阶段质量检测（一）
解三角形
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A.或
B.
C.
D.
解析：选C 由＝，得sin
C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.
2．在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
解析：选B ∵sin
A＝sin
C且A，C是三角形内角，
∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．
∴△ABC是等腰三角形．
3．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
解析：选A 由正弦定理得＝，
∴sin
B＝＝＞1，即sin
B
＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos
B＝( )
A．±
B.
C．－
D.
解析：选A 因为＝，所以＝，解得sin
B＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos
B＝±.
5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos
θ＝＝.
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A.
B．1＋
C.
D．2
解析：选B ∵S△ABC＝acsin
B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accos
B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos
30°＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.
7．已知△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
C.
D.
解析：选D 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，∵即∴k>.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析：选B 由已知可得＝－，
即cos
A＝，b＝ccos
A.
法一：由余弦定理得cos
A＝，
则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得
sin
B＝sin
Ccos
A．在△ABC中，sin
B＝sin(A＋C)，
从而有sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin
Ccos
A，
即sin
Acos
C＝0.在△ABC中，sin
A≠0，
所以cos
C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2
B．8
C.
D.
解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，
∴sin
C＝，∴S△ABC＝absin
C＝＝＝.
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin
α＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin
120°＝.
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时
B．1小时
C.小时
D．2小时
解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos
120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．
12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos
A＝＝＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sin
A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin
C＝·sin
A＝·＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C，
即a∶b∶c＝sin
30°∶sin
30°∶sin
120°
＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos
C的值为________．
解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理，cos
C＝
＝＝，
所以cos
C＝.
答案：
15．在△ABC中，已知cos
A＝，cos
B＝，b＝3，则c＝________.
解析：在△ABC中，∵cos
A＝>0，
∴sin
A＝.
∵cos
B＝>0，∴sin
B＝.
∴sin
C＝sin
[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
答案：
16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1
km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
解析：如图，∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1(km)．
由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin
15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin
75°＝×＝(km)．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos
A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，
由正弦定理得＝.
所以＝.故cos
A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，
所以sin
A＝＝.
又因为B＝2A，
所以cos
B＝2cos2A－1＝.
所以sin
B＝＝.
在△ABC中，sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝.
所以c＝＝5.
18.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31
km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20
km到达D处，此时测得C，D相距21
km，求D，A之间的距离．
解：由已知，得CD＝21
km，BC＝31
km，BD＝20
km，
在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cos
α＝，sin
α＝，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
得＝，
所以AD＝sin(60°＋α)＝
＝15(km)，
即所求D，A之间的距离为15
km.
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，sin
A＝，b＝2.
(1)求sin
C的值；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)∵A，B，C为△ABC的内角，且B＝，sin
A＝，
∴C＝－A，cos
A＝，
∴sin
C＝sin
＝cos
A－sin
A＝.
(2)由(1)知sin
C＝，
又∵B＝，b＝2，
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝，
∴S＝absin
C＝××2×＝.
20．(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos
A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)∵cos
A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cos
A＋1.
又2cos2＋cos
A＝0，
∴2cos
A＋1＝0，
∴cos
A＝－，
∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos
A，
又a＝2，b＝2，cos
A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．
21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
解：由题意知AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos
120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝60×＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11
200，
所以PC＝40海里．
22．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin
A＋cos
A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
解：(1)依题意得2sin＝2，即sin＝1，
∵0
(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
∴S△ABC＝absin
C＝×2×2×＝＋1.阶段质量检测（二）
数
列
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数数列
D．摆动数列
解析：选D 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…，所以数列{an}是摆动数列．
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．－3
D．－4
解析：选D 由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )
A．10
B．20
C．16
D．12
解析：选D ∵{an}是等差数列，
∴d＝＝，
∴a7＝2＋4×＝12.
4．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶3
解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
6．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )
A．－1
B．1
C．5
D．－5
解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝＝－·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项
B．第10项
C．第12项
D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.
8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝( )
A．2
B.
C．3
D.
解析：选C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝，∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3.故选C.
9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为的等比数列，那么an＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.
设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，
∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝＝，
∴an＝.
10．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D.或
解析：选B 由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，
∴q2＝1＋q，解得q＝.
又∵{an}各项均为正数，
∴q>0，即q＝.
∴＝＝＝.
11．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设{an}的公比为q，q>0，且a＝1，
∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.
∴S5＝＝8×＝.
12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2
014，－＝2，则S2
016的值为( )
A．－2
016
B．2
016
C．2
015
D．－2
015
解析：选B 因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列．设数列的公差为d′，则由－＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以＝＋2
015d′＝a1＋2
015d′＝－2
014＋2
015＝1，所以S2
016＝2
016.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2
015－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2
015－3n>0，得n<＝671，
又∵n∈N＋，∴n的最大值为671.
答案：671
15．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．
解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
答案：6
16．在等比数列{an}中，若1，a2，a3－1成等差数列，则＝________.
解析：设等比数列的公比为q，
依题意，可得2a1q＝1＋a1q2－1，
又a1≠0，整理得q2－2q＝0，
所以q＝2或q＝0(舍去)，
所以＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意，有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由(1)可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2
016.
解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N＋)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝.
∴x2
016＝.
19．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.
(1)求等比数列{an}的公比q；
(2)求a＋a＋…＋a.
解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.
(2)由(1)，得an＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.
20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N＋)，且a2＝3，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差是d，
由已知条件得
解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，
∴bn＝＝
＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
21．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，
因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，
则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N＋)，
则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，
即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，
化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.
22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N＋，
所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．阶段质量检测（三）
不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．AB
D．A>B
解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B.
2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则
3．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2}
D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
4．不等式组所表示的平面区域是( )
解析：选D 不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.
5．已知aA.>
B．ab<1
C.>1
D．a2>b2
解析：选D 由ab2，故选D.
6．若－4A．有最小值2
B．有最大值2
C．有最小值－2
D．有最大值－2
解析：选D f(x)＝＝(x－1)＋，
又∵－40.
∴f(x)＝－≤－2.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A.
B．4
C.
D．5
解析：选C ∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝·
＝＋≥＋2
＝
.
故y＝＋的最小值为.
8．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：选B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.
由解得
即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.
9．已知01，记M＝loga，N＝logab，P＝logb，则M，N，P的大小关系为( )
A．PB．NC．ND．P解析：选B ∵01，
∴a>>0，b>>0，
∴M＝loga>logaa＝1，N＝logab又∵P＝logb＝－1，∴N10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选C 求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，
则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，此时x＝，解得x＝5.
11．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞)
D．(－∞，－6)
解析：选A 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a<－，即a>，故实数a的取值范围是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．点(a,1)在直线x－2y＋4＝0的右下方，则a的取值范围是________．
解析：由题意，可得a－2＋4>0，即a>－2.
答案：(－2，＋∞)
14．若a＜b＜0，则与的大小关系为________．
解析：∵－＝＝＜0，
∴＜.
答案：＜
15．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，
所以(－3)(＋1)≥0，
所以≥3，所以ab≥9.
答案：[9，＋∞)
16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，
不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有
即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为
即0(2)原不等式等价于即
因式分解，得
所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－318．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋.
19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时，
有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，
且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800
m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1
m宽的通道，沿前侧内墙保留3
m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为a
m，后侧边长为b
m，蔬菜的种植面积为S
m2，则ab＝800.
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
答：当矩形温室的左侧边长为40
m，后侧边长为20
m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648
m2.
21．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．
解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
所以－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，
从而有解得
(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
所以＋的最小值为9.
22．(12分)某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：
每台产品所需资金(百元)
月投入资金(百元)
空调
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
利润
6
8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得
即
目标函数为z＝6x＋8y.
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，y∈N，
所以zmax＝6×4＋8×9＝96.
答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9
600元．