2．1数列
课程要求
了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.
类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.
了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.
基本概念
1． 叫做数列， 叫做这个数列的项.
2． 就叫做这个数列的通项公式.
3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .
4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .
5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
6．若数列的前项和记为，即则
概念深化
1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的表达式；
2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；
3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
如的不足近似值，精确到所构成的数列就没有通项公式.
4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：
它可以写成也可以写成
还可以写成等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.
5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.
典例精析
题型一 根据数列的前几项，写出数列的通项公式.
例1 写出下列数列的一个通项公式：
(1)；（2）；
（3）；（4）
命题意图：寻求规律，写出通项公式.
方法提升：
用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.
一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.
（1）（2）
（3）（4）
题型二 数列通项公式的简单应用
例2 已知有穷数列
（1）指出这个数列的一个通项公式；
（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？
命题意图：考察对通项公式的理解及应用
方法提升
(1)本题中极容易错误地认为是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.
（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出，根据是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.
一题一练 已知数列的通项公式，且
（1）求实数的值；（2）判断是否为此数列的某一项.
题型三 已知求
例3 已知数列的前项和，求数列的通项公式.
（1）（2）
命题意图 本题为通过求，因为，所以与有关系 可求得
解 (1)由 当时，
当时，
当时也适合 所以
（2）由当时，
当时，
方法提升
由求时，当不符合表达式时，通项公式要分段表示.
即的形式.
一题一练
（1）已知数列的前项和，求数列通项公式；
(2)已知数列的前项和，求数列通项公式
题型四 数列的递推公式
例4 已知数列分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.
(1) (2)
命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知就可递推出依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想的一个通项公式.
方法提升
由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出.
巩固练习
一、选择题
1.下列说法不正确的是 ( )
A. 数列可以用图像来表示 B. 数列的通项公式不唯一
C. 数列的项不能相等 D. 数列可以用一群狐立的点表示
2.已知数列的通项公式为，下列各数中，不是的项的是( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. 3
3.设数列则是这个数列的 ( )
A. 第六项 B. 第七项 C. 第八项 D. 第九项
4.无穷数列的通项公式为 ( )
A. B.
C. D.
5.数列，其中，那么这个数列的第五项为（ ）
A. 6 B. -3 C. -12 D. -6
二、填空题
6.数列中，，则 .
7.在数列中，的值 .
8.已知数列通项公式，则:
(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项；
(3)这个数列从第 项起各项为正数.
三、解答题
9.写出下列数列的一个通项公式
(1)(2)(3) (4)
10.在数列中，通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列的通项公式； (2)88是否是数列中的项.
11.已知数列的前项和.
(1)求的通项公式； (2)当为何值时， 达到最大?最大值是多少?
12.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.
锁定高考
已知数列的前几项和，则其通项 ；若它的第项满足，则= .
2.1
2．1.1 数 列
(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？
(2)数列的项与项数一样吗？
(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？
(4)数列如何分类？分类的标准是什么？
1．数列的概念
(1)数列：按照一定次序排列起来的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(3)数列的表示：
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an…简记为{an}．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的通项公式
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
[点睛] 同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
3．数列与函数的关系
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示．
4．数列的分类
(1)按项的个数分类：
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类：
类别
含义
递增数列
从第二项起，每一项大于它的前一项的数列
递减数列
从第二项起，每一项小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,1,1，…是无穷数列( )
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列( )
(3)有些数列没有通项公式( )
解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( )
A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项
解析：选C ∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28 C．20 D．8
解析：选C 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．
答案：5
数列的概念及分类
[典例] 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1,2,3,4，…，30
[解析] 数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．
[答案] C
1．有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an
an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．
[活学活用]
给出以下数列：
①1，－1,1，－1，…；
②2,4,6,8，…，1 000；
③8,8,8,8，…；
④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.
其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)
解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.
答案：②④ ①③ ② ④ ① ③
由数列的前几项求通项公式
[典例] (1)数列，，，，…的一个通项公式是________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：，，，，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
[答案] an＝
(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
∴an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．
an＝4＋(－1)n·2或an＝
给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下4个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[活学活用]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
判定数列中项的问题
[典例] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)由题设条件，知an＝＋2n.
∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[活学活用]
数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
解析：选B 把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，，；第四组四项：，，，；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．
层级一 学业水平达标
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．① B．①② C．③④ D．②④
解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
解析：选B 因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.
4．数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选C 已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的( )
A．第20项 B．第22项
C．第24项 D．第26项
解析：选C 由＝0.96，解得n＝24.
6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an＝
答案：an＝
7．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴an＝.
由＝2?3n－1＝20?n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N＋，∴n≤9.
答案：9
9．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得
解得
∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．
解：对于公式an＝，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
而an＋1－an＝－＝.
因为n∈N＋，所以1－n2－n＜0，所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列．
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.
2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是( )
A．an＝(－1)nn2＋1 B．an＝(－1)n＋1(n2＋1)
C．an＝(－1)n(n2＋1) D．an＝(－1)n＋1(n2－1)
解析：选B 通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成an＝(－1)n＋1(n2＋1)．
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
4．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )
A．3n－1 B．3n
C．3n＋1 D．3(n＋1)
解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．
5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：由数列，，，，…
得通项公式为an＝，
令＝2，∴3n－1＝20，∴n＝7.
答案：7
6．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：an＝4n＋2
7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
所以n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
8．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<1－<1，
∴0(4)令∴∴
∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
2．1.2 数列的递推公式(选学)
(1)什么叫数列的递推公式？
(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？
数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．
[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项( )
(2)有些数列可能不存在最大项( )
(3)递推公式是表示数列的一种方法( )
(4)所有的数列都有递推公式( )
解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项．
(2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．
(3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．
(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，…
C.，2，，2，… D．0，，2,2，…
解析：选B B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
解析：选D 由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________.
解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
答案：
由递推公式求数列的项
[典例] 数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
[解] 由a－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109.
由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[活学活用]
已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 017＝________.
解析：计算得a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 017＝672×3＋1，所以a2 017＝a1＝.
答案：
由递推公式求通项公式
题点一：累加法求通项公式
1．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，求数列的通项公式an.
解：∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－.
题点二：累乘法求通项公式
2．设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.
解：∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，
an＝×××…×××a1
＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
数列的最大、最小项问题
[典例] 已知数列{an}的通项公式是an＝·n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
[解] 法一：an＋1－an
＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9.
法二：根据题意，令(n>1)
即(n>1)
解得9≤n≤10.
又n∈N＋，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9.
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项；利用不等式组(n>1)找到数列的最小项．
[活学活用]
数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析：选B an＝3n2－28n＝32－，
当n＝时，an最小，又n∈N＋，
故n＝5时，an＝3n2－28n最小．
层级一 学业水平达标
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B 由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：选C ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15 B．16
C．31 D．32
解析：选C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
解析：选C ∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.
6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.
解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.
答案：
7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案：－9
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N＋)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N＋)．
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.
10．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，
即a＋2nan－1＝0.∴an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选A 由an＋1＝?an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg n B．2＋(n－1)lg n
C．2＋nlg n D．1＋n＋lg n
解析：选A 由an＋1＝an＋lg?an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋lg2×××…×＝2＋lg n.
3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，6)
解析：选D 依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立．注意到当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．
4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N＋，则a2 015＋a2 016等于( )
A．4 B．1
C. D.
解析：选B a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2 015＋a2 016＝a5＋a3＝1.故选B.
5．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1?＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050.
答案：5 050
6．对于数列{an}，若存在实数M，对任意的n∈N＋，都有an>M，则称M为数列{an}的一个下界，数列{an}的最大下界称为下确界．已知数列{an}的通项公式为an＝，按此定义，则数列{an}的下确界是________．
解析：由题意，an＝＝1＋，
由于>0，所以对任意n∈N＋，都有an>1，
易知1是数列{an}的最大下界．
故数列{an}的下确界是1.
答案：1
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
8．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，
∴an＝.
第二节 等差数列
一、等差数列定义：
二、通项公式：
推导方法：
推论：
例1、知三求一
1、若，则=_______ 2、若，则d=_______
3、若，则=_______4、若，则n=_______
5、若则______，d=______
6、，则数列有多少项在300到500之间？
例2、判断某数是不是数列中的项
已知数列，①判断是否是数列中的项；②求数列的第10项，15项，项；③判断，是数列的第几项？
三、通项性质
（1）等差数列中，
（2）等差数列中，如果，则
推广一、
推广二、（等距性）
例3、利用数列性质求数列中的项
1、若，则____，_______。2、（05福建）若，则_____。
3、若，则=_______。4、若，则_____。
5、若，则=_______。
6、（05全国）如果数列是等差数列，则（ ）
A、 B、 C、 D、
练习2．（1）若+=10，则++= （2）若=90，则=
（3），则
（4），则=
四、等差中项：
五、判定和证明
证明方法：（1）定义（2）中项性质
判定：
例4、判断下列数列是否是等差数列？
① ②③ ④
⑤ ⑥ ⑦
例5、等差数列首项是，公差是d，判断下列是否是等差数列？如果是，求首项和公差；如果不是，说明理由。①去掉数列的前m项之后的数列；②数列的奇数项组成的数列；③项数是7的倍数的项组成的数列；④数列的前三项，第二个三项，第三个三项，…组成的数列。
例6、已知成等差数列，求证： 成等差数列。
例7、是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5
①②③④⑤
例8、已知都是等差数列，且，，那么有所组成的数列的第37项的值是（ ）A、0 B、37 C、100 D、-37
练习3
1、，，则
2、，，则 ；
3、设成等差数列，求证也成等差数列。
4、已知成等差数列，且公差不为0，求证三者倒数不成等差数列。
六、性质应用
1、三角形ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且有，判断三角形形状。
2、在中插入三个数组成一个等差数列，求该数列的公差。
3、在中插入五个数组成一个等差数列，求该五个数的和。
4、三个数成等差数列，其积为48，平方和为56，求这三个数。
5、等差数列中，，求数列的通项公式。
（06全国）设是公差为正数的等差数列，若，则=
A、120 B、105 C、90 D、75
（03全国）等差数列中，已知，，，则n的值为（ ）
A、48 B、49 C、50 D、51
第三节 等差数列的前n项和
一、等差数列的前n项和公式及推导方法
二、公式说明：
（1）可以沟通中间项
（2）可以将等差数列前n项和和函数联系起来
（3）几个常用的前n项和
自然数列：
奇数列：
偶数列：
三、等差数列前n项和的性质
（1）
（2）
例1、（1）若=90，则=
（2），，
（3），，则 ；
（4）， （法1：函数法；法2：倒序法）
例2、 (1) 在等差数列{}中，为前项和，求证：
（2）等差数列{}、{}中，其前项和分别为、，若，则
例3、（1）已知数列{}中，有，求
（2）已知数列{}中，有，求
2.2 等差数列
2．2.1 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
(2)等差数列的通项公式是什么？
(3)等差中项的定义是什么？
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
3．等差中项
如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[点睛] 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关( )
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( )
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列( )
解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：选C ∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
3．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．±2
解析：选C 由已知得，解得d＝±1.
4．lg(＋)与lg(－)的等差中项是________．
解析：lg(＋)与lg(－)的等差中项为：
＝＝＝0.
答案：0
等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[解] (1)∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得，解得
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
[活学活用]
1．2 016是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1 006项 B．第1 007项
C．第1 008项 D．第1 009项
解析：选B ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2 016＝2n＋2，∴n＝1 007.
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，所以153是所给数列的第45项.
等差中项的应用
[典例] 已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
[解] 在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
∴解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
[活学活用]
1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.
解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，
所以解得
答案：5 －1 －4
2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：21
等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
证明：[法一 定义法]
∵bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N＋)．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
[法二 等差中项法]
∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝.
∴bn＋2＝＝＝.
∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N＋)，
∴数列{bn}是等差数列．
等差数列判定的常用的2种方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列．
[活学活用]
已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
解：∵，，成等差数列，∴＝＋，
∴＝，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
层级一 学业水平达标
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
解析：选C ∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
3．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
解析：选C 由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 015的值是( )
A．1 006 B．1 007
C．1 008 D．1 009
解析：选D 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝，
所以an＝2＋(n－1)＝，
所以a2 015＝＝1 009.
5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
解析：选C an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝2×6＋1＝13.
答案：13
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
8．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
解析：根据题意得：
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
∴a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
∴d＝－.
答案：－
9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
解：数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝(常数)．
所以是以＝为首项，公差为的等差数列．
10．若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，
所以a2，b2，c2成等差数列．
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
解析：选B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.
3．已知数列{an}，对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
解析：选A 由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
解析：选B 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.
5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：5
6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(， )都在直线x－y－＝0上，则an＝________.
解析：由题意得－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝n，an＝3n2.
答案：3n2
7．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N＋)．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N＋)，
∴＝＋1(n≥2，且n∈N＋)，
即－＝1(n≥2，且n∈N＋)，
∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，
∴an＝·2n.
8．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．
解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
(2)∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．
∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差数列．
第二课时 等差数列的性质
(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？
(2)等差数列的运算性质是什么？
1．等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝a1＋(n－1)d
(揭示首末两项的关系)
an＝am＋(n－m)d
(揭示任意两项之间的关系)
2.等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等( )
解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )
A．32 B．33
C．－33 D．29
解析：选B ∵数列{an}是等差数列，
∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，
∴a14＝6＋9×3＝33.
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝( )
A．90 B．270
C．180 D．360
解析：选C 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
答案：30
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30 B．15
C．5 D．10
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.
(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
[答案] (1)B (2)C
本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
本例(2)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．
[活学活用]
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．12
C．28 D．36
解析：选C ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
2．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．
解：∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
灵活设元求解等差数列
[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4,3,2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
a＝－2.
故所求的四个数为－2,0,2,4.
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
[活学活用]
已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
由题设知
解得或
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
等差数列的实际应用
[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
利用等差数列解决实际问题的2个注意点
(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型．
(2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列，利用等差数列的性质解题．
[活学活用]
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2
层级一 学业水平达标
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选A 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
3．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
解析：选C 因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
解析：选B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
解析：选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.
答案：－21
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案：1或2
8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________.
解析：根据等差数列的性质，可得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，∴a6＝.∴a4＋a8＝2a6＝.
答案：
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：由等差数列的性质得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．
解：设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依题意可得，
化简可得
∴或或或
∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.
层级二 应试能力达标
1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )
A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列
解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
解析：选D 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝＝.
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B.升
C.升 D.升
解析：选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即解得则a5＝a1＋4d＝，
故第5节的容积为升．
5．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又数列{an}为等差数列，
∴a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
6．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
7．数列{an}为等差数列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
8．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．
解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．
2．2.2 等差数列的前n项和
(1)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？
(2)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用
公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
[点睛] 公式Sn＝常结合等差数列的性质应用．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项所有项的和( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又∵a1＝S1＝3，
∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.
解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝，故选D.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于( )
A．16 B．24
C．36 D．48
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋d＝20，
即4×＋d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
4．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
解析：∵an＝－5n＋2，
∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，
∴Sn＝＝－.
答案：－
等差数列的前n项和的有关计算
[典例] 已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[解] (1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
又Sn＝na1＋d＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
[活学活用]
设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
解析：选D ∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，
∴S9＝＝＝63.
已知Sn求问题
[典例] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？
[解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
∴当n≥2时，
Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示．
[活学活用]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
解析：选B 当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
(2)Sn＝3n－1.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N＋).
等差数列的前n项和性质
[典例] (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
[解析] (1)利用等差数列的性质：
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，
即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，
解得S3n＝210.
(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
[答案] (1)C (2)10
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
[活学活用]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝( )
A．18 B．17
C．16 D．15
解析：选A 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
答案：75
等差数列的前n项和最值问题
[典例] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
[解] 由S17＝S9，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2，
[法一 公式法]
Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
[法二 邻项变号法]
∵a1＝25＞0，由
得即12≤n≤13.
又n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法：
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值．
当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
[活学活用]
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A 设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
层级一 学业水平达标
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
解析：选A ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.
2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选B ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.
∴d＝a3－a2＝5－3＝2.
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 由7a5＋5a9＝0，得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：选A ＝＝
＝＝×＝1.
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
答案：4
8．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______．
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝
＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
答案：11 7
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1，
则Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，
又当n＝1时，3≠21，
故an＝
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解：(1)设{an}的首项、公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
层级二 应试能力达标
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：选B 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k为( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析：选C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 016.故选C.
3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以所以≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
4．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D ∵＝＝＝＝＝＝7＋，∴当n取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n的个数是5.
5．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．
解析：由a203＋a204>0?a1＋a406>0?S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.
答案：405
6．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________．
解析：因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，
所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，
所以S20＝>0.
又因为a10＋a10<0，
所以S19＝＝19a10<0，
故满足Sn<0的n的最大值为19.
答案：19
7．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解：(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴解得
∴an＝4n－3.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
8．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
解：(1)由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an>0，得n<，
∴当n≤17，n∈N＋时，an>0；
当n≥18，n∈N＋时，an<0，
∴{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N＋时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N＋时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2－
＝n2－n＋884.
∴Sn＝
《等比数列》
考纲要求
1、理解等比数列的概念
2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质
3、并能利用有关知识解决相应问题
B案（基础回归）
1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么
A、b=3，ac=9 B、b=—3，ac=9
C、b=3，ac=—9 D、b=—3，ac=—9
2、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为
A、2 B、3 C、4 D、8
3、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于
A、—1 B、1 C、0 D、2
4、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。
5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn= 。
6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。
C案（典型例题分析）
题型一、等比数列的基本量
例1：等比数列{an}中，Sn为前n项和，若S3+ S6=2S9，求q的值。
二、等比数列的证明
例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an
（1）求证：数列{bn}为等比数列。
（2）求数列{bn}的前n项和Tn。
引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。
三．等比数列的综合应用
例3：已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上。其中n=1，2，3……
（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列。
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an）求Tn。
当堂检测：
1、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3a1，则数列{an}的公比q的值为 。
2、（1）例题2中如果Cn=
求证：{cn}为等差数列
（2）求{an}的通项公式。
A案
必做题：
1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于
A、48 B、72
C、145 D、192
2、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是
A、递增数列 B、递减数列
C、常数列
D、无法确定增减性
3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=
A、 B、
C、或 D、—或—
4、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10=
A、5 B、10
C、20 D、40
5、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=
A、33 B、72
C、84 D、189
6、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。
7、等比数列{an}中，S3=3，S6=9，则a13+a14+a15= 。
8、在等比数列{an}中，若a1·a5=16，a4=8，则a6= 。
9、已知数列{log2（an—1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明
选做题：
1、若数列{an}满足（P为正常数，n∈N*），则称{an}为“等比方数列”。甲：数列{an}是等比方数列；乙：数列{an}是等比数列，则
A、甲是乙的充分但不必要条件
B、甲是乙的必要但不充分条件
C、甲是乙的充要条件
D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2、在等比数列{an}中，公比q=2，前99项的和S99=30，则a3+a6+a9+……+a99= 。
3、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，是与（an+1）2的等比中项。
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由。
2.3 等比数列
2．3.1 等比数列
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
(2)等比数列的通项公式是什么？
(3)等比中项的定义是什么？
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
[点睛] (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
3．等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x，y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么＝，即G2＝xy.
[点睛] (1)G是x与y的等比中项，则x与y的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
(2)当G2＝xy时，G不一定是x与y的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( )
(3)常数列一定为等比数列( )
(4)任何两个数都有等比中项( )
解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．
(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
解析：选B A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合 定义．
3．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵＝·n－1，
∴＝n－1，即3＝n－1，
∴n－1＝3，∴n＝4.
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.
解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.
答案：－729
等比数列的通项公式
[典例] (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] (1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[活学活用]
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
等比中项
[典例] (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4
C．± D.
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
[解析] (1)由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
答案：A
(2)证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
[活学活用]
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：选B 因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.
答案：4×n－1
等比数列的判定与证明
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
[法二 等比中项法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)?{an}为等比数列．
[活学活用]
(1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
(2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
证明：(1)由已知，有2a2＝a1＋a3， ①
a＝a2·a4， ②
＝＋. ③
由③得＝，所以a4＝. ④
由①得a2＝. ⑤
将④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列．
(2)依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
层级一 学业水平达标
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
解析：选C 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得 n＝7.
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B ∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝ －qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.∵·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.
答案：28
9．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解：设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4.
由16·n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9.
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．
又a1＝＝2，∴an＝2n.
层级二 应试能力达标
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 原式＝＝＝.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝( )
A．1 B．3
C．±1 D．±3
解析：选A 由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
解析：选C ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
5．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.
答案：1
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴数列{an}是等比数列．
8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N＋.∴＝3，
∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．
∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.
第二课时 等比数列的性质
等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
(5)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列( )
解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．
(2)错误，当q>1，a1>0时，{an}才为递增数列．
(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是( )
A．等差数列
B．以q为公比的等比数列
C．以q2为公比的等比数列
D．以2q为公比的等比数列
解析：选C 因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．
3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为( )
A．35 B．63
C．21 D．±21
解析：选B ∵{an}成等比数列．
∴a4，a6，a8成等比数列
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，
∴a＋a＝41，
又a4a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49，
∵数列各项都是正数，
∴a4＋a8＝7.
答案：7
等比数列的性质
[典例] (1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n B．n10
C．100n D．n100
(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
[解析] (1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.
(2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，
又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.
所以a7＝＝256.
[答案] (1)A (2)256
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
[活学活用]
1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D 因为数列{an}为等比数列，
所以a5a6＝a4a7＝－8，联立
解得或
所以q3＝－或q3＝－2，
故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
2．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.
解析：由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512.
由
解得或(舍去)．
所以q＝＝－2.
所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.
答案：512
灵活设元求解等比数列问题
[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
[解析] (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
答案：45
(2)解：法一：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：
…，，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：
…，，，aq，aq3，aq5…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
[活学活用]
在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或 B．4或
C．4 D．17
解析：选B 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
等比数列的实际应用问题
[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解] 设从2016年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2017年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[活学活用]
如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
层级一 学业水平达标
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
3．在正项等比数列{an}中，an＋1A. B.
C. D.
解析：选D 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为( )
A. B．3
C．± D．±3
解析：选B 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C ∵a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.∴a8＝100.又a1a15＝a＝10 000，故选C.
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048.
答案：2 048
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
由②得a＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.
法二：∵a3a11＝a2a12＝a，
∴a＝512，即a7＝8.
于是有
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
因此或
又∵a11＝a3·q8，
∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝± .
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝2n－2或an＝26－n.
层级二 应试能力达标
1．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析：选B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.
2．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
3．已知数列{an}为等差数列，a1，a2，a3成等比数列，a1＝1，则a2 016＝( )
A．5 B．1
C．0 D．－1
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，则由a1，a2，a3成等比数列得(1＋d)2＝1＋2d，解得d＝0，所以a2 016＝a1＝1.
4．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝( )
A．230 B．210
C．220 D．215
解析：选C ∵a1·a2·a3·…·a30＝230，
∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，
∴a1＝2－，
∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)
＝(2－×22)10×(23)45＝220.
5．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
解析：由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
答案：－213
6．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
解析：由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.
答案：－1
7．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3，
所以abn＝a13n－1， ①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1， ②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a3，a7与a5有怎样的关系？在任一个等比数列{an}中，a＝an－3·an＋3(n＞3)成立吗？把3换成k，即a＝an－kan＋k，这里的k应满足怎样的条件？
解：设这个数列的首项为a1，公比为q，
依题意得解得
所以an＝×n－1，
则a3＝×2，a5＝×4，
a7＝×6，可知a3a7＝a.
在任一个等比数列{an}中，
a＝an－3an＋3(n＞3)一定成立．
在等比数列{an}中，a＝an－k·an＋k要成立，
只需满足n＞k＞0，且k∈N＋即可．
2．3.2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
[点睛] 在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求( )
(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列( )
解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为：
Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，
则和式可变形为Sn＝a－aqn.
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A 由S5＝＝44，
得a1＝4.
3．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
解析：选C 数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：选C ＝×＝＝.
等比数列的前n项和公式的基本运算
[典例] 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
[解] (1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×n－1＝，∴n＝6.
(2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[活学活用]
已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
解：法一：由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，
∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1.
∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.
∴S8＝＝.
综上知S8＝255或.
法二：由等比数列的性质得a3·a5＝a＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，
∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解．故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝.
综上知，S8＝255或.
等比数列的前n项和的性质
[典例] 等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝________.
[解析] 法一：设公比为q，由已知易知q≠1，由?所以S3n＝＝·[1－(qn)3]＝64×＝63.
法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)?S3n＝63.
[答案] 63
等比数列前n项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，＝q；
等比数列的项数是奇数时，＝q.
[活学活用]
1．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为______．
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×n－1.
等比数列及其前n项和的综合应用
[典例] (1)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，则
①a3＝________；
②S1＋S2＋…＋S100＝________.
[解析] (1)由a5＝a2q3，得q3＝，
所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，
首项a1·a2＝8，公比q2＝，
所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝＝(1－4－n)．
(2)①∵an＝Sn－Sn－1
＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－.
②根据以上{an}的关系式及递推式可求得．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，
a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
[答案] (1)C (2)①－ ②
求解数列综合问题的步骤
(1)分析题设条件．
(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．
(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．
(4)整理求解．
[活学活用]
1．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1，a2，a6成等比数列，所以a＝a1·a6，
即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)，
所以d＝3a1，所以a2＝4a1，所以等比数列ak1，ak2，ak3，…的公比q＝4，
所以ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1.
又ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)，
所以a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0，
所以3k4－2＝64，所以k4＝22.
答案：22
2．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
解：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．
(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差d＝5，
故T20＝20×3＋×5＝1 010.
层级一 学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
解析：选A 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N＋)，则实数k为( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选C 由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N＋)，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)
＝2×3n－1.
因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：选B 根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－ B.
C．－或1 D.或1
解析：选C 由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，
即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝2.
答案：2
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
解析：由＝q，q＝2，得＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
层级二 应试能力达标
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D 设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.
所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.
因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
所以＝＝＝＝＝－11.
故选D.
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
解析：选C 由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
3．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝( )
A．(2n－1)2 B.(4n－1)
C.(2n－1) D．4n－1
解析：选B 由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＝1，a2＝2，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191
C．192 D．193
解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
5．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
解析：依题意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.
答案：15
6．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝3＋，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
解析：依题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－；当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，所以an＝2n－(n∈N＋)，则bn＝3＋＝32n，由＝＝32＝9，可知{bn}为等比数列，b1＝32×1＝9，故Tn＝＝.
答案：
7．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解：(1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，
得＝，
解得d＝1，或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)，知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
8．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．
解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝an＝an，
∴＝，∴数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝
＝1 600，
即n年内旅游业总收入为1 600万元．
(2)由(1)知Sn＝1 600，
令Sn>8 000，
即1 600>8 000，
∴n>6，∴lgn>lg 6，
∴n>≈8.029 6.
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
第二课时 数列求和(习题课)
分组转化法求和
[典例] 已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．
[解] 令{cn}的前n项和为Sn，
则Sn＝1＋2＋3＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－n.
即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
[活学活用]
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 016等于( )
A．1 008 B．－1 008
C．2 016 D．－2 016
解析：选A S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.
2．已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列．
(1)求p，q的值；
(2)求数列{an}前n项和Sn的公式．
解：(1)由a1＝3，得2p＋q＝3，又因为a4＝24p＋4q，
a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知an＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.
裂项相消法求和
[典例] 已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝－log an，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，∴q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)∵an＝，∴bn＝－log ＝2n，
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝.
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项求和的几种常见类型：
①＝；
②＝；
③＝；
④若{an}是公差为d的等差数列，则＝.
[活学活用]
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a5＋a9＝30.
(1)求an及Sn；
(2)若数列{bn}满足bn(Sn－n)＝2(n∈N＋)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
??
则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋＝n2＋2n.
(2)证明：由题意可得
bn＝＝＝2，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝2
＝2<2.
错位相减法求和
[典例] 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
[解] (1)证明：由an＋1＝，
所以＝＝＋×，
所以－1＝，
又a1＝，所以－1＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得－1＝×＝，即＝＋1，
所以＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋， ①
则Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
Tn＝2－－.
又1＋2＋3＋…＋n＝，
所以数列的前n项和
Sn＝2－＋
＝－.
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
[活学活用]
数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1
＝.
所以Sn＝.
层级一 学业水平达标
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
A．1,1 B．－1，－1
C．1,0 D．－1,0
解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( )
A．11 B．99
C．120 D．121
解析：选C ∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
3．已知数列{an}，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于( )
A．130 B．120
C．55 D．50
解析：选C 在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，即＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
则数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值( )
A．13 B．－76
C．46 D．76
解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.
S22＝(－4)×11＝－44.
S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.
∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101 B．299－101
C．2100－99 D．299－99
解析：选A 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
6．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为________．
解析：∵等比数列{an}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝2n－1，即是首项为，公比为的等比数列，
∴数列的前4项和为＝.
答案：
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
解析：＝3，故q≠1，
∴×＝1＋q3＝3，
即q3＝2.
所以＝×＝＝.
答案：
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
9．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，d>0.由题意得(2＋d)2＝2＋3d＋8，解得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)∵bn＝an＋2＝2n＋22n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)
＝(2＋4＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n(n＋1)＋.
10．在等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为d＝＝1，所以an＝a3＋(n－3)d＝n＋1.
(2)bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋＋＋…＋. ①
Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②得Tn＝2＋＋＋…＋－
＝＋1－
＝＋1－＝2＋1－
＝3－，所以Tn＝6－.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B.n－1
C.n－1 D.
解析：选B 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝ n－1.
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为( )
A．4 B．4
C．1－ D.－
解析：选A ∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4
＝4.
3．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )
A．11×(1.15－1)a亿元 B．10×(1.15－1)a亿元
C．11×(1.14－1)a亿元 D．10×(1.14－1)a亿元
解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元，故选A.
4．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
解析：选A 由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.
5．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.
解析：被求和式的第k项为：
ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.
所以Sn＝2
＝2
＝2
＝2
＝2n＋－2.
答案：2n＋－2
6．已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中b1＝0，公差d≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．
解析：设数列{an}的公比为q，则{an}的前三项分别为1，q，q2，{bn}的前三项分别为0，d,2d，于是解得(舍去)或于是新数列的前10项和为(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a10＋b10)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b10)＝＋10×0＋×(－1)＝978.
答案：978
7．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，
且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且
解得
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)＝，
Sn＝1＋＋＋…＋＋， ①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋. ②
②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋2×－
＝2＋2×－＝6－.
8．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)证明：设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
两式相减得Sn＝＋－＝＋－.
所以Sn＝2－.
∴Sn<2.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
解析：选D 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…，所以数列{an}是摆动数列．
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
解析：选D 由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )
A．10 B．20
C．16 D．12
解析：选D ∵{an}是等差数列，
∴d＝＝，
∴a7＝2＋4×＝12.
4．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
6．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．5 D．－5
解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝＝－·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.
8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝( )
A．2 B.
C．3 D.
解析：选C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝，∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3.故选C.
9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为的等比数列，那么an＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.
设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，
∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝＝，
∴an＝.
10．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D.或
解析：选B 由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，
∴q2＝1＋q，解得q＝.
又∵{an}各项均为正数，
∴q>0，即q＝.
∴＝＝＝.
11．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设{an}的公比为q，q>0，且a＝1，
∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.
∴S5＝＝8×＝.
12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2 014，－＝2，则S2 016的值为( )
A．－2 016 B．2 016
C．2 015 D．－2 015
解析：选B 因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列．设数列的公差为d′，则由－＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以＝＋2 015d′＝a1＋2 015d′＝－2 014＋2 015＝1，所以S2 016＝2 016.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2 015－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2 015－3n>0，得n<＝671，
又∵n∈N＋，∴n的最大值为671.
答案：671
15．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．
解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
答案：6
16．在等比数列{an}中，若1，a2，a3－1成等差数列，则＝________.
解析：设等比数列的公比为q，
依题意，可得2a1q＝1＋a1q2－1，
又a1≠0，整理得q2－2q＝0，
所以q＝2或q＝0(舍去)，
所以＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意，有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由(1)可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 016.
解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N＋)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝.
∴x2 016＝.
19．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.
(1)求等比数列{an}的公比q；
(2)求a＋a＋…＋a.
解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.
(2)由(1)，得an＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.
20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N＋)，且a2＝3，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差是d，
由已知条件得
解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，
∴bn＝＝
＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
21．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，
因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，
则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N＋)，
则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，
即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，
化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.
22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N＋，
所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．
