线性运算
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1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法．
2．学会空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律．
3．能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.
1．向量的有关概念
思考1空间向量与平面向量的关系是怎样的？
提示：平面向量的集合是空间向量集合的子集，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如相反向量的概念、向量等式中的移项法则、零向量的性质在空间向量中仍然成立．
思考2零向量是没有方向的吗？
提示：不是，零向量的方向是任意的．
2．空间向量的线性运算
(1)加法：a＋b＝.
(2)减法：a－b＝.
(3)数乘：λa，
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa为零向量．
(4)线性运算律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考3首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，它们的和向量有什么特点？
提示：和向量为0.
点拨空间向量的线性运算中，加法满足三角形法则和平行四边形法则，减法满足三角形法则．
(1)在△ABC中，＋＋＝0.
(2)以向量a，b为邻边的平行四边形中，a＋b与a－b所表示的是两条对角线所对应的向量，|a＋b|与|a－b|为两对角线的长度．
(3)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．
3.1.2 空间向量的基本定理
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1.理解并记住共线向量、共面向量定理及空间向量分解定理．
2．熟记基底、基向量、向量的线性组合的概念．会选择恰当的基底表示空间向量．
3．会用共线向量、共面向量定理和空间向量分解定理解决空间几何中的简单问题.
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
思考1a＝xb是向量a，b共线的充要条件吗？
提示：不是．由a＝xb可得a，b共线，而a，b共线不能得出a＝xb，如当b＝0，a≠0时．
2．向量共面的条件
思考2共面向量定理与平面向量的基本定理有什么关系？
提示：空间向量的共面向量定理与平面向量的基本定理实质相同．
思考3向量与平面平行和直线与平面平行相同吗？
提示：不相同．向量与平面平行，向量所在直线可以在平面内，而直线与平面平行时，两者是无公共点的，即排除直线在平面内的情况．
3．空间向量的分解定理
思考4零向量可以作为基向量吗？
提示：不能．零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．
点拨(1)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的．
(2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1.
3.1.3 两个向量的数量积
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课程目标
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算规律．
2．会利用向量的数量积求两个向量的夹角及向量的模．
3．会用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
1．两个向量的夹角
思考1两向量共线时，其夹角分别是多少？
提示：两个非零向量共线且同向时，〈a，b〉＝0，两个非零向量共线且反向时，〈a，b〉＝π.
2．异面直线
思考2分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？
提示：不一定，因为这两条直线也可能平行或相交．
思考3在空间中，两直线垂直，那么这两条直线一定相交吗？
提示：不一定，可以是异面直线．
3．两个向量的数量积
思考4两个向量的数量积与数乘向量有何不同？
提示：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a＝0，而0·a＝0.
特别提醒(1)空间向量的数量积的运算符号是“·”，不能省略，更不能写成“×”；
(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量；
(3)空间向量的数量积不满足结合律，即a(b·c)≠(a·b)c；
(4)若a·b＝k，不能得出a＝；
(5)a⊥b的充要条件是a·b＝0，这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“a·b＝0a＝0或b＝0”是错误的．
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
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课程目标
学习脉络
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．
3．能够用向量工具将几何问题转化为代数问题来解决.
1．空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底．
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．
单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标表示．
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．
思考1空间向量a＝(a1，a2，a3)平行于坐标平面xOy时其坐标有何特点？
提示：a3＝0.
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
思考2空间向量的坐标与向量终点的坐标有什么区别？
提示：向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量其坐标才等于向量终点的坐标．
3．空间向量平行和垂直的条件
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b(b≠0)a＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，
当b1，b2，b3都不为0时，a∥b＝＝；
(2)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
|a|＝＝，
|b|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝.
思考3空间向量模的坐标计算公式与平面向量模的计算公式是否一致，有怎样的几何意义？
提示：空间向量的模表示向量的长度，计算公式与平面向量的长度计算公式一致，其几何意义是指以原点为起点的有向线段的长度．
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
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课程目标
学习脉络
1.理解直线的方向向量与平面的法向量．
2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．
4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理.
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量
给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l，向量a称为该直线的方向向量．
(2)空间直线的向量参数方程
点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量＝ta.①
对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta.②
如果在l上取＝a，则②式可化为＝＋t＝＋t(－)，即＝(1－t)＋t.③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．
(3)线段AB的中点M的向量表达式
设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则＝(＋)．
思考1空间一条直线的方向向量唯一吗？
提示：不唯一．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合v1∥β，且v2∥β.
思考2如何用向量的方法证明空间中的平行关系？
提示：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a∥b，即a＝λb(λ∈R)．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3．用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补；
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为θ，则
l1⊥l2v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.
思考3两直线所成的角与这两直线方向向量的夹角有何关系？
提示：两直线方向向量的夹角为锐角时，两直线所成的角与其相等，两直线方向向量的夹角为钝角时，两直线所成的角与其互补．
4.平面的法向量及其应用
思考4一个平面的法向量是否唯一？
提示：不唯一，一个平面的法向量有无数多个．
5．三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
思考5三垂线定理及其逆定理有何区别与联系？
提示：联系：都是一面四线，三种垂直关系．
区别：①从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”，而逆定理恰好相反；②从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直异面直线垂直”，而逆定理恰好相反．
3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量
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课程目标
学习脉络
1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2．掌握最小角定理及公式cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．
3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．
4．会利用向量法解决二面角的计算问题.
1．直线与平面所成的角
思考1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？
提示：直线与平面的夹角的取值范围是，斜线与平面的夹角的取值范围是.
2．最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式：
cos θ＝cos_θ1cos_θ2，
如图，θ是OA与OM所成的角，
θ1是OA与OB所成的角，
θ2是OB与OM所成的角．
(2)最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？
提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？
提示：不成立．
3．二面角及其度量
思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？
提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；
(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．
2．二面角的范围是[0，π]．
3.2.5 距离（选学）
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课程目标
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1.理解图形与图形的距离的概念．
2．了解空间中两条异面直线的距离的概念，在给出共垂线的条件下会求异面直线的距离．
3．能利用公式求出异面直线上两点间的距离．
4．理解并掌握点与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的距离的概念及它们之间的相互转化，会用法向量求距离.
距离的有关概念
思考1空间距离有几种形式，它们之间有何关系？
提示：空间距离有6种形式，它们分别是点点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距．它们一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．
思考2能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？
提示：能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离．
2.1 曲线与方程
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1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系，并能根据点的坐标是否适合方程，来判断该点是否在曲线上．
2．能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点．
3．初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及由曲线的方程研究曲线的性质的方法.
1．点的轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
2．曲线的方程与方程的曲线的定义
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
(2)曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C＝{M(x，y)|F(x，y)＝0}．
思考1 若曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗？
提示：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少．即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系．
思考2 如果说曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，那么，F(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线C上的什么条件？
提示：充要条件；承认了曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，就承认了方程F(x，y)＝0是曲线C的方程．所以点P(x0，y0)的坐标适合方程F(x，y)＝0(F(x0，y0)＝0)与点P(x0，y0)在曲线C上是等价的，即充要条件．
3．两曲线的交点
已知两条曲线C1：F(x，y)＝0和C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．
2.2.1 椭圆及其标准方程
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1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握待定系数法求椭圆的标准方程.
1．椭圆的定义
思考1 椭圆的定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？
提示：不一定是．当2a＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．当2a＝|F1F2|时，动点M的轨迹为线段F1F2.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
a2＝b2＋c2
思考2 椭圆的标准方程具有怎样的特征？
提示：椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等的正数．
思考3 如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置？
提示：依据分母的大小来判断．焦点所在轴的对应分母大．
特别提醒 在已知椭圆的标准方程解题时，应特别注意a＞b＞0这个条件．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
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课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝∈(0,1)，其中c＝
思考1 焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆的范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
2.3.1 双曲线及其标准方程
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课程目标
学习脉络
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法确定双曲线的方程．
3．与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分.
1．双曲线
思考1 在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，则点的轨迹是怎样的？
提示：在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，
(1)当2a等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)当2a大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(3)当2a等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
思考2 在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？
提示：不是．去掉“绝对值”后，点的轨迹是双曲线的一支．
2.双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
c2＝a2＋b2
思考3 在双曲线的标准方程中，怎样判断焦点在哪条坐标轴上？
提示：如果含x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果含y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
名师点拨 双曲线与椭圆的比较
椭圆
双曲线
定义
|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)
||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
a2＋b2＝c2
标准方程
焦点在x轴上
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点在y轴上
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
2.3.2 双曲线的简单几何性质
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课程目标
学习脉络
1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．能够运用双曲线的性质解决一些简单问题．
3．正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴对称中心：原点
对称轴：x轴、y轴对称中心：原点
顶点
顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响？
提示：双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．
思考2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上？
提示：实轴．
思考3 一条直线与双曲线的渐近线平行时，它与双曲线有几个公共点？
提示：1个．
名师点拨 双曲线与椭圆的六个不同点：
双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2
2.4.1 抛物线的标准方程
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课程目标
学习脉络
1.知道抛物线的定义，能推出抛物线的标准方程．
2．能根据条件，求出抛物线的标准方程.
1．抛物线的定义
思考1 定义中为什么加上条件“l不经过F”？
提示：若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线．
思考2 抛物线的图形是双曲线的一支吗？
提示：不是．当抛物线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于和x轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于与渐近线平行．抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别．
2．抛物线的标准方程
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是；它的准线方程是x＝－，其中p是焦点到准线的距离，叫做抛物线的焦参数．
思考3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗？
提示：抛物线对应的方程不一定是二次函数．如y2＝4x是抛物线，但不是函数，更不是二次函数．
思考4抛物线的标准方程中，p的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
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课程目标
学习脉络
1.理解抛物线的简单几何性质．
2．了解抛物线的简单应用．
3．归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.
1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质
思考1 掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么？
提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向．
思考2 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？
提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线．它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
思考3 怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？
提示：一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
如果y是一次项，负时向下，正时向上．
如果x是一次项，负时向左，正时向右．
名师点拨 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的；(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
2．只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
2.5 直线与圆锥曲线
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课程目标
学习脉络
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系．
2．会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题．
3．加强数形结合思想的训练与应用.
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
思考1 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，直线与圆锥曲线一定是相切吗？
提示：不一定．对于直线与椭圆来说，是一定相切的．但对于直线与双曲线、直线与抛物线来说，则不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个公共点，但它们是相交的．
思考2 椭圆与圆类似，是封闭曲线，能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系？
提示：不能．椭圆虽然与圆类似，但中心到椭圆上各点的距离不完全相等．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝(k≠0)．
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
