第1讲 分式（1）
班级 姓名
一、讲一讲
【例1】先化简，再求值： ，其中是不等式组的
整数解．
【例2】若，试求M与N的表达式．
【例3】已知实数，，满足,且,试求代数式
的值．
二、练一练
1．化简：．
2．先化简，再求值：，其中a＝－．
3．化简，并求值，其中与2、3构成△ABC的三边，且为整数．
4．已知方程的解为=2，先化简，再求它的值．
第2讲 分式（2）
班级 姓名
一、讲一讲
【例1】某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．21世纪教育网版权所有
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
二、练一练
1．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同
整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因式作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
2．近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人刊划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险会0.2万元求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元?
3．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
第3讲 整式乘除与因式分解
班级 姓名
一、练一练
1．下列多项式：①；②；③；④，其中能直接用
公式法因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若，，则的值是 ．
3．若与互为相反数，则分解因式为 ．
4．化简：
5．因式分解：（1）9m2n-6mn2 （2）4x2-16y2
二、讲一讲
【例1】因式分解：（1） （2）
【例2】已知a+b=4，ab=3，求 下列各式的值：（1）；（2）
【例3】如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形
的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示
图②中阴影部分的面积，
方法① ．方法② ．
（3）观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
三、试一试
1．计算：① ②
2．分解因式：（1） （2）
3．先化简，再求值：，其中，．
第4讲 全等三角形与轴对称
班级 姓名
【例1】如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B= °，∠C= °；
（2）如图2，若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC
于点N、E，
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【例2】如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一动点（不与B、C重合），以AP为边作
等边△APE，连接CE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）是否存在点P，使得AE⊥CE？若存在，指出点P的位置
并证明你的结论；若不存，请说明理由．
【例3】探究题：如图：
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B
点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点
运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射
线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不
变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交
BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？
写出证明过程．
第1讲 分式（1）
班级 姓名
一、讲一讲
【例1】先化简，再求值： ，其中是不等式组的
整数解．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，求出x的值代入进行计算即可．
原式===
解不等式组得：-4＜x＜-1
∵ x是不等式组的整数解，
∴ x=－3，－2．
∵ x≠－2
∴ x=-3，
∴ 原式=．
考点：1．分式的化简求值；2．一元一次不等式组的整数解．
【例2】若，试求M与N的表达式．
【解析】根据分式的性质可知，
===，
由此可得方程组，求得M=－2，N=－1．
考点：分式的通分，二元一次方程组
【例3】已知实数，，满足,且,试求代数式
的值．
【解析】∵；∴，于是
又
二、练一练
1．化简：．
解：原式=
2．先化简，再求值：，其中a＝－．
【解析】根据分式的混合运算法则先化简后再求值．
考点：分式的混合运算．
3．化简，并求值，其中与2、3构成△ABC的三边，且为整数．
【解析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算即可求出值．21世纪教育网版权所有
原式==
===，
∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，∴1＜a＜5，即a=2，3，4，当a=2或a=3时，原式没有意义，则a=4时，原式=1．21教育网
考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．
4．已知方程的解为=2，先化简，再求它的值．
【解析】根据x=2是方程的解，代入原方程可求得a，然后根据异分母的分式的通分，除法变乘法，约分来化简，再把a的值代入求解.21cnjy.com
解：把x=2代入中解得：a=3，
原式＝=
当a=3时，原式=4.
考点：方程的解，分式的化简求值
第2讲 分式（2）
班级 姓名
一、讲一讲
【例1】某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．21·cn·jy·com
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【解析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队
单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×15+=1．解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），
则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
考点：分式方程的应用
二、练一练
1．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同
整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因式作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
解：⑴ 设乙单独整理分钟完工，根据题意得：
解得：.经检验是原方程的解.
答：乙单独整理80分钟完工.
⑵ 设甲整理分钟完工，根据题意得：
1，解得： 25
答：甲至少整理25分钟完工.
2．近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人刊划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险会0.2万元求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元?
3．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．www.21-cn-jy.com
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
(1)解：设原计划每天生产零件x个，由题意得， 解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.∴规定的天数为24000÷2400=10（天）.
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.
考点：分式方程的应用.
第3讲 整式乘除与因式分解
班级 姓名
一、练一练
1．下列多项式：①；②；③；④，其中能直接用
公式法因式分解的有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若，，则的值是 54 ．
3．若与互为相反数，则分解因式为．
4．化简：
【参考答案】：3a+3
5．因式分解：（1）9m2n-6mn2 （2）4x2-16y2
【参考答案】（1）3mn（3m－2n）；（2）（2x+4y）（2x－4y）
二、讲一讲
【例1】因式分解：（1） （2）
【参考答案】（1） ；（2）．
【例2】已知a+b=4，ab=3，求 下列各式的值：（1）；（2）
【参考答案】（1）10 （2）4
【例3】如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形
的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示
图②中阴影部分的面积，
方法① ．方法② ．
（3）观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
【解析】根据几何图形的面积求法得出代数式之间的关系
（1） （2），；（3）=；
（4）．
考点：代数式的几何意义
三、试一试
1．计算：① ②
【参考答案】（1）①；②；
2．分解因式：（1） （2）
【参考答案】（1）；（2）2a
3．先化简，再求值：，其中，．
【参考答案】：
（1）原式=÷9y
=（－18xy+9）÷9y=－2x＋y
当x=3，y=－2时，
原式=－2×3＋（－2）=－8
第4讲 全等三角形与轴对称
班级 姓名
【例1】如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B= °，∠C= °；
（2）如图2，若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC
于点N、E，
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
解：（1）∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵DA=DB，
∴∠BAD=∠B，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，
∴2∠B+2∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=36°，
在△ACD中，∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠AEN=∠ANE=54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD=BN+CE．
证明：由①知AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，
∴BN+CE=BC﹣BD=CD，
即CD=BN+CE．
考点：等腰三角形的性质及判定．
【例2】如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一动点（不与B、C重合），以AP为边作
等边△APE，连接CE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）是否存在点P，使得AE⊥CE？若存在，指出点P的位置
并证明你的结论；若不存，请说明理由．
证明：（1）∵△ABC、△APE是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，
∴∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）存在点P使得AE⊥CE．此时P为BC的中点；理由如下：
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
由（1）得：△ABP≌△ACE，
∴∠APB=∠AEC=90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴P为BC的中点．
∴存在点P，使得AE⊥CE．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【例3】探究题：如图：
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B
点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点
运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射
线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不
变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交
BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？
写出证明过程．
解：（1）成立．理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根据题意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；
（2）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，
∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
