2017_2018学年高中数学课时跟踪检测（19份打包）新人教B版必修5

课时跟踪检测（十四）
均值不等式
层级一　学业水平达标
1．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg
x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：选B　A中，当0x<0，lg
x＋≥2不成立；由均值不等式知B正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋的最小值为；D中，由函数f(x)＝x－在区间(0,2]上单调递增，知x－的最大值为，故选B.
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg(2x)　　　
B．x2＋1>2x
C.≤1
D．x＋≥2
解析：选C　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　)
A.＋<1
B.＋≥1
C.＋<2
D.＋≥2
解析：选B　因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.
4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)
A.>
B.<
C.＝
D.≤
解析：选A　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.
5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)
A．最大值64
B．最小值
C．最小值
D．最小值64
解析：选D　由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.
答案：4
7．已知0解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2
＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
层级二　应试能力达标
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab|　　　　
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是0
D．正负不确定
解析：选B　因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，
所以＋＋＝－＋＋，
因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2，
所以－≤，又＋≤－2，
所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B.
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：选D　由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
4．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6
B．4
C．2
D．8
解析：选B　∵a，b是实数，∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2
＝2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
5．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
解析：x＋≥a恒成立 min≥a，
∵x>1，即x－1>0，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
∴a≤3，即a的最大值为3.
答案：3
6．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴9ab＋10≤，∴≥.
答案：
7．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
8．已知k>，若对任意正数x，y，不等式x＋ky≥
恒成立，求实数k的最小值．
解：∵x>0，y>0，
∴不等式x＋ky≥恒成立等价于＋k≥恒成立．又k>，
∴＋k≥2，
∴2≥，解得k≤－(舍去)或k≥，
∴kmin＝.课时跟踪检测（九）
等比数列的概念及通项公式
层级一　学业水平达标
1．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B．－1
C．±1
D．2
解析：选C　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：选D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得
n＝7.
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选B　∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于(　　)
A．9
B．10
C．11
D．12
解析：选C　∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1
＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　)
A．(－2)n－1
B．－(－2n－1)
C．(－2)n
D．－(－2)n
解析：选A　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.∵·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.
答案：28
9．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解：设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4.
由16·n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9.
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，
求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．
又a1＝＝2，∴an＝2n.
层级二　应试能力达标
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.
D．1
解析：选A　原式＝＝＝.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝(　　)
A．1
B．3
C．±1
D．±3
解析：选A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　)
A．607.5
B．608
C．607
D．159
解析：选C　∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
5．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.
答案：1
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴数列{an}是等比数列．
8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N＋.∴＝3，
∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．
∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.课时跟踪检测（一）
正弦定理
层级一　学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin
A∶sin
B的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　根据正弦定理得＝＝.
2．在△ABC中，a＝bsin
A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选B　由题意有＝b＝，则sin
B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选B　由正弦定理得，＝＝，
则cos
C＝sin
C，即C＝45°，故选B.
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：选B　在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin
B＝＝＝.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin
A，则sin
B＝(　　)
A.
B.
C.
D．－
解析：选B　由正弦定理得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，所以sin
A＝sin
Bsin
A，故sin
B＝.
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
解析：①中a＝bsin
A，有一解；②中csin
Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．
答案：④
7．在△ABC中，若(sin
A＋sin
B)(sin
A－sin
B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.
答案：
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理得，
a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝
＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.
层级二　应试能力达标
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)
A．120°
B．105°
C．90°
D．75°
解析：选A　∵c＝a，∴sin
C＝sin
A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sin
C＝－cos
C，∴tan
C＝－.又0°∴C＝120°.故选A.
2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin
B＋sin
C＝sin
A，则a＝(　　)
A.
B．2
C．4
D．2
解析：选C　根据正弦定理，sin
B＋sin
C＝sin
A可化为b＋c＝a，
∵△ABC的周长为4(＋1)，
∴解得a＝4.故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：选B　由a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C得＝2R＝＝＝.
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，由正弦定理得＝＝＝，
所以sin∠CED＝·sin∠EDC
＝·sin
＝.
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________.
解析：因为＝，所以＝，
所以b＝a，
①
又因为a＋b＝12，
②
由①②可知a＝12(3－)．
答案：12(3－)
6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin
B＝_______.
解析：由正弦定理，得＝，即
sin
C＝
＝＝.
可知C为锐角，∴cos
C＝＝.
∴sin
B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin
60°·cos
C－cos
60°·sin
C＝.
答案：
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin
A＝cos
C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin
A＋sin
C＝sin
B，
又∵sin
A＝cos
C，
∴sin
A＋sin
C＝cos
C＋sin
C＝sin(C＋45°)＝sin
B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
所以C＝15°.
8．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．
解：由正弦定理知＝，∴＝.
即sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，∴sin
2A＝sin
2B.
又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，
由得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝＝＝2.课时跟踪检测（七）
等差数列的性质
层级一　学业水平达标
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　
B．16
C．20
D．24
解析：选B　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：选A　由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
3．下列说法中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
解析：选C　因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5
B．8
C．10
D．14
解析：选B　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A．8
B．4
C．6
D．12
解析：选A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.
答案：－21
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案：1或2
8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________.
解析：根据等差数列的性质，可得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，∴a6＝.∴a4＋a8＝2a6＝.
答案：
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：由等差数列的性质得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．
解：设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依题意可得，
化简可得
∴或或或
∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.
层级二　应试能力达标
1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　)
A．公差为－1的等差数列
　
B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列
D．公差为19的等差数列
解析：选D　(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D．－
解析：选D　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan
＝－.
3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：选C　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝＝.
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升
B.升
C.升
D.升
解析：选B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即解得则a5＝a1＋4d＝，
故第5节的容积为升．
5．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又数列{an}为等差数列，
∴a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
6．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
7．数列{an}为等差数列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
8．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．
解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．课时跟踪检测（二）
余弦定理
层级一　学业水平达标
1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D．3
解析：选B　S△ABC＝absin
C＝×2×3×＝.
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选B　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝，∴A＝60°.
3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos
C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选C　由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos
C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos
A＝＝＝－.
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A.
B．8－4
C．1
D.
解析：选A　由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos
C＝2abcos
60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)
A．40
B．20
C．40
D．20
解析：选A　设另两边长为8x,5x，
则cos
60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
故两边长分别为16与10，
所以三角形的面积是×16×10×sin
60°＝40.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为________．
解析：∵cos
C＝，0C＝，
∴S△ABC＝absin
C＝×3×2×＝4.
答案：4
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴()2＝a2＋12－2a×1×cos
，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－，则b＝________.
解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos
B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，
解得b＝4.
答案：4
9．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin
C.
解：∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理的推论，得
cos
A＝＝＝－.
又∵0°∴A＝120°，
∴sin
A＝sin
120°＝.
由正弦定理，得sin
C＝＝＝.
∴最大角A为120°，sin
C＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos
Bcos
C.
(1)求cos
A；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cos
Bcos
C，
得3(cos
Bcos
C－sin
Bsin
C)＝－1，
即cos(B＋C)＝－，
从而cos
A＝－cos(B＋C)＝.
(2)由于0A＝，所以sin
A＝.
又S△ABC＝2，即bcsin
A＝2，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，得b2＋c2＝13，
解方程组得或
层级二　应试能力达标
1．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　　　
B．6
C．7
D．8
解析：
选C　如图，由题意得
则bc＝40，
a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，
∴a＝7.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b
B．aC．a＝b
D．不能确定
解析：选A　在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos
120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
3．在△ABC中，cos2＝，则△ABC是(　　)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选B　∵cos2＝，∴＝，
∴cos
B＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，
即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　)
A．79　　　　　　　　　　
B．69
C．5
D．－5
解析：选D　由余弦定理得：
cos∠ABC＝＝＝.
因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||·||cos(180°－∠ABC)
＝5×7×＝－5.
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
解析：∵cos
C＝＝，∴sin
C＝，
∴AD＝ACsin
C＝.
答案：
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos
120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
答案：
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
解：(1)由正弦定理可设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin
C＝2sin
A，
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cos
B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin
A＋sin
B的最大值．
解：(1)由题意可知
absin
C＝×2abcos
C.
所以tan
C＝.
因为0(2)由(1)知sin
A＋sin
B＝sin
A＋sin
＝sin
A＋sin
＝sin
A＋cos
A＋sin
A
＝sin≤.
当A＝时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin
A＋sin
B的最大值为.课时跟踪检测（四）
数
列
层级一　学业水平达标
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是(　　)
A．①　　　　B．①②　　　C．③④　　　D．②④
解析：选A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．下列说法正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
解析：选D　数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．3
C．9
D．32
解析：选B　因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.
4．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
解析：选C　已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝
.
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的(　　)
A．第20项
B．第22项
C．第24项
D．第26项
解析：选C　由＝0.96，解得n＝24.
6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an＝
答案：an＝
7．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴an＝.
由＝2 3n－1＝20 n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N＋，∴n≤9.
答案：9
9．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得
解得
∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．
解：对于公式an＝，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
而an＋1－an＝－＝.
因为n∈N＋，所以1－n2－n＜0，所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列．
层级二　应试能力达标
1．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.
2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是(　　)
A．an＝(－1)nn2＋1
B．an＝(－1)n＋1(n2＋1)
C．an＝(－1)n(n2＋1)
D．an＝(－1)n＋1(n2－1)
解析：选B　通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成an＝(－1)n＋1(n2＋1)．
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
解析：选A　an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
4．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为(　　)
A．3n－1
B．3n
C．3n＋1
D．3(n＋1)
解析：选C　通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．
5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：由数列，，，，…
得通项公式为an＝，
令＝2，∴3n－1＝20，∴n＝7.
答案：7
6．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：an＝4n＋2
7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
所以n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
8．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<1－<1，
∴0(4)令∴∴
∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为
a2＝.课时跟踪检测（三）
应用举例
层级一　学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12
m　　　　　　　　　
B．8
m
C．3
m
D．4
m
解析：选D　由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68
n
mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A.
n
mile/h
B．34
n
mile/h
C.
n
mile/h
D．34
n
mile/h
解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝
n
mile/h.
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(　　)
A．110米
B．112米
C．220米
D．224米
解析：选A　如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20
m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　　)
A．20
m，
m
B．10
m,20
m
C．10(－)m,20
m
D.
m，
m
解析：选A　由题意，知h甲＝20tan
60°＝20(m)，
h乙＝20tan
60°－20tan
30°＝(m)．
5．海上的A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　)
A．10
n
mile
B.
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
解析：选D　由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝5(n
mile)．
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos
150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7
km.
答案：7
7．坡度为45°的斜坡长为100
m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m.
解析：如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，
设CD＝x，所以(x＋DA)·tan
30°＝DA·tan
45°，
又DA＝BD·cos
45°＝100×＝50，
所以x＝－DA＝－50
＝50(－)m.
答案：50(－)
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10
cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案：
9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．
解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，
∴A1B2＝10.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，
∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10，
∴乙船每小时航行30海里．
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60
m，求建筑物的高度．
解：设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝，
①
cos∠PBC＝.
②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.
③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30
m.
层级二　应试能力达标
1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60
m，则河流的宽度BC是(　　)
A．240(－1)m　　　　　
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
解析：选C　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60
m，∴AC＝120
m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．
2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30
m
B.
m
C．15
m
D．45
m
解析：选B　在△ABC中，AC＝15
m，AB＝5
m，BC＝10
m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－，∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝
m.
3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500
m，则电视塔AB的高度是(　　)
A．100
m
B．400
m
C．200
m
D．500
m
解析：选D　设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500
m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos
120°，解得x＝500
m.
4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos
θ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为(　　)
A．4
海里/小时
B．3
海里/小时
C．2
海里/小时
D．4
海里/小时
解析：选A　因为cos
θ＝，0°<θ<45°，所以sin
θ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/小时．
5.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50
n
mile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________n
mile(结果精确到小数点后一位)．
解析：由题易知两船相遇之处M位于BC上，如图，设|MC|＝d，
则＝(M位于BC延长线上取“＋”，M位于BC上取“－”)，
所以(100±d)2＝4[d2＋(25)2±50d]，即3d2＝1002－5
000，所以d2＝，即d≈40.8(n
mile)．
答案：40.8
6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a
n
mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n
mile.
解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a
n
mile，∴AC＝
＝
＝a(n
mile)
答案：北偏东30°　a
7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4
m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70
m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01
m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4
m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin
75°.
因为sin
75°＝sin(45°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
45°sin
30°＝，
则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464
≈7.16(m)．
即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16
m.
8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20
km，C，D相距34
km，C市在B，D两市之间，如图所示．某时刻C市感到地表震动，8
s后B市感到地表震动，20
s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5
km.求震中A到B，C，D三市的距离．
解：在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12(km)．在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30(km)．
设AC＝x
km，则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.
在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，∴＝－，即＝.
解得x＝.∴AB＝
km，AD＝
km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为
km，
km，
km.课时跟踪检测（十一）
等比数列的前n项和
层级一　学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B．0
C．1或0
D．－1
解析：选A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N＋)，则实数k为(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：选C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N＋)，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)
＝2×3n－1.
因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)
A．31
B．33
C．35
D．37
解析：选B　根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　)
A．－
B.
C．－或1
D.或1
解析：选C　由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　)
A．8
B．12
C．16
D．24
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，
即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝2.
答案：2
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
解析：由＝q，q＝2，得＝2 a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
层级二　应试能力达标
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11　　　　　　　　　　　
B．5
C．－8
D．－11
解析：选D　设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.
所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.
因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
所以＝＝＝＝＝－11.
故选D.
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5
B.或5
C.
D.
解析：选C　由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
3．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2
B.(4n－1)
C.(2n－1)
D．4n－1
解析：选B　由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＝1，a2＝2，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)
A．190
B．191
C．192
D．193
解析：选C　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
5．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
解析：依题意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.
答案：15
6．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝3＋，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
解析：依题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－；当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，所以an＝2n－(n∈N＋)，则bn＝3＋＝32n，由＝＝32＝9，可知{bn}为等比数列，b1＝32×1＝9，故Tn＝＝.
答案：
7．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解：(1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，
得＝，
解得d＝1，或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)，知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
8．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8
000万元．
解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝an＝an，
∴＝，∴数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝
＝1
600，
即n年内旅游业总收入为1
600万元．
(2)由(1)知Sn＝1
600，
令Sn>8
000，
即1
600>8
000，
∴n>6，∴lgn>lg
6，
∴n>≈8.029
6.
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8
000万元．课时跟踪检测（十六）
一元二次不等式及其解法
层级一　学业水平达标
1．不等式＞0的解集是(　　)
A.　
B.
C.
D.
解析：选A　＞0 (4x＋2)(3x－1)＞0 x＞或x＜－，此不等式的解集为.
2．不等式≥2的解集为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选B　不等式≥2，即－2≥0，即≥0，所以≤0，等价于x(x＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.
3．若不等式x2＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(0,2)
解析：选D　∵不等式x2＋mx＋>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m2－2m<0，∴04．不等式≥2的解集是(　　)
A.
B.
C.∪(1,3]
D.∪(1,3]
解析：选D　由≥2，得≥0，
即≥0.
所以原不等式等价于
即所以
所以原不等式的解集是∪(1,3]．
5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A．1
B．－1
C．－3
D．3
解析：选C　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
6．不等式≥1的解集为________．
解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－4答案：
7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
答案：
8．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．
解析：根据定义得(x－a) (x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a) (x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－答案：
9．解下列不等式：
(1)≥0；(2)＞1.
解：(1)∵≥0 x＜－或x≥.
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为＞0 ＞0 ＜0 (2x＋1)(x＋3)＜0 －3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
10．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．
解：(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1,3)，
∴∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
层级二　应试能力达标
1．不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜－1}　　　　
B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
解析：选C　由得
所以0＜x＜1，所以原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于(　　)
A．M∩N
B．M∪N
C． R(M∩N)
D． R(M∪N)
解析：选D　<0 (x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－33．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3)
B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1] x<1或x>3.
4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2,2)
D．(－2,2]
解析：选D　当a－2≠0时，
－2当a－2＝0时，－4<0恒成立．
综上所述，－25．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
6．已知关于x的不等式＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.
解析：＜0 (ax－1)(x＋1)＜0，根据解集的结构可知，a＜0且＝－，∴a＝－2.
答案：－2
7．已知不等式mx2－2x＋m－2<0.
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
解得m<1－，
综上可知，m的取值范围是(－∞，1－)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0，知g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)<0即可，
即2x2＋2－2x－2<0，解得0故x的取值范围是(0,1)．
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，
f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈ .
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2]．课时跟踪检测（十）
等比数列的性质
层级一　学业水平达标
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　　　　　　　　　
B．0
C．12
D．24
解析：选A　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D　设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
3．在正项等比数列{an}中，an＋1A.
B.
C.
D.
解析：选D　设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)
A.
B．3
C．±
D．±3
解析：选B　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100
B．－100
C．10
000
D．－10
000
解析：选C　∵a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lg
a＝3lg
a8＝6.∴a8＝100.又a1a15＝a＝10
000，故选C.
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2
048.
答案：2
048
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
由②得a＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.
法二：∵a3a11＝a2a12＝a，
∴a＝512，即a7＝8.
于是有
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
因此或
又∵a11＝a3·q8，
∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝±
.
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝2n－2或an＝26－n.
层级二　应试能力达标
1．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　　
B．a3＝1
C．a4＝1
D．a5＝1
解析：选B　由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.
2．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2
B．4
C．8
D．16
解析：选C　等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
3．已知数列{an}为等差数列，a1，a2，a3成等比数列，a1＝1，则a2
016＝(　　)
A．5
B．1
C．0
D．－1
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，则由a1，a2，a3成等比数列得(1＋d)2＝1＋2d，解得d＝0，所以a2
016＝a1＝1.
4．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)
A．230
B．210
C．220
D．215
解析：选C　∵a1·a2·a3·…·a30＝230，
∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，
∴a1＝2－，
∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)
＝(2－×22)10×(23)45＝220.
5．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
解析：由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
答案：－213
6．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
解析：由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.
答案：－1
7．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3，
所以abn＝a13n－1，
①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，
②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a3，a7与a5有怎样的关系？在任一个等比数列{an}中，a＝an－3·an＋3(n＞3)成立吗？把3换成k，即a＝an－kan＋k，这里的k应满足怎样的条件？
解：设这个数列的首项为a1，公比为q，
依题意得解得
所以an＝×n－1，
则a3＝×2，a5＝×4，
a7＝×6，可知a3a7＝a.
在任一个等比数列{an}中，
a＝an－3an＋3(n＞3)一定成立．
在等比数列{an}中，a＝an－k·an＋k要成立，
只需满足n＞k＞0，且k∈N＋即可．课时跟踪检测（十五）
一元二次不等式及其解法
层级一　学业水平达标
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A.　　　
B.
C.
D.
解析：选A　因为6x2＋x－2≤0 (2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[－7,1]
B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B　由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－73．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
解析：选B　由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，
所以－24．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A.　　　　　
B．{x|x>a}
C.
D.
解析：选A　∵a<－1，∴a(x－a)·<0 (x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x5．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.
B．R
C.
D．
解析：选A　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.
6．已知全集U＝R，A＝{x|x2－1≥0}，则 UA＝________.
解析： UA＝{x|x2－1<0}＝{x|－1答案：{x|－17．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．
解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.
解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，
方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.
所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；
当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．
10．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，有即所以0综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．
层级二　应试能力达标
1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)　　
B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．[－4,4]
解析：选A　不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(－1,3)
C．(1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A　由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βB．a<αC．αD．α解析：选A　∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
4．若0A．{x|3a2≤x≤3a}
B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a}
D．{x|x≤3a或x≥3a2}
解析：选A　因为05．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
6．对于实数x，当且仅当n≤x解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x答案：[2,8)
7．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此 m＝－.
8．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为.课时跟踪检测（六）
等差数列的概念及通项公式
层级一　学业水平达标
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．3
C．－2
D．－3
解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　)
A．50
B．51
C．52
D．53
解析：选D　依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
3．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　)
A．a＝－b
B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b
D．a＝b＝0
解析：选C　由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2
015的值是(　　)
A．1
006
B．1
007
C．1
008
D．1
009
解析：选D　由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝，
所以an＝2＋(n－1)＝，
所以a2
015＝＝1
009.
5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的(　　)
A．第12项
B．第13项
C．第14项
D．第15项
解析：选C　an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝2×6＋1＝13.
答案：13
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
8．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
解析：根据题意得：
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
∴a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
∴d＝－.
答案：－
9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
解：数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝(常数)．
所以是以＝为首项，公差为的等差数列．
10．若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，
所以a2，b2，c2成等差数列．
层级二　应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　)
A．p＋q　　　　　　　　　
B．0
C．－(p＋q)
D.
解析：选B　∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.
3．已知数列{an}，对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
解析：选A　由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则(　　)
A．a3a6>a4a5
B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5
D．a3a6＝a4a5
解析：选B　由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.
5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：5
6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，
)都在直线x－y－＝0上，则an＝________.
解析：由题意得－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝n，an＝3n2.
答案：3n2
7．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N＋)．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N＋)，
∴＝＋1(n≥2，且n∈N＋)，
即－＝1(n≥2，且n∈N＋)，
∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，
∴an＝·2n.
8．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．
解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
(2)∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．
∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差数列．课时跟踪检测（十二）
数列求和
层级一　学业水平达标
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　)
A．1,1　　　　　　　　　　
B．－1，－1
C．1,0
D．－1,0
解析：选D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　)
A．11
B．99
C．120
D．121
解析：选C　∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
3．已知数列{an}，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于(　　)
A．130
B．120
C．55
D．50
解析：选C　在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，即＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
则数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值(　　)
A．13
B．－76
C．46
D．76
解析：选B　∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.
S22＝(－4)×11＝－44.
S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.
∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　)
A．2100－101
B．299－101
C．2100－99
D．299－99
解析：选A　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
6．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为________．
解析：∵等比数列{an}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝2n－1，即是首项为，公比为的等比数列，
∴数列的前4项和为＝.
答案：
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
解析：＝3，故q≠1，
∴×＝1＋q3＝3，
即q3＝2.
所以＝×＝＝.
答案：
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
9．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，d>0.由题意得(2＋d)2＝2＋3d＋8，解得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)∵bn＝an＋2＝2n＋22n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)
＝(2＋4＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n(n＋1)＋.
10．在等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为d＝＝1，所以an＝a3＋(n－3)d＝n＋1.
(2)bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋＋＋…＋.
①
Tn＝＋＋…＋＋，
②
由①－②得Tn＝2＋＋＋…＋－
＝＋1－
＝＋1－＝2＋1－
＝3－，所以Tn＝6－.
层级二　应试能力达标
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1　　　　　　　　　
B.n－1
C.n－1
D.
解析：选B　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝
n－1.
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为(　　)
A．4
B．4
C．1－
D.－
解析：选A　∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4
＝4.
3．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是(　　)
A．11×(1.15－1)a亿元
B．10×(1.15－1)a亿元
C．11×(1.14－1)a亿元
D．10×(1.14－1)a亿元
解析：选A　由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元，故选A.
4．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于(　　)
A．1
033
B．1
034
C．2
057
D．2
058
解析：选A　由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1
033.
5．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.
解析：被求和式的第k项为：
ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.
所以Sn＝2
＝2
＝2
＝2
＝2n＋－2.
答案：2n＋－2
6．已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中b1＝0，公差d≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．
解析：设数列{an}的公比为q，则{an}的前三项分别为1，q，q2，{bn}的前三项分别为0，d,2d，于是解得(舍去)或于是新数列的前10项和为(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a10＋b10)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b10)＝＋10×0＋×(－1)＝978.
答案：978
7．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，
且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且
解得
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)＝，
Sn＝1＋＋＋…＋＋，
①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋.
②
②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋2×－
＝2＋2×－＝6－.
8．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)证明：设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
两式相减得Sn＝＋－＝＋－.
所以Sn＝2－.
∴Sn<2.课时跟踪检测（十七）
不等式的实际应用
层级一　学业水平达标
1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为(　　)
A．9　　　　　　　　　　　　
B．10
C．8
D．11
解析：选A　设每天至少要加工x零件．
由题意得：＋<20，
解得x>5或x<－5，设每天至少要加工9个零件．
2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为(　　)
A．7
B．5
C．6
D．8
解析：选C　依题意得
解得又n∈N，所以n＝6.
3．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80
000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2
000本，那么要使收入不低于200
000元，这种书的最高定价应当是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选C　设这种书的最高定价应当为x元，
由题意得：[80
000－(x－2.5)×20
000]×x≥200
000，
解得：
≤x≤4，所以最高定价为4元．
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是(　　)
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
解析：选C　由题意知3
000＋20x－0.1x2≤25x
x2＋50x－30
000≥0，
解得x≤－200(舍去)或x≥150.
5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为(　　)
A．500件
B．1
000件
C．2
500件
D．5
000件
解析：选B　设每次进x件费用为y元，由y＝＋×2≥2＝2
000，当＝x，x＝1
000时，y最小．
6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．
解析：年平均值＝＝＋0.1n＋1≥3.4，
当且仅当＝0.1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．
答案：12
7．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3,5]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为万元，而＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
9．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100
kg大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
解：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a，b>0，a≠b)，则甲两次购买大米的平均价格是＝
元/千克；
乙两次购买大米的平均价格是＝＝元/千克．
∵－＝＝>0，
∴>.
∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，
公司B收取的费用为元．
若能够保证选择A比选择B费用少，
则>1.5x(0整理得x2－5x<0，解得0所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．
层级二　应试能力达标
1．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0A．[15,20]　　　　　　　　　　
B．[10,15]
C．(10,15)
D．(0,10]
解析：选B　由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15.
2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15,30]
B．[12,25]
C．[10,30]
D．[20,30]
解析：选C　设矩形的另一边长为y
m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
3．一种产品的年产量情况是第一年为a件，第二年比第一年增长P1%，第三年比第二年增长P2%，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，如果年平均增长x%，则有(　　)
A．x＝P
B．x≤P
C．x≥P
D．x＜P
解析：选B　设三年后产量为y，
则y＝a(1＋P1%)(1＋P2%)≤a·2＝a·(1＋P%)2.
又∵年平均增长x%，则y＝a(1＋x%)2，
∴a(1＋x%)2≤a(1＋P%)2，∴x≤P.
4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n(n∈N＋)元的礼品比赠送价值为n－1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为(　　)
A．9元或10元
B．10元或11元
C．8元或9元
D．8元或10元
解析：选A　设礼品价值为n元时，总利润为an，
则an＝(20－n)m(1＋10%)n＝m(20－n)1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．
依题意得即
解得9≤n≤10.由n∈N＋，知n＝9或n＝10.故选A.
5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
解析：5%<<6%，
解得x的范围是(100,400)．
答案：(100,400)
6．某商家一月份至五月份累计销售额达3
860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7
000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3
860＋500＋2
[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，
根据题意有3
860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7
000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，
则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
7．某商场预计全年分批购入每台价值为2
000元的电视机共3
600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43
600元．现在全年只有24
000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解：设每批购入x台，运输费和保管费共y元，则需进货次，每批进货总价值为2
000x元，设全年保管费为2
000kx(k＞0)元．依题意得，43
600＝2
000×400k＋×400，则k＝，
∴y＝×400＋2
000kx＝＋100x≥2＝24
000，当且仅当＝100x，即x＝120时，等号成立．
故每批进货120台时，能使资金够用．
8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，
其中0(1)由解得2≤P≤6.
故P的范围为[2,6]．
(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，
∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，
f(2)＝4
800(万元)．
(3)∵0g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元．课时跟踪检测（十八）
二元一次不等式（组）所表示的平面区域
层级一　学业水平达标
1．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为(　　)
A．10　　　　　　　　　　
B．9
C．3
D．无数个
解析：选A　作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10.
2．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是(　　)
A．(2,0)
B．(－1,2)
C．(1,1)
D．(－1,1)
解析：选D　将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.
3．不等式组表示的平面区域为(　　)
解析：选C　取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C表示的阴影中，故选C.
4．已知点M(2，－1)，直线l：x－2y－3＝0，则(　　)
A．点M与原点在直线l的同侧
B．点M与原点在直线l的异侧
C．点M与原点在直线l上
D．无法判断点M及原点与直线l的位置关系
解析：选B　因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.
5．若不等式组表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
6．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有______个．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5,0)．
答案：1
7．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面区域内，求k的取值范围．
解：点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，
由题意，得
即
解得－5≤k≤－3.
故k的取值范围是[－5，－3]．
10．已知实数x，y满足不等式组Ω：
(1)画出满足不等式组Ω的平面区域；
(2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．
解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组
得A，
解方程组
得D，
所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为
S四边形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.
层级二　应试能力达标
1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　由图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方，故选B.
2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．{0,2}
C．(0,2)
D．[0,2]
解析：选C　因为原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，所以－a(2－a)<0，即a(a－2)<0，解得03．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题意，得所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的左上方，直线x＋y－5＝0的左下方，及直线x－1＝0的右侧，所以所求不等式组为
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2
000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　由题意50x＋40y≤2
000，即5x＋4y≤200，＝，x，y∈N＋，故选C.
5．不等式组表示的平面区域的面积为______．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面区域的面积为3×4－×2×1＝11.
答案：11
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为斜截式y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<－1，解得m>，故m的取值范围是.
答案：
7．已知点M(a，b)在由不等式组表示的平面区域内，求N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积．
解：由题意，得a，b满足不等式组
设n＝a－b，m＝a＋b，则a＝，b＝，
于是有即这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB内部(含边界)，其面积为×(2＋2)×2＝4，即点N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积为4.
8．已知点P在|x|＋|y|≤1表示的平面区域内，点Q在表示的平面区域内．
(1)画出点P和点Q所在的平面区域；
(2)求P与Q之间的最大距离和最小距离．
解：(1)不等式|x|＋|y|≤1等价于
不等式组等价于
由此可作出点P和点Q所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD内部(含边界)，四边形EFGH内部(含边界)．
(2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值，|ER|为所求的最小值，易求得|AG|＝＝＝5，|ER|＝|OE|＝.课时跟踪检测（十九）
简单线性规划
层级一　学业水平达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．18　　　　D．40
解析：选C　由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.
2．某服装制造商有10
m2的棉布料，10
m2的羊毛料和6
m2的丝绸料，做一条裤子需要1
m2的棉布料，2
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一条裙子需要1
m2的棉布料，1
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)
A.z＝20x＋40y
B.z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D.z＝40x＋20y
解析：选A　由题意知A正确．
3．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　
B.∪[6，＋∞)
C．(－∞，3]∪[6，＋∞)
D．(3,6]
解析：选A　作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是.
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为(　　)
A．2,4
B．3,3
C．4,2
D．不确定
解析：选B　设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．
5．已知若z＝ax＋y的最小值是2，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B　作出可行域，如图中阴影部分所示，
又z＝ax＋y的最小值为2，若a>－2，则(1,0)为最优解，所以a＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a＝－，舍去，故a＝2.
6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3.
答案：3
7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.
由
得A(1,2)，所以|AO|2＝5.
答案：5
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y.
由得记P(1,2)，
画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
9．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－<2，解得－4故所求a的取值范围为(－4,2)．
10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3
m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2
m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
层级二　应试能力达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　
B.
C．[－1,6]
D.
解析：选A　作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A．1
B.
C．－
D．－1
解析：选A　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是(　　)
A.
B．[0,5]
C．[0,5)
D.
解析：选C　作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u＝2x－2y－1，当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，经过点B时，u＝－，
则－≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.
4．x，y满足约束条件若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1
B．1或－
C．2或1
D．2或－1
解析：选B　作出可行域，如图中阴影部分所示．由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.当2a＝2或2a＝－1，即a＝1或a＝－时，z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.
5．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
答案：1
6．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．
解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为
即
投资者获得的利润设为z，则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．
解得B(10,40)．
所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：10　40
7．某运输公司每天至少要运送180
t货物，公司有8辆载重为6
t的A型卡车和4辆载重为10
t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？
解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元．
则即目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．
当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2
560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．
所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．
8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分)，目标函数z＝x＋ay取得最小值时的最优解有无数个，求的最大值．
解：由题意，知当直线y＝－x＋与直线AC重合时，z取得最小值时的最优解有无数个，∴－＝，
∴a＝－3，
∴＝＝kPD≤kDC＝＝(其中D(－3，0)，P(x，y)为可行域中任意一点)，
∴的最大值为.课时跟踪检测（八）
等差数列的前n项和
层级一　学业水平达标
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．－n2＋　　　　　　
B．－n2－
C.n2＋
D.n2－
解析：选A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.
2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12
B．13
C．14
D．15
解析：选B　∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.
∴d＝a3－a2＝5－3＝2.
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63
B．45
C．36
D．27
解析：选B　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选B　由7a5＋5a9＝0，得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1
B．－1
C．2
D.
解析：选A　＝＝
＝＝×＝1.
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
答案：4
8．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______．
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝
＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
答案：11　7
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1，
则Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，
又当n＝1时，3≠21，
故an＝
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解：(1)设{an}的首项、公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
层级二　应试能力达标
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　
B．14
C．16
D．18
解析：选B　因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
014，Sk＝S2
009，则正整数k为(　　)
A．2
014
B．2
015
C．2
016
D．2
017
解析：选C　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2
011＝S2
014，Sk＝S2
009，可得＝，解得k＝2
016.故选C.
3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：选B　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以所以≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
4．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选D　∵＝＝＝＝＝＝7＋，∴当n取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n的个数是5.
5．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．
解析：由a203＋a204>0 a1＋a406>0 S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.
答案：405
6．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________．
解析：因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，
所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，
所以S20＝>0.
又因为a10＋a10<0，
所以S19＝＝19a10<0，
故满足Sn<0的n的最大值为19.
答案：19
7．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解：(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴解得
∴an＝4n－3.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
8．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
解：(1)由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an>0，得n<，
∴当n≤17，n∈N＋时，an>0；
当n≥18，n∈N＋时，an<0，
∴{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N＋时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N＋时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2－
＝n2－n＋884.
∴Sn＝课时跟踪检测（十三）
不等关系与不等式
层级一　学业水平达标
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400　　　　　
B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400
D．30x＋40≤400
解析：选B　x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　)
A．b＜0，c＜0
B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0
D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
3．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知M＝2x＋1，N＝，则M，N的大小关系为(　　)
A．M>N
B．MC．M＝N
D．不确定
解析：选A　∵2x>0，∴M＝2x＋1>1，而x2＋1≥1，
∴≤1，∴M>N，故选A.
6．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，
因为x＜1，所以x－1＜0，x－2＜0，
所以(x－1)(x－2)＞0，所以x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．
解析：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是[3,8]．
答案：[3,8]
9．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，试比较M与N的大小．
解：M－N＝(x2＋y2－4x＋2y)－(－5)
＝(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)
＝(x－2)2＋(y＋1)2.
因为(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－2)2＋(y＋1)2≥0，
又因为x≠2或y≠－1，
所以(x－2)2与(y＋1)2不会同时为0.
所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，
所以M＞N.
10．(1)若a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
证明：(1)由于－＝＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，∴－＜0，
即＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
层级二　应试能力达标
1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1　　　　
B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1
D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选A　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.
2．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MB．M>N
C．M＝N
D．M≥N
解析：选B　∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴－10，∴M>N，故选B.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：选A　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
4．已知a，b，c均为实数，
①a＜b＜0，则a2＜b2；
②＜c，则a＜bc；
③a＞b，则c－2a＜c－2b；
④a＞b，则＜.
上述说法正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A　①特殊值法．令a＝－2，b＝－1，则4＞1，故①错；
②当b＜0时，有a＞bc，故②错；
③当a＞b时，有－2a＜－2b，从而c－2a＜c－2b，故③正确；
④当a＞0，b＜0时，显然有＞，故④错．
综上，只有③正确，故选A.
5．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝.
∵0＜1－a2≤1，∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
6．已知不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a；⑤b＜a且ab＞0；⑥a＜b且ab＜0.其中能使＜成立的是________．
解析：因为＜ ＜0 b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使＜.
答案：①②④⑤⑥
7．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a8．已知：f(x)＝logax，a＞1＞b＞c＞0，
证明：＞.
证明：∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，
∴＜，
又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a＞1，
∴f(b)＞f(c)，
又
∵1＞b＞c＞0，∴f(b)＜0，f(c)＜0，
∴0＜－f(b)＜－f(c)，又b＞c＞0，
∴b－f(c)＞c－f(b)＞0，
又＞＞0，∴＞.课时跟踪检测（五）
数列的递推公式（选学）
层级一　学业水平达标
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
解析：选C　∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选C　由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　)
A．15
B．16
C．31
D．32
解析：选C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)
A．9
B．17
C．33
D．65
解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.
6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.
解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…× ＝.又∵a1＝，∴an＝.
答案：
7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案：－9
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N＋)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N＋)．
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.
10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，
即a＋2nan－1＝0.∴an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
层级二　应试能力达标
1．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，则a17＝(　　)
A．13　　　　　　　　　　
B．14
C．15
D．16
解析：选A　由an＋1＝ an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝(　　)
A．2＋lg
n
B．2＋(n－1)lg
n
C．2＋nlg
n
D．1＋n＋lg
n
解析：选A　由an＋1＝an＋lg an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg
2＋lg
＋lg
＋…＋lg
＝2＋lg2×××…×＝2＋lg
n.
3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，3]
B．(－∞，4]
C．(－∞，5)
D．(－∞，6)
解析：选D　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立．注意到当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．
4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N＋，则a2
015＋a2
016等于(　　)
A．4
B．1
C.
D.
解析：选B　a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2
015＋a2
016＝a5＋a3＝1.故选B.
5．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1 ＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5
050.
答案：5
050
6．对于数列{an}，若存在实数M，对任意的n∈N＋，都有an>M，则称M为数列{an}的一个下界，数列{an}的最大下界称为下确界．已知数列{an}的通项公式为an＝，按此定义，则数列{an}的下确界是________．
解析：由题意，an＝＝1＋，
由于>0，所以对任意n∈N＋，都有an>1，
易知1是数列{an}的最大下界．
故数列{an}的下确界是1.
答案：1
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
8．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，
∴an＝.