课下能力提升（一）简单旋转体
一、选择题
1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )
A．一个圆台和两个圆锥
B．两个圆台和一个圆锥
C．两个圆柱和一个圆锥
D．一个圆柱和两个圆锥
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
4．以下几何体中符合球的结构特征的是( )
A．足球 B．篮球
C．乒乓球 D．铅球
5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
二、填空题
6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．
7．给出下列四个命题：
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是______．
三、解答题
9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．
10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．
答 案
1. 解析：选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．21世纪教育网版权所有
2. 解析：选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．
3. 解析：选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．
4. 解析：选D 因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．21教育网
5. 解析：选D 轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．
6. 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．
答案：两个圆锥
7. 解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．21cnjy.com
答案：②
8. 解析：画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝＝63(cm2)．
答案：63 cm2
9. 解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．21·cn·jy·com
10. 解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．
③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．www.21-cn-jy.com
①不是圆柱，④不是圆锥．
课下能力提升（七）平行关系的判定
一、选择题
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是( )21教育网
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．平行或相交
3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )
A．平面BME∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是( )
①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β21cnjy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是( )21·cn·jy·com
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．相交或平行
二、填空题
6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．2·1·c·n·j·y
7．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.21·世纪*教育网
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：www-2-1-cnjy-com
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
答 案
1. 解析：选D 若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2. 解析：选A 如图所示，
在平面ABC内，
因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，
所以AC∥EF.
又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
3. 解析：选A 作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.www.21-cn-jy.com
4. 解析：选A ①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．2-1-c-n-j-y
5. 解析：选D 当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，
∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．
6. 解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案：2
7. 解析：如图，取BC中点F，连SF.
∵G为△ABC的重心，
∴A，G，F共线且AG＝2GF.
又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.
又SF 平面SBC，EG平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：EG∥平面SBC
8. 解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
9. 证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，
∵M，G分别是A′B，A′C的中点，∴MGBC，
同理DEBC，∴MGDE，
∴四边形DEMG是平行四边形，
∴ME∥DG.
又ME 平面A′CD，DG平面A′CD，
∴ME∥平面A′CD.
10. 证明：(1)如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.
(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.
又∵BD 平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，
∴FE∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.21世纪教育网版权所有
课下能力提升（三）直观图
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
A．1 B．2
C．3 D．4
2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的( )
3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.a2 B.a2
C.a2 D．2a2
二、填空题
如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．21教育网
8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
三、解答题
9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)．
用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC＝1，∠ABC＝30°，如图所示，试求原图的面积．www.21-cn-jy.com
答 案
1. 解析：选B 只有③④正确．
2. 解析：选D 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
3. 解析：选C 当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.21cnjy.com
4. 解析：选D 由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．2·1·c·n·j·y
5. 解析：选D 由题意知，平行四边形的直观图为
对应在直角坐标系下的图形为：
∴平行四边形的面积为S′＝2××a×2a＝2a2.
6. 解析：在直观图中，A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B′到x′轴的距离为.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：
7. 解析：由于直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，21·世纪*教育网
则斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
答案：2.5
8. 解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，∴AD＝DC＝BD.www-2-1-cnjy-com
答案：2
9. 解：(1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，2-1-c-n-j-y
以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间坐标系．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝ cm，OD＝ cm.
过D作AB∥x轴，且AB＝2 cm，以D为中点，连接AC、BC，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2 cm，过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝ cm，O′D′＝ cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1 cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．21·cn·jy·com
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．21世纪教育网版权所有
10. 解：如图(1)所示，作AD⊥BC于D，在BD上取一点E使DE＝AD，由AC＝1，可知BC＝2，AD＝，AE＝，21*cnjy*com
由斜二测画法(如图(2))可知
B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝，
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′E′＝×2×＝.
(1) (2)
课下能力提升（九）垂直关系的判定
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不确定
2．在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( )
A．若m⊥α，则m∥l
B．若m⊥l，则m∥α
C．若m∥α，则m⊥l
D．若m∥l，则m⊥α
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )21世纪教育网版权所有
A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFG
C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．
8．已知点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．
三、解答题
9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.21教育网
10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
答 案
1. 解析：选B 由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．
2. 解析：选C 由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B?AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.21cnjy.com
3. 解析：选B 如图，连接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.21·cn·jy·com
4. 解析：选B A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．www.21-cn-jy.com
5. 解析：选A ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，
∴AG⊥平面EFG.
6. 解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.
∵AC 平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案：垂直
7. 解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.
答案：6
8. 解析：如图，由PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；
若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，
∴BC⊥PO.
∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.
同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
答案：外 垂 内
9. 证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10. 解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
课下能力提升(二十一) 圆的一般方程
一、选择题
1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
2．已知圆C的半径长为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )21cnjy.com
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋
C．2＋ D．1＋2
4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
5．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
二、填空题
6．过点(－，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．21世纪教育网版权所有
7．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________．21·cn·jy·com
8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a的值．
10．求经过A(4,2)、B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．
答案
1．解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.2·1·c·n·j·y
2．解析：选D 设圆心为(a,0)，且a＞0，则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，即＝2?3a＋4＝±10?a＝2或a＝－(舍去)，则圆的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
3．解析：选B 圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝＝，
∴所求的最大值为1＋.
4．解析：选C 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6.21教育网
5．解析：选D 方程变形为2＋(y＋1)2＝1－k2，
∴r2＝1－k2，当k＝0时，r有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)．
6．解析：由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(0,1)，
∴k＝＝＝.∴直线的倾斜角为60°.
答案：60°
7．解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB中点C的坐标为，
半径r＝|AC|＝ ＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋2＝2，
即x2＋y2＋4x－3y＝0.
答案：x2＋y2＋4x－3y＝0
8．解析：∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0内部，
∴即2a＜2，a＜1.
答案：(－∞，1)
9．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组
解得D＝－7，E＝－3，F＝2.
∴圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
又∵点D在圆上，
∴a2＋1－7a－3＋2＝0.∴a＝0或a＝7.
10．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，
∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
∴圆在y轴的截距之和为y1＋y2＝－E.
由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.
∴D＋E＝－2.①
又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
课时达标训练(二十三) 圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．1＜m＜121 B．1≤m≤121
C．1＜m＜11 D．1≤m≤11
3．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于( )21世纪教育网版权所有
A．2 B．2
C. D．1
4．两圆(x－a)2＋y2＝1和x2＋(y－b)2＝1外切的条件是( )
A．a2＋b2＝4 B．a2＋b2＝2
C.＝1 D.＝4
5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
二、填空题
6．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
7．点P在圆(x－4)2＋(y－2)2＝9上，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上，则|PQ|的最大值为________．21cnjy.com
8．与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程为________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，N＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤a－1}，若M∩N＝N，求实数a的取值范围．2·1·c·n·j·y
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，
(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
答案
1．解析：选A 设圆心为(0，a)，则＝1，∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．解析：选B 两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r1＝，O2(－3,4)，r2＝6，它们有公共点，则两圆相切或相交．【来源：21·世纪·教育·网】
∴|－6|≤ ≤＋6.解之，得1≤m≤121.
3．解析：选B 将两圆化成标准式分别为
(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，
两圆相交时最长的公共弦应该为小圆的直径2.
4．解析：选A 两圆的圆心坐标为(a,0)和(0，b)，由两圆外切的条件得 ＝1＋1，即a2＋b2＝4.21教育网
5．解析：选D ∵所求圆的半径为6，而A、B中的圆的半径为，不符合题意，∴排除A、B.所求圆的圆心为(4,6)时，两圆的圆心距d＝＝5＝6－1，这时两圆内切，当所求圆的圆心为(－4，6)时，圆心距d＝＝5＝6－1，这时两圆内切．21·世纪*教育网
∴所求圆的圆心为(±4,6)，半径为6.
6．解析：∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径为1和5，两圆外切时有＝1＋5，∴a＝±2，21·cn·jy·com
两圆内切时有＝5－1，∴a＝0.
综上a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
7．解析：圆心距d＝ ＝3，而两圆的半径分别为r1＝3，r2＝2，∴|PQ|的最大值＝d＋r1＋r2＝3＋5.www-2-1-cnjy-com
答案：3＋5
8．解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
解①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
9．解：∵M∩N＝N，∴N?M，
①当N＝?时，即a＜1时满足条件；
②当N≠?时，若a＝1，集合N＝{(x，y)|(0,1)}，
∵点(0,1)在圆x2＋y2＝16内部，∴N?M.
若a＞1，要使N?M，须圆x2＋(y－1)2＝a－1，
内切或内含于圆x2＋y2＝16，
∴4－≥1，解得1≤a≤10，
又a＞1，∴1＜a≤10.综上所述，a的取值范围为(－∞，10]．
10．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，
设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解之得k＝.
所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，
又已知圆C的圆心(3,4)，r＝2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴可知 ＝5，解得a＝3，或a＝－2，
∴D(3，－1)或D(－2,4)．
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.
课下能力提升(二十二) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
3．(重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
4．(广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )21cnjy.com
A．10 B．20
C．30 D．40
二、填空题
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．21世纪教育网版权所有
7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．www.21-cn-jy.com
8．经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
9．自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线的方程．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
答案
1．解析：选B 由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则＜1，即a2＋b2＞1，从而可知点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的外部．【来源：21·世纪·教育·网】
2．解析：选D 圆心C(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，由题意得d2＋()2＝22，解得d＝.21·世纪*教育网
所以＝，解得a＝0或a＝4.
3．解析：选C 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
4．解析：选A 因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.www-2-1-cnjy-com
5．解析：选B 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×|AC|×|BD|＝×10×4＝20.2-1-c-n-j-y
6．解析：由题意得圆心为C(－1,0)．由点到直线的距离公式得圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝，即圆半径r＝.∴圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
7．解析：圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.
因为圆截直线所得的弦长为2，所以2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)．21教育网
所以圆心为(3,0)，半径r2＝(a－1)2＝4，
故圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
答案：(x－3)2＋y2＝4
8．解析：设圆心为C(－1,0)，由题意知：AB⊥CP，
而kCP＝＝－1，从而kAB＝1，
∴弦AB所在的直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
9．
解：如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，
由几何光学原理知，
直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
又∵l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由d＝＝＝2，得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
10．解：由题可知圆心为C(3,4)，半径为r＝2.
(1)证明：直线方程可化为k(x－4)＋(3－y)＝0，
∴直线过定点P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2＜4.
∴点P在圆C内部．
∴直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)∵直线经过定点P(4,3)，∴当PC与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短．
设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得(|AB|)2＝r2－|CP|2＝4－2＝2.∴AB＝2.
∵PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，∴直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.21·cn·jy·com
∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.
课下能力提升(二十五) 空间两点间的距离公式
一、选择题
1．点B是点A(1,2,3)在坐标平面上yOz内的射影，则|OB|等于( )
A. B.
C．2 D.
2．点P到原点O的距离是( )
A. B．1
C. D.
3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
4．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则A、B、C三点( )
A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形
C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形
5．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0，5,1)等距离的点的个数为( )21教育网
A．1 B．2
C．3 D．无数
二、填空题
6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．21cnjy.com
7．点A(2，－1,2)到y轴的距离为________．
8．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.
三、解答题
9．已知正三棱锥A-BCD，高为1，底面正三角形边长为，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．21·cn·jy·com
10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．
答案
1．解析：选B B点坐标为(0,2,3)，∴|OB|＝.
2．解析：选B |OP|
＝
＝ ＝1.
3．解析：选D 由空间两点间的距离公式得
＝2，
解得x＝6或x＝－2.
4．解析：选D 由已知得
|AB|＝＝，
|AC|＝＝＝2，
|BC|＝＝，
∴|AB|＋|BC|＝|AC|，故不能构成三角形．
5．解析：选D 由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．2·1·c·n·j·y
6．解析：设正方体棱长为a，则＝|AB|＝，所以a＝4，V＝43＝64.
答案：64
7．解析：点A在y轴上的投影为(0，－1,0)，
∴点A到y轴的距离为＝2.
答案：2
8．解析：由距离公式|AB|＝＝；
|AC|＝＝；
|BC|＝＝；
∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.
答案：2
9．
解：设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．
如图以OB所在直线为x轴，
以OA所在直线为z轴，
以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设CD中点为E，由BC＝，O为△BCD中心可知，
|OB|＝|BE|＝·|BC|＝1，|OE|＝|OB|＝，
∴B(1,0,0)，E.
又|CE|＝|ED|＝，
∴C，D.
又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．
由两点间的距离公式|AB|＝＝，
∴各点坐标为A(0,0,1)，B(1,0,0)，C，D，侧棱AB长为.
10．解：设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(，，)．因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．www.21-cn-jy.com
|PQ|＝
＝ .
当z＝时，|PQ|的最小值为a，即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.
(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值 a. 21世纪教育网版权所有
课下能力提升(二十四) 空间直角坐标系及点的坐标
一、选择题
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．
其中正确叙述的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为( )
A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)
C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)
3．在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为( )21世纪教育网版权所有
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
二、填空题
6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．21教育网
7．点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．
8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．21cnjy.com
三、解答题
9．如图，棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．21·cn·jy·com
答案
1．解析：选C ①错误，②③④正确．
2．解析：选C 空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．
∴A(－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．
3．解析：选B ∵P，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，
∴P，Q关于yOz平面对称．
4．解析：选D (2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．
5．解析：选D 两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.
6．解析：点A(－5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．www.21-cn-jy.com
答案：(5,5，－6)
7．解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．2·1·c·n·j·y
答案：(－2,4，－6)
8．解析：点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．
答案：(2,0,3)
9．解：因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为.【来源：21·世纪·教育·网】
同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为.
10．解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．21·世纪*教育网
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，
故点E坐标为.
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，
则|FM|＝|FN|＝，
故点F坐标为；
点G在y轴上，又|GD|＝，
故点G坐标为；
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝.
∴|DK|＝.故点H的坐标为.
课下能力提升(二十) 圆的标准方程
一、选择题
1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)( )
A．是圆心 B．在圆C外
C．在圆C内 D．在圆C上
2．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
3．在方程(x－1)2＋(y＋2)2＝m2＋9(m∈R)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是( )21cnjy.com
A．(－1,2)，3 B．(1，－2)，3
C．(－1,2), D．(1，－2),
4．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
5．设M是圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上的点，则M到3x＋4y－2＝0的最小距离是( )
A．9 B．8
C．5 D．2
二、填空题
6．圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程为____________．
7．已知圆C1的方程(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为__________．21世纪教育网版权所有
8．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
三、解答题
9．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
答案
1．解析：选C 由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r＝2，故排除A.
又∵|PC|＝＝＜2＝r，
∴P在圆C内部．
2．解析：选B 对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x＋y＝0的对称点作为圆心即可．
∵已知圆的圆心(3，－4)关于x＋y＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝1.
3．解析：选B 当m＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)．
4．解析：选D 由y＝，知y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9.
∴原方程等价于
表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分．
5．解析：选D 圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离
d＝＝＝5，
∴所求的最小距离是5－3＝2.
6．解析：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则解得
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－(x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标C(4,0)，
∴r＝|CA|＝ ＝，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
答案：(x－4)2＋y2＝5
7．解析：由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(－3,2)．可设C2的方程为21教育网
(x＋3)2＋(y－2)2＝r2.又由C2过点A(5,0)，
所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68.
故圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68.
答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝68
8．
解析：理解的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1,1)的距离．
因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，
因此表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，结合图易得的最大值为＋2＝＋2.
答案：＋2
9．解：(1)PQ的方程为x＋y－1＝0.
PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
10．解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
课下能力提升（二）简单多面体
一、选择题
1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是( )
A．(1)是棱台 B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱
5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )
A．底面为平行四边形的四棱柱
B．五棱锥
C．无平行平面的六面体
D．斜三棱柱
二、填空题
6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．21世纪教育网版权所有
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
7．下列四个命题：
(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．21cnjy.com
其中正确的序号是________．
8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．21·cn·jy·com
三、解答题
9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．
10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．
答 案
1. 解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2·1·c·n·j·y
2. 解析：选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．
3. 解析：选D 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形． 21教育网
4. 解析：选C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．【来源：21·世纪·教育·网】
5. 解析：选D 如图，正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．21·世纪*教育网
6. 解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．www-2-1-cnjy-com
答案：①③④⑤
7. 解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．www.21-cn-jy.com
答案：(4)
8. 解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．
答案：三棱柱或三棱台
9. 解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．
(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．
(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．
10. 解：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是
A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
课下能力提升（五）空间图形基本关系的认识与公理1-3
一、选择题
1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( )
A．A∈b，b∈β B．A∈b，bβ
C．Ab，bβ D．Ab，b∈β
3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C?l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )21教育网
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．直线AR
4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )21世纪教育网版权所有
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
二、填空题
6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．21cnjy.com
如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．21·cn·jy·com
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
8．有下面几个说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.www.21-cn-jy.com
求证：P，Q，R三点共线．
10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．
答 案
1. 解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．【来源：21·世纪·教育·网】
2. 解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.
3. 解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，
∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，
∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.
4. 解析：选C 如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
5. 解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．2·1·c·n·j·y
6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．
答案：1或4
7. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．
答案：②④
8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．
答案：③④
9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.
∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．
②有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K?a，
∵K?a，∴K与a确定一个平面，设为β.
∵N∈a，aβ，∴N∈β.
∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．
课下能力提升（八）平行关系的性质
一、选择题
1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )21世纪教育网版权所有
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )21教育网
A．c与a，b都异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行
3．下列说法正确的个数为( )
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．21cnjy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
5．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
二、填空题
6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．21·cn·jy·com
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
8．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．2·1·c·n·j·y
10．在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．【来源：21·世纪·教育·网】
答 案
1. 解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．
2. 解析：选D 如图：∵a∥b，且aγ，b?γ，∴a∥γ，
∵aα且α∩γ＝c，∴a∥c，∴b∥c.
3. 解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a?β，则a与α平行，故③不正确．
4. 解析：选D 由题意知，△A′B′C′∽△ABC，
从而＝2＝2＝.
5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故
△ABC中至少有一边平行于α.
6. 解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.
答案：
7. 解析：∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
答案：
8. 解析：A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG.
所以＝，又＝，所以＝.
于是EG＝＝＝.
答案：
9. 解：设BC1交B1C于点E，连接DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，
且A1B 平面A1BC1，
所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，
所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
10. 解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，
则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，
∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BM∥平面AEC，
同理FM∥平面AEC.
又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.
又BF 平面BMF，
∴BF∥平面AEC.
课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )21教育网
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )21世纪教育网版权所有
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线
②直线AM与BN是平行直线
③直线BN与MB1是异面直线
④直线AM与DD1是异面直线
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
三、解答题
9．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.
如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ. 21cnjy.com
(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．
答 案
1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．21·cn·jy·com
2. 解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.
3. 解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．www.21-cn-jy.com
4. 解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，
再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.2·1·c·n·j·y
5. 解析：选D 若c与a、b都不相交，
∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)B1D1∥ BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．21·世纪*教育网
答案：(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
7. 解析：如图，可借助长方体理解，
令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．www-2-1-cnjy-com
答案：平行、相交或异面
8. 解析：由异面直线的定义知③④正确．
答案：③④
9. 证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，
∵A1B1C1D1，∴EMC1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，
∴四边形BFC1M为平行四边形，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠D1EA1.
10. 证明：在△ABD中，＝＝λ，故EHλBD.同理FGμBD.
由公理4得EH∥FG，又可得FG＝EH.
(1)若λ＝μ，则FG＝EH，故EFGH是平行四边形．
(2)①若λ≠μ，则EH≠FG，故EFGH是梯形．
②在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交．
设EF∩HG＝O，则由O∈EF，EF平面ABC，得O∈平面ABC.
同理有O∈HG平面ACD.
而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以O∈AC，即EF、HG、AC交于点O.
课下能力提升（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积
一、选择题
1．圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的( )
A．1倍 B．n倍
C．n2倍 D.倍
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A．12 B．36
C．24 D．48
3．长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( )
A．44 B．88
C．64 D．48
4．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180 B．200
C．220 D．240
二、填空题
6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
8．如图，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
三、解答题
9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
10．正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
答 案
1. 解析：选A 由S侧＝π(r′＋r)l.当r，r′缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变．
2. 解析：选D 正四棱锥的斜高h′＝＝4，
S侧＝4××6×4＝48.
3. 解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x，x，则对角线长为＝x＝2，∴x＝2.
∴表面积S＝2(6x2＋3x2＋2x2)＝88.
4. 解析：选A 设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，
∴R＝，
则圆柱的母线长l＝2πR＝2.
S侧面积＝(2πR)2＝4π2R2＝4π2×＝4πS.
5. 解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.
6. 解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图．
∵母线长为10，
∴有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴S圆台侧＝π(r＋4r)×10＝100π.
答案：100π
7. 解析：由条件可知，四面体的斜高为，
所以其表面积为S表＝4××1×＝.
答案：
8. 解析：此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为a.左视图是一矩形，一边为a，另一边为2a，故左视图的面积为a×2a＝a2.
答案：a2
9. 解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．
圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)；
四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)；
四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．
所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m2)，
需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)，
答：共需油漆约22.87 kg.
10. 解：(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．21世纪教育网版权所有
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a)．
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝(b－a)，
又EF＝CE·sin 45°＝(b－a)，
∴斜高C1F＝
＝ ＝(b－a)．
∴S侧＝(4a＋4b)×(b－a)＝(b2－a2)．
(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，
∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝.
又EF＝，h＝＝.
课下能力提升（十七）两条直线的位置关系
一、选择题
1．已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3)．则l1与l2的位置关系为( )21教育网
A．l1⊥l2 B．l1与l2重合
C．l1∥l2 D．非以上答案
2．已知直线x＋my＋1＝0与直线m2x－2y－1＝0互相垂直，则实数m为( )
A. B．0或2
C．2 D．0或
3．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
4．已知两直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为( )21世纪教育网版权所有
A．24 B．20
C．0 D．－8
5．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )21cnjy.com
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
二、填空题
6．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是________．21·cn·jy·com
7．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是__________．www.21-cn-jy.com
8．和直线x＋3y＋1＝0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程为________．
三、解答题
9．已知三点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)，C(2n＋1，3n－2)，若直线AB的倾斜角为45°，且直线AC与AB垂直，求A、B、C的坐标．2·1·c·n·j·y
10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
答 案
1. 解析：选C 由斜率公式kAB＝＝－，kCD＝＝－.
∵kAB＝kCD，由已知可知，直线AB与CD不重合．∴l1∥l2.
2. 解析：选B 当m＝0时，有两直线垂直；
当m≠0时，(－)·()＝－1，∴m＝2.
∴m＝0或m＝2.
3. 解析：选B kAB＝，kBC＝－，kCD＝，kAD＝－3.
∵kAB＝kCD，kBC≠kAD，∴AB∥CD，BC不平行于AD.
∴四边形是以BC、AD为腰的梯形．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.
∴四边形是直角梯形．
4. 解析：选B 由两直线垂直得2m－20＝0，即m＝10.
又点(1，p)在l1上，∴10＋4p－2＝0.∴p＝－2.
∵点(1，p)在l2上，∴2－5×(－2)＋n＝0.∴n＝－12.
∴m－n＋p＝20.
5. 解析：选D 若AB与x轴垂直则m＝2m，∴m＝0.
m＝0时，A(0,3)，B(0,4)，C(1,2)，D(1,0)，
CD也与x轴垂直，∴AB∥CD.
若AB与x轴不垂直，由AB∥CD知直线AB、CD的斜率都存在，由斜率公式
kAB＝＝.kCD＝＝，
由kAB＝kCD，得＝，∴m＝1.
当m＝1时，kAB＝kCD＝2≠kBD＝5，
∴AB与CD不共线，∴AB∥CD，
∴m的值为0或1.
6. 解析：∵直线平行于x轴，∴a＝－.
答案：－
7. 解析：直线MN的方程是y＋1＝2x，
由得所以N点的坐标是(2,3)．
答案：(2,3)
8. 解析：∵所求直线与直线x＋3y＋1＝0垂直，
∴k1·k2＝－1，而k1＝－，∴所求直线的斜率k2＝3.
又在x轴上的截距为2，说明过点(2,0)，
∴y－0＝3(x－2)，即3x－y－6＝0.
答案：3x－y－6＝0
9. 解：∵AB的倾斜角为45°，
∴kAB＝＝1，即m2＋3m＋2＝0.
解得m＝－1或m＝－2，
当m＝－1时，A(3，－2)，B(3，－2)，A、B重合，
∴m≠－1，当m＝－2时，A(6,1)，B(1，－4)．
由AC⊥AB，得kAC＝－1，
即＝－1，解得n＝，∴C，
A、B、C三点坐标分别为A(6,1)、B(1，－4)、C.
10. 解：四边形OPQR是矩形．OP边所在直线的斜率kOP＝t，
QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，
OR边所在直线的斜率kOR＝－，
PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－.
∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR是平行四边形．
又kQR·kOR＝t×(－)＝－1，
∴QR⊥OR，∴四边形OPQR是矩形．
课下能力提升（十三）球
一、选择题
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( )
A.π B.
C．8π D.π
2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
3．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )21世纪教育网版权所有
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
二、填空题
6．一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为________ cm3.21·cn·jy·com
7．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．www.21-cn-jy.com
8．如图所示，正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
9．如图，ABCD是正方形，是以A为圆心的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．21教育网
10．如图，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．21·世纪*教育网
答 案
1. 解析：选D 所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝＝，球的体积为πR3＝π.
2. 解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，
即r∶r∶r＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝1∶∶，
∴V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.
3. 解析：选B 设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.
4. 解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R＝＝a，21cnjy.com
∴S＝4πR2＝4π×＝a2.
5. 解析：选A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3，选择A.2·1·c·n·j·y
6. 解析：如图所示，
由已知：O1A＝3，OO1＝4，从而R＝OA＝5.
∴V球＝×53＝ (cm3)．
答案：
7. 解析：球的体积等于以16 cm为底面半径，高为9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以πR3＝π·162·9，www-2-1-cnjy-com
解得R＝12(cm)，所以S球＝4πR2＝576π cm2.
答案：576π cm2
8. 解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，
∴其高为1，由对称性可知，棱长为的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为π.
答案：π
9. 解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球．
设正方形的边长为a，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为VⅠ、VⅡ和VⅢ，则VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.
三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.
10. 解：设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.
由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.
∵在Rt△COB中，CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，
∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.
又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l
且S球∶S圆台侧＝3∶4，
∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4.
∴(r1＋r2)2＝R2，
∴V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]
＝×2R×＝πR3.
故圆台的体积为πR3.
课下能力提升(十九) 平面直角坐标系中的距离公式
一、选择题
1．已知A(－1,1)，B(3，－5)，则线段AB的垂直平分线方程是( )
A．3x＋2y－2＝0 B．2x＋3y＋2＝0
C．3x－2y＋8＝0 D．2x－3y－8＝0
2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A. B.
C. D．2
3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
4．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．3
C．2 D．1
5．若两条平行直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与l2的距离等于l1与l2间距离的直线方程为( )21教育网
A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0
二、填空题
6．经过点P(2,1)且与点Q(1，－2)的距离为的直线方程是________．
7．动点P在直线x＋y－1＝0上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为________．www.21-cn-jy.com
8．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
9．用坐标法证明：在△ABC中，AO为BC边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
10．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．21cnjy.com
答案
1．解析：选D ∵kAB＝＝－，∴线段AB的垂直平分线的斜率为.又线段AB的中点坐标为(1，－2)，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－1)，即2x－3y－8＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
2．解析：选D |OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.
3．解析：选D 直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，与6x＋my＋1＝0平行，所以m＝4，21·cn·jy·com
由两平行线间的距离公式得d＝＝.
4．解析：选A 设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，
由于△ABC的面积为2，则这个三角形AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，
由点到直线的距离公式得＝，
即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故这样的点C有4个．21·世纪*教育网
5．解析：选A 设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，
则
解得C＝－6(舍去)或C＝22，
所以所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.
6．解析：设所求直线的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.
∵点Q到直线l的距离为，
∴＝，
解得k＝1或k＝－7.
∴直线方程为x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.
答案：x－y－1＝0或7x＋y－15＝0
7．解析：设P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝＝＝ ，当x＝时，|PQ|最小．
答案：
8．
解析：由图可知，当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时
d＝|PQ|
＝＝，
∴0＜d≤.
答案：(0，]
9．
证明：如图，以O为坐标原点，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，
则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2，
|AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)．
又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
10．解：由解得即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，
A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，
则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0.
由A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
∴l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0，
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
课下能力提升（十二）柱、锥、台的体积
一、选择题
1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．9π B．9
C．3π D．3
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )21教育网
A. B.
C. D.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm3 B．100 cm3
C．92 cm3 D．84 cm3
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )21·cn·jy·com
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
二、填空题
6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．【来源：21·世纪·教育·网】
7．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.21·世纪*教育网
8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
9．如图所示，是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)2-1-c-n-j-y
10．若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积．21cnjy.com
答 案
1. 解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.
设圆锥的高为h，则h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝3π.
2. 解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为×4＝，故剩下的凸多面体的体积为1－8×＝.21世纪教育网版权所有
3. 解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.www.21-cn-jy.com
4. 解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V＝6×6×3－××4×4×3＝100 cm3.21*cnjy*com
5. 解析：选C 设如图所示的Rt△ABC中，
∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，【出处：21教育名师】
V2＝π×12×＝π，V3＝π()2×2＝π.
V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.
6. 解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.2·1·c·n·j·y
答案：
7. 解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π·()2·h，解得h＝a.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：a
8.解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，
S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，
VS-ABCD＝SABCD·SE＝cm3.
答案： cm3
9. 解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．【版权所有：21教育】
因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)，所以有方程60π＝100πx，解此方程得x＝0.6(cm)．21教育名师原创作品
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
10. 解：如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等，
∴VA-BEFC＝VA-B1EFC1＝VA-BB1C1C.
又VA-A1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABC-A1B1C1＝m，
∴VA-A1B1C1＝，
∴VA-BB1C1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1C1＝m，
∴VA-BEFC＝×m＝，即四棱锥A-BEFC的体积是.
课下能力提升（十五）直线方程的点斜式
一、选择题
1．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．直线y＝ax－的图像可能是( )
3．直线l过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b)在l上，则b的值为( )
A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 012
4．直线l的方程为y＝x＋2，若直线l′与l关于y轴对称，则直线l′的方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
5．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
二、填空题
6．若直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b＝________.
7．直线l的方程为x－y－(m2－m＋1)＝0，若l在y轴上的截距为－3，则m的值为________．2·1·c·n·j·y
8．直线过点(1,2)且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
9．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：
(1)AB所在直线的方程；
(2)AC边和BC边所在直线的方程．
10．求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程．
答 案
1. 解析：选B ①中方程k＝表示的直线不能过(－1,2)，而y－2＝k(x＋1)表示过(－1,2)点、斜率为k的直线，21教育网
∴二者不能表示同一直线；②③正确；
④中，点斜式、斜截式不能表示平行于y轴的直线，∴结论错误．
2. 解析：选B 在B中，直线的倾斜角为钝角，故斜率a＜0，直线在y轴上截距－＞0，与直线和y轴正半轴有交点，符合要求．21cnjy.com
3. 解析：选C ∵直线斜率k＝＝2，
∴直线的点斜式方程为y－5＝2(x－2)，即y＝2x＋1，
令x＝1 005，得b＝2 011.
4. 解析：选A ∵l′与l关于y轴对称，直线l过定点(0,2)，
∴直线l′也过点(0,2)．
直线l的斜率为，∴l的倾斜角为60°，
l′的倾斜角为180°－60°＝120°.
∴l′的斜率为－.∴直线l′的方程为y＝－x＋2.
5. 解析：选D 由题意，OA与OB的倾斜角互补．kOA＝3 ，kAB＝－3.
∴AB的方程为y－3＝－3(x－1)．
6. 解析：令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－，
∴所求的面积S＝|b|·＝b2＝9.∴b＝±6.
答案：±6
7. 解析：由题知3－(m2－m＋1)＝0，解得：m＝－1或2.
答案：－1或2
8. 解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距为3，即直线l过(0,3)．∴直线l的斜率k＝＝－1.21·cn·jy·com
∴l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9. 解：根据已知条件，画出示意图如图．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以kAC＝tan 45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.www.21-cn-jy.com
同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，
所以kBC＝tan 135°＝－1，又点B(5,1)，
所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.
10. 解：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y－3＝k(x－2)．
令x＝0得y＝3－2k.令y＝0得x＝2－.
由|3－2k|＝|2－|，得k＝－1或k＝，或k＝1.
故直线方程为y＝－x＋5或y＝x或y＝x＋1.
课下能力提升(十八) 两条直线的交点
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交 D．不确定
2．直线l过直线3x－y＝2和x＋y＝6的交点，且过点(－3，－1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y＋5＝0 B．x＋y＋4＝0
C．x－y＋2＝0 D．3x－y－2＝0
3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点为( )
A．(2,3) B．(5,2)
C. D．(5,9)
4．已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D．[0,2]
5．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
6．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直且都过点A(1，m)，则a＝__________，b＝________，m＝________.21世纪教育网版权所有
7．若三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝________.21教育网
8．在△ABC中，已知B(2,1)，AC边所在直线的方程为2x－y＋5＝0，直线3x－2y＋1＝0是BC边的高线，则点C的坐标为________．21·cn·jy·com
三、解答题
9．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且与直线l3：4x＋y＋1＝0平行的直线l的方程．www.21-cn-jy.com
10．已知点A是x轴上的动点，一条直线过点M(2,3)且垂直于MA，交y轴于点B，过A，B分别作x，y轴的垂线交于点P，求点P(x，y)满足的关系式．【来源：21·世纪·教育·网】
答案
1．解析：选C ∵k1＝，k2＝－，∴k1≠k2.∴两直线相交．
2．解析：选C 由得直线3x－y＝2和x＋y＝6的交点为(2,4)，
∵直线l过点(2,4)和(－3，－1)两点，∴直线l的方程为＝，即x－y＋2＝0.
3．解析：选A 将原方程变为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，令得∴定点为(2,3)．
4．解析：选A 直线PQ的方程为y＝0，
由得交点，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
5．解析：选D 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或三条直线共点．
若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4；
若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝－；
若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m不存在；
若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点，
则m＝－1或m＝.
6．解析：已知两直线方程可化为l1：y＝－x＋，l2：y＝x＋.
∵两直线垂直，∴－·＝－1，∴a＝10，
即直线l1方程为10x＋4y－2＝0.
又点A(1，m)在直线l1上，∴10×1＋4m－2＝0，
∴m＝－2，即A(1，－2)．
又点A在直线l2上，∴2×1－5×(－2)＋b＝0，∴b＝－12.
答案：10 －12 －2
7．解析：因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；21cnjy.com
当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，
有－＝－，解得a＝.
答案：或－1
8．解析：设BC的方程为2x＋3y＋m＝0，将点B的坐标代入，可得m＝－7，∴BC的方程为2x＋3y－7＝0.2·1·c·n·j·y
解方程组得C(－1,3)．
答案：(－1,3)
9．解：联立解得
即直线l1与直线l2的交点为(1,2)．
∵l∥l3，
∴l3的方程可设为4x＋y＋b＝0.
将(1,2)代入，得b＝－6.
∴直线l的方程为4x＋y－6＝0.
10．
解：如图所示，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，P点坐标为(x，y)，
∴A点坐标为(x,0)，B点坐标为(0，y)，
由题意可知MA⊥MB，当x≠2时，
kMA·kMB＝－1，
即·＝－1(x≠2)，化简得2x＋3y－13＝0.
当x＝2时，点P与M重合，点P(2,3)的坐标也满足方程
2x＋3y－13＝0.
∴点P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.
课下能力提升（十六）直线方程的两点式和一般式
一、选择题
1．直线＋＝1与x、y轴所围成的三角形的周长等于 ( )
A．6 B．12
C．24 D．60
2．直线l：Ax＋By＋C＝0过原点和第二、四象限，则( )
A．C＝0，B＞0 B．C＝0，A＞0，B＞0
C．C＝0，AB＞0 D．C＝0，AB＜0
3．两条直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(k＞0，b＞0，k≠b)的图像是下图中的( )
4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠1 B．m≠－
C．m≠0 D．m≠1且m≠－且m≠0
5．经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
二、填空题
6．若3x1－2y1＝5,3x2－2y2＝5(x1≠x2)，则过A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为________．21世纪教育网版权所有
7．直线(m－3)x－2y＋m＋2＝0过第一、二、四象限，则m的取值范围是________．
8．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则m的值为________．
三、解答题
9．已知直线l1为－＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程．
10．直线过点P且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.
若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．
答 案
1. 解析：选B 直线在x轴、y轴上的截距分别为3、4，∴直线所围成的三角形是直角边长分别为3和4的直角三角形，其斜边长为5，故周长为3＋4＋5＝12.
2. 解析：选C ∵直线l过原点和第二、四象限，
∴其截距为零，斜率为负，由Ax＋By＋C＝0可变形为
y＝－x－，∴－＜0，－＝0，即C＝0，AB＞0.
3. 解析：选C 由k＞0，b＞0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A，B，D错误．21教育网
4. 解析：选A 由得m＝1，依题意只要x、y的系数不同时为0，即m≠1该方程就表示一条直线．
5. 解析：选C ①当直线过原点时，两坐标轴上截距均为0，满足条件，方程为y＝2x.
②当直线不过原点时，截距的绝对值相等，则斜率k＝±1，∴直线方程为y－2＝±(x－1)，即x＋y－3＝0和x－y＋1＝0，所以满足条件的直线共3条．21cnjy.com
6. 解析：由3x1－2y1＝5，知点A(x1，y1)满足方程3x－2y＝5，即点A在直线3x－2y＝5上，同理点B也在直线3x－2y＝5上，又过点A，B的直线有且只有一条，
所以直线l的方程为3x－2y＝5，
即3x－2y－5＝0.
答案：3x－2y－5＝0
7. 解析：将方程变为y＝x＋，∵直线过一、二、四象限．
∴＜0且＞0，即－2＜m＜3.
答案：(－2,3)
8. 解析：由2m2－5m＋2＝m2－4，∴m＝2或3.
而m＝2时，2m2－5m＋2＝m2－4同时为零，不合题意，应舍去，
∴m＝3.
答案：3
9. 解：∵l1的方程可化为＋＝1，
∴直线l1的纵截距为－.
设直线l的方程为＋＝1，即－＝1.
并且直线l过点(1,2)，所以－＝1，解得a＝.
因此直线l的方程为－＝1，即7x－2y－3＝0.
10. 解：假设存在这样的直线，设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
由△AOB的周长为12，知a＋b＋＝12.①
又∵过点P
∴＋＝1.②
由△AOB的面积为6知ab＝12.③
由①②③解得a＝4，b＝3.
则所求直线的方程为＋＝1.即3x＋4y－12＝0.
课下能力提升（十四）直线的倾斜角和斜率
一、选择题
1．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的倾斜角为θ，若l1与l2关于y轴对称，则θ的值为( )2·1·c·n·j·y
A．45° B．90°
C．135° D．180°
2．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于( )
A．－8 B．10
C．2 D．4
3．直线l过点A(1,2)且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C. D.
4．已知正方形的一条对角线在y轴上，则它的两条邻边所在直线的斜率分别为( )
A．0,1 B．0，－1
C．1，－1 D.，－
5．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )
A. B.
C．－ D．－
二、填空题
6．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
7．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值等于________．
8．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
三、解答题
9．已知P(3，－1)，M(5,1)，N(1,1)，直线l过P点且与线段MN相交，求：
(1)直线l的倾斜角α的取值范围；
(2)直线l的斜率k的取值范围．
10．点P(x，y)在一次函数y＝－2x＋8的图像上，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
答 案
1. 解析：选C 由对称性知θ＝180°－45°＝135°.
2. 解析：选B ∵k＝＝－，∴a＝10.
3. 解析：选A 如图，当k＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限．
∴由kOA＝＝2，知k∈[0,2]．
4. 解析：选C 正方形的一条对角线在y轴上，则另一条对角线在x轴上，所以两条邻边所在直线的倾斜角为45°，135°，即斜率分别为1，－1.21教育网
5. 解析：选C 设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.21cnjy.com
6. 解析：k＝＝，因为倾斜角为钝角，
所以k＜0，即＜0，解得－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
7. 解析：由题意知直线AB的斜率与直线AC的斜率相等，又因为A，C两点横坐标不等，由斜率公式得＝，整理得＋＝.21·cn·jy·com
答案：
8. 解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A、B、C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.
∴k≠1.
答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)
9. 解：kPM＝＝1，∴直线PM的倾斜角为45°.
又kPN＝＝－1，∴直线PN的倾斜角为135°.
(1)由图可知，直线l过P点且与线段MN相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
(2)当l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在，
∴直线l的斜率k的取值范围是k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
10. 解：如图，P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率．www.21-cn-jy.com
∵kOA＝2，kOB＝，
∴OP的斜率在kOB与kOA之间．
∴的最大值为2，最小值为.
课下能力提升（十）垂直关系的性质
一、选择题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE，则PE的长为( )
A. B.
C. D.
4．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a?α，直线b?β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( )21世纪教育网版权所有
A．可能垂直，不可能平行
B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．不可能垂直，也不可能平行
5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )21·cn·jy·com
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.www.21-cn-jy.com
7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________ cm.
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.
其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
三、解答题
9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．2·1·c·n·j·y
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.
答 案
1. 解析：选A ∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．【来源：21·世纪·教育·网】
2. 解析：选C 逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内，故选C.
3. 解析：选B 如图所示，连接AE.
∵PA⊥平面ABCD，
BD平面ABCD，∴PA⊥BD.
又∵BD⊥PE，PA∩PE＝P，
∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝＝.
所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝.
4. 解析：选B 当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，21教育网
∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．
5. 解析：选D 在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°.
∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD.
∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.
∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.
6. 解析：利用面面垂直的判定，可知①③④?②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④?①为真．
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)
7. 解析：如图，连接AD，CD.
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，
∴AD＝＝4 cm.
又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，
∴CA⊥β.
∴△CAD为直角三角形．
∴CD＝＝＝＝13(cm)．
答案：13
8. 解析：如图，命题①显然错误．
设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，
又不垂直于β.命题②正确．
∵α∥β，∴α与β无公共点，
∴直线m与直线n也无公共点．
又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.
命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.21cnjy.com
命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知
∵n∥m，m?α，mβ，nα，nβ，
∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.
答案：②④
9. 解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，
则OC⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.
∴OC⊥面ADB.
∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.
即∠COD＝90°.
在等边△ADB中，AB＝2，
∴OD＝.
在△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，
∴OC＝1.
在Rt△COD中，CD＝＝2.
(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.
当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD.
故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.
10. 证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD.
∴CD⊥平面PAD.
∵PD平面PAD.
∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.
又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，
∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.
(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
则KN DCAM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.
由(1)知MN⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.
课下能力提升（四）三视图
一、选择题
1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为( )
A．圆台 B．四棱锥
C．四棱柱 D．四棱台
2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )21教育网
A. B．1
C. D.
3．三棱柱ABC-A1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是( )www.21-cn-jy.com
4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )21cnjy.com
A. B. C．12 D．6
二、填空题
6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．2·1·c·n·j·y
7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图(1)，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BED1F在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．
三、解答题
9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．21·世纪*教育网
10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．
(1)该楼有几层？共有多少个房间？
(2)画出此楼的大致形状．
答 案
1. 解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．
2. 解析：选D 由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为.www-2-1-cnjy-com
3. 解析：选A 正面是BCC1B1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影．
4. 解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．2-1-c-n-j-y
5. 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．21*cnjy*com
∵主视图中△ABC是边长为2的正三角形，此三角形的高为，∴左视图的高为.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为，∴左视图的底为×2＝，
∴左视图的面积为××＝.
6. 解析：由三视图可知该几何体图示为
所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．
答案：圆锥 圆柱
7. 解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.21·cn·jy·com
1
2
1
1
1
1
答案：7
8. 解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.
答案：②③
9. 解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．21世纪教育网版权所有
10. 解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．
此楼的大致形状如图：
