1.1.1正弦定理
一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题
已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在中，，，，解此三角形。
例2、已知：在中，，，，解此三角形。
1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？
(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？
(3)解三角形的含义是什么？
1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
[点睛] 正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立( )
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解( )
解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．
(2)正确．由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.
(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理得，＝，
所以＝.
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5 B．10
C. D．5
解析：选B 由正弦定理得，b＝＝＝10.
4．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
解析：选A ∵b
已知两角及一边解三角形
[典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，得b＝＝＝4，
由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[活学活用]
在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选B 由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝×＝2，故选B.
已知两边及其中一边的对角解三角形
[典例] 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求A，C，c.
[解] 由正弦定理及已知条件，有＝，得sin A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.
综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
[活学活用]
在△ABC中，c＝，C＝60°，a＝2，求A，B，b.
解：∵＝，∴sin A＝＝.
∴A＝45°或A＝135°.
又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.
∴B＝75°，b＝＝＝＋1.
三角形形状的判断
[典例] 在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
解：[法一 化角为边]
∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
[法二 化边为角]
∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．
利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径
(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．
[活学活用]
在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C．试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理，得
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，
即a2＝b2＋c2，
故A＝90°.
∴C＝90°－B，cos C＝sin B.
∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.
∴sin B＝.
∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．
∴△ABC是等腰直角三角形．
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据正弦定理得＝＝.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理得，＝＝，
则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．
答案：④
7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.
答案：
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理得，
a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝
＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105°
C．90° D．75°
解析：选A ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sin C＝－cos C，∴tan C＝－.又0°∴C＝120°.故选A.
2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝( )
A. B．2
C．4 D．2
解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，
∵△ABC的周长为4(＋1)，
∴解得a＝4.故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，由正弦定理得＝＝＝，
所以sin∠CED＝·sin∠EDC
＝·sin ＝.
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________.
解析：因为＝，所以＝，
所以b＝a， ①
又因为a＋b＝12， ②
由①②可知a＝12(3－)．
答案：12(3－)
6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______.
解析：由正弦定理，得＝，即
sin C＝
＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
答案：
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，
又∵sin A＝cos C，
∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
所以C＝15°.
8．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．
解：由正弦定理知＝，∴＝.
即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.
又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，
由得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝＝＝2.
1．1.2 余弦定理
(1)余弦定理的内容是什么？
(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？
(3)已知三角形的三边如何解三角形？
1．余弦定理
余弦定理
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
[点睛] 余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
2．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
[点睛] 三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一( )
(4)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积( )
解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝<0.
因为0(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．
(4)正确，S＝absin C适合求任意三角形的面积．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于( )
A. B．8
C．10 D．7
解析：选D 由余弦定理得：
c＝
＝
＝7.
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为( )
A．60°或120° B．60°
C．120° D．30°或150°
解析：选A 由S△ABC＝bcsin A得
＝×2××sin A，
所以sin A＝，
故A＝60°或120°，故选A.
4．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
解析：选C 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
用余弦定理解三角形
[典例] 在△ABC中，
(1)若a＝2，b＝2，c＝＋，求A，B，C；
(2)若b＝3，c＝3，B＝30°，求A，C和a.
[解] (1)由余弦定理得
cos A＝＝＝，
cos B＝＝＝，
∴A＝60°，B＝45°，
∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°.
(2)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，
∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得
sin A＝＝＝1.
∴A＝90°，
∴C＝60°.
法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理得sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
利用余弦定理求解三角形的主要类型
(1)已知三边，求三角，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：
①已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．
②已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后应用正弦定理求出另两角．
[活学活用]
在△ABC中，
(1)a＝1，b＝1，C＝120°，求c；
(2)a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C.
解：(1)由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C
＝12＋12－2×1×1×＝3，∴c＝.
(2)由于a∶b∶c＝1∶∶2，
可设a＝x，b＝x，c＝2x(x＞0)．
由余弦定理，得cos A＝＝＝，
∴A＝30°.
同理cos B＝，cos C＝0，∴B＝60°，C＝90°.
利用余弦定理判断三角形形状
[典例] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：[法一 化角为边]
将已知等式变形为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b22－c22
＝2bc××，
∴b2＋c2＝＝＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
[法二 化边为角]
由正弦定理，已知条件可化为
sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C.
又sin Bsin C≠0，
∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0.
又∵0°∴△ABC是直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
[活学活用]
在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
三角形面积的计算
[典例] 已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理，得sin C＝＝＝.
∵AB>AC，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝.
故△ABC的面积为2或.
(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
[活学活用]
△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝，△ABC的面积S△ABC＝，求边b的长和B的大小．
解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.
∵S△ABC＝bcsin A＝，sin A＝，
∴bc＝2.①
又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2×2×，
即b2＋c2＝5.②
解①②可得b＝1或2.
由正弦定理知＝，∴sin B＝＝.
当b＝1时，sin B＝，B＝30°；
当b＝2时，sin B＝1，B＝90°.
正、余弦定理的综合应用
题点一：利用正、余弦定理解三角形
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝ bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·＝2×＝.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
2．在△ABC中，求证a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin Bsin C＝2·2Rsin A·2Rsin B·sin C＝2absin C.
∴原式得证．
法二：(化为边的关系式)
左边＝a2·2sin Bcos B＋b2·2sin Acos A＝a2··＋b2··＝(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝·2c2＝2ab·＝2absin C＝右边，
∴原式得证．
题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用
3．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．
解：(1)∵＝，＝，
∴sin C＝cos C．∴tan C＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵·＝||·||cos C＝ab，
又∵·＝4，∴ab＝8.
又∵a＋b＝6，
由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12，
∴c＝2.
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝( )
A. B.
C. D．3
解析：选B S△ABC＝absin C＝×2×3×＝.
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.
3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20
C．40 D．20
解析：选A 设另两边长为8x,5x，
则cos 60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
故两边长分别为16与10，
所以三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
解析：∵cos C＝，0∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.
答案：4
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，
解得b＝4.
答案：4
9．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
解：∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°∴A＝120°，
∴sin A＝sin 120°＝.
由正弦定理，得sin C＝＝＝.
∴最大角A为120°，sin C＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C.
(1)求cos A；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，
得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，
即cos(B＋C)＝－，
从而cos A＝－cos(B＋C)＝.
(2)由于0又S△ABC＝2，即bcsin A＝2，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13，
解方程组得或
层级二 应试能力达标
1．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：
选C 如图，由题意得
则bc＝40，
a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，
∴a＝7.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为( )
A．a>b B．aC．a＝b D．不能确定
解析：选A 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
3．在△ABC中，cos2＝，则△ABC是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选B ∵cos2＝，∴＝，
∴cos B＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，
即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
解析：选D 由余弦定理得：
cos∠ABC＝＝＝.
因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||·||cos(180°－∠ABC)
＝5×7×＝－5.
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
解析：∵cos C＝＝，∴sin C＝，
∴AD＝ACsin C＝.
答案：
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
答案：
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
解：(1)由正弦定理可设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cos B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
解：(1)由题意可知
absin C＝×2abcos C.
所以tan C＝.
因为0(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sin
＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin≤.
当A＝时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为.
1.2应用举例
【学习目标】
加深对正、余弦定理的理解，提高熟练程度
掌握正、余弦定理在实际中的应用——（1）测量高度（2）测量距离
【自主探究】 阅读课本12页到13页，完成下列问题：
1.测量问题 问题一 ：如何测量一个底部不能到达的建筑物的高度？说说你的想法和步骤。
问题二：怎样测量两个不能到达的地方之间的距离？说说你的想法和步骤。
2.航海问题 问题四：如何恰当将实际问题转化到三角形并加以解决？
【典例探究】
例1：如图，某人要测量顶部不能到达的电视塔AB的高度，他在C点测得塔顶A的仰角是
，在D点测得塔顶A的仰角是，并测得水平面上的角，
求电视塔AB的高度。
变式练习
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的
俯角。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD。
例2、为了测量河对岸两个建筑物C、D之间的距离，在河岸边取点A、B，
千米，A、B、C、D
在同一个平面内，试求C、D之间的距离。
例3：已知海岛A四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东，
航行海里后，见此岛在北偏东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？
(提示：)
【课堂检测】 1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，，求A、B两点间
的距离
2、海上有两个小岛相距，从岛望所成的视角为，从岛望所成的视角为，试求间的距离。
3、在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ）
【布置作业】基础训练P15 1-4, 6-13
【反思总结】
1.2
(1)方向角和方位角各是什么样的角？
(2)怎样测量物体的高度？
(3)怎样测量物体所在的角度？
实际测量中的有关名称、术语
名称
定义
图示
基线
在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°?指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( )
(3)方位角和方向角是一样的( )
解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．
(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上
解析：选C 如图所示．
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.
4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )
A.a km B.a km
C．a km D．2a km
解析：选A △ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，
所以AB＝a.
测量高度问题
[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
[解] 在△BCD中，
∠CBD＝π－(α＋β)．
由正弦定理得＝.
∴BC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
测量高度问题的两个关注点
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
解析：选A 如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.
2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.
解析：因为∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.
在△ABS中，AB＝＝＝1 000，
所以BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．
答案：1 000
测量角度问题
[典例] 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？
[解] 由题意，知AB＝5(3＋) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得＝，
即BD＝＝
＝
＝10 n mile.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理，得
CD＝
＝
＝30 n mile，
则救援船到达D点需要的时间为＝1 h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
[活学活用]
在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，
∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
测量距离问题
题点一：两点间不可通又不可视
1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．
即AB＝.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
解：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 (m)．
即A，B两点间的距离为200 m.
题点二：两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
答案：20
题点三：两点都不可到达
3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝.
在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°
＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．
∴A，B两点间的距离为 km.
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：
AB＝.
(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
解析：选D 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝ n mile/h.
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110米 B．112米
C．220米 D．224米
解析：选A 如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A．20 m， m B．10 m,20 m
C．10(－)m,20 m D. m， m
解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
5．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝5(n mile)．
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7 km.
答案：7
7．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m.
解析：如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，
设CD＝x，所以(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°，
又DA＝BD·cos 45°＝100×＝50，
所以x＝－DA＝－50
＝50(－)m.
答案：50(－)
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案：
9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．
解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，
∴A1B2＝10.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，
∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10，
∴乙船每小时航行30海里．
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
解：设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝， ①
cos∠PBC＝. ②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
层级二 应试能力达标
1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析：选C 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．
2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30 m B. m
C．15 m D．45 m
解析：选B 在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－，∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝ m.
3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
解析：选D 设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m.
4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos θ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
A．4 海里/小时 B．3 海里/小时
C．2 海里/小时 D．4 海里/小时
解析：选A 因为cos θ＝，0°<θ<45°，所以sin θ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/小时．
5.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50 n mile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________n mile(结果精确到小数点后一位)．
解析：由题易知两船相遇之处M位于BC上，如图，设|MC|＝d，
则＝(M位于BC延长线上取“＋”，M位于BC上取“－”)，
所以(100±d)2＝4[d2＋(25)2±50d]，即3d2＝1002－5 000，所以d2＝，即d≈40.8(n mile)．
答案：40.8
6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.
解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a n mile，∴AC＝
＝ ＝a(n mile)
答案：北偏东30° a
7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin 75°.
因为sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，
则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464
≈7.16(m)．
即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.
8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示．某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离．
解：在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12(km)．在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30(km)．
设AC＝x km，则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.
在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，∴＝－，即＝.
解得x＝.∴AB＝ km，AD＝ km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A.或 B.
C. D.
解析：选C 由＝，得sin C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选B ∵sin A＝sin C且A，C是三角形内角，
∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．
∴△ABC是等腰三角形．
3．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选A 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝( )
A．± B.
C．－ D.
解析：选A 因为＝，所以＝，解得sin B＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.
5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝＝.
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C. D．2
解析：选B ∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
解析：选D 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，∵即∴k>.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 由已知可得＝－，
即cos A＝，b＝ccos A.
法一：由余弦定理得cos A＝，
则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得
sin B＝sin Ccos A．在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，
即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8
C. D.
解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时 B．1小时
C.小时 D．2小时
解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．
12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin C＝·sin A＝·＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C的值为________．
解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理，cos C＝
＝＝，
所以cos C＝.
答案：
15．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
解析：在△ABC中，∵cos A＝>0，
∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
答案：
16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
解析：如图，∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1(km)．
由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin 15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝×＝(km)．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，
由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以sin A＝＝.
又因为B＝2A，
所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
18.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
解：由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km，
在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cos α＝，sin α＝，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
得＝，
所以AD＝sin(60°＋α)＝
＝15(km)，
即所求D，A之间的距离为15 km.
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，sin A＝，b＝2.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)∵A，B，C为△ABC的内角，且B＝，sin A＝，
∴C＝－A，cos A＝，
∴sin C＝sin ＝cos A－sin A＝.
(2)由(1)知sin C＝，
又∵B＝，b＝2，
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝，
∴S＝absin C＝××2×＝.
20．(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)∵cos A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cos A＋1.
又2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，
∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．
21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
解：由题意知AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝60×＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，
所以PC＝40海里．
22．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
解：(1)依题意得2sin＝2，即sin＝1，
∵0(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
∴S△ABC＝absin C＝×2×2×＝＋1.
