第三章函数 第13节 二次函数图像与性质（一）
■知识点一： 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．21教育网
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．21cnjy.com
■知识点二： 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．21教育名师原创作品
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．2-1-c-n-j-y
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■知识点三：二次函数的图象及性质
(1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■知识点四： 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
（2015?福建模拟）当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．21世纪教育网版权所有
◆变式训练
（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.?y=3x﹣1???????? B.?y=ax2+bx+c?????????
C.?s=2t2﹣2t+1????????D.?y=x2+
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
1. （2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个
二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）
【考点】二次函数的三种形式
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可． 解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1， 故答案为：y=2x2﹣1．21·cn·jy·com
2. （2017?枣庄节选）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （Ⅰ）求抛物线的解析式及点D的坐标；www.21-cn-jy.com
【分析】（Ⅰ）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
解：（Ⅰ）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6， ∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8， ∴D（2，8）； 【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
1.（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
2.（2017?陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为
M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（?? ）
A.?（1，﹣5）???B.?（3，﹣13）??C.?（2，﹣8）???D.?（4，﹣20）
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2017?邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
1.（2017?广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（?? ）
A.?? ?B.????
?C.????D.?
2. （2017?哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（?? ）
A.（ ，﹣3）???B.（﹣ ，﹣3）??C.（ ，3）?D.（﹣ ，3）
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2017?黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，
③ ＜1，其中错误的个数是（?? ）
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号． 解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∴ab＜0，故①错误； ∵抛物线和y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴ ＜1，故③正确； 故选C．21·世纪*教育网
◆变式训练
（2017?广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_______________
(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
（2017?鄂州）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（?? ） www-2-1-cnjy-com
A.??B.???C.?????D.?
（2017年遵义市中考 ）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
3.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
4.（2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：21*cnjy*com
①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）已知抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点为A，与y轴的交点为B，若直线AB的解析式为y=﹣2x+b，点A，B关于原点的对称点分别为A′，B′，且四边形ABA′B′为矩形，则下列关于m，n，b的关系式正确的是（ ）
A．5m=4b B．4m=5b C．5n=3b D．3n=5b
6.（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0． 其中正确的是（?? ） 21*cnjy*com
A.?①④????B.?②④?????C.?①②③????D.?①②③④
7.（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1
对称，则Q点的坐标为________．
8.（福建省南平市2016年中考）二次函数的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是 （填写序号）
9.（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
10.（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣
3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
1.（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上
画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2 ， 再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（??? ）
A.?y=x2+8x+14????B.?y=x2-8x+14???C.?y=x2+4x+3??D.?y=x2-4x+3
2.（2017?杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对
称轴，（?? ）
A.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0????????B.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0?????????D.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
3.（2017年浙江省金华市）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的
是（ ）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2 B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
4.（2017年浙江省宁波市）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.（2016年浙江省衢州市）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对
应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
6.（2016年浙江宁波市）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模试卷含答案解析）关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1
C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
9.（2017年浙江省嘉兴、舟山市）下列关于函数y=x2﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10.（2016届浙江杭州市高桥中学中考数学二模）二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．【版权所有：21教育】
11.（2017?济宁）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
12.（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
13.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）关于x的函数y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m（m是实数），探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．
14.（2016年浙江宁波市）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）【出处：21教育名师】
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
15.（2017·丽水节选）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示.
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式；
第三章函数 第13节 二次函数图像与性质（一）
■知识点一： 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■知识点二： 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■知识点三：二次函数的图象及性质
(1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■知识点四： 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
（2015?福建模拟）当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.?y=3x﹣1???????? B.?y=ax2+bx+c?????????
C.?s=2t2﹣2t+1?????????D.?y=x2+ 【考点】二次函数的定义 21·世纪*教育网
【分析】根据二次函数的定义，可得答案． A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B、y=ax2+bx+c? （a≠0）是二次函数，故B错误； C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x2+不是二次函数，故D错误； 故选：C．【来源：21cnj*y.co*m】
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
1. （2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个
二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）
【考点】二次函数的三种形式
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可． 解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1， 故答案为：y=2x2﹣1．21教育名师原创作品
2. （2017?枣庄节选）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （Ⅰ）求抛物线的解析式及点D的坐标；
【分析】（Ⅰ）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
解：（Ⅰ）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6， ∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8， ∴D（2，8）；
◆变式训练
1.（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2-1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2-1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1， 故答案为：y=2x2-1
2.（2017?陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为
M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（?? ）
A.?（1，﹣5）????B.?（3，﹣13）???C.?（2，﹣8）??D.?（4，﹣20） 【考点】二次函数的性质，二次函数的三种形式
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4从而得出点M（m，﹣m2﹣4）．由已知条件得出点M′（﹣m，m2+4）；代入解析式求出m=±2；由m＞0，得出M坐标． y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4． ∴点M（m，﹣m2﹣4）． ∴点M′（﹣m，m2+4）． ∴m2+2m2﹣4=m2+4． 解得m=±2． ∵m＞0， ∴m=2． ∴M（2，﹣8）． 故答案为：C．
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2017?邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
1.（2017?广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（?? ）
A.?? ?B.???
?C.????D.? 【考点】反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 故选D．
2. （2017?哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（?? ）
A.?（ ，﹣3）??B.?（﹣ ，﹣3）??C.?（ ，3） ?D.?（﹣ ，3） 【考点】二次函数的性质 21*cnjy*com
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）． 故选B．
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2017?黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，
③ ＜1，其中错误的个数是（?? ）
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号． 解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∴ab＜0，故①错误； ∵抛物线和y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴ ＜1，故③正确； 故选C．
◆变式训练
（2017?广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_______________
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵-＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项正确； ②当x=-1时，y=a-b+c＜0，故a+c＞b，错误； ③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1， 即b=-2a，代入得9a-6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确； ④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c， 而当x=m时，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确． 故①③④正确． 故答案为：①③④．21世纪教育网版权所有
(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【方法总结】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．关键是熟记：抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h.
故答案为：B．
（2017?鄂州）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（?? ）
A.??B.???C.?????D.?
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】二次函数解析式是顶点式，由图像可看出顶点坐标为（-m,-n),在第二象限，-m<0,-n>0,m＞0，n＜0，在此条件下，一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=?的图象在第二、四象限. 解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0， ∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y= 的图象在第二、四象限． 故答案为：C．
（2017年遵义市中考 ）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【考点】 二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；
②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；
③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；
④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．
解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
3.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．
解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
4.（2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：
①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据对称轴判断出b＞0，根据抛物线与y轴的交点判断出c＞0，然后根据有理数的乘法判断出①错误；根据抛物线的顶点坐标判断②正确；根据图象，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），然后根据x=2时的函数值大于0判断出③正确；根据抛物线对称轴求出④正确；根据x=﹣1时的函数值为0，再把a用b表示并代入整理得到2c=3b，判断出⑤错误．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵顶点坐标为（1，2），
∴x=1时，函数最大值是2，故②正确；
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（0，3），
∴x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，故④正确；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴﹣﹣b+c=0，
∴2c=3b，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有②③④共3个．
故选C．
5.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）已知抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点为A，与y轴的交点为B，若直线AB的解析式为y=﹣2x+b，点A，B关于原点的对称点分别为A′，B′，且四边形ABA′B′为矩形，则下列关于m，n，b的关系式正确的是（ ）
A．5m=4b B．4m=5b C．5n=3b D．3n=5b
【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意可知：A（m，n），B（0，b），所以B′的坐标为（0，﹣b），由题意可知：四边形ABA′B′为矩形，所以对角线AA′=BB′．21·cn·jy·com
解：由题意可知：A（m，n），B（0，b），
∵点A，B关于原点的对称点分别为A′，B′，
∴BB′=|2b|，
∵四边形ABA′B′为矩形，
∴AA′=BB′，
∵OA2=m2+n2，
∵AA′2=4OA2=4（m2+n2），
∴4（m2+n2）=4b2，
把（m，n）代入y=﹣2x+b，
∴n=﹣2m+b，
∴b2=m2+（﹣2m+b）2，
化简可得：5m=4b，
故选（A）
6.（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0． 其中正确的是（?? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?①④?????B.?②④??????C.?①②③?????D.?①②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断． 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1， ∴b=﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 而c＜0， ∴a+b+2c＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1， ∴b=﹣2a， 而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，所以④错误． 故选C．
7.（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1
对称，则Q点的坐标为________．
【考点】二次函数的性质
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可． 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．
8.（福建省南平市2016年中考）二次函数的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是 （填写序号）
【解析】由象可知当x=-1时，y小于0，所以a-b+c<0，即a+c【答案】①④
9.（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）把一般式利用配方法化为顶点式即可；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．
解：（1）y=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1；
（2）图象的顶点坐标是（2，﹣1），
对称轴是：x=2．
10.（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣
3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．
解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为﹣3，
∵P点和O点对称，
∴t=﹣6；
（2）分别将（﹣4，0）和（﹣3，﹣3）代入y=ax2+bx，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；
（3）将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx，
，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at2+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=﹣．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴﹣＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞﹣3．
故t的值可以是﹣1（答案不唯一）．
（注：写出t＞﹣3且t≠0或其中任意一个数均给分）
1.（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上
画有一个点和
一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2 ， 再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（??? ）
A.?y=x2+8x+14????B.?y=x2-8x+14???C.?y=x2+4x+3??D.?y=x2-4x+3 【考点】二次函数的图象 2-1-c-n-j-y
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2 ， 就怎样平移到新的抛物线. 解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）. 由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位， 则抛物线的函数表达式为y=x2 ， 经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14， 故选A.
2.（2017?杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对
称轴，（?? ）
A.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0?????????B.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0?????????D.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案． 解：由对称轴，得 b=﹣2a． （m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a ∵a＜0 当m＜1时，（m﹣3）a＞0， 故选：C．
3.（2017年浙江省金华市）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的
是（ ）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2 B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选（B）
4.（2017年浙江省宁波市）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的性质．
【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．www.21-cn-jy.com
解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选A．
5.（2016年浙江省衢州市）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对
应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．
6.（2016年浙江宁波市）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．21cnjy.com
解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
7.（2016年浙江省绍兴市中考数学）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选A．
8.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模试卷含答案解析）关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1
C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
解：∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
∵这个函数的顶点是（﹣1，2），
∴对称轴是x=﹣1，
故选D．
9.（2017年浙江省嘉兴、舟山市）下列关于函数y=x2﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】命题与定理；二次函数的性质．
【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．
解：∵y=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）2﹣6（3+n）+10，
当x=3﹣n时，y=（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10，
∵（3+n）2﹣6（3+n）+10﹣[（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3﹣n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）2﹣6（n+1）+10，
当x=n时，y=n2﹣6n+10，
（n+1）2﹣6（n+1）+10﹣[n2﹣6n+10]=2n﹣5，
∵n是整数，
∴2n﹣5是整数，
∴y的整数值有（2n﹣4）个；故③正确；
∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜3时，y随x的增大而减小，
∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，故④错误，
故选C．
10.（2016届浙江杭州市高桥中学中考数学二模）二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．
解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，
解得x=0或x=2，
当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，
又抛物线对称轴为x=1，
∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．
故答案为：﹣1＜x≤0或2≤x＜3．
11.（2017?济宁）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
【考点】反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质
【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点. 解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y= （答案不唯一）符合题意. 故答案可以是：y= （答案不唯一）.
12.（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式． 解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ， 则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3， 故答案为y=﹣ x2+ x+3．
13.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）关于x的函数y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m（m是实数），探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【分析】①通过反例即可判断；
②把m=﹣3代入，然后化成顶点式即可判断；
③求得与x轴的交点，进而求得|x1﹣x2|的值，即可判断；
④由y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m=（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，可知当2x2﹣x﹣1=0时，y的值与m无关，此时x1=1，x2=﹣，当x1=1，y=0；当x2=﹣时，y2=﹣，从而判定函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣）．【版权所有：21教育】
解：①假命题；
当m=0时，y=x﹣1为一次函数
与坐标轴只有两个交点，
②真命题；
当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，
∴顶点坐标是（，），
③真命题； www-2-1-cnjy-com
当m＞0时，由y=0得：△=（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）=（3m+1）2，
∴x=，
∴x1=1，x2=﹣﹣，
∴|x1﹣x2|=+＞，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于；
④真命题；
当m≠0时，y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m=（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，
当2x2﹣x﹣1=0时，y的值与m无关
此时x1=1，x2=﹣，
当x1=1，y=0；当x2=﹣时，y2=﹣，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣）．
14.（2016年浙江宁波市）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）21*cnjy*com
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．
15.（2017·丽水节选）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示. 【出处：21教育名师】
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式； 【分析】（1）C1段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；
（1）解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x， ∴PD=PA·sin30°=2x· =x， ∴y= = . 由图象得，当x=1时，y= ，则 = . ∴a=1. （2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x. ∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB， ∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB. 由图象得，当x=4时，y= , ∴ ×4×（10-8）·sinB= ， ∴sinB= . ∴y= x·（10-2x）· = .
