第四章 图形的性质 第16节 图形的认识
■知识点一：直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点 一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间， 最短．
■知识点二：角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝ ′，1′＝ ''，1°＝ ''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ °?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■知识点三：立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■知识点四：相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点 一条直线与已知直线垂直．
② 最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
②内错角相等
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点， 一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线 ．
■知识点五：.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21教育网
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.21·世纪*教育网
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.【出处：21教育名师】
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．
解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
（2017?黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一
根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
■考点2.角、角平分线
◇典例
1.（2016?宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132°
C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项A错误；
∠NOP=48°，故选项B错误；
如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；
由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键．
2.（2017?阿坝州）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为
（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°， ∵CD∥OB， ∴∠BOC=∠C=35°， 故选B．2-1-c-n-j-y
◆变式训练
1.（2016?烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°
2.（2017?百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2016?连云港）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是（ ）
A．丽 B．连 C．云 D．港
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“港”是相对面，
“丽”与“连”是相对面，
“的”与“云”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
◆变式训练
（2017?长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
1.（2015吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
【答案】对顶角相等．
解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等
2. （2017?桂林）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断．
解：∵∠1=∠4， ∴a∥b（同位角相等两直线平行）． 故选B．
◆变式训练
（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
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2. （2017?宿迁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，
∠3=85°，则∠4度数是（ ）
A．80° B．85° C．95° D．100°
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选：A．
◆变式训练
（2017?泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
1.（2017?常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
2.（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
3.（2016年浙江省绍兴市 ）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
4.（2017?玉林）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
5.（2017?深圳）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
6.（2017?枣庄）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，
两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
7.( 2016年浙江省杭州市中考数学模拟3)有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图
所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A． B． C． D．
9.（2017年浙江省温州市 一模）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠
2=35°，则∠3= 度．
10.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=67°，则∠2= 度．21世纪教育网版权所有
11.（2017?河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图
所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．【来源：21·世纪·教育·网】
1.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.（2016年浙江省丽水市）下列图形中，属于立体图形的是（ ）
3.（2017年浙江嘉兴市）一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（?? ）
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A．中 B．考 C．顺 D．利
4.（2015年浙江省金华市 ）已知，则的补角的度数是（ ）
A． 55° B． 65° C． 145° D． 165°
5.（2017年浙江宁波市江北区 模拟试卷）有一副七巧板如图所示，其中三个阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）21*cnjy*com
A．1：2：3 B．1：：2 C．1：：4 D．1：2：4
6.（2016年浙江省金华市）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）【版权所有：21教育】
A．点C B．点D或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点
7.( 2016年浙江宁波市) 能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．a=﹣2 B．a= C．a=1 D．a=
8.（2015年浙江省金华市）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是（ ）21教育名师原创作品
A． 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
9.（2017年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）21*cnjy*com
A．20° B．30° C．45° D．50°
10.（2016年浙江宁波市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
11.（2017年浙江台州市）如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=________
12.（2017年浙江宁波市模拟（二））如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则
∠2= ．
13.（2017年浙江宁波市鄞州区模拟） 如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，
则∠1= 度．
14.（2016年浙江省金华市）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠
AED的度数是 ．
15.（2016年浙江省湖州市）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是 度．www.21-cn-jy.com
16.（2016?南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵ ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
第四章 图形的性质 第16节 图形的认识
■知识点一：直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■知识点二：角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ °?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■知识点三：立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■知识点四：相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等 两直线平行
②内错角相等 两直线平行
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■知识点五：.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21cnjy.com
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.2-1-c-n-j-y
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．
解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A．
◆变式训练
（2017?黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一
根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；平行线的性质．
【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．
解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线， 这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B．
■考点2.角、角平分线
◇典例
1.（2016?宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132°
C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项A错误；
∠NOP=48°，故选项B错误；
如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；
由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键．
2.（2017?阿坝州）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为
（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°， ∵CD∥OB， ∴∠BOC=∠C=35°， 故选B．www.21-cn-jy.com
◆变式训练
1.（2016?烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°
【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图，点O是AB中点，连接DO．
∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，
∠BCD=40°或70°，
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，
故选D．
2.（2017?百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
【考点】角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义即可求解．
解：∵AM为∠BAC的平分线， ∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC． 故选：C．www-2-1-cnjy-com
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2016?连云港）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是（ ）
A．丽 B．连 C．云 D．港
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“港”是相对面，
“丽”与“连”是相对面，
“的”与“云”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 21·世纪*教育网
◆变式训练
（2017?长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．
解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是
， 故选D
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
1.（2015吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
【答案】对顶角相等．
解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．21*cnjy*com
故答案为：对顶角相等
2. （2017?桂林）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断．
解：∵∠1=∠4， ∴a∥b（同位角相等两直线平行）． 故选B．
◆变式训练
（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角是否有公共边，没有公共边有公共顶点的是对顶角．
解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，
故选B．
2. （2017?宿迁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，
∠3=85°，则∠4度数是（ ）
A．80° B．85° C．95° D．100°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据题意得出a∥b，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵∠1=80°，∠2=100°， ∴∠1+∠2=180°， ∴a∥b． ∵∠3=85°， ∴∠4=∠3=85°． 故选B．【出处：21教育名师】
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选：A．
◆变式训练
（2017?泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
1.（2017?常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
【考点】余角和补角．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
解：它的余角=90°-75°=15°， 故选D．
2.（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【考点】点到直线的距离．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
解：由题意，得 点P到直线l的距离是线段PB的长度， 故选：B．
3.（2016年浙江省绍兴市 ）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断A．C，D，故此可得到答案．
解：A．含有田字形，不能折成正方体，故A错误；
B、能折成正方体，故B正确；
C、凹字形，不能折成正方体，故C错误；
D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误．
故选：B．
4.（2017?玉林）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
解：如图所示，两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以∠1与∠2是内错角． 故选：B．
5.（2017?深圳）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠1=∠2，∴l1∥l2，故本选项错误； B、∵∠2=∠3，∴l1∥l2，故本选项错误； C、∠3=∠5不能判定l1∥l2，故本选项正确； D、∵∠3+∠4=180°，∴l1∥l2，故本选项错误． 故选C．
6.（2017?枣庄）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，
两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【考点】平行线的性质．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°， 而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故选：A．
7.( 2016年浙江省杭州市中考数学模拟3)有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内切圆的定义、多边形内角和公式、菱形的性质和平行四边形的性质，对每一项分别进行分析，即可得出答案．
解：（1）三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确；
（2）根据题意得：（n﹣2）?180=360，
解得n=4．
则四边形的内角和与外角和相等正确；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；
故选C．
8.（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图
所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】七巧板．
【分析】解答此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答．21世纪教育网版权所有
解：图C中根据图7、图4和图形不符合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 故选C
9.（2017年浙江省温州市 一模）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠
2=35°，则∠3= 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．
解：∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠C=∠1=45°，
∵∠2=35°，
∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°，
故答案为：80．
10.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=67°，则∠2= 度．【版权所有：21教育】
【考点】平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=67°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC，再由平行线的性质求出∠2的度数．
解：∵直线AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=∠BCD，
又∵BC平分∠ABD，∠1=67°，
∴∠ABC=∠CBD=∠1=67°，
又∵∠2=∠CDB，
∴在三角形CBD中有∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，
∴∠CDB=180°﹣67°﹣67°=46°，
∴∠2=46°，
故答案为：46．
11.（2017?河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图
所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【考点】两点间的距离；数轴．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示-2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示-3，B表示-1，进而得到p的值； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，据此可得p的值．
解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示-2， ∴p=1+0-2=-1； 若以C为原点，则A表示-3，B表示-1， ∴p=-3-1+0=-4； （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示-28，B表示-29，A表示-31， ∴p=-31-29-28=-88．
1.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
2.（2016年浙江省丽水市）下列图形中，属于立体图形的是（ ）
【考点】认识立体图形．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
解：A．角是平面图形，故A错误；
B、圆是平面图形，故B错误；
C、圆锥是立体图形，故C正确；
D、三角形是平面图形，故D错误．
故选：C．
3.（2017年浙江嘉兴市）一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（?? ）
2·1·c·n·j·y
A．中 B．考 C．顺 D．利
【考点】几何体的展开图
【分析】可先选一个面为底面，折叠后即可得到.
解：以“考”为底面，将其他依次折叠，可以得到
利对中，你对顺，考对祝，
故选C.21教育网
4.（2015年浙江省金华市 ）已知，则的补角的度数是（ ）
A． 55° B． 65° C． 145° D． 165°
【考点】余角和补角
【分析】根据“当两个角的度数和为180 °时，这两个角互为补角”的定义计算即可：
解：∵，
∴的补角的度数是.
故选C.
5.（2017年浙江宁波市江北区 模拟试卷）有一副七巧板如图所示，其中三个阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）
A．1：2：3 B．1：：2 C．1：：4 D．1：2：4
【考点】七巧板．
【分析】根据七巧板的特征，观察图形即可得到S1：S2：S3的比．
解：由图形可知：S1：S2：S3=1：2：4．
故选：D．
6.（2016年浙江省金华市）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）21·cn·jy·com
A．点C B．点D或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点
【考点】角的大小比较．
【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．
解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，
已知A，B，D，E四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而∠ADB=∠AEB，然后圆同弧对应的“圆内角“大于圆周角，“圆外角“小于圆周角，因而射门点在DE上时角最大，射门点在D点右上方或点E左下方时角度则会更小．
故选C．
7.( 2016年浙江宁波市) 能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a=﹣2 B．a= C．a=1 D．a=
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是a=﹣2，
故选A．
8.（2015年浙江省金华市）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是（ ）
A． 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
解：根据平行的判定逐一分析作出判断：
A． 如图1，由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
B. 如图2，由∠1=∠2和∠3=∠4，根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
C. 如图3，由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，故不一定能判定纸带两条边线，互相平行；
D. 如图4，由OA=OB，OC=OD，得到，从而得到，进而根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行.
故选C.
9.（2017年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
解：∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选D．
10.（2016年浙江宁波市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】平行线的性质．
【分析】由CD∥AB，∠ACD=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A度数，继而求得答案．
解：∵CD∥AB，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=50°．
故选B．
11.（2017年浙江台州市）如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=________
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质
【分析】根据a∥b得∠1=∠3=70°，再由∠2+∠3=180°，得出∠2=180°-70°=110°。
解： ∵a∥b,（如图）
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为110°.
12.（2017年浙江宁波市模拟（二））如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则
∠2= ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠ABC=∠1=50°，则∠BCD=130°，再利用角平分线定义得到∠ACD=∠BCD=65°，然后根据平行线的性质得到∠2=∠ACD=65°．
解：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°∠2=∠ACD
∵∠1=50°
∴∠ABC=∠1=50°，
∴∠BCD=130°
∵CA平分∠BCD
∴∠ACD=∠BCD=65°
∴∠2=∠ACD=65°
13.（2017年浙江宁波市鄞州区模拟） 如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，
则∠1= 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠AFD，根据对顶角相等得出即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵∠A=110°，
∴∠AFD=70°，
∴∠1=∠AFD=70°，
故答案为：70．
14.（2016年浙江省金华市）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠
AED的度数是 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，
∴∠AFE=∠B=60°，
∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，
故答案为：80°．
15.（2016年浙江省湖州市）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是 度．21*cnjy*com
【考点】平行线的性质．
【分析】如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，则根据平行线的性质得∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEC=90°
解：如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，
作EF∥AB，则EF∥CD，
所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°．
故答案为90．
（2016?南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵ ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【考点】度分秒的换算．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论； 证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．21教育名师原创作品
证明：证法1：∵平角等于180°， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）， ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． 故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．
