第三章函数 第15节 二次函数应用
■知识点一： 二次函数的应用
(1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．www.21-cn-jy.com
■知识点二：二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模试卷）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．【版权所有：21教育】
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？21世纪教育网版权所有
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由总利润=销售量?每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．www-2-1-cnjy-com
◆变式训练
（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知某商品每件的成本为20元，第x天（x≤90）的售价和销量分别为y元/件和（180﹣2x）件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图象解决下列问题：
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4200元？
■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2016年浙江省杭州市中考 ）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．21·世纪*教育网
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；21教育网
②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．2-1-c-n-j-y
解：（1）由题意得：，解得：，
故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y1=ax2+bx=a，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
◆变式训练
（2016届浙江杭州市高桥中学中考数学二模）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．2·1·c·n·j·y
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．
1.（2017·丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）
的方法是（??? ）
A.?向左平移1个单位???? B.?向右平移3个单位??????????
C.?向上平移3个单位?????? D.?向下平移1个单位
2.（2014?绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥
洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________．
3.（2016年浙江省台州市）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．21*cnjy*com
3.（2017?天门）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）
的函数解析式是s=60t﹣ t2 ， 则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
4.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润w为1250元，求n的值；
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？
5.（2016年浙江温州市龙湾区中考数学一模）某工艺品厂设计了一款成本为10元/件的小
工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）当销售单价为多少元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售额﹣成本）21教育名师原创作品
6.（2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？
7.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
8.（2016年浙江省杭州市）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系
中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
9.（2016年浙江台州市仙居县中考数学一模）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某零售店销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，假设当日零售价不变，当日进的水果全部销售完，毛利润=销售收入﹣进货成本，请帮助该零售店确定合理的销售价格，使该日获得的毛利润最大，并求出最大毛利润．
10.（2017年浙江省宁波市）如图，抛物线y= x2+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴
交于点B，连结AB，点C（6， ）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．
1.（2017年浙江宁波市江北区中考数学模拟试卷）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m
C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
2.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
3.（2017年浙江温州市中考数学 ）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完
全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A
至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆
柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的
距离EH为 cm．
4.（2017年浙江省金华市）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．
（1）如图1，若BC=4m，则S= m2．
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m．
5.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市中考数学 ）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．21*cnjy*com
（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
6.（2017年浙江省金华市）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．【出处：21教育名师】
（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
7.（2016年浙江省绍兴市）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
8.（2016年浙江省杭州市）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
9.（2016年浙江舟山市中考数学 ）小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2
（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；
（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；
（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．
10.（2016年浙江省衢州市 ）已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示
（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1的根（精确到0.1）．21cnjy.com
（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．
11.（2017年浙江温州市中考数学 ）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
12.（2017年浙江省嘉兴、舟山市中考数学试卷）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．
13.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．
14.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．21·cn·jy·com
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
15.（2017年浙江温州市）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
第三章函数 第15节 二次函数应用
■知识点一： 二次函数的应用
1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■知识点二：二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模试卷含答案解析）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润=销售量?每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
◆变式训练
（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛2）已知某商品每件的成本为20元，第x天（x≤90）的售价和销量分别为y元/件和（180﹣2x）件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图象解决下列问题：
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4200元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4200，一次函数值大于或等于4200，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
解：（1）当1≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=1时，y=31，当x=50，y=80，
∴，
解得：
∴y=x+30，
∴当1≤x≤50时，w=（x+30﹣20）（180﹣2x）=﹣2x2+160x+1800；
当50＜x≤90时，w=（80﹣20）（180﹣2x）=﹣120x+10800；
（2）w=﹣2x2+180x+1800=﹣2（x﹣40）2+5000，
∴当x=40时取得最大值5000元；
∵w=﹣120x+10800；
∴当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=4800，
综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是5000元；
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+1800≥4200，解得20≤x≤60，
因此利润不低于4200元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+10800≥4200，解得x≤55，
因此利润不低于4200元的天数是50≤x≤55，共6天，
所以该商品在销售过程中，共36天每天销售利润不低于4200元．
■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2016年浙江省杭州市中考 ）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；
②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．
解：（1）由题意得：，解得：，
故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y1=ax2+bx=a，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
◆变式训练
（2016届浙江杭州市高桥中学中考数学二模）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；
（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限；
（3）当x≥1时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与x轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y1的取值范围．
解：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），
把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；
（2）B在第四象限．
理由如下：
∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），
∵x1?x2=，
∴，
所以抛物线与x轴有两个交点，
又∵抛物线不经过第三象限，
∴a＞0，且顶点在第四象限；
（3）∵，且在抛物线上，
当b+8=0时，解得b=﹣8，
∵a+c=﹣b，
∴a+c=8，
把B（﹣，）、C（，b+8）两点代入直线解析式得：
，
解得：或（a≠c，舍去）
如图所示，C在A的右侧，
∴当x≥1时，．
1.（2017·丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）
的方法是（??? ）
A.?向左平移1个单位??????? B.?向右平移3个单位??????????
C.?向上平移3个单位????????D.?向下平移1个单位
【分析】遵循“对于水平平移时，x要左加右减”“对于上下平移时，y要上加下减”的原则分别写出平移后的函数解析式，将x=1代入解析式，检验y是否等于4. 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用 解：A. 向左平移1个单位后，得到y=(x+1)2 ， 当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）； B. 向右平移3个单位，得到y=(x-3)2 ， 当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）； C. 向上平移3个单位，得到y=x2+3，当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）； D. 向下平移1个单位，得到y=x2-1，当x=1时，y=0，则平移后的图象不经过A（1,4）； 故选. 21世纪教育网版权所有
2.（2014?绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥
洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4， 将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4， 解得：a=﹣ ， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ （x+6）2+4． 故答案为：y=﹣ （x+6）2+4． 【来源：21cnj*y.co*m】
3.（2016年浙江省台州市）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，根据题意列出方程即可解决问题．
解：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故答案为1.6．
3.（2017?天门）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）
的函数解析式是s=60t﹣ t2 ， 则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒． 【考点】二次函数的应用
【分析】将s=60t﹣1.5t2 ， 化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题． 解：解：s=60t﹣ t2=﹣ （t﹣20）2+600， ∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600． 故答案是：20．
4.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可看作一次函数：y=﹣10x+n．
（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润w为1250元，求n的值；
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，得到n的值，本题得以解决；
（2）根据题意可以得到w与x的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
解：（1）由题意可得，
（25﹣20）（﹣10×25+n）=1250，
解得，n=500，
即n的值是500；
（2）w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，
∴x=35时，w取得最大值，此时w=2250，
即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
5.（2016年浙江温州市龙湾区中考数学一模）某工艺品厂设计了一款成本为10元/件的小
工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式．21*cnjy*com
（2）当销售单价为多少元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售额﹣成本）
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）将表中各点描在坐标系中，根据点的分别可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式式，再验证其余各点是否在该函数关系式的图象上，由此即可得出结论；www-2-1-cnjy-com
（2）设工艺品试销每天获得利润为W元，根据“利用=单件利润×销售数量”即可得出W关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）画出图形，如右图所示．
由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500），（30，400）两点，
∴，解得：，
∴函数关系式是y=﹣10x+700．
经验证，其他各点也在y=﹣10x+700上．
（2）设工艺品试销每天获得利润为W元，
由已知得：W=（x﹣10）（﹣10x+700）=﹣10x2+800x﹣7000=﹣10（x﹣40）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x=40时，W取最大值，最大值为9000．
故：当销售单价为40元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
6.（2017年浙江省宁波市七校联考中考数学一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）设y=kx+b，根据题意得，
解得：k=﹣2，
故y=﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，w有最大值为1950元，
7.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．把表格（1）中任意两组数据代入直线解析式可得y1的解析式．
（2）分情况探讨得：1≤x≤7时，利润=p1×（售价﹣各种成本）；80≤x≤12时，利润=p2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即．
解：（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．
设y1=kx+b
则
解得：
∴y1=2x+54，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴y1=2x+54（1≤x≤7，且x为整数）．
（2）设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时，
w=p1=（0.1x+1.1）（92﹣2x﹣54）=﹣0.2x2+1.6x+41.8=﹣0.2（x﹣4）2+45，
∴当x=4时，w最大=45万元；
当8≤x≤12，且x为整数时，
w=p2=（﹣0.1x+3）（92﹣x﹣62）=0.1x2﹣6x+90=0.1（x﹣30）2，
∴当x=8时，w最大=48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元．
∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元．
8.（2016年浙江省杭州市）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系
中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；
②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．
解：（1）由题意得：，解得：，
故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y1=ax2+bx=a，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
9.（2016年浙江台州市仙居县中考数学一模）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）经调查，某零售店销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，假设当日零售价不变，当日进的水果全部销售完，毛利润=销售收入﹣进货成本，请帮助该零售店确定合理的销售价格，使该日获得的毛利润最大，并求出最大毛利润．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接写出两段函数图象的实际意义：①横坐标为批发量0～70kg，纵坐标为6元/kg；
②横坐标为批发量大于70kg，纵坐标为4元/kg；
（2）资金金额w=批发量×单价，并画出两个正比例函数图象，两函数图象纵标公共的部分即为同样的资金，根据图形数据写出即可；
（3）设出变量，分别计算出两个分段函数日最高销量与零售价之间的函数关系式，根据毛利润=销售收入﹣进货成本计算出毛利润的函数关系式，并求出最值，对比后写出使该日获得的毛利润最大的合理的销售价格，并计算出最大利润．
解：（1）①表示批发量少于70kg时，批发价为6元/kg；
②表示批发量达到70kg以上时，批发价为4元/kg；
（2）w=，
图象如图2所示，
当m=70时，6m=6×70=420，4m=4×70=280，
∴资金金额在280≤w＜420时，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）设销售价格为x元/kg，日最高销量为ykg，毛利润为w元，
当6≤x≤10时，设解析式为：y=kx+b，
把（6，80）、（10，60）代入得：，
解得：，
∴y=﹣5x+110，
当70≤y≤80时，w=（﹣5x+110）（x﹣4）=﹣5x2+130x﹣440=﹣5（x﹣13）2+405，y随x的增大而增大，所以当x=8时，有最大利润为：w=﹣5（8﹣13）2+405=280，
当60≤y＜70时，w=（﹣5x+110）（x﹣6）=﹣5x2+140x﹣660=﹣5（x﹣14）2+320，y随x的增大而增大，所以当x=10时，有最大利润为：w=﹣5（10﹣14）2+320=240，
当10＜x≤14时，同理求出解析式为：y=﹣10x+160，
∴w=（﹣10x+160）（x﹣6）=﹣10x2+220x﹣960=﹣10（x﹣11）2+250，当x=11时，w有最大值为：250，
综上所述：当x=8时，有最大利润为280元，
则该零售店销售价格定为8元时，该日获得的毛利润最大，最大利润为280元．
10.（2017年浙江省宁波市）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴
交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；
（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；
②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．
解：
（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，
令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，
∴A（﹣4，0），
设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
把A．C坐标代入可得，解得，
∴直线AC的函数表达式为y=x+3；
（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，
∴∠OAB=∠OAD，
∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，
∴OM=MP，
∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，
∴∠APM=∠AON，
∴△APM∽△AON；
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，
∵点M的横坐标为m，
∴AE=m+4，AP=2m+4，
∵tan∠OAD=，
∴cos∠EAM=cos∠OAD=，
∴=，
∴AM=AE=，
∵△APM∽△AON，
∴=，即=，
∴AN=．
1.（2017年浙江宁波市江北区中考数学模拟试卷）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题．
解：由题意可得，
运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴运动员出手的位置距地面的高度为3m，
∵3﹣2.2=0.8，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，
故选A．
2.（2017年浙江杭州市清河中学中考数学模拟）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
3.（2017年浙江温州市中考数学 ）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完
全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A
至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆
柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的
距离EH为 cm．
【考点】二次函数的应用．
【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．
解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，
由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，
∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12﹣8=4，
由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，
∴=，即=，
∴CG=12，OC=12+8=20，
∴C（20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），
∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，
把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得
，解得，
∴抛物线为y=﹣x2+x+24，
又∵点E的纵坐标为10.2，
∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，
解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），
∴点E的横坐标为6+8，
又∵ON=30，
∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．
故答案为：24﹣8．
4.（2017年浙江省金华市）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．
（1）如图1，若BC=4m，则S= m2．
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m．
【考点】二次函数的应用；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；
（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以A为圆心、x为半径的圆、以C为圆心、10﹣x为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，
∴S=×π?102+?π?62+?π?42=88π，
故答案为：88π；
（2）如图2，
设BC=x，则AB=10﹣x，
∴S=?π?102+?π?x2+?π?（10﹣x）2
=（x2﹣5x+250）
=（x﹣）2+，
当x=时，S取得最小值，
∴BC=，
故答案为：．
5.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市中考数学 ）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．21cnjy.com
（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算，再根据二次函数的性质分析即可； 21*cnjy*com
（2）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算，再根据二次函数的性质分析即可．
解：（1）∵y=x?=﹣（x﹣25）2+，
∴当x=25时，占地面积最大，
即饲养室长x为25m时，占地面积y最大；
（2）∵y=x?=﹣（x﹣26）2+338，
∴当x=26时，占地面积最大，
即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；
∵26﹣25=1≠2，
∴小敏的说法不正确．
6.（2017年浙江省金华市）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；
（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．
解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，
解得：h=；
②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a=﹣．
7.（2016年浙江省绍兴市）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？【出处：21教育名师】
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
解：（1）由已知可得：AD=，
则S=1×m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x=m时，且x=m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
8.（2016年浙江省杭州市）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．www.21-cn-jy.com
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）将t=3代入解析式可得；
（2）根据h=10可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可得方程20t﹣t2=m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m的范围．
解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），
∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；
（2）∵h=10，
∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，
解得：t=2+或t=2﹣，
故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；
（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，
∴m＜20，
故m的取值范围是0≤m＜20．
9.（2016年浙江舟山市中考数学 ）小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2
（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；
（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；
（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．2-1-c-n-j-y
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案；
（2）利用图形，得出速度和时间，再结合h=48+12×（17﹣8）得出答案；
（3）首先求出OB的解析式进而利用二次函数解析式得出关于x的等式求出答案．
解：（1）由图象得：小明家到乙处的路程为180m，
∵点（8，48）在抛物线s=at2上，
∴48=a×82，
解得：a=；
（2）由图及已知得：h=48+12×（17﹣8）=156，
故A点的纵坐标为：156，表示小明家到甲处的路程为156m；
（3）设OB所在直线的表达式为：v=kt，
∵（8，12）在直线v=kt上，
则12=8k，
解得：k=，
∴OB所在直线的表达式为：v=t，
设妈妈加速所用时间为：x秒，
由题意可得： x2+x（21+7﹣x）=156，
整理得：x2﹣156+208=0，
解得：x1=4，x2=52（不符合题意，舍去），
∴x=4，
∴v=×4=6（m/s），
答：此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s．
10.（2016年浙江省衢州市 ）已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示
（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1的根（精确到0.1）．
（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0求得抛物线与x的交点坐标，从而可确定出1个单位长度等于小正方形边长的4倍，接下来作直线y=1，找出直线y=1与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解；
（2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线y=x+的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分x的取值范围即可；
（3）先依据抛物线的顶点坐标和点P的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P的坐标代入函数解析式，如果点P的坐标符合函数解析式，则点P在直线上，否则点P不在直线上．
解：（1）∵令y=0得：x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）．
作直线y=1，交抛物线与A．B两点，分别过A．B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根．
根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6．
（2）∵将x=0代入y=x+得y=，将x=1代入得：y=2，
∴直线y=x+经过点（0，），（1，2）．
直线y=x+的图象如图所示：
由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）．
平移后的表达式为y=（x+1）2+1，即y=x2+2x+2．
点P在y=x+的函数图象上．
理由：∵把x=﹣1代入得y=1，
∴点P的坐标符合直线的解析式．
∴点P在直线y=x+的函数图象上．
11.（2017年浙江温州市中考数学 ）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
【考点】一元一次不等式的应用；二次函数的应用；矩形的性质．
【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；
解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，
解得S≤24．
∴S的最大值为24．
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，
∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，
∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），
由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，
解得s=，
∵0＜s＜12，
∴0＜＜12，
∴0＜x＜50，
∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．
【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．21·cn·jy·com
12.（2017年浙江省嘉兴、舟山市中考数学试卷）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
解：（1）由题意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为：千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x=12﹣7.6，
∴x=5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t2+bt+c，
解得：b=﹣，c=﹣，
∴s=t2﹣﹣
∵v0=0.4，
∴v=（t﹣30）+，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48=（t﹣30）+，
∴t=35，
当t=35时，
s=t2﹣﹣=，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），
当t=35时，s1=s=，代入可得：h=﹣，
∴s1=﹣
最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，
∴t2﹣﹣﹣+=1.8
解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），
∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟，
13.（2016年浙江省金华市中考数学试卷）在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①根据函数解析式求出点A．B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；2·1·c·n·j·y
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值．21·世纪*教育网
解：（1）①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，
解得x1=，x2=﹣，
∴AB=2．
∵平移得到的抛物线L1经过点B，
∴BC=AB=2，
∴AC=4．
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，
根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，
∴OM=．
设抛物线L2的函数表达式为y=a（x﹣）2，
由①得，B点的坐标为（，2），
∴2=a（﹣）2，
解得a=4．
抛物线L2的函数表达式为y=4（x﹣）2；
（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
过点B作BK⊥x轴于点K，
设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），
根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x﹣4t），
∵该抛物线过点B（t，at2），
∴at2=a3t（t﹣4t），
∵t≠0，
∴=﹣，
由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t2），
则﹣4a3t2=ax2，
解得，x1=﹣t，x2=t，
EF=t，
∴=．
14.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．21教育网
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；【版权所有：21教育】
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．
解：（1）∵a=＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为：m；
（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F2的横坐标为：（8﹣m）+m=m+4，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，
解得：m1=8﹣2，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
15.（2017年浙江温州市）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．21教育名师原创作品
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；
（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；
②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；
解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，
∵A．B关于对称轴对称，
∴B（10，5）．
（2）①如图1中，[中国#教%@育*出版网&]
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，
∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．
②如图2中，
当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，
∴DE===3，
∴点D的坐标为（4，3）．
设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，
∴x=，
∴P（，5），
∴直线PD的解析式为y=﹣x+．
【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．
