课件70张PPT。第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用自主预习学案
1．回归分析
(1)概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一种常用方法．
(2)步骤：画____________→求____________→用回归方程进行________．散点图 回归方程 预报 样本中心点 (2)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为____________，自变量x称为_______变量，因变量y称为_______变量．
3．刻画回归效果的方式随机误差 解释 预报 残差 样本编号 身高数据 体重估计值 越窄 越小 解释 预报 C
[解析] 函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．故选C．C A
[解析] 相关指数R2的取值范围为[0,1]，其中R2＝1，即残差平方和为0，此时预测值与观测值相等，y与x是函数关系，也就是说在相关关系中R2越接近于1，说明随机误差的效应越小，y与x相关程度越大，模型的拟合效果越好．R2＝0，说明模型中x与y无关，故选A．C 互动探究学案命题方向1 ?概念的理解和判断其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[思路分析] 由题目可获取以下信息：①线性回归分析；②散点图；③相关性检验等的相关概念及意义．
解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后再逐一作出判断，最后得出结论．C『规律方法』 解答概念辨析题，应紧扣线性回归分析中每个概念的定义进行，要准确把握概念的内涵．A 命题方向2 ?线性回归模型[解析] (1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
A A．3 B．3.15
C．3.5 D．4.5命题方向3 ?线性回归分析[解析] (1)散点图如下图所示：
(3)由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力呈线性关系．由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型．『规律方法』 1.线性回归分析的过程：
(1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点；
(2)由样本点形成散点图，判定是否具有线性相关关系；
(3)由最小二乘法求线性回归方程；
(4)进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正；
(5)依据回归方程作出预报．
2．用散点图可粗略判断两个变量间有无线性相关关系，用相关指数R2可以描述两个变量之间的密切程度．把零件数x作为解释变量，加工时间y作为预报变量．
(1)计算总偏差平方和、残差平方和及相关指数；
(2)作出残差图；
(3)进行残差分析．[解析] (1)由x、y的数据得散点图如图．(2)作出残差图如图，横坐标为零件数的数据，纵坐标为残差．
(3)由题中数据可得样本相关系数r的值为0.999 8，再结合散点图可以说明x与y有很强的线性相关关系．由R2的值可以看出回归效果很好，也说明用线性回归模型拟合数据效果很好．
由残差图也可以观察到，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集在这两个样本点的过程中是否有人为的错误．准确理解概念和参数的含义
[辨析] 明确R2的大小与拟合效果的关系
用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，并不是R2越小模型的拟合效果越好．哪位同学的试验结果体现A，B两变量关系的模型拟合精度高？( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁D可线性化的回归分析 当回归方程不是形如y＝bx＋a(a
(1)作散点图确定曲线模型
因为曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，估计使用哪个函数拟合．(3)分析模型的拟合效果
对于同一问题可以有几种不同的拟合模型，对于给定的样本点(x1，y1)，(x1，y2)，…，(xn，yn)，可以通过以下几种方式确定选用哪种模型更合适．
①可以根据转换后的对应数据作散点图来确定线性回归的拟合情况，判断使用哪一种曲线模型较为合适．
②可以通过原始数据及y和x之间的非线性回归方程列出残差对比分析表，一般通过残差平方和比较两种模型的拟合效果，其中残差平方和较小的拟合效果较好．
③还可以用R2来比较模型的拟合效果，R2越大(越接近1)，拟合效果越好．[解析] 根据收集的数据作散点图如图．
根据样本点的分布情况，可选用指数型函数模型y＝c1ec2x(c1，c2为待定的参数)，
令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的附近，由y与x的数据表得z与x的数据表如下：
作出z与x的散点图如图『规律方法』 解决非线性回归问题的具体做法是：(1)若问题中已给出经验公式，可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题转化为线性回归分析问题解决．(2)若问题中没有给出经验公式，需要画出已知数据的散点图，通过与各种函数(指数函数、对数函数、幂函数等)的图象作比较，选择与这些散点拟合最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题转化为线性回归问题解决．B C 6.5 [解析] 散点图如图所示：课 时 作 业 学 案课件50张PPT。第一章统计案例1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用自主预习学案
1．分类变量和列联表
(1)分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的____________，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：
①定义：列出的两个分类变量的____________称为列联表．不同类别 频数表 ②2×2列联表．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2.等高条形图
(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否____________，常用等高条形图表示列联表数据的____________．
(2)观察等高条形图发现____________和____________相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．相互影响 频率特征 3．独立性检验a＋b＋c＋d 临界值K0 观测值k k≥K0 犯错误的概率 没有发现足够证据 B C ③ [解析] 根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：得出等高条形图如图所示：
比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于不经常上网不及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．互动探究学案命题方向1 ?等高条形图的应用[解析] 作等高条形图如下，图中阴影部分表示有酒精负责任与无酒精负责任的比例，从图中可以看出，两者差距较大，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对事故负有责任”有关系．
[解析] 作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．命题方向2 ?独立性检验的应用
准确掌握公式中的参数含义 班级与成绩列联表
试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？独立性检验的基本思想 1．独立性检验的基本思想
独立性检验的基本思想是要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过P(k≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，计算出k>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关这一结论成立的可信度为99%，不合理的程度可查下表得出：2.反证法与假设检验的对照表3.独立性检验与反证法的异同
独立性检验的思想来自于统计中的假设检验思想，它与反证法类似．假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生，而假设检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下，推出有利于结论成立的小概率事件发生．我们知道小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，若在实际中这个事件发生了，说明保证这个事件为小概率事件的条件有问题，即结论在很大的程度上应该成立．其基本步骤如下：
(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量．
(2)根据样本数据作出2×2列联表．
(3)通过等高条形图直观地判断两个分类变量是否相关．
(4)计算随机变量K2，并查表分析，当K2的观测值很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关．(1)设A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
[思路分析] (1)根据频率估计概率．
(2)根据独立性检验的步骤求解．
(3)观察频率分布直方图得出平均值(或中位数)的取值区间，再进行比较．
[解析] (1)解：旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)解：根据箱产量的频率分布直方图得列联表
(3)解：箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．1．对服用某种维生素对婴儿头发稀疏与稠密的影响调查如下：服用的60人中头发稀疏的有5人，不服用的60人中头发稀疏的有46人，作出如下列联表：B D D 0.05 课 时 作 业 学 案课件54张PPT。第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理自主预习学案人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．1．归纳推理
由某类事物的____________具有某些特征，推出该类事物的____________都具有这些特征的推理，或者由____________概括出____________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由________到________、由_______到_______的推理．
2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为___________．部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理 3．类比推理
由两类对象具有_______________和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有____________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______________的推理．
4．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据____________，经过_________________________，再进行________、_________，然后提出________的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．某些类似特征 某些已知特征 这些特征 特殊到特殊 已有的事实 观察、分析、比较、联想 归纳 类比 猜想
5．归纳推理是由部分到______，由具体到______，由特殊到______，从个别事实中概括出____________的思维模式．
类比推理是在____________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在____________之处的一种推理模式．
类比推理是由______到______的推理．整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似 特殊 特殊 [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B A．↓→ B．→↓
C．↑→ D．→↑
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2014÷4＝503余2，故从2014到2016与从2到4的方向一致，故选D．D C
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋2＋41＝151.由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．
当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．互动探究学案命题方向1 ?数与式的归纳分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
[思路分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．『规律方法』 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论
2．归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，……
Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.
3．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．命题方向2 ?数列中的归纳推理21 [思路分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4,9－5＝4，
13－9＝4,17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.『规律方法』 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．命题方向3 ?归纳推理在图形中的应用10 『规律方法』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有______根；第n个图形中，火柴棒有_________根．
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．163n＋1 命题方向4 ?将命题的条件、结论类比推广[思路分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．『规律方法』 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．新定义、新运算中的类比问题 1．围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势．其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质．在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力．
2.解答此类问题时，首先要借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理．
3．类比推理的一般形式：
对象A：具有属性a1，a2，…，an，m.
对象B：具有属性a′1，a′2，…，a′n，m′.
(a1与a′1，a2与a′2，…an与a′n相同或相似)
对象B具有属性m′(m′与m相同或相似)．(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等 『规律方法』 由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．B B C 4n＋4 课 时 作 业 学 案课件46张PPT。第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理自主预习学案从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一幅漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．1．演绎推理
从______________出发，推出__________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由____________的推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的____________；
(2)小前提——所研究的____________；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_______．一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 一般原理 特殊情况 判断 其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：_______.
利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么___________________________.
3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么______必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论________正确．S是P S中所有元素也都具有性质P 结论 不一定 C C [解析] 三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．A m[解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提
零向量是向量，小前提
所以零向量也有大小和方向．结论
(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提
正方形是矩形，小前提
正方形的对角线相等．结论『规律方法』 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；
(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．命题方向2 ?三段论在证明几何问题中的应用∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．结论『规律方法』 应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．[解析] 上述推理过程应用了三次三段论．第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：
因为同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论命题方向3 ?演绎推理在代数问题中的应用『规律方法』 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．[思路分析] 第一步，审题．
审条件，挖掘解题信息．
①定义域[0,1]，在研究函数过程中不能超出这个范围；
②“友谊函数”新定义包含三个条件，尤其条件③需严格证明后才能确定．
审结论，明确解题目标．
第(1)问已知f(x)为友谊函数，求f(0)可用赋值法求解；
第(2)问给出f(x)解析式和定义区间，判断f(x)是否为友谊函数，需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件．第(3)问要证f(x1)≤f(x2)，需依据条件③进行变换，注意条件①在变形中的应用．
第二步，建联系，确定解题步骤．
先用赋值法求第(1)问，再依次验证(2)中函数满足友谊函数的三个条件，最后，利用恒等变换技巧借助条件①③推证第(3)问．
第三步，规范解答．
[解析] (1)取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，
又由f(0)≥0，得f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足①g(x)≥0；
②g(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，
则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝(2x1－1)(2x2－1)≥0.
故g(x)＝2x－1满足条件①②③，
所以g(x)＝2x－1为“友谊函数”．
(3)因为0≤x1所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．不要张冠李戴 [错解] 在△ABC中，因为AC>BC，CD⊥AB，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD．
[辨析] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
[正解] 因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，
所以∠A＋ACD＝∠B＋∠BCD＝90°，
在△ABC中，AC＞BC，∴∠B＞∠A，
∴∠ACD＞∠BCD．演绎推理的综合应用 演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．[解析] (1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)解：设任意的x1，x2∈R且x1f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，
所以f(x)为R上的减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.『规律方法』 函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解；(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．C A 课 时 作 业 学 案课件37张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法自主预习学案
1．综合法
(1)定义：利用____________和某些数学______、______、______等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)特点：从“已知”看“______”，逐步推向“______”，其逐步推理，是由______导______，实际上是寻找“已知”的______条件．已知条件 定义 定理 公理 推理论证 可知 未知 因果必要
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“_________”和有效的____________是有效利用综合法证明数学问题的关键．切入点 推理途径 2．分析法
(1)定义：从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法
(2)特点：分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“______”，执果索因，逐步靠拢“______”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的______条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．结论 充分 需知 已知 充分 B D 9 互动探究学案命题方向1 ?综合法的应用『规律方法』 1.综合法证明数学命题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
命题方向2 ?分析法的应用『规律方法』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．命题方向3 ?综合法和分析法的综合应用『规律方法』 在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．准确把握条件 [辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．D C C < 课 时 作 业 学 案课件40张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法自主预习学案夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间大约是下午4时左右．警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方作出不在现场证明时，他说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩，直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道嫌犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设______，从而证明了原命题______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．矛盾 错误 成立
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．
3．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与_________________、事实矛盾等．已知条件 假设 定义、公理、定理 4．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的；
(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
(3)关于唯一性、存在性的命题；
(4)_______以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_______的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论 结论 C C D 假设a≠1或b≠1 互动探究学案命题方向1 ?用反证法证明否(肯)定性命题 『规律方法』 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“?q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．『规律方法』 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．命题方向2 ?用反证法证明“至多”、“至少”类命题『规律方法』 1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
命题方向3 ?用反证法证明存在性、唯一性命题『规律方法』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．[解析] ∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.
又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.
即过a、b、m有一个平面α
假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.
则a?α，b?α，a?β，b?β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．准确写出反设 [辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”
[正解] 假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，
同理可证b>0，c>0.[解析] 假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．
则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)＝4(p2－4)≥0，
解得p≤－2或p≥2，
若p≤－2，则p＋2≤0,2p＋1<0，
(p＋2)(2p＋1)≥0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
若p≥2，则p＋2>0,2p＋1>0，
(p＋2)(2p＋1)>0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
所以假设不成立．
故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．分析综合法 分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证明过程中综合法与分析法并用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的落点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．『规律方法』 (1)利用真数与底数相同，向同底转化．(2)本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证明(*)式成立，进而说明原命题成立．前面为分析法，而中间的证明(*)式成立为综合法，即分析法用来转化，综合法用来证明．D D B a，b不全为0 课 时 作 业 学 案课件38张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念自主预习学案你知道吗？复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用．
1．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝_______.
全体复数构成的集合叫做_________．
2．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的______与_______．
3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?____________.－1 复数集 实部 虚部 a＝c且b＝d 4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是____________，a＝0是z为纯虚数的____________条件．
5．复数的分类
(2)集合表示：a＝0且b＝0 必要不充分 A C A 5 互动探究学案命题方向1 ?复数的概念0 ①若x、y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a、b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数．[思路分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；②是复数比较大小，必须全是实数才可比较；③是在实数条件下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断．
[解析] ①由于x、y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．『规律方法』 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．学习本章必须准确理解复数的概念．(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．C 命题方向2 ?复数的分类『规律方法』 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的．
2．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．命题方向3 ?复数相等『规律方法』 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解．准确掌握概念 [错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D．
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．
[正解] A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A．C A B2课 时 作 业 学 案课件39张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义自主预习学案大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的点．以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了。1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做______，y轴叫做______，实轴上的点都表示实数，除了______外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的______和______唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是____________关系．实轴 虚轴 原点 实部 虚部 一一对应 (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是____________，不是(a，bi)．
(3)复数与复平面内_______________的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点
__________或向量____________表示．(a，b) 以原点为始点 Z(a，b) 4．复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的______．
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的______．距离 距离B C D D 互动探究学案命题方向1 ?复数的几何意义(3)若复数z对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y＝x上，即m2－3m＋2＝m2＋2m－8，
∴m＝2，此时z＝0.『规律方法』 1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．
2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．C [分析] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．命题方向2 ?复数模的计算『规律方法』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．D 命题方向3 ?综合应用『规律方法』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．1 准确掌握复数模的几何意义 [错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.
[正解] A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．复数与其他知识的综合问题 复数与集合、常用逻辑用语、方程、函数等知识交汇可命制综合问题．『规律方法』 利用复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题来解决．在解题过程中要注意的是：一般由一个复数等式可转化为一个实数方程组，所求出的解要同时满足每一个方程．C C C C C 课 时 作 业 学 案课件40张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义自主预习学案加法是一种累积，使人从小到大，从弱到强，从单纯走向复杂；减法是一种删节，在经过一定的积累以后，删去多余的枝枝叶叶，以化解心灵的重负；乘法是一种跨越，是实现人生跨越的秘诀；除法是一种卸载，一切不道德的尘埃，必须依靠理性来及时卸载，以剔除心灵的稗种．这就是人生的四则运算。
复数作为数系大家庭的一员，它的四则运算又是怎样的呢？复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1 z2＋z3 A C C A 互动探究学案命题方向1 ?复数代数形式的加减运算『规律方法』 复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．命题方向2 ?复数加、减法运算的几何意义『规律方法』 1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决．
2．若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理．
例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．命题方向3 ?复数加减法的综合问题『规律方法』 1.设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x、y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．考虑问题要全面 [辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有?ABCD一种情况，应该还有?ABDC和?ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.－4 复数的模的取值范围问题 [思路分析] 第一步，审题．
一审条件，挖掘题目信息，由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2.二审结论，明确解题方向，求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
第二步，建立联系，确定解题步骤．
由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求x的取值范围，再将|z1＋z2|表达为x的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z1＋z2|的取值范围．
第三步，规范解答．A A D 5－2i 课 时 作 业 学 案课件45张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算自主预习学案
1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1z2＋z1z3 3.共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a、b、c、d∈R，则
(1)z1、z2互为共轭复数的充要条件是________________.
(2)z1、z2互为共轭虚数的充要条件是___________________.
4．复数代数形式的除法法则a＝c且b＝－d a＝c且b＝－d≠0 C B C －4 互动探究学案命题方向1 ?复数的乘法与乘方[解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i
＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i
＝(4－i2)(1＋2i)－5i
＝5(1＋2i)－5i
＝5＋10i－5i＝5＋5i.
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4
＝[(1－i)(1＋i)]2＋4
＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.『规律方法』 1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最后将i2＝－1代入合并“同类项”即可．
2．复数的乘法运算可以推广，因此，复数可进行乘方运算，常见的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即实数的乘方公式对复数也成立．5 命题方向2 ?复数的除法『规律方法』 除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简．CB命题方向3 ?共轭复数C 『规律方法』 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．D 第二步，建立联系确定解题步骤．
考虑到运算简便及待求表达式的特点可先将表达式变形，将条件整体代入初步化简，再设z＝a＋bi(a、b∈R)求出a、b，再代入化简．
第三步，规范解答．『规律方法』 1.差异分析的意识
在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决．
2．化繁为简的意识
对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而定，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求值的代数式先化简，然后再把复数z代入求解，而不是直接代入求解．计算要细致准确 复数的有关性质 1．in(n∈N*)的性质
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，
从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N*，那么有
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.BBAA课 时 作 业 学 案课件43张PPT。第四章框 图4.1 流程图自主预习学案我们经常到图书馆去借阅书籍，你知道到图书馆借书的流程吗？
1．流程图的含义及特点
由一些____________和____________构成的图示称为流程图，流程图常常用来表示一些________过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．
2．工序流程图
用于描述____________的流程，这样的流程图通常称为工序流程图．图形符号 文字说明 动态 工业生产 3．统筹原理
工序流程图又称统筹图，它用于描述工作的流程．统筹方法的基本原理是：从需要管理的任务的总进度着手，以任务中各工作或各工序所需要的工时为时间因素，按照工作或工序的____________和____________作出工序流程图，以反映任务全貌，实现管理过程模型化，然后进行分析改进安排，得到最优方案并付诸实施．先后顺序 相互关系 C C C 1 互动探究学案命题方向1 ?程序框图的画法[解析] 算法步骤如下：
第一步，把计数变量n的初始值设为1.
第二步，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行下一步．
第三步，使计数变量n的值增加1.
第四步，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回第二步，若n>50，则结束．程序框图如图．『规律方法』 程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形，能清楚地展现算法的逻辑结构，具有直观、形象的特点．程序框图如下：命题方向2 ?工序流程图方案三：洗好水壶、烧开水，在等待水开的时间内洗茶壶、茶杯、取茶叶，水开后沏茶．此方案的流程图如图甲所示．
由图甲知方案三需17 min，它比方案一和方案二的效率高．还可以将如图甲所示的流程图中洗茶壶、茶杯和取茶叶合并到一个框内，于是图甲可以改写成图乙．『规律方法』 1.画工序流程图注意事项
将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序(即自顶向下)，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内用高度概括、简洁，清楚的语言将该道工序表述清楚．
注明此工序的名称或代号．两相邻工序之间用流程线相连．明确各工作或工序之间的关系．即：
(1)衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序．
(2)平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行．(3)交叉关系，一些工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．
有时为合理安排工程进度，还在每道工序框上注明完成该工序所需时间．开始时工序流程图可以画得粗疏，然后再对每一框逐步细化．
即：分解步骤→分析结构→明确关系→确定工时→绘制图形→调整细化
在工序流程图中，它可以展示工序的流程顺序，帮助我们安排工程作业进度，分派调配工程作业人员，以便节省时间、提高效率、缩短工期．2．流程图画法步骤
第一步 将流程分解为若干个比较明确的步骤(相当于用自然语言描述步骤)；
第二步 分析各步骤是否可以直接表达，或需要借助于逻辑结构来表达；
第三步 分析各步骤之间的关系；
第四步 绘制流程图，并检查是否符合实际问题．
3．程序框图与流程图关系：
程序框图是流程图的一种，有一定的规范和标准，工序流程图相对自由一些．命题方向3 ?识读流程图根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
[解析] (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．『规律方法』 识读流程图时，首先要把握其先后衔接关系，抓住主要步骤，然后在每一个步骤中理清其并列、平行关系，最后找出其穿插进行的部分．[解析] 要完成报名，需依次做好以下工作：
(1)网上登记，阅读报名须知：
(2)填写考生报名身份证号码，并查看该身份证号码是否已登记．(若未登记，则不允许报名，需重新填写身份证号码)
(3)填写《山东省网上报名登记表》，并检查信息是否有效(若无效需重新填写登记表)．
(4)确定报名成功．工序流程图的实效性 [辨析] 商家采集信息讲究快速、准确、有效，如果按照以上流程调研，周期长，信息容易过时，不易安排生产，因此要缩短调研时间，应同时对这三地进行调研，以便提早结束调研，尽快投产占领市场．
[正解] 如图所示．[解析] 程序化思想及应用 一些问题的解决常常需要设计出一系列可操作的步骤，只要按顺序执行这些步骤，就能完成任务，这种解决问题的思想，称为程序化思想．[解析] 流程图如图．i＝6 3 3 [解析] 流程图如下．课 时 作 业 学 案课件40张PPT。第四章框 图4.2 结构图自主预习学案
1．结构图
结构图是一种描述____________的图示，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，连线(或方向箭头)可以表示要素的______关系或____________关系．系统结构 从属 逻辑的先后 知识 组织 部门 3．结构图中的从属关系通常是“树”形结构，即构成系统的要素一般至少有一个“_______”或“______”要素．一般情况下，“______”要素要比“______”要素更为具体，“______”要素比“______”要素更为抽象概括．
4．在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达____________关系时出现．
5．结构图还经常用来表示一个组织的构成，组织结构图一般呈“______”形结构．
6．结构图的呈现原则
①从______到______，由______到______的原则；
②要反映系统与主题要素间关系时，应略，反之，应详，下位要素越多，结构图越复杂．上位 下位 下位 上位 上位 下位 “逻辑先后” 树上下左右7．结构图与流程图的异同：动态 静态 从属 先后 连线 方向箭头 C B B 树上位 [分析] 理清各部门的隶属关系，然后再画出其组织结构图．
[解析] 所绘组织结构图如下图所示．互动探究学案命题方向1 ?知识结构图[解析] 知识结构图如图所示．『规律方法』 画知识结构图可以从整体上把握认识，加深对知识的理解，结构图的设计体现了对知识的理解水平和掌握程度．根据个人对知识的不同理解．对同一部分知识理解不同的人可画出不同的结构图．命题方向2 ?组织结构图[思路分析] 由题意知，该寄宿学校位于组织结构图之首，下设四个部，把相应的下属级别画在各部的相应位置，注意高中部下面紧接的是文科部与理科部，再设年级级别．
[解析] 我们可用下面的结构图来描述该校的组织结构：『规律方法』 1.画组织结构图时要理清各部门之间的并列和从属关系：先理清大部门的并列关系，再理清大部门与小部门的从属关系即可，一般常用“树”形结构表示．要特别注意反映主体要素之间的关系和系统整体特点．
2．结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连接起来．结构图的画法顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下，从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．命题方向3 ?结构图的应用[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①集团的组织结构图已知；
②分析部门间的隶属关系．解答本题关键是抓住“下位要素与上位要素之间的是隶属关系”．
[解析] 由组织结构图分析可得：
财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理服从于董事长，董事长又服从于董事会，董事会是最高管理部门．『规律方法』 分析树形结构图时，可按画结构图的顺序：从上而下或从左到右去浏览、分析，注意各要素之间的并列与从属关系，有箭头的连线要特别注意．正确区分组织结构中的并列与从属关系 [错解]
[辨析] 题解错的原因是没有弄明白各部门之间的从属关系．解决这类题的关键是弄清楚各元素之间的关系．[正解] 如图所示．“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 由图可知“求简单函数的导数”的“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”3个．C流程图与结构图的异同点 C A [解析] 学校教职人员分为教师和后勤人员，教师可分为理科教师和文科教师．C A 课 时 作 业 学 案课件43张PPT。第一章统计案例章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合二、独立性检验
1．判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断．需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论．
2．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算K2的值．
(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断．专 题 突 破题型一 ?回归分析
(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄相差5岁，则身高有多大差异？(3～16岁之间)
(3)如果身高相差20 cm，其年龄相差多少？
(4)计算残差，说明该函数模型能够较好地反映年龄与身高的关系吗？请说明理由．题型二 ?独立性检验[解析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：根据列联表作出相应的等高条形图，如图所示．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．(3)由(2)知，300名学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时．
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
平均体育运动时间与性别列联表A A．10 B．20
C．50 D．60B A．ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强C B 0.254 [分析] 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k的值．由观测值分析，得出结论．
[解析] (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：课件48张PPT。第二章推理与证明章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合1．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．
2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．
3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．专 题 突 破1．合情推理与演绎推理
合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．题型一 ?归纳推理C 题型二 ?类比推理『规律方法』 在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质． 题型三 ?演绎推理[解析] (1)解法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1于是，根据“三段论”可知，f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
解法二：∵f ′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，x－1<0，∴－2(x－1)>0，
∴f ′(x)>0在x∈(－∞，1)上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)∵f(x)在(－∞，1]上是增函数，而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．『规律方法』 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M
的子集，那么S的所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断叫大前提，第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．2．直接证明
综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因为综合法宜于表达、条理清晰．在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．题型四 ?分析法证明不等式题型五 ?综合法证明不等式
3．用反证法证题
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．题型七 ?转化与化归思想『规律方法』 转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化．题型八 ?分类讨论思想
从而ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与已知矛盾．
当a＝0时，abc＝0，与abc>0矛盾，
由以上分析可知假设不成立，因此a>0.同理可得，b>0，c>0.
『规律方法』 分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏．例如，本题中“a>0”的否定是“a≤0”，即有两种情况“a<0”和“a＝0”，所以应分类讨论，不能遗漏其中任何一种情况．C 2．观察分析下表中的数据：C B B [解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一．C (2)假设数列{an}中存在三项ar，as，at(r∴只能是ar＋at＝2as.
3(2r－1)＋3(2t－1)＝6(2s－1)
2r＋2t＝2s＋1
∴1＋2t－r＝2s＋1－r(*)
∵r∴(*)式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立．
∴数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项．课件44张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．
本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．专 题 突 破题型一 ?复数的概念题型二 ?复数的运算D 题型三 ?复数及其运算的几何意义复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．D [思路分析] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．题型四 ?复数的模题型五 ?共轭复数D 题型六 ?与复数有关的创新型问题D 题型七 ?复数与三角函数交汇问题D B C A B A B 2－i 0 －3＋4i 课件31张PPT。第四章框 图章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合
通过学习本章内容，熟悉了统筹方法的基本原理，应熟练掌握用流程图表达各种数学问题和实际问题，并从具体实例中领会流程图的意义和作用．流程图直观、简洁地表达数学问题，有利于培养学生的应用意识，增强数学趣味，使学生从传统的数学解题中解放出来，拓展了解决问题的途径，开阔了知识视野，增强了创新能力，结构图区别于流程图，主要描述了一个静态的过程，描述系统的结构，同样，结构图明了、直观地表达各种系统结构，有利于提高抽象概括能力和逻辑思维能力．在学习过程中要注意以下几点：
1．完成一件事情，怎样规划安排才能用时最少，用费最省，路线最近等，像这种用最少的投放，获取最好的效果的一类问题叫做统筹与优化问题．
2．解答统筹与优化问题，要注意联系实际，把题目中所说的“最优”、“最佳”或“最合理”转化为相对应的最大、最小问题．
3.对所要画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握后，从头至尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内．最后，按其内在的逻辑顺序或从属关系将它们排列起来用线段相连，这样就画成了知识结构图．专 题 突 破题型一 ?程序框图B [解析] 第一次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第二次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第三次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第四次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＝20>16，退出循环，输出的n＝4，故选B．
[点评] 解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环的变量其初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．题型二[思路分析] 由题目可获取的主要信息是画机床大修的工序流程图．解答本题需先明确各项工序间的关系，然后再画工序流程图．
[解析] 工序流程图如图所示．题型三 ?知识结构图[解析] 知识结构图如下：
[点评] 画知识结构图时，着眼点、分类标准、细化程度的不同，都会使画出的结构图发生变化．题型四 ?组织结构图[解析] 该学校部门设置的组织结构图如图所示．D C C 4．某市质量监督局计量认证审查流程图如图所示：C C A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x3 由图可知，影视动画属于____________．
[解析] 由图知，影视动画属于广告项．广告项 [解析] 该系统的结构图如图所示．课件7张PPT。第一章统计案例哲学知识告诉我们事物之间是有联系的、联系是普遍的，任何事物都是运动的、任何两个事物之间都存在着普遍联系．具体到现实问题中，我们会发现有些问题是从变化的角度来分析是存在两个都在变化的量，关系非常密切，一个现象发生一定量的变化，另一个现象一般也会发生相应的变化，但又不能用函数概念去定义，也无法用函数的模型来代换．如商场销售收入每增加一万元时，因所卖商品不同，销售利润一般会增加不同的数值；施肥量增加一斤，一般地产量也会增加，但数值有时不固定．5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？若从数学角度区分，这里的疾病和吸烟就是彼此相关的两个变量．
如何用数学的方法来刻画这种变量之间的关系呢？本章要学习的统计案例就是通过对一对变量使用线性回归的方法来研究变量之间的对应关系．通过本章的学习，我们将知道如何研究变量之间的相关关系，如何模拟变量之间的函数关系，如何检验两个变量之间的独立性. 课件6张PPT。第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题．
四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！ 课件7张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入法国数学家笛卡儿(1596～1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．但这引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有一席之地．许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的“幽灵”——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚．虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集．同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.课件7张PPT。第四章框 图18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连接，如图1所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点．这就是七桥问题，一个著名的图论问题．
这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题到了大数学家欧拉那里．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示．于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了．欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点必须连接偶数条边才能完成一笔画．图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法．
利用“图”来解决问题，其功能是非常强大的，让我们一起来学习《框图》这一章内容来感受一下吧！