回扣验收特训（二）
数
列
1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d>0
B．d<0
C．a1d>0
D．a1d<0
解析：选D ∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，
∴a1d<0，故选D.
2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24
B．48
C．66
D．132
解析：选D 由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12，
由等差数列的性质得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，则a6＝12，所以S11＝＝＝132，故选D.
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165
B．－33
C．－30
D．－21
解析：选C 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，
∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1
＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，
∴a1＝d，又＝＝＝＝，故选A.
5．已知数列2
008,2
009,1，－2
008，－2
009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2
016项之和S2
016等于( )
A．1
B．2
010
C．4
018
D．0
解析：选D 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前n项依次为2
008,2
009,1，－2
008，－2
009，－1,2
008,2
009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2
016＝6×336，∴S2
016＝S6＝0.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1
B．4n－1
C．2n－1
D．2n－1
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①÷②可得＝2，
∴q＝，代入①解得a1＝2，
∴an＝2×n－1＝，
∴Sn＝＝4，
∴＝＝2n－1.
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________.
解析：由an＝2n－30，令an<0，得n<15，即在数列{an}中，前14项均为负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)
＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.
答案：190
8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相减可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1.因为q>0，所以q＝.
答案：
9．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
解析：an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋
＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.
答案：2－
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2n－1.
因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，
所以数列{bn－an}的公差d＝2，
所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
所以bn＝2n＋2n－1.
(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
＝＋
＝n(n＋1)＋2n－1.
11．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解：(1)证明：Sn＝(n∈N＋)，
①
Sn－1＝(n≥2)．
②
①－②得an＝(n≥2)，
整理得(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1(n≥2)．
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)得Sn＝，
∴bn＝＝＝2，
∴Tn＝2＋＋＋…＋＝2＝.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由已知，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．回扣验收特训（三）
不等式
1．若＜＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab
B.＋＞0
C．ab＜b2
D．a2＞b2
解析：选D 由＜＜0，可得b＜a＜0，故选D.
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3
B．1
C．－1
D．3
解析：选A 由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
3．函数y＝(x＞1)的最小值是( )
A．2＋2
B．2－2
C．2
D．2
解析：选A ∵x＞1，
∴x－1＞0.
∴y＝＝
＝
＝
＝x－1＋＋2
≥2＋2当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
4．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值为( )
A．4
B．0
C．2
D．－4
解析：选D 如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x－y＝0，并向左上平移，过点A时，2x－y最小，
由
得A(－1,2)，
∴(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4.
5．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5
B．29
C．37
D．49
解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0
B．1
C.
D．3
解析：选B 由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝.
又x，y，z为正实数，∴＋≥4，即≤1，
当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.
∴＋－＝＋－
＝－2＋＝－2＋1，
当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.
7．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，
∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．
∴的最大值为3.
答案：3
8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat______loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥
，
所以loga≥loga＝logat.
答案：≤
9．已知实数x，y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数可化为y＝x－z，作直线y＝x及其平行线，知当此直线经过点A时，－z的值最大，即z的值最小．又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3－2×6＝－9.
答案：－9
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5
min，生产一个骑兵需7
min，生产一个伞兵需4
min，已知总生产时间不超过10
h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)．
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为：
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，
由
得
最优解为A(50,50)，所以Wmax＝550(元)．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；
问哪种方案最合算？为什么？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f(n)＝－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2
(2)①年平均利润＝＝40－2≤16.
当且仅当n＝6时取等号．
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．
12．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
解：设f(x)＝x2＋ax＋2b，
由题意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，
∴即
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．
由
解得即C(－3,1)．
令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
又B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝，kAC＝，
∴≤≤.
故的最大值是，最小值是.回扣验收特训（一）
解三角形
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12
B.
C．28
D．6
解析：选D 由余弦定理得cos
A＝＝＝，所以sin
A＝，则S△ABC＝bcsin
A＝×3×8×＝6.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A.
B.
C．1
D.
解析：选D 由正弦定理可得＝＝＝.
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos
θ等于( )
A.
B．－
C．±
D．±
解析：选C ∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin
θ＝4.∴sin
θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos
θ＝±＝±.
4．某人从出发点A向正东走x
m后到B，向左转150°再向前走3
m到C，测得△ABC的面积为
m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3
m
B.
m
C．2
m
D.
m
解析：选D 在△ABC中，S＝AB×BCsin
B，
∴＝×x×3×sin
30°，∴x＝.
由余弦定理，得AC＝＝＝(m)．
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的边长为( )
A.
B．3
C.
D．7
解析：选A ∵S△ABC＝AB·ACsin
A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
A＝4＋1－2×2×1×cos
60°＝3，即BC＝.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：选B ∵bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝＝a＝asin
A，
∴sin
A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．
7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
解析：由题意知a边最大，sin
A＝，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos
A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．
∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.
答案：a＝7，b＝5，c＝3
9．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos
A＝________.
解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccos
A＋2bc.
又S＝bcsin
A，∴bcsin
A＝2bc－2bccos
A.
∴4－4cos
A＝sin
A，平方得17cos2A－32cos
A＋15＝0.
∴(17cos
A－15)(cos
A－1)＝0.
∴cos
A＝1(舍去)或cos
A＝.
答案：
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos
A＝，sin
B＝cos
C.
(1)求tan
C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为0A＝，
所以sin
A＝＝，
又cos
C＝sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝cos
C＋sin
C，
所以cos
C＝sin
C，tan
C＝.
(2)由tan
C＝得sin
C＝，cos
C＝，
于是sin
B＝cos
C＝.
由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin
B＝×××＝.
11.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos
B－cos∠ADCsin
B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin
B，sin
A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，c＝2，C＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：∵m∥n，∴asin
A＝bsin
B，
∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由m⊥p，得m·p＝0，
∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，
∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C，
得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，
解得ab＝4(ab＝－1舍去)，
∴S△ABC＝absin
C＝×4×sin
＝.