一 双曲线的参数方程
今天我们研究双曲线的参数方程.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，反之，也可以将双曲线的参数方程消参改写成普通方程，双曲线的参数方程形式不是唯一的.
通过例题来看.
∴上式减下式得：.
∴普通方程为.
总结：
1.中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
以上的，且.
2.θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
3.双曲线上任意点的坐标可设为.
4.注意：.
例2：双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
下式减上式：.
选C.
例3：方程（t为参数）的图形是
A.线段 B.圆 C.双曲线的一部分 D.圆的一部分
总结：
1.利用三角恒等式,写出双曲线的参数方程.
2.注意中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有两种情形.
练习题：
1.双曲线的渐近线方程为 .
2.求双曲线的两个焦点坐标.
3.下列参数方程中，表示焦点在轴，实轴长为2的等轴双曲线的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线相同的是（ ）
A. B. C. D.
练习题解析：
1.双曲线的渐近线方程为 .
上式减下式： .
∴渐近线方程为.
2.求双曲线的两个焦点坐标.
解：把两个等式两端同时平方：，
整理得：，
上式减下式： .，
∴两个焦点坐标为.
3.下列参数方程中，表示焦点在轴，实轴长为2的等轴双曲线的是（ ）
A. B.
C. D.
.选C.
4.下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线相同的是（ ） A. B.
C. D.
上式减下式： .，
∴离心率，渐近线方程为.
∴根据判断选项中方程的离心率和渐近线方程，答案应选A.
三 利用双曲线的参数方程证明定值问题
在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.
今天我们研究利用双曲线的参数方程来证明双曲线中相关的定值问题.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，利用坐标在双曲线上，通过参数简明地表示曲线上任一点坐标，将相关的几何量（斜率、距离）转化为三角形式，证明几何量与参数无关.
先看例题.
例1：已知等轴双曲线上任意一点P，求证点P到两渐近线的距离之
积为常数.
解：设，
渐近线：，
则P到的距离为：，
点P到两渐近线的距离之积为常数.
注意：
中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：
1.焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
2.焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
以上的，且.
例2：过原点作直线交双曲线于M，N两点，设P为双曲线上任一
点，若直线PM，PN的斜率存在，证明直线PM，PN的斜率之积为定值（e为双曲
线的离心率）.
证明：设，，
由椭圆的对称性知，，
，
.
注意：上式分母中.
总结：
1.利用双曲线的参数方程，写出双曲线上点的坐标.
2.将相关的几何量（斜率、距离）转化为三角形式，通过三角公式化简，证明几何量与参
数θ无关，从而得出定值.
练习题：
1.已知双曲线C：?，P是C上的任意点.
(Ⅰ)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(Ⅱ)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值.
2.双曲线C： ， M，N两点是双曲线实轴的两个端点，P是双曲线C上异于
M，N的一点，求证为定值.
练习题解析：
1.已知双曲线C：?，P是C上的任意点.
(Ⅰ)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(Ⅱ)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值.
2.双曲线C： ， M，N两点是双曲线实轴的两个端点，P是双曲线C上异于M，N的一点，求证为定值.
二 利用双曲线的参数方程求最值
今天我们研究利用双曲线的参数方程求最值.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，于是双曲线上的点的坐标写成参数形式，把所求问题转化为三角函数问题.
通过例题来看.
例1：已知在双曲线上，求到点的距离的最小值.
有最小值为.
注意：
1.中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
以上的，且.
2.θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
3.双曲线上任意点的坐标可设为.
4.注意：.
例2：已知圆O：上一点P与双曲线上一点Q，求P，Q两点
距离的最小值.
解：设双曲线上点的坐标为，
先求圆心到双曲线上点的最小距离：
，
∴当，即时，，
.
总结：
1.如果双曲线方程是标准方程，利用三角恒等式，写出双曲线的参数方
程.
2.注意中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有两种情况：
双曲线上任意点的坐标可设为，
双曲线上任意点的坐标可设为.
3.将所求最值问题转化为求三角函数的值域，从而得出最值.
练习题：
1.求点到双曲线最小距离.
2.已知点，B为双曲线上的动点，求的最小值.
3. 已知双曲线C：?，P是C上的任意点.
(Ⅰ)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(Ⅱ)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值.
练习题解析：
1.求点到双曲线最小距离.
令，整理得，
所以，所以，
解得，所以.
所以点到双曲线最小距离是.
2.已知点，B为双曲线上的动点，求的最小值.
解：设双曲线上点的坐标为，
，
∴当，即时，
.
3. 已知双曲线C：?，P是C上的任意点.
(Ⅰ)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(Ⅱ)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值.
四 利用双曲线的参数方程求轨迹
今天我们研究利用双曲线的参数方程求轨迹问题.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，通过参数简明地表示曲线上任一点坐标，利用动点与双曲线上已知点的关系，建立坐标等式，消去参数化简得到动点的轨迹方程.
通过例题来看.
例1：点P为双曲线上异于实轴端点的任意一点，是双曲线的两个焦点，
求重心的轨迹方程.
消参得 .
附加材料：
1.中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
焦点在轴上的双曲线：（θ为参数）.
以上的，且.
2.θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
3.双曲线上任意点的坐标可设为.
4.注意：.
例2：已知定点A（0，4）和双曲线上的动点B，点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程.
消去参数得.
总结：
1.利用双曲线的参数方程，写出双曲线上点的坐标，同时要注意参数的范围.
2.根据题意，利用动点与双曲线上已知点的关系，建立坐标等式，消去参数得到动点的轨
迹方程.
练习题：
1.已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线
上不同的两个动点.
(Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(Ⅱ)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
2.定点与双曲线上的动点M相连线段的中点的轨迹方程为？
练习题解析：
1.已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线
上不同的两个动点.
(Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(Ⅱ)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
2.定点与双曲线上的动点M相连线段的中点的轨迹方程为？
消去参数得.
