2017_2018学年高中数学第三章不等式学案（打包11套）新人教B版必修5

不等关系与不等式学案
学习目标
⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法；
⒉培养学生数形结合能力和运算能力；
⒊通过实际情境的设置，培养学生对客观世界的认知能力。
合作探究
人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度（记作vkm/s）应该不小于第一宇宙速度（记作v1km/s），且小于第二宇宙速度（记作v2km/s）。v,v1,v2的关系用数学符号可怎样表示？
某人为自己制定的月支出计划中，规定手机电话费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：月租费30元，每分钟通话费0.40元。求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围，请列出式子。
通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢？可举几个例子？
一、不等式的定义：
二、实数大小比较的方法的依据是什么？
实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系，数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点，沿着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样？
结论一：
在数轴上，表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系如何？实数a和b是否也有类似的结论？
结论二：
三、比较两个实数大小的方法
当我们没有度量工具时，要确定甲乙两个同学身高之间的不等关系，应怎样？那么，在数学中如何比较两个数的大小呢？
结论：
例1比较的大小。
例2当p,q都为正数，且p+q=1时，试比较代数式的大小。
巩固检测
1、设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c的大小关系为________________．
2、＋与2的大小关系是 _____________________．
3、－与－的大小关系是
课时作业
不等式的性质
自主学习
1．用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的 关系，含有这些不等号的式子叫做 ．
2．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数 ．
3．a≥b的含有是 ；若a>b，则a≥b是 命题；若a≥b，则a=b是 命题．
4．比较两个实数大小的依据是：a-b>0 ；a-b=0 ；a-b<0 ．
5．作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有 和 ．
合作探究
在初中我们学习了不等式的三条性质。事实上，不等式还具有下面的一些重要性质：
性质1 如果a>b ，那么bb 。（对称性）
性质2 如果a>b , 且b>c , 则a>c。（传递性）
证明：
这个性质也可表示为
c性质3 如果a>b ,则a+c>b+c 。
证明：
性质3表明什么？
由性质3很容易得出
推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）
推论2 如果a>b ,c>d ,则a+c>b+d 。
证明：
同向不等式：
由推论2可以推广为更一般的结论：
性质4 如果a>b ,c>0 ,则ac>bc；如果a>b ,c<0 ,则ac证明：
推论1如果a>b>0 ,c>d>0 ,则ac>bd 。
证明：
很明显，这个推论可以推广为更一般的结论：
推论2 如果a>b>0 ,则。
证明：
推论3 若果a>b>0 ，则(。
证明：
例 应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b ,ab>0 ,求证： ；
（2）已知a>b ，cb-d ；
（3）已知a>b>0,0巩固检测
课时作业
3.1　不等关系与不等式
(1)不等式如何定义？


(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？


(3)不等式的性质有哪几条？



　　　　
1．不等式的概念
用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
[点睛]　不等式“a≥b”的含义是“a＞b或a＝b”，它等价于“a不小于b”，在a＞b和a＝b中只要有一个成立，a≥b就成立．
2．实数大小的比较
(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系．
①数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：
点A，B的位置关系
点A和点B重合
点A在点B右侧
点A在点B左侧
实数a，b的大小关系
a＝b
a＞b
a＜b
(2)比较两个实数的大小
方法
作差法
依据
a－b＞0?a＞b；
a－b＜0?a＜b；
a－b＝0?a＝b
结论
对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b?a＜b.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)加法法则：a＞b?a＋c＞b＋c.
推论1　a＋b＞c?a＞c－b；
推论2　a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(4)乘法法则：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
推论1　a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
推论2　a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)；
推论3　a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)．
[点睛]　(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2(　　)
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立(　　)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d(　　)
解析：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．
(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a　　　　 B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：选C　法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．
令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，
即a>－b>b>－a.
法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.
3．设a，b是非零实数，若aA．a2C.< D.<
解析：选C　因为a0，
所以－＝>0，故>.
4．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
解析：∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
答案：m3>m2－m＋1
数式的大小比较
[典例]　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，
∴(x－1)<0.
∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－＝＝，
因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当01．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．作商法比较大小的步骤及适用范围
(1)作商法比较大小的三个步骤
①作商变形；
②与1比较大小；
③得出结论．
(2)作商法比较大小的适用范围
①要比较的两个数同号；
②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．　
[活学活用]
1．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
解：(x6＋1)－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)
＝(x2－1)2(x2＋1)．
故当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
2．若m>2，比较mm与2m的大小．
解：因为＝m，又因为m>2，所以>1，所以m>0＝1，所以mm>2m.
不等式的性质
[典例]　(1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
(2)下列说法不正确的是(　　)
A．若a∈R，则(a2＋2a－1)3>(a－2)3
B．若a∈R，则(a－1)4>(a－2)4
C．若0b
D．若0[解析]　(1)由于b<2a,3d(2)对于A，因为(a2＋2a－1)－(a－2)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以a2＋2a－1>a－2，则(a2＋2a－1)3>(a－2)3，故A选项说法正确；对于B，当a＝1时，(a－1)4＝0，(a－2)4＝1，所以(a－1)4>(a－2)4不成立；对于C和D，因为0[答案]　(1)C　(2)B
1．利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[活学活用]
1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：选C　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
2．若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
用不等式性质求解取值范围
[典例]　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解]　∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
1．在本例条件下，求的取值范围．
解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是.
不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．
2．已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范围．
解：∵－6＜a＜8,2＜b＜3.
∴＜＜，
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由①②得：－3＜＜4.
故的取值范围为(－3,4)．
利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．
3．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为.
层级一　学业水平达标
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400　　　　　 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
解析：选B　x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　)
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
3．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知M＝2x＋1，N＝，则M，N的大小关系为(　　)
A．M>N B．MC．M＝N D．不确定
解析：选A　∵2x>0，∴M＝2x＋1>1，而x2＋1≥1，
∴≤1，∴M>N，故选A.
6．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，
因为x＜1，所以x－1＜0，x－2＜0，
所以(x－1)(x－2)＞0，所以x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．
解析：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是[3,8]．
答案：[3,8]
9．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，试比较M与N的大小．
解：M－N＝(x2＋y2－4x＋2y)－(－5)
＝(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)
＝(x－2)2＋(y＋1)2.
因为(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－2)2＋(y＋1)2≥0，
又因为x≠2或y≠－1，
所以(x－2)2与(y＋1)2不会同时为0.
所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，
所以M＞N.
10．(1)若a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
证明：(1)由于－＝＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，∴－＜0，
即＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
层级二　应试能力达标
1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1　　　　 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选A　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.
2．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN
C．M＝N D．M≥N
解析：选B　∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴－10，∴M>N，故选B.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：选A　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
4．已知a，b，c均为实数，
①a＜b＜0，则a2＜b2；
②＜c，则a＜bc；
③a＞b，则c－2a＜c－2b；
④a＞b，则＜.
上述说法正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A　①特殊值法．令a＝－2，b＝－1，则4＞1，故①错；
②当b＜0时，有a＞bc，故②错；
③当a＞b时，有－2a＜－2b，从而c－2a＜c－2b，故③正确；
④当a＞0，b＜0时，显然有＞，故④错．
综上，只有③正确，故选A.
5．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝.
∵0＜1－a2≤1，∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
6．已知不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a；⑤b＜a且ab＞0；⑥a＜b且ab＜0.其中能使＜成立的是________．
解析：因为＜?＜0?b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使＜.
答案：①②④⑤⑥
7．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a8．已知：f(x)＝logax，a＞1＞b＞c＞0，
证明：＞.
证明：∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，
∴＜，
又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a＞1，
∴f(b)＞f(c)，
又 ∵1＞b＞c＞0，∴f(b)＜0，f(c)＜0，
∴0＜－f(b)＜－f(c)，又b＞c＞0，
∴b－f(c)＞c－f(b)＞0，
又＞＞0，∴＞.
3．2 均值不等式
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）
（3）＋ （ ） （4）x＋ (x>0)
（5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；．
⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑶函数f(x) =x(2－2x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x的值为___________________。
　　
【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．
例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】
选择题：
　⒈下列命题正确的是（　　　　）
Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．
　⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（　　　　）
　　Ａ．0　　　　　　　　　Ｂ．1　　　　　　　　Ｃ．2　　　　　　　Ｄ．3
　⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（　　　　　）
Ａ．＋≥2　　　　　　　 Ｂ．a2+b2≥2ab　　　　　　
Ｃ．＋≥a＋b　　　　　 Ｄ．2+
　⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（　　　　　）
Ａ．1　　　　　Ｂ．2 Ｃ．3　　　　　　Ｄ．4
　⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（　　　　　）
　Ａ．a2+b2≥2ab　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
二．填空题：
　⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．
　⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．
　⒏已知a、b为常数且0三．解答题：
　⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
（2）设c　⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。
参考答案：
【预习达标】
1．；
2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a，b∈R＋；a=b
4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）
⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；
5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。
【典例解析】
例1．解析：原式＝（ ++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（） ≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1
（2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由＝1得（x-1）(y-9)= 9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x=时取得最小值。
【双基达标】
一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+│＝│x│＋││≥2
2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)＝（a+b）+2+ ()≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。
3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2时就不成立。
4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥2
5．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝
二、6．4解析：∵ab≤＝4
7．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7
8．解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=。
三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=＝为几何平均数，c=＝为平方平均数。∵x≠0∴∴c>a>b。
（2）＝≥
10．解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BF＝x，BE＝y则S△BEF＝＝＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB= x2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF＝2。
3.2　均值不等式
(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？


(2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？



(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？


　

1．均值定理
如果a，b∈R＋，那么≥.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．
对任意两个正实数a，b，数称为a，b的算术平均值(平均数)，数称为a，b的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
[点睛]　(1)“a＝b”是≥的等号成立的条件．若a≠b，则≠，即＞.
(2)均值不等式≥与a2＋b2≥2ab成立的条件不同，前者a＞0，b＞0，后者a∈R，b∈R.
2．利用均值不等式求最值
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立(　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4(　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤2(　　)
解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)错误．只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．
(3)正确．因为≤，所以ab≤2.
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．已知f(x)＝x＋－2(x＞0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0　　　　　　　 B．最小值为0
C．最小值为－2 D．最小值为2
答案：B
3．对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B.≥
C．a2＋b2≥2ab D.＋≥2
答案：C
4．已知0＜x＜1，则函数y＝x(1－x)的最大值是________．
答案：
利用均值不等式比较大小
[典例]　(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n　　　　　　　　 B．mC．m＝n D．不确定
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
[解析]　(1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
所以Q＝(lg a＋lg b)>＝P；
Q＝(lg a＋lg b)＝lg ＋lg ＝lg 所以P[答案]　(1)A　(2)P利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[活学活用]
已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．
解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以 ≥(a＋b)，
同理 ≥(b＋c), ≥(c＋a)，
所以 ＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，
即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
利用均值不等式证明不等式
[典例]　设a，b，c都是正数，求证：ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc.
[证明]　因为a，b，c都是正数，所以ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2)≥2＋2＋2＝6abc，所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用．　　

[活学活用]
已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
利用均值不等式求最值
[典例]　(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值．
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
[解]　(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由均值不等式可得a＋b≥2＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
(1)应用均值不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
(2)常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．
[活学活用]
1．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C　由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.
2．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．
答案：
利用均值不等式解应用题
[典例]　某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解]　(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由均值不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
[活学活用]
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．
解：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
层级一　学业水平达标
1．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：选B　A中，当02．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg(2x)　　　 B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：选C　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　)
A.＋<1 B.＋≥1
C.＋<2 D.＋≥2
解析：选B　因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.
4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)
A.> B.<
C.＝ D.≤
解析：选A　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.
5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
解析：选D　由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.
答案：4
7．已知0解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
层级二　应试能力达标
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab|　　　　 B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正负不确定
解析：选B　因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，
所以＋＋＝－＋＋，
因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2，
所以－≤，又＋≤－2，
所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B.
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D　由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
4．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6 B．4
C．2 D．8
解析：选B　∵a，b是实数，∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2 ＝2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
5．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
解析：x＋≥a恒成立?min≥a，
∵x>1，即x－1>0，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
∴a≤3，即a的最大值为3.
答案：3
6．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴9ab＋10≤，∴≥.
答案：
7．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
8．已知k>，若对任意正数x，y，不等式x＋ky≥ 恒成立，求实数k的最小值．
解：∵x>0，y>0，
∴不等式x＋ky≥恒成立等价于＋k≥恒成立．又k>，
∴＋k≥2，
∴2≥，解得k≤－(舍去)或k≥，
∴kmin＝.
3．3 一元二次不等式及其解法
【预习达标】
⒈一次不等式ax>b，若a>0，解集为_____________；若a<0，解集为 ；若a=0，则当b≥0时，解集为 ；当b<0时，解集为___________．
⒉一元一次不等式组（a>b）。若则解集为______；若则解集为____；若 则解集为______；若则解集为________．
⒊若ax2+bx+c>0是一元二次不等式，则a_______．
⒋若ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0有两个相等实根x0，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0没有实根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 。
5．分式不等式可以转化为一元二次不等式，试写出下列分式不等式的转化形式：
； 。
【典例解析】
例⒈解下列含有参数的一元二次不等式：
（1）2x2+ax+2>0 (2) x2－(a+a2)x+a2>0
例⒉已知f(x)=x2－2ax+2，当x∈时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
例3．设不等式mx2－2x－m+1<0对│m│≤2的一切m的值均成立。求x的取值范围．
例4．关于x的不等式组的整数解的集合为｛－2｝，求实数k的取值范围。．
【达标练习】
选择题：
　⒈下列结论正确的是（　　　　　　）
　　Ａ．不等式x2≥4的解集是｛x│x≥±2｝　　　Ｂ．不等式x2－9<0的解集为｛x│x<3｝　　　　　Ｃ．(x－1)2<2的解集为｛x│1－Ｄ．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，则不等式ax2+bx+c<0的解集为｛x│x2　⒉已知mｘ2+mｘ+m<1的解集为Ｒ，则m的取值范围是（　　　　）
Ａ．　　　　　　　　　　　　Ｂ．
Ｃ．（－∞，　　　　　　　　　　Ｄ．
　⒊二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为－2，3，且a<0，那么ax2+bx+c>0的解集为（　　　　）
　　Ａ．｛ｘ｜ｘ＞3或x<－2｝　　　 　Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞2或x<－3｝　　　　　　　Ｃ．｛ｘ｜－2<ｘ<3｝　　　　　 Ｄ．｛ｘ｜－3<ｘ<2｝
　⒋不等式≤的解集是（　　　　　）
　　Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．（1，10）　　Ｄ．
　⒌不等式│x2－5x│>6的解集为（　　　　　）
Ａ．｛ｘ｜ｘ＞6或x<－1｝　　　　　Ｂ．｛ｘ｜2<ｘ<3｝　　　　　　　　
Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．｛ｘ｜x<－1或2<ｘ<3或ｘ＞6｝
二．填空题：
　⒍函数f(x)=的定义域为R，则m的取值范围是
　⒎关于x 的不等式x2-mx+5≤4的解集只有一个元素，则实数m＝ ．
　⒏设Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２＜０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜５－２ｘ＞０，ｘ∈Ｎ｝，则Ａ∩Ｂ＝_________________．
三．解答题：
　⒐如果｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝，其中b>0，求a、b的取值范围。　
　
　
　⒑若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2　
　
参考答案：
【预习达标】
1．x>；x<；；R；
2．x>a； x3．a≠0；
4．{x│x> x1或x<,x2}；{x│x25．；。
【典例解析】
例1．解析：
（1）△＝a2-16∴①△<0,即－40,即a>4或a<-4时，不等式解集为
｛ｘ｜ｘ>或x<｝
（2）所给不等式即（x-a）(x-a2)>0必须对a和a2的大小进行讨论。①当a<0时，有aa2}；②当0a2，解集为{x│x>a或x1时，有aa2}；④当a=0时，有a=a2，解集为{x│x∈R且x≠0}；⑤当a＝1时，有a＝a2，解集为{x│x∈R且x≠1}。
例⒉解析：由已知得：x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞）上恒成立，即或解得－3≤a≤1。
例⒊解析：构造函数f(m)=(x2－1)m-(2x－1)即f(m)在[2，2]上恒为负值。故需要
即∴
例4．解析：由x2-x-2>0可得x<-1或x>2。∵不等式组的整数解的集合为{-2}
又∵2x2+(2k+5)x+5k=0的两个根为-k,与－
∴①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{-2}；②若－<－k，则应该有－2<－k≤3，∴－3≤k<2
综上，所求k的取值范围为－3≤k<2。
【达标练习】
一、1．C
2．C解析：首先另外需要考虑m=0这种情况也成立
3．C
4．B
5．D解析：等价于x2－5x >6或x2－5x<-6
二、6．m≥－1解析：等价于△≥0
7．±2解析：等价于△＝0
8．{0，1}
三、9．解析：记A＝｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝＝｛ｘ｜（ax+1）(2x-b)>0｝；
记B＝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝。①若a=0,则A=｛ｘ｜ｘ＞｝，不可能有。②当a<0时，由（ax+1）(2x-b)=2a(x+)(x-)>0，知(x+)(x-)<0，此不等式的解集是介于－与之间的有限区间，故不可能有。③当a>0时，
A＝｛ｘ｜ｘ＞或x<－｝，∵∴－≥－2且≤3，∴a≥且010．解析：原不等式可以化为（x2-1）m-(2x-1)<0，即f(m)= （x2-1）m-(2x-1)
其中－2≤m≤2。根据题意得：
即，
解之得：
3.3　一元二次不等式及其解法
第一课时　一元二次不等式及其解法
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？


(2)如何求解一元二次不等式？


(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？



1．一元二次不等式
含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
[点睛]　一元二次不等式应满足：
(1)一元，即只包含一个未知数，其他均为常数；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且最高次项的系数不能为0.
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
或x>x2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集

?
?
[点睛]　(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式(　　)
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R(　　)
解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．不等式x(2－x)＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞0}　　　　　　　 B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：选D　原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1解析：选B　由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
解析：原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
答案：?
一元二次不等式解法
[典例]　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
[解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示．
由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[活学活用]
已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：选A　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}.
三个“二次”关系的应用
[典例]　(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为(　　)
A．14　　　　　　　　　 B．－10
C．10 D．－14
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解析]　(1)由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.
∴解得
∴a＋b＝－14.
[答案]　D
(2)解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜ x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
　　　
[活学活用]
1．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为(　　)
解析：选B　因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－所以所求不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式
[典例]　解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
解含参数的一元二次不等式时的注意点
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

[活学活用]
解关于x的不等式x2－(a2＋a)x＋a3＞0.
解：原不等式变形为(x－a)(x－a2)＞0，
Δ＝a2(a－1)2≥0.
当a＝0时，Δ＝0，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，Δ＝0，解集为{x|x≠1}；
当a≠1，且a≠0时，Δ＞0，方程(x－a)(x－a2)＝0的两根是x1＝a，x2＝a2，
当a2＞a，即a＞1，或a＜0时，
解集为{x|x＞a2，或x＜a}；
当a2＜a，即0＜a＜1时，
解集为{x|x＞a，或x＜a2}．
层级一　学业水平达标
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A.　　　 B.
C. D.
解析：选A　因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[－7,1] B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B　由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－73．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B　由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，
所以－24．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A.　　　　　 B．{x|x>a}
C. D.
解析：选A　∵a<－1，∴a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x5．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A. B．R
C. D．?
解析：选A　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.
6．已知全集U＝R，A＝{x|x2－1≥0}，则?UA＝________.
解析：?UA＝{x|x2－1<0}＝{x|－1答案：{x|－17．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．
解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.
解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，
方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.
所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；
当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．
10．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，有即所以0综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．
层级二　应试能力达标
1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)　　 B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4,4]
解析：选A　不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)
C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A　由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α解析：选A　∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
4．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
解析：选A　因为05．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
6．对于实数x，当且仅当n≤x解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x答案：[2,8)
7．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此?m＝－.
8．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为.
第二课时　一元二次不等式及其解法(习题课)
解简单的分式不等式
[典例]　解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
[解]　(1)原不等式等价于
即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为.
(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．
(2)分式不等式的4种形式及解题思路
①>0?f(x)g(x)>0；
②<0?f(x)g(x)<0；
③≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
④≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.　　　　
(3)不等式与不等式组的同解关系
①f(x)g(x)≥0?或
②f(x)g(x)≤0?或
③f(x)g(x)>0?或
④f(x)g(x)<0?或
[活学活用]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x＜0}　　　　 B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：选B　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
不等式中的恒成立问题
[典例]　已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜ a＜4.
故a的取值范围是(0,4)．
对于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．
1．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
解：若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．
由图象可知，此时a应该满足即
解得
这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．
2．已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．
解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．
要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，
只需满足即
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．
a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值)；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值)．
(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．　
层级一　学业水平达标
1．不等式＞0的解集是(　　)
A.　 B.
C. D.
解析：选A　＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为.
2．不等式≥2的解集为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选B　不等式≥2，即－2≥0，即≥0，所以≤0，等价于x(x＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.
3．若不等式x2＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)
解析：选D　∵不等式x2＋mx＋>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m2－2m<0，∴04．不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
解析：选D　由≥2，得≥0，
即≥0.
所以原不等式等价于
即所以
所以原不等式的解集是∪(1,3]．
5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A．1 B．－1
C．－3 D．3
解析：选C　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
6．不等式≥1的解集为________．
解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－4答案：
7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
答案：
8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．
解析：根据定义得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－答案：
9．解下列不等式：
(1)≥0；(2)＞1.
解：(1)∵≥0???x＜－或x≥.
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为＞0?＞0?＜0?(2x＋1)(x＋3)＜0?－3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
10．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．
解：(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1,3)，
∴∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
层级二　应试能力达标
1．不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜－1}　　　　B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：选C　由得
所以0＜x＜1，所以原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．?R(M∩N) D．?R(M∪N)
解析：选D　<0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－33．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]???x<1或x>3.
4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
解析：选D　当a－2≠0时，
??－2当a－2＝0时，－4<0恒成立．
综上所述，－25．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
6．已知关于x的不等式＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.
解析：＜0?(ax－1)(x＋1)＜0，根据解集的结构可知，a＜0且＝－，∴a＝－2.
答案：－2
7．已知不等式mx2－2x＋m－2<0.
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
解得m<1－，
综上可知，m的取值范围是(－∞，1－)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0，知g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)<0即可，
即2x2＋2－2x－2<0，解得0故x的取值范围是(0,1)．
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，
f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈?.
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2]．
3.4不等式的实际应用
【预习达标】
⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．
⒉实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．
3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】
例⒈某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为元。现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。 问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x升
：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度
：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（）4］，
中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度万第一年）总投入万an万元，旅游业总收入万bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【双基达标】
选择题：
　⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P1，第三年比第二年增长的百分率万P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1。给出以下数据⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（　　　　　　）
　　Ａ．⑴⑵　　　　　Ｂ．⑴⑶　　　　Ｃ．⑵⑶⑷　　　　　　Ｄ．⑵⑸
　⒉用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（　　　　　）
　　Ａ．2×5　　　Ｂ．2×5.5　　　Ｃ．2×6.1　Ｄ．3×5
　⒊某工厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂家正在改造建设，一月份投入建设资金恰好与一月份利润相等，随着投入资金的逐月增加且每月增加的百分比相同，到12月投入资金又恰好与12月生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入N的大小关系是（　　　　　　）
　　Ａ．W>N　　　　Ｂ．W　⒋生物学指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10％～20％的能量转入到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若能使H6获得10kj的热量，则需要H1最多可提供的能量是（　　　　　　）
　　Ａ．104kj　　　　Ｂ．105kj Ｃ．106kj Ｄ．107kj
　⒌某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（　　　　　）元。
　　Ａ．413.7　　　　　　Ｂ．513.7　　　　　Ｃ．546.6　　　　　　Ｄ．548.7
二．填空题：
　⒍光线透过一块玻璃，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010, lg3=0.4771）．
　⒎Rt△ABC斜边长c=1，那么它的内切圆半径r的最大值为___________．
　⒏已知ab=1000，a>1，b<1，则的最大值是____________．
三．解答题：
　⒐某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50　　⒑如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。⑴现有可围36m长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
参考答案：
【预习达标】
1．未知数；不等式
2．实际意义；
3．大；一个正的假分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变小。
【典例解析】
设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一边长度为
（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) ，其余的建新墙，费用为（2x+
∴总费用为y= x+(14-x) +（2x+=7a(，当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为14，建新墙的费用为（2x+∴总费用为y= 14+（2x+其中，x≥14。
∵在x>时为增函数，∴x>12时，函数增∵x≥14∴最小值在x=14处取得，此时y=35.5a。
例2．参考教材。
例3．解析：（1）n年内总投入为an=800+800(1-)+…＋800=4000[1-]。n年内总收入为bn=400+400(1+)+…＋400=1600[]。
（2）bn>an，即1600[]>4000[1-]，设=x则5x2-7x+2>0∴x<,x>1（舍）即<∴n≥5。故至少5年。
参考答案：
【双基达标】
一、
1．B；
2．C；
3．A；
4．C；
5．C
二、6．11；
7．；
8．；
三、9．解析：利用L＝ (x-50)= (x-50)
=∵x-50>0∴L≤，当且仅当x=60（舍去x=40）时等号成立。
10．解析：（1）设每间虎笼长为x，宽为y则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。设每间虎笼面积为S，则S＝xy。∵18＝2x+3y≥2∴S≤当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S＝xy=24，设钢筋总长为L，则L＝4x+6y≥2＝48，当且仅当x=6,y=4时等号成立。
3.4　不等式的实际应用
比较法在实际问题中的应用
[典例]　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解]　设该单位有职工n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，
所以y1－y2＝x＋xn－xn＝x－xn
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2.
因此当单位人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
有关不等式的应用中，若涉及谁优、谁劣、谁省、哪一种方案更好等问题，都可归纳为根据不等式的性质比较大小的问题，解题时常常用作差法比较，从而得到正确结论．
[活学活用]
有一批货物成本为a元，如果本月初出售，可获利润100元；如果下月初出售，可获利润120元．若本月初出售后把本利投资某小商品，月收益为2%；若下月初出售，则要付5元保管费，试问是本月初出售好，还是下月初出售好？并说明理由．
解：若本月初出售，则在下月初可获利100＋(100＋a)×2%＝102＋0.02a(元)；若下月初出售，则可获利120－5＝115(元)．
∵0.02a＋102－115＝0.02a－13，∴当0.02a－13＞0，即a＞650时，本月初出售好；当a＝650时，本月初出售和下月初出售获利相同；当a＜650时，下月初出售好.
一元二次不等式的实际应用
[典例]　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
用一元二次不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
　[活学活用]
　某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解：设花卉带的宽度为x m(0故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.
均值不等式在实际问题中的应用
[典例]　某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N＋)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
[解]　(1)由于每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋x(x＋1)·16＝200＋8x(x＋1)(万元)．
则y＝4[100x－200－8x(x＋1)]
＝16(－2x2＋23x－50)(万元)．
(2)年平均利润为
＝16
＝16.
∵x∈N＋，∴x＋≥2＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
所以，运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
(1)图析解不等式应用问题的步骤

(2)利用均值不等式求最值．要注意等号成立的条件以及合理的对式子进行分解、组合等．　

[活学活用]
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋＝560＋48
≥560＋48×2＝2 000.当且仅当x＝，即x＝15∈[10，＋∞)时取等号，
因此当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
层级一　学业水平达标
1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为(　　)
A．9　　　　　　　　　　　　 B．10
C．8 D．11
解析：选A　设每天至少要加工x零件．
由题意得：＋<20，
解得x>5或x<－5，设每天至少要加工9个零件．
2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为(　　)
A．7 B．5
C．6 D．8
解析：选C　依题意得
解得又n∈N，所以n＝6.
3．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　设这种书的最高定价应当为x元，
由题意得：[80 000－(x－2.5)×20 000]×x≥200 000，
解得： ≤x≤4，所以最高定价为4元．
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：选C　由题意知3 000＋20x－0.1x2≤25x
?x2＋50x－30 000≥0，
解得x≤－200(舍去)或x≥150.
5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为(　　)
A．500件 B．1 000件
C．2 500件 D．5 000件
解析：选B　设每次进x件费用为y元，由y＝＋×2≥2＝2 000，当＝x，x＝1 000时，y最小．
6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．
解析：年平均值＝＝＋0.1n＋1≥3.4，
当且仅当＝0.1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．
答案：12
7．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3,5]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为万元，而＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
9．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
解：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a，b>0，a≠b)，则甲两次购买大米的平均价格是＝ 元/千克；
乙两次购买大米的平均价格是＝＝元/千克．
∵－＝＝>0，
∴>.
∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，
公司B收取的费用为元．
若能够保证选择A比选择B费用少，
则>1.5x(0整理得x2－5x<0，解得0所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．
层级二　应试能力达标
1．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0A．[15,20]　　　　　　　　　　 B．[10,15]
C．(10,15) D．(0,10]
解析：选B　由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15.
2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15,30] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
解析：选C　设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
3．一种产品的年产量情况是第一年为a件，第二年比第一年增长P1%，第三年比第二年增长P2%，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，如果年平均增长x%，则有(　　)
A．x＝P B．x≤P
C．x≥P D．x＜P
解析：选B　设三年后产量为y，
则y＝a(1＋P1%)(1＋P2%)≤a·2＝a·(1＋P%)2.
又∵年平均增长x%，则y＝a(1＋x%)2，
∴a(1＋x%)2≤a(1＋P%)2，∴x≤P.
4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n(n∈N＋)元的礼品比赠送价值为n－1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为(　　)
A．9元或10元 B．10元或11元
C．8元或9元 D．8元或10元
解析：选A　设礼品价值为n元时，总利润为an，
则an＝(20－n)m(1＋10%)n＝m(20－n)1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．
依题意得即
解得9≤n≤10.由n∈N＋，知n＝9或n＝10.故选A.
5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
解析：5%<<6%，
解得x的范围是(100,400)．
答案：(100,400)
6．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，
根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，
则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
7．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解：设每批购入x台，运输费和保管费共y元，则需进货次，每批进货总价值为2 000x元，设全年保管费为2 000kx(k＞0)元．依题意得，43 600＝2 000×400k＋×400，则k＝，
∴y＝×400＋2 000kx＝＋100x≥2＝24 000，当且仅当＝100x，即x＝120时，等号成立．
故每批进货120台时，能使资金够用．
8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，
其中0(1)由解得2≤P≤6.
故P的范围为[2,6]．
(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，
∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，
f(2)＝4 800(万元)．
(3)∵0g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元．
3.5.1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
【预习达标】
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
2．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
3．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
4．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
【课前达标】
⒈点（2，3），（1，2）在直线y=2x＋1的 （填“同侧”、“异侧”）
⒉若点（1，3）和（－4，－2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是（ ）
A．m<-5或m>10 B．m=-5或m=10 C．-5⒊画出（x-2y+1）(x+y-3)<0表示的平面区域．
【典例解析】
例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
例2．画出下列不等式组表示的平面区域
（1） （2）
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【双基达标】
选择题：
⒈点P（a，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则a的值是（　　　　）
　Ａ．－3　　　Ｂ．3　　　　　Ｃ．7　 　Ｄ．－7
⒉已知a>0，点集S的点（x，y）满足下列所有条件：①，②，③，④，⑤．则S的边界是一个有几条边的多边形（　　　　　）
　Ａ．4　　　Ｂ．5　　　Ｃ．6　　　Ｄ．7
　　　　　　
填空题：
⒍设x、y满足，则z=3x+2y的最大值是 ．
解答题：
⒐用三条直线x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0围成一个三角形，试写出三角形内部区域满足的不等式组．
参考答案
【预习达标】
1．上；下．解析：设（x0,y0）在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线Ax0＋By0＋C＝0,取直线上方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B>0(由于B>0,△y>0)，取直线下方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B<0(由于B>0,△y<0)，
2．下；上
3．左；右
4．右；左
【课前达标】
1．（1）同侧；
2．C解析：（m+5）(m-10)<0∴-53．（略）
【典例解析】
例3．解：x,y满足的数学关系式为 ：
分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．

【双基达标】
一、1．A ；2．C ．
二、6．5；
三、9．
3.5　二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．5.1　二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(1)二元一次不等式是如何定义的？


(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？


(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？




1．二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式
含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．
(2)二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l的并集叫做闭半平面．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．
(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
[点睛]　二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域(　　)
(2)点(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内(　　)
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的(　　)
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式(　　)
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域(　　)
解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x＝的右侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是(　　)
解析：选C　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
3．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的(　　)
A．左上方　　　　　　　　 B．右上方
C．左下方 D．右下方
解析：选D　将(0,0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D.
4．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．
解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.
答案：
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例]　画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
[解]　(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定．
[活学活用]
不等式组表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．±1 D．±2
解析：选C　在不等式组所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分别为(0,0)，(＋1,0)，(0，＋1)，又x－ky＋k＝0表示的是过点(0,1)的直线，则当k>0时，k＝1满足条件(如图1)；当k<0时，k＝－1满足条件(如图2)．故当k＝－1或1时不等式组表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选C.
二元一次不等式(组)表示平面区域的面积
[典例]　不等式组表示的平面区域的面积为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，所以△ABC的面积是×[8－(－2)]×＝.
[答案]　A
求平面区域的面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
[活学活用]
　不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　作出平面区域如图所示为△ABC，
由可得A(1,1)，
又B(0,4)，C，
∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，故选C.
用二元一次不等式组表示实际问题
[典例]　某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2 500件，月产Q产
品最多有1 200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14 000个，B零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．
[解]　设分别生产P，Q产品x件，y件，
依题意则有
用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．
用二元一次不等式组表示实际问题的方法
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．
(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．

[活学活用]
某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
层级一　学业水平达标
1．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为(　　)
A．10　　　　　　　　　　 B．9
C．3 D．无数个
解析：选A　作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10.
2．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是(　　)
A．(2,0) B．(－1,2)
C．(1,1) D．(－1,1)
解析：选D　将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.
3．不等式组表示的平面区域为(　　)
解析：选C　取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C表示的阴影中，故选C.
4．已知点M(2，－1)，直线l：x－2y－3＝0，则(　　)
A．点M与原点在直线l的同侧
B．点M与原点在直线l的异侧
C．点M与原点在直线l上
D．无法判断点M及原点与直线l的位置关系
解析：选B　因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.
5．若不等式组表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
6．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有______个．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5,0)．
答案：1
7．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面区域内，求k的取值范围．
解：点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，
由题意，得
即
解得－5≤k≤－3.
故k的取值范围是[－5，－3]．
10．已知实数x，y满足不等式组Ω：
(1)画出满足不等式组Ω的平面区域；
(2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．
解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组
得A，
解方程组
得D，
所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为
S四边形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.
层级二　应试能力达标
1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　由图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方，故选B.
2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．{0,2}
C．(0,2) D．[0,2]
解析：选C　因为原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，所以－a(2－a)<0，即a(a－2)<0，解得03．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意，得所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的左上方，直线x＋y－5＝0的左下方，及直线x－1＝0的右侧，所以所求不等式组为
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，＝，x，y∈N＋，故选C.
5．不等式组表示的平面区域的面积为______．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面区域的面积为3×4－×2×1＝11.
答案：11
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为斜截式y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<－1，解得m>，故m的取值范围是.
答案：
7．已知点M(a，b)在由不等式组表示的平面区域内，求N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积．
解：由题意，得a，b满足不等式组
设n＝a－b，m＝a＋b，则a＝，b＝，
于是有即这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB内部(含边界)，其面积为×(2＋2)×2＝4，即点N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积为4.
8．已知点P在|x|＋|y|≤1表示的平面区域内，点Q在表示的平面区域内．
(1)画出点P和点Q所在的平面区域；
(2)求P与Q之间的最大距离和最小距离．
解：(1)不等式|x|＋|y|≤1等价于
不等式组等价于
由此可作出点P和点Q所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD内部(含边界)，四边形EFGH内部(含边界)．
(2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值，|ER|为所求的最小值，易求得|AG|＝＝＝5，|ER|＝|OE|＝.
3．5.2　简单线性规划
(1)线性规划中的有关概念有哪些？各自如何定义的？



(2)如何求解线性目标函数的最值问题？



　　

线性规划的有关概念
名称
意义
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
目标函数是关于变量的一次函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式(组)
线性约束条件
约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
[点睛]　(1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)可行域是一个封闭的区域(　　)
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的(　　)
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解(　　)
(4)线性规划问题一定存在最优解(　　)
解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．
(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．
(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．1
C．－5 D．－6
解析：选C　由约束条件作出可行域如图：
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.
3．若则z＝x－y的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B　根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．
解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.
答案：　
求线性目标函数的最大(小)值
[典例]　设z＝2x＋y，变量x，y满足条件求z的最大值和最小值．
[解]　作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组得A点坐标为(5,2)，
解方程组得B点坐标为(1,1)，
∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.
解线性规划问题的基本步骤
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解．
(4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[活学活用]
1．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝x－t在点处取得最大值，即tmax＝2－2×＝4－a＝2，得a＝2，故选C.
2．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋3y的最大值为_____．
解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：
由z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直线x＋3y＝0可知，当直线y＝－x＋经过A点时z取最大值．由得A(1,2)，所以zmax＝1＋2×3＝7.
答案：7
求非线性目标函数的最值
题点一：距离型最值
1．设x，y满足条件求u＝x2＋y2的最大值与最小值．
解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
题点二：斜率型最值
2．在“题点一”的条件下，求v＝的最大值与最小值．
解：v＝表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
① 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
　　　　
线性规划的实际应用
[典例]　某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本、搭载费用之和(万元)
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量(千克)
10
5
最大搭载质
量110千克
预计收益(万元)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
[解]　设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为即作出可行域如图阴影部分所示，
作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：
①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．
②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．
(2)寻找整点最优解的两个方法
①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．

[活学活用]
　一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为(　　)
A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件
C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件
解析：选D　设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－x＋，斜率为－>－，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.
层级一　学业水平达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．18　　　　D．40
解析：选C　由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.
2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)
A.z＝20x＋40y
B.z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D.z＝40x＋20y
解析：选A　由题意知A正确．
3．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　 B.∪[6，＋∞)
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选A　作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是.
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为(　　)
A．2,4 B．3,3
C．4,2 D．不确定
解析：选B　设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．
5．已知若z＝ax＋y的最小值是2，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　作出可行域，如图中阴影部分所示，
又z＝ax＋y的最小值为2，若a>－2，则(1,0)为最优解，所以a＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a＝－，舍去，故a＝2.
6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3.
答案：3
7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.
由
得A(1,2)，所以|AO|2＝5.
答案：5
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y.
由得记P(1,2)，
画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
9．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－<2，解得－4故所求a的取值范围为(－4,2)．
10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
层级二　应试能力达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．[－1,6] D.
解析：选A　作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是(　　)
A. B．[0,5]
C．[0,5) D.
解析：选C　作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u＝2x－2y－1，当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，经过点B时，u＝－，
则－≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.
4．x，y满足约束条件若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．1或－
C．2或1 D．2或－1
解析：选B　作出可行域，如图中阴影部分所示．由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.当2a＝2或2a＝－1，即a＝1或a＝－时，z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.
5．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
答案：1
6．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．
解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为
即
投资者获得的利润设为z，则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．
解得B(10,40)．
所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：10　40
7．某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？
解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元．
则即目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．
当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．
所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．
8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分)，目标函数z＝x＋ay取得最小值时的最优解有无数个，求的最大值．
解：由题意，知当直线y＝－x＋与直线AC重合时，z取得最小值时的最优解有无数个，∴－＝，
∴a＝－3，
∴＝＝kPD≤kDC＝＝(其中D(－3，0)，P(x，y)为可行域中任意一点)，
∴的最大值为.
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B　　　　　　　　　 B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：选B　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B.
2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则
3．不等式(x－1)≥0的解集是(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：选C　当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
4．不等式组所表示的平面区域是(　　)
解析：选D　不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.
5．已知aA.> B．ab<1
C.>1 D．a2>b2
解析：选D　由ab2，故选D.
6．若－4A．有最小值2 B．有最大值2
C．有最小值－2 D．有最大值－2
解析：选D　f(x)＝＝(x－1)＋，
又∵－40.
∴f(x)＝－≤－2.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
解析：选C　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝·
＝＋≥＋2 ＝
.
故y＝＋的最小值为.
8．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.
由解得
即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.
9．已知01，记M＝loga，N＝logab，P＝logb，则M，N，P的大小关系为(　　)
A．PC．N解析：选B　∵01，
∴a>>0，b>>0，
∴M＝loga>logaa＝1，N＝logab又∵P＝logb＝－1，∴N10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，
则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，此时x＝，解得x＝5.
11．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选A　令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a<－，即a>，故实数a的取值范围是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．点(a,1)在直线x－2y＋4＝0的右下方，则a的取值范围是________．
解析：由题意，可得a－2＋4>0，即a>－2.
答案：(－2，＋∞)
14．若a＜b＜0，则与的大小关系为________．
解析：∵－＝＝＜0，
∴＜.
答案：＜
15．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，
所以(－3)(＋1)≥0，
所以≥3，所以ab≥9.
答案：[9，＋∞)
16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，
不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有
即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为
即0(2)原不等式等价于即
因式分解，得
所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－318．(12分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋.
19．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时， 有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，
且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab＝800.
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
21．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．
解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
所以－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，
从而有解得
(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
所以＋的最小值为9.
22．(12分)某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：
每台产品所需资金(百元)
月投入资金
(百元)
空调
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
利润
6
8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得
即
目标函数为z＝6x＋8y.
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，y∈N，
所以zmax＝6×4＋8×9＝96.
答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9 600元．