第四章 图形的性质 第17节 三角形的有关概念
■知识点一：三角形的分类
由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类 :
（2）按边的关系分类:
■知识点二：三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■知识点三：角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■知识点四：三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到 相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部2·1·c·n·j·y
中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；2-1-c-n-j-y
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的可能取得的值．【来源：21cnj*y.co*m】
解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
◆变式训练
（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）
A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0
■考点2.角的关系
◇典例：
（2017?郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180° B．210° C．360° D．270°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故选：B．【来源：21·世纪·教育·网】
（2016?临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一
个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
◆变式训练
（2016?凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角
和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
（2016?十堰）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，
再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
1.（浙江省湖州市菱湖一中）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）www-2-1-cnjy-com
（A）1.5 （B）2 （C）5 （D）2.5
【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题
解：直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为?×5=2.5． 故选D
2.（2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．
解题点拨：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
◆变式训练
（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
1.（2017?扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可
能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
2.（2017?泰州）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
3.（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
4.（2016?宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a
与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
5.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
6.（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________
7.（浙江省新昌县实验中学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边
AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=_____________.21教育网
8.（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
9.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．21·cn·jy·com
10.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，在△ABC中，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则
DE= ．
11.(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB
＝6，求点D到AB的距离．
1.（2016?温州）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
2.（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）已知△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，则△ABC的周长可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A．12 B．14 C．16 D．17
4.（2017年浙江省金华市 ）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
5.（2017?嘉兴）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
6.（2017年浙江台州市 ）如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（??? ）www.21-cn-jy.com
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
7.（2017年浙江台州市）如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）21·世纪*教育网
A．1 B．2 C． D．4
8. （2017·嘉兴）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
9.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）如图，在△ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA= ．21*cnjy*com
10.（浙江宁波市北仑区）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于 °．【出处：21教育名师】
11.（2015年浙江台州市 试题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 ______________21教育名师原创作品
12.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为 ．21*cnjy*com
13.（2016年浙江宁波市 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
14.（2016年浙江省金华市）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．
15.（2016年浙江省绍兴市）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．21cnjy.com
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．【版权所有：21教育】
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
第四章 图形的性质 第17节 三角形的有关概念
■知识点一：三角形的分类
由 不在同一直线上的 三条线段 首尾顺次 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类 :
（2）按边的关系分类:
■知识点二：三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■知识点三：角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■知识点四：三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心,内心 到三边的距离相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 重心 ：每条中线平分三角形的 面积
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 垂心
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部【版权所有：21教育】
中位线: 三角形 两边中点 的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的可能取得的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
◆变式训练
（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）
A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0
【考点】三角形三边关系．
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a-b-c与c-b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =a+b-c+c-a-b=0． 故选D．
■考点2.角的关系
◇典例：
（2017?郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180° B．210° C．360° D．270°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故选：B．
（2016?临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一
个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
◆变式训练
（2016?凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角
和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
（2016?十堰）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，
再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数． 21*cnjy*com
（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x， ∴6x=180°， ∴x=30°， ∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°， 故选B．21·世纪*教育网
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
1.（浙江省湖州市菱湖一中）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
（A）1.5 （B）2 （C）5 （D）2.5
【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题
解：直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为?×5=2.5． 故选D
2.（2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．
解题点拨：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
◆变式训练
（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．21cnjy.com
解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
【考点】三角形的重心；勾股定理．
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．www.21-cn-jy.com
解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE==2， ∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH=BC=2， ∵O是△ABC的重心， ∴AO=2OH=4， 故答案为：4．
1.（2017?扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可
能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
解：设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是2和4， ∴4-2＜x＜2+4，即2＜x＜6． 则三角形的周长：8＜C＜12， C选项11符合题意， 故选C．
2.（2017?泰州）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
【考点】三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．
解：三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A．
3.（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°， ∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°． 故选C．2·1·c·n·j·y
4.（2016?宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a
与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4﹣2）?180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
5.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∠A=∠ACD-∠B =120°-20° =100°， 故选：C．
6.（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
解：∵a、b满足+（b-2）2=0， ∴a=9，b=2， ∵a、b、c为三角形的三边， ∴7＜c＜11， ∵第三边c为奇数， ∴c=9， 故答案为9．
7.（浙江省新昌县实验中学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边
AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=_____________.
【考点】直角三角形斜边上的中线
解：法一、在Rt△ABC中，∠A＜∠B ∵CM是斜边AB上的中线， ∴CM=AM， ∴∠A=∠ACM， 将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处 设∠A=∠ACM=x度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB， ∴∠CMB=2x， 如果CD恰好与AB垂直 在Rt△CMG中， ∠MCG+∠CMB=90° 即3x=90° x=30° 则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30° 根据CM=MD， 得到∠D=∠MCD=30°=∠A ∠A等于30°． 法二、∵CM平分∠ACD， ∴∠ACM=∠MCD ∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD ∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30° ∴∠A=30°
8.（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°-45°=15°， 故答案为：15°．
9.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．21*cnjy*com
【考点】三角形中位线定理． 【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案． 解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8， ∴DE=BC=4． 故答案为：4．
10.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，在△ABC中，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则
DE= ．
【考点】 角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是45cm2，
∴×16?DE+×14?DF=45，
解得DE=3cm．
故答案为：3．
11.(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB
＝6，求点D到AB的距离．
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°－30°－90°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝AB＝3，
∴CD＝BC·tan30°＝3×＝，
∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点D到AB的距离＝CD＝．
1.（2016?温州）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得． 21教育网
解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）?180°（n≥3，且n为整数）．
2.（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=
CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心， ∴CD是△ABC的中线，PD=CD， ∵∠C=90°， ∴CD=AB=3， ∵AC=BC，CD是△ABC的中线， ∴CD⊥AB， ∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1， 故选：A．
3.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）已知△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，则△ABC的周长可能是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．17
【考点】 三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出△ABC的周长可能的值．
解：∵△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，
∴4＜AC＜8，
故AC=5或6或7，
则△ABC的周长可能是，13，14，15．
故选：B．
4.（2017年浙江省金华市）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【考点】 三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
5.（2017?嘉兴）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故选：C．
6.（2017年浙江台州市）如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（??? ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【考点】 三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【分析】根据AB=AC,BE=BC，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC,可得出正确答案。
解： ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
又∵BE=BC,
∴∠BEC=∠C,
∴∠ABC=∠BEC,
又∵∠BEC=∠A+∠ABE,∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠A=∠EBC,
故答案选C.
7.（2017年浙江台州市）如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C． D．4
【考点】 角平分线的性质
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2cm.
故答案为B.
8. （2017·嘉兴）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】三角形中位线定理，翻折变换（折叠问题）
【分析】第一折叠可得A'D=AD=A'E=2,则可得A'C'=A'C=1，即可得GC'是△DEA'的中位线，则GG=DE，求出DE即可.
解：由折叠可得，A'D=AD=A'E=2,
则A'C'=A'C=1，
则GC'是△DEA'的中位线，
而DE=,
则GG=DE=。
故选A.
9.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）如图，在△ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA= ．
【考点】 三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD=AO，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出△AOB的面积．
解：∵中线AD、BE相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴OD=AO，
∵S△BOD=5，
∴S△AOB=2S△BOD=2×5=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比是解题的关键．
10.（浙江宁波市北仑区）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于 °．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】由直角三角形的性质知，中线CE=AE=BE，所以∠EAC=∠ECA，∠B=∠BCE，由三角形内角和即可求得．
解：由直角三角形性质知，
∵E为AB之中点，
∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，
∴∠ACF=70°，
又∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD=20°，
∴∠FAC=50°，
∴在△ACF中，
∠AFC=180°﹣70°﹣50°=60°，
∴∠DFE=∠AFC=60°．
故答案为，60
11.（2015年浙江台州市 试题 ）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 ______________www-2-1-cnjy-com
【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离． 解：∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB， ∴DC=DE=2（角平分线性质）. 【来源：21cnj*y.co*m】
12.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为 ．
【考点】 三角形的面积．
【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．
解：如图，连AF，设S△ADF=m，
∵S△BDF：S△BCF=6：9=2：3=DF：CF，
则有m=S△AEF+S△EFC，
S△AEF=m﹣6，
而S△BFC：S△EFC=9：6=3：2=BF：EF，
又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=3：2，
而S△ABF=m+S△BDF=m+6，
∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=3：2=（m+6）：（m﹣6），
解得m=12．
S△AEF=12，
SADEF=S△AEF+S△ADF=12+12=24．
故答案为：24．
13.（2016年浙江宁波市 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
【考点】 反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以分别设出点A．点B的坐标，根据点O、A．B在同一条直线上可以得到A．B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．
解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
14.（2016年浙江省金华市 ）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．
【考点】 三角形的稳定性．
【分析】（1）只要证明AE∥BD，得=，列出方程即可解决问题．
（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．
解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BD，
∴=，
∴=，
∴AE=，
故答案为．
（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．
在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=，FN=AN+AF=+2=，
∴BF==，同理得到AC=DF=，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴∠M=60°，
∴CM=BC=BM，
∵∠M+∠MAF=180°，
∴AF∥DM，∵AF=CM，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF=AM=3，
∵∠BCM=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，
∴∠MBD=90°，
∴BD==2，同理AE=2，
∵＜3＜2，
∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，
∴连接AC、BF、DF即可，
∴所用三根钢条总长度的最小值3，
故答案为3．
15.（2016年浙江省绍兴市 ）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．21世纪教育网版权所有
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．21·cn·jy·com
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【出处：21教育名师】
【考点】 全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．
【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．
（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．2-1-c-n-j-y
解：（1）相等．
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠B=∠D．
（2）设AD=x，BC=y，
当点C在点D右侧时，，解得，
当点C在点D左侧时，解得，
此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，
∴不合题意，
∴AD=13cm，BC=10cm．
