第四章 图形的性质 第19节 等腰三角形
■知识点一：等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 .
■知识点二：等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.
■知识点三：角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．
■知识点四：垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
1.（2017?南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1， ）
【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．
解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则 ∵△AOB是等边三角形， ∴OC=AO=1， ∴Rt△BOC中，BC==， ∴B（1，）， 故选：D．
2.（2016·贵州安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为
两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.(2016·黑龙江哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 ．
■考点2.等边三角形
◇典例
（2016·广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．
解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
故选C．
◆变式训练
（2017?淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=________________
■考点3.角平分线
◇典例：
（2017?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°， ∴DE=CD， ∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30． 故选B．
◆变式训练
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B． 6 C．4 D．2
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，
若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ________________
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
解：∵AB=AC， BE=a，AE=b， ∴AC=AB=a+b， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE=b， ∴∠ECA=∠BAC=36°， ∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°， ∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°， ∴CE=BC=b， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．
◆变式训练
（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，
若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ___________
1.（2017?海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2017?武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，
过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4.（2017?台州）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则
点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5.（2016?广州）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE
交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
6.（2017?黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周
长是 _________
7.（2017?江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角
为30°，则∠A= _________
8. （2016?泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠
β等于 _____
9.（2017校级模拟）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方
程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
10.（2016?宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥
AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
1.（2017年浙江台州市）如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（??? ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
2.（2017年浙江台州市）如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（ ? ）
A．1 B．2 C． D．4
3.（浙江宁波市北仑区2016-2017学年八年级上期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
4.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）已知一个等腰三角形一底角的度数为80°．则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．70° C．80° D．100°
5.（2016年浙江省杭州市）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
6.（2015年浙江省金华市）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（ ）
7.（2017年浙江省丽水市）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
8.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE= ．
9.（浙江省新昌县实验中学八年级竞赛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=_____________.
10.（2015年浙江台州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是
11.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
12.（2016年浙江省杭州市）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 ．
13.（2016年浙江宁波市）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
14.（2017?内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
15.（2017年浙江嘉兴市 ）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
第四章 图形的性质 第19节 等腰三角形
■知识点一：等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
■知识点二：等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.
■知识点三：角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．
■知识点四：垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
1.（2017?南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1， ）
【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．
解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则 ∵△AOB是等边三角形， ∴OC=AO=1， ∴Rt△BOC中，BC==， ∴B（1，）， 故选：D．
2.（2016·贵州安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为
两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．www.21-cn-jy.com
解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．
解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵ED∥BC， ∴∠CBD=∠BDE， ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE， △AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD， ∵AB=3，AD=1， ∴△AED的周长=3+1=4． 故选C．
2.(2016·黑龙江哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 ．
【考点】等腰直角三角形的性质．勾股定理
【分析】①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；
②如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．
解：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∵PB=BC=1，
∴CP=2，
∴AP==，
②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∵PC=BC=1，
∴AP==，
综上所述：AP的长为或，
故答案为：或．
■考点2.等边三角形
◇典例
（2016·广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论． 21cnjy.com
解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
故选C．
◆变式训练
（2017?淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=________________
【考点】等边三角形的性质．
【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2．2·1·c·n·j·y
解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=AB=2， 连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴AB?DE+AC?DF=BC?AG， ∵AB=AC=BC=4， ∴DE+DF=AG=2， 故答案为：2【版权所有：21教育】
■考点3.角平分线
◇典例：
（2017?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°， ∴DE=CD， ∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30． 故选B．21教育名师原创作品
◆变式训练
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B． 6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，
若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ________________
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；21*cnjy*com
解：∵AB=AC， BE=a，AE=b， ∴AC=AB=a+b， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE=b， ∴∠ECA=∠BAC=36°， ∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°， ∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°， ∴CE=BC=b， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．
◆变式训练
（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，
若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ___________
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15， 故答案为：15．
1.（2017?海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，
将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．
解：如图所示： 当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选B．
2.（2017?武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，
使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．【出处：21教育名师】
解：如图：
? 故选D．
3.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，
过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，
设BD=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°， ∴BF=2x， ∴CF=12-2x， ∴CE=2CF=24-4x， ∴AE=12-CE=4x-12， ∴AD=2AE=8x-24， ∵AD+BD=AB， ∴8x-24+x=12， ∴x=4， ∴AD=8x-24=32-24=8． 故选C．
4.（2017?台州）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则
点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】角平分线的性质．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=2， 故选：B．
5.（2016?广州）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE
交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．
解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC==5． 故选：D．
6.（2017?黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周
长是 _________
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15．
7.（2017?江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角
为30°，则∠A= _________
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵OA=OB，∠AOB=30°， ∴∠A=（180°-30°）=75°， 故答案为：75．
8. （2016?泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠
β等于 _____
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．
解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD=∠β． ∵l1∥l2， ∴AD∥l2， ∵∠DAC=∠α=40°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°． 故答案为20°．
9.（2017校级模拟）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方
程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
【考点】等腰三角形的判定；根的判别式．
【分析】先根据关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，可知△=（-4）2-4b=0，求出b的值为4，再根据a，c的值来判断△ABC的形状．
解：∵方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根 ∴△=（-4）2-4b=0 ∴b=4 ∵c=4 ∴b=c=4 ∴△ABC为等腰三角形．
10.（2016?宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥
AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴DE=DC=2， 在RT△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4， ∴EF=
1.（2017年浙江台州市）如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（??? ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【分析】根据AB=AC,BE=BC，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC,可得出正确答案。
解： ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
又∵BE=BC,
∴∠BEC=∠C,
∴∠ABC=∠BEC,
又∵∠BEC=∠A+∠ABE,∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠A=∠EBC,
故答案选C.
2.（2017年浙江台州市）如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（? ）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】角平分线的性质
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案. 21·世纪*教育网
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2cm.
故答案为B.
3.（浙江宁波市北仑区2016-2017学年八年级上期末 ）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
4.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）已知一个等腰三角形一底角的度数为80°．则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）21*cnjy*com
A．20° B．70° C．80° D．100°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数．
解：∵等腰三角形的一个底角为80°，
∴顶角=180°﹣80°×2=20°．
故选A．
5.（2016年浙江省杭州市）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
【考点】等腰直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．
6.（2015年浙江省金华市 ）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（ ）21教育网
【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，
解：如答图，连接，与交于点.
则根据对称性质，经过圆心，
∴垂直 平分，.
不妨设正方形ABCD的边长为2，则.
∵是⊙O的直径，∴.
在中，，
.
在中，∵，∴.
易知是等腰直角三角形，∴.
又∵是等边三角形，∴.
∴.
故选C.
7.（2017年浙江省丽水市）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
8.（浙江宁波市镇海区八校2016-2017学年八年级上期末数学）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE= ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是45cm2，
∴×16?DE+×14?DF=45，
解得DE=3cm．
故答案为：3．
9.（浙江省新昌县实验中学八年级竞赛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=_____________.
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．
解：法一、在Rt△ABC中，∠A＜∠B ∵CM是斜边AB上的中线， ∴CM=AM， ∴∠A=∠ACM， 将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处 设∠A=∠ACM=x度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB， ∴∠CMB=2x， 如果CD恰好与AB垂直 在Rt△CMG中， ∠MCG+∠CMB=90° 即3x=90° x=30° 则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30° 根据CM=MD， 得到∠D=∠MCD=30°=∠A ∠A等于30°． 法二、∵CM平分∠ACD， ∴∠ACM=∠MCD ∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD ∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30° ∴∠A=30°
10.（2015年浙江台州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是
【考点】角平分线的性质．
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离． 解：∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB， ∴DC=DE=2（角平分线性质）.
11.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．
解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P； 点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；【来源：21·世纪·教育·网】
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．
故答案为：x=0或x=4﹣4或4．
12.（2016年浙江省杭州市）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 ．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．21世纪教育网版权所有
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，
∠ABC=∠ADC=150°，
∴∠DBA=∠DBC=75°，
∵ED=EB，∠DEB=120°，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，
当点E′在BD左侧时，∵∠DBE′=30°，
∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，
∴∠EBC=105°或45°，
故答案为105°或45°．
13.（2016年浙江宁波市 ）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
【考点】反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以分别设出点A．点B的坐标，根据点O、A．B在同一条直线上可以得到A．B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．21·cn·jy·com
解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
14.（2017?内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．www-2-1-cnjy-com
证明：如图
∵DE∥AC， ∴∠1=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形．
15.（2017年浙江嘉兴市 ）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值；
（2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
（1）解：把A（-1,2）代入y=，得k2=-2，
∴反比例函数的表达式为y=。
∵B（m,-1）在反比例函数的图象上，
∴m=2。
由题意得，解得
∴一次函数的表达式为y=-x+1。
（2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=3
①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1,
∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去）
②当AP=AB时，22+（n+1）2=(3)2
∵n>0，∴n=-1+
③当BP=BA时，12+（n-2）2=(3)2
∵n>0，∴n=2+
所以n=-1+或n=2+。
