1.1.1 角的概念的推广
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课程目标
学习脉络
1．理解任意角的概念，注意任意角的三个要素：顶点、始边、终边．用旋转的观点来定义角，抓住：(1)旋转方向；(2)旋转大小．
2．理解并掌握终边相同的角，会将角放在坐标系中去体会．
3．掌握象限角及轴线角的表示．
1．任意角
(1)角的定义．
①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角，又常叫做转角．
(2)角的记法．
用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)．
(3)角的分类．
任意角
定义
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转而成的角
(4)角的运算．
引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
归纳总结(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．
(2)高中阶段所说的角实际上是初中平面几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念的推广，这里重点强调“角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的”这一运动的观点．
(3)角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．
2．终边相同的角
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．
归纳总结 (1)α为任意角．
(2)k·360°－α，k∈Z可理解为k·360°＋(－α)，k∈Z．
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不可少．
(5)零角的始边和终边相同，但始边和终边相同的角并不一定是零角．
自主思考1已知介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如{x|60°
提示：(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，再在它的两端加上k·360°，k∈Z即可．
(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上k·180°，k∈Z即可．例如，求终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角{α|45°≤α≤60°}，故终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合为{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+60°，k∈Z}．
3．第几象限的角
(1)在平面直角坐标系xOy中，平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
(2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
自主思考2 第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角有何差别？
提示：锐角是0°<α<90°的角；
0°～90°的角是0°≤α<90°的角；
小于90°的角是α<90°的角，包括锐角以及所有负角和零角；
第一象限的角是{α|k·360°<α锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限的角的关系用Venn图表示如图所示．
自主思考3各象限角与终边在坐标轴上的角的集合如何表示？
提示：(1)象限角的集合．
象限角
集合表示
第一象限的角
{α|k·360°<α第二象限的角
{α|k·360°＋90°<α第三象限的角
{α|k·360°＋180°<α第四象限的角
{α|k·360°＋270°<α(2)终边在坐标轴上的角的集合．
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
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课程目标
学习脉络
1．理解弧度制的定义．
2．掌握角度与弧度的换算公式，并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数．
3．理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
4．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并会运用其解决问题．
1．弧度制
(1)弧度制．
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制的角，其单位符号为rad，读作：弧度．
(2)弧度数．
在半径为r的圆中，弧度为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝，弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
总结：(1)不同半径的圆中相同的圆心角所对的角的弧度数是相同的．
(2)用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角α＝10就表示α是10弧度的角．
(3)和角度制相比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如＋k·360°或60°＋2kπ的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k·360°＋α等．
(3)度量．
①一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
②角α的弧度数的绝对值为|α|＝ (其中l是以角α作为圆心角所对的弧长，r是圆的半径)．
(4)弧度制与角度制的比较．
角度制
用度作为单位来度量角的单位制
角大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负与方向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负与方向有关
十进制
2．角度制与弧度制
(1)角度制与弧度制的换算．
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝rad≈0．017_45rad
1 rad＝°≈57．30°
(2)特殊角的弧度数．
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
(3)对应关系．
角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．
注意：(1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是零)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同．
(2)以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，若无特殊要求，不必把π写成小数，如30°＝．
自主思考1 正实数、负实数、零与哪些角是一一对应关系？
提示：
自主思考 2 如何用弧度制表示象限角与坐标轴上的角？
提示：(1)象限角的表示：
角α终边所在的象限
集合
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
(2)坐标轴上角的表示：
角α的终边所在的坐标轴
集合
x轴非负半轴
x轴非正半轴
x轴
y轴非负半轴
y轴非正半轴
y轴
坐标轴
3．扇形的弧长及面积公式
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面
积公式
S＝
S＝r2＝rl
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
特别提醒 (1)在运用公式时，观察已知的是弧长还是弧度数，选择合适的公式代入．
(2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)有相似的形式．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝|α|r，|α|＝，r＝；
②|α|＝．
(4)比值只反映弧所对圆心角的大小，不反映圆心角的方向，应注意|α|＝中的绝对值符号，否则会漏掉．
(5)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．
1.2.1 三角函数的定义
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课程目标
学习脉络
1．能根据任意角的三角函数的定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的某种函数值符号，判断出α可能存在的象限．
2．理解并掌握任意角的三角函数的定义．
3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．
1．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝>0)，如图，那么
(1)比值叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
(2)比值叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
(3)比值叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝；
(4)比值叫做角α的正割，记作sec α，即sec α＝；
(5)比值叫做角α的余割，记作csc α，即csc α＝；
(6)比值叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝．
注意：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数．我们重点研究正弦函数、余弦函数、正切函数．
(2)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，它表示的是一个比值，而不是sin与α的积，如f(x)表示自变量为x的函数一样．
(3)任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P的位置无关．
(4)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．
2．三角函数的定义域
确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键特性，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．
六种三角函数的定义域见下表：
三角函数
意义
定义域
sin α
cos α
sin α＝
cos α＝
R
tan α
sec α
tan α＝
sec α＝
cot α
csc α
cot α＝
csc α＝
{α|α≠kπ，k∈Z}
特别提醒 (1)此定义域是在函数自变量为弧度制时所得到的．
(2)对于正切函数及正割函数的定义域，我们也可以将其写成 (k∈Z)；对于余切函数及余割函数的定义域，我们也可以将其写成(kπ，kπ＋π)(k∈Z)．
3．三角函数在各象限的符号
(1)用图形表示：如图所示．
(2)用表格表示如下表．
α的
终边
x轴
正半轴
第一
象限
y轴
正半轴
第二
象限
x轴
负半轴
第三
象限
y轴
负半轴
第四
象限
sin α
0
＋
1
＋
0
－
－1
－
cos α
1
＋
0
－
－1
－
0
＋
tan α
0
＋
不存在
－
0
＋
不存在
－
归纳总结 三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即：第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同．
1.2.2 单位圆与三角函数线
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课程目标
学习脉络
1．理解单位圆、有向线段的概念．
2．理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题．
1．单位圆、正射影
(1)把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)(如图所示)．
要点解读：
在三角函数的定义中，巧妙地引入了单位圆，使三角函数这一代数问题几何化了，即有了几何表示，从而也使问题由抽象变得具体．为深入细致研究三角函数提供了一种新途径，开辟了一个新视野——角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
2．三角函数线
(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．
由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)．其中cos_α＝OM，sin_α＝ON．
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
如图(2)，以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把轴上向量O，O和A (或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．
说明：(1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示．
(2)三角函数线是有向线段(带有方向(即规定了起点和终点)的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点．
(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1．
当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
自主思考1 如何根据三角函数的方向确定三角函数值的符号？
提示：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
自主思考2 观察三角函数线的变化，试分析正弦线、余弦线、正切线的增减性和取值范围？
提示：观察三角函数线的变化，
当角由0增加到2π时，
sin α在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；
cos α在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；
tan α在各个象限内分别是增函数．
观察三角函数线的变化，还可以得出α∈R时，sin α，cos α的值域为[－1,1]，tan α的值域为R．
3．三角函数线的作图步骤
作一个角α的三角函数线的步骤：
(1)画单位圆，且设其与x轴正半轴交于点A．
(2)作角α的终边，且设其与单位圆的交点为P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线和余弦线．
(3)过点A作x轴的垂线，与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是角α的正切线．
自主思考3角α＝x(rad)，且0提示：取x＝，则sin x＝，tan x＝．
因为＝＝，＝＝，
所以tan >sin ．又＝<，所以sin <．
又tan ＝＝>，所以tan >．
从而可知，tan >>sin ．
证明：如图所示，0M为角x的正弦线，A为角x的正切线，由于S△OPA所以若x∈，则必有sin x自主思考4 如何利用单位圆解形如sin α≥(或≤)a，cos α≥(或≤)a(|a|≤1)型不等式．
提示：(1)利用单位圆解sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)型不等式的具体方法为：
①如图甲，画出单位圆；
图甲
②在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分即为满足sin α≤a的角α的范围，剩余部分即为满足sin α≥a的角α的范围．
(2)利用单位圆解cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)型不等式的具体方法为：
①如图乙，画出单位圆；
图乙
②在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分即为满足cos α≤a的角α的范围，剩余部分为满足cos α≥a的角α的范围．
特别提示此类题型在写角α的范围时，不要忘记加上2kπ(k∈Z)，因为与角α终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍．
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
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课程目标
学习脉络
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α及其公式的证明．
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1．
(2)商数关系：＝tan α．
即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切．
(3)倒数关系：tan_α·cot_α＝1．
即同一个角的正切、余切之积等于1(或同一个角的正切、余切互为倒数)．
提示：(1)同角三角函数的基本关系式反映了同角三角函数之间的内在联系．这里的“同角”，应作广义的理解，例如，与是同角，3α与3α是同角，5β＋与5β＋也是同角．
(2)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”号的选取．
(3)上述三角函数关系式只需利用三角函数定义即可推导出来．
2．同角三角函数的基本关系式成立的条件
当α∈R 时，sin2α＋cos2α＝1成立；
当α≠kπ＋ (k∈Z)时，＝tan α成立．
3．关系式的变形
sin2α＋cos2α＝1?
tan α＝?
特别提醒 (1)使用变形公式sin α＝±，cos α＝±时，“±”号由角α终边所在象限来确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变式用)．
自主思考 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间有何关系？
提示：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α
＝1＋2sin αcos α．
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α．
同理可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α．
所以(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
sin αcos α＝ (sin α＋cos α)2－
＝－ (sin α－cos α)2．
所以sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值．这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视．
1.2.4 诱导公式
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课程目标
学习脉络
1．掌握诱导公式，并会应用公式求任意角的三角函数值．
2．会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明．
3．通过公式的运用，学会从未知到已知，复杂到简单的转化方法．
1．角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系(诱导公式(一))
cos(α＋k·2π)＝cos_α，sin(α＋k·2π)＝sin_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α．
说明：(1)利用公式(一)，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值．
(2)由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．说明了角和三角函数值的对应关系是一值对多角的关系，即如果给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
(3)公式(一)可概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．
2．角α与－α的三角函数间的关系(诱导公式(二))
cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α．
说明：(1)由公式(一)和(二)可得
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α，tan(2π－α)＝－tan α．
(2)利用公式(二)，可以用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式(二)还可以看出，余弦函数是偶函数，而正弦函数、正切函数都是奇函数．
3．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系(诱导公式(三))
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α．
特别地，cos(π＋α)＝－cos_α，sin(π＋α)＝－sin_α，tan(π＋α)＝tan_α．
特别提醒 (1)由公式(一)和(三)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即
Tan(a+nπ)＝tan a，n∈z．
(2)因为任意角都可以化为α＋kπ(k∈Z)的形式，并使|α|≤，所以利用公式(一)、(二)、(三)，我们可以把任意角的三角函数的求值问题转化为0到之间的角的三角函数的求值问题．
(3)利用诱导公式(二)和(三)，可得到角α与π－α的三角函数间的关系：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α．
所以
4．角α与α＋的三角函数间的关系(诱导公式(四))
cos＝－sin_α，sin＝cos_α．
将上面公式中的α用－α替代，可得到角α与－α＋的三角函数间的关系
cos＝sin_α，sin＝cos_α．
由三角函数之间的关系又可得tan＝－cot_α，tan＝cot_α．
自主思考1 如何化简sin，cos，tan？
提示：(1)sin＝－cos α，cos＝－sin α，tan＝cot α；
(2)sin＝－cos α，cos＝sin α，tan＝－cot α．
自主思考2 试推导出， ，π，，2π的三角函数值？
提示：
角α的弧度数
π
2π
sin α
0
－1
0
cos α
－
－
－1
0
1
tan α
－
－
0
不存在
0
自主思考3 诱导公式的作用与规律性有哪些？
提示：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值．
(2)诱导公式的规律：
续表
说明：三角函数的诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系：诱导公式可以概括为角k·±α(k∈Z)的各三角函数值与角α的三角函数值之间的关系：当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．例如：
诱导公式有很多组合，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序：
①化负角为正角；
②大于360°的角化为[0°，360°)内的角；
③把90°～360°范围内的角转化为0°～90°范围内的角．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
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课程目标
学习脉络
1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．
1．正弦函数的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y＝sin x，x∈R的图象如图．
其中在x∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
注意：(1)五点法是画正弦函数图象的基本方法，与之相关的问题在历年高考中经常出现，要切实掌握好．
(2)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与之函数值均为实数，在两个轴上的单位是统一的，作出的图象更加正规、实用．
(3)正弦函数的图象沿x轴向左、向右无限延伸，称为正弦曲线．
自主思考1 如何由正弦函数y＝sin x的图象得到y＝sin(x＋1)和y＝sin x－2的图象？
提示：将y＝sin x的图象向左平移一个单位长度即可得到y＝sin(x＋1)的图象；将y＝sin x的图象向下平移一个单位长度即得到y＝sin x－2的图象；注意可以利用图象的平移变换：①y＝f(x)→y＝f(x±a)(a>0)——左“＋”右“－”；②y＝f(x)→y＝f(x)±k(k>0)——上“＋”下“－”得到函数的图象．
2．正弦函数的性质
自主思考2 正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值有何特点？
提示：(1)正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值．
(2)正弦曲线的对称中心一定是过正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0．
自主思考3 y＝sin x，x∈的值域是否是[－1,1]?
提示：y＝sin x，x∈的值域为[0,1]，正弦函数的值域是[－1,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线．如果定义域不是全体实数或不在一个周期内，那么正弦函数的值域就可能不是[－1,1]．
3．周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．
归纳总结(1)一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如，f(x)＝a(a为常数)就没有最小正周期；若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k≠0，且k∈Z)也是函数f(x)的周期．
(2)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝．
(3)周期函数与周期的定义中，“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．例如，函数f(x)＝sin x，由sin＝sin，sin≠sin可知，虽然是非零常数，但并不是对定义域内的“每一个值”都有sin＝sin x，所以不是正弦函数的周期．
自主思考4 如何证明函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝．
提示：设u＝ωx＋φ，因为y＝sin u的周期是2π，所以sin(u＋2π)＝sin u，即sin[(ωx＋φ)＋2π]＝sin(ωx＋φ)＝sin．这说明：当自变量由x增加到x＋，且必须增加到x＋时，函数值重复出现．因此y＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝．由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T＝．
说明：若没有ω>0这个条件，则周期T＝．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
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课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．
2．会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期，频率与振幅．
3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义．
1．正弦型函数的概念
形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动量时，则A称为振幅；T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝称为频率；ωx＋φ称为相位；x＝0时，相位φ称为初相．
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．
2．正弦型函数的图象变换
(1)相位变换
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象．
推广到一般有：将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时向左平移；当a<0时向右平移(可简记为左“＋”右“－”)．
(2)周期变换
y＝sin x的图象的图象．
推广到一般有：
函数y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把函数y＝f(x)的图象上所有的点的横坐标缩短(当ω>1)或伸长(当0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
(3)振幅变换
y＝sin x的图象y＝Asin_x的图象．
(4)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以这样得到：y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)．
推广到一般有：拖延时间
函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看做是把函数y＝f(x)图象上的点的纵坐标伸长(当A>1)或缩短(当0(4)函数图象的上、下平移变换．
有时也会遇到y＝sin x＋k的图象，那么函数y＝sin x＋k的图象，可以看做是把y＝sin x图象上的各点向上(k>0)或向下(k<0)平行移动|k|个单位长度而得到的，即y＝sin x行移动|k|个单位长度得y＝sin x＋k．
自主思考 如何用五点法作出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
提示：用五点作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象步骤如下：
第一步：列表，即令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，再分别求出相应x，y的值；
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点；
第三步：连线，用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图象；
第四步：利用函数周期性，通过左右平移得到整个图象．
3．正弦型函数的性质
根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质：
(1)定义域：R．
(2)值域：[－A，A]．
当ωx＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝－＋ (k∈Z)时，y取得最大值A；
当ωx＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝－＋ (k∈Z)时，y取得最小值－A．
(3)单调性：
当－＋2kπ≤ωx＋φ ≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈ (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为增函数；
当＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈ (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为减函数．
(4)奇偶性：当φ＝0时，为奇函数；当φ≠0时，为非奇非偶函数．
(5)周期性：T＝．
(6)对称性：直线x＝－＋ (k∈Z)都是其对称轴；点 (k∈Z)为其对称中心．
特别提醒 (1)值域为[－|A|，|A|]的前提是x∈R，x的范围发生变化时，值域可能发生变化．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质，通常利用代换u＝ωx＋φ，把ωx＋φ看成一个整体去处理．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的解析式的确定
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k，能准确地研究其图象与性质，反过来，若已知它的图象或部分图象，怎样确定其解析式呢？解决此类问题关键在于确定参数A，ω，φ，k，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ，k．
(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A，A＝．
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T．
(3)φ：从寻找“五点作图法”中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝＋2kπ时，y有最大值．或者由“五点作图法”中的第一个点作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．
(4)k：可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定k，k＝．
在求参数过程中，求初相φ应先求ω，然后根据取最大值时相应x值代入方程求解
特别提醒 依据“五点作图法”的原理，点的序号与式子关系如下：
“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
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课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．
1．余弦函数图象的画法
(1)平移作图：由y＝cos x＝sin (x∈R)知，余弦函数y＝cos x的图象与正弦型函数y＝sin的图象相同．于是把正弦曲线向左平移个单位长度就可得到余弦函数的图象．
(2)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象．
(3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法．
(4)五点法：函数y＝cos x在[0,2π]内的图象的五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，其中，分别是x轴上的第一个零点，第二个零点；(0,1)，(2π，1)，(π，－1)分别是函数图象的第一个最高点，第二个最高点和最低点，描出这五个点后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到[0,2π]内的余弦函数图象．
将上述几种作法得到的y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，则可得到y＝cos x，x∈R的图象，如图所示．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，单调递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，单调递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
知识剖析(1)由诱导公式cos(－x)＝cos x可知余弦函数为偶函数．反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦函数y＝cos x的值域为[－1,1]，它表明余弦函数y＝cos x的图象介于直线y＝1和y＝－1之间．
(3)由cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)知2kπ都是余弦函数y＝cos x的周期，2π是最小正周期．
自主思考1 试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点
提示：
正弦函数
余弦函数
奇偶性
奇函数
偶函数
区
别
递增区间
(k∈Z)
[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)
递减区间
(k∈Z)
[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
直线x＝kπ＋(k∈Z)
直线x＝kπ(k∈Z)
联
系
(1)定义域都是R，值域都是[－1,1]；
(2)最小正周期都是2π；
(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同
3．余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以看成是由余弦函数y＝cos x复合而成的复合函数，因此它的性质可由余弦函数y＝cos x类似地得到．
(1)定义域：R．
(2)值域：[－A，A]．
(3)单调区间：求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法解答，即把“ωx＋φ”视为一个“整体”，由余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间解出x，即为所求的单调递增(减)区间．
特别注意若ω<0，先用诱导公式化为ω>0．A>0(A<0)时，所列不等式与y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解．
(4)奇偶性：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
(5)周期：函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T＝．
(6)对称性：函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得．
自主思考2 设函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，求：
(1)φ取何值时，f(x)为奇函数；
(2)φ取何值时，f(x)为偶函数．
提示：(1)若f(x)是奇函数，且x∈R，则f(0)＝0，
即cos φ＝0，得φ＝＋kπ，k∈Z．
故当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数．
(2)若f(x)是偶函数，则x＝0是其对称轴，
即f(0)＝±A，cos φ＝±1，得φ＝kπ，k∈Z．
故当φ＝kπ＋，k∈Z时，f(x)为偶函数．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
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课程目标
学习脉络
1．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质．
2．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．
函数y＝tan x的图象与性质
说明：(1)正切曲线在x轴上方的图象下凸，在x轴下方的图象上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．
(2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无数支曲线组成的．
自主思考1 正切函数在整个定义域内都是增函数吗？
提示：正切函数在整个定义域内不是增函数，可取特殊值来说明．例如，取x1＝，x2＝，显然x1y2，不符合增函数的定义．
自主思考2 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0)的性质有哪些？
提示：(1)定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
(2)值域：R．
(3)周期性：函数y＝Atan(ωx＋φ)
的周期与常数ω的值有关，最小正周期T＝．
(4)奇偶性：当φ＝ (k∈Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
(5)单调性：将ωx＋φ视为一个整体，若ω<0，一般先用诱导公式化为ω>0，使x的系数为正值，然后求单调区间．A>0(A<0)时，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的单调性与y＝tan x的单调性相同(反)，解不等式可得出单调区间．
1.3.3 已知三角函数值求角
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课程目标
学习脉络
1．理解符号arcsin x，arccos x，arctan x的意义．
2．根据[0,2π]范围确定已知三角函数值的角．
3．已知一个三角函数值，合理地表示出与它对应的角．
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsin_y．
注意：(1)arcsin y的含义：表示上正弦等于y的那个角，即sin(arcsin y)＝y(－1≤y≤1)．
(2)当0当y＝0时，arcsin y＝0；
当－1≤y<0时，arcsin y∈．
(3)arcsin(－y)＝－arcsin y．
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
注意：(1)符号arccos y的含义：①arccos y表示一个角；②－1≤y≤1，且0≤arccos y≤π．③cos(arccos y)＝y．
(2)当0(3)arccos(－y)＝π－arccos y．如cos x＝，则x＝arccos，若cos x＝－，则x＝arccos＝π－arccos，则x＝arccos y表示[0，π]内的一个角．
3．已知正切值，求角
如果正切函数y＝tan x(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan_y．
注意：(1)arctan y的含义：①arctan y表示一个角；②y∈R，且－(2)当y<0时，arctan y∈；
当y＝0时，arctan y＝0；
当y>0时，arctan y∈．
(3)arctan(－y)＝－arctan y．
4．已知三角函数值求角的基本类型
剖析：
a的
范围
sinx=a
cosx=a
a的
范围
Tanx=a
x∈[0,2π]
x∈[0，π]
x∈[0,2π]
x∈[0,2π]
a＝1
x＝
x＝
x＝0
x＝0或x＝2π]
a>0
x =arctan a
x＝arctan 或
x＝π+arctan a
0x＝arcsin a
x＝arcsin a或
x＝π－arcsin a
x＝arccos a
x＝arccos a或
x＝2π－arccos a
a＝0
x＝0
x＝0或x＝π
x＝
x＝或
a =0
x＝0
x＝0或x＝π
－1x＝arcsin a
x＝π－arcsin或
x＝2π＋arcsin a
x＝arccos a
x＝arccos a或
x＝2π－arccos a
a <0
x =arctan a
x＝π+arcta或
x＝2π+arctan a
a＝－1
x＝－
x＝
x＝π
x＝π
自主思考 已知角x的一个三角函数值求角x的步骤有哪些？
提示：已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：
第一步，确定角x可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1．
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2π)内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π．
第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．
3.1.1 两角和与差的余弦
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课程目标
学习脉络
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题．
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记
和的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
Cα＋β
差的余弦
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
Cα－β
名师点拨(1)一般情况下，两角和与差的余弦公式不能按照分配律展开，即cos(α±β)≠cos α±cos β．
(2)对公式要会活用，既能正用，也能逆用，只要符合公式的结构特征就可以，因为角α，β具有任意性．
如cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos 2β，cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α．
(3)要注意两个公式同三角函数关系式及诱导公式的综合应用．例如sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，cos(π－α)＝－cos α．
(4)两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”．
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反，即两角和时用“－”号，两角差时用“＋”号；
③两角和与两角差的余弦公式只有中间的连接符号不同．
3.1.2 两角和与差的正弦
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课程目标
学习脉络
1．掌握两角和与差的正弦公式．
2．能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明．
1．两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记
和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
Sα＋β
差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
Sα－β
名师点拨 (1)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β．
(2)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如，sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos 2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α，当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．
(3)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如，化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想进行变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α，这也体现了数学中的整体原则．
2．三角函数形式的转化
形如asin x＋bcos x(a，b不同时为0)的形式可以化为一个三角函数形式．即asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝．
自主思考如何求形如y＝ (ac≠0)，y＝mcos2x－nsin x(m≠0)，y＝asin x＋bcos x(ab≠0)的最值？
提示：(1)形如y＝ (ac≠0)的函数可通过数形结合法，将y看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；
(2)可化为形如y＝a(sin x－b)2＋c(a≠0)或y＝a(cos x－b)2＋c(a≠0)的形式，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；
(3)求形如函数y＝asin x＋bcos x(ab≠0)的最值，通常化归为求函数y＝Asin(ωx＋φ) 的最值．
3.1.3 两角和与差的正切
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课程目标
学习脉络
1．理解两角和与差的正切公式的推导过程．
2．掌握两角和与差的正切公式的结构特征，能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明．
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记
和的正切
tan(α＋β)＝
Tα＋β
差的正切
tan(α－β)＝
Tα－β
名师点拨 (1)与两角和与差的正弦公式、余弦公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α＋β)≠tan α＋tan β．
(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，公式逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握．
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)，
1?tan αtan β＝．
如，tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan 25°tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝tan 45°(1－tan 25°·tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝1－tan 25°tan 20°＋tan 25°tan 20°＝1．所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
3.2.1 倍角公式
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课程目标
学习脉络
1．掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能推导．
2．会用倍角公式进行三角函数的求值，化简和证明．
倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
Sα＋βS2α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
Cα＋βC2α
cos 2α＝2cos2α－1
cos 2α＝1－2sin2α
利用sin2α＋cos2α＝1
消去sin2α或cos2α
T2α
tan 2α＝
Tα＋βT2α
名师点拨 在运用公式时，不仅要善于观察题目的结构特点，直接运用公式，还要善于逆用公式，以及变形用．
(1)公式逆用．
2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝sin 2α；
cos α＝；cos2α－sin2α＝cos 2α；
＝tan 2α．
(2)公式的逆向变换及有关变形．
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；
cos2α＝；sin2α＝．
(3)研究三角函数的性质，必须把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
(4)注意熟练掌握“弦化切”的二倍角公式sin 2α＝，cos 2α＝．
3.2.2 半角的正弦余弦和正切
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课程目标
学习脉络
1．能用二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．
2．理解半角的正弦、余弦和正切公式．
3．会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值，化简和证明．
半角公式
在二倍角的正弦、余弦、正切公式中，若用代换α，可得二倍角的三角函数公式的推论：
sin＝±，cos＝±，
tan＝±＝＝．
名师点拨 (1)对于半角公式，必须明确“半角”是相对而言的，不能认为才是半角．如，2α是4α的半角，是3α的半角．
(2)若已给出所在象限，则由所在象限确定该三角函数的符号．
(3)若没有给出限定符号的条件，则该三角函数应取正、负值，其详细变化见下表．
α
sin
cos
tan
第一象限
第一、三象限
＋，－
＋、－
＋
第二象限
第一、三象限
＋，－
＋，－
＋
第三象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－
第四象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－
(4)推论tan＝＝表明tan与sin α的符号相同，用起来非常方便．
自主思考 sin α，cos α，tan α能否统一用tan表示？
提示：sin α＝2sincos
＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝，
tan α＝．
3.3三角函数的积化和差与和差化积
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课程目标
学习脉络
1．理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程．
2．能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．
1．积化和差公式
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
名师点拨(1)积化和差公式的用处是将两角α，β正弦、余弦的积都化成±[f(α＋β)±f(α－β)](*)的形式．
(2)公式记忆方法：①如果两三角函数同为正弦或余弦，那么(*)式中“f”表示余弦；②如果两三角函数一个为正弦一个为余弦 ，那么(*)式中“f”表示正弦；③只有第二个式子中右端取“－”号，其余均是“＋”号．
(3)积化和差公式中：同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半，等式左边为单角α，β，等式右边为它们的和差角．
2．和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝，这样，上面的四个式子可以写成
sin x＋sin y＝2sincos；
sin x－sin y＝2cossin；
cos x＋cos y＝2coscos；
cos x－cos y＝－2sinsin．
名师点拨 1)记忆方法：公式左边全是同名函数的和或差，四个公式中前两个是正弦的和或差，后两个是余弦的和或差；右边积的系数前三个是“2”，第四个是“－2”；公式左边两角一个是x，另一个是y，右边积中两角前一个是两角和的一半，后一个是两角差的一半；正弦和的积式为正弦乘余弦，正弦差的积式为余弦乘正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦．
(2)利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式时关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当组合．组合时遵循的原则是：①应尽量使两角的和(差)出现特殊角；②对于特殊角的三角函数应求出其值．
(3)和差化积公式中：两三角函数的系数绝对值必须相同，且为同名，一次三角函数方可应用公式，若是异名需用诱导公式化为同名，若是高次，必须用降幂公式降为一次．
余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角x与y，等式右边为与的形式．
2.1.1 向量的概念
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课程目标
学习脉络
1．了解位移的概念及相关的物理背景．
2．理解平面向量的概念及其几何表示．
3．理解零向量的含义．
4．理解相等向量、共线向量的概念．
1．位移的概念
位移只表示质点位置的变化，起、终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关，是一个既有大小又有方向的量．
名师点拨 对于位移概念的理解要把握三点：
一是位移由“方向”和“距离”唯一确定．
二是位移只与质点的始点、终点的位置关系有关，而与质点实际运动的路线无关．
三是相同(相等)的位移：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．
2．向量的概念
向量的定义：具有大小和方向的量称为向量(如图所示)．
向量的长度：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||．
自由向量：只有大小和方向，而无特定的位置．
自主思考1 向量的数量和向量的模有何区别？
提示：将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，它有正、负和0之分，可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，因此a>b就没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．有向线段的概念
有向线段：具有方向的线段，叫做有向线段．
如右图，物体从点A移动到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向，记为．
自主思考2 向量与有向线段有何联系和区别？
提示：它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的模，有向线段的方向就是向量的方向．
它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的始点是任意的，而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．
4．向量的表示
5．零向量和单位向量
长度等于零的向量，叫做零向量，记作0．零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．
名师点拨 (1)零向量是有方向的，其方向是任意的．
(2)若用有向线段表示零向量，则其终点与始点重合．
(3)要注意0与0的区别及其联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0．
(4)在今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中向量的条件是“任意向量”还是“任意非零向量”，要多加考虑零向量．
6．相等向量和共线向量
相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，即两非零向量a，b相等的等价条件应是a，b的方向相同且模相等．
若向量a与向量b相等，记作a＝b．
共线向量或平行向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b．
自主思考3 两个非零向量共线或平行有哪四种情况？
提示：共线向量可分为如下四种情况：(1)方向相同、模相等；(2)方向相同、模不等；(3)方向相反、模相等；(4)方向相反、模不等．
自主思考4 向量平行是否具有传递性？
提示：平面几何中直线的平行具有传递性：若a∥b，且b∥c，则a∥c．但在向量的平行中并不适用，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c．这是因为当b＝0时，a，c均可以是任意向量，a与c不一定平行，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c．解题过程中要充分考虑0的特殊性．
2.1.2 向量的加法
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课程目标
学习脉络
1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．
2．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和．
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们来进行向量运算．
1．向量加法的三角形法则
已知向量a，b(如图)，在平面上任取一点A，作=a，=b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
名师点拨 (1)向量的和仍然是一个向量．
(2)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相接”(即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合)，其和是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，简述为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”．
(3)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(4)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
(5)当两个非零向量a与b不共线时，则a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示．
2．向量求和的平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b(如图)，作=a，=b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
名师点拨 (1)利用平行四边形法则的条件是这两个向量必须是从同一点出发的不共线的向量．
(2)向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．
(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
3．向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
名师点拨 (1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”．
(2)当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0．
自主思考1 如何用向量证明A，B，C三点共线？
提示：(1)若∥，则A，B，C三点共线．
(2)若＝＋，则A，B，C三点共线．
自主思考2 在△ABC中，若D是BC的中点，则用，可以怎样表示？
提示：在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
证明如下：如图所示，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABD′C．
因为D为BC的中点，
所以D为平行四边形ABD′C对角线的交点．
所以AD=AD′．
又=+，
所以==．
自主思考3 在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋与有何关系？
提示：在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0．
证明如下：如图，延长GD至点H，使DH=DG，显然四边形GBHC是平行四边形，则有+=．
又G为△ABC的重心，
所以GA=2GD=GH．
因为与的大小相等，方向相反，
所以+=0．
所以＋＋＝0．
4．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主思考4 向量加法与实数加法从运算法则、运算结果、运算律和运算意义上来比较，有何异同？
提示：(1)运算法则：向量的加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是数的运算．
(2)运算结果：向量的和还是向量；实数的和还是实数．
(3)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证：
如图，作=a，=b，=c，连接AC，BD，AD，
则=a+b，=b+c．
因为=+=a+(b+c)，
=+=(a+b)+c，
所以(a+b)+c=a+(b+c)．
(4)运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．
2.1.3 向量的减法
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课程目标
学习脉络
1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．
2．明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义．
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算，并且能化简含有向量的式子．
1．向量减法的定义
(1)已知向量a，b(如图)，作=a，=b，则b+=a，向量叫做向量a与b的差，记作a－b，即＝a－b＝－．
(2)向量的减法是向量加法的逆运算，如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”．
名师点拨 (1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．
(2)以向量＝a与＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后的应用中非常重要．
自主思考1试证明：对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．
提示：若a，b至少有一个是0，则不等式显然成立．
若a，b都不是0时，作＝a，＝b，则＝－＝a－b．
①当a，b不共线时，如图(1)所示，则|||－|||<||<||＋||，即||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|．
②当a，b共线时，若a，b同向，如图(2)所示，||＝|||－|||，即||a|－|b||＝|a－b|；若a，b反向，如图(3)所示，||＝||＋||，即|a－b|＝|a|＋|b|．综上可得||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．
图(1) 图(2) 图(3)
2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解
(1)定义．
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图所示)．
(2)性质．
①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②－(－a)＝a；
③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0．
(3)向量减法的再理解．
从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量，因此关于向量减法的作图一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．
名师点拨 (1)相反向量从两个方面进行定义，即“模长”与“方向”，这是考虑向量问题的基本出发点．
(2)相反向量必是平行向量．
2.1.4 向量数乘
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课程目标
学习脉络
1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．
2．掌握数乘向量的运算律．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．数乘向量
(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|．若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
自主思考1试讨论λ的取值对λa的方向和长度的影响？
提示：若a≠0，当λ>1时，沿a的方向放大为原来的λ倍；当0<λ<1时，沿a的方向缩小为原来的λ倍；当λ<－1时，沿a的反方向放大为原来的|λ|倍；当－1<λ<0时，沿a的反方向缩小为原来的|λ|倍．由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题．
(3)数乘向量的运算律．
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
自主思考2数乘向量与实数的乘法有何区别？
提示：(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意当λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成λa＝0．
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无意义的．
2.1 向量的线性运算
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课程目标
学习脉络
1．理解单位向量、基向量等基本概念．
2．掌握平行向量基本定理．
3．熟记轴上向量坐标运算公式，并会简单应用．
1．平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb．
自主思考1 条件“b≠0”是否可以去掉，若不能请说明理由？
提示：因为如果b＝0，则一定有a与b共线(零向量与任意向量共线)，此时a有两种情况：①a＝0；②a≠0．若a＝0，此时a＝λb中的λ有无数个，若a≠0，此时不存在λ使得a＝λb成立．以上两种情况违背λ的“存在且唯一性”．
自主思考2 对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b是否共线？
提示：共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，结论显然成立；若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线．但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0．
自主思考3 如何利用平行向量基本共线定理证明三点共线？
提示：利用向量的共线条件证明三点共线的一般步骤为：
①以三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量a，b；
②证明两个向量满足平行向量基本定理，即存在唯一实数λ，使b＝λa或a＝λb成立；
③由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线．
2．三点共线的一个常用结论
向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝＋，反之也成立．
证明：如图所示，若，，的终点A，B，C共线，则∥，故存在实数m，使得=m．
又因为=-，=-，
所以-=m(-)，
所以=-m+(1+m) ．
令λ=-m，μ=1+m，则存在λ，μ，且λ+μ=1，
使得=λ+μ．
反之，若=λ+μ，其中λ+μ=1成立，
则μ=1-λ，=λ+(1-λ) ．
于是有-=λ(-)，即=λ，
所以A，B，C三点共线，即向量，，的终点在一条直线上．
3．单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0，a0＝．
4．轴上向量的坐标及坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
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课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量基本定理的应用．
3．了解直线的向量参数方程．
内容
注意问题
平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2．我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量；
(2)该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；
(3)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为一组基底；
(4)教材中定理的证明，是用作图法证明了存在性，又用反证法证明了唯一性．
直线的向量参数形式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{， }的分解式为＝(1－t)＋t，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
(1)直线l的向量参数方程式也可以写成＝ (其中t为实数)．
(2)在直线l的向量参数方程式＝(1－t)＋t中，与的系数之和一定为1．
(3)对于平面内任意一点O，若存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，则P，A，B三点共线．
(4)对于平面内任意一点O，若P，A，B三点共线，则一定存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．
3．能借助向量坐标，用已知向量表示其他向量．
1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如，A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则＝(3,3)，＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标却不相同．
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
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课程目标
学习脉络
1．会用坐标表示平面向量共线的条件．
2．能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．
1．两个向量平行的坐标表示
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b?a1b2－a2b1＝0；
如果b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b ?＝，即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
注意：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
自主思考1 如何判断共线的两个向量方向同向还是反向？
提示：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是：
当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．
自主思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标是，在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，猜想并证明△ABC的重心坐标公式？
证明：设G点的坐标为，
如图所示点D的坐标为，
又=，即
=，
解得=，=，
所以G点坐标为．
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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课程目标
学习脉络
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．知道平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．
注意问题：(1)规定零向量与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
(3)正射影在轴l上的坐标al是一个数量，当0≤θ<时，al>0；当θ=时，al=0；当<θ≤π时，al<0．
(4)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
(6)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°．注意三种特殊情况：当θ=0°时，a与b同向；当θ=90°时，a⊥b；当θ=180°时，a与b反向．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当θ=90°时，a·b=0；当90°<θ≤180°时，a·b<0．
(7)若a≠0，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，因为当a⊥b(b≠0)时，a·b＝0．
自主思考 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算在定义和表示方法上有何区别？
提示：(1)从定义上看：两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．
(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．
2.3.2 向量数量积的运算律
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课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量数量积的运算律，并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别．
2．会应用运算律进行相关的计算或证明等问题．
1．向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律
a·b＝b·a
结合律
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
自主思考1 若a·b＝b·c，能否得到a＝c?
提示：若a，b，c(b≠0)为实数，则ab=bc?a=c；但对于向量，就不正确，即a·b=b·cD?/a=c．由图知a·b=b·c，但a≠c．
自主思考2 向量数量积的运算是否满足结合律，即(a·b)c＝a(b·c)?
提示：由于向量的数量积是实数，
则设a·b＝λ，b·c＝μ，
则(a·b)c＝λc，a(b·c)＝μa．
由于c，a是任意向量，
则λc＝μa不一定成立．
所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
2．由(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得向量的三个运算公式：
(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；
(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2．
注意：|a|2＝a·a，|b|2＝b·b．
2.3 平面向量的数量积
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课程目标
学习脉络
1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能利用平面向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直、正投影等实际问题．
向量的数量积(内积)的坐标运算
自主思考 如何用向量的数量积表示向量夹角的大小？
提示：非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系：
θ为锐角或零角?a·b>0?x1x2＋y1y2>0；
θ为直角?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0；
θ为钝角或平角?a·b<0?x1x2＋y1y2<0．
2.4 向量的应用
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课程目标
学习脉络
1．会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．
2．会用向量方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解的问题．
1．向量在平面几何中的应用
自主思考 用向量处理问题时，选择向量的基底应遵循哪些基本原则？
提示：选择适当的基向量的基本原则是：
(1)不共线；
(2)基向量的长度最好是确定的；
(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；
(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形．
2．向量在解析几何中的应用
(1)若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a ＝(m，n)平行于l，则k＝tan α＝；反之，若直线l的斜率k＝，则向量(m，n)一定与该直线平行；
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行；
(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0；
(4) 过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0．
3．向量在物理中的应用
