第三章函数 第12节 反比例函数及其应用
■知识点一： 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的_ __，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在 ___象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而__ __2-1-c-n-j-y
(2)当k＜0时，图象在_ _象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而 _．【出处：21教育名师】
(3)其图象既是关于原点对称的___ ____图形，又是__ 图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■知识点二：比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■知识点三：利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■知识点四：反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.【版权所有：21教育】
■知识点五：反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2015年浙江省金华市 ）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 21教育网
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
法一：分析：首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM=，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD==10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM=，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y=上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a-8=0，
解得：a1=，a2=-4（舍去），
∴点F的坐标为：（12，）．
法二：∵菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，点D的坐标为（6，8），
∴.
∴点B的坐标为（10，0），点C的坐标为（16，8）.
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为（8，4）.
∵反比例函数的图象经过点A，∴.
∴反比例函数为.
设直线的解析式为，∴.
∴直线的解析式为.
联立.
∴点F的坐标是.
◆变式训练
（2017?娄底）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2016贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，
故选D．
◆变式训练
1.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．
2.（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36 B．12 C．6 D．3
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
如图，已知双曲线y＝和直线y＝mx＋n交于点A和B，B点的坐标是(2，－3)，AC垂直y轴于点C，AC＝.
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解 (1)∵B点的坐标是(2，－3)且在双曲线上，
∴－3＝.∴k＝－6.∴双曲线的解析式为y＝－.
∵AC＝，∴A的横坐标为－.
由y＝－得A.
∵A，B(2，－3)在直线y＝mx＋n上，
∴解得
∴直线的解析式是y＝－2x＋1.
(2)∵直线y＝－2x＋1与y轴的交点为(0，1)，
∴△AOB的面积为××1＋×2×1＝.
◆变式训练
（2016年浙江省杭州市 模拟3）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．21*cnjy*com
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A．C，并与y轴交于点E，反比例函数y=的图象经过点A．
（1）点E的坐标是 ；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）一次函数y=kx﹣2中代入x=0求得y的值，即可求得点E的坐标；
（2）利用△ACD∽△CEO求得点A的坐标后代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（3）首先确定两个函数的交点坐标，然后结合图象确定x的取值范围即可．
解：（1）一次函数y=kx﹣2中令x=0得y=﹣2，
所以E（0，﹣2）；
（2）∵∠OCE=∠ACB，
∴Rt△OCE∽Rt△BCA，
∴=，
即=，
解得OC=4，
∴C点坐标为（4，0）；
（2）把C（4，0）代入y=kx﹣2得4k﹣2=0，解得k=，
∴一次函数解析式为y=x﹣2；
∵OC=4，
∴A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y=得m=6×1=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（3）令
解得，
∴另一个交点（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2或 0＜x＜6时次函数的值小于反比例函数的值．
◆变式训练
1.（2016?玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（ ）www.21-cn-jy.com
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
2.（2016年浙江台州市仙居县 一模）函数y=与y=m﹣x的图象的一个交点是A（2，3），其中k、m为常数．
（1）求k、m的值，画出函数的草图．
（2）根据图象，确定自变量x的取值范围，使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
数的函数值．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2016·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
（2）把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果．
解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
（2）当x=20（米）时，y==100（米），
则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
◆变式训练
1.(2013曲靖中考)某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是( )2·1·c·n·j·y
2.(2014云南中考)将油箱注满k L油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量a(单位：L/km)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1 L的速度行驶，可行驶700 km.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
1.（2016年浙江省杭州市）设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（ ）21·世纪*教育网
A． B．C．D．
2. （2017年浙江省宁波市七校联考 一模）当m，n是实数且满足m﹣n=mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A．点B是“奇异点”且都在反比例函数y=的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3.（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛2）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A．B两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
4.（2016年浙江宁波市）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
5.（2016年浙江省温州市）如图，点A，B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．
6.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为 ．
7.（浙江省嵊州市）如图，点P是反比例函数图象上一点，PM ⊥x轴于M，若△POM的面积为5，则反比例函数的解析式为 。
8.（浙江杭州市开发区）如图，已知函数y=2x和函数y=的图象交于A．B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则k= ，满足条件的P点坐标是 ．
9.（2016年浙江省台州市）请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
10.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，已知反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．21教育名师原创作品
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式x+b的解．
1.（2017年浙江台州市 ）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为 ，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（? ）
A.B、C、 D．
2.（浙江杭州市开发区）已知A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系的是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B． y1＞y2＞y3 C． y3＞y2＞y1 D． y1＞y3＞y2
3.（浙江省嵊州市）已知（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，并且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3, B．y2＜y3＜y1, C．y3＜y2＜y1, D． y3＜y1＜y2,
4.（2016年浙江省杭州市 模拟3）如图，直线y=mx与双曲线y=交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=4，则k的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣8
5.（2014年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
6.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上，函数y=（k＞0）的图象过点A，E．若BC=1，则k的值等于 ．
7.（2016年浙江省绍兴市）如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y=，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为 ．
8.（2016年浙江省丽水市 试卷）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）b= （用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是 ．
9.（2017年浙江省宁波市）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A．B
两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
10.（2016年浙江省金华市）如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k＞0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．
（1）求点A的坐标．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．
11.（2017年浙江嘉兴市）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．www-2-1-cnjy-com
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
12.（2014年浙江省湖州市）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
13.（2016年浙江舟山市）如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B
（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．
14.（2017年浙江省丽水市 试卷）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：21*cnjy*com
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
15.（2017年浙江省嘉兴、舟山市）如图，一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．21世纪教育网版权所有
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．21cnjy.com
第三章函数 第12节 反比例函数及其应用
■知识点一： 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的_图像__，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在一、三___象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而__减小__
(2)当k＜0时，图象在_二、四_象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大_．
(3)其图象既是关于原点对称的___中心对称____图形，又是__轴对称 图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■知识点二：比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■知识点三：利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■知识点四：反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■知识点五：反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2015年浙江省金华市 ）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
法一：分析：首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM=，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD==10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM=，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y=上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a-8=0，
解得：a1=，a2=-4（舍去），
∴点F的坐标为：（12，）．
法二：∵菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，点D的坐标为（6，8），
∴.
∴点B的坐标为（10，0），点C的坐标为（16，8）.
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为（8，4）.
∵反比例函数的图象经过点A，∴.
∴反比例函数为.
设直线的解析式为，∴.
∴直线的解析式为.
联立.
∴点F的坐标是.
◆变式训练
（2017?娄底）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
【考点】 反比例函数的性质．
【分析】根据解不等式组的方法解答即可．
解：∵﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，
则a2＞0，b2＞0，
∵+=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴，
解得：﹣3＜m＜2，
故选D．
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2016贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，
故选D．
◆变式训练
1.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．
解：∵点P（6，3），
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y=得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，
即AM=，NB=，
∵S四边形OAPB=12，
即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，
6×3﹣×6×﹣×3×=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
2.（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36 B．12 C．6 D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．
故选D．
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
如图，已知双曲线y＝和直线y＝mx＋n交于点A和B，B点的坐标是(2，－3)，AC垂直y轴于点C，AC＝.
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解 (1)∵B点的坐标是(2，－3)且在双曲线上，
∴－3＝.∴k＝－6.∴双曲线的解析式为y＝－.
∵AC＝，∴A的横坐标为－.
由y＝－得A.
∵A，B(2，－3)在直线y＝mx＋n上，
∴解得
∴直线的解析式是y＝－2x＋1.
(2)∵直线y＝－2x＋1与y轴的交点为(0，1)，
∴△AOB的面积为××1＋×2×1＝.
◆变式训练
（2016年浙江省杭州市 模拟3）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
【考点】 反比例函数综合题．
【分析】（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出答案；
（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
∴AB=CD=2，AD=BC=4，
∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
（2）A．C落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），
∵A．C落在反比例函数的图象上，
∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），
x=3，
即矩形平移后A的坐标是（2，3），
代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，
即A．C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx﹣2的图象经过点A．C，并与y轴交于点E，反比例函数y=的图象经过点A．
（1）点E的坐标是 ；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）一次函数y=kx﹣2中代入x=0求得y的值，即可求得点E的坐标；
（2）利用△ACD∽△CEO求得点A的坐标后代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（3）首先确定两个函数的交点坐标，然后结合图象确定x的取值范围即可．
解：（1）一次函数y=kx﹣2中令x=0得y=﹣2，
所以E（0，﹣2）；
（2）∵∠OCE=∠ACB，
∴Rt△OCE∽Rt△BCA，
∴=，
即=，
解得OC=4，
∴C点坐标为（4，0）；
（2）把C（4，0）代入y=kx﹣2得4k﹣2=0，解得k=，
∴一次函数解析式为y=x﹣2；
∵OC=4，
∴A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y=得m=6×1=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（3）令
解得，
∴另一个交点（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2或 0＜x＜6时次函数的值小于反比例函数的值．
◆变式训练
1.（2016?玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（ ）
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如下图所示．
将y=mx+6代入y=中，
得：mx+6=，整理得：mx2+6x﹣n=0，
∵二者有交点，
∴△=62+4mn≥0，
∴mn≥﹣9．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式，解题的关键由根的判别式得出关于mn的不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
2.（2016年浙江台州市仙居县 一模）函数y=与y=m﹣x的图象的一个交点是A（2，3），其中k、m为常数．
（1）求k、m的值，画出函数的草图．
（2）根据图象，确定自变量x的取值范围，使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式可得k，m，利用特殊点画出草图即可；
（2）先列方程组求另一个交点B的坐标，再根据图象交点可得结论．
解：（1）把x=2，y=3代入解析式得，k=xy=2×3=6，m=x+y=2+3=5，
则y=，y=﹣x+5，
草图如下：
（2）由题意得：，
解得： ，
∴函数y=与y=5﹣x的图象的另一个交点是B（3，2），
由图象得：当2＜x＜3时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2016·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
（2）把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果．
解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
（2）当x=20（米）时，y==100（米），
则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
◆变式训练
1.(2013曲靖中考)某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是( )
【解析】资源总量Q一定，人均享有资源量x与人数n之间的关系为x＝，所以x与n之间是反比例函数关系，因为反比例函数的图象是双曲线，人数n为正整数，所以函数图象只在第一象限．
【答案】B
2.(2014云南中考)将油箱注满k L油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量a(单位：L/km)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1 L的速度行驶，可行驶700 km.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
解：(1)由题意可知，当a＝0.1时，s＝700，
代入反比例函数的解析式s＝中，得＝700，
解得k＝70，
∴s＝，
∴该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式为s＝(a>0)；
(2)当a＝0.08时，s＝＝＝875(km)．
答：该轿车可以行驶875 km.
1.（2016年浙江省杭州市）设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（ ）
A． B．C．D．
【考点】 反比例函数的图象．
【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论．
解：∵y=（k≠0，x＞0），
∴z===（k≠0，x＞0）．
∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限，
∴k＞0，
∴＞0．
∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．
故选D．
2. （2017年浙江省宁波市七校联考 一模）当m，n是实数且满足m﹣n=mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A．点B是“奇异点”且都在反比例函数y=的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】 反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设A（a，），利用新定义得到a﹣b=ab，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a?=2，a﹣=a3，则可解得a和b的值，所以A（﹣2，﹣1），B（1，2），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式．从而得到直线AB与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算△OAB的面积．
解：设A（a，），
∵点A是“奇异点”，
∴a﹣b=ab，
∵a?=2，则b=，
∴a﹣=a3，
而a≠0，整理得a2+a﹣2=0，解得a1=﹣2，a2=1，
当a=﹣2时，b=2；当a=1时，b=，
∴A（﹣2，﹣1），B（1，2），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（﹣2，﹣1），B（1，2）代入得，解得，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，1），
∴△OAB的面积=×1×（2+1）=．
故选B．
3.（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛2）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A．B两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【考点】 反比例函数综合题．
【分析】先求出点A．B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y=﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=﹣1+6=5，
当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，
∴点A．B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，
设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，
则k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9．
故选：A．
4.（2016年浙江宁波市 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
【考点】 反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以分别设出点A．点B的坐标，根据点O、A．B在同一条直线上可以得到A．B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．
解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
5.（2016年浙江省温州市 ）如图，点A，B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．
【考点】 反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据三角形面积间的关系找出2S△ABD=S△BAC，设点A的坐标为（m，），点B的坐标为（n，），结合CD=k、面积公式以及AB=2AC即可得出关于m、n、k的三元二次方程组，解方程组即可得出结论．
解：∵E是AB的中点，
∴S△ABD=2S△ADE，S△BAC=2S△BCE，
又∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，
∴2S△ABD=S△BAC．
设点A的坐标为（m，），点B的坐标为（n，），
则有，
解得：，或（舍去）．
故答案为：．
6.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为 ．
【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点A的坐标可以求得反比例函数的解析式和点B的横坐标，进而求得点B的坐标，本题得以解决．
解：∵点A（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴2=，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2，
∴点B的横坐标是4，
∴y==1，
∴点B的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
7.（浙江省嵊州市）．如图，点P是反比例函数图象上一点，PM ⊥x轴于M，若△POM的面积为5，则反比例函数的解析式为 。
【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy=-10，即可写出反比例函数的解析式． 解：设A点坐标为A（x，y）， 由图可知A点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵AB⊥x轴， ∴|AB|=y，|OB|=|x|， ∴S △ AOB = ×|AB|×|OB|= ×y×|x|=5， ∴-xy=10， 即反比例函数的解析式为y=
8.（浙江杭州市开发区 ）如图，已知函数y=2x和函数y=的图象交于A．B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则k= ，满足条件的P点坐标是 ．
【考点】 反比例函数综合题．
【分析】 先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．
解：如图∵△AOE的面积为4，函数y=的图象过一、三象限，
∴S△AOE=?OE?AE=4，
∴OE?AE=8，
∴xy=8，
∴k=8，
∵函数y=2x和函数y=的图象交于A．B两点，
∴2x=，
∴x=±2，
当x=2时，y=4，当x=﹣2时，y=﹣4，
∴A．B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：
P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
故答案为：（0，﹣4）或（﹣4，﹣4）或（4，4）．
9.（2016年浙江省台州市）请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
【考点】 函数的图象；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可．
解：（1）函数y=的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．
②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大
10.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，已知反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式x+b的解．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A．B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；
（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．
解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=1×8=8，m=8÷（﹣4）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y2=k2x+b中，
，解得：．
∴k1=8，k2=2，b=6．
（2）当x=0时，y2=2x+6=6，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，6）．
∴S△AOB=×6×4+×6×1=15．
（3）观察函数图象可知：当﹣4＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式x+b的解为﹣4≤x＜0或x≥1．
1.（2017年浙江台州市 ）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为 ，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（? ）
A.B、C、 D．
【考点】 反比例函数的定义，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】I=， 电压U一定时，电流I关于电阻R的函数关系式为反比例函数，其图像为双曲线，根据反比例函数图像的性质，可知其图像在第一象限，故可得出正确答案。
解：∵I=（U＞0,R＞）
∴图像是在第一象限的双曲线的一个分支.
故选A．
2.（浙江杭州市开发区）已知A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系的是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B． y1＞y2＞y3 C． y3＞y2＞y1 D． y1＞y3＞y2
【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．
解：∵A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，
∴y1=2，y2=1，y3=﹣，
∴y1＞y2＞y3．
故选B．
3.（浙江省嵊州市）已知（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，并且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3, B．y2＜y3＜y1, C．y3＜y2＜y1, D． y3＜y1＜y2,
【分析】先根据反比例函数y=-的系数-4＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小． 解：∵反比例函数y=-中，k=-4＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＜y2＞0、y3＜0， ∴y2＞y1＞y3， 故答案为y2＞y1＞y3．
4.（2016年浙江省杭州市 模拟3）如图，直线y=mx与双曲线y=交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=4，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣8
【考点】 反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM=S△OBM，而S△ABM=4，S△OAM=2，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k=﹣4．
解：∵直线y=mx与双曲线y=交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM=S△OBM，
而S△ABM=4，
∴S△OAM=2，
∴|k|=2，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=﹣4．
故选B．
5.（2014年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，
∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，则m?=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
6.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上，函数y=（k＞0）的图象过点A，E．若BC=1，则k的值等于 ．
【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设OB=AB=a，则OC=a+1，得出点A和点E的坐标，把A．E的坐标代入函数解析式，即可求出答案．
解：设OB=AB=a，则OC=a+1，
即A点的坐标为（a，a），E点的坐标为（a+1，1），
把A．E的坐标代入函数解析式得：
所以a=，
∵a为正数，
∴a=，
∴k=+1=，
故答案为：．
7.（2016年浙江省绍兴市 ）如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y=，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为 ．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．
【分析】根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA．OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵点A的坐标为（a，﹣a）（a＞0），
∴点B（a，）、点C（﹣，）、点D（﹣，﹣a），
∴OA==a，OC==．
又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即a=2×或=2a，
解得：a1=，a2=﹣（舍去），a3=，a4=﹣（舍去）．
故答案为：或．
8.（2016年浙江省丽水市 试卷）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）b= （用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是 ．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出EF=AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题．
解：（1）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，
∴点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）．
令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，
∴﹣m+b=
即b=m+．
故答案为：m+．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．
∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，
则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），
∴S△ADM=2S△OEF，
由对称性可知AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF是△OBN的中位线，
∴N（2m，0），
∴点B坐标（2m，）代入直线y=﹣x+m+，
∴=﹣2m+m+，整理得到m2=2，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
9.（2017年浙江省宁波市）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A．B
两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；
（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，
∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=﹣12；
（2）联立得：，
解得：或，即A（﹣2，6），B（2，﹣6），
根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
10.（2016年浙江省金华市）如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k＞0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．
（1）求点A的坐标．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）令一次函数中y=0，解关于x的一元一次方程，即可得出结论；
（2）①过点C作CF⊥x轴于点F，设AE=AC=t，由此表示出点E的坐标，利用特殊角的三角形函数值，通过计算可得出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论；
②根据点在直线上设出点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点D横坐标的一元二次方程，解方程即可得出点D的坐标，结合①中点E的坐标即可得出结论．
解：（1）当y=0时，得0=x﹣，解得：x=3．
∴点A的坐标为（3，0）．：
（2）①过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
设AE=AC=t，点E的坐标是（3，t），
在Rt△AOB中，tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°．
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
∴CF=t，AF=AC?cos30°=t，
∴点C的坐标是（3+t，t）．
∴（3+t）×t=3t，
解得：t1=0（舍去），t2=2．
∴k=3t=6．
②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：
设点D的坐标是（x，x﹣），
∴x（x﹣）=6，解得：x1=6，x2=﹣3，
∴点D的坐标是（﹣3，﹣2）．
又∵点E的坐标为（3，2），
∴点E与点D关于原点O成中心对称．
11.（2017年浙江嘉兴市）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值；
（2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
（1）解：把A（-1,2）代入y=，得k2=-2，
∴反比例函数的表达式为y=。
∵B（m,-1）在反比例函数的图象上，
∴m=2。
由题意得，解得
∴一次函数的表达式为y=-x+1。
（2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=3
①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1,
∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去）
②当AP=AB时，22+（n+1）2=(3)2
∵n>0，∴n=-1+
③当BP=BA时，12+（n-2）2=(3)2
∵n>0，∴n=2+
所以n=-1+或n=2+。
12.（2014年浙江省湖州市 ）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10b=3；
（2）作AC⊥x轴与点C，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，
∴点B的坐标为（﹣3，0），OB=3，
点A的坐标是（2，5），
∴AC=5，
∴=5=．
13.（2016年浙江舟山市）如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B
（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质．
【分析】（1）直接将A点代入反比例函数解析式求出答案；
（2）直接利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C，B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围．
解：（1）把点A（﹣4，m）的坐标代入y2=，
则m==﹣1，
得m=﹣1；
（2）连接CB，CD，
∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，
∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，
∴四边形BODC是正方形，
∴BO=OD=DC=CB，
∴设C（a，a）代入y2=得：a2=4，
∵a＞0，∴a=2，
∴C（2，2），B（0，2），
把A（﹣4，﹣1）和（0，2）的坐标代入y1=kx+b中，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y1=x+2；
（3）∵A（﹣4，﹣1），
∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣4．
14.（2017年浙江省丽水市 试卷）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
【考点】 反比例函数的应用．
【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
解：（1）根据表格中数据，可知v=，
∵v=75时，t=4，
∴k=75×4=300，
∴v=．
（2）∵10﹣7.5=2.5，
∴t=2.5时，v==120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v≤，
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤．
15.（2017年浙江省嘉兴、舟山市）如图，一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．
【考点】 反比例函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当PA=PB时，可得（n+1）2+4=（n﹣2）2+1．②当AP=AB时，可得22+（n+1）2=（3）2．③当BP=BA时，可得12+（n﹣2）2=（3）2．分别解方程即可解决问题；
解：（1）把A（﹣1，2）代入y=，得到k2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵B（m，﹣1）在Y=﹣上，
∴m=2，
由题意，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴AB=3，
①当PA=PB时，（n+1）2+4=（n﹣2）2+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，22+（n+1）2=（3）2，
∵n＞0，
∴n=﹣1+．
③当BP=BA时，12+（n﹣2）2=（3）2，
∵n＞0，
∴n=2+．
综上所述，n=﹣1+或2+．
