对辅助圆的思考及探究教案（无答案）
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对辅助圆的思考及探究
在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题—辅助圆.
“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.
那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.
出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等.那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.
一 线段最值
线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.
Ⅰ．折叠中的线段最值
1．（2014年成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
2．（2016春?宜兴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为 ．
Ⅱ．圆轨迹中的线段最值
3．（2016年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以A（4，3）为圆心，1 为半径作圆．P点为圆上一动点，连结OP．点B 为OP 的中点，点C 坐标为（2，0），求BC 的取值范围．
4．（2017 年无锡外国语中学一模）如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O 为圆心，OA 长为半径作圆O．点M 在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C 三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是 ．
Ⅲ．直角三角形中的辅助圆
5．（ 2017 年江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P 是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 ．
6．（2016 年无锡天一中学二模）如图， E，F是正方形ABCD 的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G， 连接BE 交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆
7．（2017 年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形ABCD，AB=，若点P 满足PD=2，且∠BPD=90°，请求出AP的长．
8．（2017年威海中考）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB 长度的最小值．
9．（2016 年无锡惠山区二模）如图，已知A、B 是半径为2 的⊙O上的两动点，以AB为直角边在⊙O 内作等腰Rt△ABC，∠B＝90°，连接OC，则OC 的最小值为 ．
二 证明角度关系或求值
Ⅰ．角度的倍数关系
1．（2016年月考）如图，AB=AC=AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC 的（ ）倍
A．k B．2k C．3k D．不能确定
Ⅱ．角度求值问题
2．（ 2015 年无锡惠山区校级月考）已知在正方形ABCD 中，两顶点A、B 分别
在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动， 点C 点D 在第一象限， 点E
为正方形ABCD 的对称中心， 连结OE， 证明OE 平分角∠ AOB．
Ⅲ．角度最值问题
3．（ 2015 年南京市校级月考）如图，O 是半径为2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，
点P 是O 上任意一点，过点P 作PM⊥AB 于M， PN⊥CD 于N， 点Q 是MN 的中点，
当点P 沿着圆周从D 运动到点C 时， tan∠QCN 的最大值为 ．
三 最值存在问题
Ⅰ．线段范围
1．（2011 年河池中考）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90°， 则x的取值范围是 ．
2．（2015年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（4，0），点B在第一象限，若N为直线y=-x-2上一点，过B作直线l⊥x轴，在l上是否存在一点M，使得∠OMA=2∠ONA，且这样的点N 有且只有一个．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
Ⅱ． 路程长或面积问题
3．（2015 年无锡惠山区校级月考）如图，矩形OABC 的边OA、OC分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB上，且AE＝1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H，在点P 从点F（0，）运动到原点O 的过
程中，点H 的运动路径长为 ．
4．（2015年无锡外国语月考）如图，圆O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，BC⊥BP交直线PA于点C，则△ABC的最大面积为 ．
在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题—辅助圆.
“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.
那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.
出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等.那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.
一 线段最值
线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.
Ⅰ．折叠中的线段最值
1．（2014年成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
2．（2016春?宜兴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为 ．
Ⅱ．圆轨迹中的线段最值
3．（2016年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以A（4，3）为圆心，1 为半径作圆．P点为圆上一动点，连结OP．点B 为OP 的中点，点C 坐标为（2，0），求BC 的取值范围．
4．（2017 年无锡外国语中学一模）如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O 为圆心，OA 长为半径作圆O．点M 在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C 三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是 ．
Ⅲ．直角三角形中的辅助圆
5．（ 2017 年江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P 是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 ．
6．（2016 年无锡天一中学二模）如图， E，F是正方形ABCD 的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G， 连接BE 交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆
7．（2017 年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形ABCD，AB=，若点P 满足PD=2，且∠BPD=90°，请求出AP的长．
8．（2017年威海中考）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB 长度的最小值．
9．（2016 年无锡惠山区二模）如图，已知A、B 是半径为2 的⊙O上的两动点，以AB为直角边在⊙O 内作等腰Rt△ABC，∠B＝90°，连接OC，则OC 的最小值为 ．
二 证明角度关系或求值
Ⅰ．角度的倍数关系
1．（2016年月考）如图，AB=AC=AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC 的（ ）倍
A．k B．2k C．3k D．不能确定
Ⅱ．角度求值问题
2．（ 2015 年无锡惠山区校级月考）已知在正方形ABCD 中，两顶点A、B 分别
在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动， 点C 点D 在第一象限， 点E
为正方形ABCD 的对称中心， 连结OE， 证明OE 平分角∠ AOB．
Ⅲ．角度最值问题
3．（ 2015 年南京市校级月考）如图，O 是半径为2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，
点P 是O 上任意一点，过点P 作PM⊥AB 于M， PN⊥CD 于N， 点Q 是MN 的中点，
当点P 沿着圆周从D 运动到点C 时， tan∠QCN 的最大值为 ．
三 最值存在问题
Ⅰ．线段范围
1．（2011 年河池中考）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90°， 则x的取值范围是 ．
2．（2015年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（4，0），点B在第一象限，若N为直线y=-x-2上一点，过B作直线l⊥x轴，在l上是否存在一点M，使得∠OMA=2∠ONA，且这样的点N 有且只有一个．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
Ⅱ． 路程长或面积问题
3．（2015 年无锡惠山区校级月考）如图，矩形OABC 的边OA、OC分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB上，且AE＝1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H，在点P 从点F（0，）运动到原点O 的过
程中，点H 的运动路径长为 ．
4．（2015年无锡外国语月考）如图，圆O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，BC⊥BP交直线PA于点C，则△ABC的最大面积为 ．
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