第四章 图形的性质 第18节 全等三角形
全等图形：能够完全重合的两个图形叫做 ．
注：能够完全重合即形状、大小完全相同．
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做 三角形
■知识点一：全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
■知识点二：三角形全等的判定
一般三角形全等 SSS（三边对应相等）
SAS（两边和它们的夹角对应相等）
ASA（两角和它们的夹角对应相等）
AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
■知识点三：全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角
形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行
条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即 .【出处：21教育名师】
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
■考点1全等三角形的性质
◇典例：
（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=24°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=120°， 故答案为：120°．
◆变式训练
（2016?厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
【考点】全等三角形的性质．
【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．
解：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点， ∴∠DCE=∠B， 故选A．
■考点2.三角形全等的判定
◇典例
1.（2017?怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB=DE， 在△ABC与△DEC中，
， ∴△ABC≌△DEC． 故答案为：AB=DE．本题答案不唯一．
2.（2017?陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，
则四边形ABCD的面积为 ________________________
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90° ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°； ∵∠BAD=90°， ∴∠BAM=∠DAN； 在△ABM与△ADN中，
， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6； ∴2λ2=36，λ2=18， 故答案为：18．
◆变式训练
（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、
AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2. （2017?娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ______
3.（2017?福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：
∠A=∠D．
■考点3.全等三角形的运用
◇典例：
（2012?柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）2·1·c·n·j·y
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【考点】全等三角形的应用．
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长， 故选：B．
◆变式训练
（2015?义乌市）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）21教育网
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
（2016?新疆）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下
列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过
点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B． 6 C．4 D．2
（2017?黔西南州）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD∥BC C．∠A=∠B D．对角线互相平分
（2015?柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ___________
（2017?黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．
（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB．
（2017?吉林）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
（2017?郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：
BE=CD．
（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC
与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．
（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通
过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．21世纪教育网版权所有
1.（浙江宁波市镇海区八校期末）已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=50°，则∠F的度数为（ ）21·世纪*教育网
A．30° B．50° C．80° D．100°
（2016年浙江省金华市）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
3.（浙江宁波市北仑区期末）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是___________（只需写一个，不添加辅助线）．【来源：21cnj*y.co*m】
4.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为 _________________．【版权所有：21教育】
5.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF21教育名师原创作品
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
6.（2017年浙江省温州市 一模）在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC=BC，在对角线AC上取点E，使CE=AD，连接BE．
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）若CA平分∠BCD，且AD=3，求BE的长．
7.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．
8.（2016届浙江杭州市高桥中学 二模）如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．求证：AB=CF+BD．21·cn·jy·com
9.（2017年浙江温州市 ）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
10.（浙江杭州市开发区）已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4，求正方形ABCD的面积？
11.（2016年浙江省温州市 ）如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．www.21-cn-jy.com
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
12.（2017年浙江台州市 ）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径www-2-1-cnjy-com
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 的值
13.（2016年浙江省绍兴市 ）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．21*cnjy*com
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．21*cnjy*com
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
14.（2015年浙江省金华市 ）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求EG的长.
15.（浙江省湖州市）如图，CD∥AB，∠ABC,∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点。
（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；
（2）若CD=3,AB=4,求BC的长.
第四章 图形的性质 第18节 全等三角形
全等图形：能够完全重合的两个图形叫做 全等图形 ．
注：能够完全重合即形状、大小完全相同．
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做 全等 三角形
■知识点一：全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
■知识点二：三角形全等的判定
一般三角形全等 SSS（三边对应相等）
SAS（两边和它们的夹角对应相等）
ASA（两角和它们的夹角对应相等）
AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
■知识点三：全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角
形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行
条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.21cnjy.com
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
■考点1全等三角形的性质
◇典例：
（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=24°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=120°， 故答案为：120°．
◆变式训练
（2016?厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
【考点】全等三角形的性质．
【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．
解：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点， ∴∠DCE=∠B， 故选A．
■考点2.三角形全等的判定
◇典例
1.（2017?怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： AB=DE，使得△ABC≌△DEC．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB=DE， 在△ABC与△DEC中，
， ∴△ABC≌△DEC． 故答案为：AB=DE．本题答案不唯一．
2.（2017?陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，
则四边形ABCD的面积为 ________________________
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90° ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°； ∵∠BAD=90°， ∴∠BAM=∠DAN； 在△ABM与△ADN中，
， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6； ∴2λ2=36，λ2=18， 故答案为：18．
◆变式训练
（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、
AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解题点拨：根据已知条件“AB=AC．D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线
分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
2. （2017?娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ______
【考点】直角三角形全等的判定．
根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等， ∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC． 故答案为：AB=DC．
3.（2017?福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：
∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．
证明：如图，∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）． ∴∠A=∠D．
■考点3.全等三角形的运用
◇典例：
（2012?柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【考点】全等三角形的应用．
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长， 故选：B．
◆变式训练
（2015?义乌市）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的应用．
【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
解：在△ADC和△ABC中，
， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故选：D．
（2016?新疆）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下
列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过
点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B． 6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
（2017?黔西南州）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD∥BC C．∠A=∠B D．对角线互相平分
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】由AB=CD，AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，推出∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，由此即可判断．2·1·c·n·j·y
解：如图，∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD， ∴选项A、B、D正确， 故选C 21*cnjy*com
（2015?柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ___________
【考点】全等三角形的性质．
【分析】利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．
解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF 则EF=5． 故答案为：5．
（2017?黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或
AD=BE（只需添加一个即可），使得△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
解：∵BC∥EF， ∴∠ABC=∠E， ∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF， ∵在△ABC和△DEF中，
， ∴△ABC≌△DEF， 同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF． 故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．
（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
（2017?吉林）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
证明：∵BE=FC， ∴BE+EF=CF+EF， 即BF=CE； 又∵AB=DC，∠B=∠C， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A=∠D．21世纪教育网版权所有
（2017?郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：
BE=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．【出处：21教育名师】
证明：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵点D、E分别是AB、AC的中点． ∴AD=AE， 在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD．
（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC
与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，可得∠CAD=∠CBE，然后求出∠OAB+∠OBA=120°，再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE 即∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE=∠CBD， ∵∠APC=∠BPO， ∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．
（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通
过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【考点】全等三角形的应用；平行线之间的距离．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得 △ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD=OB， 在△ABO与△CDO中，
， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m）
1.（浙江宁波市镇海区八校期末）已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=50°，则∠F的度数为（ ）21·cn·jy·com
A．30° B．50° C．80° D．100°
【考点】 全等三角形的性质．
【分析】要求∠F的大小，利用△ABC≌△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小．21教育名师原创作品
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=80°
∴∠F=180﹣∠D﹣∠E=50°
故选B．
2.（2016年浙江省金华市）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【考点】 全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A．∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
3.（浙江宁波市北仑区期末）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是___________（只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】 全等三角形的判定．
【分析】求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．
解：AB=DE，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB=DE．
4.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为_________________．21·世纪*教育网
【考点】 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；点与圆的位置关系．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【版权所有：21教育】
解：如图，
，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG==，
∵PG=
∴CP=CG﹣PG==，
即线段CP的最小值为．
故答案为：．
【点评】（1）解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）此题还考查了正方形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
5.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．
（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．
解：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=20°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=65°．
6.（2017年浙江省温州市 一模）在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC=BC，在对角线AC上取点E，使CE=AD，连接BE．
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）若CA平分∠BCD，且AD=3，求BE的长．
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行可得到∠DAC=∠ECB，结合条件可证明△DAC≌△ECB；
（2）由条件可证明DA=DC，结合（1）的结论可得到BE=CD，可求得BE的长．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中，
，
∴△DAC≌△ECB（SAS）；
（2）解：∵CA平分∠BCD，
∴∠ECB=∠DCA，且由（1）可知∠DAC=∠ECB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴CD=DA=3，
又∵由（1）可得△DAC≌△ECB，
∴BE=CD=3．
7.（2016届浙江杭州市拱墅区、下城区 一模）某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠E=∠AOF=60°，AE=AO，∠OAE=60°，求出∠FAO=∠EAG，根据ASA推出△AFO≌△AGE，根据全等三角形的性质得出即可．
证明：∵△AOD和△AOE是等边三角形，
∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO，∠OAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO，
在△AFO和△AGE中，
，
∴△AFO≌△AGE（ASA），
∴AF=AG．
8.（2016届浙江杭州市高桥中学 二模）如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．求证：AB=CF+BD．www.21-cn-jy.com
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠ECF=∠A，求出AE=EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出AD=CF，即可解答．2-1-c-n-j-y
解：∵E是AC的中点，
∴AE=CE．
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
∴AD=CF．
∴AD+BD=CF+BD=AB．
9.（2017年浙江温州市 ）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
解：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．21*cnjy*com
10.（浙江杭州市开发区）已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4，求正方形ABCD的面积？
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）首先证明△BDG≌△BGF，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；
（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（﹣1）x，利用勾股定理DF2=DC2+CF2，解得x2=2，即正方形ABCD的面积是2．
解：（1）证明：在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）OG∥BF且OG=BF，
理由：如图，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，
，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF且OG=BF；
（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，由（2）知△BGD≌△BGF，
∴BF=BD，
∴CF=（﹣1）x，
∵DF2=DC2+CF2，
∴x2+[（﹣1）x]2=8﹣4，解得x2=2，
∴正方形ABCD的面积是2．
点评： 本题主要考查了正方形的性质，涉及全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定及性质．
11.（2016年浙江省温州市 ）如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；www-2-1-cnjy-com
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是?ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在?ABCD中，AD=BC=5，
∴DE===4，
∴CD=2DE=8．
12.（2017年浙江台州市 ）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 的值
【考点】 全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
13.（2016年浙江省绍兴市 ）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
【考点】 全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．
【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．
（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．21教育网
解：（1）相等．
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠B=∠D．
（2）设AD=x，BC=y，
当点C在点D右侧时，，解得，
当点C在点D左侧时，解得，
此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，
∴不合题意，
∴AD=13cm，BC=10cm．
14.（2015年浙江省金华市 ）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求EG的长.
解：（1）证明：∵DE⊥AF ，∴∠AED=90°.
又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°.
∴∠DAE=∠AFB，∠AED=∠B=90°.
又∵AF=AD，∴△ADE≌△FAB（AAS）.
∴DE=AB.
（2）∵BF=FC=1，∴AD=BC=BF+FC=2.
又∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1.
∴在Rt△ADE中，AE=AD. ∴∠ADE=30°.
又∵DE=，
∴.
15.（浙江省湖州市）如图，CD∥AB，∠ABC,∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点。
（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；
（2）若CD=3,AB=4,求BC的长.
【考点】平行线的性质及全等三角形的判定及性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得到∠ABC+∠BCD=180°，由角平分线的性质不难推出∠EBC+∠ECB=90°，即BE与CF垂直． （2）利用ASA可判定△FBE≌△CBE，由全等三角形的性质可得到BF=BC，EF=EC，同理利用ASA判定△DCE≌△AFE，从而可得到DC=AF，已知AB，CD的长，则不难求得BC的长．
解：（1）垂直．
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB= 1/2∠ABC+ 1/2∠BCD= 1/2（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE与CF互相垂直．
（2）∵∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∵∠FBE=∠CBE，BE=BE，
∴△FBE≌△CBE，
∴BF=BC，EF=EC，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
∵∠FEA=∠CED，
∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，
∴BF=BC=7．
