第三章函数 第11节 一次函数的应用
一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■知识点一：用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
?通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．21世纪教育网版权所有
■知识点二：利用一次函数的性质解决方案问题.
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
命题角度：
求一次函数的解析式，利用函数的性质求最大值或最小值
利用一次函数进行方案选择
■知识点三：利用一次函数解决分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
命题角度：
利用一次函数解决个税收取问题；
利用一次函数解决水、电、气等资源收费问题。
■知识点四：一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
■考点1：用函数图象解决实际问题
◇典例：
（2016·重庆市B卷 ）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在
一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 秒． 【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．
解：设直线OA的解析式为y=kx，
代入A（200，800）得800=200k，
解得k=4，
故直线OA的解析式为y=4x，
设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得，
解得：，
∴BC的解析式为y1=2x+240，
当y=y1时，4x=2x+240，
解得：x=120．
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为120．
【点评】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．
◆变式训练
(2017西宁中考)首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，
两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，www-2-1-cnjy-com
根据图象进行以下探究：
【信息读取】
(1)西宁到西安两地相距________km，两车出发后________h相遇；
(2)普通列车到达终点共需________h，普通列车的速度是________km/h；
【解决问题】
(3)求动车的速度；
(4)普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安．
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题
◇典例 (2017上海中考)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(m2)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1 000 m2时，每月收取费用5 500 元；绿化面积超过1 000 m2时，每月在收取5 500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．21cnjy.com
(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(不要求写出定义域)
(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200 m2，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．www.21-cn-jy.com
解：(1)设y＝kx＋b，
则有解得
∴y＝5x＋400；
(2)绿化面积是1 200 m2时，
甲公司的费用为5×1 200＋400＝6 400(元)，
乙公司的费用为5 500＋4×200＝6 300(元)，
∵6 300＜6 400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
◆变式训练
（2016·湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？
■考点3：利用一次函数解决分段函数问题
◇典例：如图是某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是______ （2）汽车在中途停了多长时间？______ （3）求OA与BC的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 21*cnjy*com
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式计算即可得解； （2）根据停车时路程没有变化列式计算即可； （3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 解：（1）平均速度==km/min； （2）从9分到16分，路程没有变化，为停车时间， 16-9=7min． （3）设OA的函数关系式为S=kt， ∵点A的坐标为（9，12）， ∴9k=12， 解得k=， 所以，OA的函数关系式为S=t（0≤t≤9）； 设BC的函数关系式为S=kt+b， ∵点B（16，12），C（30，40）， ∴， 解得， 所以，BC的函数关系式为S=2t-20（16≤t≤30）． 故答案为：（1）km/min；（2）7min．
◆变式训练
（2015年辽宁锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是____________；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？21*cnjy*com
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：如图，直线l1：y1＝－x＋m与y轴交于点A(0，6)，直线l2：y2＝kx＋1分别与x轴交于点B(－2，0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB.
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积；
(3)根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
解：(1)将A(0，6)代入y1＝－x＋m得，m＝6；
将B(－2，0)代入y2＝kx＋1得，k＝.
组成方程组得解得
故D点坐标为(4，3)；
(2)由y2＝x＋1可知，C点坐标为(0，1)，
S△ABD＝S△ABC＋S△ACD＝×5×2＋×5×4＝15；
(3)由图可知，在D点左侧时，y1＞y2，即x＜4时，y1＞y2.
◆变式训练
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．21教育网
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？2·1·c·n·j·y
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．
1.（浙江宁波市北仑区）一次长跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次长跑的全程为（ ）米．【出处：21教育名师】
A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2400米
2.（2016年北京市怀柔区中考数学一模 ）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t的值最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2017.校级模拟卷）如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ?）
A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x－2 D．y=－x－2
4.（2017年重庆市中考数学试卷A卷）A．B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A．B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A．B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 米．
5.（2017年湖北省随州市中考）在一条笔直的公路上有A．B、C三地，C地位于A．B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
6.（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；
(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.
7.（2017年临沂市中考）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
8.（内蒙古通辽市2016年中考 ）在我市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数关系式．
（3）若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
9.（湖南省衡阳市2016年中考）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/台）
甲库
乙库
A港
14
20
B港
10
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
10.（浙江宁波市镇海区）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．
1．（2017?德州）公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
2．（2017?辽阳）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：21·世纪*教育网
①A、B之间的距离为1200m；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③b=960；
④a=34．
以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
3．（2017?鄂州）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；
②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m/min；
③小东打完电话后，经过27min到达学校；
④小东家离学校的距离为2900m．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2016年浙江省杭州市 模拟3）设直线（k+1）y﹢kx=1（k为正整数），与两坐标轴所围成的三角形的面积为Sk（k=1，2，3，…，2008），则S1+S2+…+S2008的值为 ．
5．（2017?重庆）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 ．
6．（2017?达州）甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为 ．（并写出自变量取值范围）
7．（2017?随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是__________（填写所有正确结论的序号）．
8．（2017?丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．
（2016·浙江省绍兴市 ）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游
泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：2-1-c-n-j-y
（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
10．（2017?仙桃）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
11．（2017?衢州）“五?一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．21*cnjy*com
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；【版权所有：21教育】
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
12.（浙江宁波市北仑区）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品．这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况需购买这两种笔记本共30本，并且所购买的A种笔记本的数量多于B种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．
（1）请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）请你帮助他们计算购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元．
13.（2016年浙江省金华市 ）如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．
（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．
北京时间
7：30
2：50
首尔时间
12：15
（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？
14.（2016年浙江省丽水市 ）2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：21·cn·jy·com
（1）求图中a的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．21教育名师原创作品
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
15．（2017?南京）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x= ，y= ；
②求y与x之间的函数表达式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
第三章函数 第11节 一次函数的应用
一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■知识点一：用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
?通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．www.21-cn-jy.com
■知识点二：利用一次函数的性质解决方案问题.
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.【版权所有：21教育】
命题角度：
求一次函数的解析式，利用函数的性质求最大值或最小值
利用一次函数进行方案选择
■知识点三：利用一次函数解决分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
命题角度：
利用一次函数解决个税收取问题；
利用一次函数解决水、电、气等资源收费问题。
■知识点四：一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
■考点1：用函数图象解决实际问题
◇典例：
（2016·重庆市B卷 ）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在
一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 120 秒．
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．
解：设直线OA的解析式为y=kx，
代入A（200，800）得800=200k，
解得k=4，
故直线OA的解析式为y=4x，
设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得，
解得：，
∴BC的解析式为y1=2x+240，
当y=y1时，4x=2x+240，
解得：x=120．
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为120．
【点评】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．
◆变式训练
(2017西宁中考)首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，
两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，【来源：21·世纪·教育·网】
根据图象进行以下探究：
【信息读取】
(1)西宁到西安两地相距________km，两车出发后________h相遇；
(2)普通列车到达终点共需________h，普通列车的速度是________km/h；
【解决问题】
(3)求动车的速度；
(4)普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安．
解：(1)1 000，3；
(2)12，；
(3)设动车的速度为x km/h，
根据题意，得：3x＋3×＝1 000，
解得x＝250，
答：动车的速度为250 km/h；
(4)∵t＝＝4(h)，
∴4×＝(km)，
∴1 000－＝(km)，
答：此时普通列车还需行驶 km到达西安．
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题
◇典例 (2017上海中考)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(m2)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1 000 m2时，每月收取费用5 500 元；绿化面积超过1 000 m2时，每月在收取5 500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．2·1·c·n·j·y
(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(不要求写出定义域)
(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200 m2，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【出处：21教育名师】
解：(1)设y＝kx＋b，
则有解得
∴y＝5x＋400；
(2)绿化面积是1 200 m2时，
甲公司的费用为5×1 200＋400＝6 400(元)，
乙公司的费用为5 500＋4×200＝6 300(元)，
∵6 300＜6 400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
◆变式训练
（2016·湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．
（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；
（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．
解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；
（2）根据题意得140x+12540≥16460，
∴x≥28，
∵x≤30，
∴28≤x≤30，
∴有3种不同的调运方案，
第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；
第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；
第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，
（3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540，
所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．
此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．
■考点3：利用一次函数解决分段函数问题
◇典例：如图是某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是______ （2）汽车在中途停了多长时间？______ （3）求OA与BC的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，列式计算即可得解； （2）根据停车时路程没有变化列式计算即可； （3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 解：（1）平均速度==km/min； （2）从9分到16分，路程没有变化，为停车时间， 16-9=7min． （3）设OA的函数关系式为S=kt， ∵点A的坐标为（9，12）， ∴9k=12， 解得k=， 所以，OA的函数关系式为S=t（0≤t≤9）； 设BC的函数关系式为S=kt+b， ∵点B（16，12），C（30，40）， ∴， 解得， 所以，BC的函数关系式为S=2t-20（16≤t≤30）． 故答案为：（1）km/min；（2）7min．
◆变式训练
（2015年辽宁锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是____________；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？21*cnjy*com
【考点】 一次函数的应用．
【分析】（1）由所给的一次函数图象观察线段AB即可得出线段AB所表示的实际意义是：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本，
（2）分三种情况①当0＜x≤10时，②当10＜x≤20时，③当20＜x时分别求解即可，
（3）先列出W的关系式，再利用二次函数的最值求解即可．
解：（1）图中线段AB所表示的实际意义是：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本．
故答案为：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本．
（2）①当0＜x≤10时，
y与x之间的函数关系式y=5，
②当10＜x≤20时，
设=kx+b把B（10，5），C（20，4）代入得，
解得．
所以y与x之间的函数关系式y=﹣0.1x+6．
③当20＜x时，y与x之间的函数关系式为：y=4．
（3）W=（﹣0.1x+6﹣3）x=﹣0.1×（x﹣15）2+22.5．
答：当小明购买15本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是22.5元．
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：如图，直线l1：y1＝－x＋m与y轴交于点A(0，6)，直线l2：y2＝kx＋1分别与x轴交于点B(－2，0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB.
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积；
(3)根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
解：(1)将A(0，6)代入y1＝－x＋m得，m＝6；
将B(－2，0)代入y2＝kx＋1得，k＝.
组成方程组得解得
故D点坐标为(4，3)；
(2)由y2＝x＋1可知，C点坐标为(0，1)，
S△ABD＝S△ABC＋S△ACD＝×5×2＋×5×4＝15；
(3)由图可知，在D点左侧时，y1＞y2，即x＜4时，y1＞y2.
◆变式训练
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．2-1-c-n-j-y
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得结论； （2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（，）．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，-3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式．
【解答】（1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，
∴∠CAO=∠PAB，
在△AOC与△ABP中，
∴△AOC≌△ABP（SAS）．
∴∠COA=∠PBA=90°，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．
故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；
（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．
∵△AOB是等边三角形，A（0，3），
∴B（，）．
当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．
设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得
，
解得 ，
所以点P所在的函数图象的解析式为：y=x﹣3．
1.（浙江宁波市北仑区）一次长跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次长跑的全程为（ ）米．
A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2400米
【考点】一次函数的应用．
【分析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．
解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得
，
解得：．
故这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．
故选C．
2.（2016年北京市怀柔区中考数学一模 ）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t的值最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，再令两函数解析式的差为50，可求得t，即可得出答案．
解：设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，则y甲=60t．
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得
，解得：，
所以y乙=100t﹣100．
令|y甲﹣y乙|=50，
可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t=，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，
又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t=时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米．
故选D．
3.（2017.校级模拟卷）如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（?????）
A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x－2 D．y=－x－2
【考点】一次函数的定义，一次函数的图象，一次函数的应用
【分析】首先设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0)，根据图象确定A和B的坐标，代入求出k和b的值即可．
解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0)，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，
在直线y=-x中，令x=-1，解得：y=1，则B的坐标是（-1，1)．把A（0，2)，B（-1，1)的坐标代入
一次函数的解析式y=kx+b得：2=b1=-k+b，
解得b=2k=1，该一次函数的表达式为y=x+2．
故选B．
4.（2017年重庆市中考数学试卷A卷）A．B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A．B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A．B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度和各段用的时间，从而可以求得乙到达A地时，甲与A地相距的路程．
解：由题意可得，
甲的速度为：÷5=60米/分，
乙的速度为：÷（14﹣5）﹣60=70米/分，
则乙从B到A地用的时间为：2380÷70=34分钟，
他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟，
∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，
∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米，
故答案为：180．
5.（2017年湖北省随州市中考）在一条笔直的公路上有A．B、C三地，C地位于A．B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【考点】一次函数的应用．
【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．
解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，
∵C地位于A．B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），
∵÷（60+80）=1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵÷（60+80）=2（h），
∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
6.（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；
(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.
【考点】相似三角形的应用，一次函数的性质 解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合， 当x=2时，y=-2+m=0，即m=2. ∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2） ∴OB=OA=2，AB=2 ， 设点O到直线AB的距离是d， 由S△OAB= ， 则4=2 d， ∴d= . (2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m), 则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°， 当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合， ∴m>0. ∵∠CPA=∠ABO=45°， ∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°， 即∠OPC=∠BAP， 则△PCD~△APB， ∴ ， 即 ， 解得m=12. 故答案为 ；12.
7.（2017年临沂市中考 ）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？21教育网
【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；
（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．
解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，
由上可得，y与x的函数关系式为y=；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x无解，
当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x=12，
∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
8.（内蒙古通辽市2016年中考 ）在我市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数关系式．
（3）若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天，列方程求解；
（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率即可求解；
（3）设应安排甲队工作a天，乙队的工作天，列不等式组求解．
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：﹣=3，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m2、50m2；
（2）由题意得：100x+50y=1200，
整理得：y==24﹣2x；
（3）设应甲队的工作a天，则乙队工作b天，（0≤a≤14，0≤b≤14）
根据题意得，100a+50b=1200，
∴b=24﹣2a
a+b≤14，
∴a+24﹣2a≤14，
∴a≥10
w=04a+0.15b=0.4a+0.15（24﹣2a）=0.1a+3.6，
∴当a=10时，W最少=0.1×10+3.6=4.6万元．
9.（湖南省衡阳市2016年中考）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/台）
甲库
乙库
A港
14
20
B港
10
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A．B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；
（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．
解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，
从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，
所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，
x的取值范围是30≤x≤80．
（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，
当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，
此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
10.（浙江宁波市镇海区）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y），根据|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|，即可得出答案；
（2）设点C的坐标为（x0， x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；
解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=；
（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，21·世纪*教育网
则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．
即AC=AD，
∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0， x0+3），
∴﹣x0=x0+2，
此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，
此时C（﹣，）．
1．（2017?德州）公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选A．
2．（2017?辽阳）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：21教育名师原创作品
①A、B之间的距离为1200m；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③b=960；
④a=34．
以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】①由x=0时y=1200，可得出A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②根据速度=路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度=路程÷时间﹣乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；③根据路程=二者速度和×运动时间，即可求出b=800，结论③错误；④根据甲走完全程所需时间=两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a=34，结论④正确．综上即可得出结论．21世纪教育网版权所有
解：①当x=0时，y=1200，
∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；
②乙的速度为1200÷（24﹣4）=60（m/min），
甲的速度为1200÷12﹣60=40（m/min），
60÷40=1.5，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③b=（60+40）×（24﹣4﹣12）=800，结论③错误；
④a=1200÷40+4=34，结论④正确．
故选D．
3．（2017?鄂州）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；
②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m/min；
③小东打完电话后，经过27min到达学校；
④小东家离学校的距离为2900m．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由当t=0时y=1400，可得出打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；②利用速度=路程÷时间结合小东的速度，可求出小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；③由t的最大值为27，可得出小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；④根据路程=2400+小东步行的速度×（27﹣22），即可得出小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．综上即可得出结论．
解：①当t=0时，y=1400，
∴打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；
②2400÷（22﹣6）﹣100=50（m/min），
∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；
③∵t的最大值为27，
∴小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；
④2400+（27﹣22）×100=2900（m），
∴小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：①②③④．
故选D．
4．（2016年浙江省杭州市 模拟3）设直线（k+1）y﹢kx=1（k为正整数），与两坐标轴所围成的三角形的面积为Sk（k=1，2，3，…，2008），则S1+S2+…+S2008的值为 ．
【考点】一次函数综合题．
【分析】当x=0时，y=，当y=0时，x=，所以面积S=??=（﹣），根据规律代入数据可求出值．
解：∵x=0，y=，y=0，x=．
∴面积S=??=?（﹣），
∴S1+S2+…+S2008=?（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
故答案为：．
5．（2017?重庆）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是_____________米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度和各段用的时间，从而可以求得乙到达A地时，甲与A地相距的路程．
解：由题意可得，
甲的速度为：（2380﹣2080）÷5=60米/分，
乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60=70米/分，
则乙从B到A地用的时间为：2380÷70=34分钟，
他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟，
∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，
∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米，
故答案为：180．
6．（2017?达州）甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为 ．（并写出自变量取值范围）
【分析】图中线段DE所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系．
解：∵=36（s），观察图象可知乙的运动时间为45s，
∴乙的速度==2cm/s，
相遇时间==20，
∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
7．（2017?随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是__________（填写所有正确结论的序号）．
【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．
解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=2（h），
∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
8．（2017?丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．21·cn·jy·com
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．
【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 ；
（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．
解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，
所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2）．
∴OB=OA=2，AB=2．
设点O到直线AB的距离为d，
由S△OAB=OA2=AB?d，得
4=2d，
则d=．
故答案是：．
（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，
由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA=OB，
则∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA=∠ABO=45°，
所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，
所以=，即=，
解得m=12．
故答案是：12．
（2016·浙江省绍兴市 ）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游
泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）暂停排水时，游泳池内的水量Q保持不变，图象为平行于横轴的一条线段，由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池3个小时排水900（m3），根据速度公式求出排水速度即可；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出（2，450）在直线y=kt+b上，然后利用待定系数法求出表达式即可．
解：（1）暂停排水需要的时间为：2﹣1.5=0.5（小时）．
∵排水数据为：3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：900÷3=300m3/h；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，
∴（2，450）在直线Q=kt+b上；
把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，
得，解得，
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．
10．（2017?仙桃）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
【分析】（1）利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论即可．
解：（1）设y甲=kx，把（2000，1600）代入，
得2000k=1600，解得k=0.8，
所以y甲=0.8x；
当0＜x＜2000时，设y乙=ax，
把（2000，2000）代入，得2000x=2000，解得k=1，
所以y乙=x；
当x≥2000时，设y乙=mx+n，
把（2000，2000），（4000，3400）代入，得，
解得．
所以y乙=；
（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000；
若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x=0.7x+600，解得x=6000；
故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
11．（2017?衢州）“五?一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．
解：（1）设y1=k1x+80，
把点（1，95）代入，可得
95=k1+80，
解得k1=15，
∴y1=15x+80（x≥0）；
设y2=k2x，
把（1，30）代入，可得
30=k2，即k2=30，
∴y2=30x（x≥0）；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，
解得x=；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜；
当y1＜y2时，15x+80＜30x，
解得x＞；
∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．www-2-1-cnjy-com
12.（浙江宁波市北仑区）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品．这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况需购买这两种笔记本共30本，并且所购买的A种笔记本的数量多于B种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．
（1）请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）请你帮助他们计算购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意可以求得w关于n的函数关系式，由所购买的A种笔记本的数量多于B种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍，可以确定n的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式可以求得w的最小值及此时购买的A和B种两种笔记本的数量．
解：（1）由题意可得，
w=12n+8（30﹣n）=4n+240，
∵，
解得，15＜n≤20，
即w（元）关于n（本）的函数关系式是w=4n+240（15＜n≤20）；
（2）∵w=4n+240（15＜n≤20），n为正整数，
∴n=16时，w取得最小值，此时w=4×16+240=304，
∴30﹣n=30﹣16=14，
即购买A种笔记本16本、B种笔记本14本时，花费最少，此时的花费是304元．
13.（2016年浙江省金华市 ）如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．
（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．
北京时间
7：30
2：50
首尔时间
12：15
（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据图1得到y关于x的函数表达式，根据表达式填表；
（2）根据如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间得到伦敦（夏时制）时间与北京时间的关系，结合（1）解答即可．
解：（1）从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，
故y关于x的函数表达式是y=x+1．
北京时间
7：30
11：15
2：50
首尔时间
8：30
12：15
3：50
（2）从图2看出，设伦敦（夏时制）时间为t时，则北京时间为（t+7）时，
由第（1）题，韩国首尔时间为（t+8）时，
所以，当伦敦（夏时制）时间为7：30，韩国首尔时间为15：30．
14.（2016年浙江省丽水市 ）2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中a的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．
（2）①先求出A．B两点坐标即可解决问题．
②令s=0，求t的值即可解决问题．
解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，
∴a=0.3×35=10.5千米．
（2）①∵线段OA经过点O（0，0），A（35，10.5），
∴直线OA解析式为s=0.3t（0≤t≤35），
∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，
∵该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟，
∴该运动员从起点到第二次经过C点所用的时间是7+68=75分钟，
∴直线AB经过（35，10.5），（75，2.1），
设直线AB解析式s=kt+b，
∴解得，
∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，
∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85
∴该运动员跑完赛程用时85分钟．
15．（2017?南京）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x= ，y= ；
②求y与x之间的函数表达式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
【分析】（1）①由题意可知x=99，y=2．
②由题意y=2（100﹣x）=﹣2x+200．
（2）列出方程组，解方程组即可解决问题．
解：（1）①∵100﹣1=99，
∴x=99，y=2，
故答案为99，2．
②由题意y=2（100﹣x）=﹣2x+200，
∴y与x之间的函数表达式为y=﹣2x+200．
（2）由题意，
解得，
答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．
15．（2017?鞍山）如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），
再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；
（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．21cnjy.com
解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，
∴B（0，6），A（﹣8，0），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，
∴CD=CO，
∵BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO，
∴BD=BO=6，
∴AD=AB﹣BD=4，
∵∠ADC=∠AOB=90°，
∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AC=5，
∴OC=OA﹣AC=3，
∴C（﹣3，0），
∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，
∴△EBD≌△ABO，
∴BE=AB=10，
∴OE=BE﹣OB=4，
∴E（0，﹣4），
设直线CE的解析式为y=kx﹣4，
∴﹣3k﹣4=0，
∴k=﹣，
∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，
（2）解：存在，（﹣，），
如图，
∵点P在直线y=x+6上，
∴设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，
根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣m+6）2=（m﹣）2+，
∴当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，
当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，
∴P（﹣，）．
