课时跟踪训练(一) 命 题
1.下列语句中命题的个数是( )
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户．www.21-cn-jy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
2．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
3．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．
①等边三角形是等腰三角形；
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．
6．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：
①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中真命题是________．
7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．
(1)正弦函数y＝sinx的定义域是实数集R；
(2)若整数a是素数，则a是奇数；
(3)对数函数是增函数吗？
(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行；
(5)＝2；
(6)x>15.
8．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B＝?是真命题，求实数m的取值范围．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选D ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题．
2．选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
3．选B y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；
当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；
当·>0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
4．选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
5．解析：①是命题且是真命题；
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况；
④是假命题，如x＝，y＝－.
答案：①②③④ ①
6．解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；21教育网
③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0.所以垂直，故③假；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．
答案：②④
7．解：上面6个语句中，(3)是疑问句，所以它不是命题；(6)无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．21cnjy.com
8．解：当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1
所以解得m≥.
所以m的取值范围是(－1，＋∞)．
课时跟踪训练(七) 椭圆的标准方程
1.已知命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )21世纪教育网版权所有
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
3．以圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1
D．x2＋＝1
4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
5．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________________．21教育网
6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．21cnjy.com
7．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(1，)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.
8．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
答 案
1．选B 若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件，综上，甲是乙的必要不充分条件．21·cn·jy·com
2．选B 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
3．选B 由已知c＝1，且焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1，
将点代入求得a2＝4或a2＝(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
4．选C ∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sin α>4，sin α>.
∵α为锐角，∴<α<.
5．解析：∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.
又|PF1|＝4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.又由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
7．解：(1)∵椭圆焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过(2,0)和(1，)，
∴?
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
∵P到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－c－(－10)＝2，
∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
8．解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
课时跟踪训练(三) “且”与“或”
1.如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有( )
A．q为真 B．q为假
C．p∨q为真 D．p∨q不一定为真
2．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )21世纪教育网版权所有
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )21·cn·jy·com
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假 D．p∨q为真
4．下列命题：
①2>1或1<3；
②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；
③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．已知p：不等式ax＋b>0的解集为，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a6．已知命题p：“一次函数的图像是一条直线”，命题q：“函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p；②q；③p∨q；④p∧q中，真命题是________．21教育网
7．判断下列命题的真假：
(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；
(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．
8．已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
答 案
1．选D 由已知条件不能确定命题q的真假，故选D.
2．选C 使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．
3．选C p是假命题，q是假命题．因此C正确．
4．选C 前三个命题是“p∨q”形式，第四个是“p∧q”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．21cnjy.com
5．解析：∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假?a≤0，q假?a≥b，则b≤a≤0.
答案：b≤a≤0
6．解析：∵p为真命题，q为假命题，p或q为真，p且q为假，
∴①、③是真命题．
答案：①③
7．解：(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．
(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题．
8．解：当0故p真时0q真等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
又a>0，∴0.
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
(1)若p真，q假，
则?≤a<1.
即a∈.
(2)若p假，且q真，
则?a>.
即a∈.
综上可知，a的取值范围为∪.
课时跟踪训练(九) 双曲线的标准方程
1.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
2．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，则曲线方程为( )21教育网
A.－＝1
B.－＝1(y＞0)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x＞0)
3．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为( )
A．48 B．24
C．24 D．12
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
6．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
7．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．21cnjy.com
8．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.21世纪教育网版权所有
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
答 案
1．选C 将双曲线方程化为标准方程为：
x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，
∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，
故右焦点坐标为.
2．选D 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为－＝1(x＞0)．21·cn·jy·com
3．选A 由题意得解得即－14．选B 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得www.21-cn-jy.com
所以或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24.
5．解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.2·1·c·n·j·y
答案：16
6．解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴1∴t>4.
答案：②③④
7．解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为c＝，c2＝a2＋b2，
所以b2＝5－a2，a2＜5.
所以－＝1.
由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，
则P点坐标为(，4)，
代入双曲线方程得－＝1，
解得a2＝1(a2＝25舍去)．
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
8．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为
x2－＝1(x>1)．
课时跟踪训练(二十一) 导数的实际应用
1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单元：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )21·cn·jy·com
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
2．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
3．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B.
C. D．2
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )21cnjy.com
A．150 B．200
C．250 D．300
5．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．www.21-cn-jy.com
6．用长为18米的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽及高分别为________时，框架的体积最大．【来源：21·世纪·教育·网】
7．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N＋)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件的函数)；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．2·1·c·n·j·y
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
答 案
1．选D 毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130) (P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)，
当20≤P<30时，f′(P)>0，当P>30时，f′(P)<0.
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
2．选A 设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长为y米，则xy＝512，
所砌新墙的长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，
令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，
当016时，l′>0，
所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，
此时x＝＝32.
3．选C 设底面边长为x，则高为h＝，
∴表面积S＝x2×2＋x··3＝x2＋，
∴由S′＝x－4V·＝0得x＝，
∴S(x)在(，＋∞)上递增，在(0，)单调递减，
x＝时S(x)最小．
4．选D 由题意可得总利润
P(x)＝－＋300x－20 000,0≤x≤390，
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x<300时，P′(x)>0；当300所以当x＝300时，P(x)最大．
5．解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，
所以p2＝，p＝，x>0.
设总利润为y万元，
则y＝·x－1 200－x3
＝500－x3－1 200.
求导数得，y′＝－x2.
令y′＝0得x＝25.
故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.
因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．
答案：25
6．解析：设长方体的宽为x米，则长为2x米，
高为＝－3x(0则V＝x·2x·(－3x)＝9x2－6x3，
令V′＝18x－18x2＝0，解得x＝1，或x＝0(舍去)．
当00；当1所以x＝1时体积V取得极大值，也就是最大值，
此时长方体的长为2米，高为米．
答案：2米、1米和米
7．解：(1)因为y＝4 000×x－2 000x
＝3 600x－x3，
所以所求的函数关系式是
y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)．
(2)显然y′＝3 600－4x2.
令y′＝0，解得x＝30.
所以当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0.
所以函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)在
[1,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减．
所以当x＝30时，函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大值，
ymax＝－×303＋3 600×30＝72 000(元)．
所以该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．
8．解：(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，
即n＝－1，因此，
y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256(－1)＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)，
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64，当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，21教育网
此时，n＝－1＝－1＝9.
即需新建9个桥墩才能使y最小．
课时跟踪训练(二十) 利用导数研究函数的极值
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．(陕西高考)设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
3．(重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )【来源：21·世纪·教育·网】
4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A．－1 B．0
C．－ D.
5．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
6．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m、n，则m－n＝________.www-2-1-cnjy-com
7．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
8．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
答 案
1．选A 由图像看，在图像与x轴的交点处左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0的点才满足题意，这样的点只有一个x＝－1.21教育网
2．选D 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当03．选C 因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，且当x∈(a，－2)(a<－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)<0；当x∈(－2，b)(b>－2)时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.所以函数y＝xf′(x)在x∈(a，－2)(a<－2)内的函数值为正，在区间(－2，b)(0>b>－2)内的函数值为负，排除可得只有选项C符合．21·世纪*教育网
4．选C
解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化状态如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
?
－
?
0
所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.
5．解析：由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，
由f′(x)>0得x<0或x>2，
由f′(x)<0得0答案：2
6．解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x>1或x<－1时f′(x)>0，
当－1∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
7．解：(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．21世纪教育网版权所有
当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：21·cn·jy·com
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
f(－)
?
f()
?
因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
8．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，解得0从而f(x)在上单调递减；在上单调递增，所以当x＝时，f(x)取得最小值－.
(2)由题意得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋对于x∈[1，＋∞)恒成立，
令g(x)＝ln x＋，
则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)是[1，＋∞)上的增函数，
所以g(x)的最小值为g(1)＝1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]．
课时跟踪训练(二) 量 词
1.下列全称命题是真命题的是( )
A．所有的质数都是奇数
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的平行向量均相等
2．下列命题为存在性命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．有很多实数不小于3
3．有四个关于三角函数的命题：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；
p3：?x∈[0，π], ＝sinx；
p4：sinx＝cosy?x＋y＝.
其中的假命题是( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p2，p3
4．有下列四个命题：
①?x∈R,2x2－3x＋4>0；
②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③?x∈N，x2≤x；
④?x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．下列语句是真命题的是________(填序号)．
①所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立；
②存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立；
③存在一个实数x，使x2－3x＋6＝0.
7．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
8．确定m的范围，使下列命题为真命题．
(1)?x∈R，sin x＋cos x>m；
(2)?x∈R，sin x＋cos x>m.
答 案
1．选B 判断全称命题是假命题，只需举一个反例即可．A，C，D都是假命题．
2．选D A、B、C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．
3．选A sin2＋cos2＝1恒成立，p1错；
当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；
当x∈[0，π]时，sinx≥0，
∴ ＝＝sinx，p3对；
当x＝π，y＝时，sinx＝cosy成立，但x＋y≠，p4错．
4．选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．
5．解析：①②③为全称命题，④为存在性命题．
答案：①②③ ④
6．解析：∵x2－3x＋6中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，
∴x2－3x＋6＝0无解，x2－3x＋6>0恒成立．
∴①正确，②③错误．
答案：①
7．解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0，真命题；
(2)?a、b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题；
(3)?x、y∈Z,3x－2y＝10，真命题；
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数，真命题．
8．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m为真命题，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－，]．
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m为真命题，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
课时跟踪训练(五) 推出与充分条件、必要条件
1.(天津高考)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )21世纪教育网版权所有
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.21·cn·jy·com
6．设a，b，c为实数，“a>0，c<0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的________条件．www.21-cn-jy.com
7．已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．2·1·c·n·j·y
8．求使函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且仅有一个零点的充要条件．
答 案
1．选A 由不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以x>是2x2＋x－1>0的充分不必要条件．21教育网
2．选A 点(2，－1)在直线l：x＋y－1＝0上，而直线l上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．
3．选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲；
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙?乙，但乙?/ 丙．如图．
综上有丙?甲，但甲?/ 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
4．选A 由已知得綈p：－1≤x≤1，綈q：－2≤x≤1，所以綈p是綈q的充分不必要条件．
5．解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直
?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
答案：－
6．解析：当a>0，c<0时，f(x)是二次函数，且Δ＝b2－4ac>0，
故f(x)有两个零点；当f(x)有两个零点时，不一定有a>0，c<0.
答案：充分不必要
7．解：因为p：{x|－2≤x≤10}，
所以綈p：A＝{x|x＜－2或x＞10}，
同理可得綈q：B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m，m＞0}．
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以綈p 綈q且綈q?綈p，
所以B?A，用数轴表示如图所示，
则或
解得m≥9.所以m的取值范围是{m|m≥9}．
8．解：使函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且仅有一个零点，即使方程ax2＋(a－1)x－1＝0有且仅有一个解．21cnjy.com
①当a＝0时，x＝－1，显然只有一解；
②当a≠0时，由Δ＝(a－1)2＋4a＝(a＋1)2＝0，
可得a＝－1.
综上可知：当a＝0或a＝－1时，
函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且仅有一个零点．
所以函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且仅有一个零点的充要条件为a＝0或a＝－1.
课时跟踪训练(八) 椭圆的几何性质
1.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )21教育网
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
3．(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A．3 B．－3
C．－ D.
5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，且a－c＝，则椭圆的方程是________．21·cn·jy·com
6．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．21世纪教育网版权所有
7.如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．www.21-cn-jy.com
8.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.2·1·c·n·j·y
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2， ·＝，求椭圆的方程．
答 案
1．选A 由已知得a＝9,2c＝·2a，∴c＝a＝3.
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
2．选B 由题意有2a＋2c＝4b，即a＋c＝2b.
又c2＝a2－b2，
∴5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0.
解之得e＝或e＝－1(舍)．
3．选C 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，
所以3a＝4c，所以e＝.
4．选C 设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－.所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.
5．解析：如图所示，
由三角形AF1F2为正三角形，
可得2c＝a，又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.
答案：＋＝1
6．解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线方程x＋2y－2＝0中．
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.∴e＝＝.
答案：
7．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，21cnjy.com
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，
∴e＝.
法二：设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则M(c，b)在椭圆上，
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
8．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 ?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时跟踪训练(六) 命题的四种形式
1.若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．等价命题
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )21教育网
A．0 B．2
C．3 D．4
5．已知命题“若m－16．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
7．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．21世纪教育网版权所有
8．已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2，判断其逆否命题的真假．21·cn·jy·com
答 案
1．选B 根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．
2．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．www.21-cn-jy.com
3．选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．选B 原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题，逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题，否命题“若a≤b，则ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”为真命题，逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
5．解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
6．解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，
∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．
答案：①②④
7．解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0.真命题；
否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1.真命题；
逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0.真命题．
8．解：法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：2·1·c·n·j·y
抛物线：y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式：Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a≥2，∴4a－7>0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．21·世纪*教育网
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
∴a<，∴a<2，∴原命题为真命题．
因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．
课时跟踪训练(十一) 抛物线的标准方程
1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则拋物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )21世纪教育网版权所有
A. B．1
C. D.
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
5．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
6．右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽______ m.21教育网
7．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
8．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.21cnjy.com
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；www.21-cn-jy.com
(2)若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.1 m)?
答 案
1．选B 由准线方程为x＝－2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.21·cn·jy·com
2．选D 由椭圆方程可知a＝，b＝，
∴c＝＝2，
∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
3．选C 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.2·1·c·n·j·y
4．选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．【来源：21·世纪·教育·网】
5．解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
6．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m.21·世纪*教育网
答案：2
7．解：(1)双曲线方程化为－＝1，
左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|.
又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8．解：如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，代入方程解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆的高为h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.
课时跟踪训练(十七) 常数与幂函数的导数 导数公式表
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x； ②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－； ④′＝ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(－1)＝4，则α等于( )
A．3 B．－3
C．4 D．－4
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于( )21教育网
A. B.
C. D．1
5．已知函数f(x)＝xm－n(m，n∈Q)的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝________.
6．函数f(x)＝sin x(x∈[0,2π])，若f′(x0)＝，则x0＝________.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
8．求曲线y＝和y＝在它们的交点处的切线方程．
答 案
1．选B (cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
′＝′＝－x－＝－，
所以④正确．
2．选D ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝4.
∴α＝－4.
3．选D y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0·x0＝ex0，∴x0＝1，∴k＝e.
4．选C y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.21世纪教育网版权所有
5．解析：∵f(x)＝xm－n，∴f′(x)＝(m－n)xm－n－1，
∴解得m＝8，n＝4，∴m＋n＝12.
答案：12
6．解析：∵f(x)＝sin x，
∴f′(x)＝cos x，
cos x0＝，又x0∈[0,2π]，
∴x0＝或x0＝.
答案：或
7．解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
8．解：由解得∴交点坐标为(1,1)．
对于y＝＝x－2，y′＝－2x－3，∴k1＝y′|x＝1＝－2，
对于y＝＝x－1，y′＝－x－2，∴k2＝y′|x＝1＝－1.
∴曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋3.
曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋2.
课时跟踪训练(十三) 直线与圆锥曲线
1.直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )21教育网
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )21cnjy.com
A. B．4 C．3 D．5
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
6．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
7.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求抛物线x2＝4y上到直线y＝x－3距离最短的点及最短距离．
8．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦的长度．
答 案
1．选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，解得k＝2(k＝－1舍去)．
2．选B 因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，
又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
3．选A ∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，21世纪教育网版权所有
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.
4．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，
代入y＝k(x＋2)，得k＝.
5．解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
6．解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
7．解：(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
则抛物线x2＝4y上A到直线y＝x－3的距离最短，最短距离为＝.
8．解：由方程组消去y，整理得
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
解之，得－≤m≤.
故实数m的取值范围为
(2)设弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则弦长l＝|x1－x2|
＝
＝＝ .
当m＝0时，l取得最大值为.
课时跟踪训练(十九) 利用导数判断函数的单调性
1．函数f(x)＝－x3＋x在(1，＋∞)上为( )
A．减函数 B．增函数
C．常数函数 D．不能确定
2．y＝8x2－ln x在和上分别为( )
A．增函数，增函数 B．增函数，减函数
C．减函数，增函数 D．减函数，减函数
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
4．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，y＝f(x)的图像大致是下图中的( )21cnjy.com
5．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________________，单调递减区间是________．21·cn·jy·com
6．已知f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是________．www.21-cn-jy.com
7．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
8．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在， 求出a的值；若不存在，说明理由．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选A 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝－3x2＋1＜0.
2．选C y′＝16x－＝，
当x∈时，y′<0，y＝8x2－ln x在上为减函数；
当x∈时，y′>0，y＝8x2－ln x在上为增函数．
3．选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得04．选C 由y＝xf′(x)的图像，知当x>1时，f′(x)>0，这时f(x)是增函数．
同理，当05．解析：∵f(x)＝x(ex－1)－x2，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)
6．解析：f′(x)＝x2－ax＋a－1，令g(x)＝f′(x)，要满足函数f(x)在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)内单调递增，需有解之得5≤a≤7.
答案：[5,7]
7．解：(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3
得f′(x)＝3x2－6ax＋3b
＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数，
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数，
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
8．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
(2)f′(x)＝ex－a.
若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数?ex－a≤0在x∈(－∞，0]上恒成立?a≥(ex)max，
当x∈(－∞，0]时，ex∈(0,1]，
∴a≥1.①
若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数
?ex－a≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立?a≤(ex)min，
当x∈[0，＋∞)时，
ex∈[1，＋∞)，∴a≤1.②
由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．
课时跟踪训练(十二) 抛物线的几何性质
1.设抛物线的顶点在原点，其焦点为双曲线－y2＝1的右顶点，则当点(，y)在抛物线上时，y的值是( )2·1·c·n·j·y
A. B．－2
C．± D．±2
2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )21cnjy.com
A. B.
C. D．2
5．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝3，则M到直线x＝－1的距离为________．21世纪教育网版权所有
6．抛物线顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________________________________________________________________．
7．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线的标准方程及其准线、焦点坐标．
8．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
答 案
1．选D 由双曲线－y2＝1得抛物线的焦点为(，0)，则抛物线方程为y2＝4x，所以当x＝时，y＝±2.21·cn·jy·com
2．选C 圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
3．选C 由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且A为x轴上方的点，则易求A，www.21-cn-jy.com
∴＝p.∴p＝.
∴抛物线方程为y2＝x.
同理，当抛物线开口向左时，
抛物线方程为y2＝－x.
4．选C 由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.
5．解析：由题意知点B即为抛物线的焦点，直线x＝－1即为抛物线的准线，如图，
∵|AB|＝3，
∴|AA′|＝3，又|BB′|＝2，
MM′即为梯形BB′A′A的中位线，
∴|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝.
答案：
6．解析：∵过焦点且与y轴垂直的弦长为16，
∴抛物线的焦点在y轴上，且2p＝16.
当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，抛物线的方程为x2＝16y；
当抛物线的焦点在y轴的负半轴上时，抛物线的方程为x2＝－16y.
答案：x2＝－16y或x2＝16y
7．解：由已知设抛物线的标准方程是
x2＝－2p1y或y2＝－2p2x(p1>0，p2>0)，
把P(－2，－4)代入x2＝－2p1y和y2＝－2p2x得
p1＝，p2＝4，
故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x.
当抛物线方程是x2＝－y时，
焦点坐标是F(0，－)，准线方程是y＝.
当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F(－2,0)，准线方程是x＝2.
8．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3, 2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得
消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，21教育网
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
课时跟踪训练(十五) 瞬时速度与导数
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
2．设函数y＝f(x)在x＝1处存在导数，则li ＝( )
A．f′(1) B．－f′(1)
C．f(1) D．－f(1)
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
4．物体的运动方程为：s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝li ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度．
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的速度．
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度．
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的平均速度．
5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
6．已知函数y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2，则a的值为________．
7．以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，经过时间t高度为s(t)＝v0t－gt2.求物体在t0时刻的瞬时速度．21教育网
8．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
答 案
1．选C y＝x2在x＝1处的导数为
f′(1)＝＝2.
2．选A li ＝li ＝f′(1)．
3．选B v＝li ＝li
＝li ＝18.
4．选C 因为s′(t)＝li ＝9.8 (m/s)，
所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度．
5．解析：＝
＝7Δt＋14t0，
当li (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
答案：
6．解析：f′(1)＝li ＝li
＝li
＝li ＝li (2a＋a·Δx)＝2a＝2.
∴a＝1，即a的值为1.
答案：1
7．解：由已知得：
Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋近于0时，趋近于v0－gt0.
∴物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0.
8．解：∵f′(x0)＝li
＝li
＝li
＝li (－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0，
∴－8＋2x0＝4.∴x0＝3.
课时跟踪训练(十八) 导数的四则运算法则
1．已知函数f(x)＝sinx＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－cos 1 B．1＋cos 1
C．cos 1－1 D．－1－cos 1
2．函数f(x)＝ex＋xsin x－7x在x＝0处的导数等于( )
A．－6 B．6
C．－4 D．－5
3．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
4．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B.
C．－ D.
5．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
6．已知f(x)＝x2＋2f′(－)x，则f′(－)＝________.
7．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝.
8．已知曲线y＝x2－x在x＝x0点处的切线与曲线y＝ln x在x＝1点处的切线互相垂直．
(1)求x0的值；
(2)求两条切线的方程．
答 案
1．选B 因为f′(x)＝cos x＋，所以f′(1)＝cos 1＋1.
2．选A f′(x)＝(ex)′＋(xsin x)′－(7x)′
＝ex＋sin x＋xcos x－7，
∴f′(0)＝e0－7＝－6.
3．选A y′＝′＝
＝＝.
4．选B y′＝
＝，y′|x＝＝.
5．解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，
∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.
答案：y＝3x＋1
6．解析：f′(x)＝2x＋2f′，令x＝－，
则f′＝－＋2f′，∴f′＝.
答案：
7．解：(1)f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′
＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′
＝＋
＝
＝.
8．解：(1)∵曲线y＝ln x在x＝1点处的切线斜率为
y′|x＝1＝|x＝1＝1，
又∵曲线y＝x2－x在x＝x0点处的切线斜率为
y′|x＝x0＝2x0－1，∴2x0－1＝－1，得x0＝0.
(2)∵把x0＝0代入y＝x2－x得y＝0，
∴切点坐标为(0,0)．
又∵切线斜率为y′|x＝0＝－1，
∴曲线y＝x2－x在x＝0处的切线方程为y＝－x.
∵把x＝1代入y＝ln x得y＝0，∴切点坐标为(1,0)．
∴曲线y＝ln x在x＝1点处的切线方程为y＝x－1.
课时跟踪训练(十六) 导数的几何意义
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
2．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
3．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( )
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6或y＝9x－26
5．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
6．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.
7．在抛物线y＝x2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
8．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P、Q处的切线方程．
答 案
1．选B f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．21世纪教育网版权所有
2．选B f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)3．选A ∵＝＝Δx＋a，
∴f′(0)＝li ＝a，
由曲线在点(0，b)处的切线方程可知a＝1.
又(0，b)在切线上，∴0－b＋1＝0，∴b＝1.
4．选D ＝
＝
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.
所以f′(x0)＝li[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0]
＝3x－6x0，
于是3x－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，
所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.21cnjy.com
5．解析：因为f′(x0)＝li ＝a，
f′(1)＝2，所以a＝2.
答案：2
6．解析：由图可知，点P处切线的斜率为
k＝＝－，即f′(2)＝－.
切线方程为y＝－(x－4)，将x＝2代入得f(2)＝.
则f(2)＋f′(2)＝－＝.
答案：
7．解：设点P(x0，y0)，则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为f′(x0)＝li ＝2x0.21教育网
直线2x－6y＋5＝0的斜率为，
由题设知2x0·＝－1，解得x0＝－，此时y0＝，
所以点P的坐标为.
8．解：将P(2，－1)代入y＝ ，得t＝1，
∴y＝.
y′＝li ＝li
＝li
＝li ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0；
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
课时跟踪训练(十) 双曲线的几何性质
1.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝( )
A．－ B．－4
C．4 D.
2．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )21cnjy.com
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )21·cn·jy·com
A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2
C．x2－y2＝ D．x2－y2＝
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
7．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：MF1⊥MF2.
8．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选A 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，
∴ m<0，且双曲线方程为－＋y2＝1，∴m＝－.
2．选C 由双曲线的离心率e＝＝可知，＝，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，故选C.21教育网
3．选B 由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0)，则c＝a，一条渐近线为y＝x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.www.21-cn-jy.com
4．选A 已知c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是－＝1.
5．解析：由题意得m＞0，∴a＝，b＝，∴c＝，由e＝＝得＝5，解得m＝2.
答案：2
6．解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得：∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线，设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：∵M(3，m)在双曲线上，则m2＝3.
又F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴MF1⊥MF2.
8．解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，
渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝6，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
课时跟踪训练(十四) 函数的平均变化率
1．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．若函数f(x)＝x2－1，则当自变量x由1变为1.1时函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )21世纪教育网版权所有
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
4．已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s到(3＋Δt)s之间的平均速度是( )21教育网
A．5＋Δt(m/s) B．5＋(Δt)2(m/s)
C．5(Δt)2＋Δt(m/s) D．5(Δt)2(m/s)
5．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝______________.
6．设自变量x的增量为Δx，则函数y＝log2x的增量Δy为________．
7．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝20 s，Δt＝0.1 s时的Δs与.21cnjy.com
8．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．21·cn·jy·com
答 案
1．D
2．选A ＝＝＝2.1.
3．选D k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
∵Δx可正也可负，∴k1与k2的大小关系不确定．
4．选A 由定义有＝＝5＋Δt.
5．解析：∵Δy＝(2＋Δx)3－2－(23－2)
＝(2＋Δx)2(2＋Δx)－8
＝[4＋4·Δx＋(Δx)2](2＋Δx)－8
＝12·Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝12＋6·Δx＋(Δx)2.
答案：(Δx)2＋6Δx＋12
6．解析：Δy＝log2(x＋Δx)－log2x
＝log2＝log2.
答案：log2
7．解：Δs＝s(t＋Δt)－s(t)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝21.05.
＝＝210.5.
8．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
课时跟踪训练(四) “非”(否定)
1.(安徽高考)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
2．已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
3．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
4．已知条件命题p：>0，当綈p为真命题时，x的取值范围是( )
A．[0,1) B．[0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
5．命题?x∈R，x2－x＋4≠0的否定是________________________________________．
6．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为______________________．
7．用符号“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图像是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像．
(3)有些四边形存在外接圆．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
8．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
答 案
1．选C 利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
2．选C 命题p的否定为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
3．选D p∨q，綈q是真命题．
4．选B 当綈p为真命题时，p为假命题，当p真时，x<0或x>1.则p假时，0≤x≤1.
5．?x∈R，x2－x＋4＝0
6．解析：“a、b、c中至少有一个为零”的否定为“a、b、c全不为零”．
答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零
7．解：(1)綈p：?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图像不是抛物线．假命题．
(2)綈p：在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图像．真命题．
(3)綈p：?x∈{四边形}，x不存在外接圆．假命题．
(4)綈p：?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．假命题．
8．解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，
綈p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．
当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
(2)綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.
∵x2＋x＋1＝2＋＞0，∴綈q是真命题．
(3)綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．
由平面几何知识知綈r是一个假命题．
(4)綈s：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.
由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．
