1.1 命题与量词
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课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 (1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词．
名师点拨 存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
1.2.1“且”与“或”
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课程目标
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1.了解含有“且”“或”联结词的复合命题的概念及其构成形式，理解“且”“或”的含义．
2．会用真值表判断由“且”与“或”构成的新命题的真假.
1．且
思考1“且”与自然语言中的哪些词语相当？
提示：“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当．
思考2如何用“且”来定义集合A和集合B的交集？
提示：A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2．或
思考3逻辑联结词“或”和日常语言中的“或者”相同吗？
提示：不相同，日常语言中的“或”是“不可兼有”的，而数学中的“或”是“可兼有但不必须兼有”．
思考4如何用“或”定义集合A与集合B的并集？
提示：A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．
1.2.2“非”（否定）
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1.了解含有“非”的命题的含义．
2．会判断含有逻辑联结词“非”的命题的真假．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1．命题p的否定p
(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定：
p
p
真
假
假
真
思考1对一个命题p进行否定，否定的是此命题的条件还是结论？
提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．
2．存在性命题的否定
存在性命题p
p
结论
x∈A，p(x)
x∈A，p(x)
存在性命题的否定是全称命题
思考2存在性命题否定后如何进行真假判断？
提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．
3．全称命题的否定
全称命题q
q
结论
x∈A，q(x)
x∈A，q(x)
全称命题的否定是存在性命题
思考 3全称命题的否定描述是否唯一？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
思考4省略全称量词的全称命题如何进行否定？
提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，q也是假命题，这与q，q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
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1.了解推出的意义．
2．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
3．会具体判断所给条件是哪一种条件.
1．推出
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p，q分别表示研究对象所具有的性质．p称做命题的条件，q称做命题的结论．
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说，由p成立可推出q成立，记作pq，读作“p推出q”．
思考1推出是否具有传递性？
提示：推出具有传递性．若pq，且qr，则pr.
2．充分条件、必要条件
如果由p可推出q，我们称p是q的充分条件；q是p的必要条件．
思考2若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞10等也是x＞0的充分条件．
思考3p是q的充分条件与q是p的必要条件有怎样的关系？
提示：p是q的充分条件反映了pq，而q是p的必要条件也反映了pq，所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同．
3．充要条件
思考4如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．例如，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．
1.3.2 命题的四种形式
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1.理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念．
2．能够写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．
3．会分析四种命题之间的相互关系.
1．命题的四种形式及其概念
形式
本质
原命题
如果p，则q
逆命题
如果q，则p
条件和结论“换位”
否命题
如果p，则q
条件和结论“换质”
逆否命题
如果q，则p
条件和结论“换质”又“换位”
思考1四种命题是否是固定的？
提示：不是，原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．
思考2一个命题的否命题与它的否定是相同的吗？
提示：不是．
命题的否定：只否定结论，它的真假与原命题的真假相反．
否命题：条件和结论同时否定，它的真假与原命题的真假可能相同，也可能相反．
2．四种命题的关系
(1)原命题和逆命题是互逆的命题；否命题和逆否命题也是互逆的命题．
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题．
(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题．
四种命题的关系如下图：
思考3为什么互为逆否命题的两个命题是等价的？
提示：互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释．
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，其中p，q是集合A，B中元素的特征性质，如果AB，则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q，所以可以认为AB与pq等同．由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论：AB与UBUA等价，也就说明“pq”与“qp”等价．
3.1.1 函数的平均变化率
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1.理解平均变化率的意义．
2．会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.
平均变化率
思考1直线的斜率k，倾斜角θ及直线上两点坐标之间有什么关系？
提示：设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)(x0≠x1)，自变量x的改变量x1－x0记为Δx，函数值的改变量y1－y0记为Δy，即Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.
直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则有k＝tan_α＝＝.
思考2平均变化率的取值一定是正数吗？
提示：不一定．平均变化率可正、可负，也可以为零，平均变化率为0，函数f(x)并不一定没有发生变化．
3.1.3 导数的几何意义
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1.分清平均速度与瞬时速度的概念．
2．了解函数的平均变化率与导数的关系．
3．会求物体运动过程中某时刻t0的瞬时速度和函数的瞬时变化率．
4．掌握导数的几何意义，会求函数在点(x0，y0)处的切线斜率及切线方程.
1．瞬时变化率
思考1平均变化率与瞬时变化率相同吗？
提示：不相同．平均变化率是描述函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率是描述函数值在x0点处变化的快慢．
思考2瞬时变化率定义中Δx→0的含义是什么？
提示：Δx趋近于0的距离要多近就有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
2．导数与导函数
思考3函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗？
提示：相同．
思考4函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数吗？
提示：不一定．存在导数的点x0首先在区间内部，不能是区间的端点，其次是当Δx→0时，趋近于一个常数，否则就不存在导数．
特别提醒(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
3．导数的几何意义
思考5曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
提示：不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一个或多个公共点．
3.2.2 导数公式表
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课程目标
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1.能根据导数的定义，求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式．
3．能应用基本初等函数的导数解决有关问题.
基本初等函数的导数
(1)几个常用函数的导数：
函数
导数
函数
导数
y＝f(x)＝C
C′＝0
y＝f(x)＝x
x′＝1
y＝f(x)＝x2
(x2)′＝2x
y＝f(x)＝(x≠0)
′＝－
(2)基本初等函数的导数公式：
序号
y＝f(x)
y′＝f′(x)
1
y＝C
y′＝0
2
y＝xn
y′＝nxn－1，n为自然数
3
y＝xμ(x＞0，μ≠0)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
4
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝axln_a
5
y＝ex
y′＝ex
6
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
y′＝
7
y＝ln x
y′＝
8
y＝sin x
y′＝cos_x
9
y＝cos x
y′＝－sin_x
思考1常数函数y＝C的导数的几何意义和物理意义是什么？
提示：y′＝0表示函数y＝C图象上每一点的切线的斜率都为0；若y＝C表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
思考2函数y＝x的导数的几何意义和物理意义分别是指什么？
提示：y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线斜率都为1，任一点处的切线都是函数图象本身；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3.2.3 导数的四则运算法则
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课程目标
学习脉络
1.熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
导数的四则运算法则
设f(x)，g(x)是可导的，
符号表示
文字描述
函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)
函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
[Cf(x)]′＝Cf′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数
函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)
两个函数商的导数，等于分母乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方
思考1导数的运算法则成立的条件是什么？
提示：两个函数必须都是可导的，并且商式中要求分母不为零．
思考2积的导数公式与商的导数公式中分子的表达式相同吗？
提示：不相同．在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商的导数公式中，分子f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
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课程目标
学习脉络
1.理解导数的符号与函数单调性的关系．
2．会用导数判断函数的单调性．
3．会用导数求函数的单调区间.
导数符号与函数单调性的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
导数符号
单调性
f′(x)＞0
在区间(a，b)内是增函数
f′(x)＜0
在区间(a，b)内是减函数
f′(x)＝0
常数函数
思考1在区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则f(x)在该区间内是增函数，那么反过来是否成立？
提示：不一定成立．例如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(0)＝0，因此f′(x)＞0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件．
思考2函数的单调区间与定义域有怎样的关系？
提示：函数的单调区间是函数定义域的子集．
3.3.2 利用导数研究函数的极值
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课程目标
学习脉络
1.理解函数极值与最值的概念．
2．了解极值与最值的区别与联系．
3．会用函数的导数求函数的极值和最值.
1．极值点与极值的概念
名称
定义
表示法
极值
极大值
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值
记作：y极大值＝f(x0)
极小值
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值
记作：y极小值＝f(x0)
极值点
若函数f(x)在x0处取得极大值，则把x0称为函数f(x)的一个极大值点；若函数f(x)在x0处取得极小值，则把x0称为函数f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点
思考1极值点是不是一个点？
提示：极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．
思考2同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？
提示：不一定．极值是一个局部概念，在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，极大值不一定比极小值大．
2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤
(1)求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．
思考3若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点吗？
提示：不一定．例如函数y＝x3在x＝0处的导数为0，但它不是极值点．因为f′(x)在x＝0的左右两侧的符号相同．对可导函数来说，导数为0是函数在这一点取得极值的必要不充分条件．
3．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值
思考4函数的极大值一定是最大值吗？
提示：不一定．首先函数的极大值可能不唯一，有多个，其次，极大值还要与端点的函数值比较大小，才能确定哪个是最大值．
3.3.3 导数的实际应用
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课程目标
学习脉络
1.通过实例了解利用导数解决实际问题中的最优化问题的步骤．
2．会利用导数解决某些实际问题.
1．最优化问题
在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．
2．解决优化问题的基本思路
思考 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤有哪些？
提示：(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)；
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围；
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值；
(4)下结论，回扣题目，给出完整的答案．
温馨提示 求解应用问题的方法
解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．对于这类问题，我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．
运算不过关，就得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路．在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的新的途径和方法，并从中进行一番选择．
2.1.1 椭圆及其标准方程
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课程目标
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1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握待定系数法求椭圆的标准方程.
1．椭圆的定义
思考1椭圆的定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？
提示：不一定是．当2a＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．当2a＝|F1F2|时，动点M的轨迹为线段F1F2.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
a2＝b2＋c2
思考2椭圆的标准方程具有怎样的特征？
提示：椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等的正数．
思考3如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置？
提示：依据分母的大小来判断．焦点所在轴的对应分母大．
特别提醒 在已知椭圆的标准方程解题时，应特别注意a＞b＞0这个条件．
2.1.2 椭圆的几何性质
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课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝∈(0,1)，其中c＝
思考1焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
2.2.1 双曲线及其标准方程
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课程目标
学习脉络
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法确定双曲线的方程．
3．与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分.
1．双曲线
思考1在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，则点的轨迹是怎样的？
提示：在双曲线的定义中，若去掉条件0＜2a＜|F1F2|，
(1)当2a等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)当2a大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(3)当2a等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
思考2在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？
提示：不是．去掉“绝对值”后，点的轨迹是双曲线的一支．
2.双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
c2＝a2＋b2
思考3在双曲线的标准方程中，怎样判断焦点在哪条坐标轴上？
提示：如果含x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果含y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
名师点拨 双曲线与椭圆的比较
2.2.2 双曲线的几何性质
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1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．能够运用双曲线的性质解决一些简单问题．
3．正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，
y∈R
x∈R，y≤－a
或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考1双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响？
提示：双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．
思考2双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上？
提示：实轴．
思考3一条直线与双曲线的渐近线平行时，它与双曲线有几个公共点？
提示：1个．
名师点拨 双曲线与椭圆的六个不同点：
双曲线
椭圆
图形
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2
2.3.1 抛物线及其标准方程
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课程目标
学习脉络
1.知道抛物线的定义，能推出抛物线的标准方程．
2．能根据条件，求出抛物线的标准方程.
1．抛物线的定义
思考1定义中为什么加上条件“l不经过F”？
提示：若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线．
思考2抛物线的图形是双曲线的一支吗？
提示：不是．当抛物线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于和x轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，图象的切线接近于与渐近线平行．抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别．
2．抛物线的标准方程
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是；它的准线方程是x＝－，其中p是焦点到准线的距离，叫做抛物线的焦参数．
思考3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗？
提示：抛物线对应的方程不一定是二次函数．如y2＝4x是抛物线，但不是函数，更不是二次函数．
思考4抛物线的标准方程中，p的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．
2.3.2 抛物线的几何性质
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课程目标
学习脉络
1.理解抛物线的简单几何性质．
2．了解抛物线的简单应用．
3．归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.
1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质
思考1掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么？
提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向．
思考2抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？
提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线．它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
思考3怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？
提示：一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
如果y是一次项，负时向下，正时向上．
如果x是一次项，负时向左，正时向右．
名师点拨1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的；(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号，开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
2．只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
