7.2 与圆相关的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内 点 在圆内；
点在圆上 点 在圆上；
点在圆外 点 在圆外；
直线与圆的位置关系
相交：直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫做圆的 ，公共点叫做交点；21·cn·jy·com
相切：直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫做圆的 ，
相离：直线和圆 公共点时，叫做直线和圆 .
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
①直线与圆相离 直线与圆 交点；
②直线与圆相切 直线与圆 交点；
③直线与圆相交 直线与圆 交点；
圆与圆的位置关系
圆和圆的位置关系
①如果两个圆 公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为 和 两种.
②如果两个圆 公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为 和 两种.
③如果两个圆 公共点，那么就说这两个圆相交.
圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①外离（图1） 两圆 交点 ；
② （图2） 两圆 交点 ；
③ （图3） 两圆 交点 ；
④ （图4） 两圆 交点 ；
⑤ （图5） 两圆 交点 ；
两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是 对称图形，对称轴是两圆的 ；相交的两个圆的连心线 两圆的公共弦.
圆与三角形的位置关系
三角形的内切圆
与三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的 ，三角形的内心是三角形三条 的交点. 三角形叫做圆的 .
三角形的外接圆
与三角形各顶点都 的圆叫做多边形的外接圆，三角形外接圆圆心叫 .三角形的外接圆圆心是任意两边的 的交点.
考点一：点与圆的位置关系
（2017秋?东莞市校级期中）已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【分析】利用点与圆的位置关系的判断方法求解．
【解答】解：∵OP=6cm＞5cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
变式跟进1（2016?陕西校级模拟）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
变式跟进2（2016秋?宝安区校级期末）如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（ ）
A．∠C+∠D=180°
B．当E为圆心时，∠C=∠D=90°
C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心
D．∠COD=2∠CAD
考点二：直线与圆的位置关系
（2016秋?上杭县期末）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可．
【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d=8，
∵r=5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故选B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是画出简图，明白圆心坐标到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
变式跟进3（2016?青羊区模拟）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
变式跟进4（2016秋?陆河县校级月考）如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
考点三：圆的切线
（2017?湘潭模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P=60°，那么∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°
同理∠OBP=90°
根据四边形内角和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°
故选C．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，对定理的正确理解是解题的关键．
变式跟进5（2017秋?东莞市校级期中）如图，直线AB是⊙O的切线，切点为B，AO的延长线交⊙O于点C，∠A=40°．则∠C的度数为（ ）
A．40° B．25° C．50° D．30°
考点四：圆与圆的位置关系
（2016秋?东莞市期末）已知⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=6cm，且两圆的半径满足一元二次方程x2﹣6x+8=0．则两圆的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
【分析】解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得：
x1=2，x2=4，
∵O1O2=6，x2﹣x1=2，x2+x1=6，
∴O1O2=x2+x1．
∴⊙O1与⊙O2相外切．
故选A．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断．此类题比较基础，需要同学熟练掌握．21教育网
变式跟进6（2015秋?汶上县校级期末）已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O′相切，则圆心距OO′为（ ）
A．2 cm B．7 cm C．12 cm D．2 cm或12 cm
考点五：相切两圆的性质
（2017?冷水滩区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=4，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的．
【解答】解：在△ABC中，依据勾股定理可知AB==8．
∵两等圆⊙A，⊙B外切，
∴两圆的半径均为4．
∵∠A+∠B=90°，
∴阴影部分的面积==4π．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．
变式跟进7（2016秋?秦皇岛期末）如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
考点六：相交两圆的性质
（2017?北京模拟）如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，且OO′=5，OA=3，O′B=4，则AB=（ ）
A．5 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【分析】首先根据直角三角形的判定方法得出△AOO′是直角三角形，进而利用相交两圆的性质以及三角形面积公式进而得出即可．
【解答】解：∵OO′=5，OA=3，O′B=4，
∴OO′2=OA2+O′B2，
∴△AOO′是直角三角形，
∵⊙O和⊙O′相交于A、B两点，
∴AB⊥OO′，
∴AE=BE，
∵AO×AO′=×AE×OO′，
∴×3×4=×AE×5，
解得：AE=2.4，
∴AB=4.8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理逆定理和三角形面积求法等知识，得出AE的长是解题关键．
变式跟进8（2017?南岳区校级模拟）若⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，⊙O1与⊙O2半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为（ ）
A．105° B．75°或15° C．105°或15° D．15°
考点七：三角形的外接圆和外心
（2016秋?中山市期末）直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长==2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点是解题的关键．
变式跟进9（2017?曲江区校级三模）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC．若圆O的半径为8，∠BAC=120°，则DI的长度为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
考点八：三角形的内切圆和内心
（2017?揭阳一模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）
A．105° B．110° C．130° D．145°
【分析】连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=70°，再利用等腰三角形性质和三角形外角性质可计算出∠CBD=∠ACB=35°，则∠ABD=105°，利用三角形内心的性质得AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，根据等腰三角形性质可判定AE垂直平分BC，利用角平分线的定义计算出∠PBD=∠ABD=52.5°，则∠PBC=22.5°，然后利用PB=PC得到∠PBC=∠PCB=22.5°，最后根据三角形内角和计算∠BPC的度数．
【解答】解：连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD=∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°﹣35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°﹣22.5°﹣22.5°=145°．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质．
变式跟进10（2017?海曙区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
一.选择题
1．（2016?梧州）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2015?湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）21*cnjy*com
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
3．（2014?广州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=7cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
4．（2015?张家界）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）【版权所有：21教育】
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
5．（2017?广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
6．（2015?梅州）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
7．（2017?台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
二.填空题
8．（2016?黔西南州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足+（n﹣2）2=0，圆心距O1O2=，则两圆的位置关系为 ．
9．（2016?广州）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB的长为 ．
10．（2016?咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 ．
11．（2016?无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
12．（2016?泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 ．
三.综合题
13．（2016?德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
14．（2016?深圳）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
15．（2017?广州）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
16．（2016?广州）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°21教育名师原创作品
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
17．（2015?深圳）如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG?CE．
18．（2010?嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）
一．选择题
1．（2016?广东模拟）⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=7，则P与⊙O的位置关系是（ ）21世纪教育网版权所有
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
2．（2016?南雄市校级一模）下列说法中
（1）垂直于弦的直径平分于弦；
（2）平分于弦的直径垂直于弦；
（3）相等的弦所对的弧相等；
（4）三角形的内心也是该三角形两内角平分线的交点；
（5）三角形的外心到三角形三个顶点距离相等；
（6）和半径垂直的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2016秋?海珠区期末）如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
4．（2016秋?崇安区期中）如图，图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的花坛，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则这个花坛的周长为（ ）
A．12π m B．18π m C．20π m D．24π m
5．（2017?深圳模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=8，AH=6，⊙O的半径OC=5，则AB的值为（ ）【出处：21教育名师】
A．5 B． C．7 D．
6．（2017?玉田县二模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）21*cnjy*com
A．3 B． C． D．4
7．（2016?福州自主招生）如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2017?奉化市自主招生）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=a，CA=b，AB=c，CD=h，设△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，h，则下列结论：①+=；②+=；③r12+r22=r2；④r1+r2+r=h中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
9．（2017春?龙湖区校级月考）圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P（﹣4，3）与⊙O的位置关系是 ．
10．（2017?顺德区一模）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
11．（2017?荔湾区校级二模）如图，正三角形ABC内接于⊙O，其边长为2，则⊙O面积为 ．
12．（2016秋?陆河县校级月考）如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC= °．
13．（2017?达州模拟）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG=1，则△ABC的周长为 ．
14．（2017?米东区校级四模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R+r）x+=0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是 ．
15．（2016?深圳模拟）如图，⊙O与⊙O′外切于M，AB、CD分别同时与⊙O、⊙O′都相切的直线，A、B、C、D为切点，O′E⊥OA于E，且∠AOC=120°．若⊙O′的半径为1cm，图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题
16．（2016?广州一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．
（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
17．（2016秋?东莞市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．
18．（2017?虹口区模拟）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB=10，BC=21，sinB=．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
19．（2016?深圳模拟）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．
20．（2016?永春县自主招生）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（0，﹣2），（0，8），以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．设x轴交半圆P于点E，交边CD于点F．21cnjy.com
（1）求线段EF的长；
（2）连接BE，试判断直线BE与⊙P的位置关系，并说明你的理由；
（3）直线BE上是否存在着点Q，使得以Q为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与⊙P外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
7.2 与圆相关的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内 点C在圆内；
点在圆上 点B在圆上；
点在圆外 点A在圆外；
直线与圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
①直线与圆相离 直线与圆无交点；
②直线与圆相切 直线与圆有一个交点；
③直线与圆相交 直线与圆有两个交点；
圆与圆的位置关系
圆和圆的位置关系
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种.
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①外离（图1） 两圆无交点 ；
②外切（图2） 两圆有一个交点 ；
③相交（图3） 两圆有两个交点 ；
④内切（图4） 两圆有一个交点 ；
⑤内含（图5） 两圆无交点 ；
两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
圆与三角形的位置关系
三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的外接圆
与三角形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，三角形外接圆圆心叫外心.三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点.
考点一：点与圆的位置关系
（2017秋?东莞市校级期中）已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【分析】利用点与圆的位置关系的判断方法求解．
【解答】解：∵OP=6cm＞5cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
变式跟进1（2016?陕西校级模拟）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．
【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），
∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．
故选A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
变式跟进2（2016秋?宝安区校级期末）如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（ ）
A．∠C+∠D=180°
B．当E为圆心时，∠C=∠D=90°
C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心
D．∠COD=2∠CAD
【分析】根据A、B、C、D四点共圆的性质和圆心角与圆周角的关系判断即可．
【解答】解：因为A、B、C、D四点在同一个圆上，
A、∠C=∠D，错误；
B、当E为圆心时，∠C=∠D=90°，正确；
C、若E是AB的中点，则E不一定是此圆的圆心，错误；
D、∠COD≠2∠CAD，错误；
故选B．
【点评】本题考查的是圆的认识，掌握到定点的距离等于定长的点在同一个圆上是解题的关键．
考点二：直线与圆的位置关系
（2016秋?上杭县期末）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可．
【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d=8，
∵r=5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故选B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是画出简图，明白圆心坐标到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
变式跟进3（2016?青羊区模拟）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
【分析】根据题意画出相应的图形，由三角形ABC的三边，利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据垂直定义得到AC与BC垂直，再利用切线的定义：过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线，得到AC为圆B的切线，可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，
∵BC2+AC2=302+402=900+1600=2500，AB2=502=2500，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC为圆B的切线，
则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．
故选C．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：勾股定理的逆定理，垂直的定义，以及切线的判定，利用了数形结合的思想，其中画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理得出AC⊥BC是解本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
变式跟进4（2016秋?陆河县校级月考）如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，
∴MH=OM=，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．
故选B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r属于中考常考题型．
考点三：圆的切线
（2017?湘潭模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P=60°，那么∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求解．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°
同理∠OBP=90°
根据四边形内角和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°
故选C．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，对定理的正确理解是解题的关键．
变式跟进5（2017秋?东莞市校级期中）如图，直线AB是⊙O的切线，切点为B，AO的延长线交⊙O于点C，∠A=40°．则∠C的度数为（ ）
A．40° B．25° C．50° D．30°
【分析】连接OB，AB与⊙O相切于点B，得到∠OBA=90°，根据三角形内角和得到∠AOB的度数，然后用三角形外角的性质求出∠C的度数．
【解答】解：如图：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=25°．
故选B．
【点评】本题考查的是切线的性质，根据求出的性质得到∠OBA的度数，然后在三角形中求出∠C的度数
考点四：圆与圆的位置关系
（2016秋?东莞市期末）已知⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=6cm，且两圆的半径满足一元二次方程x2﹣6x+8=0．则两圆的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
【分析】解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得：
x1=2，x2=4，
∵O1O2=6，x2﹣x1=2，x2+x1=6，
∴O1O2=x2+x1．
∴⊙O1与⊙O2相外切．
故选A．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断．此类题比较基础，需要同学熟练掌握．
变式跟进6（2015秋?汶上县校级期末）已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O′相切，则圆心距OO′为（ ）
A．2 cm B．7 cm C．12 cm D．2 cm或12 cm
【分析】此题考虑两种情况：两圆外切或两圆内切．再进一步根据位置关系得到数量关系．
设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：当两圆外切时，则圆心距等于两圆半径之和，即7+5=12；
当两圆内切时，则圆心距等于两圆半径之差，即7﹣5=2．
故选D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆相切包括两圆内切或两圆外切．
考点五：相切两圆的性质
（2017?冷水滩区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=4，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的．
【解答】解：在△ABC中，依据勾股定理可知AB==8．
∵两等圆⊙A，⊙B外切，
∴两圆的半径均为4．
∵∠A+∠B=90°，
∴阴影部分的面积==4π．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．
变式跟进7（2016秋?秦皇岛期末）如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【分析】蚂蚁爬行这8段的距离正好是圆周长的2倍，故根据圆周长的计算公式，先计算圆的周长C，然后用2006π除以2C，根据余数判定停止在哪一个点．
【解答】解：C=π×8=8π，
2C=16π，
2006π=16π×125+6π，
所以停止在D点．
故选A．
【点评】本题考查了相切两圆的性质，解决本题的关键是弄清题意，爬行的过程是一个重复的过程，求出重复的圈数，再用余数来确定最终的停留点．
考点六：相交两圆的性质
（2017?北京模拟）如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，且OO′=5，OA=3，O′B=4，则AB=（ ）
A．5 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【分析】首先根据直角三角形的判定方法得出△AOO′是直角三角形，进而利用相交两圆的性质以及三角形面积公式进而得出即可．
【解答】解：∵OO′=5，OA=3，O′B=4，
∴OO′2=OA2+O′B2，
∴△AOO′是直角三角形，
∵⊙O和⊙O′相交于A、B两点，
∴AB⊥OO′，
∴AE=BE，
∵AO×AO′=×AE×OO′，
∴×3×4=×AE×5，
解得：AE=2.4，
∴AB=4.8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理逆定理和三角形面积求法等知识，得出AE的长是解题关键．
变式跟进8（2017?南岳区校级模拟）若⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，⊙O1与⊙O2半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为（ ）
A．105° B．75°或15° C．105°或15° D．15°
【分析】连接AB、O1O2，两线段交于点C，由垂径定理可得：O1O2⊥AB且平分AB，再解Rt△O1CA、Rt△O2CA，可得∠O1AC、∠O2AC，即可求得∠O1AO2的度数．
【解答】解：连接AB、O1O2，两线段交于点C，如下图所示：
①如图1，∵AB为两圆的交线，O1O2为两圆圆心的连线，
∴O1O2⊥AB且平分AB；
∵已知O1A=2，O2A=，AB=2，
∴在Rt△O1CA中，cos∠O1AC=，
∴∠O1AC=60°；
在Rt△O2CA中，cos∠O2AC=，
∴∠O2AC=45°，
∴∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=105°，
②如图2所示：
同理可得：∴∠O1AO2=∠O1AC﹣∠O2AC=15°，
综上所述，∠O1AO2的度数为105°或15°．
故选C．
【点评】本题主要考查了相交圆的性质及直角三角形的性质．注意要分类讨论，以防漏解．
考点七：三角形的外接圆和外心
（2016秋?中山市期末）直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长==2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点是解题的关键．
变式跟进9（2017?曲江区校级三模）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC．若圆O的半径为8，∠BAC=120°，则DI的长度为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【分析】据题意可得∠BAD=∠DAC，进而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易证△BDI为等腰三角形．得到BD=ID，根据圆内接四边形的性质与圆周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC为正三角形，解直角三角形于是得到结论．
【解答】解：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴=，
∴BD=DC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．
∵∠BAC=120°，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∵BD=CD，
∴=，
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE=BD，
又∵OB=18，
∴BD=2OBcos30°=2×8×=8，
∴DI=BD=8，
故选D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心以及三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三条角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．【版权所有：21教育】
考点八：三角形的内切圆和内心
（2017?揭阳一模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）
A．105° B．110° C．130° D．145°
【分析】连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=70°，再利用等腰三角形性质和三角形外角性质可计算出∠CBD=∠ACB=35°，则∠ABD=105°，利用三角形内心的性质得AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，根据等腰三角形性质可判定AE垂直平分BC，利用角平分线的定义计算出∠PBD=∠ABD=52.5°，则∠PBC=22.5°，然后利用PB=PC得到∠PBC=∠PCB=22.5°，最后根据三角形内角和计算∠BPC的度数．
【解答】解：连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD=∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°﹣35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°﹣22.5°﹣22.5°=145°．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质．
变式跟进10（2017?海曙区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
一.选择题
1．（2016?梧州）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】由直线和圆的位置关系：r＞d，可知：直线和圆相交．
【解答】解：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，
∵5＞3，即r＞d，
∴直线和圆相交，
故选C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交?d＜r；②直线l和⊙O相切?d=r；③直线l和⊙O相离?d＞r．
2．（2015?湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
3．（2014?广州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=7cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
【分析】由⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=7cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=7cm，
又∵3+2＜7，
∴两圆的位置关系是外离．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．（2015?张家界）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
【分析】利用直线l和⊙O相切?d=r，进而判断得出即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．
5．（2017?广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．
6．（2015?梅州）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
7．（2017?台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选B．
【点评】本题考查三角形的外心的性质．正方形的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．www.21-cn-jy.com
二.填空题
8．（2016?黔西南州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足+（n﹣2）2=0，圆心距O1O2=，则两圆的位置关系为 相交 ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出m，n的值，再利用圆与圆的位置关系判断方法得出答案．
【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足+（n﹣2）2=0，
∴m﹣1=0，n﹣2=0，
解得：m=1，n=2，
∴m+n=3，
∵圆心距O1O2=，
∴两圆的位置关系为：相交．
故答案为：相交．
【点评】此题主要考查了偶次方的性质以及二次根式的性质以及圆与圆的位置关系，正确把握两圆位置关系判断方法是解题关键．
9．（2016?广州）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB的长为 8π ．
【分析】连接OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP=，由锐角三角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AB为小⊙O的切线，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP=，
∵=，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，∠OAP=30°，
∴OA=2OP=12，
∴劣弧AB的长为：==8π．
故答案为：8π．
【点评】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得∠AOP=60°是解答此题的关键．
10．（2016?咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 122° ．
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°﹣64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°﹣58°=122°．
故答案为：122°．
【点评】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
11．（2016?无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴=
∴EF===
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣t）2=+，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
12．（2016?泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 6 ．
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=6，
∴a的最大值为6．
故答案为6．
【点评】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现PA=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．
三.综合题
13．（2016?德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
【分析】（1）连接OE．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；
（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；
（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．
【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．
理由：如图1所示：连接OE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴．
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴，即，解得；AE=．
∴AF=AE﹣EF=﹣7=．
【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF=∠EFB是解题的关键．
14．（2016?深圳）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到GE?GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，
∴CD=2CM=2=2=2；
（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC===2，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE?GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点
∴∠GOE=90°，
∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴=
∴GE?GF=OG?GH=2×4=8．
【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．
15．（2017?广州）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由=即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF=BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得==，即AE=CD，结合EI=BE、EI=AE，可得BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，从而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA==45°；
（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，
由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA=OB=OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形，
∴AB=2OC=2BF，
∵BD=AB，
∴BD=2BF，
∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，
∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
②当∠ABD为钝角时，如图3所示，
同理可得BF=BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l，
∴AB∥直线l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，
∵AB=DB，
∴∠ADB=∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE，
∴AE=AD；
（3）①如图2，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，
∴△CAD∽△BAE，
∴==，
∴AE=CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，
∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，
∴=2；
②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，
由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴==，
∴CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠IBE=30°，
∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，
∴=2．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
16．（2016?广州）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°21教育名师原创作品
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；21世纪教育网版权所有
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵=，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵=
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2=BF2，
∴BM2+2AM2=DM2．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．
17．（2015?深圳）如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG?CE．
【分析】（1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；
（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；
（3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
【解答】（1）解：由题意可得：BO=4cm，t==2（s）；
（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A=45°，
∴AO=OH=3cm，
∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；
（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF=90°，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴=，
∴CF2=CG?CE．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键．21*cnjy*com
18．（2010?嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）
【分析】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O，得出OD=A1D﹣OA1，用含a1的代数式表示OD，在△OB1D中，根据勾股定理求出正三角形的边长a1；【出处：21教育名师】
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O，得出OE=A1E﹣OA1，用含a2的代数式表示OE，在△OB2E中，根据勾股定理求出正三角形的边长a2；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，得出OF=A1F﹣OA1，用含an的代数式表示OF，在△OBnF中，根据勾股定理求出正三角形的边长an．
【解答】解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O．
∵△PB1C1是等边三角形，
∴A1D=PB1?sin∠PB1C1=a1?sin60°=a1，
∴OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，
在△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
∴OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，
即12=（a1）2+（a1﹣1）2，
解得a1=；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O．
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2E=A2B2?sin∠A2B2C2=a2?sin60°=a2，
∵△PB1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
∴PA2=A2E=a2，
OE=A1E﹣OA1=a2﹣1，
在△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2﹣1）2，
解得a2=；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，
得出OF=A1F﹣OA1=nan﹣1，
同理，在△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan﹣1）2，
解得an=．
【点评】主要考查了等边三角形的性质，勾股定理等知识点．本题中（1）（2）是特殊情况，注意在证明过程中抓住不变条件，从而为证明（3）提供思路和方法．本题综合性强，难度大，有利于培养学生分析、解决问题的能力．
一．选择题
1．（2016?广东模拟）⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=7，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可得到结论．
【解答】解：∵OP=7＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
2．（2016?南雄市校级一模）下列说法中
（1）垂直于弦的直径平分于弦；
（2）平分于弦的直径垂直于弦；
（3）相等的弦所对的弧相等；
（4）三角形的内心也是该三角形两内角平分线的交点；
（5）三角形的外心到三角形三个顶点距离相等；
（6）和半径垂直的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、外心的性质、切线的判定一一判断即可．
【解答】解：（1）正确．垂直于弦的直径平分于弦．
（2）错误．此弦不是直径．
（3）错误．同圆或等圆中相等的弦所对的劣弧或优弧相等．
（4）正确．三角形的内心是三角形的角平分线的交点．
（5）正确．三角形的外心是三角形的边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等．
（6）错误．过半径的外端和半径垂直的直线是圆的切线．
故正确的有3个，
故选B．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、外心的性质、切线的判定，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题，中考常考题型．
3．（2016秋?海珠区期末）如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【解答】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△ADO中，OD=3，OA′=5，
∴A′D=4，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选A．
【点评】此题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键．
4．（2016秋?崇安区期中）如图，图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的花坛，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则这个花坛的周长为（ ）
A．12π m B．18π m C．20π m D．24π m
【分析】如图，连接AB，CD，可求得∠DCA=30°，则∠CAD=120°，再由弧长公式l=求得答案，
【解答】解：如图，
连接AB，CD，
∵AB=BC=9cm，
∴∠DCA=30°，
∴∠CAD=120°，
∴花坛的周长===24π，
故选D．
【点评】本题相交两圆的性质，解本题的关键是根据弧长公式计算，在计算的过程中首先要利用圆的半径的关系求出圆心角．
5．（2017?深圳模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=8，AH=6，⊙O的半径OC=5，则AB的值为（ ）21cnjy.com
A．5 B． C．7 D．
【分析】作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例计算即可．
【解答】解：作直径AE，连接CE，
∵AE是直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠AHB=∠ACE，又∠B=∠E，
∴△ABH∽△AEC，
∴=，即=，
解得，AB=，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2017?玉田县二模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF?OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故选：B．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
7．（2016?福州自主招生）如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R，在RT△AOM中利用勾股定理即可解决．
【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R．
∵AC⊥CE，DO⊥CE，BE⊥CE，
∴AC∥OD∥BE，
∵AC=BE=1，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵∠ACD=∠ODC=∠BEC=90°，
∴四边形ACEB是矩形，
∴DM=AC=1，
∵AB∥CE，OD⊥CE，
∴OD⊥AB
∵OA=OB，
∴AM=BM=AB=4，
在RT△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，
∴（R+1）2=42+（R﹣1）2，
∴R=4
故选B．
【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．（2017?奉化市自主招生）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=a，CA=b，AB=c，CD=h，设△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，h，则下列结论：①+=；②+=；③r12+r22=r2；④r1+r2+r=h中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的面积公式得到h=，由+=，==，得到+≠，①错误；②由于ab=ch，根据勾股定理得到+=，②正确；③根据已知条件得到r=（a+b﹣c），r1=（+﹣b）=r，r2=（+﹣a）=r，于是得到r12+r22=（r）2+（r）2=r2；③正确；④根据③中的条件即可得到r1+r2+r=r=?==h，④正确．
【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴由三角形面积公式得：S△ABC=ab=ch，
∴ab=ch，
∴h=，
①∵+=，==，
∵a+b=，
∴+≠，①错误；
②∵ab=ch，
∴a2b2=c2h2，
∴=，
∴=
由勾股定理得：a2+b2=c2，
∴+==，
∴+=，②正确；
③∵△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，r，
∴r=（a+b﹣c），r1=（+﹣b）=r，r2=（+﹣a）=r，
∴r12+r22=（r）2+（r）2=r2；③正确；
④r1+r2+r=r=?==h，④正确．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键．
二．填空题
9．（2017春?龙湖区校级月考）圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P（﹣4，3）与⊙O的位置关系是 点在圆上 ．
【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．
【解答】解：∵OP==5，
∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．
故答案为：点在圆上．
【点评】此题考查点和圆的位置关系问题，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．
10．（2017?顺德区一模）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．21·世纪*教育网
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
11．（2017?荔湾区校级二模）如图，正三角形ABC内接于⊙O，其边长为2，则⊙O面积为 4π ．
【分析】连接OC，作OH⊥AC于H，根据垂径定理得到CH=，根据正三角形的性质得到∠OCH=30°，利用余弦的定义求出OC，计算即可．
【解答】解：连接OC，作OH⊥AC于H，
则CH=HA=AC=，
∵△ABC是正三角形，
∴∠OCH=30°，
∴OC==2，
∴⊙O面积为：4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、正三角形的性质，掌握三角形的外心的概念、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键．
12．（2016秋?陆河县校级月考）如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC= 160 °．
【分析】因为点I为△ABC的内心，推出∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，推出∠ABC+∠ACB=80°，推出∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=100°，
作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．因为∠D=180°﹣∠A=80°，根据∠BOC=2∠D即可解决问题．
【解答】解：∵点I为△ABC的内心，
∴∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=100°
∵点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．
∴∠D=180°﹣∠A=80°，
∴∠BOC=2∠D=160°．
故答案为160．
【点评】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键，记住钝角三角形的外心在三角形外，属于中考常考题型．
13．（2017?达州模拟）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG=1，则△ABC的周长为 8+6 ．
【分析】首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE=r，由OB=OE=r，可得方程：1+r=r，解此方程，即可求得答案．
【解答】解：连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴∠EOB=∠EBO=45°，
∴OE=EB，
∴△OEB是等腰直角三角形，
设OE=r，
∴BE=OE=OG=r，
∴OB=OG+BG=1+r，
∴OB=OE=r，
∴1+r=r，
∴r=+1，
∴AC=BC=2+2，
AB=2（）=4+2，
∴△ABC的周长=8+6，
故答案为：8+6．
【点评】此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
14．（2017?米东区校级四模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R+r）x+=0有两个相等的实数根，其中R、r分别是⊙O1⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是 外切 ．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则△=0，从而得到R、r、d之间的数量关系，进而判断两圆的位置关系．
【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴（R+r）2﹣d2=0，
即（R+r+d）（R+r﹣d）=0，
又R+r+d≠0，
∴R+r﹣d=0，即R+r=d，
∴两圆外切．
故答案为外切．
【点评】此题综合考查了一元二次方程根的判别式以及两圆的位置关系与数量之间的联系，即两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
15．（2016?深圳模拟）如图，⊙O与⊙O′外切于M，AB、CD分别同时与⊙O、⊙O′都相切的直线，A、B、C、D为切点，O′E⊥OA于E，且∠AOC=120°．若⊙O′的半径为1cm，图中阴影部分的面积是 4﹣cm2 ．
【分析】如图，首先求出O′E的长度；进而求出∠O′OE=60°，∠OO′B=120°；求出S扇形OAM、S扇形O′BM的值、S梯形ABO′O的值，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵AB为⊙O与⊙O′的外公切线，
∴OA⊥AB，O′B⊥AB，而O′E⊥OA，
∴四边形ABO′E为矩形，
∴AE=O′B=1；
由勾股定理得：；
设⊙O′的半径为λ；
∵⊙O与⊙O′外切于M，
∴OO′=λ+1，OE=λ﹣1；由题意得：
∠O′OE=60°，∠OO′B=120°；
∴∠OO′E=30°，OO′=2OE，
∴λ+1=2（λ﹣1），
解得：λ=3；
∵S扇形OAM+S扇形O′BM
==，
S梯形ABO′O==4，
∴S阴影=4﹣（cm2）．
【点评】该题考查了相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点．
三．解答题
16．（2016?广州一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．
（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）相切；理由如下：
证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
即BC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定以及基本作图，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
17．（2016秋?东莞市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．21教育网
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．
【分析】（1）根据正方形的判定定理证明；
（2）根据勾股定理求出AB，根据切线长定理得到AF=AE，BD=BF，CD=CE，结合图形列式计算即可．
【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形；
（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
由切线长定理得，AF=AE，BD=BF，CD=CE，
∴CD+CE=BC+AC﹣BD﹣CE=BC+AC﹣AB=4，
则CE=2，即⊙O的半径为2．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质、正方形的判定和性质，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2017?虹口区模拟）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB=10，BC=21，sinB=．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在Rt△ABH，Rt△ACH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE=AD=x，BE=BF=y，CF=CD=z，则有，解方程组即可解决问题；
【解答】解：（1）如图作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，∵AB=10，sinB=，
∴AH=8，BH=6，
∵BC=21，
∴CH=15，
在Rt△ACF中，AC===17．
∴AC=17
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE=AD=x，BE=BF=y，CF=CD=z，
则有，解得
∴rA=3，rB=7，rC=14．
【点评】本题考查相切两圆的性质、锐角三角函数、勾股定理，三元方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2016?深圳模拟）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．
【分析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，
，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC﹣AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），
又∵OD2﹣OA2=AD2，
∴S=42π=16π（cm2）．
【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，①已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，②所证切线与圆的交点不明确，可以过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．
20．（2016?永春县自主招生）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（0，﹣2），（0，8），以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．设x轴交半圆P于点E，交边CD于点F．21·cn·jy·com
（1）求线段EF的长；
（2）连接BE，试判断直线BE与⊙P的位置关系，并说明你的理由；
（3）直线BE上是否存在着点Q，使得以Q为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与⊙P外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【分析】（1）根据A，B两点坐标得出AB，CD的长，以及FD的长，再利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形的相似得出Rt△BOE∽Rt△EFP，进而得出∠OBE=∠FEP，求出∠BEP=90°即可；2-1-c-n-j-y
（3）连接PQ，过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N，用r表示出QN，NP，PQ，从而求出即可．
【解答】解：（1）连接PE，
∵A，B两点的坐标分别为（0，﹣2），（0，8），
以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．
∴AB=CD=10，
∴PE=5，PF=3，
EF=，
=，
=4；
（2）证明：∵，∠BOE=∠EFP，
∴Rt△BOE∽Rt△EFP，
∴∠OBE=∠FEP，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
?∠FEP+∠OEB=90°，
?∠BEP=90°，
∴相切；
（3）连接PQ，过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N，
∵⊙Q与⊙P外切，
∴PQ=r+5，
∵⊙Q与y轴相切，
∴QM=r，
∴QN=MN﹣QM=10﹣r，
∵MQ∥OE?△BMQ∽△BOE，
∴NP=NF﹣PF=MO﹣PF=BO﹣BM﹣PF=5﹣r，
在Rt△QNP中，QN2+NP2=PQ2?16r2﹣390r+900=0，
解得：r==．
故r的值为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、相切两圆的性质等知识，熟练地应用其性质用r表示出QN，NP，PQ是解题关键．
