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特殊三角形的综合应用答案
◆考点：特殊三角形的综合应用：
典例精讲：例1.
解析：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
变式训练：
1.解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，
∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=，
∴∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°；
（2）证明：作AF⊥CD，
∵AD=AC，∴CF=FD=CD，∠FAD=CAB=22.5°，
∵∠ADC=67.5°，∴∠BDE=67.5°，
∴∠DBE=22.5°，∴∠CBE=67.5°，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB，∴BE=DF，∴CD=2BE．
2.解析：（1）理由：
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°．
∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA，即∠BCD=∠ACE．
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD；
（2）∵△ACE≌△BCD．
∴∠EAC=∠B=60° 21世纪教育网版权所有
∴∠EAC=∠ACB 21教育网
∴AE∥BC
典例精讲：例2.
解析：（1）证明：∵BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°
又∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠EDA．
∴AE=DE，
即△ADE是等腰三角形．
（2）还有三个等腰三角形，△ABD、△ABC、△CDE．
变式训练：
1.解析：（1）∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线
∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面积=×4×2=4
（2）解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等边三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠FAD=∠BAC=×60°=30°
∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90°
∴AB⊥DE
（说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以）
2.解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
3.解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=6．
典例精讲：例3解析：（1）∵△ACE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，
∴∠ACE+∠DCE=∠DCB+∠DCE，即∠ACD=∠ECB，
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）AD=BE成立．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（3）∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，
如图2，设BE与AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
变式训练：
解析：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∴△DMN≌△DEN，∴MN=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中
∵，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
典例精讲：例4.
解析：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，
∵DH∥AB，∴∠DHC=∠ABC，∠DHF=∠EBF，∴DH=DC，
∵DC=BE，∴DH=BE，
在△DHF和△EBF中，
，
∴△DGF≌△EBF，∴DF=EF．
（2）结论：GH+HF=BC．
理由：∵△DGF≌△EBF，∴FH=BF，
∵CG=GH，
∴GH+FH=CH+BH=（CH+BH）=BC．
变式训练：
解析：（1）结论：BD=AC．
理由：∵∠ADB=∠DBC+∠DCB，∠ADB=36°，∠ACB=18°，
∴∠DBC=∠DCB=18°，∴DB=DC，
∵∠ABC=90°，∴∠DBA=∠DAB=72°，
∴DA=DB，∴DB=DA=DC，∴BD=AC．
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°∴∠FDC=∠FGB=∠DEC+∠DCE=108°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBG=×90°=45°
∴∠BFG=180°﹣∠FBG﹣∠FGB=180°﹣45°﹣108°=27°．
（3）∵∠CGH=180°﹣∠BGF=72°，
∴∠CHG=180°﹣∠CGH﹣∠GCH=180°﹣72°﹣18°=90°，
∴FG⊥AC，
∴FH是△ACF的高．
巩固提升：
1.解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°；
（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°；
（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
2.解析：（1）如图1，∵AB∥DF，∠B=90°，
∴∠EDC=180°﹣∠ABC=90°，∴∠CED+∠ECD=90°，
∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；
（2）如图2，∵∠EDC=90°，∠B=90°，
∴∠B=∠EDC，
由（1）可得，∠ACB=∠CED，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴DE=BC，AB=CD=4（cm），
∴BC=BD﹣CD=10﹣4=6（cm），
∴DE=6（cm）．
3.解析：（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
4.解析：（1）如图1，
过点E作EG⊥AF与点G，连接EF．
由折叠知，△ABE≌△AGE，∴AG=AB，BE=GE
∵BE=CE，∴GE=CE，
∵在Rt△EGF和Rt△ECF中，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF，∴FG=FC
∵AF=AG+FG， ∴AF=AB+FC，
（2）如图2，延长AF、BC交于点H．
由折叠知，∠BAE=∠HAE=30°，
∴∠H=30° ∴AH=2AB
同理：FH=2FC
∵AF=AH﹣FH， ∴AF=2AB﹣2FC，
（3）由折叠知，∠BAE=∠HAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，
∴△AIF为等边三角形， ∴AF=AI=FI
由（2）可得AE=2AB， IE=2IC
∵IC=FC﹣FI， ∴IC=FC﹣AF， ∴IE=2FC﹣2AF
∵AI=AE﹣IE， ∴AF=2AB﹣（2FC﹣2AF）=2FC﹣2AB，
5.解：（1）∵点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴S△AOC=OC OA=×6×4=12，
∵S△AOC=3S△AOB．S△AOB=4，
设B（x，0），
∵点B在x轴的负半轴上，
∴OB=﹣x，
∴S△AOB=OB OA=×（﹣x）×4=4，
∴x=﹣2，∴B（﹣2，0）；
（2）∵P在x轴上，D在y轴，
∴∠POD=∠AOB=90°，
∵以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POD≌△AOB，∴OD=OB=2，
∴D（﹣2，0）或（2，0）
②△DOP≌△AOB，∴OD=OA=4，
∴D（4，0）或（﹣4，0），
即：满足条件的D的坐标为（0，4），（0，﹣4），（0，2），（0，﹣2）．
（3）∵P在x轴上，Q在y轴，
∴∠POQ=∠AOB=90°，
由运动知，CP=2t，AQ=2t，
∴OP=|2t﹣6|，OQ=|2t﹣4|，
当0＜t＜2时，OP=6﹣2t，OQ=4﹣2t，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=4﹣2t，∴t=1
OP=OA=4=6﹣2t，∴t=1，
∴满足条件，即：t=1s
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=4﹣2t，
∴t=0，OP=OB=2=6﹣2t，∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当2＜t＜3时，OP=6﹣2t，OQ=2t﹣4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t﹣4，∴t=3，
OP=OA=4=6﹣2t，∴t=1，
∴不满足条件，舍去；
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t﹣4，
∴t=4，OP=OB=2=6﹣2t，∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当t＞3时，OP=2t﹣6，OQ=2t﹣4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t﹣4，∴t=3
OP=OA=4=2t﹣6，∴t=5，
∴不满足条件，舍去；，
②△QOP≌△AOB，∴OQ=OA=4=2t﹣4，
∴t=4，OP=OB=2=2t﹣6，∴t=4，
∴满足条件，即：t=4s
即：满足条件的时间t=1s或4s．
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特殊三角形的综合应用
◆考点：特殊三角形的综合应用：
典例精讲：例1.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．21*cnjy*com
变式训练：
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE．【来源：21cnj*y.co*m】
2．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．（1）求证：△ACE≌△BCD；【出处：21教育名师】
（2）线段AE与BC有什么位置关系？请说明理由．
典例精讲：例2.在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，D为BC上一点，BD=AB，DE⊥BC，交AC于点E．（1）求证：△ADE是等腰三角形；【版权所有：21教育】
（2）图中除△ADE是等腰三角形外，还有没有等腰三角形？若有，请一一写出来（不要求证明）；若没有，请说明理由．21教育名师原创作品
变式训练：
1．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2，以AD为一边向左作等边△ADE．（1）求：△ABC的面积；21*cnjy*com
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．
2．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD=3，求DF的长．
典例精讲：例3.已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠APE大小是否随着∠ACB的大小发生变化而发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
变式训练：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
提示：看到这个问题后，小明猜想：BM+NC=MN，并且通过延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，再证明三角形全等，请你按照小明的思路写出证明过程．2·1·c·n·j·y
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
典例精讲：例4.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点．（1）求证：DF=EF．（2）试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由．
变式训练：
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，D是AC上一点，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=AB，连接AF，BF，CF，G是BC上一点，连接FG，交AC于点H，已知∠ADB=36°，BF平分∠ABC．21·世纪*教育网
（1）试判断BD与AC之间的数量关系，并说明理由；
（2）若BF=CF，∠BGF=∠FDC，求∠BFG的度数；
（3）求证：FH是△ACF的高．
2-1-c-n-j-y
巩固提升：
1．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
2．已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．（1）如图1试说明：∠ACB=∠CED．
（2）若AC=CE，试求DE的长．
3．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；（2）求证：AD和CE垂直．
4．在正方形ABCD中，点E是射线BC上的点，直线AF与直线AB关于直线AE对称，直线AF交射线CD于点F．21教育网
（1）当点E是线段BC的中点时，求证：AF=AB+CF．
（2）当∠BAE=30°时，求证：AF=2AB﹣2CF；
（3）当∠BAE=60°时，（2）中的结论是否还成立？若不成立，请判断AF与AB、CF之间的数量关系，并加以证明．21世纪教育网版权所有
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），点P是x轴上的一个动点，从点C出发，沿x轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点B在x轴的负半轴上，且S△AOC=3S△AOB．21cnjy.com
（1）求点B的坐标；
（2）若点D在y轴上，是否存在点P，使以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由21·cn·jy·com
（3）点Q是y轴上的一个动点，从点A出发，向y轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以P、Q、O三点构成的三角形与△AOB全等．www.21-cn-jy.com
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