《同角三角函数的基本关系式》点评
本节课是数学必修4第三章第一节的内容，在此之前学生已经学习过关于三角函数的部分内容，本节课以求特殊三角函数值，创设问题情境，多让学生动手去计算，体现了"教师为引导,学生为主体，探索得材料,研究获本质,思维促发展的教学思想,如此设计教学过程，既复习了之前的内容，又充分利用旧知识带出新知识，让学生明白数学的知识是相互联系的，所以每一节内容都应该把它牢固掌握。
公式推导过程，将一般的问题上升到理论，师生共同得到本节课的核心：同角三角函数基本不等式，这是学生对公式的第一次认识。在证明公式这个环节，引导学生用旧知识解决新知识，体会数学知识的形成过程。在辨析公式这一环节，让学生自主得出公式成立的条件。通过五个式子的辨析，让学生充分理解了“同角”的意义：与角的形式没有关系，只要同角就好，由感性认识上升到理性认识，完成对公式的第二次认识，突破了本节课的难点。紧接着引导学生得出公式变形，总结知一求二，为以后的计算，证明打下基础，完成对公式的第三次认识。
例题的处理方面：本节课共四个例题，而在讲解的过程中，将例一例二柔和在一起，通过例题加上变式的形式展现，通过对比强调他们的区别，师生共同得出解决问题的方法。
通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的象限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了。
课堂在完成例题及变式时要给予学生充分的时间思考与尝试，由于时间太紧，故对学生的检测只能安排在课后的作业中，作业可以检测学生对本节课内容掌握的情况，能否灵活运用知识进行合理的迁移，可以发现学生在解题中存在的问题。课内作业分必做题和选做题，满足了不同层次的学生的需要。
本节课的不足之处，课内安排时间过紧，学生思考的时间相对较少。如果将检测放在课后就可以了。下节课教师再根据学生完成的情况加以评讲，并设计相应的训练题，使学生的认识再上一个台阶。
同角三角函数的基本关系
一、教材分析
? 本节课来自北师大版《高中数学--必修4》第三章三角恒等变形第一节同角三角函数的基本关系p113-p115的内容。是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。
二、教学目标的及重难点
1．教学目标
知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。
过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.教学重点和难点
重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点： 同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。
三、学情分析
学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。
四、教法分析与学法分析
1．教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。
2．学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。
五、教学过程设计
(一)创设情境 引入课题
设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换
2.思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？
设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。
(二)自主学习 推导公式
1．证明公式：（同角三角函数基本关系）
（1）、平方关系: （2）、商的关系:
回忆：任意角三角函数的定义？
学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：
sin=y；cos=x，
引导学生注意：单位圆中
所以： sin2+cos2=； =
设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。
2.辨析讨论—深化公式
辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？
设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。如（2）式中
辨析2判断下列等式是否成立：
设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。
辨析3思考：你能将两个公式变形么？
（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。）
设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）如：
， ， 等
(三)小组合作 及时训练
例1.
思考1：条件“α是第四象限的角”有什么作用？
思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？
设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？
设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。
变式2.
设计意图:类比练习，已知正弦，也可求余弦、正切。
变式3.
设计意图：通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用：已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论，培养学生分类讨论思想。突破重难点。
做题技巧
1.本题中体现的思想方法有：
（1）本题中运用了方程的思想方法；（2）运用了分类讨论的思想方法.
2.本题的结论可以作为公式来应用：在已知某角的正切值的条件下，求该角的正弦值和余弦值.
练习：
设计意图: 利用同角三角函数基本关系的灵活使用，解法多样，强化对公式的理解与认识。
(四)总结反思，深化认识
1.让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充．这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用。
公式推导：具体算式→观察→猜想→论证→基本关系式
公式应用：一般方法：先确定象限角再求值。分类讨论思想
五.作业布置：
1、已知，求（1）
（2）
2、
设计意图：巩固所学公式，并灵活运用；分层设计，题（1）是在课堂例题的延伸，题（2）是在课堂上没讲的题型，检测学生对知识的迁移能力。
3.板书设计
同角三角函数基本关系式
一、公式 二、例题 例2
1、sin2+cos2=1; 例1
2、tan= 变式1
公式变形： 例3
， 变式2 练习
， 变式3 三：总结
……
六 教学反思：
教案的设计注重知识的发生，发展过程，对于公式不是直接给出，而是用用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想；
通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的象限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了；
下节课教师再根据学生完成的情况加以评讲，并设计相应的训练题，使学生的认识再上一个台阶。
课件21张PPT。第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系 1.知识与技能：
通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。
.2.过程与方法：
培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3.情感态度价值观：
经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
学习重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
学习难点：
同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。 2、思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？通过观察、探究、讨论猜测到了两个结论哇！这就是基本关系 根据三角函数定义，公式中的角有什么限制？怎么证明公式？
定义法回忆任意角三角函数的定义？
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：
sin =y；cos =x，
引导学生注意：单位圆中
所以： sin2 +cos2 = ； =辨析 判断下列等式是否成立：思考：你能将两个公式变形么？
（师生活动：对于公式变式的认识，
强调灵活运用公式的几大要点。）：
思考1：条件“α是第四象限的角”有什么作用？
思考2：如何建立cosα与sinα的联系？
如何建立他们与tanα的联系？特别注意：
利用平方关系求三角函数值时，
应根据角 的终边所在象限确定
所求三角函数值的符号.思考 能否用正切值求正弦值和余弦值？特别注意：在需要开方求任意角的三角函数值时，
一定要注意符号的问题.1.本题中体现的思想方法有：
（1）本题中运用了方程的思想方法；
（2）运用了分类讨论的思想方法.
2.本题的结论可以作为公式来应用：
在已知某角的正切值的条件下，
求该角的正弦值和余弦值.技巧方法本节课主要学习了：
（1）同角的三角函数关系；
（2）三角函数求值；
1、（ 必做题）已知 ，求 、 2、
