14章 勾股定理导学案（word版无答案）
文档属性
| 名称 | 14章 勾股定理导学案（word版无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-12-19 22:15:13 | ||
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文档简介
§14.1 勾股定理
第一课时
【学习内容】
直角三角形三边的关系(一)
【学习目标】
1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．
2、能利用勾股定理解决实际问题．
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．
【学习重点和难点】
1、学习重点：勾股定理的实际运用
2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程
【学习过程】
一、知识回顾
1、直角三角形的性质：
2、三角形三边关系：
3、现有四条线段的长度分别为4，6，8，10，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（ ）.21世纪教育网版权所有
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.
二、预习导学
小明用一边长为的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？
这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为），你能知道斜边的长吗？
③观察图形，并填空：
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q 的面积为 ，
正方形R的面积为 .
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
活动二：动手做一做
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？
（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）
（图中每一小方格表示）
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q的面积为 ，
正方形R的面积为 .
⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系
是什么？
⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.21教育网
由此我们得到结论是：
①勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________________________________.21·cn·jy·com
②用语言怎样叙述？_________________________________________________________.
公式变形：
二、预习检测
认真填一填：
直角三角形
直角边a
直角边b
斜边c
1
3
4
2
5
13
3
15
17
三、典例剖析
例1：在△ABC中，∠A=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
若c=10,b=24,求a; （2）若c=9,a=15,求b；（3）若b=12,a=15,求c.
例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）21cnjy.com
例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. 若a=6，b=8，求c的长及斜边上的高.www.21-cn-jy.com
四、分层练习
A组
1．在Rt△ABC中，，，，
①若，，则 .
②若，，则 .
③若，，则 ， .
2．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可为 ( )
A．2：3：4 B．3：4：6
C．5：12：13 D．4：6：7
3. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )
A．2n B．n+1
C．n2-l D．n2+1
4．若直角三角形的三边长分别是3cm与5cm，那么这个三角形的周长是________cm.
5．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=__________．
6．在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，则S△ABC=___________．
7、如图，矩形纸片ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后BE的长为多少？设BE=xcm，则以下
所列方程正确的是（ ）.
A：(9–x)2+x2=32 B：(9–x)2+32=x2
C：32+x2=(6–x)2 D：(6–x)2+x2=32
8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形边长是，
则正方形A、B、C、D的面积和是 .
9．如图所示，AC=3cm，AB=4 cm，BD=12 cm，求CD的长.
B组
1、如果一个直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，则这个三角形的面积是__________.
2．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是_________．
3．如图，在△ABC中，AB=AC=13 cm.AD是高，且AD=5 cm．
(1)图中还有相等的线段吗?如果有，请把它们写出来________；
(2)BC=_________cm；
(3)△ABC的面积是________cm2．
4．如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD的长．
5．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为L．
(1)请你完成下面的表格：
(2)仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a，b，c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么猜想__________（用m表示）；
(3)请说明你的猜想的正确性．
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
第二课时
【学习内容】
直角三角形三边的关系（二）
【学习目标】
1、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确
2、会应用勾股定理解决实际问题
【学习重点和难点】
1、学习重点：利用勾股定理解决实际问题
2、学习难点：构造直角三角形求解
【学习过程】
一、知识回顾
1. 勾股定理的内容是什么？
2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边.
二、预习导学
剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
图14.1.5 图14.1.6
用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．
由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论.
（1） （2） （3） （4） （5）
探究点拔：1.将这四个完全相同的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出.
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到.
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得.
四、典例剖析
例1. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？
例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
五、分层练习
1．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．
2．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．
3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．
5．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．
6．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
7．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
8． 如图∠B=90o，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积．
9．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB间的尺寸．
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
第三课时
【学习内容】
直角三角形的判定
【学习目标】
1、掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用
2、熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用
【学习重点和难点】
1、学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形
2、学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.
【学习过程】
一、知识回顾
问题1：直角三角形有什么性质 ？
(1)有一个角是 ； (2)两个锐角 ；
(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
（有一个角是直角； 两个锐角互余）
问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
二、预习导学
1、古代埃及人作直角：
古埃及人曾经用下面的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 他们真的能够得到直角三角形吗？你知道这是什么道理吗？
2、 画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形:
(1)a=3,b=4,c=5； (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. （4）a=2,b=3,c=4
以上各组数据为三边所画的三角形是直角三角形的是 ；
以上各组数据为三边所画的三角形不是直角三角形 .
3、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？
在以上的各组数据中,满足a2 + b2 = c2的是 ；不满足a2 + b2 = c2的是 .
3、归纳：
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2= c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∵a2 + b2= c2 ∴ΔABC为RtΔ
强调：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形
三、典例剖析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：
（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．
注意：①先找最大边②再判断三角形是否满足较短的两边的平方和等于最长边的平方（勾股定理的逆定理）
例2、一个零件的形状如下图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC都是直角.量得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由.
五、分层练习
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8， 15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（ ）．
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
2．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．
3．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形
是______________________．
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形
5．下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
6．在△ABC中，，那么△ABC是（? ）．
???? A．等腰三角形????? B．钝角三角形????? C．直角三角形???? D．等腰直角三角形
7．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
8．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”).
9．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
§14.2 勾股定理的应用
第一课时
【学习目标】
1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；
2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想.
3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
【学习重点和难点】
重点：勾股定理的应用
难点：将实际问题转化为数学问题
【学习过程】
一、知识回顾
（1）在Rt中，a=8㎝，b=10㎝，，则第三边长c= ．
（2）已知中，三边长a、b、c为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c的长．
（3）已知在Rt中，两直角边的长为20和15，，且BC边上的高为12，求BD的长．
（4）如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A角走到C角，至少走 米．
二、新知探究
问题1. 如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB的长.
问题2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
三．例题剖析
例1. 如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
四、反馈提高
A组
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____;
(2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm，3cm，则第三边的长是______;
(3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km，乙往南走6km，这时甲乙两人相距____km.
2．如图，圆柱高为8cm，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短程（取3）是( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定
3. 一条河的宽度处处相等,小强想从河的南岸横游到北岸去,由于水流影响,小强上岸地点偏离目标地点200m,他在水中实际游了520m,那么该河的宽度为???? (???? ) ??? A.440 m??????????? B.460 m?????????? C.480 m???????? D. 500 m
４．P58 练习1、2题
Ｂ组
1、如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在
以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的
一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）.
A、 3 m B、 5 m C、6 m D、7 m
2、如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
3．有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.⑴如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π) ??? ⑵如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π
六．学习收获：
七．课堂作业：
八．课后反思
第二课时
【学习目标】
1、会用勾股定理解决较综合的问题.
2、树立数形结合的思想.
【学习重点和难点】
重点：勾股定理的综合应用.
难点：勾股定理的综合应用.
【学习过程】
一．预习练习
1. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，
PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米.
2. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积.
二．例题剖析
1. 如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
2.如图，已知CD＝６m， AD＝８m， ∠ADC＝９０°， BC＝２４m， ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
三．反馈提高
Ａ组
1. P60练习1.2题
2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方
向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方
向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）海里.
A、25 B、 30
C、35 D、40
3. 求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？
Ｂ组
如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两
个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，
黑甲壳虫爬行的路线是：AA1?A1D1?D1C1?C1C?CB?BA
?AA1?A1D1…，白甲壳虫爬行的路线是：AB?BB1?B1C1?
C1D1?D1A1?A1A?AB?BB1…，那么当黑、白两个甲壳虫各
爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们
之间的距离是 .
2. 如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
3. 如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
四．学习收获：
五．课堂作业：
六．课后反思
第一课时
【学习内容】
直角三角形三边的关系(一)
【学习目标】
1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．
2、能利用勾股定理解决实际问题．
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．
【学习重点和难点】
1、学习重点：勾股定理的实际运用
2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程
【学习过程】
一、知识回顾
1、直角三角形的性质：
2、三角形三边关系：
3、现有四条线段的长度分别为4，6，8，10，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（ ）.21世纪教育网版权所有
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.
二、预习导学
小明用一边长为的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？
这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为），你能知道斜边的长吗？
③观察图形，并填空：
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q 的面积为 ，
正方形R的面积为 .
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
活动二：动手做一做
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？
（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）
（图中每一小方格表示）
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q的面积为 ，
正方形R的面积为 .
⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系
是什么？
⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.21教育网
由此我们得到结论是：
①勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________________________________.21·cn·jy·com
②用语言怎样叙述？_________________________________________________________.
公式变形：
二、预习检测
认真填一填：
直角三角形
直角边a
直角边b
斜边c
1
3
4
2
5
13
3
15
17
三、典例剖析
例1：在△ABC中，∠A=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
若c=10,b=24,求a; （2）若c=9,a=15,求b；（3）若b=12,a=15,求c.
例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）21cnjy.com
例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. 若a=6，b=8，求c的长及斜边上的高.www.21-cn-jy.com
四、分层练习
A组
1．在Rt△ABC中，，，，
①若，，则 .
②若，，则 .
③若，，则 ， .
2．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可为 ( )
A．2：3：4 B．3：4：6
C．5：12：13 D．4：6：7
3. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )
A．2n B．n+1
C．n2-l D．n2+1
4．若直角三角形的三边长分别是3cm与5cm，那么这个三角形的周长是________cm.
5．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=__________．
6．在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，则S△ABC=___________．
7、如图，矩形纸片ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后BE的长为多少？设BE=xcm，则以下
所列方程正确的是（ ）.
A：(9–x)2+x2=32 B：(9–x)2+32=x2
C：32+x2=(6–x)2 D：(6–x)2+x2=32
8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形边长是，
则正方形A、B、C、D的面积和是 .
9．如图所示，AC=3cm，AB=4 cm，BD=12 cm，求CD的长.
B组
1、如果一个直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，则这个三角形的面积是__________.
2．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是_________．
3．如图，在△ABC中，AB=AC=13 cm.AD是高，且AD=5 cm．
(1)图中还有相等的线段吗?如果有，请把它们写出来________；
(2)BC=_________cm；
(3)△ABC的面积是________cm2．
4．如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD的长．
5．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为L．
(1)请你完成下面的表格：
(2)仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a，b，c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么猜想__________（用m表示）；
(3)请说明你的猜想的正确性．
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
第二课时
【学习内容】
直角三角形三边的关系（二）
【学习目标】
1、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确
2、会应用勾股定理解决实际问题
【学习重点和难点】
1、学习重点：利用勾股定理解决实际问题
2、学习难点：构造直角三角形求解
【学习过程】
一、知识回顾
1. 勾股定理的内容是什么？
2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边.
二、预习导学
剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
图14.1.5 图14.1.6
用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．
由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论.
（1） （2） （3） （4） （5）
探究点拔：1.将这四个完全相同的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出.
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到.
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得.
四、典例剖析
例1. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？
例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
五、分层练习
1．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．
2．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．
3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．
5．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．
6．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
7．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
8． 如图∠B=90o，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积．
9．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB间的尺寸．
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
第三课时
【学习内容】
直角三角形的判定
【学习目标】
1、掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用
2、熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用
【学习重点和难点】
1、学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形
2、学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.
【学习过程】
一、知识回顾
问题1：直角三角形有什么性质 ？
(1)有一个角是 ； (2)两个锐角 ；
(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
（有一个角是直角； 两个锐角互余）
问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
二、预习导学
1、古代埃及人作直角：
古埃及人曾经用下面的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 他们真的能够得到直角三角形吗？你知道这是什么道理吗？
2、 画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形:
(1)a=3,b=4,c=5； (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. （4）a=2,b=3,c=4
以上各组数据为三边所画的三角形是直角三角形的是 ；
以上各组数据为三边所画的三角形不是直角三角形 .
3、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？
在以上的各组数据中,满足a2 + b2 = c2的是 ；不满足a2 + b2 = c2的是 .
3、归纳：
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2= c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∵a2 + b2= c2 ∴ΔABC为RtΔ
强调：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形
三、典例剖析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：
（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．
注意：①先找最大边②再判断三角形是否满足较短的两边的平方和等于最长边的平方（勾股定理的逆定理）
例2、一个零件的形状如下图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC都是直角.量得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由.
五、分层练习
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8， 15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（ ）．
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
2．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．
3．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形
是______________________．
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形
5．下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
6．在△ABC中，，那么△ABC是（? ）．
???? A．等腰三角形????? B．钝角三角形????? C．直角三角形???? D．等腰直角三角形
7．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
8．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”).
9．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？
六、学习心得
七、课堂作业
八、家庭作业
§14.2 勾股定理的应用
第一课时
【学习目标】
1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；
2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想.
3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
【学习重点和难点】
重点：勾股定理的应用
难点：将实际问题转化为数学问题
【学习过程】
一、知识回顾
（1）在Rt中，a=8㎝，b=10㎝，，则第三边长c= ．
（2）已知中，三边长a、b、c为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c的长．
（3）已知在Rt中，两直角边的长为20和15，，且BC边上的高为12，求BD的长．
（4）如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A角走到C角，至少走 米．
二、新知探究
问题1. 如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB的长.
问题2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
三．例题剖析
例1. 如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
四、反馈提高
A组
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____;
(2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm，3cm，则第三边的长是______;
(3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km，乙往南走6km，这时甲乙两人相距____km.
2．如图，圆柱高为8cm，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短程（取3）是( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定
3. 一条河的宽度处处相等,小强想从河的南岸横游到北岸去,由于水流影响,小强上岸地点偏离目标地点200m,他在水中实际游了520m,那么该河的宽度为???? (???? ) ??? A.440 m??????????? B.460 m?????????? C.480 m???????? D. 500 m
４．P58 练习1、2题
Ｂ组
1、如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在
以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的
一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）.
A、 3 m B、 5 m C、6 m D、7 m
2、如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
3．有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.⑴如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π) ??? ⑵如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π
六．学习收获：
七．课堂作业：
八．课后反思
第二课时
【学习目标】
1、会用勾股定理解决较综合的问题.
2、树立数形结合的思想.
【学习重点和难点】
重点：勾股定理的综合应用.
难点：勾股定理的综合应用.
【学习过程】
一．预习练习
1. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，
PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米.
2. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积.
二．例题剖析
1. 如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
2.如图，已知CD＝６m， AD＝８m， ∠ADC＝９０°， BC＝２４m， ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
三．反馈提高
Ａ组
1. P60练习1.2题
2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方
向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方
向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）海里.
A、25 B、 30
C、35 D、40
3. 求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？
Ｂ组
如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两
个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，
黑甲壳虫爬行的路线是：AA1?A1D1?D1C1?C1C?CB?BA
?AA1?A1D1…，白甲壳虫爬行的路线是：AB?BB1?B1C1?
C1D1?D1A1?A1A?AB?BB1…，那么当黑、白两个甲壳虫各
爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们
之间的距离是 .
2. 如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
3. 如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
四．学习收获：
五．课堂作业：
六．课后反思